基本不等式中“1的妙用教师版PDF

基本不等式中“1 的妙用”

例1：（1）已知,x y R *∈，21x y +=，求12x y +的最小值；（2）已知,x y R *∈，23x y +=，求12x y +的最小值；（3）已知,x y R *∈，322x y

+=，求62x y +的最小值；（4）已知,x y R *∈，2x y xy +=，求2x y +的最小值；

【解析】这四个题目中，（1）是“1的替换”的最基础题目，已知整式的值为1，求分式的最小值，（2）是将已知值变成了3，需要调节系数，（3）是已知分式的值求整式的最值，（4）对分式进行等价变换.

【答案】（1）121222(2)()1459x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=，当且仅当22x y y x =即13

x y ==时取等号.

（2）121121221(2)(1453333x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=（）（，当且仅当22x y y x =即13

x y ==时取等号.

（3）1323662=(2)92182y x x y x y x y x y +++=+++≥+，当且仅当63x y y x =即

2

y ==时取等号. （4）因为2x y xy +=，所以121y x +=，然后1242=(+2y)(+)=48x y x y x y x y x

+++≥，当且仅当4x y y x

=即24x y ==时取等号.例2：（1）已知,x y R *∈，1x y +=，求

1213

x y +++的最小值；（2）已知,x y R *∈，1x y +=，求2211x y x y +++的最小值；（3）已知,x y R *∈，1x y +=，求1223

x y y +++的最小值；（4）已知,x y R *∈，231x y +=，求123x y y +++的最小值； 【解析】这四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数.

【答案】（1）整式变形成113x y +++=，

12112132(1)(13)()(12)1135133133

y x x y x y x y x y +++=++++=+++≥+++++++，当且仅当32(1)=13

y x x y ++++取等号. （2）2222(1)2(1)1(1)2(1)1111212111111

x y x x y y x y x y x y x y +-+++-+++=+=+-+++-+++++++11111x y =+-++，然后求当1x y +=时，代数式1111

x y +++的最小值. （3）整式变形成235x y y +++=，求代数式1223

x y y +++最小值. （4）假设分式变形为2()(3)

x y y λμλμ+++的形式，保证x 的系数与y 的系数之比等于整式中的系数之比，即2==2+3λλμλμ，，1,=2μλ∴=，分式变形为22223

x y y +++，整式变形为2234x y y +++=，然后求22223

x y y +++的最小值. 例3：（1）已知,x y R *∈，1x y +=，求12x x y +的最小值；（2）已知()0,1x ∈，，求121x x

+-的最小值；

【解析】这两个题目的变式又不同于之前的形式，（1）主要是分式的一个分子的系数不是一个常数，而是2x y

的形式，因为比较接近我们使用基本不等式的形式，所以对另一个分子替换；（2）中好像是缺了整式，但仔细观察不难发现，其实分母之和为定值。

【解析】（1）122211x x y x y x x y x y x y ++=+=++≥+2x y y x

=时取等号.（2）因为(1)1x x +-=，然后求121x x

+-的最小值. 三、达标与拓展

1．若正数x ，y 满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是（

）A ．524

B ．528

C ．5

D ．6

【解析】 正数x ，y 满足xy y x 53=+，

15153=+∴y x ()319412313343455555555y x x y x y x y x y ??∴+=++=+++≥+= ???，当且仅当y

x x y 53512=时取等号即y x 43+的最小值是5.【答案】C.

2.设00，a b >>3a 与3b 的等比中项，则11a b

+的最小值为（ ）A ．8 B ．4 C ．1 D ．14

【解析】3a 与3b 的等比中项，所以1a b +=，1111()()2224a b a b a b a b b a

+=++=++≥+=.【答案】B．

3.已知,x y 均为正实数，且32x y +=，则2x y xy +的最小值为 ．

【解析

】试题分析：32721217(3)()2

22y x x y x y x y xy x y +++=++?=≥=+，当且仅当3232x y y x x y +=???=??

即x y ?=????=??时，等号成立，即2x y xy +

的最小值是72．4.已知00>>y x ，，且121=+y

x ，若m y x ≥+2恒成立，则实数m 的取值范围是 ，当m 取到

最大值时=x .

【解析】恒成立问题，求2x y +的最小值，即为“1的替换”,答案为：(]8，∞-，2；5．已知的最小值是则b

a b a b a 3a 1b 21,1,0,0+++=+>>__________. 【解析】令，（（)3a )a 2a b y b x b +++=+解得5152==y x ，.()??? ??+++???????+++=+++b b a b a b a a b a 3a 121)3(51252b 3121

()())3(5)2(2)2(53253b 3a 5b a 2225353b a b a b a b a b a b a ++?+++≥++++++=）（5

223+=当()()）

（b 3a 5b a 22253++=++b a b a 即())2(23a b a b +=+取等号.6.已知0a >，0b >，21a b +=，则11343a b a b

+++取到最小值为 ． 【解析】试题分析：令2(34)(3)(3)(43)a b a b a b a b λμλμλμ+=+++=+++，∴

13154322

5λλμλμμ?=?+=?????+=??=??

，∴111112312(3)34()[(34)(3)][3433435555343a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b

+++=+?+++=+++++++

+3355+≥=，当且仅当212(3)34=343a b a b a b a b

a b +=??++??++?时，等号成立，即

11343a b a b +++

的最小值是35

+． 7.已知实数x ，y 满足13422=++xy y x ，则y x +2的最大值为 ． 【解析】 实数x ，y 满足13422=++xy y x ，

xy xy y x +=++∴14422，()222221122112??? ??++≤??+=+∴y x y x y x ，解关于y x +2的不等式可得

71422≤+y x ，故答案为：7

142．

基本不等式专题 ---完整版(非常全面)

创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅 当b a =时取“=”） （4）若 R b a ∈,，则 2)2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （ 5 ） 若 * ,R b a ∈，则 2 2111 22b a b a ab +≤+≤≤+ （ 1 ） 若 ,,,a b c d R ∈，则 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 2222222 1231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+) 22212) n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等

一元一次不等式---教师版

不等式的俩边都乘上(或除去）同一个正数，不等号的方向不变。不等式的俩边都乘上(或除去）同一个负数，不等号的方向改变。“>”填空。若a>b 且m≠0，则 ___a b (2) 2 2 ____ a b m m ___m a m b (4) ___a m b m 1. 若0,a 则下列各式错误的是（C ） 1a B 10a 10a 2a 0,m 那么（20032004m m 3.14m m C 2003 200420042003m m D 1 1 23 m m 关于x 的方程7 45ax x 的解是正数，求的取值范围。 解： ax+7=4x-5 ax-4x=-12 x=-12÷(a-4)>0 a b a m b m m>0am>bm: a b a b m m 且m<0am

2 1 32 x x 2)36 x x 436 x x 364 x x 合并同类项得2 x 把系数化为1得2 x 解不等式： 221 23 x x 2)2(21) x x 622 x x 226 x x 合并同类项得8 x 把系数化为1得8 x 解关于x的不等式：(m m-1＞0，m＞1时，

变式 不等式-2x<4的解集表示在数轴上，正确的是（B ） A C 四．一元一次不等式组 一元一次不等式组解集的确定主要是借助数轴直观找到．共分四种情况，“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小解不见”， 例6 不等式组 2110 x x >-?? -≤?的解集是_1 12x -<≤-____________________ 不等式组 图示 解集 x a x b b a x a >（同大取大） x a x b ? b a b x a <<（大小交叉取中间） x a x b >??

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基本不等式中“1 的妙用” 例1：（1）已知,x y R *∈，21x y +=，求12x y +的最小值；（2）已知,x y R *∈，23x y +=，求12x y +的最小值；（3）已知,x y R *∈，322x y +=，求62x y +的最小值；（4）已知,x y R *∈，2x y xy +=，求2x y +的最小值； 【解析】这四个题目中，（1）是“1的替换”的最基础题目，已知整式的值为1，求分式的最小值，（2）是将已知值变成了3，需要调节系数，（3）是已知分式的值求整式的最值，（4）对分式进行等价变换. 【答案】（1）121222(2)()1459x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=，当且仅当22x y y x =即13 x y ==时取等号. （2）121121221(2)(1453333x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=（）（，当且仅当22x y y x =即13 x y ==时取等号. （3）1323662=(2)92182y x x y x y x y x y +++=+++≥+，当且仅当63x y y x =即 2 y ==时取等号. （4）因为2x y xy +=，所以121y x +=，然后1242=(+2y)(+)=48x y x y x y x y x +++≥，当且仅当4x y y x =即24x y ==时取等号.例2：（1）已知,x y R *∈，1x y +=，求 1213 x y +++的最小值；（2）已知,x y R *∈，1x y +=，求2211x y x y +++的最小值；（3）已知,x y R *∈，1x y +=，求1223 x y y +++的最小值；（4）已知,x y R *∈，231x y +=，求123x y y +++的最小值； 【解析】这四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数. 【答案】（1）整式变形成113x y +++=，

不等式复习资料(教师)

不等式复习资料 1 ?已知f3为R 上的减函数，贝IJ 满足f （丄）>f （l ）的实数W 的取值范围是（ ） X A. (—8,1) B ?(1,+8) C ?(―8,0)U (0,1) D ?(―8, 0)U (I, + 8) 【答案】D fx>0 2x-2y+l<0 【答案】B 5. 当XG （1,2）时，不等式x 2+/m+4<0恒成立，则加的取值范围是 ________________ 。 【答案】（一8，—5] 6. 在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4俩甲型货车和 8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台：每辆乙型货 车 运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费 用为（ ） A. 2000 元 B. 2200 元 C. 2400 元 D. 2800 元 【答案】B 0100 2.在约束条件! y0且XH I 时，lgx+ 1 >2 lgx C.当x>2^.x +丄的最小值为2 x B ?当x>0时，肩+4=?2 D.当0VXS2时,兀一丄无最大值 x 4.已知正数X 、 y 满足v 2x-y<0 x-3v+5>0 则z = 2 2x+y 的最大值为（ A. 8 【答案】 B. 16 C. 32 D. 64

不等式证明的常用基本方法

证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 0;②a 2+b 2≥2(a -b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,其中所 有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.

基本不等式完整版(非常全面)

基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则2 2 2 2 2 ()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 222 222 2 1 2311 23112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：222 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： 1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2 2 3 3 22-≥- 题型二：利用不等式求函数值域 1、求下列函数的值域 （1）2 2 21 3x x y += （2）)4(x x y -=

不等式及其性质(教师版)

一、不等式及其性质 【学习目标】 1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系； 2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用； 3．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质； 【要点梳理】 要点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号读法意义 “≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大 “≤”读作“小于或等 于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥”读作“大于或等 于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x 表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 类型一、不等式的概念 例1. 判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式． （1）4＜5； （2）x2+1＞0； （3）x＜2x-5； （4）x=2x+3； （5）3a2+a； （6）a2+2a≥4a-2． 变式练习： 1.（2017春?城关区校级期末）贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（） A．18＜t＜27 B．18≤t＜27 C．18＜t≤27D．18≤t≤27 2.（2017春?未央区校级月考）下列式子：①a+b=b+a；②-2＞-5；③x≥-1；④

高中数学基本不等式证明

不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--

基本(均值不等式)不等式知识点基础练习

VIP 免费 欢迎下载 学生姓名： 任课教师： 试卷审查教师： 测试科目： 涉及章节： 教师评语： 不等是知识点 ★ 知 识 梳理 ★ 1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,则2a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立. 2求最值:当ab 为定值时,22,a b a b ++有最小值;当a b +或22a b +为定值时,ab 有最大值(0,0a b >>). 3.拓展：若0,0a b >>时,22 2 1122a b a b ab a b ++≤≤≤+,当且仅当a b =时等号成立. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：理解基本不等式2 a b ab +≤ 等号成立条件，掌握用基本不等式证明不等式 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 2.难点：利用基本不等式2a b ab +≤求最大值、最小值 3.重难点：正确运用基本不等式证明不等式，会用基本不等式求某些函数的最值 二 方法技巧讲解 (1) 灵活运用基本不等式处理不等关系 问题1. 已知正数x 、y 满足x +2y =1，求 x 1+y 1的最小值. 点拨：∵x 、y 为正数，且x +2y =1， 日期： 2012- 时间：

∴x 1+y 1=（x +2y ）（x 1+y 1） =3+x y 2+y x ≥3+22， 当且仅当 x y 2=y x ，即当x =2－1，y =1－22时等号成立. ∴x 1+y 1的最小值为3+22. （2）注意取等号的条件 问题2. 已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y ++ 的最小值为 。 点拨： 错解1、因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y ++≥4,所以z 的最小值是4。 错解2、222222()22x y xy z xy xy xy xy xy +-==+-≥22(21)-=-，所以z 的最小值是2(21)-。 错因分析：解一等号成立的条件是11,11,1x y x y x y x y ====+=且即且与相矛盾。解二等号成立的条件是2,2xy xy xy ==即，与104 xy <≤相矛盾。 解析：z=11()()x y x y ++=1y x xy xy x y +++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-，令t=xy, 则210( )24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4?? ???上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值254 。 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型1. 当积ab 为定值时,求和a b +最小值

不等式及其性质(教师版)

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一、不等式及其性质 【学习目标】 1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系； 2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用； 3．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质； 【要点梳理】 要点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2) (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 类型一、不等式的概念 例1.判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式． 例2.（1）4＜5； 例3.（2）x2+1＞0； 例4.（3）x＜2x-5； 例5.（4）x=2x+3； 例6.（5）3a2+a；

例7. （6）a 2+2a≥4a -2． 变式练习： 1.（2017春?城关区校级期末）贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t ℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（ ） A ．18＜t ＜27 B ．18≤t ＜27 C ．18＜t≤27 D ．18≤t≤27 2.（2017春?未央区校级月考）下列式子：①a+b=b+a ；②-2＞-5；③x≥-1；④ 31y-4＜1；⑤2m≥n ；⑥2x-3，其中不等式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3.（2017春?南山区校级月考）下面给出了6个式子：?3＞0； x+3y ＞0； x=3；④x-1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0；其中不等式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 4.（2017春?太原期中）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x 辆，租用30座客车y 辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是（ ） A ．两种客车总的载客量不少于500人 B ．两种客车总的载客量不超过500人 C ．两种客车总的载客量不足500人 D ．两种客车总的载客量恰好等于500人 5.已知有理数m ，n 的位置在数轴上如图所示，用不等号填空． （1）n-m 0；（2）m+n 0；（3）m-n 0；（4）n+1 0；（5）m?n 0； （6）m+1 0． 例2．用不等式表示： (1)x 与-3的和是负数； (2)x 与5的和的28％不大于-6; (3)m 除以4的商加上3至多为5． 举一反三： 【变式】a a 的值一定是（ ）．

上海昂立智立方数学高中 高一(秋季班) 高数—10秋—08—基本不等式—翁军成-教师版

高一数学秋季班（教师版）教师日期 学生 课程编号08课型同步复习课题基本不等式 教学目标 1.掌握基本不等式的概念； 2.掌握几个重要不等式； 3.掌握比较法，综合法，分析法证明不等式的基本思路； 4.掌握简单基本不等式的相关证明问题； 教学重点 1.掌握不等式的使用条件； 2.掌握不等式的变形； 3.掌握多次使用不等式的方法； 教学安排 版块时长1知识梳理10 2例题解析60 3巩固训练40 4师生总结10 5课后练习60

一、基本不等式： 1.若,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号 2.（1）“积定和最小”：ab b a 2≥+?如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值 2P ； （2）“和定积最大”：2 2? ? ? ??+≤b a ab ?如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S 。 3.若,a b R + ∈，22 22 a b a b ab ++≥≥ 加权平均》算术平均》几何平均 二、均值不等式：若a 、b 为正数，则2 a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号 变式：2 2 2 ()22 a b a b ab ++≥ ≥ 推广：123,,,,n a a a a L 是n 个正数，则 12n a a a n +++L 称为这n 个正数的算术平均 数，12n n a a a ???L 称为这n 个正数的几何平均数， 它们的关系是： 1212n n n a a a a a a n ++???+≥??????， 当且仅当12n a a a ===L 时等号成立。 知识梳理 基本不等式

基本不等式完整版(非常全面)

2 8 基本不等式专题辅导 2 2 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若 a,b R ,则 a b 2 ab 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若 a,b R *，则 2 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数 的和为定植时，它们的积有最小值； a b 6、柯西不等式 （1）若 a, b,c, d R ，则（a 2 b 2）（c 2 d 2） （ac bd ）2 (2) 若 a 1, a 2, a 3, bi, b 2, b 3 R ，则有： 2 2 2 2 2 2 2 (a 1 a 2 a 3 )(柑 b ? b 3 ) (aQ a ?b 2 a s b s ) (3) 设a 1,a 2, ,a n 与 db, ,b 是两组实数，则有 2 2 2 p22 2 佝 a 2 a . )(0 b 2 b n )(日山 a 2b 2 a n b n ) 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 (1)若 a,b R ，则 a 2 b 2 2ab 1、设a,b 均为正数，证明不等式：、.ab 二 (2)右 a, b R ，则 ab a,b,c 为两两不相等的实数， (2)若 a, b R ,则 ab b 2 ab bc ca 4、求最值的条件：“一正， 二定，三相等” 5、常用结论 1 (1)若 x 0，则 x — 2 （当且仅当 x 1时取“=”) x 1 (2)若 x 0,则 X - 2 （当且仅当 x 1时取 “=”) X (3)若 ab 0,则-- 2 （当且仅当 a b 时取 “=”) b a 2 2 (4)若 a, b R ，则 ab （ 旦 b)2 a b 2 2 (5)若 a, b R ，贝U 1 . a ab b a 2 b 2 v ------ 1 1 2 2 (1 已知a a,b,c a )(1 1, 求证: b)(1 c) 8abc a, b, c R

高中数学不等式知识点总结教师版

高中数学不等式专题教师版 一、 高考动态 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ 二、不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a b b a （对称性） （2）c a c b b a >?>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+?>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>? <（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b ab +（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小；

4 基本不等式的证明(1)

4、基本不等式的证明（1） 目标： (,0)2 a b a b +≥的证明过程，并能应用基本不等式证明其他不等式。 过程： 一、问题情境 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 a 。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计） ，那么a 并非物体的实际质量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b 。那么如何合理的表示物体的质量呢？ 把两次称得的物体的质量“平均”一下，以2 a b A +=表示物体的质量。这样的做法合理吗？ 设天平的两臂长分别为12,l l ，物体实际质量为M ，据力学原理有1221,l M l a l M l b == ，有2,M ab M == ,0a b >时，2 a b +叫,a b ,a b 的几何平均数 2 a b + 二、建构 一般，判断两数的大小可采用“比较法”： 02a b +-=≥ 2 a b +≤（当且仅当a b =时取等号） 说明：当0a =或0b =时，以上不等式仍成立。 从而有 2 a b +≤(0,0)a b ≥≥（称之“基本不等式” ）当且仅当a b =时取等号。 2 a b +≤的几何解释： 如图,,2 a b OC CD OC CD +≥== 三、运用 例1 设,a b 为正数，证明：1(1)2(2)2b a a a b a +≥+≥ 注意：基本不等式的变形应用 2,2a b a b ab +??≤+≤ ???

例2 证明： 22(1)2a b ab +≥ 此不等式以后可直接使用 1(2)1(1)1 x x x + ≥>-+ 4(3)4(0)a a a +≤-< 2 2≥ 2 2> 例3 已知,0,1a b a b >+=，求证：123a b +≥+ 四、小结 五、作业 反馈32 书P91 习题1，2，3

5第五讲 不等关系与基本不等式(教师版) - 副本 - 副本

第一课时：不等式关系与不等式 知识点一 不等关系 思考 限速40km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km /h ，用不等式如何表示？ 答案 v ≤40. 梳理 试用不等式表示下列关系： (1)a 大于b a ＞b (2)a 小于ba b ?a －b >0；a ＝b ?a －b ＝0； a b ?b b ，b >c ?a >c (传递性)； 第三节.不等关系与基本不等式 基本不等式

(3)a >b ?a ＋c >b ＋c (可加性)； (4)a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac b ，c >d ?a ＋c >b ＋d ； (6)a >b >0，c >d >0?ac >bd ； (7)a >b >0?a n >b n (n ∈N ＋)； (8)a >b >0n ∈N ＋)． 类型一 用不等式(组)表示不等关系 例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 考点 用不等式(组)表示不等关系 题点 用不等式(组)表示不等关系 解 提价后销售的总收入为? ?? ?? 8－x －2.50.1×0.2x 万元， 那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式? ?? ?? 8－x －2.50.1×0.2x ≥20. 反思与感悟 数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时： (1)要先读懂题，设出未知量； (2)抓关键词，找到不等关系； (3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范． 跟踪训练1 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm

基本不等式专题----完整版(非常全面)

学习必备 欢迎下载 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2)2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则 2 2111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当 b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,abc d R ∈，则22222 () ()()a b c d a c b d ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 2 2 2 (a a a ++???+)2 2 2 )b b b ++???+(2 ()a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：222 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： a b c c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： 1111118a b c ?????? ---≥ ???????????

教案7——不等式证明(教师)

教案7 不等式证明 一、课前检测 1．若0>x ，则x x 432+ +的最小值是_________．342+ 2. 已知1>x ，1>y ，且4lg lg =+y x ，则y x lg lg 的最大值为（ B ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．41 3. 设a 、b 是正实数，则下列不等式中不成立的是（ D ） (A)221≥++ab b a (B)4)11)((≥++b a b a (C)b a ab b a +≥+2 2 (D)ab b a ab ≥+2 4. 设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y )的最小值为( B ) （A ） 6 （B ）9 （C ）12 （D ）15 二、知识梳理 1. ．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分_______________两种形式．比差、比商 (1)作差比较法，它的依据是________________： ?? ????>-b a b a b a b a b a b a 000 它的基本步骤：___________________，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等． 作差——变形——判断

(2) 作商比较法，它的依据是：____________________________ 若a >0，b >0，则 ???? ???>b a b a b a b a b a b a 111 它的基本步骤是：作商——变形——判断商与1的大小．它在证明幂、指数不等式中经常用到． 2．综合法：综合法证题的指导思想是___________(“由因导果”)，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论． 3．分析法：分析法证题的指导思想是_____________(“由果索因”)，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立。 三、典型例题分析 例1. 已知0,0>>b a ，求证： b a a b b a +≥+ 证法1： )(b a a b b a +-+ ＝ ab ab b a b a )()()(33+-+ ＝ ab b ab a b a ])(2))[((22+-+ ＝ab b a b a 2 ))((-+ ∵b a +>0，ab >0，0)(2≥-b a ∴ 0)(≥+-+b a a b b a 即 b a a b b a +≥+ 证法2：ab ab b a ab b a b a b a a b b a -+=++=++)()()(3 3 ＝1＋1)(2 ≥-ab b a

《艺考生一轮复习》2021新高考数学 2.3 - 基本不等式 - 教师版

2.3 基本不等式 1．基本不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ﹥0，b ﹥0. (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号． (3)其中a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数． 注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误． 2．几个重要不等式： (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)． (2)b a ＋a b ≥ (a ，b 同号)． (3)ab 2 2? ? ? ??+b a (a ，b ∈R)． (4)a 2＋b 2 2 22?? ? ??+b a (a ，b ∈R)． (5)则b a 11 2 + ≤ab ≤a ＋b 2≤ 2 22b a +(a ﹥0,b ﹥0)其中当且仅当a =b 时取等号（调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数） 3．利用基本不等式求最值问题 已知x ﹥0，y ﹥0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 时，x ＋y 有最 (简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当 时，xy 有 (简记：和定积最大)． 自查自纠 1．(2)a ＝b 2．(2)2 (3)≤ (4) ≥ 3．(1)x ＝y 小值是2p (2)x ＝y 最大值是s 24 1．下列说法正确的是 ( ) A ．a ≥0，b ≥0，则a 2＋b 2≥2ab B ．函数y ＝x ＋1 x 的最小值是2

C ．函数f (x )＝cos x ＋ 4cos x ，x ∈?? ? ??2,0π的最小值等于4 D ．“x >0且y >0”是“x y ＋y x ≥2”的充分不必要条件 答案：D. 解析：选项A 中，a ＝b ＝0.1时不成立；选项B 中，当x ＝－1时y ＝－2；选项C 中，x ∈?? ? ??2,0π时，00即xy >0，故“x >0且y >0”为充分不必要条件．故选D. 2．(2020.烟台统考)在下列各函数中，最小值等于2的函数是( ) A ．x x y 1 += B ．)0(2sin 4sin π<<-+=x x x y ； C ．4 522++=x x y D ．24 -+ =x x e e y ； 答案：D 3．(2019·玉溪一中月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在?? ? ???3,21上的最小值为 ( ) A ．12 B ．4 3 C ．－1 D ．0 答案：D. 解析：因为x ∈?? ? ???3,21，所以f (x )＝x 2 －2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1 时取等号．又1∈??? ???3,21，所以f (x )在?? ? ???3,2 1上的最小值为0.故选D. 4．(2019·北京高二期末)当且仅当x ＝________时，函数y ＝4x ＋1 x (x >0)取得最小值． 答案：12 . 解析：由于x >0，由基本不等式可得y ＝4x ＋1 x ≥2 4x ·1x ＝4，当且仅当4x ＝1 x (x >0)，即当x ＝12时，等号成立．故填12 . 5．(2019·河南高考模拟)若实数x ，y 满足2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 答案：－2. 解析：由题得2x ＋2y ≥22x ·2y ＝2 2x ＋y (当且仅当x ＝y ＝－1时取等号)，