5第五讲 不等关系与基本不等式(教师版) - 副本 - 副本
第一课时：不等式关系与不等式
知识点一 不等关系
思考 限速40km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km /h ，用不等式如何表示？ 答案 v ≤40.
梳理 试用不等式表示下列关系： (1)a 大于b a ＞b (2)a 小于ba
思考 x 2＋1与2x 两式都随x 的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x 2＋1与2x 的大小，而且具有说服力吗？
答案 作差：x 2＋1－2x ＝(x －1)2≥0，所以x 2＋1≥2x . 梳理
作差法的理论依据：a >b ?a －b >0；a ＝b ?a －b ＝0； a
知识点三 不等式的基本性质 不等式性质： (1)a >b ?b b ，b >c ?a >c (传递性)；
第三节.不等关系与基本不等式 基本不等式
(3)a >b ?a ＋c >b ＋c (可加性)；
(4)a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac
(8)a >b >0n ∈N ＋)．
类型一 用不等式(组)表示不等关系
例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
考点 用不等式(组)表示不等关系 题点 用不等式(组)表示不等关系
解 提价后销售的总收入为? ??
??
8－x －2.50.1×0.2x 万元，
那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式? ??
??
8－x －2.50.1×0.2x ≥20.
反思与感悟 数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时： (1)要先读懂题，设出未知量； (2)抓关键词，找到不等关系；
(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．
跟踪训练1 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm
的钢管数量不能超过500mm 钢管数量的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？ 考点 用不等式(组)表示不等关系 题点 用不等式(组)表示不等关系
解 设截得500mm 的钢管x 根，截得600mm 的钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系： (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm ；
(2)截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负．
要同时满足上述的三个不等关系，可以用不等式组表示为?????
500x ＋600y ≤4000，
3x ≥y ，
x ≥0，x ∈N
y ≥0，y ∈N .
类型二 比较大小 例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．
考点 实数大小的比较 题点 作差法比较大小
解 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )
＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )． 当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2； 当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.
反思与感悟 比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号．作差法比较实数大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．
跟踪训练2 已知x <1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．
考点 实数大小的比较 题点 作差法比较大小
解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)???
?????x －122＋34
， 又∵????x －122＋3
4＞0，x －1<0， ∴(x －1)???
?????x －122＋3
4
<0， ∴x 3－1<2x 2－2x .
类型三 不等式的基本性质 例3 已知a >b >0，c <0，求证：c a >c
b .
考点 不等式的性质 题点 不等式的性质
证明 因为a >b >0，所以ab >0，1
ab >0.
于是a ×1ab >b ×1ab ，即1b >1a .由c <0，得c a >c
b
.
反思与感悟 有关不等式的证明，最基本的依据是不等式的8条基本性质，在解不等式时，对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质．
跟踪训练3 如果a >b >0，c >d >0，证明：ac >bd . 考点 不等式的性质 题点 不等式的性质
证明
????
? ?
??a >b >0c >0
?ac >bc >0
?
??
c >
d >0b >0?bc >bd >0?ac >bd .
第二课时：基本不等式
知识点一 算术平均数与几何平均数
思考 如图，AB 是圆O 的直径，点Q 是AB 上任一点，|AQ |＝a ，|BQ |＝b ，过点Q 作PQ 垂直于AB 交圆O 于点P ，连接AP ，PB .如何用a ，b 表示PO ，PQ 的长度？
答案 |PO |＝
|AB |2＝a ＋b
2
.易证Rt △APQ ∽Rt △PBQ ，那么|PQ |2＝|AQ |·|QB |，即|PQ |＝ab . 梳理 如果a ，b 都是非负数，那么a ＋b
2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．我们称上述不等式为基本不
等式，又称为均值不等式．其中a ＋b
2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数．两个非负数的
算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点二 基本不等式及其常见推论 ab ≤
a ＋b
2
(a ≥0，b ≥0)．当a ，b 赋予不同的值时，可得以下推论： (1)ab ≤????a ＋b 22≤a 2
＋b
2
2(a ，b ∈R )； (2)b a ＋a
b
≥2(a ，b 同号)； (3)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．
知识点三 用基本不等式求最值
思考 因为x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．所以当x ＝1时，(x 2＋1)min ＝2. 以上说法对吗？为什么？ 答案 错．显然(x 2＋1)min ＝1.
x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．仅说明曲线y ＝x 2＋1恒在直线y ＝2x 的上方，仅在x ＝1时有公共点，但该点不是y ＝x 2＋1的最低点．
使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错． 梳理 基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数；
(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值； (3)等号成立的条件是否满足．
类型一 常见推论的证明
例1 证明不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． 考点 基本不等式的理解 题点 基本不等式的理解
证明 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，
∴a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 引申探究
证明不等式? ??
??a ＋b 22≤a 2＋b 2
2(a ，b ∈R )．
证明 由例1，得a 2＋b 2≥2ab ， ∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ，
两边同除以4，即得? ??
??a ＋b 22≤a 2＋b 2
2，当且仅当a ＝b 时，取等号．
反思与感悟 作差法与不等式性质是证明中常用的方法．
跟踪训练1 已知a ，b ，c 为任意的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 考点 基本不等式的理解 题点 基本不等式的理解
证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ；b 2＋c 2≥2bc ；c 2＋a 2≥2ca ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 类型二 用基本不等式证明不等式 例2 已知x ，y 都是正数．
求证：(1)y x ＋x
y
≥2；
(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3. 考点 基本不等式证明不等式 题点 运用基本不等式证明不等式 证明 (1)∵x ，y 都是正数， ∴x y >0，y
x >0， ∴y x ＋x y
≥2y x ·x y ＝2，即y x ＋x
y
≥2， 当且仅当x ＝y 时，等号成立． (2)∵x ，y 都是正数， ∴x ＋y ≥2xy >0，
x 2＋y 2≥2x 2y 2>0，x 3＋y 3≥2x 3y 3>0. ∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3) ≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3， 即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3， 当且仅当x ＝y 时，等号成立．
反思与感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 跟踪训练2 已知a ，b ，c 都是正实数，求证：(a ＋b )(b ＋c )·(c ＋a )≥8abc . 考点 基本不等式证明不等式 题点 运用基本不等式证明不等式
证明 ∵a ，b ，c 都是正实数，
∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥2ab ·2bc ·2ca ＝8abc . 即(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 类型三 基本不等式与最值
例3 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4
x 的最小值，并求此时x 的值；
(2)设0 2，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值； (3)已知x >2，求x ＋4 x －2 的最小值； (4)已知x >0，y >0，且1x ＋9 y ＝1，求x ＋y 的最小值． 考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 解 (1)当x >0时，x ＋4 x ≥2 x ·4 x ＝4， 当且仅当x ＝4 x ，即x 2＝4，x ＝2时取等号． ∴函数y ＝x ＋4 x (x >0)在x ＝2处取得最小值4. (2)∵0 2，∴3－2x >0， ∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2?? ?? ??2x ＋(3－2x )22＝9 2. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝3 4 时，等号成立． ∵34∈????0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )????0 ＋2≥2 (x －2)·4 x －2 ＋2＝6， 当且仅当x －2＝4 x －2， 即x ＝4时，等号成立．∴x ＋ 4 x －2的最小值为6. (4)方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9 y ＝1， ∴x ＋y ＝????1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y ＋10≥2y x ·9x y ＋10＝6＋10＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，1x ＋9 y ＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 方法二 由1x ＋9 y ＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)． 由1x ＋9 y ＝1，x >0，y >0，可知x >1，y >9， ∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2 (x －1)(y －9)＋10＝16， 当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号， 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备． 跟踪训练3 (1)已知x >0，求f (x )＝12 x ＋3x 的最小值； (2)已知x <3，求f (x )＝4 x －3＋x 的最大值． 考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 解 (1)∵x >0，∴f (x )＝12 x ＋3x ≥2 12x ·3x ＝12， 当且仅当3x ＝12 x ，即x ＝2时取等号， ∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3，∴x －3<0， ∴f (x )＝4 x －3＋x ＝4 x －3 ＋x －3＋3＝－?????? 43－x ＋3－x ＋3≤－2 4 3－x ·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当4 3－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号． ∴f (x )的最大值为－1. 类型四 基本不等式在实际问题中的应用 命题角度1 几何问题的最值 例2 (1)用篱笆围一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (2)一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 考点 基本不等式的实际应用 题点 基本不等式的实际应用 解 (1)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ， 则xy ＝100，篱笆的长为2(x ＋y )m. 由x ＋y 2≥xy ，可得x ＋y ≥2100，2(x ＋y )≥40. 当且仅当x ＝y ＝10时等号成立． 所以这个矩形的长、宽都为10m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m. (2)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2. 由xy ≤x ＋y 2＝18 2＝9，可得xy ≤81， 当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立． 所以这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积为81m 2. 反思与感悟 利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件． 跟踪训练4 以斜边为2的直角三角形的斜边所在的直线为轴旋转一周得一几何体，求该几何体体积的最大值，并求此时几何体的表面积． 考点 基本不等式的实际应用 题点 基本不等式的实际应用 解 如图，设Rt △ABC 的斜边AB ＝2，AC ＝b ，BC ＝a ，CD 为斜边上的高，则CD ＝AC ×BC AB ＝ab 2，且a 2 ＋b 2＝4. 则以AB 所在的直线为轴旋转一周所得的几何体的体积为V ＝13π·CD 2×AD ＋1 3π×CD 2×DB ＝13π·CD 2×AB ＝13π×????ab 22×2＝π 6(ab )2. 由a 2＋b 2＝4与a 2＋b 2≥2ab 得 ab ≤2，当且仅当a ＝b ＝2时，取“＝”． 所以V ＝π6(ab )2≤π6×22＝2π3.即当a ＝b ＝2时，V max ＝2π3. 此时该几何体的表面积为 S ＝π·CD ×AC ＋π·CD ×BC ＝π·CD ×(AC ＋BC )＝π×2×2 2 (2＋2)＝22π. 即几何体的表面积为22π. 命题角度2 生活中的最优化问题 例5 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 考点 基本不等式的实际应用 题点 基本不等式的实际应用 解 设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨． 由题意可知，面粉的保管及其他费用为 3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)． 设平均每天所支付的总费用为y 元， 当且仅当9x ＝900 x ，即x ＝10时，等号成立． 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． 引申探究 若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？ 解 设x 1，x 2∈[15，＋∞)，且x 1 ?9x 2＋900 x 2＋10809 ＝9(x 1－x 2)＋900????1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)????9－900x 1x 2＝(x 1－x 2)? ???? 9x 1x 2－900x 1x 2. ∵15≤x 1 ???? 9x 1x 2－900x 1x 2 <0， 即y ＝9x ＋900 x ＋10809在[15，＋∞)上为增函数． ∴当x ＝15，即每15天购买一次面粉时，平均每天支付的费用最少． 反思与感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解． 跟踪训练5 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于??? ?v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 考点 基本不等式的实际应用 题点 基本不等式的实际应用 答案 8 解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则 t ＝ 400＋16??? ?v 202 v ＝400v ＋16v 400≥2 400v ×16v 400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v 400，即v ＝100时，等号成立， 所以这批货物全部运到B 市，最快需要8小时． 不等关系 1．设x ax >a 2 C ．x 2a 2>ax 考点 不等式的性质 题点 不等式的性质 答案 B 解析 ∵x 2－ax ＝x (x －a )>0，∴x 2>ax . 又ax －a 2＝a (x －a )>0，∴ax >a 2，∴x 2>ax >a 2. 2．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bc C ．a |b |>c |b | D ．a 2>b 2>c 2 考点 不等式的性质 题点 不等式的性质 答案 A 解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0， 知a >0，c <0，????? a >0， b > c ， 则ab >ac . 3．已知a ，b 为非零实数，且a a 2b D.b a 考点 不等式的性质 题点 不等式的性质 答案 C 解析 对于A ，在a 0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b a 2 b ； 对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝a b ＝－1. 4．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围是________． 考点 不等式的性质 题点 利用不等式性质求表达式取值范围 答案 [－1,6] 解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1， 又1≤a ≤5，∴－1≤a －b ≤6. 5．若x ∈R ，则x 1＋x 2 与1 2的大小关系为________． 考点 实数大小的比较 题点 作差法比较大小 答案 x 1＋x 2≤12 解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1) 2 2(1＋x 2) ≤0， ∴ x 1＋x 2≤12 . 6．已知a ＞b ＞0，c b －d . 考点 不等式的性质 题点 不等式的性质 证明 ∵c ∴0< 1 a －c <1 b －d ， 又∵e <0， ∴ e a －c ＞e b －d . 基本不等式 1．若a ，b ∈R 且ab >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 考点 基本不等式的理解 题点 基本不等式的理解 答案 D 解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误； 对于B ，C ，当a <0，b <0时，显然错误； 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a b ≥2 b a ·a b ＝2， 当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．若x >0，y >0且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1x ＋y ≥14 B.1x ＋1 y ≥1 C.xy ≥2 D.1xy ≥1 考点 基本不等式比较大小 题点 利用基本不等式比较大小 答案 B 解析 若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y 4＝1， ∴1x ＋1y ＝1 4(x ＋y )????1x ＋1y ＝14????2＋y x ＋x y ≥14×(2＋2)＝1， 当且仅当x ＝y ＝2时，等号成立． 3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4 b 的最小值是( ) A.72B ．4C.9 2D ．5 考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 答案 C 解析 ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b 2 ＝1. ∴1a ＋4b ＝????1a ＋4b ? ????a ＋b 2＝52＋2a b ＋b 2a ≥5 2 ＋22a b ·b 2a ＝9 2 ????当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a ＝43时，等号成立，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92 . 4．设a ，b 为非零实数，给出不等式： ①a 2＋b 22≥ab ；②a 2＋b 22≥????a ＋b 22；③a ＋b 2≥ab a ＋ b ； ④a b ＋b a ≥2.其中恒成立的不等式是________． 考点 基本不等式的理解 题点 基本不等式的理解 答案 ①② 解析 由基本不等式a 2＋b 2≥2ab ，可知①正确；a 2＋b 22＝2(a 2＋b 2)4＝(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)4≥a 2＋b 2＋2ab 4＝ (a ＋b )2 4＝? ????a ＋b 22，可知②正确；当a ＝b ＝－1时，不等式的左边为a ＋b 2＝－1，右边为ab a ＋b ＝－1 2，可知③不正确；当a ＝1，b ＝－1时，可知④不正确． 5．设0 解析 ∵0 ∴y ＝ 3x (8－3x )≤3x ＋(8－3x )2＝8 2 ＝4， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝4 3时，取等号． ∴当x ＝4 3 时，y ＝ 3x (8－3x )有最大值4. 6．某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层，每层4000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3000＋50x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？ (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 考点 基本不等式的实际应用 题点 基本不等式的实际应用 解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元， 依题意得f (x )＝Q (x )＋8000×100004000x ＝50x ＋20000 x ＋3000(x ≥12，x ∈N ＋)， f (x )＝50x ＋20000 x ＋3000≥2 50x ·20000x ＋3000＝5000(元)． 当且仅当50x ＝20000 x ，即x ＝20时，上式取等号， 所以当x ＝20时，f (x )取得最小值5000元． 所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用的最小值为5000元． 课题: §3.1不等式与不等关系 第2课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 【教学重点】 掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式； 【教学难点】 利用不等式的性质证明简单的不等式。 【教学过程】 1.课题导入 在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。 请同学们回忆初中不等式的的基本性质。 （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变； >?±>± 即若a b a c b c （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变； 即若,0 a b c ac bc >>?> （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。 即若,0 a b c ac bc > ∴a ＋c ＞b ＋c 2）()()0a c b c a b +-+=->Q ， ∴a c b c +>+． 实际上，我们还有,a b b c a c >>?>，（证明：∵a ＞b ，b ＞c ， ∴a －b ＞0，b －c ＞0． 根据两个正数的和仍是正数，得 (a －b)＋(b －c)＞0， 即a －c ＞0， ∴a ＞c ． 于是，我们就得到了不等式的基本性质： （1）,a b b c a c >>?> （2）a b a c b c >?+>+ （3）,0a b c ac bc >>?> （4）,0a b c ac bc >>?+>+； （2）0,0a b c d ac bd >>>>?>； （3）0,,1n n a b n N n a b >>∈>?>> 证明： 1）∵a ＞b ， ∴a ＋c ＞b ＋c ． ① ∵c ＞d ， ∴b ＋c ＞b ＋d ． ② 由①、②得 a ＋c ＞b ＋d ． 2）bd ac bd bc b d c bc ac c b a >?? ??>?>>>?>>0,0, 不等关系与基本不等式同步练习题（一） （时间：120分钟 满分：150分） A.基础卷 一、选择题（5×8=40分） 1．函数)2(2 1 >-+ =x x x y 的最小值为( ) A. 2 B ． 3 C ． 4 D ．23 2．不等式0)31(>-x x 的解集是（ ） A ．)31,(-∞ B ． )31,0()0,( -∞ C ． ),31(+∞ D ．)3 1,0( 3．已知,R b a ∈、且0>ab ，则下列不等式不正确的是( ) A ．b a b a ->+ B ．b a b a +<+ C ．b a ab +≤2 D ． 2≥+b a a b 4．已知无穷数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，则有（ ） Ａ． 8 6 64a a a a ≤ Ｂ． 8664a a a a < Ｃ．8664a a a a > Ｄ．8664a a a a ≥ ５．已知01,0<<-> Ｂ．a ab ab >>2 Ｃ．2 ab a ab >> Ｄ．a ab ab >>2 ６.已知,1117,32-≤<-<≤-y x 则1 2 -y x 的取值范围是（ ） Ａ．??? ??-- 92,43 Ｂ．??? ??-0,43 Ｃ．??? ??-0,21 Ｄ．??? ??-0,43 ７．若 ,11 <++b a a b 则b a 与中必（ ） Ａ．一个大于１，一个小于１ Ｂ．两个都大于１ Ｃ．两个都小于１ Ｄ．两个的积小于１ 8．已知,,d c b a >>则（ ） Ａ． d b c a ->- Ｂ． c b d a > Ｃ．a d b c ->- Ｄ．bd ac > 基本不等式中“1 的妙用” 例1：（1）已知,x y R *∈，21x y +=，求12x y +的最小值；（2）已知,x y R *∈，23x y +=，求12x y +的最小值；（3）已知,x y R *∈，322x y +=，求62x y +的最小值；（4）已知,x y R *∈，2x y xy +=，求2x y +的最小值； 【解析】这四个题目中，（1）是“1的替换”的最基础题目，已知整式的值为1，求分式的最小值，（2）是将已知值变成了3，需要调节系数，（3）是已知分式的值求整式的最值，（4）对分式进行等价变换. 【答案】（1）121222(2)()1459x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=，当且仅当22x y y x =即13 x y ==时取等号. （2）121121221(2)(1453333x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=（）（，当且仅当22x y y x =即13 x y ==时取等号. （3）1323662=(2)92182y x x y x y x y x y +++=+++≥+，当且仅当63x y y x =即 2 y ==时取等号. （4）因为2x y xy +=，所以121y x +=，然后1242=(+2y)(+)=48x y x y x y x y x +++≥，当且仅当4x y y x =即24x y ==时取等号.例2：（1）已知,x y R *∈，1x y +=，求 1213 x y +++的最小值；（2）已知,x y R *∈，1x y +=，求2211x y x y +++的最小值；（3）已知,x y R *∈，1x y +=，求1223 x y y +++的最小值；（4）已知,x y R *∈，231x y +=，求123x y y +++的最小值； 【解析】这四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数. 【答案】（1）整式变形成113x y +++=， 不等关系与不等式 【学习目标】 1．了解不等式(组)的实际背景． 2．掌握比较两个实数大小的方法． 3．掌握不等式的八条性质． 【学法指导】 1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言” 转化成“数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可． 2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论． 3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形． 一、知识温故 a－b＞0?； a－b＝0?； a－b＜0?. 3．常用的不等式的基本性质 (1)a>b?b a(对称性)； (2)a>b，b>c?a c(传递性)； (3)a>b?a＋c b＋c(可加性)； (4)a>b，c>0?ac bc；a>b，c<0?ac bc； (5)a>b，c>d?a＋c b＋d； (6)a>b>0，c>d>0?ac bd； (7)a>b>0，n∈N，n≥2?a n b n； (8)a>b>0，n∈N，n≥2?n b. 二、经典范例 问题探究一实数比较大小 问题1(实数比较大小的依据) 在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左 边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质： 如果a－b是正数，那么； 如果a－b是负数，那么； 如果a－b等于零，那么. 以上结论反过来也成立，即a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b. 问题2(作差法比较实数的大小) 向一杯a克糖水中加入m克糖，糖水变得更甜了．你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？并证明你的结论． 问题探究二不等式的基本性质 问题3在实数大小比较的基础上，可以给出不等式八条基本性质的严格证明．证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质． 请同学们借助前面的性质证明性质6： 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd. 不等关系与不等式（第一课时） 一、教学任务分析 1、感受不等关系的普遍存在 通过一系列的具体情境，使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系。 2、利用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 通过具体问题情境，让学生学习如何利用不等式（组）研究及表示不等关系，进一步理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 3、初步掌握运用作差比较法比较实数和代数式的大小。 二、教学重点和难点 重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。 三、教学基本流程 四、教学情景设计 1、引入：章头图及古诗《题西林壁》引入，介绍不等量关系也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中也起着重要的作用，也正是实际问题的需要我们要研究不等量关系。介绍本章将要研究表示不等量关系的不等式的基本知识。 设计意图：使学生体会不等关系的普遍存在，了解学习不等式的意义。 2、创设情境，让学生感受生活中的不等关系。 师：多媒体出示情景：（1）交通标志(限速、限高、限宽)；（2）商家打折海报（一折起、低至几折）；（3）产品含量指标。问：表示什么含义？怎么表示其中的不等关系？ 生：分析各种不等关系，口答并尝试用不等式（组）表示。 师：引导学生准确表述，给出不等式定义，板书学生口答的各问题中不等式（组）。 设计意图：进一步让学生感受生活中的不等关系，知道用不等式（组）表示这种不等关系。 3、知识探究一：具体情境中如何用不等式研究及表示不等关系。 师：多媒体出示问题1（销售收入问题）、2（实际安排生产问题）。 学生：独立思考后，与本组同学交流讨论结果。完成后交流展示，小组代表板书结果，并说明式子的含义。 师：点评学生结果，找有不同结果的小组讲解不同方法或补充，引导学生分析比较。 设计意图：问题方式给出，强化学生的问题意识，使学生在具体问题情境中经历如何利用不等式研究及表示不等关系。小组合作探究，使学生交流对于问题的认识。展示不同结果，使学生认识思考问题严谨性和不同角度。师最后介绍两问题中反映的生产要求如何解决，是本章后续章节会解决的问题。激发学生学习欲望，体会数学知识与生活的密切相关。 4、知识探究二：比较实数和代数式大小的方法——作差法。 生：结合学案上知识探究二中所填结果，与同组学生交流结论。 师：提问引导学生表述：要比较两数或代数式大小，可以让两数或两式相减，比较结果和0的大小。若结果大于0，则前者大于后者；若……。 设计意图：让学生分析作差法具体做法，明确这种比较大小的方法如何运用。 5、课堂练习：作差法比较代数式的大小。 生：可独立完成，也可与同组同学交流，在规定时间完成。 师：巡视，指导学生疑难处，找完成好的两生板演结果，并让板演学生讲解。点评学生思路，进一步总结作差法中变形结果的形式： VIP 免费 欢迎下载 学生姓名： 任课教师： 试卷审查教师： 测试科目： 涉及章节： 教师评语： 不等是知识点 ★ 知 识 梳理 ★ 1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,则2a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立. 2求最值:当ab 为定值时,22,a b a b ++有最小值;当a b +或22a b +为定值时,ab 有最大值(0,0a b >>). 3.拓展：若0,0a b >>时,22 2 1122a b a b ab a b ++≤≤≤+,当且仅当a b =时等号成立. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：理解基本不等式2 a b ab +≤ 等号成立条件，掌握用基本不等式证明不等式 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 2.难点：利用基本不等式2a b ab +≤求最大值、最小值 3.重难点：正确运用基本不等式证明不等式，会用基本不等式求某些函数的最值 二 方法技巧讲解 (1) 灵活运用基本不等式处理不等关系 问题1. 已知正数x 、y 满足x +2y =1，求 x 1+y 1的最小值. 点拨：∵x 、y 为正数，且x +2y =1， 日期： 2012- 时间： ∴x 1+y 1=（x +2y ）（x 1+y 1） =3+x y 2+y x ≥3+22， 当且仅当 x y 2=y x ，即当x =2－1，y =1－22时等号成立. ∴x 1+y 1的最小值为3+22. （2）注意取等号的条件 问题2. 已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y ++ 的最小值为 。 点拨： 错解1、因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y ++≥4,所以z 的最小值是4。 错解2、222222()22x y xy z xy xy xy xy xy +-==+-≥22(21)-=-，所以z 的最小值是2(21)-。 错因分析：解一等号成立的条件是11,11,1x y x y x y x y ====+=且即且与相矛盾。解二等号成立的条件是2,2xy xy xy ==即，与104 xy <≤相矛盾。 解析：z=11()()x y x y ++=1y x xy xy x y +++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-，令t=xy, 则210( )24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4?? ???上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值254 。 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型1. 当积ab 为定值时,求和a b +最小值 a 6 Ｂ． Ｃ． Ｄ． ６.已知 - 2 ≤ x < 3,-17 < y ≤ -11, 则 的取值范围是（ ） Ａ． -? 3 2 ? ? 3 ? ? 1 ? ?3,- ? Ｂ． - ,0 Ｃ． - ,0 Ｄ． - ,0 ? ??Ａ． a - c > b - d Ｂ． a 不等关系与基本不等式同步练习题（一） （时间：120 分钟 满分：150 分） A.基础卷 一、选择题（5×8=40 分） 1．函数 y = x + 1 ( x > 2) 的最小值为( x - 2 ) A. 2 B ． 3 C ． 4 D ． 3 2 2．不等式 x (1 - 3x) > 0 的解集是（ ） 1 1 1 1 A ． (-∞, ) B ． (-∞,0) (0, ) C ． ( ,+∞) D ． (0, ) 3 3 3 3 3．已知 a 、b ∈ R, 且 ab > 0 ，则下列不等式不正确的是( ) A ． a + b > a - b B ． a + b < a + b C ． 2 ab ≤ a + b D ． b a + ≥ 2 a b 4．已知无穷数列 { n }是各项均为正数的等差数列，则有（ ） Ａ． a 4 ≤ a 6 a a ５．已知 a < 0,-1 < b < 0 ，则 a, ab, ab 2 的大小关系是（ ） Ａ． a > ab > ab 2 Ｂ． ab 2 > ab > a Ｃ． ab > a > ab 2 Ｄ． ab > ab 2 > a x 2 y - 1 ? ? 4 9 ? ? 4 ? ? 2 ? ? 4 ? ７．若 ab + 1 a + b < 1, 则 a 与 b 中必（ ） Ａ．一个大于１，一个小于１ Ｂ．两个都大于１ Ｃ．两个都小于１ Ｄ．两个的积小于１ 8．已知 a > b , c > d , 则（ ） b > Ｃ． c - b > d - a Ｄ． ac > bd d c 高一数学秋季班（教师版）教师日期 学生 课程编号08课型同步复习课题基本不等式 教学目标 1.掌握基本不等式的概念； 2.掌握几个重要不等式； 3.掌握比较法，综合法，分析法证明不等式的基本思路； 4.掌握简单基本不等式的相关证明问题； 教学重点 1.掌握不等式的使用条件； 2.掌握不等式的变形； 3.掌握多次使用不等式的方法； 教学安排 版块时长1知识梳理10 2例题解析60 3巩固训练40 4师生总结10 5课后练习60 一、基本不等式： 1.若,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号 2.（1）“积定和最小”：ab b a 2≥+?如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值 2P ； （2）“和定积最大”：2 2? ? ? ??+≤b a ab ?如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S 。 3.若,a b R + ∈，22 22 a b a b ab ++≥≥ 加权平均》算术平均》几何平均 二、均值不等式：若a 、b 为正数，则2 a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号 变式：2 2 2 ()22 a b a b ab ++≥ ≥ 推广：123,,,,n a a a a L 是n 个正数，则 12n a a a n +++L 称为这n 个正数的算术平均 数，12n n a a a ???L 称为这n 个正数的几何平均数， 它们的关系是： 1212n n n a a a a a a n ++???+≥??????， 当且仅当12n a a a ===L 时等号成立。 知识梳理 基本不等式 第一课时：不等式关系与不等式 知识点一 不等关系 思考 限速40km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km /h ，用不等式如何表示？ 答案 v ≤40. 梳理 试用不等式表示下列关系： (1)a 大于b a ＞b (2)a 小于ba b ?a －b >0；a ＝b ?a －b ＝0； a b ?b b ，b >c ?a >c (传递性)； 第三节.不等关系与基本不等式 基本不等式 (3)a >b ?a ＋c >b ＋c (可加性)； (4)a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac 2.3 基本不等式 1．基本不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ﹥0，b ﹥0. (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号． (3)其中a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数． 注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误． 2．几个重要不等式： (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)． (2)b a ＋a b ≥ (a ，b 同号)． (3)ab 2 2? ? ? ??+b a (a ，b ∈R)． (4)a 2＋b 2 2 22?? ? ??+b a (a ，b ∈R)． (5)则b a 11 2 + ≤ab ≤a ＋b 2≤ 2 22b a +(a ﹥0,b ﹥0)其中当且仅当a =b 时取等号（调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数） 3．利用基本不等式求最值问题 已知x ﹥0，y ﹥0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 时，x ＋y 有最 (简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当 时，xy 有 (简记：和定积最大)． 自查自纠 1．(2)a ＝b 2．(2)2 (3)≤ (4) ≥ 3．(1)x ＝y 小值是2p (2)x ＝y 最大值是s 24 1．下列说法正确的是 ( ) A ．a ≥0，b ≥0，则a 2＋b 2≥2ab B ．函数y ＝x ＋1 x 的最小值是2 C ．函数f (x )＝cos x ＋ 4cos x ，x ∈?? ? ??2,0π的最小值等于4 D ．“x >0且y >0”是“x y ＋y x ≥2”的充分不必要条件 答案：D. 解析：选项A 中，a ＝b ＝0.1时不成立；选项B 中，当x ＝－1时y ＝－2；选项C 中，x ∈?? ? ??2,0π时，0 2016-2017普集高中10月月考卷3 考试范围：基本不等式；考试时间：100分钟；命题人：张老师 一、选择题 1．下列函数中，最小值是2的是（ ） A ．1 y x x =+ B ．2y = C ． y = D ．3log log 3 (0,1)x y x x x =+>≠ 【答案】B 【解析】 试题分析：A ．对于函数1 y x x =+，当0 【答案】D 【解析】 试题分析：因为函数()1 3x f x a -=+得图象过一个定点P ，所以P 的坐标为()1,4，又 因 为 点 P 在直线 10 mx ny +-=上 ， 所 以 41m n +=， ()141444 417n m m n m n m n m n ?? ∴ +=++=++ ??? 1725≥+=，14m n ∴+得最小值是25，故选D. 考点：1、指数函数的性质；2、基本不等式求最值. 3．如果，4log log 33=+n m 那么m+n 的最小值是（ ） A.4 B.34 C ．9 D ．18 【答案】D 【解析】 试题分析：4log log log 333==+mn n m ，所以4 3=mn ，而182=≥+mn n m ， 故选D. 考点：基本不等式 4．若直线 1x y a b +=（a>0,b>0）过点（1,1）,则a+b 的最小值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】 试题分析：∵直线 1x y a b +=（0>a ，0>b ）过点()1,1，∴11 1=+b a ．则 ()11a b a b a b ?? +=++ ??? 224b a a b =++≥+=，当且仅当2==b a 时取等 号．故答案为：C ． 考点：基本不等式. 5．已知0a >，0b >.3a 与3b 的等比中项，则 11 a b +的最小值为（ ） §3.1 不等关系与不等式（二） 命题人 申占宝 王柏青 学习目标 1.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质进行逻辑推理。 2.会用不等式的性质证明简单的不等式。 ※ 学习重点、难点： 教学重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单不等式。 教学难点：利用不等式的性质证明简单的不等式。 (1),(2)(3),0(4),0a b b c a c a b a c b c a b c ac bc a b c ac bc >>?>>?+>+>>?>>>b a ，0>>d c ，试证明bd ac > 新知： 1. 性质6：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则） 0>>b a ，0>>d c ?bd ac > 2.性质7 如果0>>b a , 那么n n b a > )1(>∈n N n 且 0>>b a ?n n b a > 3.性质8：如果0>>b a ，那么n n b a > )1(>∈n N n 且 0>>b a ?n n b a > ※ 知识检测 2 23322.,..,..1bc ac b a D b a b a C b a b a B b a b a A >>>>>>>>则若 则若则若则 若 ） 下列命题正确的是 （ 2.下面命题中，假命题的序号是____________ ①bd ac d c b a >>>则若,, ②n n b a N k k n b a >∈+=>*则若),(12, ③c b d a d c b a >>>>>则 若,0,0 ④n n n n b a b a n N n b a >>≥∈>且则且若,2, .2110.3x x x +<+>，求证已知 .,0,0.4c b d a d c b a >>>>>求证已知 5.火车站有某公司待运的甲种货物1530t ，乙种货物1150t 。现计划用A,B 两种型号的车厢共50节运送这批货物。已知35t 甲种货物和15t 乙种货物可装满一节A 型货厢；25t 甲种货物和35t 乙种货物可装满一节B 型货厢，据此安排A,B 两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A 型货厢的运费是0.5万元，每节 题型1 基本不等式正用a ＋b ≥2ab 例1：（1）函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________； 函数f (x )＝x ＋1x (x ∈R )值域为________； （2）函数f (x )＝x 2＋1x 2＋1 的值域为________． 解析：(1)∵x >0，x ＋1x ≥2x ·1 x ＝2， ∴f (x )(x >0)值域为[2，＋∞)； 当x ∈R 时，f (x )值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x 2 ＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1 ≥2 x 2＋1 ·1x 2＋1 －1＝1， 当且仅当 x ＝0 时等号成立． 答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞) 例2：(2013·镇江期中)若x >1，则x ＋4x －1 的最小值为________． 解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1 ＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1 ，即x ＝3时等号成立． 答案：5 例3：(1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4x ＋x 的最大值为________． (1)∵x ＜0，∴－x ＞0， ∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－???? ??4－x ＋ －x . ∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2时等号成立． ∴f (x )＝2－???? ??4－x ＋ －x ≤2－4＝－2， ∴f (x )的最大值为－2. 例4：当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2 ＋1的最大值为________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号． 例5：函数y ＝x 2＋2x －1 (x >1)的最小值是________． 解析：∵x >1，∴x －1>0. ∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1 ＝x 2－2x ＋1＋2 x －1 ＋3x －1 ＝ x －1 2＋2 x －1 ＋3x －1 ＝x －1＋ 3x －1＋2 ≥2 x －1 3x －1＋2＝23＋2. 当且仅当x －1＝ 3x －1 ，即x ＝1＋3时，取等号． 答案：23＋2 例6：已知x ＞0，a 为大于2x 的常数，求y ＝ 1a －2x －x 的最小值． 解：y ＝1a －2x ＋a －2x 2－a 2≥2 12－a 2＝2－a 2 . §3.1不等式与不等关系 【教学目标】 1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 【教学重点】 掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式； 【教学难点】 利用不等式的性质证明简单的不等式。 【教法】 依据“3+1”课堂教学模式：自主探究，合作交流，展示评价，总结拓展。充分开展小组活动，实现全员参与。 【教学过程】 1.课题导入 在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。 请同学们回忆初中不等式的的基本性质。 （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变； >?±>± 即若a b a c b c （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变； 即若,0 >>?> a b c ac bc （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。 即若,0 a b c ac bc > ∴a ＋c ＞b ＋c 2）()()0a c b c a b +-+=-> ， ∴a c b c +>+． 实际上，我们还有,a b b c a c >>?>，（证明：∵a ＞b ，b ＞c ， ∴a －b ＞0，b －c ＞0． 根据两个正数的和仍是正数，得 (a －b)＋(b －c)＞0， 即a －c ＞0， ∴a ＞c ． 于是，我们就得到了不等式的基本性质： （1）,a b b c a c >>?>（2）a b a c b c >?+>+（3）,0a b c ac bc >>?>（4）,0a b c ac bc >>?+>+； （2）0,0a b c d ac bd >>>>?>； （3）0,,1n n a b n N n a b >>∈>?>>。证明： 1）∵a ＞b ， ∴a ＋c ＞b ＋c ． ①∵c ＞d ， ∴b ＋c ＞b ＋d ． ②由①、②得 a ＋c ＞ b ＋d ．2）bd a c b d bc b d c bc ac c b a >?? ??>?>>>?>>0,0, 基本不等式 1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件． 2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大(小)值问题． 知识梳理 1．基本不等式a ＋b 2≥ab (1)基本不等式成立的条件： a >0，b >0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝b 时不等式取等号． 2．几个重要不等式 (1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R )； (2)a b ＋b a ≥ 2 (a ，b 同号)； (3)ab ≤( a ＋ b 2)2(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22 ≥ (a ＋b 2)2 . 3．基本不等式求最值 (1)两个 正数 的和为 定值 ，当且仅当它们 相等 时，其积最大． (2)两个 正数 的积为 定值 ，当且仅当它们 相等 时，其和最小． 利用这两个结论可以求某些函数的最值，求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件． 热身练习 1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是(D) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 A 、C 中，a ＝b 时不成立， B 中，当a 与b 均为负数时不成立，而对于D ，利用基本不等式x ＋y ≥2xy (x >0，y >0)成立，故选D. 2．已知a ，b 为正数，则下列不等式中不成立的是(D) A ．ab ≤a 2＋b 22 B ．ab ≤(a ＋b 2)2 C.a 2＋b 22≥a ＋b 2 D.2ab a ＋ b ≥ab 易知A ，B 成立， 对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2， 所以a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2，所以a 2＋b 22≥a ＋b 2，故C 成立． 对于D ，取a ＝4，b ＝1，代入可知，不等式不成立，故D 不成立． 由以上分析可知，应选D. 3．周长为60的矩形面积的最大值为(A) A ．225 B ．450 C ．500 D ．900 设矩形的长为x ，宽为y ， 则2(x ＋y )＝60，所以x ＋y ＝30， 所以S ＝xy ≤(x ＋y 2)2 ＝225，即S max ＝225. 当且仅当x ＝y ＝15时取“＝”，故选A. 4．设函数f (x )＝2x ＋1 x －1(x <0)，则f (x )(A) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 f (x )＝－[(－2x )＋(－1 x )]－1≤－22－1， 当且仅当x ＝－2 2时，等号成立， 所以函数f (x )有最大值，所以选A. 5．(2017·山东卷)若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为 8 . 因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， 所以1a ＋2 b ＝1， 所以2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋2b )＝4＋4a b ＋b a ≥4＋24a b ·b a ＝8， 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝2，b ＝4时，等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8. 第一课时 3.1 不等关系与不等式（一） 教学重点：从实际问题中找出不等关系. 教学难点：正确理解现实生活中存在的不等关系. 教学过程： 一、复习准备： 1、提问：你能回顾一下以前所学的不等关系吗？ 2、讨论：除了书上列举的现实生活中的不等关系，你还能列举出你周围日常生活中的不等关 系吗？ 3、用不等式表示，某地规定本地最底生活保障金不底于300元； 二、讲授新课： 1、教学用不等式表示不等关系 ① 在现实生活中，存在着许许多多的不等关系，在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系. ② 举例：例如：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是v ≤40. ④ 实数的运算性质与大小顺序之间的关系 对于任意两个实数a,b,如果a>b,那么a-b 是正数;如a 基本不等式 基础梳理 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤ ????a ＋b 22(a ，b ∈R )；(4)a 2＋b 22≥????a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2 4 .(简记：和定积最大) 一个技巧 用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2 ＋b 2 ≥2ab 逆用就是ab ≤ a ＋ b 2 ； a ＋b 2 ≥ab (a ，b ＞0)逆用就是 ab ≤? ? ??a ＋b 22 (a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥ ????a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2) a 2＋ b 22 ≥ a ＋b 2 ≥ab ≥ 21a ＋ 1 b (a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)用基本不等式求最值，失误的原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞)C．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1 x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号．答案 C 2．下列不等式：①a 2 ＋1＞2a ；② a ＋ b ab ≤2；③x 2 ＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )．A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析 ①②不正确，③正确，x 2 ＋ 1x 2 ＋1＝(x 2 ＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1. 答案 B 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )．A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤1 2 . 答案 A 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1 x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋ 1 x －2 ＋2≥2 x －2× 1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1 x －2 (x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案 C 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 解析 ∵t ＞0，∴y ＝ t 2 －4t ＋1t ＝t ＋1 t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号． 答案 －2 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2＋1 的最大值为________． [审]第(1)问把1x ＋1 y 中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等 式． 解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x y 时，取等号．《不等关系与不等式》第二课时参考教案2
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