第二章 第二节 基本不等式 教师版

第二章 第二节 基本不等式

题型一 利用基本不等式求最值

微点1 配凑法求最值

1.已知x >54，则f (x )＝4x －2＋1

4x －5

的最小值为________．

答案：5

解析：∵x >5

4，∴4x －5>0

∴f (x )＝4x －2＋14x －5＝(4x －5)＋14x －5＋3≥24x －5·1

4x －5

＋3

＝2＋3＝5

当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝3

2时取等号，所以f (x )的最小值为5.

2.若函数f (x )＝x ＋1

x －2

(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )

A ．1＋2

B ．1＋ 3

C ．3

D ．4

答案：C

解析：∵x >2，∴x －2>0

∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2x －2·1

x －2

＋2

＝2＋2＝4，

当且仅当x －2＝1

x －2

，即x ＝3时取等号，所以a ＝3.

3.若x >2，则函数y ＝4x ＋3

x －2

的最小值为________．

答案：8＋4 3

解析：∵x >2，∴x －2>0

∴y ＝4x ＋3x －2＝4(x －2)＋3x －2＋8≥24x －2·3

x －2

＋8

＝43＋8

当且仅当4(x －2)＝3x －2

，即x ＝2＋3

2时取等号．

4．[必修一·P 48习题2.2 T 1改编]已知x >1，则x ＋1

x －1

的最小值为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6 答案：B

解析：∵x >1，∴x －1>0

∴x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1≥2x －1·1

x －1

＝3

当且仅当x －1＝1

x －1

，即x ＝2时，取“＝”．

∴x ＋1

x －1

的最小值为3.

5．已知函数y ＝x ＋4

x －1

(x >1)，则函数y 的最小值为( )

A.4x x －1 B ．42＋1 C ．5 D ．9

答案：C 解析：

∵x >1，∴x －1>0

∴y ＝x ＋4x －1＝(x －1)＋4

x －1

＋1

≥2x －1·4

x －1＋1＝4＋1＝5

当且仅当x －1＝4

x －1

，即x ＝3时取等号．

6.已知0

x 的最小值为( ) A.25

3 B ．8 C ．20 D ．10 答案：A

解析：由y ＝x ＋16x ≥2x ·16

x ＝8，当且仅当x ＝4时取等号．又∵0

时，y ＝x ＋16

x 的值随着x 的增大而减小，∴当x ＝3时，y 取得最小值

为3＋163＝25

3.故选A.

7．y ＝2＋x ＋5

x (x <0) 的最大值为________． 答案：2－2 5

解析：∵x <0 ∴－x >0

∴y ＝2＋x ＋5x ＝2－(－x －5

x )

又∵－x －5x ≥2－x ·－5

x ＝2 5

∴y ＝2＋x ＋5x ＝2－(－x －5

x )≤2－2 5

当且仅当－x ＝－5x ，且x <0，即x ＝－5时等号成立，即2＋x ＋5

x 的最大值为2－2 5.

8．若x <0，则函数y ＝x ＋4

x 有( ) A ．最小值4 B ．最大值4 C ．最小值－4 D ．最大值－4 答案：D

解析：本题考查基本不等式．∵x <0，y ＝x ＋4

x ＝－????

??－x ＋? ????－4x ≤－2－x ·? ??

??－4x ＝－4，当且仅当－x ＝－4

x ，即x ＝－2时等号成立．∴函数y ＝x ＋4

x 的最大值为－4.故选D.

9．已知a

b －a

＋b －a 的最小值为( )

A ．3

B ．2

C ．4

D ．1 答案：A

解析：本题考查利用基本不等式求最小值．∵a 0，∴b －a ＋1b －a ＋b －a ＝1＋1b －a ＋(b －a )≥1＋21b －a

·b －a ＝3，

当且仅当1

b －a ＝b －a ，即b －a ＝1时等号成立．∴b －a ＋1b －a

＋b －a 的

10．[2019·天津卷]设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1

xy

的

最小值为________． 答案：4 3

解析：x ＋12y ＋1xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋6xy ≥22xy ·6

xy

＝43，

当且仅当xy ＝3，即x ＝3，y ＝1时等号成立．故所求的最小值为4 3.

11．已知实数a ＞0，b ＞0，1a ＋1＋1

b ＋1

＝1，则a ＋2b 的最小值是( )

A ．3 2

B ．2 2

C ．3

D ．2

解析：∵a ＞0，b ＞0，1a ＋1＋1

b ＋1

＝1，

∴a ＋2b ＝(a ＋1)＋2(b ＋1)－3＝[(a ＋1)＋2(b ＋1)]·? ??

??

1a ＋1＋1b ＋1－3＝????

??

1＋2＋

2b ＋1a ＋1＋a ＋1b ＋1－3≥3＋22－3＝22， 当且仅当2b ＋1a ＋1＝a ＋1b ＋1

，即a ＝2，b ＝2

2时取等号．故选B.

12．[2020·河南许昌模拟]已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2

＝1

6，

则x ＋y 的最小值为( )

A ．24

B ．32

C ．20

D ．28 解析：∵x ，y 均为正实数且1x ＋2＋1y ＋2

＝1

6则x ＋y ＝(x ＋2＋y ＋2)－4

＝6? ??

??

1x ＋2＋1y ＋2(x ＋2＋y ＋2)－4 ＝6? ????2＋x ＋2y ＋2＋y ＋2x ＋2－4 ≥ 6×? ??

???2＋2 x ＋2y ＋2·y ＋2x ＋2－4＝20，

微点2 常值代换法求最值

1. 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1

b 的最小值为________． 答案：4

解析：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1 ∴1a ＋1b ＝(1a ＋1b )·1＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4

当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝1

2时取等号．

2.[2020·山东泰安一中联考]已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4

b 的最小值是( ) A.72 B.9

2 C ．5 D ．4 答案：B

解析：∵a >0，b >0，a ＋b ＝2

∴1x ＋4y ＋9z ＝(x ＋y ＋z )(1x ＋4y ＋9z )

＝1＋4＋9＋y x ＋4x y ＋z x ＋9x z ＋4z y ＋9y

z

≥14＋2y x ·4x y ＋2z x ·9x z ＋24z y ·9y

z ＝36

当且仅当x ＝16，y ＝13，z ＝1

2时取等号．

微点3 消元法求最值

1.已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 答案：6

解析：由已知得x ＝9－3y

1＋y

方法一 ∵x >0，y >0，∴0

∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝121＋y ＋3(y ＋1)－6≥212

1＋y ·3y ＋1－6＝6

当且仅当12

1＋y

＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，等号成立，故x ＋3y 的

最小值为6.

方法二 ∵x >0，y >0，

9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·3y ≤13(x ＋3y 2)2

当且仅当x ＝3y 时取等号

设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0 ∴(t －6)·(t ＋18)≥0 又∵t >0，∴t ≥6

故当x ＝3，y ＝1时，x ＋3y 有最小值6.

2．已知x >0，y >0，且x 2＋3xy －2＝0，则2x ＋y 的最小值是( ) A.2103 B.23 C.223 D.103 答案：A

解析：∵x >0，y >0，且x 2＋3xy －2＝0

∴y ＝2－x 2

3x ，

∴2x ＋y ＝2x ＋2－x 23x ＝13·5x 2＋2x ＝13(5x ＋2x )≥13×25x ·2x ＝210

3.

当且仅当5x ＝2x ，即x ＝10

5时取等号． 3．[2019·临渭期末]已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是( )

A ．1

B ．3

C ．6

D ．12 答案：B

解析：∵x 2

＋2xy －3＝0，∴y ＝3－x 22x ，∴2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2

＋32x ＝3x 2＋32x ≥23x 2·32x ＝3，当且仅当3x 2＝32x ，即x ＝1时取等号．故选B.

4.若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1

b ＋c

的最小值是

________． 答案：3

解析：∵a ＋b ＋c ＝2，a >0，b >0，c >0 ∴b ＋c ＝2－a >0，∴0

∴4a ＋1＋1b ＋c ＝4a ＋1＋1

2－a ＝42－a ＋a ＋12－a a ＋1＝9－3a －a 2＋a ＋2

＝33－a －a －32－5a －3－4

＝3

a －3＋4a －3

＋5

＝3－[3－a ＋43－a

]＋5

≥3

－4＋5＝3 当且仅当a ＝1时取等号．

题型二 基本不等式的逆用

1．已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则xy 的最大值是( ) A.17 B ．4 C.1

8 D ．8 答案：C

解析：xy ＝12×2xy ≤12×(2x ＋y 2)2＝12×(12)2＝1

8

当且仅当x ＝14，y ＝1

2时取等号．

2．已知x >0，y >0，且满足x 3＋y

4＝1，则xy 的最大值为______． 答案：3

解析：∵x >0，y >0，x 3＋y

4＝1

∴x 3·y 4≤(x 3＋

y 42)2＝14 ∴xy ≤3

当且仅当x ＝3

2，y ＝2时取等号．

3．设0

2，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．

答案：92

解析：∵0

2 ∴3－2x >0

∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2[2x ＋3－2x 2

]2＝9

2 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝3

4时取等号．

题型三 利用基本不等式解恒成立问题

1．已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥m

a ＋3b

恒成立，则m 的最大值为

( )

A ．9

B ．12

C ．18

D ．24

解析：因为a ＞0，b ＞0，所以m ≤??????? ????3a ＋1b ()a ＋3b min

. 又因为? ????3a ＋1b ()a ＋3b ＝6＋9b a ＋a b ≥6＋29b a ·a b ＝12， 当且仅当9b a ＝a

b ，即a ＝3b 时，等号成立，所以m ≤12， 2．[2019·河南平顶山一模]若对于任意的x ＞0，不等式x

x 2＋3x ＋1

≤a

恒成立，则实数a 的取值范围为( )

A ．a ≥15

B ．a ＞15

C ．a ＜15

D ．a ≤15

解析：由x ＞0，得x

x 2＋3x ＋1

＝

1

x ＋1x ＋3≤12

x ·1x ＋3

＝1

5，当且仅当x

＝1时，等号成立．则a ≥1

5，故选A.

解析：由题意，圆心坐标为(－3，－1)，半径为1，直线被圆截得的弦长为2，所以直线过圆心，即－3m －n ＋2＝0,3m ＋n ＝2.

所以1m ＋3n ＝12(3m ＋n )? ????1m ＋3n ＝12? ????6＋n m ＋9m n ≥12? ??

??

6＋2n m ×9m n ＝6， 当且仅当n ＝9m 时取等号，因此1＋3

的最小值为6，故选B.

答案：18 解析：由两条直线互相垂直得(a －1)×1＋2b ＝0，即a ＋2b ＝1，又a >0，

b >0，所以ab ＝12(a ·2b )≤12?

??

??a ＋2b 22＝18，当且仅当a ＝12，b ＝1

4时不等式取等号．故ab 的最大值是1

8.

＝a －b 2＋2ab a －b ＝a －b ＋2a －b ≥2a －b ·2a －b

＝2 2

即a 2＋b 2≥22(a －b )

当且仅当a －b ＝2

a －b

，即a －b ＝2时取等号．

3.[2019·全国Ⅰ卷]已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.

证明：1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2

.

证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac 又abc ＝1

故有a 2＋b 2＋c 2

≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c 而且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．

所以1a ＋1b ＋1

c ≤a 2＋b 2＋c 2.

题型六 基本不等式的灵活运用

1．已知m ，n ∈R ，且m －2n ＋6＝0，则2m ＋1

4n 的最小值为________． 答案：4 解析：本题考查幂函数在基本不等式中的应用．∵m －2n ＋6＝0，∴2n

－m ＝6，∴2m ＋14n ＝2m ＋2－2n ≥22m ·2－2n ＝22m －2n ＝1

4，

当且仅当?

???

?

m ＝－2n ，2n －m ＝6，即???

n ＝32，m ＝－3

时等号成立， ∴2m

＋14n 的最小值为14.

2．[2018·天津卷]已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a

＋18b 的最小值为________．

答案：4

解析：因为a －3b ＝－6,2a

>0，18b >0，

所以2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b ＝22－6＝2×123＝1

4，

当且仅当2a

＝2－3b 时等号成立，即????? a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0，解得?

??

??

a ＝－3，

b ＝1，

所以2a

＋18b 的最小值为1

4.

3．已知正实数m ，n 满足m ＋n ＝3，则m 2＋1m ＋n 2

n ＋1

的最小值为

________． 解析：令n ＋1＝t ，则t ＞1，n ＝t －1.因为m ＋n ＝m ＋t －1＝3，

所以m ＋t ＝4.m 2＋1m ＋n 2n ＋1

＝m ＋1m ＋t －12t ＝m ＋1m ＋t ＋1

t －2 ＝2＋1m ＋1t ＝2＋14(m ＋t )? ????1m ＋1t ＝2＋14? ??

??2＋t m ＋m t ≥2＋12＋14×2t m ·m

t ＝3，当且仅当m ＝t ＝2时取等号，故m 2＋1m ＋n 2

n ＋1

的最小值为3.

4．[2018·江苏卷]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________． 答案：9

解析：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，由三角形面积公

式可得12ac sin 120°＝12a sin 60°＋12c sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，则1a ＋1c ＝

1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )? ??

??1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2 c a ·4a c ＝9，当且仅当5.[2019·江西吉安一中、九江一中等八所重点中学联考]已知正项等比

数列{a n }的公比为3，若a m a n ＝9a 2

2，则2m ＋12n 的最小值等于( )

A ．1 B.12 C.34 D.3

2 解析：∵正项等比数列{a n }的公比为3，且a m a n ＝9a 2

2，

∴a 2·3m －2·a 2·3n －2＝a 22·

3m ＋n －4＝9a 22＝32a 2

2，∴m ＋n ＝6，又m ，n ∈N *， ∴2m ＋12n ＝1

6(m ＋n )? ????2m ＋12n ＝16×?

????2＋m 2n ＋2n m ＋12≥16×? ????52＋2＝34， 6．[2020·江苏南京模拟]若正数a ，b ，c 成等差数列，则c 2a ＋b ＋

b

a ＋2c

的最小值为________．

答案：259

解析：因为正数a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c .

令5a ＋c ＝m,2a ＋4c ＝n ，m ＞0，n ＞0，则a ＝4m －n 18，c ＝5n －2m

18.

所以c 2a ＋b ＋b a ＋2c ＝2c 5a ＋c ＋a ＋c 2a ＋4c ＝118?

????

10n －4m m ＋4n ＋2m n ＝19? ??

??5n m ＋m n ≥259，当且仅当5n m ＝m n ，即m ＝5n 时，等号成立， 所以c 2a ＋b ＋b a ＋2c

的最小值为25

9.

题型七 基本不等式的实际应用

1．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每

批生产x 件，则平均仓储时间为x

8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件． 答案：80

解析：设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x

8

＝20.当且仅当800x ＝x

8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立．

2.某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，如右图所示，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200 m 2的十字形地域．现计划在正方形MNPO 上建一花坛，造价为4 200元/m 2，在四个相同的矩形上(如右图中黑色部分)铺花岗地坪，造价为210元/m 2，再在四个空角(图中四个灰色三角形)上铺草坪，造价为80元/m 2.

(1)设总造价为S 元，AD 的长为x m ，试建立S 关于x 的函数关系式； (2)计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区？

解析：(1)设DO ＝y ，则x 2＋4xy ＝200，y ＝200－x

2

4x ，

S ＝4 200x 2＋210×4xy ＋80×4×12y 2＝38 000＋4 000x 2

＋400 000x 2(0

(2)S ＝38 000＋4 000x 2

＋400 000x 2≥38 000＋216×108＝118 000，

当且仅当4 000x 2＝400 000

x 2，即x ＝10时，S min ＝118 000. 故计划至少要投入11.8万元，才能建造这个休闲小区．

3.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元． 答案：8

解析：年平均利润为y x ＝－x －25x ＋18＝－(x ＋25

x )＋18，

因为x ＋25x ≥2x ·25

x ＝10，

所以y x ＝18－(x ＋25

x )≤18－10＝8，

当且仅当x ＝25

x ，即x ＝5时，取等号．

4．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条线段围成的．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度)． (1)求θ关于x 的函数关系式；

(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值．

30＝θ(10＋x )＋2(10－x )，

所以θ＝10＋2x

10＋x

(0＜x ＜10)．

(2)花坛的面积为1

2θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x )＝－x 2＋5x ＋50(0＜x ＜10)，

装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x (0＜x ＜10)．

所以花坛的面积与装饰总费用的比y ＝－x 2＋5x ＋50

170＋10x

＝－

x 2－5x －50

1017＋x

(0＜x ＜10)．

令t ＝17＋x ，因为0＜x ＜10，所以17＜t ＜27，则y ＝3910－110? ??

?

?

t ＋324t ≤3

10，当且仅当t ＝18时取等号，

此时x ＝1，θ＝12

11.

5．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的条件下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月

处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝1

2x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？

解析：(1)由题意可知二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000

x

－200≥212x ×80 000

x －200＝200，

当且仅当12x ＝80 000

x ，即x ＝400时等号成立，

故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为每吨200元．

(2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则

S ＝100x －y ＝100x －? ??

??12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋300x －80 000＝－1

2(x －300)2－35 000，

因为x∈[400,600]，所以S∈[－80 000，－40 000]．

故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．