7.32021届高三数学专题复习练习基本不等式(教师版)

1

【课前测试】

1、“x >0”是“x ＋1

x ≥2成立”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：当x >0时，x ＋1

x

≥2

x ·1x

＝2. 因为x ，1x 同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1

x ≥2成立”的充要条

件，故选C. 答案：C

2、已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1

b

的最小值为________．

解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，∴2a ＋1b ＝????1

3a ＋23b ????2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2 a 3b ·4b 3a ＝83

.当且仅当a ＝2b ＝3

2时取等号．

答案：83

2

基本不等式

【知识梳理】

1．基本不等式：ab ≤

a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a

b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤??

??a ＋b 22

(a ，b ∈R )．

(4)a 2＋b 22≥

????a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数

设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个

正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 2

4.(简记：和定积最大)

3

【课堂讲解】

考点一 基本不等式公式的简单应用

例1、若x >0，求函数y ＝x ＋4

x 的最小值，并求此时x 的值；

解：当x >0时，x ＋4

x

≥2

x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4

x

，即x 2＝4，x ＝2时取等号． ∴函数y ＝x ＋4

x (x >0)在x ＝2时取得最小值4.

变式训练：1、已知x >0，求f (x )＝12

x ＋3x 的最小值；

解：∵x >0，∴f (x )＝12

x ＋3x ≥2

12x ·3x ＝12，当且仅当3x ＝12

x

，即x ＝2时取等号， ∴f (x )的最小值为12.

2、设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82

解析：∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤????x ＋y 22

＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81. 答案：C

3、(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.322

解析：选B 因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，(3－a )(a ＋6)≤(3－a )＋(a ＋6)2＝92，当且仅当a ＝－3

2时等号成立．

答案：B

4、已知a >－1，b >－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( ) A ．4 B ．5 C ．6

D ．7

4

解析：选B 因为a >－1，b >－2，所以a ＋1>0，b ＋2>0，又(a ＋1)(b ＋2)≤????a ＋1＋b ＋222

，

即16≤??

??a ＋b ＋322

，整理得a ＋b ≥5，当且仅当a ＋1＝b ＋2＝4，即a ＝3，b ＝2时等号成

立，故选B. 答案：B

考点二 配凑法应用

命题点1 凑系数

例2、已知0

3， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝2

3时，取等号．

答案：23

命题点2 凑项

例3、已知x >2，求x ＋4

x －2

的最小值；

解：∵x >2，∴x －2>0，∴x ＋4x －2＝x －2＋4

x －2

＋2≥2

(x －2)·4

x －2

＋2＝6，

当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．∴x ＋4

x －2的最小值为6.

变式训练：

1、设0

2

，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；

解：∵0

2，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2????2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝3

4

时，等号成立．

5

∵34∈????0，32.∴函数y ＝4x (3－2x )(0

＋x 的最大值；

解：∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3

＋x －3＋3 ＝－???

?4

3－x ＋3－x ＋3≤－2

4

3－x

·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当4

3－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号．∴f (x )的最大值为－1.

3、设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－3

2的最小值为( )

A ．0

B.12 C ．1

D.32

解析：y ＝x ＋22x ＋1－32＝???

?x ＋12＋1x ＋12

－2≥2

????x ＋12·1x ＋

1

2

－2＝0， 当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝1

2时等号成立．∴函数的最小值为0.故选A.

答案：A

4、已知x <54，则f (x )＝4x －2＋1

4x －5的最大值为________．

解析：因为x <5

4

，所以5－4x >0，

则f (x )＝4x －2＋1

4x －5

＝－????5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.

当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋1

4x －5的最大值为1.

答案：1

6

考点三 常数代换法

命题点1 乘“1”法

例4、已知x >0，y >0，且 1x ＋9

y

＝1，求x ＋y 的最小值．

解：方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝）（y

x 91+(x ＋y )＝y x ＋9x

y ＋10≥6＋10＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9

y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．

故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.

方法二 由1x ＋9

y

＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．

由1x ＋9

y ＝1可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2(x －1)(y －9)＋10＝16， 当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号， 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.

命题点2 常数替换

例5、已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1

y 的最小值为________．

解析：y x ＋1y ＝y x ＋x ＋2y 3y ＝y x ＋x 3y ＋2

3

≥2

y x ×x 3y ＋23＝23＋23，当且仅当y x ＝x

3y

，即x ＝3y 时等号成立，所以y x ＋1

y 的最小值为23＋23.

答案：23＋2

3

变式训练：

1、已知x >0，y >0，且1x ＋2

y

＝1，则x ＋y 的最小值是________．

7

解：∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )????

1x ＋2y

＝3＋y x ＋2x

y ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，

∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. 答案：3＋22

2、已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.则1x ＋1

y 的最小值为 ．

解析：∵x >0，y >0，

∴1x ＋1y ＝????1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120????7＋5y x ＋2x y ≥120??

?

?7＋2

5y x ·2x y ＝7＋210

20， 当且仅当5y x ＝2x

y

时，等号成立．

由????

?

2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，

解得???

??

x ＝1010－203，y ＝20－4103

.∴1x ＋1

y 的最小值为7＋21020

. 答案：7＋210

20

3、设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，则x ＋y 的最小值 ． 解析：方法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x .

∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝

2x x －8，∴x ＋y ＝x ＋2x

x －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8

＝(x －8)＋16

x －8＋10≥2

(x －8)×16

x －8

＋10＝18.

当且仅当x －8＝16

x －8

，即x ＝12时，等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.

方法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2

y ＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )）（y

x 28+

8

＝8y x ＋2x

y ＋10≥2 8y x ·2x y ＋10＝18.当且仅当8y x ＝2x

y

，即x ＝2y ＝12时等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18. 答案：18

4、设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则

的最小值为 8 ．

解析：正实数a ，b 满足a +b ＝1， 则

＝+

＝+

+4≥2

+4＝8，

当且仅当＝，即a ＝，b ＝时等号成立；∴的最小值为8．

故答案为：8． 答案：8

考点四 消元法应用

例6、已知正实数a ，b 满足a 2－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3b

a ＋

b ( )

A ．有最大值14

5

B ．有最小值14

5

C ．有最小值3

D ．有最大值3

解析：∵a 2－b ＋4≤0，∴b ≥a 2＋4，∴a ＋b ≥a 2＋a ＋4. 又∵a ，b >0，∴a a ＋b ≤a a 2＋a ＋4，∴－a a ＋b ≥－a

a 2＋a ＋4，

∴u ＝2a ＋3b a ＋b ＝3－a a ＋b ≥3－a a 2＋a ＋4

＝3－1

a ＋4a ＋1≥3－

1

2a ·4

a

＋1＝14

5， 当且仅当a ＝2，b ＝8时取等号．故选B. 答案：B

9

变式训练：1、若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________． 解析：因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1

.

又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6

a －1＋1＝6(a －

1)＋6a －1＋15.因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1

＋15

≥2

6(a －1)×6

a －1

＋15＝27，

当且仅当6(a －1)＝6

a －1(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)(

b ＋2)的最小值为27.

答案：27

2、已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．

解析：因为xy ＋2x ＋y ＝4，所以x ＝4－y y ＋2.由x ＝4－y

y ＋2>0，得－20，则0

以x ＋y ＝4－y y ＋2＋y ＝6y ＋2＋(y ＋2)－3≥26－3，当且仅当6

y ＋2＝y ＋2(0

取等号． 答案：26－3 考点五 整体法应用

例7、若实数a ，b 满足1a ＋2

b ＝ab ，则ab 的最小值为( )

A. 2 B ．2 C ．2 2

D ．4

解析：由1a ＋2b ＝ab 知，a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2

b

≥2

2

ab

，即ab ≥22，当且仅当???

1a ＝2

b ，

1a ＋2b ＝

ab ，

10

即a ＝42，b ＝24

2时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2. 答案：C

变式训练：1、已知正数a ，b 满足a +2b +ab ＝6，则a +2b 的最小值为（ ） A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

解析：依题意，6＝a +2b +ab ＝a +2b +×a ×（2b ）≤a +2b +

，

即（a +2b ）2+8（a +2b ）﹣48≥0，解得a +2b ≤﹣12（舍）或者a +2b ≥4， 故a +2b 的最小值为4．故选：B ． 答案：B

2、已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________． 解析：因为x 2＋y 2－xy ＝1，所以x 2＋y 2＝1＋xy ． 所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×??

?

?x ＋y 22

，即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2．

当且仅当x ＝y ＝1时右边等号成立．所以x ＋y 的最大值为2． 答案：2

3、已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值为________． 解析：因为x >0，y >0，所以8＝x ＋2y ＋x ·2y ≤(x ＋2y )＋????

x ＋2y 22

， 令x ＋2y ＝t ，则8≤t ＋t 2

4，即t 2＋4t －32≥0，解得t ≥4或t ≤－8，

即x ＋2y ≥4或x ＋2y ≤－8(舍去)，

当且仅当x ＝2y ，即x ＝2，y ＝1时等号成立． 答案：4

考点六 换元法的应用

11

例8、已知x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，则

1x ＋1＋2

y

的最小值为________． 解析：∵x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，∴x ＋1>0，且(x ＋1)＋2y ＝2， ∴

1x ＋1＋2y ＝1

2[(x ＋1)＋2y ]????1x ＋1＋2y ＝52＋12??????2y x ＋1＋2(x ＋1)y ≥52＋12

×22y x ＋1

·2(x ＋1)y ＝9

2，

当且仅当?????

2y x ＋1＝2(x ＋1)y ，

x ＋2y ＝1，即???

x ＝－1

3，y ＝23时取等号，故

1x ＋1＋2y

的最小值为92.

答案：9

2

变式训练：1、若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9

b －1的最小值为( )

A ．16

B ．9

C ．6

D ．1

解析：∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b >0，1b ＝1－1

a

>0，

∴b >1，a >1，则

1a －1＋9b －1

≥29

(a －1)(b －1)

＝2

9ab －(a ＋b )＋1＝6(当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立)，∴1a －1＋9

b －1

的最小值为6，

故选C. 答案：C

2、设a ，b 为正实数，则+的最小值为 ．

解析：设a +2b ＝m ，a +b ＝n ，（m ＞0，n ＞0），则a ＝2n ﹣m ，b ＝m ﹣n ， 即有

+

＝

+

＝

+

﹣5≥2

﹣5＝4

﹣5．

当且仅当m ＝n ，即a ＝（2﹣）n ，b ＝（﹣1）n ．取得等号，

12

则所求最小值为4﹣5．

故答案为：4﹣5．

答案：4

﹣5

考点七 基本不等式的综合应用求参数值或取值范围

例9、已知不等式(x ＋y )????

1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6

D ．8

解析：已知不等式(x ＋y )????1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )????1x ＋a

y 的最小值大于或等于9，

∵1＋a ＋y x ＋ax

y ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9，

∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4，故选B. 答案：B

变式训练：1、若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1)恒成立，则a 的取值范围是________． 解析：x 2－ax ＋1≥0，x ∈(0,1]恒成立?ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1]恒成立

?a ≤x ＋1x ，x ∈(0,1)恒成立，∵x ∈(0,1)，x ＋1

x ≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，

∴a ≤2. 答案：(－∞，2]

2、已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m

a ＋3

b 恒成立，则m 的最大值为( )

A ．9

B ．12

C ．18

D ．24 解析：由3a ＋1b ≥m

a ＋3b

，得m ≤(a ＋3b )????3a ＋1b ＝9b a ＋a b ＋6.

13

又9b a ＋a

b ＋6≥29＋6＝12????当且仅当9b a ＝a b ，即a ＝3b 时等号成立， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12. 答案：B

3、已知不等式2x ＋m ＋8

x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数m 的取值范围是________．

解析：不等式2x ＋m ＋

8x －1>0可化为2(x －1)＋8x －1

>－m －2， 因为x >1，所以2(x －1)＋8

x －1

≥2

2（x －1）·8

x －1

＝8，

当且仅当x ＝3时取等号．因为不等式2x ＋m ＋8

x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，

所以－m －2<8.解得m >－10. 答案：(－10，＋∞)

14

【课后练习】

1．函数f (x )＝x 2＋4

|x |的最小值为( )

A ．3

B ．4

C ．6

D ．8

解析：f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4

|x |≥24＝4，当且仅当x ＝±2时，等号成立，故选B.

答案：B

2．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( ) A ．x ＝y B ．x ＝2y C ．x ＝2且y ＝1

D ．x ＝y 或y ＝1

解析：∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy ，当且仅当x ＝2y 时取等号． 故“x ＝2且y ＝1 ”是“x ＋2y ＝22xy ”的充分不必要条件．故选C. 答案：C

3．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1

b 的最小值为( )

A.53 B ．3 C ．5

D ．9

解析：由题意知，正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b ＝????

4a ＋1b (a ＋b ) ＝4＋1＋4b a ＋a

b

≥5＋2

4b a ·a

b

＝9， 当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝23，b ＝13时等号成立，所以4a ＋1

b 的最小值为9，故选D.

答案：D

15

4．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4

b 的最小值是( )

A.72 B ．4 C.9

2

D ．5 解析：依题意，得1a ＋4b ＝12????1a ＋4b ·(a ＋b )＝12????5＋????b a ＋4a b ≥1

2?

???5＋2b a ·4a b ＝9

2

， 当且仅当?????

a ＋

b ＝2，

b a ＝4a

b ，

a >0，

b >0，

即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是9

2

.

答案：C

5．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2

b 的最小值为( )

A ．4

B ．22

C ．8

D ．16

解析：由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，得ab ＝1，则1a ＋2

b ≥2

1a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2

b

，即a ＝

2

2

，b ＝2时等号成立．故选B. 答案：B

6. 已知x ≥5

2，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )

A ．最大值5

2

B ．最小值5

4

C ．最大值1

D ．最小值1

解析：f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12??

??(x －2)＋1x －2≥1.

当且仅当x －2＝1

x －2，即x ＝3时等号成立．

答案：D

16

7．设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________． 解析：由xy ＋x －y －10＝0，得x ＝y ＋10y ＋1＝9

y ＋1＋1，

∴x ＋y ＝9

y ＋1＋1＋y ≥2

9y ＋1·(1＋y )＝6，当且仅当9y ＋1

＝1＋y ，即y ＝2时，等号成立． 答案：6

8．已知a ，b 为正实数，且(a －b )2＝4(ab )3，则1a ＋1

b 的最小值为________．

解析：由题意得(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ，代入已知得(a ＋b )2＝4(ab )3＋4ab ，

两边同除以(ab )2得

????a ＋b ab 2＝4(ab )3a 2b 2＋4ab a 2b 2＝4????ab ＋1ab ≥4·2

ab ·1

ab

＝8， 当且仅当ab ＝1时取等号．所以1a ＋1b ≥22，即1a ＋1

b 的最小值为2 2.

答案：22

9．若a ，b 都是正数，则????1＋b a ????1＋4a

b 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9

D ．10

解析：选C 因为a ，b 都是正数，所以????1＋b a ????1＋4a b ＝5＋b a ＋4a

b ≥5＋2 b a ·4a

b

＝9，当且仅当b ＝2a 时取等号，选项C 正确． 答案：C

10．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞]

D ．(－∞，－2]

解析：选D ∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y ≤12

，∴2x

＋

17

y

≤1

4

，得x ＋y ≤－2． 答案：D

11．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋1

8

b 的最小值为 .

解析：由已知，得2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b ＝22－6＝14，当且仅当2a ＝2－

3b 时

等号成立，

由a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0，得a ＝－3，b ＝1， 故当a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值1

4.

答案：1

4

12．若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4＋4b 4＋1

ab 的最小值为 .

解析：∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ，

由于ab ＞0，∴4ab ＋1

ab

≥2

4ab ·1ab ＝4(当且仅当4ab ＝1

ab

时“＝”成立)，

故当且仅当?????

a 2＝2

b 2，4ab ＝1ab 时，a 4＋4b 4＋1

ab 的最小值为4. 答案：4

13．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1

xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，

18

所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1

xy ≥M 恒成立，所以M ≤1，即M 的最大值为1.

答案：A

14．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋8

2x －3的最大值；

(2)设0

解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－? ????3－2x

2＋83－2x ＋32．

当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋8

3－2x ≥2

3－2x 2·8

3－2x

＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．

于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－5

2

．

(2)∵00，∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤ 2·x ＋2－x

2＝2，

当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，

∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值为2． 15．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．

解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2

y ＝1，又x ＞0，y ＞0，

则1＝8x ＋2y

≥2

8x ·2y ＝8xy

，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64．

(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝????8x ＋2y (x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x

≥10＋2 2x

y·

8y

x＝18．当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，

∴x＋y的最小值为18．

19

20

【课后测试】

1、已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4

b 的最小值是( )

A.72 B ．4 C.9

2 D ．5 解析：∵a ＋b ＝2，∴a ＋b 2＝1. ∴1a ＋4b ＝(1a ＋4b )(a ＋b 2)

＝52＋(2a b ＋b 2a )≥5

2＋2 2a b ·b 2a ＝92(当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a ＝4

3

时，等号成立)， 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.

答案：C

2、若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

解析：由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x ＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15???

?

3y ＋1x ＝15????4＋9＋3y x ＋12x y ≥15(4＋9＋236)＝5，当且仅当3y x ＝12x

y ，即y ＝2x 时，“＝”成立， 故4x ＋3y 的最小值为5.故选D. 答案：D