(完整版)二次函数公式汇总

1.求抛物线的顶点、对称轴：顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a

b x 2-=.

2.抛物线c bx ax y ++=2

中，b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2

的对称轴是直线a

b

x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴

左侧；③

0

b

（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（同左异右） 3.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：c bx ax y ++=2

.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2

.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，

只有抛物线与x 轴有交点，即2

40b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式

的这三种形式可以互化.

4.抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴两交点为()()0021，，，

x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故

a

c

x x a b x x =

?-=+2121,()

()

a a ac

b a c

a b x x x x x x x x AB ?=-=-??

? ??-=-+=

-=

-=44422

212

212

2121

5.点A 坐标为（x1，y1）点B 坐标为（x2，y2）则AB 间的距离，即线段AB 的长度为()()221221y y x x -+-

6.直线斜率：

1

212tan x x y y k --=

=α

7.对于点P （x0，y0）到直线滴一般式方程 ax+by+c=0 滴距离有

2

200a b a c by x d +++=

8.平移口诀：上加下减，左加右减

二、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称

2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；

()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =---；

2. 关于y 轴对称

2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；

()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =++；

3. 关于原点对称

2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2

y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称

2

y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2

2

2b y ax bx c a

=--+-；

()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =--+．

5. 关于点()m n ，对称

()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2

22y a x h m n k =-+-+-

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

初二数学二次函数顶点坐标公式

初二数学二次函数顶点坐标公式初二数学二次函数顶点坐标公式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： (1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a0),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) (2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a0). (3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2) (4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a0. 二次函数顶点坐标公式 说明： 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：

乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点. 要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼

二次函数公式(精华)

★二次函数知识点汇总★ 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =） （0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧； ③0c ,与y 轴交于正半轴；③0

二次函数的顶点坐标公式教学设

二次函数的顶点坐标公式教学设计 教学目标： 1.知识：(1)自主探索y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标公式、对称轴方程、最值公式.(2)体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性. 2.能力:（1）会应用配方法把二次函数的一般式化为顶点式. （2）会熟练运用配方法和公式法解决有关二次函数的实际问题. 3.情感与价值观:(1)进一步体会从简单到复杂，从一般到特殊的数学思想方法.(2)体会数学与生活的密切联系，激发学生学习的兴趣，发展学以致用的精神. 教学重点: 运用二次函数的顶点坐标公式和对称轴方程解决有关实际问题. 教学难点: 把实际问题转化为数学问题的过程 教学方法:引导探索发现法 教学过程: 一、创设情境，引入新课

2 2 2 在前几节课，我们学习了二次函数 y=a （x-h ）2+k （a≠0）的图象及性 质，而我们第 4 节的课题是：y= ax 2+bx+c （a≠0），（北师大版九年级数 学下册），它们之间又是什么关系？你能解决下列问题吗？ 1．你能把 y=a （x-h ） + k （a≠0）化成 y= ax 2+bx+c （a≠0）的形式吗？ （去括号，合并同类项）反之你能把 y= ax 2+bx+c （a≠0）化成 y=a （x-h ） 2 +k （a≠0）的形式吗？ 2．一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是什么？是如何得到 的？（复习配方法） 二、引导探索，学习新课 1．用配方法把 y= ax 2+bx+c 化成 y=a （x-h ）2+k （a≠0）的形式. y= ax 2+bx+c =a （x 2+ x ）+c （化二次项系数为 1，最好不要把常数项括到括号里） = a[x 2+ x+（ ）2-（ ）2]+c.（配方） =a （x+ ）2- +c=a （x+ ）2+ .（合并同类项） 2.顶点坐标公式 比较 y=a （x+ ） + 与 y=a （x-h ）+k 发现,此时 h=- ，k= ；故 y= ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标公式是（- ， ），对称轴方程：x=- ，最值公式： y= ；当且仅当 x=- 时，函数有最大或最小值 y= .

初三二次函数常见题型及解题策略

二次函数常见题型及解题策略 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物 线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下：

已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴） （1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。 （2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得 AN MN BM ++之和最小。 （3）如图，B A 、是直线l 同旁的两个定点，线段a ，在直线l 上确定两点E 、F （E 在F 的左侧 ），使得四边形AEFB 的周长最小。 8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法

二次函数常用公式、结论及训练

初中函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练 一、 常用公式或结论 （1）横线段的长 = x 大-x 小 =x 右-x 左 =横标之差的绝对值（用于情况不明）。 纵线段的长 = y 大-y 小=y 上-y 下 = 纵标之差的绝对值（用于情况不明）。 （2）点轴距离： 点P （x 0 ，y 0）到X 轴的距离为0y ，到Y 轴的距离为o x 。 （3）两点间的距离公式： 若A （x 1,y 1），B(x 2,y 2), 则 AB=221212()()x x y y -+- （4）点到直线的距离： 点P （x 0 ，y 0）到直线Ax+By+C=0 (其中常数A,B,C 最好化为整系数，也方便计算)的距离为： 002 2 Ax By C d A B ++= + （5）中点坐标公式: 若A(x 1,y 1)，B （x 2,y 2），则线段AB 的中点坐标为（1212,2 2 x x y y ++） （6）直线的斜率公式： 若A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）(x 1≠x 2)，则直线AB 的斜率为：12 12 =AB y y k x x --,（x 1≠x 2） （7）两直线平行的结论： 已知直线l 1: y=k 1x+b 1 ; l 2: y=k 2x+b 2 ①若l 1//l 2,则k 1=k 2；②若k 1=k 2，且b 1 ≠b 2，则 l 1//l 2。 （8）两直线垂直的结论： 已知直线l 1: y=k 1x+b 1 ; l 2: y=k 2x+b 2 ①若l 1┴l 2，则k 1?k 2 =-1；②若k 1?k 2 =-1，则l 1┴l 2

（9）直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长公式： 【初高中数学重要衔接内容之一，设而不求的思想】 直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）截得的弦长公式是：AB=2121x x k -?+=2122124)(1x x x x k -+?+ 证明如下： 设直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）交于A （x 1, y 1）, B （x 2, y 2）两点，由两点间的距离公式可得： AB=221221)()(y y x x -+-，因为A （x 1, y 1）,B （x 2, y 2）两点是直线y=kx+n 与抛物线抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）的交点，所以 A （x 1, y 1）,B （x 2, y 2）两点也在直线y=kx+n 上， ∴y 1=kx 1+n, y 2=kx 2+n, ∴y 1-y 2=（kx 1+n ）—（kx 2+n ）=kx 1-kx 2=k （x 1-x 2）， ∴AB=2212221)()(x x k x x -+-=2212))(1(x x k -+=2121x x k -?+ =2122124)(1x x x x k -+?+ 而x 1, x 2显然是直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）组成方程组后，消去y （用代入法）所得到的那个一元二次方程的两根，从而运用韦达定理x 1+x 2 , x 1?x 2可轻松求出，进而直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长就很容易计算或表示出来。 （10）由特殊数据得到或联想的结论： ①已知点的坐标或线段的长度中若含有23、等敏感数字信息，那很可能有特殊角出现。 ②在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状，若有特殊角出现，那很多问题就好解决了。

二次函数顶点坐标

二次函数y=x 2练习（认识抛物线顶点坐标开口方向最值部分） 1．函数y =622--a a ax 是二次函数，当a =_____时，其图象开口向上；当a =_____时，其图象开口向下. 2．填右表并填空： （1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,y 随着x 的增大而增大；在 侧,y 随着x 的增大而减小,当x= 时,函 数y 的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x2在x 轴的 方(除顶点外). （2）抛物线y =－1/3x 2在x 轴的 方(除顶点外)，在对称轴的左侧，y 随着x 的 ；在对称轴的右侧，y 随着x 的 ，当x=0时，函数y 的值最大，最大值是 ，当x 0时，y<0。 3．已知正方形的边长为a ，面积为S 。 （1）你能列出面积S 与边长a 的函数关系式吗？ （2）S 是a 的 次函数； （3）a 能否小于零？ （4）你能作出面积S 随边长a 变化而变化的函数图象吗？ 4．二次函数y=x 2，若y ＞0，则自变量x 的取值范围是（ ） A ．可取一切实数 B ．x ≠0 C ．x ＞0 D ．x ＜0 5．抛物线y =－x 2不具有的性质是（ ） A ．开口向下 B ．对称轴是Y 轴 C ．与Y 轴不相交 D ．最高点是原点 6．抛物线y=2x 2,y=－2x 2,y=2 1x 2共有的性质是（ ） A ．开口向上 B ．对称轴是Y 轴 C ．都有最低点 D ．y 随x 的增大而减小 7．二次函数y=3x 2 的图象是关于 对称的曲线，这条曲线叫做 ，它的开口 ，与x 轴交点坐标是 。当x ＞0，y 的值随x 的值增大而 。当x ＜0,y 的值随着x 值的增大而 ，当x= 时，y 有最小值，最小值是 8．点A （3,m ）是抛物线y =－x 2上一点，则m ＝ ，点A 关于y 轴对称点B 的坐标是 点A 关于原点对称点C 的坐标是 ；点B 、C 关于 对称。 9．（2006，武汉）已知二次函数的图象开口向下，且经过原点。请写出一个符合条件的二次函数的解析式

二次函数公式汇总

2.抛物线c bx ax y ++=2中，b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴 左侧；③ 0

二次函数一般式与顶点坐标公式练习

已知函数 ()4 12- + =x y. （1）该抛物线经过怎样的平移能经过原点. （2）画出该函数图象，并根据图象回答：当x取何值时，函数值大于0；当x取何值时，函数值小于0. 1、二次函数 k h x a y+ - =2) ( 的图像和 2 ax y= 的图 像之间的关系。 2.二次函数y=a(x-h)2+k的性质： 问题一：将一般式转化为顶点式 试将下列函数转化为顶点式，并说出其对称轴，顶点坐标。 （1） 262 y x x =-- （2） 2 1 2 4 y x x =--+

（3） 2 961y x x =-+ 问题二：顶点坐标公式 将 2 y ax bx c =++转化为顶点式： 2222 22 22222424y ax bx c b c a x x a a b b b c a x a a a a b ac b a x a a =++? ?=++ ? ? ???????=+?+-+?? ? ?????????-? ?=++ ?? ? 22,24,24y ax bx c b x a b a c b a a =++=-?? -- ? ?? 因此，二次函数的图像是 一条抛物线，它的对称轴是直线顶点是 利用顶点坐标公式填写下列表格：

问题三： y=a （x-2）（x+3）与x 轴的交点坐标是 ， 二次函数图象的顶点坐标 ，对称轴 ，开口方向 。 例1当x= 时，二次函数y=x 2 +2x-2有最小值． 例2、若抛物线y=-x 2 +4x+k 的最大值为3，则k= 试一试： 1、函数2 1 262y x x =+-的顶点坐标为 ，当x= 时，y 取最 值为 .与坐标轴的交点坐标，分析增减性，用5点作图法完成作图。 2、当x 为实数时，代数式x 2 -2x-3的最小值是 ，此时x= . 3、求二次函数62 +--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标

二次函数顶点坐标公式

函数在数学中占有很大的比例，但是函数的学习却很复杂。其考察的内容有很多方面，开口方向、对称轴及坐标公式都是考察的重点。下面为大家整理了二次函数顶点坐标的相关公式，希望能帮到大家。 一、基本简介 一般地，我们把形如y=ax²+bx+c(其中a，b，c是常数，a0)的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。 主要特点 变量不同于未知数，不能说二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。未知数只是一个数(具体值未知，但是只取一个值)，变量可在一定范围内任意取值。在方程中适用未知数的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数关系。 二次函数图像与X轴交点的情况 当△=b²-4ac;0时，函数图像与x轴有两个交点。 当△=b²-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。 当△=b²-4ac0时，函数图像与x轴没有交点。 二、二次函数图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。 轴对称 二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a

对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。 特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。 a,b同号，对称轴在y轴左侧. a,b异号，对称轴在y轴右侧. 顶点 二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )即(-b/2a, (4ac-b²/4a).当 h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x- h)²+k。 h=-b/2a，k=(4ac-b²)/4a。 开口方向和大小 二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。 当a;0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则二次函数图像的开口越小。 决定对称轴位置的因素折叠 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a;0,与b同号时(即ab;0)，对称轴在y轴左;因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号 当a;0,与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a;0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab;0)，对称轴在y轴左;当a 与b异号时(即ab0 )，对称轴在y轴右。 事实上，b有其自身的几何意义：

用顶点式求二次函数解析式

一、 用顶点式求二次函数解析式。 例题：已知抛物线的顶点为（1,3）经过点（3,0） 解：设抛物线的解析式为k h x a y +-=2 )( 把顶点（1,3）代入得：3)1(2+-=x a y 把点（3,0）代入得：03)13(2 =+-a 解得：43 - =a ∴抛物线解析式为：3)1(4 32 +--=x y 练习1：已知抛物线的顶点为（-1,4）经过点（2，-5） 2．已知抛物线y ＝ax 2 经过点A (1，1)．(1)求这个函数的解析式； 3．已知二次函数的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式． 4．抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛 物线的解析式． 5.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 6．抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式． 7．把抛物线y ＝(x －1)2 沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式． 8．已知二次函数m x x y +-=62 的最小值为1，求m 的值． 9．已知抛物线经过A （0，3），B （4,6）两点，对称轴为ｘ＝5 3 ， 求这条抛物线的解析式； 10． 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为 。 二、 用三个点求二次函数解析式 例题：二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7） 解：设二次函数的解析式为：c bx ax y ++=2 把点（-1,10），（1,4），（2,7）代入得： ???? ?=++=++=+-724410c b a c b a c b a 解得：??? ??=-==5 32c b a ∴抛物线解析式为：5322 +-=x x y 练习11：二次函数的图象经过（0,0），（-1,-1），（1,9） 12.已知二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式

抛物线顶点坐标的求法(公式法)

抛物线顶点坐标的求法（公式法） 1、二次函数表达式的“一般形式”为 ； 李丹与王涓（2019届bobo ） 2、二次函数表达式的“配方形式”为 ； 一、怎样由“公式法”来求抛物线的顶点坐标 1、先把“一般形式”的二次函数 c bx ax y 2++=（ 0a ≠）转化成“配方形式” 为 ，再依据由“配方式”看顶点坐标的方法，可知其顶点坐标 为 ，我们把这个“坐标结论”称为二次函数的“顶点坐标公式”； ①、求二次函数35x 2x y 2+=－的顶点坐标以及最值 解：由顶点坐标公式得：==2a b x － 顶横 ； ==4a b 4a c y 2－顶纵 ； ∴ 顶点坐标为 ； 又∵ 抛物线开口向 ，有最 点，∴ y 有最 值； 即：当=x 时， = ； ②、求二次函数3112x 2x y 2－－+=的顶点坐标，并对函数的增减性作出描述 解：由顶点坐标公式得：==2a b x － 顶横 ； 把=顶横 x 代入函数表达式得：=顶纵y = ； ∴ 顶点坐标为 ； 又∵ 抛物线开口向 ，所以， 在对称轴的左侧，即当自变量x 时，y 的值随x 的增大而 ； 在对称轴的右侧，即当自变量x 时，y 的值随x 的增大而 ； ③、求二次函数3112x 2x y 2－－+=的顶点坐标、并在当4＜5x ≤时，求函数y 的最值 解：由顶点坐标公式得：==2a b x － 顶横 ； ∴ 可设抛物线的表达式为：( )()k x y 2+=，易求=k ； ∴ 原表达式化为配方式为 ，则顶点坐标为 ； 又=顶横 x ，不在“4＜5x ≤”的范围内，∴ 函数y 的最值“不在”顶点处取，

由图形可知，当=x 时，=min y ； 变式：如果把“4＜5x ≤”改为“5x 4≤≤” ，问y 有最大值吗答： ； 点评：第①题是严格运用“顶点坐标”公式，分别求顶横x 和顶纵y （不妨命名为：全求分别法）； 第②题是先求顶横x ，然后代入函数表达式，再求出顶纵y （不妨命名为：半求代入法）； 第③题是先求顶横x ，然后“拼凑”出配方式，再求出k y =顶纵 （不妨命名为：半求拼凑法）； 以上“三种”方法，请根据实际情况灵活选择，以便于计算作为“选择依据”！！！ 二、怎样由“交点式”来求抛物线的顶点坐标 1、基本事实依据：什么叫抛物线的对称轴 答：第一种说法，经过抛物线的顶点，且垂直于 轴的直线，叫做抛物线的对称轴； 第二种说法，抛物线上任意一对“对称点”连线的 线，叫做抛物线的对称轴； 2、二次函数的表达式的“交点形式”为()()21x x x x a y －－=（0a ≠）. 其中，“a 值”与“一般形式”c bx ax y 2++=（0a ≠）中“a 值”的相等，而“1x 、2x ” 分别代表抛物线c bx ax y 2++=（0a ≠）与x 轴的交点横坐标，即是说“1x 、2x ”是一元二次方 程0c bx ax 2 =++（0a ≠）的二根，所以抛物线的“交点形式”，也可称“二根形式”。 3、重要思路?：如果抛物线c bx ax y 2++=（0a ≠）与x 轴有两个交点，分别为A （1x ，0）、 B （2x ，0），那么线段AB 的“垂直平分线”必为抛物线的 ，这条对称轴的表达式为： 直线顶横也x 2 x x x 2 1=+= （关于这一结论，可以通过举例，来加以理解！）。 知道了顶横x ，就可以根据表达式()()21x x x x a y －－=，利用“半求代入法”，求出“顶纵y ”， 岂不快哉！如此一来，也能“又快、有准”地写出“配方形式”()k h x a y 2 ++=，岂不美哉！ ①、求二次函数()()6x 1x 3y +=－的顶点坐标以及最值，并把解析式化为配方式. 解： 联立 得：()()06x 1x 3 =+－，解得：=1x ，=2x ； ∴ 抛物线的对称轴为：直线=x = ； 把=顶横 x 代入()()6x 1x 3y +=－，得=顶纵y = ； ()()?? ?=+=0 y x 6x 1x 3y 轴：－ 抛物线：

新人教版初三数学二次函数公式及知识点总结

新人教版 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质：左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质：

三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

二次函数顶点对称轴,解析式

《二次函数的图象》教案 一、教学目标 (一)知识目标 1．使学生会用描点法画出二次函数的图象； 2．使学生会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴(对于不升学的学生，只要求会用公式确定抛物线的顶点和对称轴)； 3．使学生进一步理解二次函数与抛物线的有关概念； 4．使学生会用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式． (二)能力目标 1．培养学生分析问题、解决问题的能力； 2．向学生进行配方法和待定系数法的渗透，使学生能初步掌握； (三)情感目标 1．向学生进行事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点教育．2．通过二次函数的进一步研究，让学生认识到二次函数的对称轴、顶点坐标与二次项系数、一次项系数及常数项之间的内在联系的数学美及和谐的数学美． 二、教学方法 教师采用比较法、观察法、归纳总结法 本节重点是求二次函数解析式及将二次函数的解析式配方，确定抛物线的顶点、对称轴等特征，进而画出这条抛物线，在学习中，学生不要死记硬背，要运用数形结合思想，熟练画出抛物线草图，结合图像研究函数的性质以及不同图像之间的相互关系． 三、重点·难点·疑点及解决办法 1．教学重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标求对称轴及用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式．因为它们是画出二次函数的图像的基础． 2．教学难点：配方法的推导过程，因为虽然这种方法在前面学习一元二次方程时介绍过，但是在配方的过程中需要考虑加、减的数，对学生有一定的难度． 3．教学疑点：顶点式与一般式如何转化 四、教学媒体 三角板小黑板 五、教学设计思路 1．出示一组练习，导入新课． 2．“如何画的图像?”教师提问，让学生去讨论、发现：要写成的形式，找出对称轴，引入由一般式化成顶点式，推导出顶点坐标公式． 3．学生练习，为了强化巩固． 六、教学步骤 提问：说出下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标： (1) (2) (3) (4) (5)(出示幻灯) 通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩固，以便这节课的应用．这几个问题可找层次较低的学生回答，由其他同学给予评价． 我们已画过二次函数的图像，画它的图象的第一步是干什么?(列表)列表时我们是怎样取值的呢?(先确定中心值)若我们要画二次函数的图象应怎么办呢? 学生讨论得到：把二次函数转化成的形式再加以研究． 提问：怎样能把二次函数转化成的形式呢?我们先来看几个练习题：(出示幻灯)

二次函数—配方法

二次函数图像和性质（5） 学习目标： 1．配方法求二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴； 2．熟记二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标公式； 3．会画二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象． 学习重点：配方法或公式法求二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴； 学习难点：配方法求二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴； 学习过程： 一、复习引入 1、()k h x a y +-=2 的图像和性质填表： 2.抛物线()1222 ++=x y 的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 当x = 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 是由抛物线2 2x y =先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到的。 二、自主探究 探究一：配方法求顶点坐标、对称轴 （1）问题：你能直接说出函数222++=x x y 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ （2）你有办法解决问题①吗？ 222++=x x y 222++=x x y 的对称轴是 ，顶点坐标是 . （3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式， 从而直接得到它的图像性质. （4）用配方法把下列二次函数化成顶点式： ①222+-=x x y ②232 ++=x x y ③ y ＝12 x 2－6x ＋21 对称轴 对称轴 对称轴 顶点 顶点 顶点 ④4322 +-=x x y ⑤232 ++-=x x y ⑥x x y 22 --= 对称轴 对称轴 对称轴 顶点 顶点 顶点

探究二：用公式法求顶点坐标、对称轴 c bx ax y ++=2 = 对称轴 顶点坐标 用公式法把下列二次函数的顶点坐标、对称轴： ①4322 +-=x x y ②232 ++-=x x y ③x x y 22 --= 三、合作交流 根据c bx ax y ++=2的图象和性质填表： 四、精讲点拨 1、抛物线2 2()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ） A ．()m n ， B ．()m n -， C ．()m n -， D ．()m n --， 2、二次函数2 365y x x =--+的图象的顶点坐标是（ ） A ．(18)-， B ．(18)， C ．(12)-， D ．(14)-， 3、在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 A ．222-=x y B ．222+=x y C ．2)2(2-=x y D ．2)2(2+=x y 4、抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，3） B ．（－2，3） C ．（2，－3） D ．（－2，－3） 5、二次函数2(1)2y x =++的最小值是（ ）． A ．2 B ．1 C ．－3 D ． 2 3 6、将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．22(1)y x =+ B ．22(1)y x =- C ．221y x =+ D ．221y x =- 7、抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为 （A ）（-2，7） （B ）（-2，-25） （C ）（2，7） （D ）（2，-9） 8、把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式 A.()22412+--=x y B. ()42412+-=x y C.()42412++-=x y D. 3212 12 +??? ??-=x y 9、把抛物线2 y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 A ．2 (1)3y x =--- B ．2 (1)3y x =-+- C ．2(1)3y x =--+ D ．2 (1)3y x =-++

二次函数一般式与顶点坐标公式

一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 与顶点式y=a(x-h)2+k 导学案 一、学习目标： 1、会利用配方法将一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 转化为顶点式y=a(x-h)2 +k 2、用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 二、知识回顾： 1、二次函数k h x a y +-=2)(的图像和2ax y =的图像之间的关系。 2.二次函数y=a(x-h)2+k 的性质： 三、沙场点兵： 问题一：如何将一般式转化为顶点式 1、填空： 例：2 283x x --+ 22222(4)32(444)32(2)832(2)11x x x x x x =-++=-++-+=--++=--+ （1）2 2 245 ( ) x x x ++=-+ （2） 2 2 443 ( ) x x x -+-=-+ （3）22121 ( ) 2x x x -+=-+ （4）22 224 ( ) 3 x x x --+=-+ 2、你能根据上述经验回答下列问题吗？已知函数2 21213y x x =-+： （1）请把这个函数解析式转化为顶点式 （2）根据顶点式，说出该函数图像的开口方向，对称轴，顶点坐标和增减性 随堂练习： 试将下列函数转化为顶点式，并说出其对称轴，顶点坐标。 （1）262y x x =-- （2）2 124 y x x =--+ （3）2961y x x =-+ 问题二：顶点坐标公式 将2y ax bx c =++转化为顶点式： 2222 2222222424y ax bx c b c a x x a a b b b c a x a a a a b ac b a x a a =++? ?=++ ? ? ???????=+?+-+?? ? ?????????-??=++ ?? ? 22,24,24y ax bx c b x a b a c b a a =++=-?? -- ???因此，二次函数的图像是 一条抛物线，它的对称轴是直线顶点是 随堂练习：

配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标

配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标 提取二次项系数 加上再减去一次项系数一半的平方 例1、试用配方法把二次函数①y =－2x 2+4x －4 ②5632+-=x x y 化为k h x a y +-=2)(的形式并完成下表： 练习；一、填空题： 1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) c bx ax y ++=2??? ? ?++=a c x a b x a 2??? ? ??+??? ??-??? ??++=a c a b a b x a b x a 22222????????-+??? ??+=222442a b ac a b x a .44222a b ac a b x a -+??? ??+=.2:a b x -=它的对称轴是直线.44,22???? ? ?--a b ac a b 它的顶点是

5．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ . 6．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 。 7．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。 8．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n ＋(m －n)x 的图象是抛物线， 且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 9．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0. 10．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 。 11．已知二次函数y=x 2－4x+m －3的最小值为3，则m ＝ 。 二、用配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标 1、y=x 2-x-2 2、y=12 1212++-x 3、y=12 1212+--x x 4、y=22++-x x