二次函数公式
★二次函数知识点汇总★
1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.
2.二次函数2ax y =的性质
(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0 y ++=2 用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中a b a c k a b h 4422-=-=，. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①2ax y =；②k ax y +=2；③()2 h x a y -=；④()k h x a y +-=2 ；⑤c bx ax y ++=2. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向： 当0>a 时，开口向上；当0 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 4422 2 2 -+ ?? ? ??+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422 --，对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =. (3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. ★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用 (1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样. (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线a b x 2- =,故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0 >a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧； ③0 b (即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧. (3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2 与y 轴交点的位置. 当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2 与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0 b . 11.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点 (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0) (2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2 ). (3)抛物线与x 轴的交点 二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程 02 =++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交； ②有一个交点(顶点在x 轴上)?0=??抛物线与x 轴相切； ③没有交点?0 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根. (5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 ???++=+=c bx ax y n kx y 2 的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交点. (6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于 1x 、2x 是方程02 =++c bx ax 的两个根，故 a c x x a b x x =?-=+2 121, () () a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?= -=- ?? ? ??-= --= -= -=4442 2 212 212 2121 13．二次函数与一元二次方程的关系： (1)一元二次方程c bx ax y ++=2就是二次函数c bx ax y ++=2 当函数y 的值为0时的情况． (2)二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点； 当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程02 =++c bx ax 的根． (3)当二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2 有两个不 相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程 02=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴没有交点时，则一 元二次方程02 =++c bx ax 没有实数根 14.二次函数的应用： (1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值； (2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系； 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值． 15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等． ★二次函数知识点汇总★ 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =） （0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧； ③0c ,与y 轴交于正半轴；③0 二次函数常见题型及解题策略 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物 线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴） （1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。 （2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得 AN MN BM ++之和最小。 （3）如图，B A 、是直线l 同旁的两个定点，线段a ，在直线l 上确定两点E 、F （E 在F 的左侧 ），使得四边形AEFB 的周长最小。 8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法 初中函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练 一、 常用公式或结论 （1）横线段的长 = x 大-x 小 =x 右-x 左 =横标之差的绝对值（用于情况不明）。 纵线段的长 = y 大-y 小=y 上-y 下 = 纵标之差的绝对值（用于情况不明）。 （2）点轴距离： 点P （x 0 ，y 0）到X 轴的距离为0y ，到Y 轴的距离为o x 。 （3）两点间的距离公式： 若A （x 1,y 1），B(x 2,y 2), 则 AB=221212()()x x y y -+- （4）点到直线的距离： 点P （x 0 ，y 0）到直线Ax+By+C=0 (其中常数A,B,C 最好化为整系数，也方便计算)的距离为： 002 2 Ax By C d A B ++= + （5）中点坐标公式: 若A(x 1,y 1)，B （x 2,y 2），则线段AB 的中点坐标为（1212,2 2 x x y y ++） （6）直线的斜率公式： 若A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）(x 1≠x 2)，则直线AB 的斜率为：12 12 =AB y y k x x --,（x 1≠x 2） （7）两直线平行的结论： 已知直线l 1: y=k 1x+b 1 ; l 2: y=k 2x+b 2 ①若l 1//l 2,则k 1=k 2；②若k 1=k 2，且b 1 ≠b 2，则 l 1//l 2。 （8）两直线垂直的结论： 已知直线l 1: y=k 1x+b 1 ; l 2: y=k 2x+b 2 ①若l 1┴l 2，则k 1?k 2 =-1；②若k 1?k 2 =-1，则l 1┴l 2 （9）直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长公式： 【初高中数学重要衔接内容之一，设而不求的思想】 直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）截得的弦长公式是：AB=2121x x k -?+=2122124)(1x x x x k -+?+ 证明如下： 设直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）交于A （x 1, y 1）, B （x 2, y 2）两点，由两点间的距离公式可得： AB=221221)()(y y x x -+-，因为A （x 1, y 1）,B （x 2, y 2）两点是直线y=kx+n 与抛物线抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）的交点，所以 A （x 1, y 1）,B （x 2, y 2）两点也在直线y=kx+n 上， ∴y 1=kx 1+n, y 2=kx 2+n, ∴y 1-y 2=（kx 1+n ）—（kx 2+n ）=kx 1-kx 2=k （x 1-x 2）， ∴AB=2212221)()(x x k x x -+-=2212))(1(x x k -+=2121x x k -?+ =2122124)(1x x x x k -+?+ 而x 1, x 2显然是直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）组成方程组后，消去y （用代入法）所得到的那个一元二次方程的两根，从而运用韦达定理x 1+x 2 , x 1?x 2可轻松求出，进而直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长就很容易计算或表示出来。 （10）由特殊数据得到或联想的结论： ①已知点的坐标或线段的长度中若含有23、等敏感数字信息，那很可能有特殊角出现。 ②在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状，若有特殊角出现，那很多问题就好解决了。二次函数公式(精华)
初三二次函数常见题型及解题策略
二次函数常用公式、结论及训练
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