求抛物线
的对称轴和顶点坐标.2532
12-+-=x x y 知识回顾:
上述抛物线能由抛物线经过怎样的
平移得到?2
21x y -=
问题探究
对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象及图象的形状、开口方向、对称轴、顶点坐标又是怎样的?
通过变形怎样将
y=ax2+bx+c转化为
y = a(x-h)2 +k的形式?
y=ax2+bx+c =a (x 2+ x )+c
a b =a 〔x 2+ x+ –〕+c a b 22??? ??a b 22??
? ??a b = a(x+ )2 + a b 2a
b a
c 442-y=ax2+bx+c
a b ac a b x a y 44)2(2
2-++=
二次函数( a≠0)的图象是一条抛物线,
对称轴是直线x= 顶点坐标是为(,)
a b ac a b x a y 44)2(22-++=y=ax 2+bx+c a
b 2-a b 2-a b a
c 442-顶点坐标公式
二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴
2.位置与开口方向
3.增减性与最值
抛物线顶点坐标对称轴
位置
开口方向增减性
最值y=ax 2+bx+c (a>0)
y=ax 2+bx+c (a<0)由a,b 和c 的符号确定由a,b 和c 的符号确定向上
向下在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小.
在对称轴的右侧, y 随着x 的增大而增大.在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大. 在对称轴的右侧, y 随着x 的增大而减小.根据图形填表:
???? ??--a b ac a b 44,22???? ??--a b ac a b 44,22a b x 2-=直线a b x 2-=直线a b ac a b x 44,22
--=最小值为时当a
b a
c a b x 44,22--=最大值为时当
例题学习:
解:因此,抛物线的对称轴是直线x=3,顶点坐标是(3,2).
例1、求抛物线的对称轴和顶点坐标.253212-+-=x x y ,2
5,3,21-==-=c b a =-∴a b 2=?
?
? ??-?-21233=-a b ac 442=??? ??-?-??? ??-???? ??-?21432521422
1.说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴:
做一做:
22553
(1)(2)2223424
y x x y x x =--+=--开口方向:
顶点坐标:
对称轴:
2、求下列函数图象的对称轴和顶点坐标:
(1)2(1)(2)
1(2)2()32
y x x y x x =-+=-+
一般式:例2、求经过三点
A (-2,-3),
B (1,0),
C (2,5)的二次函数的解析式.x y o ····-3–2–1 1 2·
··
··
···A B C ·
·
·5-3分析:已知一般三点,用
待定系数法设为一般式求
其解析式.
例3、请求出如图所示的抛物线的解析式:
(0,1)
(2,4)
x
y O
1、抛物线y=-x 2+m x -n 的顶点坐标是(2,-3),求m ,n 的值.
做一做:
x =-3x 2、已知二次函数图象的对称轴是,且函数有最大值为2,图象与轴的一个交点是(-1,0),求这个二次函数的解析式.
这节课你有什么收获和体会?
二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴
2.位置与开口方向
3.增减性与最值
抛物线顶点坐标对称轴
位置
开口方向增减性
最值y=ax 2+bx+c (a>0)
y=ax 2+bx+c (a<0)由a,b 和c 的符号确定由a,b 和c 的符号确定向上
向下在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小.
在对称轴的右侧, y 随着x 的增大而增大.在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大. 在对称轴的右侧, y 随着x 的增大而减小.根据图形填表:
???? ??--a b ac a b 44,22???? ??--a b ac a b 44,22a b x 2-=直线a b x 2-=直线a b ac a b x 44,22
--=最小值为时当a
b a
c a b x 44,22--=最大值为时当
《公式法解一元二次方程》教案 教学目标 、知识技能 掌握一元二次方程求根公式的推导,会运用公式法解一元二次方程. 、数学思考 通过求根公式的推导,培养学生数学推理的严密性及严谨性. 、解决问题 培养学生准确快速的计算能力. 、情感态度 通过公式的引入,培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识;通过求根公式的推导,渗透分类的思想. 重难点、关键 重点:求根公式的推导及 用公式法解一元二次方程. 难点:对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解. 关键:掌握一元二次方程的求根公式,并应用求根公式法解简单的一元二次方程. 教学过程 一、复习引入 【问题】(学生总结,老师点评) .用配方法解下列方程 ()- ()- .总结用配方法解一元二次方程的步骤。 ()移项; ()化二次项系数为; ()方程两边都加上一次项系数的一半的平方; ()原方程变形为()的形式; ()如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解. 【活动方略】 教师演示课件,给出题目. 学生根据所学知识解答问题. 【设计意图】 复习配方法解一元二次方程,为继续学习公式法引入作好铺垫. 一、 探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式(≠),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题. 【问题】 已知(≠)且-4ac≥,试推导它的两个根为2b a -+,2b a - 分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把、、?也当成一个具体数字,根据
上面的解题步骤就可以一直推下去. 解:移项,得:- 二次项系数化为,得 b a - c a 配方,得:b a (2b a )-c a (2b a ) 即(2b a )2244b ac a - ∵-4ac≥且4a> ∴2244b ac a -≥ 直接开平方,得:2b a 即2b a - ∴2b a -,2b a -- 【说明】 这里a ac b b x 242-±-= (042≥-ac b )是一元二次方程的求根公式 【活动方略】 鼓励学生独立完成问题的探究,完成探索后,教师让学生总结归纳,由形式是一元二次方程的一般形式,得出一元二次方程的求根公式. 【设计意图】 创设问题情境,激发学生兴趣,引出本节内容,导出一元二次方程的求根公式。 【思考】 利用公式法解下列方程,从中你能发现什么 ()2320;x x -+=()2222 -=-x x ()24320x x -+= 【活动方略】 在教师的引导下,学生回答,教师板书 引导学生总结步骤:确定c b a ,,的值、算出ac b 42-的值、代入求根公式求解. 在学生归纳的基础上,老师完善以下几点: ()一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根是由一元二次方程的系数c b a ,,确定的;
★二次函数知识点汇总★ 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =) (0≠a 的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点;②当0a 时,开口向上;当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧; ③0c ,与y 轴交于正半轴;③0 二次函数常见题型及解题策略 1、两点间的距离公式:()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标:线段AB 的中点C 的坐标为:??? ??++22 B A B A y y x x , 3、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下: ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值围; ② 解方程,求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式) ③ 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。 例:关于x 的一元二次方程()0122 2 =-m x m x ++有两个整数根,5<m 且m 为整数,求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。(方法同上) 例:若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,试确定此抛物 线的解析式。 5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下: 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=(m 为实数),求证:无论m 为何值,方程总有一个固定的根。 解:当0=m 时,1=x ; 当0≠m 时,()032 ≥-=?m ,()m m x 213?±-= ,m x 3 21-=、12=x ; 综上所述:无论m 为何值,方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题,举例如下: 已知抛物线22 -+-=m mx x y (m 是常数),求证:不论m 为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。 解:把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ; ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ,解得:???=-=1 1 x y ; ∴ 抛物线总经过一个固定的点(1,-1)。 (题目要求等价于:关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值,方程恒成立) 小结.. :关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a 7、路径最值问题(待定的点所在的直线就是对称轴) (1)如图,直线1l 、2l ,点A 在2l 上,分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ,使得MN AM +之和最小。 (2)如图,直线1l 、2l 相交,两个固定点A 、B ,分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ,使得 AN MN BM ++之和最小。 (3)如图,B A 、是直线l 同旁的两个定点,线段a ,在直线l 上确定两点E 、F (E 在F 的左侧 ),使得四边形AEFB 的周长最小。 8、在平面直角坐标系中求面积的方法:直接用公式、割补法 应用拓展 某数学兴趣小组对关于x 的方程(m+1)22m x ++(m-2)x-1=0提出了下列问题. (1)若使方程为一元二次方程,m 是否存在?若存在,求出m 并解此方程. (2)若使方程为一元二次方程m 是否存在?若存在,请求出. 你能解决这个问题吗? 分析:能.(1)要使它为一元二次方程,必须满足m 2+1=2,同时还要满足(m+1)≠0. (2)要使它为一元一次方程,必须满足: ①211(1)(2)0m m m ?+=?++-≠?或②21020m m ?+=?-≠?或③1020 m m +=??-≠? 解:(1)存在.根据题意,得:m 2+1=2 m 2=1 m=±1 当m=1时,m+1=1+1=2≠0 当m=-1时,m+1=-1+1=0(不合题意,舍去) ∴当m=1时,方程为2x 2-1-x=0 a=2,b=-1,c=-1 b 2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=1+8=9 134 ±= x 1=,x 2=-12 因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根x 1=1,x 2=- 12. (2)存在.根据题意,得:①m 2+1=1,m 2=0,m=0 因为当m=0时,(m+1)+(m-2)=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意. ②当m 2+1=0,m 不存在. ③当m+1=0,即m=-1时,m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意. 当m=0时,一元一次方程是x-2x-1=0, 解得:x=-1 当m=-1时,一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-13 因此,当m=0或-1时,该方程是一元一次方程,并且当m=0时,其根为x=-1;当m=-?1时,其一元一次方程的根为x=- 13. 布置作业 1.教材P 45 复习巩固4. 2.选用作业设计: 公式法解一元二次方程及答案详细解析 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 21.2.2公式法 一.选择题(共5小题) 1.用公式法解一元二次方程x2﹣5x=6,解是() A.x1=3,x2=2 B.x1=﹣6,x2=﹣1 C.x1=6,x2=﹣1 D.x1=﹣3,x2=﹣2 2.用公式法求一元二次方程的根时,首先要确定a、b、c的值.对于方程﹣ 4x2+3=5x,下列叙述正确的是() A.a=﹣4,b=5,c=3 B.a=﹣4,b=﹣5,c=3 C.a=4,b=5,c=3 D.a=4,b=﹣5,c=﹣3 3.(2011春?招远市期中)一元二次方程x2+c=0实数解的条件是() A.c≤0B.c<0 C.c>0 D.c≥0 4.(2012秋?建平县期中)若x=1是一元二次方程x2+x+c=0的一个解,则c2+c=() A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2013?下城区二模)一元二次方程x(x﹣2)=2﹣x的解是() A.﹣1 B.2 C.﹣1或2 D.0或2 二.填空题(共3小题) 6.(2013秋?兴庆区校级期中)用公式法解一元二次方程﹣x2+3x=1时,应求出a,b,c的值,则:a=;b=;c=. 7.用公式法解一元二次方程x2﹣3x﹣1=0时,先找出对应的a、b、c,可求得 △,此方程式的根为. 8.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0,用配方法解此方程,配方后的方程是. 三.解答题(共12小题) 9.(2010秋?泉州校级月考)某液晶显示屏的对角线长30cm,其长与宽之比为4:3,列出一元二次方程,求该液晶显示屏的面积. 10.(2009秋?五莲县期中)已知一元二次方程x2+mx+3=0的一根是1,求该方程的另一根与m的值. 11.x2a+b﹣2x a+b+3=0是关于x的一元二次方程,求a与b的值. 12.(2012?西城区模拟)用公式法解一元二次方程:x2﹣4x+2=0. 13.(2013秋?海淀区期中)用公式法解一元二次方程:x2+4x=1. 14.(2011秋?江门期中)用公式法解一元二次方程:5x2﹣3x=x+1. 15.(2014秋?藁城市校级月考)(1)用公式法解方程:x2﹣6x+1=0; (2)用配方法解一元二次方程:x2+1=3x. 16.(2013秋?大理市校级月考)解一元二次方程: (1)4x2﹣1=12x(用配方法解); (2)2x2﹣2=3x(用公式法解). 17.(2013?自贡)用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0. 18.(2014?泗县校级模拟)用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式. 19.(2011秋?南开区校级月考)(1)用公式法解方程:2x2+x=5 (2)解关于x的一元二次方程:. 20.(2011?西城区二模)已知:关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围; 初中函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练 一、 常用公式或结论 (1)横线段的长 = x 大-x 小 =x 右-x 左 =横标之差的绝对值(用于情况不明)。 纵线段的长 = y 大-y 小=y 上-y 下 = 纵标之差的绝对值(用于情况不明)。 (2)点轴距离: 点P (x 0 ,y 0)到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x 。 (3)两点间的距离公式: 若A (x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则 AB=221212()()x x y y -+- (4)点到直线的距离: 点P (x 0 ,y 0)到直线Ax+By+C=0 (其中常数A,B,C 最好化为整系数,也方便计算)的距离为: 002 2 Ax By C d A B ++= + (5)中点坐标公式: 若A(x 1,y 1),B (x 2,y 2),则线段AB 的中点坐标为(1212,2 2 x x y y ++) (6)直线的斜率公式: 若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1≠x 2),则直线AB 的斜率为:12 12 =AB y y k x x --,(x 1≠x 2) (7)两直线平行的结论: 已知直线l 1: y=k 1x+b 1 ; l 2: y=k 2x+b 2 ①若l 1//l 2,则k 1=k 2;②若k 1=k 2,且b 1 ≠b 2,则 l 1//l 2。 (8)两直线垂直的结论: 已知直线l 1: y=k 1x+b 1 ; l 2: y=k 2x+b 2 ①若l 1┴l 2,则k 1?k 2 =-1;②若k 1?k 2 =-1,则l 1┴l 2 (9)直线与抛物线(或双曲线)截得的弦长公式: 【初高中数学重要衔接内容之一,设而不求的思想】 直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c (或双曲线y=m/x )截得的弦长公式是:AB=2121x x k -?+=2122124)(1x x x x k -+?+ 证明如下: 设直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c (或双曲线y=m/x )交于A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)两点,由两点间的距离公式可得: AB=221221)()(y y x x -+-,因为A (x 1, y 1),B (x 2, y 2)两点是直线y=kx+n 与抛物线抛物线y=ax 2+bx+c (或双曲线y=m/x )的交点,所以 A (x 1, y 1),B (x 2, y 2)两点也在直线y=kx+n 上, ∴y 1=kx 1+n, y 2=kx 2+n, ∴y 1-y 2=(kx 1+n )—(kx 2+n )=kx 1-kx 2=k (x 1-x 2), ∴AB=2212221)()(x x k x x -+-=2212))(1(x x k -+=2121x x k -?+ =2122124)(1x x x x k -+?+ 而x 1, x 2显然是直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c (或双曲线y=m/x )组成方程组后,消去y (用代入法)所得到的那个一元二次方程的两根,从而运用韦达定理x 1+x 2 , x 1?x 2可轻松求出,进而直线与抛物线(或双曲线)截得的弦长就很容易计算或表示出来。 (10)由特殊数据得到或联想的结论: ①已知点的坐标或线段的长度中若含有23、等敏感数字信息,那很可能有特殊角出现。 ②在抛物线的解析式求出后,要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状,若有特殊角出现,那很多问题就好解决了。 公式法解一元二次方程 一、教学目标 (1)知识目标 1.理解求根公式的推导过程和判别公式; 2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程. (2)能力目标 1.通过由配方法推导求根公式,培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思 想. 2.结合的使用求根公式解一元二次方程的练习,培养学生运用公式解决问题的能力,全面培养学生解方程的能力,使学生解方程的能力得到切实的提高。 (3)德育目标 让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解,形成全面解决问题的积极情感,感受公式的对称美、简洁美,产生热爱数学的情感. 二、教学的重、难点及教学设计 (1)教学的重点 1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤. 2.熟练地用求根公式解一元二次方程。 (2)教学的难点: 理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。 (3)教学设计要点 1.情境设计 上课开始,通过提问让学生回忆一元二次方程的概念及配方法解一元二次方程的一般步骤。利用昨天所学“配方法”解一元二次方程,达到“温故而知新”的目的和总结配方法的一般步骤,为下一步解一般形式的一元二次方程做准备。 然后让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 能否用配方法求出它的解?引出本节课的内容。 2.教学内容的处理 (1)回顾配方法的解题步骤,用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。 (2)总结用公式法解一元二次方程的解题步骤,并补充理解判别公式的分类与应用。 (3)在小黑板上补充课后思考题:李强和萧晨刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 李强说:“此方程有两个不相等的实数根”,而萧晨反驳说:“不一定,根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由. 3.教学方法 在教学中由特殊的解法(配方法)引导探究一般形式一元二次方程的解的形初三二次函数常见题型及解题策略
解一元二次方程(公式法)
公式法解一元二次方程及答案详细解析
二次函数常用公式、结论及训练
公式法解一元二次方程教案
二次函数公式汇总