二次函数常用公式、结论及训练

初中函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练

一、 常用公式或结论

（1）横线段的长 = x 大-x 小 =x 右-x 左 =横标之差的绝对值（用于情况不明）。 纵线段的长 = y 大-y 小=y 上-y 下 = 纵标之差的绝对值（用于情况不明）。 （2）点轴距离：

点P （x 0 ，y 0）到X 轴的距离为0y ，到Y 轴的距离为o x 。 （3）两点间的距离公式：

若A （x 1,y 1），B(x 2,y 2), 则 AB=221212()()x x y y -+- （4）点到直线的距离：

点P （x 0 ，y 0）到直线Ax+By+C=0 (其中常数A,B,C 最好化为整系数，也方便计算)的距离为：

002

2

Ax By C

d A B

++=

+

（5）中点坐标公式:

若A(x 1,y 1)，B （x 2,y 2），则线段AB 的中点坐标为（1212,2

2

x x y y ++）

（6）直线的斜率公式：

若A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）(x 1≠x 2)，则直线AB 的斜率为：12

12

=AB y y k x x --,（x 1≠x 2）

（7）两直线平行的结论：

已知直线l 1: y=k 1x+b 1 ; l 2: y=k 2x+b 2

①若l 1//l 2,则k 1=k 2；②若k 1=k 2，且b 1 ≠b 2，则 l 1//l 2。 （8）两直线垂直的结论：

已知直线l 1: y=k 1x+b 1 ; l 2: y=k 2x+b 2 ①若l 1┴l 2，则k 1?k 2 =-1；②若k 1?k 2 =-1，则l 1┴l 2

（9）直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长公式：

【初高中数学重要衔接内容之一，设而不求的思想】

直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）截得的弦长公式是：AB=2121x x k -?+=2122124)(1x x x x k -+?+ 证明如下：

设直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）交于A （x 1, y 1）, B （x 2, y 2）两点，由两点间的距离公式可得：

AB=221221)()(y y x x -+-，因为A （x 1, y 1）,B （x 2, y 2）两点是直线y=kx+n 与抛物线抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）的交点，所以 A （x 1, y 1）,B （x 2, y 2）两点也在直线y=kx+n 上，

∴y 1=kx 1+n, y 2=kx 2+n, ∴y 1-y 2=（kx 1+n ）—（kx 2+n ）=kx 1-kx 2=k （x 1-x 2）， ∴AB=2212221)()(x x k x x -+-=2212))(1(x x k -+=2121x x k -?+ =2122124)(1x x x x k -+?+

而x 1, x 2显然是直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）组成方程组后，消去y （用代入法）所得到的那个一元二次方程的两根，从而运用韦达定理x 1+x 2 , x 1?x 2可轻松求出，进而直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长就很容易计算或表示出来。

（10）由特殊数据得到或联想的结论：

①已知点的坐标或线段的长度中若含有23、等敏感数字信息，那很可能有特殊角出现。

②在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状，若有特殊角出现，那很多问题就好解决了。

③还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜率K的值，若3

K=

±，则直线

3

与X轴的夹角为0

±，则直线30；若K=1±；则直线与X轴的夹角为045；若K=3

与X轴的夹角为0

60

教学建议：在八年级下册讲一次函数与反比例函数时，就引入上述绝大多数公式，然后再强化练习，为后续学习打下基础。

二、基本公式或结论训练

--------破解函数难题的基石

（一）横线段的长度计算：【特点：两端点的y标相等，长度=-

】。

x x

大小

（1）若A（2,0），B（10,0），则AB=————————。

（2）若A（-2,0），B（-4,0），则AB=——————————。

（3）若M（-3,0），N（10,0），则MN=——————————。

（4）若O（0,0），A（6,0），则OA=————————。

（5）若O（0,0），A（-4,0），则OA=——————————。

（6）若O（0,0），A(t,0),且A在O的右端，则OA=———。

（7）若O（0,0），A(t,0),且A在O的左端，则OA=———。

（8）若A(-2t,6),B(3t,6),且A在B的右端，则AB=————。

（9）若A（4t,m）,B(1-2t,m),且B在A的左端，则AB=——————。

（10）若P（2m+3,a）,M(1-m,a),且P在M的右端，则PM=————————。

注意：横线段上任意两点的y标是相等的，反之y标相等的任意两个点都在横线段上。

】。（二）纵线段的长度计算：【特点：两端点的x标相等，长度=-

y y

大小

（1）若A(0,5)，B（0,7），则AB=——————————。

（2）若A（0，-4），B（0，-8),,则AB=——————。

（3）若A（0,2），B（0，-6），则AB=————————。

（4）若A（0,0），B（0，-9),则AB=————————。

（5）若A(0,0)，B(0,-6)，则AB=————————。

（6）若O(0,0)，A(0,t),且A在O的上端，则OA=————————。

（7）若O（0,0），A（0，t),且A在O的下端，则OA=——————————。

（8）若A（6，-4t),B(6,3t),且A在B的上端，则AB=————————。

（9）若M （m,1-2t),N(m,3-4t),且M 在N 的下端，则MN=————————。 （10）若P （t,3n+2),M(t,1-2n),且P 在M 的上端，则PM=————————。

注意：纵线段上任意两点的x 标是相等的，反之x 标相等的任意两个点都在纵线段上。

（三）点轴距离：

一个点(x y 标标，）到x 轴的的距离等于该点的y 标的绝对值（即y 标

），到y 轴

的距离等于该点的x 标的绝对值（即

x 标

）。

（1）点（-4,-3)到x 轴的距离为————————，到y 轴的距离为————————。

（2）若点A （1-2t,223t t +-)在第一象限，则点A 到x 轴的距离为————，到y 轴的距离为__________。

（3）若点M （t,243t t ++)在第二象限，则点M 到x 轴的距离为 ;到y 轴的距离为———。

（4）若点A （-t,2t-1)在第三象限，则点A 到x 轴的距离为—，到y 轴的距离为 。

（5）若点N （t ，-t 2

+2t-3)点在第四象限，则点N 到x 轴的距离为——————，到y 轴的距离为_________。

（6）若点P （t ,t 2+2t-3)在x 轴上方，则点P 到ｘ轴的距离为____________。

（7）若点Q（ｔ，t2-2t-6）在ｘ轴下方，则点Q到ｘ轴的距离为_____________。

（8）若点D（ｔ，t2+4t-5）在ｙ轴左侧，则点D到ｙ轴的距离为____________。（9）若点E（ｎ，２ｎ＋６）在ｙ轴的右侧，则点E到ｙ轴的距离为_______________。

（10）若动点P（ｔ，t2-2t+3）在ｘ轴上方，且在ｙ轴的左侧，则点P到ｘ轴的距离为_________________，到ｙ轴的距离为——————————。

（11）若动点P（ｔ，t2-2t+3）在ｘ轴上方，且在ｙ轴的右侧，则点P到ｘ轴的距离为———————，到ｙ轴的距离为————————————。

（12）若动点P（ｔ，t2-2t+3）在ｘ轴下方，且在ｙ轴的左侧，则点P

ｘ轴的距离为———————，到ｙ轴的距离为——————————。

（13）若动点P（ｔ，t2-2t+3）在ｘ轴下方，且在ｙ轴的右侧，则点P到ｘ轴的距离为———————，到ｙ轴的距离为——————————。

注意：在涉及抛物线，直线，双曲线等上的动点问题中，在动点坐标“一母示”后，还要高度关注动点运动变化的区域（例如：动点Ｐ在抛物线ｙ＝x2-2x+3上位于ｘ轴下方，ｙ轴右侧的图象上运动），以便准确写出动点坐标中参数字母的取值范围，以及点轴距离是等于相应x

（或y）的相反数，

标标

还是其本身。

（四）中点坐标的计算：

若【A （x 1,y 1），B(x 2,y 2),，则线段AB 的中点坐标为（1

2

12

,

2

2

x x

y y ++）】

（1）若A （－4，３），B （6，7），则AB 中点为————————————。

（2）若M （0，-6），N （6，-4），则MN 的中点坐标为————————————。

（3）若P （1-32

，）

，Q （11

32

，），则PQ 的中点坐标为————————。

（4）若A(1,2),B(-3,4),且B 为AM 的中点，则M 点的坐标为——————————。

（5）若A(-1,3),B(0,2),且A 为BP 中点，则P 点坐标为————————————。

（6）点P （－5,0）关于直线ｘ＝2的对称点的坐标为————————————。

（7）点P （6,0）关于直线ｘ＝1的对称点的坐标为————————————。

（8）点P （6,2）关于直线ｘ＝3的对称点的坐标为___________。

（9）点Q （－4,3）关于直线ｘ＝－3的对称点的坐标为——————————。

（10）点M （－4，－2）关于直线ｘ＝2的对称点的坐标为————————————。 （11）点P （4，－3）关于直线ｘ＝－1的对称点的坐标为————————————。

（12）点M （－4,2）关于直线ｙ＝－1的对称点的坐标为——————————。

（13）点T （4，－3）关于直线ｙ＝1的对称点的坐标为——————————。

（14）点Q （0，－3）关于ｘ轴的对称点的坐标为————————————。

(15）点N （4,0）关于ｙ轴的对称点的坐标为——————。

（五）由两直线平行或垂直，求直线解析式。【两直线平行，则两个k 值相等；两直线垂直，则两个k 值之积为-1.】

（1）某直线与直线y=2x+3平行，且过点（1，-1），求此直线的解析式。

（2）某直线与直线y=12

-x+1平行，且过点（2，3），求此直线的解析式。

（3）某直线与直线y=253

x --平行，且过点（-3，0），求此直线的解析式。

（4）某直线与y 轴交于点P （0,3），且与直线y=112

x -平行,求此直线的解

析式。

（5）某直线与x 轴交于点P （-2,0），且与直线y=142

x -+平行，求此直线的

解析式。

（6）某直线与直线y=2x-1垂直，且过点（2,1），求此直线的解析式。

（7）某直线与直线y=-3x+2垂直，且过点（3,2），求此直线的解析式。

（8）某直线与直线y=213

x +垂直，且过点（2，-1），求此直线的解析式。

（9）某直线与直线y=142

x --垂直，且过点（1，-2），求此直线的解析式。

（10）某直线与x 轴交于点P （-4,0），且与直线y=253

x -+垂直，求此直线

的解析式。

（六）两点间的距离公式： 若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则

2

21221)()(y y x x AB -+-=

（１）若A （-2,0），B （0，3），则AB=————————。

（2）若P （-2,3），Q （1，-1），则PQ=————————。

（3）若M （0,2），N （-2,5），则MN=————————。

（4）若P（1

,0

2），Q（

1

0,

3

-），则PQ=

——————————。

（５）若A（1

,3

2

-),B(-1,1

2

-),则AB=

————————————。

（６）若P(31

,

42),B(

1

,1

4

--),则PB＝

——————————。

（７）若P(31

,

42),B

)1,

4

1

(-,则PB=

————————————。

（８）若P(

12

,

43

-)，M(1,1

2

-)，则PM=

——————————。

（９）若A（

21

,

53

-），B（12

,

53

--），则AB＝

——————————。

（１０）若A（

2

,1

3

-），B（1

1,

2

-），则AB＝

——————————。

（11）若A（－2,０），B（3,０），则AB＝————————。（１２）若P(0，-4)，Q(0，-2)，则PQ=————————————。

（13）若P(3,0)，Q(4,0)，则PQ=——————————————。 （１４）若P(1，-4)，Q(2,0)，则PQ=————————————。

（七）直线的斜率公式：【注：所谓斜率，就是一次函数y=kx+b 中k 的值】；可由两个点的坐标直接求得：

若A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）(x 1≠x 2)，则直线AB 的斜率为：12

12

=

AB y y k x x --,（x 1≠x 2）

例题：若A(2，-3)，B(-1,4)，则k AB = 解：∵

A(2，-3)，B(-1,4)， ∴AB

k =(3)47

2(1)3

--=---

（1）若A(0，2)，B(3，0)，则AB k = 。

（2）若A(1，-2)，B(-3，1)，则AB k = 。

（3）若M(-3，1)，N(-2，4)，则MN k = 。

（4）若P(1，-4)，Q(-1，2)，则PQ k = 。

（5）若C(-1，1)，Q(-21，31

-)，则CQ k = 。

（6）若E(32，-1)，F(-31，-21

)，则EF k = 。

（7）若M(-52，-31)，Q(-1，-21

)，则MQ k = 。

（8）若P （-32，-43)，Q(-1，-41

)，则PQ k = 。

（八）点到直线的距离公式：

点P （x 0 ,y 0）到直线Ax+By+C=0（为了方便计算，A,B,C 最好化为整系数）的距离公式为：0022

+C

A +

B Ax By d +=

；运用该公式时，要先把一次函数y=kx+b 化

为一般式Ax+By+C=0的形式（即：先写x 项，再写y 项，最后写常数项，等号右边必须是0）。 例题：求点P(2,-3)到直线12

23y x =

-的距离。

解：先把直线32

21-=

x y 化为一般式

3x-6y-4=0

所以

22

36()4

4

53

3(6)23d ?-?-=

=

+--

的值就是把点00(,)x y 对应代入代数式Ax+By+C 中。

（1）求点P （-2，1）到直线y=x+2的距离。

（2）求点Q （1，-4）到直线y=2x-1的距离.

（3）求点A （1，2）到直线121

-=

x y 的距离.

（4）求点M （0，-3）到直线131

-=

x y 的距离.

（5）求点P （-2，0）到直线41

21-=

x y 的距离.

（6）求点K （-3，-2）到直线x y 31-=的距离.

（7）求点P （-3，-1）到直线31

21-=

x y 的距离.

（8）求点P （-21

，-1）到直线2131+=x y 的距离.

（9）求点

Q （-21，-31

）到直线2143-=x y 的距离.

（10）求点P （-32，-43

）到直线4123-=x y 的距离.

（11）求点N （-23，-31

）到直线3221+-=x y 的距离.

（12）求点D （-52，43

）到直线3121-=x y 的距离.

（13）求点E （-53，32

-）到直线x y 4123-=的距离.

（九）一个点关于一条斜直线的对称点：

（1）求点A （-2,3）关于直线y=x-2的对称点坐标。

（2）求点B （3，-1,）关于直线y=2x-5的对称点坐标.

（3）求点Q （3，2,）关于直线y=-3x+5的对称点坐标。

（4）求点N （1，-2,）关于直线

321

-=

x y 的对称点坐标。

（5）求点D

)

3

2

,

2

1

(-

关于直线y=-2x+1的对称点坐标。

（6）求点

)

2

1

,

3

2

(-

-

E

关于直线2

1

4

3

-

=x

y

的对称点坐标。

（十）直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长：

（1）求直线y=x+2与抛物线ｙ＝ｘ２－２ｘ－３截得的长。（2）求直线y=-x+3与抛物线ｙ＝２ｘ２－３ｘ－１截得的弦长。（3）求直线y=2x-1与抛物线ｙ＝３ｘ２－２ｘ－４截得的弦长。（4）求直线y=x+1与双曲线ｙ＝２／ｘ截得的弦长。

（5）求直线y=-2x-3与双曲线ｙ＝－３／ｘ截得的弦长。

（6）求直线y=-x+3与双曲线ｙ＝１／ｘ截得的弦长。 （7）求直线y=3x-5与双曲线ｙ＝－１／ｘ截得的弦长。

（十一）求下列二次函数的最值（运用配方法，公公法，公代法三种方法求解）

（1）y=2x 2-3x-1 (2)y=3x 2-4x (3)y=-3x 2+4x-1

(4)y=2/3x 2+5x-6 (5)y=3/5x 2-3x (6)y=-1/2x 2-3/4x-2/3 (十二)解下列方程：

（1）35=-m （2）132+=-t t （3）t t 3512-=- （4）232=-t t （5）12322-=-t t t （6）3522-=-t t t

（7）3232-=+-n n n （8）523222-=+-m m m （9）5243222-+=--m m m m

公式法解一元二次方程教案-人教版

《公式法解一元二次方程》教案 教学目标 、知识技能 掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程． 、数学思考 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性． 、解决问题 培养学生准确快速的计算能力． 、情感态度 通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识；通过求根公式的推导，渗透分类的思想． 重难点、关键 重点：求根公式的推导及 用公式法解一元二次方程． 难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解． 关键：掌握一元二次方程的求根公式，并应用求根公式法解简单的一元二次方程． 教学过程 一、复习引入 【问题】（学生总结，老师点评） .用配方法解下列方程 （）－ （）－ ．总结用配方法解一元二次方程的步骤。 （）移项； （）化二次项系数为； （）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （）原方程变形为（）的形式； （）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 【活动方略】 教师演示课件，给出题目． 学生根据所学知识解答问题． 【设计意图】 复习配方法解一元二次方程，为继续学习公式法引入作好铺垫． 一、 探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式（≠），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 【问题】 已知（≠）且－4ac≥，试推导它的两个根为2b a -+，2b a - 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把、、?也当成一个具体数字，根据

上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：－ 二次项系数化为，得 b a － c a 配方，得：b a （2b a ）－c a （2b a ） 即（2b a ）2244b ac a - ∵－4ac≥且4a> ∴2244b ac a -≥ 直接开平方，得：2b a 即2b a - ∴2b a -，2b a -- 【说明】 这里a ac b b x 242-±-= （042≥-ac b ）是一元二次方程的求根公式 【活动方略】 鼓励学生独立完成问题的探究，完成探索后，教师让学生总结归纳，由形式是一元二次方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式． 【设计意图】 创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容，导出一元二次方程的求根公式。 【思考】 利用公式法解下列方程，从中你能发现什么 （）2320;x x -+=（）2222 -=-x x （）24320x x -+= 【活动方略】 在教师的引导下，学生回答，教师板书 引导学生总结步骤：确定c b a ,,的值、算出ac b 42-的值、代入求根公式求解． 在学生归纳的基础上，老师完善以下几点： （）一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根是由一元二次方程的系数c b a ,,确定的；

初二数学二次函数顶点坐标公式

初二数学二次函数顶点坐标公式初二数学二次函数顶点坐标公式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： (1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a0),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) (2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a0). (3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2) (4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a0. 二次函数顶点坐标公式 说明： 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：

乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点. 要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼

二次函数顶点式练习题

二次函数专题训练 1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值 y= 。. 3、函数 y ＝12 (x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大. 4、 函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=2 1x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单 位得到. 5.已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是 。 6.如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ） A 、 x>3 B 、x<3 C 、x>1 D 、x<1 7.已知函数()3232 +--=x y . 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； 当x= 时，抛物线有最 值，是 . 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. 求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； 求出该抛物线与y 轴的交点坐标； 若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； 该函数图象可由2 3x y -=的图象经过怎样的平移得到的 该抛物线经过怎样的平移能经过原点.

※8..如图是二次函数y=a （x+1）2+2图象的一部分，该图在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 _________ ． 9.根据图像求二次函数的解析式. ※10.抛物线y =(x －1)2+n 与x 轴交于A 、B 两点, 与y 轴负半轴交于C （0，-3）。 (1) 求抛物线的解析式; （2）点P 为对称轴右侧抛物线上一点，以BP 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M 落在对称轴上，求P 点、M 点的坐标。 M y x P O C B A

二次函数公式(精华)

★二次函数知识点汇总★ 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =） （0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧； ③0c ,与y 轴交于正半轴；③0

《二次函数顶点式》教学设计

二次函数y ＝(x －h)2 +k 的图象 学习目标： 1．会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h)2＋k 的图象； 2．掌握二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质； 3．会应用二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质解题． 重点：会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h)2＋k 的图象. 难点：掌握二次函数a (x －h)2＋k 的性质。 一、课前小测 1．函数24(2)y x =-的图象开口向______，顶点是_________，对称轴是_______， 当x ＝_________时，有最_________值是_________． 2．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口向下抛物线解析式__________________． 写出一个顶点坐标为（－3，0），开口向下抛物线解析式__________________． 二、探索新知 1、问题一：提出问题，创设情境 画出函数y ＝－1 2 (x ＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值 观察图象得： （1）函数y ＝－1 2 (x ＋1)2－1的图象开口向______，顶点是_________，对称轴是_______，当x ＝_________时，有最_________值是_________． （2）把抛物线y ＝－1 2 x 2向_______平移______个单位，再向_______平移_______ 个单位，就得到抛物线y ＝－1 2 (x ＋1)2－1． 3、问题二：应用法则 探索解题.

例1．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝1 2x 2相同的解析式为 （） A．y＝1 2(x－2) 2＋3 B．y＝ 1 2(x＋2) 2－3 C．y＝1 2(x＋2) 2＋3 D．y＝－ 1 2(x＋2) 2＋3 三、作业：A组： 1．填表 2 3．将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________． B组： 1．抛物线y＝－3 (x＋4)2＋1中，的图象开口向______，顶点是_________，对称轴是_______，当x＝_______时，y有最________值是________． 2．将抛物线y＝2 (x＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________________________。 3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（） A B C D 4．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为___________________________．（任写一个）

解一元二次方程(公式法)

应用拓展 某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题． （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足: ①211(1)(2)0m m m ?+=?++-≠?或②21020m m ?+=?-≠?或③1020 m m +=??-≠? 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2 m 2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0 当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 134 ±= x 1=，x 2=-12 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=- 12． （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0 因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意． ②当m 2+1=0，m 不存在． ③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意． 当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1 当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-13 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-?1时，其一元一次方程的根为x=- 13． 布置作业 1．教材P 45 复习巩固4． 2．选用作业设计:

公式法解一元二次方程及答案详细解析

公式法解一元二次方程及答案详细解析 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

21.2.2公式法 一．选择题（共5小题） 1．用公式法解一元二次方程x2﹣5x=6，解是（） A．x1=3，x2=2 B．x1=﹣6，x2=﹣1 C．x1=6，x2=﹣1 D．x1=﹣3，x2=﹣2 2．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣ 4x2+3=5x，下列叙述正确的是（） A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3 C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5，c=﹣3 3．（2011春?招远市期中）一元二次方程x2+c=0实数解的条件是（） A．c≤0B．c＜0 C．c＞0 D．c≥0 4．（2012秋?建平县期中）若x=1是一元二次方程x2+x+c=0的一个解，则c2+c=（） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2013?下城区二模）一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的解是（） A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．0或2 二．填空题（共3小题） 6．（2013秋?兴庆区校级期中）用公式法解一元二次方程﹣x2+3x=1时，应求出a，b，c的值，则：a=；b=；c=． 7．用公式法解一元二次方程x2﹣3x﹣1=0时，先找出对应的a、b、c，可求得 △，此方程式的根为． 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0，用配方法解此方程，配方后的方程是．

三．解答题（共12小题） 9．（2010秋?泉州校级月考）某液晶显示屏的对角线长30cm，其长与宽之比为4：3，列出一元二次方程，求该液晶显示屏的面积． 10．（2009秋?五莲县期中）已知一元二次方程x2+mx+3=0的一根是1，求该方程的另一根与m的值． 11．x2a+b﹣2x a+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值． 12．（2012?西城区模拟）用公式法解一元二次方程：x2﹣4x+2=0． 13．（2013秋?海淀区期中）用公式法解一元二次方程：x2+4x=1． 14．（2011秋?江门期中）用公式法解一元二次方程：5x2﹣3x=x+1． 15．（2014秋?藁城市校级月考）（1）用公式法解方程：x2﹣6x+1=0； （2）用配方法解一元二次方程：x2+1=3x． 16．（2013秋?大理市校级月考）解一元二次方程： （1）4x2﹣1=12x（用配方法解）； （2）2x2﹣2=3x（用公式法解）． 17．（2013?自贡）用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0． 18．（2014?泗县校级模拟）用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． 19．（2011秋?南开区校级月考）（1）用公式法解方程：2x2+x=5 （2）解关于x的一元二次方程：． 20．（2011?西城区二模）已知：关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围；

公式法解一元二次方程教案

公式法解一元二次方程 一、教学目标 （1）知识目标 1.理解求根公式的推导过程和判别公式； 2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程. （2）能力目标 1.通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思 想． 2．结合的使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高。 (3)德育目标 让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感． 二、教学的重、难点及教学设计 （1）教学的重点 1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤. 2.熟练地用求根公式解一元二次方程。 （2）教学的难点： 理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。 （3）教学设计要点 1.情境设计 上课开始，通过提问让学生回忆一元二次方程的概念及配方法解一元二次方程的一般步骤。利用昨天所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的和总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备。 然后让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 能否用配方法求出它的解？引出本节课的内容。 2.教学内容的处理 （1）回顾配方法的解题步骤，用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。 （2）总结用公式法解一元二次方程的解题步骤，并补充理解判别公式的分类与应用。 （3）在小黑板上补充课后思考题：李强和萧晨刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 李强说:“此方程有两个不相等的实数根”,而萧晨反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由. 3.教学方法 在教学中由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形

二次函数的顶点坐标公式教学设

二次函数的顶点坐标公式教学设计 教学目标： 1.知识：(1)自主探索y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标公式、对称轴方程、最值公式.(2)体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性. 2.能力:（1）会应用配方法把二次函数的一般式化为顶点式. （2）会熟练运用配方法和公式法解决有关二次函数的实际问题. 3.情感与价值观:(1)进一步体会从简单到复杂，从一般到特殊的数学思想方法.(2)体会数学与生活的密切联系，激发学生学习的兴趣，发展学以致用的精神. 教学重点: 运用二次函数的顶点坐标公式和对称轴方程解决有关实际问题. 教学难点: 把实际问题转化为数学问题的过程 教学方法:引导探索发现法 教学过程: 一、创设情境，引入新课

2 2 2 在前几节课，我们学习了二次函数 y=a （x-h ）2+k （a≠0）的图象及性 质，而我们第 4 节的课题是：y= ax 2+bx+c （a≠0），（北师大版九年级数 学下册），它们之间又是什么关系？你能解决下列问题吗？ 1．你能把 y=a （x-h ） + k （a≠0）化成 y= ax 2+bx+c （a≠0）的形式吗？ （去括号，合并同类项）反之你能把 y= ax 2+bx+c （a≠0）化成 y=a （x-h ） 2 +k （a≠0）的形式吗？ 2．一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是什么？是如何得到 的？（复习配方法） 二、引导探索，学习新课 1．用配方法把 y= ax 2+bx+c 化成 y=a （x-h ）2+k （a≠0）的形式. y= ax 2+bx+c =a （x 2+ x ）+c （化二次项系数为 1，最好不要把常数项括到括号里） = a[x 2+ x+（ ）2-（ ）2]+c.（配方） =a （x+ ）2- +c=a （x+ ）2+ .（合并同类项） 2.顶点坐标公式 比较 y=a （x+ ） + 与 y=a （x-h ）+k 发现,此时 h=- ，k= ；故 y= ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标公式是（- ， ），对称轴方程：x=- ，最值公式： y= ；当且仅当 x=- 时，函数有最大或最小值 y= .

二次函数顶点式练习

二次函数k h x a y +-=)(2 （顶点式）习题课 一、知识体系 1、解析式：()()02≠+-=a k h x a y 2、图像与性质： 对称轴：x=h 顶点：（h ，k ） 3、抛物线的平移： 自变量加减左右移（左加右减），函数值加减上下移（上加下减） 4、抛物线与直线的交点： 设立方程组c bx ax b kx c bx ax y b kx y ++=+????++=+=22，化简为一元二次方程，看△ （1）有两组不同解（△＞0）：有两个交点 （2）只有一组解（△=0）：只有一个交点 （3）无解（△＜0）：没有交点 5、抛物线的开口大小由a 决定： （1）a 越大，抛物线的开口越小 （2）a 越小，抛物线的开口越大 （3）a 相等时，两函数图像的形状和大小相同 二、知识巩固 一、复习 1、二次函数4)1(-22++=x y 的图象的开口方向________，顶点坐标是________， 对称轴是_________. 当x ______时,y 随着x 的增大而增大, 当x ______时, y 随着x 的增大而减少.当x =_____时，函数有最_______值是_________. 2、二次函数1)3(22-+-=x y 由1)1(22+--=x y 向_____平移_______个单位，再向_____平移_______个单位得到.

二、求函数表达式 例1、已知一个二次函数的图像的顶点在原点，且经过点（1，3），求这个二次函数的表达式. 例2、已知抛物线的顶点坐标是(-1,-2)，且经过点（0，1），求这个二次函数的表达式. 例3、已知二次函数当x=3时有最大值4，并且图象经过点（4，－3），求这个二次函数的表达式. 例4、已知抛物线的对称轴为直线1 x ,且经过（1，2）和（-2，5），求这个二次函数的表达式. 三、实际应用 例5、一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线． ⑴求实心球行进的高度y (米)与行进的水平距离x (米)之间的函数关系式； ⑵如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生 在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由． 3.624y x O

一元二次方程解法-公式法

第6课时 22.2.3 公式法 教学内容 1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念； 3．利用公式法解一元二次方程． 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程． 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）?的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 重难点关键 1．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 教学过程 一、复习引入 1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程 （1）x2=4 (2)(x-2) 2=7 提问1 这种解法的（理论）依据是什么？ 提问2 这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊 二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。） 2．面对这种局限性，怎么办？（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。） （学生活动）用配方法解方程 2x2+3=7x （老师点评）略 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． (1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边； （4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； （5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． 二、探索新知 用配方法解方程 （1）ax2－7x+3 =0 (2)a x2+bx+3=0 (3)如果这个一元二次方程是一般形式a x2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的 步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1=，x2=

公式法解一元二次方程(教案)

21.2.2公式法 教案设计（张荣权） 教学内容：用公式法解一元二次方程 教材分析：在解一元二次方程时，仅仅是直接开平方法、配方法解一元二次 方程是远远不够的。对于系数不特殊的一元二次方程，这两种方法就不方便了。而用求根公式法解较复杂的一元二次方程教方便了。因此，学习用公式法解一元二次方程很有必要，也是不可缺少的一个重要内容。而公式法是一元二次方程的基本解法，它为进一步学习一元二次方程的解法级简单应用起到铺垫作用。 教学目标： 知识与技能目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导。 2.会用求根公式解简单数字的一元二次方程。 3.理解一元二次方程的根的判别式，并会用它判别一元二次方程根的情况。 过程与方法：在教师的指导下，经过观察、推导、交流归纳等活动导出一元二次方程的求根公式，培养学生的合情推理与归纳总结能力。 情感态度与价值观：培养学生独立思考的习惯和合作交流意识。 教学重点、难点及突破 重点：1.掌握公式法解一元二次方程的步骤。 2.熟练的利用求根公式解一元二次方程。 难点：理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。 教学突破 本节课我主要采用启发式、探究式教学法。教学中力求体现“试——究——升”模式。有计划的逐步展示知识的产生过程，渗透数学思想方法。由于学生配方能力有限，所以，崩皆可借助于多媒体辅助教学，指导学生通过观察，分析，总结配方规律，从而突破难点。学生经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力，发挥学生的自觉性，主动性和创造性。 教学设想 通过复习配方法解一元二次方程，导入对一般形式的一元二次方程的解法探讨，通过提问引导学生观察思考，产生问题，进行小组合作探讨，发现结论。加深对应用公式法的理解。渗透由特殊到一般和分类讨论及化归的数学思想，运用解一元二次方程的基本思想----开方降次，重视相关的知识联系，建立合理的逻辑过程，突出解一元二次方程的基本策略。 教学准备 教师准备：课件精选例题 学生准备：配方法解一元二次方程、二次根式的化简 教学过程：

二次函数一般式与顶点坐标公式练习

已知函数 ()4 12- + =x y. （1）该抛物线经过怎样的平移能经过原点. （2）画出该函数图象，并根据图象回答：当x取何值时，函数值大于0；当x取何值时，函数值小于0. 1、二次函数 k h x a y+ - =2) ( 的图像和 2 ax y= 的图 像之间的关系。 2.二次函数y=a(x-h)2+k的性质： 问题一：将一般式转化为顶点式 试将下列函数转化为顶点式，并说出其对称轴，顶点坐标。 （1） 262 y x x =-- （2） 2 1 2 4 y x x =--+

（3） 2 961y x x =-+ 问题二：顶点坐标公式 将 2 y ax bx c =++转化为顶点式： 2222 22 22222424y ax bx c b c a x x a a b b b c a x a a a a b ac b a x a a =++? ?=++ ? ? ???????=+?+-+?? ? ?????????-? ?=++ ?? ? 22,24,24y ax bx c b x a b a c b a a =++=-?? -- ? ?? 因此，二次函数的图像是 一条抛物线，它的对称轴是直线顶点是 利用顶点坐标公式填写下列表格：

问题三： y=a （x-2）（x+3）与x 轴的交点坐标是 ， 二次函数图象的顶点坐标 ，对称轴 ，开口方向 。 例1当x= 时，二次函数y=x 2 +2x-2有最小值． 例2、若抛物线y=-x 2 +4x+k 的最大值为3，则k= 试一试： 1、函数2 1 262y x x =+-的顶点坐标为 ，当x= 时，y 取最 值为 .与坐标轴的交点坐标，分析增减性，用5点作图法完成作图。 2、当x 为实数时，代数式x 2 -2x-3的最小值是 ，此时x= . 3、求二次函数62 +--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标

二次函数的图像(顶点式)

2、5次函数y=a(x-h)2+k 的图像 执笔人：刘红梅 时间：2009年12月3日 学习目标: 会用描点法画出函数y=a(x-h)2+k 的图像 学习重点: 1．会用描点法画出二次函数 的图像； 2．知道抛物线 的对称轴与顶点坐标； 学习难点:确定形如 的二次函数的顶点坐标和对称轴。 学习方法:三五三教学模式法。 一、自主探究： 1、在同一坐标系中画出函y= x 2 ,y=x 2+2, y=(x-1)2 , y=(x-1)2+2, 的图像 解：列表： 描点连线： 2、观察图像完成下表： 1、观察函数y= x 2 ,y=x 2+2, y=(x-1)2 , y=(x-1)2+2的图像，回答问题 （1）它们的形状_________，位置____________. (2)函数y= x 2与函数y=(x-1)2+2有什么联系？ 2、归纳总结： 1、二次函数y=a(x ±h)2+k 图像的性质 函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 y 随x 的增大而减小 y= x 2 ,y=x 2+2, y=(x-1)2 , y=(x-1)2+2, 抛物线 开口方向 对称性 顶点坐标 最值 y 随x 的减小而减小 y=a(x+h)2+k （a>0） y=a(x-h)2+k (a<0)

2、函数y=a(x ±h)2+k （a ≠0）的图像可以看作是y=ax 2向左或向右平移_________ 个单位，再向上或向下平移___________个单位得到的. 三、巩固练习： 1、指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值及y 随x 增大而减小的x 取值范围。 （1）y=－6(x-2)2 (2)y=3x 2－6 (3)y=3－x 412 (4) y=x 5 1 2 (5) y=2(x+3)2+7 (6) y=4－2(x+4)2 2、抛物线的y=－4（x －6）2－3向左或向右平移_________ 再__________ 平移___个单位得到y=－4x 2. 四、延伸迁移： 如图，某公路的隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，，底部宽OM 的 为12米，建立如图所示的直角坐标系。 （1） 直接写出M 及抛物线顶点P 的坐标； （2） 求这条抛物线的解析式。 五、达标检测：1、课本53页知识技能1 2、抛物线y=3（x+h ）2 +k 的顶点坐标是（1，5），则h=_____ k=_____ 六、学习收获

抛物线顶点坐标的求法(公式法)

抛物线顶点坐标的求法（公式法） 1、二次函数表达式的“一般形式”为 ； 李丹与王涓（2019届bobo ） 2、二次函数表达式的“配方形式”为 ； 一、怎样由“公式法”来求抛物线的顶点坐标 1、先把“一般形式”的二次函数 c bx ax y 2++=（ 0a ≠）转化成“配方形式” 为 ，再依据由“配方式”看顶点坐标的方法，可知其顶点坐标 为 ，我们把这个“坐标结论”称为二次函数的“顶点坐标公式”； ①、求二次函数35x 2x y 2+=－的顶点坐标以及最值 解：由顶点坐标公式得：==2a b x － 顶横 ； ==4a b 4a c y 2－顶纵 ； ∴ 顶点坐标为 ； 又∵ 抛物线开口向 ，有最 点，∴ y 有最 值； 即：当=x 时， = ； ②、求二次函数3112x 2x y 2－－+=的顶点坐标，并对函数的增减性作出描述 解：由顶点坐标公式得：==2a b x － 顶横 ； 把=顶横 x 代入函数表达式得：=顶纵y = ； ∴ 顶点坐标为 ； 又∵ 抛物线开口向 ，所以， 在对称轴的左侧，即当自变量x 时，y 的值随x 的增大而 ； 在对称轴的右侧，即当自变量x 时，y 的值随x 的增大而 ； ③、求二次函数3112x 2x y 2－－+=的顶点坐标、并在当4＜5x ≤时，求函数y 的最值 解：由顶点坐标公式得：==2a b x － 顶横 ； ∴ 可设抛物线的表达式为：( )()k x y 2+=，易求=k ； ∴ 原表达式化为配方式为 ，则顶点坐标为 ； 又=顶横 x ，不在“4＜5x ≤”的范围内，∴ 函数y 的最值“不在”顶点处取，

由图形可知，当=x 时，=min y ； 变式：如果把“4＜5x ≤”改为“5x 4≤≤” ，问y 有最大值吗答： ； 点评：第①题是严格运用“顶点坐标”公式，分别求顶横x 和顶纵y （不妨命名为：全求分别法）； 第②题是先求顶横x ，然后代入函数表达式，再求出顶纵y （不妨命名为：半求代入法）； 第③题是先求顶横x ，然后“拼凑”出配方式，再求出k y =顶纵 （不妨命名为：半求拼凑法）； 以上“三种”方法，请根据实际情况灵活选择，以便于计算作为“选择依据”！！！ 二、怎样由“交点式”来求抛物线的顶点坐标 1、基本事实依据：什么叫抛物线的对称轴 答：第一种说法，经过抛物线的顶点，且垂直于 轴的直线，叫做抛物线的对称轴； 第二种说法，抛物线上任意一对“对称点”连线的 线，叫做抛物线的对称轴； 2、二次函数的表达式的“交点形式”为()()21x x x x a y －－=（0a ≠）. 其中，“a 值”与“一般形式”c bx ax y 2++=（0a ≠）中“a 值”的相等，而“1x 、2x ” 分别代表抛物线c bx ax y 2++=（0a ≠）与x 轴的交点横坐标，即是说“1x 、2x ”是一元二次方 程0c bx ax 2 =++（0a ≠）的二根，所以抛物线的“交点形式”，也可称“二根形式”。 3、重要思路?：如果抛物线c bx ax y 2++=（0a ≠）与x 轴有两个交点，分别为A （1x ，0）、 B （2x ，0），那么线段AB 的“垂直平分线”必为抛物线的 ，这条对称轴的表达式为： 直线顶横也x 2 x x x 2 1=+= （关于这一结论，可以通过举例，来加以理解！）。 知道了顶横x ，就可以根据表达式()()21x x x x a y －－=，利用“半求代入法”，求出“顶纵y ”， 岂不快哉！如此一来，也能“又快、有准”地写出“配方形式”()k h x a y 2 ++=，岂不美哉！ ①、求二次函数()()6x 1x 3y +=－的顶点坐标以及最值，并把解析式化为配方式. 解： 联立 得：()()06x 1x 3 =+－，解得：=1x ，=2x ； ∴ 抛物线的对称轴为：直线=x = ； 把=顶横 x 代入()()6x 1x 3y +=－，得=顶纵y = ； ()()?? ?=+=0 y x 6x 1x 3y 轴：－ 抛物线：

解一元二次方程练习题公式法

解一元二次方程练习题——公式法 一．填空题。（每小题5分，共25分） 1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是_____，当b-4ac<0时，方程_________． 2．方程a x2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则有________，?若有两个不相等的实数根，则有_________，若方程无解，则有__________． 3．若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是________． 4．用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________． 5．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm2，则此长方形的周长为________． 二．选择题。（每小题5分，共25分） 6．用公式法解方程4y2=12y+3，得到（） A．．． D． 7．不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．关于x的一元二次方程kx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（） A、k>-1 B、k>1 C、k≠0 D、k>-1且k≠0 9.下列方程中有两个相等的实数根的是（） A、3x2－x－1=0; B、x2－2x－1=0; C、9x2=4（3x－1）; D、x2＋7x＋15=0. 10．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）． A． 4或-2 B． -4或2 C． 4 D．-2 11．（20分）用公式法解方程 (1)x2+15x=-3x; (2)x2+x-6=0; (3)3x2-6x-2=0; (4)4x2-6x=0

23用公式法求解一元二次方程教学设计

第二章一元二次方程 ３．用公式法求解一元二次方程（一） 横山县第三中学柳金帛 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程. 学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力. 二、教学任务分析 公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。 其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。 为此，本节课的教学目标是： ①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。 ②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.

③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。 ④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力 三、教学过程分析 本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：探究新知；第三环节：巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。 第一环节；回忆巩固 活动内容： ①用配方法解下列方程：(1)2x 2+3=7x (2)3x 2+2x+1=0 全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算 ②由学生总结用配方法解方程的一般方法: 第一题： 2x2+3=7x 解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 两边都除以一次项系数:2 023272=+-x x 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 0231649)47(2722=+-+- x x 即: 016 25)47(2=--x 1625)47(2=-x 两边开平方取“±” 得： 4547±=-x 4547±= x 写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=21

二次函数顶点对称轴,解析式

《二次函数的图象》教案 一、教学目标 (一)知识目标 1．使学生会用描点法画出二次函数的图象； 2．使学生会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴(对于不升学的学生，只要求会用公式确定抛物线的顶点和对称轴)； 3．使学生进一步理解二次函数与抛物线的有关概念； 4．使学生会用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式． (二)能力目标 1．培养学生分析问题、解决问题的能力； 2．向学生进行配方法和待定系数法的渗透，使学生能初步掌握； (三)情感目标 1．向学生进行事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点教育．2．通过二次函数的进一步研究，让学生认识到二次函数的对称轴、顶点坐标与二次项系数、一次项系数及常数项之间的内在联系的数学美及和谐的数学美． 二、教学方法 教师采用比较法、观察法、归纳总结法 本节重点是求二次函数解析式及将二次函数的解析式配方，确定抛物线的顶点、对称轴等特征，进而画出这条抛物线，在学习中，学生不要死记硬背，要运用数形结合思想，熟练画出抛物线草图，结合图像研究函数的性质以及不同图像之间的相互关系． 三、重点·难点·疑点及解决办法 1．教学重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标求对称轴及用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式．因为它们是画出二次函数的图像的基础． 2．教学难点：配方法的推导过程，因为虽然这种方法在前面学习一元二次方程时介绍过，但是在配方的过程中需要考虑加、减的数，对学生有一定的难度． 3．教学疑点：顶点式与一般式如何转化 四、教学媒体 三角板小黑板 五、教学设计思路 1．出示一组练习，导入新课． 2．“如何画的图像?”教师提问，让学生去讨论、发现：要写成的形式，找出对称轴，引入由一般式化成顶点式，推导出顶点坐标公式． 3．学生练习，为了强化巩固． 六、教学步骤 提问：说出下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标： (1) (2) (3) (4) (5)(出示幻灯) 通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩固，以便这节课的应用．这几个问题可找层次较低的学生回答，由其他同学给予评价． 我们已画过二次函数的图像，画它的图象的第一步是干什么?(列表)列表时我们是怎样取值的呢?(先确定中心值)若我们要画二次函数的图象应怎么办呢? 学生讨论得到：把二次函数转化成的形式再加以研究． 提问：怎样能把二次函数转化成的形式呢?我们先来看几个练习题：(出示幻灯)