初中数学二次函数做题技巧
初中数学二次函数做题技巧
I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a
x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2;+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。
二次函数解析式的几种形式
(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).
(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).
(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.
说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^
2；如果对称轴是y 轴，但不过原点，则设y=ax^2+k 定义与定义表达式 一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大。）则称y 为x 的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x 是自变量，y 是x 的函数
二次函数的三种表达式
①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)
②顶点式[抛物线的顶点 P(h ，k) ]：y=a(x-h)^2+k
③交点式[仅限于与x 轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)
以上3种形式可进行如下转化：
①一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax^2+bx+c ，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a
②一般式和交点式的关系 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
中考数学精选例题解析：一次函数（1）
知识考点：
掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。 精典例题：
【例1】二次函数c bx ax y ++=2
的图像如图所示，那么abc 、ac b 42
-、b a +2、
c b a +-24这四个代数式中，值为正的有（ ）
A 、4个
B 、3个
C 、2个
D 、1个
解析：∵a
b
x 2=
＜1 ∴b a +2＞0
答案：A
评注：由抛物线开口方向判定a 的符号，由对称轴的位置判
定b 的符号，由抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号。由抛物线与x 轴的交点个数判定
ac b 42-的符号，若x 轴标出了1和－1，则结合函数值可判定b a +2、c b a ++、c
b a +-的符号。
【例2】已知0=++c b a ，a ≠0，把抛物线c bx ax y ++=2
向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。
分析：①由0=++c b a 可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。
例1图
解：可设新抛物线的解析式为2
)2(+=x a y ，则原抛物线的解析式为
1)52(2+-+=x a y ，又易知原抛物线过点（1，0）
∴1)521(02
+-+=a ，解得4
1-=a ∴原抛物线的解析式为：1)3(4
1
2+--
=x y 评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。
另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：①开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是a 反号；②两抛物线关于x 轴对称，此时顶点关于x 轴对称，a 反号；③两抛物线关于y 轴对称，此时顶点关于y 轴对称； 探索与创新：
【问题】已知，抛物线2
2
)1(t t x a y +--=（a 、t 是常数且不等于零）的顶点是A ，
如图所示，抛物线122
+-=x x y 的顶点是B 。
（1）判断点A 是否在抛物线122
+-=x x y 上，为什么？
（2）如果抛物线22
)1(t t x a y +--=经过点B ，①求a 的值；②这条抛物线与x 轴的两个交点和它的顶点A 能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。
解析：（1）抛物线2
2
)1(t t x a y +--=的顶点A （1+t ，
2t ），而1+=t x 当时，222)
11()1(12-+=-=+-=x x x x y ＝2
t ，所以点A 在抛物线122
+-=x x y 上。
（2）①顶点B （1，0），0)11(2
2
=+--t t a ，∵0≠t ，
∴1-=a ；②设抛物线2
2
)1(t t x a y +--=与x 轴的另一交点为C ，∴B （1，0），C （12+t ，0），由抛物线的对称性可知，△ABC 为等腰直角三角形，过A 作AD ⊥x 轴于D ，则AD ＝BD 。当点C 在点B 的左边时，)1(12
+-=t t ，解得1-=t 或0=t （舍）；当点C 在点B 的右边时，1)1(2
-+=t t ，解得1=t 或0=t （舍）。故1±=t 。
评注：若抛物线的顶点与x 轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。 跟踪训练：
问题图
一、选择题：
1、二次函数c bx ax y ++=2
的图像如图所示，OA ＝OC ，则下列结论： ①abc ＜0； ②2
4b ac <； ③1-=-b ac ； ④02<+b a ；
⑤a
c
OB OA -=?；
⑥024<+-c b a 。其中正确的有（ ）
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
2、二次函数c bx x y ++=2
的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为122
+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ） A 、6、4 B 、－8、14
C 、4、6
D 、－8、－14
3、如图，已知△ABC 中，BC ＝8，BC 边上的高4=h ，D 为
BC 上一点，EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F （EF 不过A 、B ），设E 数
到BC 的距离为x ，△DEF 的面积为y ，那么y 关于x 的函图像大致是（ ）
3
题图
3题图
3题图
A B C D
4、若抛物线2ax y =与四条直线1=x ，2=x ，1=y ，2=y 围成的正方形有公共点，则a 的取值范围是（ ）
A 、
41≤a ≤1 B 、21≤a ≤2 C 、21≤a ≤1 D 、4
1
≤a ≤2 5、如图，一次函数b kx y +=与二次函数c bx ax y ++=2
的大致图像是（ ）
3题图
3题图
3题图
3题图
A B C D 二、填空题：
1、若抛物线232)1(2
-++-=m mx x m y 的最低点在x 轴上，则m 的值为
。
第3题图
F
E
D C
B
A
2、二次函数542
+-=mx x y ，当2-
3、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。
4、已知抛物线n mx x m y +--=4)2(2
2
的对称轴是2=x ，且它的最高点在直线
12
1
+=
x y 上，则它的顶点为 ，n ＝ 。 三、解答题：
1、已知函数m x m x y +--=)2(2
的图像过点（－1，15），设其图像与x 轴交于点A 、B ，点C 在图像上，且1=?ABC S ，求点C 的坐标。
2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S （万元）与销售时间
t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）
。根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3
O
O
3、抛物线2
x y =，2
2
1x y -
=和直线a x =（a ＞0）分别交于A 、B 两点，已知∠AOB ＝900。
（1）求过原点O ，把△AOB 面积两等分的直线解析式；
（2）为使直线b x y +=
2与线段AB 相交，那么b 值应是怎样的范围才适合？
4、如图，抛物线t ax ax y ++=42
与x 轴的一个交点为A （－1，0）。
（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；
（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使
△APE 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
参考答案
一、选择题：BCDDC 二、填空题：
1、2；
2、－7；
3、1)2(2
1
2+-=x y ；4、
（2，2），2-=n ； 三、解答题：
1、C （23+，1）或（23-，1）、（3，－1）
2、（1）t t S 22
12
-=
；
（2）10月；（3）5.5万元 3、（1）x y 4
2=
；（2）－3≤b ≤0 4、（1）B （－3，0）；（2）342
++=x x y 或342
---=x x y ； （3）在抛物线的对称轴上存在点P （－2，2
1
），使△APE 的周长最小。
中考数学精选例题解析 函数与一元二次方程
知识考点：
1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；
2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x 轴的交点情况；
3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。 精典例题：
【例1】已抛物线1)2()1(2
--+-=x m x m y （m 为实数）。
（1）m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？
（2）如果抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且△ABC 的面积为2，求该抛物线的解析式。
分析：抛物线与x 轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m 应满足的条件。
略解：（1）由已知有???>=?≠-0
12
m m ，解得0≠m 且1≠m （2）由0=x 得C （0，－1）
又∵1
-=?=
m m a AB
∴211
2121=?-?=??=?m m OC AB S ABC ∴34=
m 或54=m ∴132312--=x x y 或15
6
512---=x x y
【例2】已知抛物线)6(2)8(2
2
2
+++-=m x m x y 。
（1）求证：不论m 为任何实数，抛物线与x 轴有两个不同的交点，且这两个点都在x
轴的正半轴上；
（2）设抛物线与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C 两点，当△ABC 的面积为48平方单位时，求m 的值。
（3）在（2）的条件下，以BC 为直径作⊙M ，问⊙M 是否经过抛物线的顶点P ？
解析：（1）0)4(2
2
>+=?m ，由082
21>+=+m x x ，0)6(22
21>+=m x x 可得证。
（2）)6(8)8(4)(2222122121+-+=-+=-=m m x x x x x x BC
＝42
+m )6(22+=m OA 又∵48=?ABC S ∴
48)6(2)4(2
1
22=+?+?m m 解得22
=m 或122
-=m （舍去） ∴2±=m
（3）16102
+-=x x y ，顶点（5，－9），6=BC ∵69>-
∴⊙M 不经过抛物线的顶点P 。
评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。 探索与创新：
【问题】如图，抛物线4
)(2
2
c x b a x y ++-=，其中a 、
c 分别是△ABC 的∠A 、∠B 、∠C 的对边。
（1）求证：该抛物线与x 轴必有两个交点；
（2）设有直线bc ax y -=与抛物线交于点E 、F ，与y 轴交于点M ，抛物线与y 轴交于点N ，若抛物线的对称轴为a x =，△MNE 与△MNF 的面积之比为5∶1，求证：△ABC 是等边三角形；
（2）当3=?ABC S 时，设抛物线与x 轴交于点P 、Q ，问是否存在过P 、Q 两点且与y 轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：（1）))(()(2
2
c b a c b a c b a -+++=-+=? ∵0>++c b a ，0>-+c b a ∴0>? （2）由
a b
a =+2
得b a = 由??
???-=+
+-=bc
ax y c x b a x y 4)(22
得：0432=++-ac c ax x 设E （1x ，1y ），F （2x ，2y ），那么：a x x 321=+，ac c x x +=4
2
21 由MNE S ?∶MNF S ?＝5∶1得：215x x = ∴215x x =或215x x -=
由021>?x x 知215x x -=应舍去。
由???==+2
12153x x a x x 解得22a
x =
∴ac c a +=??
?
??42522
，即04522=--c ac a
∴ c a =或05=+c a （舍去）
∴ c b a ==
∴△ABC 是等边三角形。 （3）3=?ABC S ，即
34
32
=a ∴2=a 或2-=a （舍去）
∴2===c b a ，此时抛物线142
+-=x x y 的对称轴是2=x ，与x 轴的两交点坐标为P （32-，0），Q （32+
，0）
设过P 、Q 两点的圆与y 轴的切点坐标为（0，t ），由切割线定理有：OQ
OP t
?=2
∴1±=t
故所求圆的圆心坐标为（2，－1）或（2，1） 评注：本题（1）（2）问与函数图像无关，而第（3）问需要用前两问的结论，解题时千万要认真分析前因后果。同时，如果后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。 跟踪训练： 一、选择题：
1、已知抛物线m x m x y +-+=)1(52
与x 轴两交点在y 轴同侧，它们的距离的平方等于
25
49
，则m 的值为（ ） A 、－2 B 、12 C 、24 D 、－2或24 2、已知二次函数c bx ax y ++=2
1（a ≠0）与一次函数m kx y +=2（k ≠0）的图像交于点A （－2，4），B （8，2），如图所示，则能使21y y >成立的x 的取值范围是（ ） A 、2-
第2题图
第4题图
3、如图，抛物线c bx ax y ++=2
与两坐标轴的交点分别是A 、B 、E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，则下列关系：①0=+c a ；②0=b ；③1-=ac ；④2
c S ABE =?其中正确的有（ ）
A 、4个
B 、3个
C 、2个
D 、1个 4、设函数1)1(22
++-+-=m x m x y 的图像如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，线段OA 与OB 的比为1∶3，则m 的值为（ ） A 、
31或2 B 、3
1
C 、1
D 、2 二、填空题：
1、已知抛物线23)1(2
----=k x k x y 与x 轴交于两点A （α，0），B （β，0），且
1722=+βα，则k ＝ 。
2、抛物线m x m x y 2)12(2
---=与x 轴的两交点坐标分别是A （1x ，0），B （2x ，0），且
12
1
=x x ，则m 的值为 。 3、若抛物线12
12
-++-
=m mx x y 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且∠ACB ＝900，则m ＝ 。
4、已知二次函数1)12(2
--+=x k kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x )(21x x <，则对于下列结论：①当2-=x 时，1=y ；②当2x x >时，0>y ；③方程1)12(2
--+x k kx ＝
0有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-
k x x 2
1241+=-，其中
所有正确的结论是 （只填写顺号）。 三、解答题：
1、已知二次函数c bx ax y ++=2
（a ≠0）的图像过点E （2，3），对称轴为1=x ，它的图像与x 轴交于两点A （1x ，0），B （2x ，0），且21x x <，102
22
1=+x x 。 （1）求这个二次函数的解析式；
（2）在（1）中抛物线上是否存在点P ，使△POA 的面积等于△EOB 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
2、已知抛物线42)4(2
++-+-=m x m x y 与x 轴交于点A （1x ，0），B （2x ，0）两点，与y 轴交于点C ，且21x x <，0221=+x x ，若点A 关于y 轴的对称点是点D 。 （1）求过点C 、B 、D 的抛物线解析式；
（2）若P 是（1）中所求抛物线的顶点，H 是这条抛物线上异于点C 的另一点，且△HBD 与△CBD 的面积相等，求直线PH 的解析式；
3、已知抛物线m mx x y 22
3
212--=
交x 轴于点A （1x ，0）
，B （2x ，0）两点，交y 轴于点C ，且210x x <<，112)(2
+=+CO BO AO 。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x 轴的下方是否存在着抛物线上的点，使∠APB 为锐角、钝角，若存在，求出P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。
参考答案
一、选择题：CDBD 二、填空题：
1、2；
2、2
1
；3、3；4、①③④ 三、解答题：
1、（1）322
++-=x x y ；（2）存在，P （131+，－9）或（131-，－9）
2、（1）862
+-=x x y ；（2）103-=x y 3、（1）22
3
212--=
x x y ；
（2）当30<
聚能教育
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）