二次函数 的顶点的公式求法

二次函数c bx ax y ++=2的顶点的公式求法

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一. 课前练习(5分钟)

1.对于二次函数342+-=x x y 的图象与性质,说法错误的是( )

A.顶点坐标是(2,-1)

B.当X 〈2时,Y 随X 的增大而增大

C.开口向上

D.当X=2时,Y 最大值=-1

3、二次函数()232

1--=x y 的图像开口向____,有最____点，坐标是________,对称轴是______。属于=y ______________型的二次函数。

4.二次函数()2

54232-+=x y 的图像开口向____,有最____点，坐标是________,对称轴是______。属于=y _____________型的二次函数。 5. 二次函数1422+-=x x y 化成k h x a y +-=2)(形式为 ,它的顶点

是 ,当X= 时 Y 最大值= .

二、阅读内容：前面我们也曾利用配方法，推导出一元二次方程的求根公式。它们所使用的配方法实质是一样的，就是要构建一个含字母（未知数或自变量x ）的完全平方式，但具体操作有所不同，下面你看一看配方法在推导求根公式时的用法，比较一下看看它们有什么关键的不同之处。

用配方法解一元二次方程：)0(02≠=++a c bx ax

解：因为0≠a ,所以方程两边同除以a ，得

移项，得 配方，方程两边都加上2)2(

a

b ，得 整理后，得

当o ac b ≥-42时，

最后整理为

顶点坐标是____________________,对称轴是直线_______________________。

三、.课堂分层练习

1．写出下列抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴

（1）Y=X （X-2）-4 （公式法） （2）x x y 42

+-= （公式法）

（3）4412+-=

x x y （公式法） （4）44

12+-=x x y （配方法）

2．（挑战题）把抛物线c bx ax y ++=2

(a ≠0)向左平移3个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线2)2(52++=x y ，则a= ,b= ,c= .

四、

1．把函数4422++-=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式为 。

2．抛物线x x y 42+=的对称轴是 。

3．写出下列抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴

（1）5322--=x x y （公式法） （2）5322--=x x y （配方法）

4．（挑战题）（2007年山东日照）

已知二次函数a x x y +-=2 (a ≠0)，当自变量X 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中，正确的是（ ）

A ．x 取m-1的函数值小于0

B 。x 取m-1的函数值大于0

C ．x 取m-1的函数值等于0

D 。x 取m-1的函数值与0的大小关系不确定 5、练习巩固：写出下列抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标。（用公式法）指出当x 为何值时，y 的值最小（大）？

⑴x x y 232+= ⑵31232-+-=x x y

⑶x x y 22--= ⑷34212+-=

x x y

初二数学二次函数顶点坐标公式

初二数学二次函数顶点坐标公式初二数学二次函数顶点坐标公式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： (1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a0),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) (2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a0). (3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2) (4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a0. 二次函数顶点坐标公式 说明： 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：

乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点. 要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼

二次函数顶点式练习题

二次函数专题训练 1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值 y= 。. 3、函数 y ＝12 (x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大. 4、 函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=2 1x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单 位得到. 5.已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是 。 6.如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ） A 、 x>3 B 、x<3 C 、x>1 D 、x<1 7.已知函数()3232 +--=x y . 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； 当x= 时，抛物线有最 值，是 . 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. 求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； 求出该抛物线与y 轴的交点坐标； 若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； 该函数图象可由2 3x y -=的图象经过怎样的平移得到的 该抛物线经过怎样的平移能经过原点.

※8..如图是二次函数y=a （x+1）2+2图象的一部分，该图在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 _________ ． 9.根据图像求二次函数的解析式. ※10.抛物线y =(x －1)2+n 与x 轴交于A 、B 两点, 与y 轴负半轴交于C （0，-3）。 (1) 求抛物线的解析式; （2）点P 为对称轴右侧抛物线上一点，以BP 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M 落在对称轴上，求P 点、M 点的坐标。 M y x P O C B A

二次函数的顶点坐标公式教学设

二次函数的顶点坐标公式教学设计 教学目标： 1.知识：(1)自主探索y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标公式、对称轴方程、最值公式.(2)体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性. 2.能力:（1）会应用配方法把二次函数的一般式化为顶点式. （2）会熟练运用配方法和公式法解决有关二次函数的实际问题. 3.情感与价值观:(1)进一步体会从简单到复杂，从一般到特殊的数学思想方法.(2)体会数学与生活的密切联系，激发学生学习的兴趣，发展学以致用的精神. 教学重点: 运用二次函数的顶点坐标公式和对称轴方程解决有关实际问题. 教学难点: 把实际问题转化为数学问题的过程 教学方法:引导探索发现法 教学过程: 一、创设情境，引入新课

2 2 2 在前几节课，我们学习了二次函数 y=a （x-h ）2+k （a≠0）的图象及性 质，而我们第 4 节的课题是：y= ax 2+bx+c （a≠0），（北师大版九年级数 学下册），它们之间又是什么关系？你能解决下列问题吗？ 1．你能把 y=a （x-h ） + k （a≠0）化成 y= ax 2+bx+c （a≠0）的形式吗？ （去括号，合并同类项）反之你能把 y= ax 2+bx+c （a≠0）化成 y=a （x-h ） 2 +k （a≠0）的形式吗？ 2．一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是什么？是如何得到 的？（复习配方法） 二、引导探索，学习新课 1．用配方法把 y= ax 2+bx+c 化成 y=a （x-h ）2+k （a≠0）的形式. y= ax 2+bx+c =a （x 2+ x ）+c （化二次项系数为 1，最好不要把常数项括到括号里） = a[x 2+ x+（ ）2-（ ）2]+c.（配方） =a （x+ ）2- +c=a （x+ ）2+ .（合并同类项） 2.顶点坐标公式 比较 y=a （x+ ） + 与 y=a （x-h ）+k 发现,此时 h=- ，k= ；故 y= ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标公式是（- ， ），对称轴方程：x=- ，最值公式： y= ；当且仅当 x=- 时，函数有最大或最小值 y= .

二次函数公式(精华)

★二次函数知识点汇总★ 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =） （0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧； ③0c ,与y 轴交于正半轴；③0

二次函数顶点式图像特点

二次函数顶点式图像及其特点教学设计 【教材】人教版九年级 22.1 二次函数的图象及其特点 （第4课时） 【教学对象】九年级学生 【授课教师】珠海市斗门区城南学校 孔志坚 【教材分析】 本节的学习内容是在前面学过二次函数的概念和二次函数y=ax 2、y=ax 2+h 的图像和性质的基础上，运用图像变换的观点把二次函数y=ax 2的图像经过一定的平移变换，而得到二次函数y=a(x-h)2+k (h ≠0，k ≠0)的图像。二次函数是初中阶段所学的最后一类最重要、图像性质最复杂、应用难度最大的函数，是学业达标考试中的重要考查内容之一。教材中主要运用数形结合的方法从学生熟悉的知识入手进行知识探究。这是教学发现与学习的常用方法，同学们应注意学习和运用。另外，在本节内容学习中同学们还要注意 “类比”前几节的内容学习，在对比中加强联系和区别，从而更深刻的体会二次函数的图像和性质。 【教学目标】 ◇ 知识技能 （1）会用描点法画出二次函数 ()2 h x a y -= 、()k h x a y +-=2 的图象， 通过图象了解它们的 图象特征和性质． （2）观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质，通过对比发现它们之间的关系。 ◇过程与方法 （1）在用描点法画出二次函数的图象过程中，体会数形结合的思想； （2）通过观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质，通过对比发现图像之间的关系，发展数学的化归思维； （3）在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思想的过程和探究的结果。 ◇情感态度与价值观 （1）通过画二次函数的图象，感受数学美，激发学习热情； （2）在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神。 【教学重点】观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质 【教学难点】观察对比图象发现它们之间的关系 【教学方法】引导探索、讨论交流 【教学手段】PPT 、几何画板 【教学过程设计】 一、教学流程安排

《二次函数顶点式》教学设计

二次函数y ＝(x －h)2 +k 的图象 学习目标： 1．会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h)2＋k 的图象； 2．掌握二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质； 3．会应用二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质解题． 重点：会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h)2＋k 的图象. 难点：掌握二次函数a (x －h)2＋k 的性质。 一、课前小测 1．函数24(2)y x =-的图象开口向______，顶点是_________，对称轴是_______， 当x ＝_________时，有最_________值是_________． 2．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口向下抛物线解析式__________________． 写出一个顶点坐标为（－3，0），开口向下抛物线解析式__________________． 二、探索新知 1、问题一：提出问题，创设情境 画出函数y ＝－1 2 (x ＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值 观察图象得： （1）函数y ＝－1 2 (x ＋1)2－1的图象开口向______，顶点是_________，对称轴是_______，当x ＝_________时，有最_________值是_________． （2）把抛物线y ＝－1 2 x 2向_______平移______个单位，再向_______平移_______ 个单位，就得到抛物线y ＝－1 2 (x ＋1)2－1． 3、问题二：应用法则 探索解题.

例1．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝1 2x 2相同的解析式为 （） A．y＝1 2(x－2) 2＋3 B．y＝ 1 2(x＋2) 2－3 C．y＝1 2(x＋2) 2＋3 D．y＝－ 1 2(x＋2) 2＋3 三、作业：A组： 1．填表 2 3．将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________． B组： 1．抛物线y＝－3 (x＋4)2＋1中，的图象开口向______，顶点是_________，对称轴是_______，当x＝_______时，y有最________值是________． 2．将抛物线y＝2 (x＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________________________。 3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（） A B C D 4．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为___________________________．（任写一个）

二次函数顶点坐标

二次函数y=x 2练习（认识抛物线顶点坐标开口方向最值部分） 1．函数y =622--a a ax 是二次函数，当a =_____时，其图象开口向上；当a =_____时，其图象开口向下. 2．填右表并填空： （1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,y 随着x 的增大而增大；在 侧,y 随着x 的增大而减小,当x= 时,函 数y 的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x2在x 轴的 方(除顶点外). （2）抛物线y =－1/3x 2在x 轴的 方(除顶点外)，在对称轴的左侧，y 随着x 的 ；在对称轴的右侧，y 随着x 的 ，当x=0时，函数y 的值最大，最大值是 ，当x 0时，y<0。 3．已知正方形的边长为a ，面积为S 。 （1）你能列出面积S 与边长a 的函数关系式吗？ （2）S 是a 的 次函数； （3）a 能否小于零？ （4）你能作出面积S 随边长a 变化而变化的函数图象吗？ 4．二次函数y=x 2，若y ＞0，则自变量x 的取值范围是（ ） A ．可取一切实数 B ．x ≠0 C ．x ＞0 D ．x ＜0 5．抛物线y =－x 2不具有的性质是（ ） A ．开口向下 B ．对称轴是Y 轴 C ．与Y 轴不相交 D ．最高点是原点 6．抛物线y=2x 2,y=－2x 2,y=2 1x 2共有的性质是（ ） A ．开口向上 B ．对称轴是Y 轴 C ．都有最低点 D ．y 随x 的增大而减小 7．二次函数y=3x 2 的图象是关于 对称的曲线，这条曲线叫做 ，它的开口 ，与x 轴交点坐标是 。当x ＞0，y 的值随x 的值增大而 。当x ＜0,y 的值随着x 值的增大而 ，当x= 时，y 有最小值，最小值是 8．点A （3,m ）是抛物线y =－x 2上一点，则m ＝ ，点A 关于y 轴对称点B 的坐标是 点A 关于原点对称点C 的坐标是 ；点B 、C 关于 对称。 9．（2006，武汉）已知二次函数的图象开口向下，且经过原点。请写出一个符合条件的二次函数的解析式

二次函数练习顶点式练习题.doc

二次函数图像和性质练习 1、二次函数y=2x1 2-4的顶点坐标为,对称轴为。 2、二次函数y = -2(x + 3尸—1 由y = -2(x-1)2+1 向平移 个单位，再向平移个单位得到。 3、抛物线y = 3(x + 2)2—3可由抛物线y = 3(x + 2)2 +2向平移 个单位得到. 4、将抛物线y = -(x-3)2+2向右平移3个单位，再向上平移2个单位， 6 得到的抛物线是 5、把抛物线y = —3 — 1)2 —1向平移个单位，再向平移 个单位得到抛物线y = -(x + 2)2-3. 6、抛物线y = l(x + 4)2-7的顶点坐标是_________________ ,对称轴是直 2 线,它的开口向,在对称轴的左侧，即当XV 时, y随x的增大而；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而; 当x=时，y 的值最, 最值 是。 7、将抛物线y=3x2向左平移6个单位，再向下平移7个单位所得新抛物线的解析式为。 8、若一抛物线形状与y=-5x2+2相同，顶点坐标是(4, 一2),则其解析式是. 9、两个数的和为8,则这两个数的积最大可以为，若设其中一个数为x,积 为y,则y与x的函数表达式为. 10、一根长为100m的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积 最大, 边长分别为 . 11、若两个数的差为3,若其中较大的数为x,则它们的积y与x的函数表 达式为,它有最值，即当x= 时，y=_ 12、边长为12cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x的小正方形铁片, 剩下的四方框铁片的面积y (cm2)与x (cm)之间的函数表达式为 13、等边三角形的边长2x与面积y之间的函数表达式为

二次函数顶点式练习

二次函数k h x a y +-=)(2 （顶点式）习题课 一、知识体系 1、解析式：()()02≠+-=a k h x a y 2、图像与性质： 对称轴：x=h 顶点：（h ，k ） 3、抛物线的平移： 自变量加减左右移（左加右减），函数值加减上下移（上加下减） 4、抛物线与直线的交点： 设立方程组c bx ax b kx c bx ax y b kx y ++=+????++=+=22，化简为一元二次方程，看△ （1）有两组不同解（△＞0）：有两个交点 （2）只有一组解（△=0）：只有一个交点 （3）无解（△＜0）：没有交点 5、抛物线的开口大小由a 决定： （1）a 越大，抛物线的开口越小 （2）a 越小，抛物线的开口越大 （3）a 相等时，两函数图像的形状和大小相同 二、知识巩固 一、复习 1、二次函数4)1(-22++=x y 的图象的开口方向________，顶点坐标是________， 对称轴是_________. 当x ______时,y 随着x 的增大而增大, 当x ______时, y 随着x 的增大而减少.当x =_____时，函数有最_______值是_________. 2、二次函数1)3(22-+-=x y 由1)1(22+--=x y 向_____平移_______个单位，再向_____平移_______个单位得到.

二、求函数表达式 例1、已知一个二次函数的图像的顶点在原点，且经过点（1，3），求这个二次函数的表达式. 例2、已知抛物线的顶点坐标是(-1,-2)，且经过点（0，1），求这个二次函数的表达式. 例3、已知二次函数当x=3时有最大值4，并且图象经过点（4，－3），求这个二次函数的表达式. 例4、已知抛物线的对称轴为直线1 x ,且经过（1，2）和（-2，5），求这个二次函数的表达式. 三、实际应用 例5、一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线． ⑴求实心球行进的高度y (米)与行进的水平距离x (米)之间的函数关系式； ⑵如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生 在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由． 3.624y x O

【精品讲义】二次函数一般式、顶点式、交点式

二次函数一般式、顶点式、交点式 这节课我们学什么 1. 会用待定系数法求二次函数的解析式； 2. 会平移二次函数2(0)y ax a =≠的图象得到二次函数2()y a x h k =-+的图象； 了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 3. 根据交点求解解析式．

知识点梳理 1、顶点式：()2y a x h k =-+的图像与性质 2、交点式：12()()y a x x x x =--的图像与性质 1x 、2x 分别是二次函数与x 轴的两个交点坐标，如果二次函数与x 轴的交点坐标已知，则我们可以设解析式为12()()y a x x x x =--，然后再根据条件求出a 即可； 3、一般式2y ax bx c =++的性质 对于一般式：2(0)y ax bx c a =++≠，我们怎么能知道二次函数的对称轴以及顶点坐标呢？ 将一般式配方成顶点式： 2y ax bx c =++=2 ()b c a x x a a ++=22222()44b b b c a x x a a a a ++-+ =222(())()22b b c b a x x a a a a +++- =222424b b ac a x a a -??+= ?? ? 所以，任意二次函数，其对称轴方程为：直线2b x a =-；顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ， 1． 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大； 2． 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；

二次函数一般式与顶点坐标公式练习

已知函数 ()4 12- + =x y. （1）该抛物线经过怎样的平移能经过原点. （2）画出该函数图象，并根据图象回答：当x取何值时，函数值大于0；当x取何值时，函数值小于0. 1、二次函数 k h x a y+ - =2) ( 的图像和 2 ax y= 的图 像之间的关系。 2.二次函数y=a(x-h)2+k的性质： 问题一：将一般式转化为顶点式 试将下列函数转化为顶点式，并说出其对称轴，顶点坐标。 （1） 262 y x x =-- （2） 2 1 2 4 y x x =--+

（3） 2 961y x x =-+ 问题二：顶点坐标公式 将 2 y ax bx c =++转化为顶点式： 2222 22 22222424y ax bx c b c a x x a a b b b c a x a a a a b ac b a x a a =++? ?=++ ? ? ???????=+?+-+?? ? ?????????-? ?=++ ?? ? 22,24,24y ax bx c b x a b a c b a a =++=-?? -- ? ?? 因此，二次函数的图像是 一条抛物线，它的对称轴是直线顶点是 利用顶点坐标公式填写下列表格：

问题三： y=a （x-2）（x+3）与x 轴的交点坐标是 ， 二次函数图象的顶点坐标 ，对称轴 ，开口方向 。 例1当x= 时，二次函数y=x 2 +2x-2有最小值． 例2、若抛物线y=-x 2 +4x+k 的最大值为3，则k= 试一试： 1、函数2 1 262y x x =+-的顶点坐标为 ，当x= 时，y 取最 值为 .与坐标轴的交点坐标，分析增减性，用5点作图法完成作图。 2、当x 为实数时，代数式x 2 -2x-3的最小值是 ，此时x= . 3、求二次函数62 +--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标

二次函数的图像(顶点式)

2、5次函数y=a(x-h)2+k 的图像 执笔人：刘红梅 时间：2009年12月3日 学习目标: 会用描点法画出函数y=a(x-h)2+k 的图像 学习重点: 1．会用描点法画出二次函数 的图像； 2．知道抛物线 的对称轴与顶点坐标； 学习难点:确定形如 的二次函数的顶点坐标和对称轴。 学习方法:三五三教学模式法。 一、自主探究： 1、在同一坐标系中画出函y= x 2 ,y=x 2+2, y=(x-1)2 , y=(x-1)2+2, 的图像 解：列表： 描点连线： 2、观察图像完成下表： 1、观察函数y= x 2 ,y=x 2+2, y=(x-1)2 , y=(x-1)2+2的图像，回答问题 （1）它们的形状_________，位置____________. (2)函数y= x 2与函数y=(x-1)2+2有什么联系？ 2、归纳总结： 1、二次函数y=a(x ±h)2+k 图像的性质 函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 y 随x 的增大而减小 y= x 2 ,y=x 2+2, y=(x-1)2 , y=(x-1)2+2, 抛物线 开口方向 对称性 顶点坐标 最值 y 随x 的减小而减小 y=a(x+h)2+k （a>0） y=a(x-h)2+k (a<0)

2、函数y=a(x ±h)2+k （a ≠0）的图像可以看作是y=ax 2向左或向右平移_________ 个单位，再向上或向下平移___________个单位得到的. 三、巩固练习： 1、指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值及y 随x 增大而减小的x 取值范围。 （1）y=－6(x-2)2 (2)y=3x 2－6 (3)y=3－x 412 (4) y=x 5 1 2 (5) y=2(x+3)2+7 (6) y=4－2(x+4)2 2、抛物线的y=－4（x －6）2－3向左或向右平移_________ 再__________ 平移___个单位得到y=－4x 2. 四、延伸迁移： 如图，某公路的隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，，底部宽OM 的 为12米，建立如图所示的直角坐标系。 （1） 直接写出M 及抛物线顶点P 的坐标； （2） 求这条抛物线的解析式。 五、达标检测：1、课本53页知识技能1 2、抛物线y=3（x+h ）2 +k 的顶点坐标是（1，5），则h=_____ k=_____ 六、学习收获

用顶点式求二次函数解析式

一、 用顶点式求二次函数解析式。 例题：已知抛物线的顶点为（1,3）经过点（3,0） 解：设抛物线的解析式为k h x a y +-=2 )( 把顶点（1,3）代入得：3)1(2+-=x a y 把点（3,0）代入得：03)13(2 =+-a 解得：43 - =a ∴抛物线解析式为：3)1(4 32 +--=x y 练习1：已知抛物线的顶点为（-1,4）经过点（2，-5） 2．已知抛物线y ＝ax 2 经过点A (1，1)．(1)求这个函数的解析式； 3．已知二次函数的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式． 4．抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛 物线的解析式． 5.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 6．抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式． 7．把抛物线y ＝(x －1)2 沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式． 8．已知二次函数m x x y +-=62 的最小值为1，求m 的值． 9．已知抛物线经过A （0，3），B （4,6）两点，对称轴为ｘ＝5 3 ， 求这条抛物线的解析式； 10． 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为 。 二、 用三个点求二次函数解析式 例题：二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7） 解：设二次函数的解析式为：c bx ax y ++=2 把点（-1,10），（1,4），（2,7）代入得： ???? ?=++=++=+-724410c b a c b a c b a 解得：??? ??=-==5 32c b a ∴抛物线解析式为：5322 +-=x x y 练习11：二次函数的图象经过（0,0），（-1,-1），（1,9） 12.已知二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式

抛物线顶点坐标的求法(公式法)

抛物线顶点坐标的求法（公式法） 1、二次函数表达式的“一般形式”为 ； 李丹与王涓（2019届bobo ） 2、二次函数表达式的“配方形式”为 ； 一、怎样由“公式法”来求抛物线的顶点坐标 1、先把“一般形式”的二次函数 c bx ax y 2++=（ 0a ≠）转化成“配方形式” 为 ，再依据由“配方式”看顶点坐标的方法，可知其顶点坐标 为 ，我们把这个“坐标结论”称为二次函数的“顶点坐标公式”； ①、求二次函数35x 2x y 2+=－的顶点坐标以及最值 解：由顶点坐标公式得：==2a b x － 顶横 ； ==4a b 4a c y 2－顶纵 ； ∴ 顶点坐标为 ； 又∵ 抛物线开口向 ，有最 点，∴ y 有最 值； 即：当=x 时， = ； ②、求二次函数3112x 2x y 2－－+=的顶点坐标，并对函数的增减性作出描述 解：由顶点坐标公式得：==2a b x － 顶横 ； 把=顶横 x 代入函数表达式得：=顶纵y = ； ∴ 顶点坐标为 ； 又∵ 抛物线开口向 ，所以， 在对称轴的左侧，即当自变量x 时，y 的值随x 的增大而 ； 在对称轴的右侧，即当自变量x 时，y 的值随x 的增大而 ； ③、求二次函数3112x 2x y 2－－+=的顶点坐标、并在当4＜5x ≤时，求函数y 的最值 解：由顶点坐标公式得：==2a b x － 顶横 ； ∴ 可设抛物线的表达式为：( )()k x y 2+=，易求=k ； ∴ 原表达式化为配方式为 ，则顶点坐标为 ； 又=顶横 x ，不在“4＜5x ≤”的范围内，∴ 函数y 的最值“不在”顶点处取，

由图形可知，当=x 时，=min y ； 变式：如果把“4＜5x ≤”改为“5x 4≤≤” ，问y 有最大值吗答： ； 点评：第①题是严格运用“顶点坐标”公式，分别求顶横x 和顶纵y （不妨命名为：全求分别法）； 第②题是先求顶横x ，然后代入函数表达式，再求出顶纵y （不妨命名为：半求代入法）； 第③题是先求顶横x ，然后“拼凑”出配方式，再求出k y =顶纵 （不妨命名为：半求拼凑法）； 以上“三种”方法，请根据实际情况灵活选择，以便于计算作为“选择依据”！！！ 二、怎样由“交点式”来求抛物线的顶点坐标 1、基本事实依据：什么叫抛物线的对称轴 答：第一种说法，经过抛物线的顶点，且垂直于 轴的直线，叫做抛物线的对称轴； 第二种说法，抛物线上任意一对“对称点”连线的 线，叫做抛物线的对称轴； 2、二次函数的表达式的“交点形式”为()()21x x x x a y －－=（0a ≠）. 其中，“a 值”与“一般形式”c bx ax y 2++=（0a ≠）中“a 值”的相等，而“1x 、2x ” 分别代表抛物线c bx ax y 2++=（0a ≠）与x 轴的交点横坐标，即是说“1x 、2x ”是一元二次方 程0c bx ax 2 =++（0a ≠）的二根，所以抛物线的“交点形式”，也可称“二根形式”。 3、重要思路?：如果抛物线c bx ax y 2++=（0a ≠）与x 轴有两个交点，分别为A （1x ，0）、 B （2x ，0），那么线段AB 的“垂直平分线”必为抛物线的 ，这条对称轴的表达式为： 直线顶横也x 2 x x x 2 1=+= （关于这一结论，可以通过举例，来加以理解！）。 知道了顶横x ，就可以根据表达式()()21x x x x a y －－=，利用“半求代入法”，求出“顶纵y ”， 岂不快哉！如此一来，也能“又快、有准”地写出“配方形式”()k h x a y 2 ++=，岂不美哉！ ①、求二次函数()()6x 1x 3y +=－的顶点坐标以及最值，并把解析式化为配方式. 解： 联立 得：()()06x 1x 3 =+－，解得：=1x ，=2x ； ∴ 抛物线的对称轴为：直线=x = ； 把=顶横 x 代入()()6x 1x 3y +=－，得=顶纵y = ； ()()?? ?=+=0 y x 6x 1x 3y 轴：－ 抛物线：

二次函数顶点对称轴,解析式

《二次函数的图象》教案 一、教学目标 (一)知识目标 1．使学生会用描点法画出二次函数的图象； 2．使学生会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴(对于不升学的学生，只要求会用公式确定抛物线的顶点和对称轴)； 3．使学生进一步理解二次函数与抛物线的有关概念； 4．使学生会用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式． (二)能力目标 1．培养学生分析问题、解决问题的能力； 2．向学生进行配方法和待定系数法的渗透，使学生能初步掌握； (三)情感目标 1．向学生进行事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点教育．2．通过二次函数的进一步研究，让学生认识到二次函数的对称轴、顶点坐标与二次项系数、一次项系数及常数项之间的内在联系的数学美及和谐的数学美． 二、教学方法 教师采用比较法、观察法、归纳总结法 本节重点是求二次函数解析式及将二次函数的解析式配方，确定抛物线的顶点、对称轴等特征，进而画出这条抛物线，在学习中，学生不要死记硬背，要运用数形结合思想，熟练画出抛物线草图，结合图像研究函数的性质以及不同图像之间的相互关系． 三、重点·难点·疑点及解决办法 1．教学重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标求对称轴及用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式．因为它们是画出二次函数的图像的基础． 2．教学难点：配方法的推导过程，因为虽然这种方法在前面学习一元二次方程时介绍过，但是在配方的过程中需要考虑加、减的数，对学生有一定的难度． 3．教学疑点：顶点式与一般式如何转化 四、教学媒体 三角板小黑板 五、教学设计思路 1．出示一组练习，导入新课． 2．“如何画的图像?”教师提问，让学生去讨论、发现：要写成的形式，找出对称轴，引入由一般式化成顶点式，推导出顶点坐标公式． 3．学生练习，为了强化巩固． 六、教学步骤 提问：说出下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标： (1) (2) (3) (4) (5)(出示幻灯) 通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩固，以便这节课的应用．这几个问题可找层次较低的学生回答，由其他同学给予评价． 我们已画过二次函数的图像，画它的图象的第一步是干什么?(列表)列表时我们是怎样取值的呢?(先确定中心值)若我们要画二次函数的图象应怎么办呢? 学生讨论得到：把二次函数转化成的形式再加以研究． 提问：怎样能把二次函数转化成的形式呢?我们先来看几个练习题：(出示幻灯)

人教版初三数学上册二次函数顶点式

22.1.3 二次函数y=a(x-h) +k的图象和性质（3） 凤台四中牛井梅 教学目标： 1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。 2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3．让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。 重点难点： 重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的重点。 难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x －h)2＋k的性质是教学的难点。 教学过程： 一、提出问题 1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系? (函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的) 2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系? 3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质? 二、试一试 你能填写下表吗? y=2x2向右平移 的图象1个单位y=2(x－1)2向上平移 1个单位y=2(x－1)2＋1的图 象 开口方向向上 对称轴y轴 顶点(0，0) 问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗? 问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质? 对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；

二次函数顶点式的教案

二次函数顶点式的教案 一．知识要点 1. 若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式（a≠0）求解析式。 2. 若已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴最值），则应用顶点式，其中（h，k）为顶点坐标。 3. 若已知二次函数图象与x轴的两交点坐标，则应用交点式，其中为抛物线与x轴交点的横坐标 二. 重点、难点： 重点：求二次函数的函数关系式 难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。 三. 教学建议： 求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的形式，选择恰当，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时，应根据题目特点，灵活选用。 典型例题 例1. 已知某二次函数的图象经过点A（－1，－6），B（2，3），C（0，－5）三点，求其函数关系式。 分析：设，其图象经过点C（0，－5），可得，再由另外两点建立关于的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可。 解：设所求二次函数的解析式为 因为图象过点C（0，－5），∴ 又因为图象经过点A（－1，－6），B（2，3），故可得到： ∴所求二次函数的解析式为 说明：当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系式为，然后确定a、b、c的值即得，本题由C（0，－5）可先求出c的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简便。 例2. 已知二次函数的图象的顶点为（1，），且经过点 （－2，0），求该二次函数的函数关系式。 分析：由已知顶点为（1，），故可设，再由点（－2，0）确定a的值即可 解：，则 ∵图象过点（－2，0）， 说明：如果题目已知二次函数图象的顶点坐标（h，k），一般设，再根据其他条件确定a 的值。本题虽然已知条件中已设，但我们可以不用这种形式而另设这种形式。因为在这种形式中，我们必须求a、b、c的值，而在这种形式中，在顶点已知的条件下，只需确定一个字母a的值，显然这种形式更能使我们快捷地求其函数关系式。 例3. 已知二次函数图象的对称轴是，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是（－1，0），求这个二次函数的解析式。 分析：依题意，可知顶点坐标为（－3，2），因此，可设解析式为顶点式 解：设这个二次函数的解析式为 ∵图象经过（－1，0）， ∴所求这个二次函数的解析式为 即： 说明：在题设的条件中，若涉及顶点坐标，或对称轴，或函数的最大（最小值），可设顶点式为解析式。 例4. 已知二次函数的图象如图1所示，则这个二次函数的关系式是__________________。图1

二次函数顶点式图像与性质

2.2二次函数的图象与性质（3） 教学目标 (一)教学知识点 1．能够作出函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象，并能理解它与 y＝ax2的图象的关系．理解a，h，k对二次函数图象的影响． 2．能够正确说出y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (二)能力训练要求 1．通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解． 2．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力． (三)情感与价值观要求 1．经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 2．让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 教学重点 1．经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的作法和性质的过程． 2．能够作出y＝a(x—h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象，并能理解它与y＝ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响． 3．能够正确说出y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．教学难点 能够作出y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象，并能够理解它与y＝ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响． 教学方法 探索——比较——总结法． 教具准备 投影片四张 第一张：(记作§2．4．1A) 第二张；(记作§2．4．1B) 第三张：(记作§2．4．1C)

第四张：(记作§2．4．1D) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境、引入新课 [师]我们已学习过两种类型的二次函数，即y＝ax2与y＝ax2＋c，知道它们都是轴对称图形，对称轴都是y轴，有最大值或最小值．顶点都是原点．还知道y＝ax2＋c的图象是函数y＝ax2的图象经过上下移动得到的，那么y＝ax2的图象能否左右移动呢？它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢？本节课我们就来研究有关问题． Ⅱ．新课讲解 一、比较函数y＝3x2与y＝3(x－1)2的图象的性质． 投影片：(§2．4A) (1)完成下表，并比较3x2和3(x－1)2的值，它们之间有什么关系？ (2)在下图中作出二次函数y＝3(x－1)2的图象．你是怎样作的？ (3)函数y＝3(x－1)2的图象与y＝3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？ (4)x取哪些值时，函数y＝3(x－1)2的值随x值的增大而增大？x取哪些值时，函数y＝3(x－1)2的值随x值的增大而减小？ [师]请大家先自己填表，画图象，思考每一个问题，然后互相讨论，总结．[生](1)第二行从左到右依次填：27，12，3，0，3，12，27，48；第三行从左到右依次填48，27，12，3，0，3，12，27． (2)用描点法作出y＝3(x－1)2的图象，如上图．