习题反常积分的收敛判别法

习 题 8.2 反常积分的收敛判别法

⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；

⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞

+a dx x )(?和

?

∞

+a

dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况.

解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则

当?∞

+a dx x )(?收敛时?

∞+a

dx x f )(也收敛；

当?

∞

+a

dx x f )(发散时?∞

+a

dx x )(?也发散.

证 当?∞

+a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，

0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：

K dx x A A ε

?

)(.

于是

≤

?'

A A

dx x f )(ε?

A A dx x K )(，

所以?

∞+a

dx x f )(也收敛；

当?

∞+a

dx x f )(发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，

00>?ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：εK dx x f A A ≥?'

)(.

于是

≥?'A A dx x )(?0)(1

ε≥?'

A A dx x f K ，

所以?∞

+a dx x )(?也发散.

（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0)

()(lim

=+∞→x x f x ?.则当?∞

+a dx x f )(发散

时，?∞

+a dx x )(?也发散；但当?∞

+a dx x f )(收敛时，?∞

+a dx x )(?可能收敛，也可能发散.

例如21)(x x f =

，)20(1)(<<=p x

x p ?，则0)()

(lim =+∞→x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 收敛，而对于?∞

+1)(dx x ?，则当21<<

p 时收敛，当10≤

发散.

设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且+∞=+∞→)

()(lim

x x f x ?.则当?∞

+a dx x f )(收

敛时，?∞

+a dx x )(?也收敛；但当?∞

+a dx x f )(发散时，?∞

+a dx x )(?可能发散，也可能收敛.

例如x

x f 1)(=

，)21(1)(>=

p x

x p ?，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ?.显然有 ?∞

+1

)(dx x f 发散，而对于?∞

+1)(dx x ?，则当

12

1

≤

p 时收敛. ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）.

证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞?+∞(,)0上恒有f x ()≥0，K 是正常数.

⑴ 若f x K

x

p ()≤，且p >1，则?∞+a dx x f )(收敛；

⑵ 若f x K

x

p ()≥，且p ≤1，则?∞+a dx x f )(发散.

推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a +∞?+∞(,)0上恒有f x ()≥0，且

lim ()x p x f x l →+∞

=，

则

⑴ 若0≤<+∞l ，且p >1，则?∞

+a dx x f )(收敛； ⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≤1，则?

∞

+a

dx x f )(发散.

证 直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数)(x ?取为

p x

1

. ⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：

⑴

1

1

3

21

x e

x dx x

-++-+∞

?ln ; ⑵

?

∞

++1

3

1tan arc dx x x

;

⑶

1

10

++∞

?x x dx |sin |

;

⑷

x x

dx q

p

11

++∞

?（+∈R q p ,）. 解 （1）当+∞→x 时，

1

ln 1

23++--x e

x x

～

2

31

x ，

所以积分1

1

321

x e x dx x -++-+∞

?ln 收敛.

（2）当+∞→x 时，

31arctan x

x +～3

2x π

， 所以积分?

∞

++13

1tan arc dx x x

收敛.

（3）因为当0≥x 时有

x

x x +≥+11

sin 11，

而积分dx x

?∞

++0

11

发散，所以积分110++∞?x x dx |sin |发散.

（4）当+∞→x 时，

p

q

x

x +1～q p x -1， 所以在1>-q p 时，积分x x dx q

p

11

++∞

?收敛，在其余情况下积分 x x dx q

p

11

++∞

?发散. ⒋ 证明：对非负函数f x ()，)cpv (f x dx ()-∞+∞

?收敛与f x dx ()-∞+∞

?收敛是等价的. 证 显然，由f x dx ()-∞+∞

?收敛可推出)cpv (f x dx ()-∞+∞

?收敛，现证明当0)(≥x f 时可由)cpv (f x dx ()-∞+∞

?收敛推出f x dx ()-∞+∞

?收敛.

由于)cpv (f x dx ()-∞+∞

?收敛，可知极限

+∞

→A lim =)(A F +∞

→A lim

?-A

A dx x f )(

存在而且有限，由Cauchy 收敛原理，

0>?ε，00A ?>，0,A A A ≥'?：ε<-)'()(A F A F ，

于是0,A A A ≥'?与0',A B B ≥?，成立

≤?'

A A

dx x f )(ε<-)'()(A F A F

与

≤?--B

B dx x f ')(ε<-)'()(B F B F ，

这说明积分?∞

+0)(dx x f 与?∞-0

)(dx x f 都收敛，所以积分f x dx ()-∞+∞

?收敛. ⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：

⑴

ln ln ln sin x x xdx 2+∞

?; ⑵ sin x

x dx p 1+∞?（+∈R p ）;

⑶ ?∞+1tan arc sin dx x

x x p

（+

∈R p ）; ⑷ sin()x dx 20+∞?; ⑸ ?∞+a n m

xdx x q x p sin )()

( （p x m ()和q x n ()分别是m 和n 次多项式，

q x n ()在),[+∞∈a x 范围无零点.）

解 （1）因为?=A

xdx A F 2sin )(有界，x x ln ln ln 在),2[+∞单调，且0ln ln ln lim

=+∞→x

x

x ，由Dirichlet 判别法，积分ln ln ln sin x

x

xdx 2

+∞

?收敛； 由于

≥x x x sin ln ln ln x x x 2sin ln ln ln )2cos 1(ln ln ln 21x x

x

-=，而积分 ?∞

+2

ln ln ln dx x x 发散，?∞+22cos ln ln ln xdx x x 收敛，所以积分?∞+2sin ln ln ln dx x x

x 发散，即积分ln ln ln sin x

x

xdx 2

+∞

?条件收敛. （2）当1>p 时，

p p

x

x x 1sin ≤

，而?∞+11dx x p 收敛，所以当1>p 时积分 sin x

x dx p

1

+∞

?绝对收敛； 当10≤

x d x A F 1s i n

)(有界，p

x 1

在),1[+∞单调，且01

lim

=+∞→p

x x ，由Dirichlet 判别法，积分sin x x dx p 1+∞?收敛；但因为当10≤

|

sin |dx x x p

发散，所以当10≤

x dx p

1

+∞

?条件收敛. （3）当1>p 时，

≤

p

x x

x arctan sin p

x 2π

，而?∞

+1

1

dx x

p 收敛，所以当1>p 时积分?

∞

+1

tan arc sin dx x x

x p

绝对收敛；

当10≤

x d x A F 1si n )(有界，

p

x

x a r c t a n

在),1[+∞单调，且

0arctan lim

=+∞→p x x x ，由Dirichlet 判别法，积分?∞+1arctan sin dx x x

x p 收敛；但因为当10≤

+1

sin arctan dx x x

x

p

发散，所以当10≤

+1

arctan sin dx x

x

x p

条件收敛. （4）令2x t =，=

?∞

+02)sin(dx x ?∞

+0

2sin dt t

t ，由于?∞

+0

2sin dt t

t 条件收敛，可知积分

sin()x dx 20

+∞

?条件收敛.

（5）当1+>m n 且x 充分大时，有

x x q x p n m sin )()(2x

K

≤，可知当1+>m n 时积分?

∞

+a

n m xdx x q x p sin )

()

(绝对收敛. 当1+=m n 时，因为?=A

xdx A F 1sin )(有界，且当x 充分大时，

)

()

(x q x p n m 单调且0)()(lim =+∞→x q x p n

m x ，由Dirichlet 判别法可知?∞+a n m

xdx x q x p sin )()(收敛；但由于当+∞→x 时，

)()(x q x p n m ～x a ，易知?∞+1sin )

()

(dx x x q x p n m 发散，所以当1+=m n 时，积分?

∞

+a

n m xdx x q x p sin )

()

(条件收敛. 当1+

→)

()

(lim

，A 为非零常数、∞+或∞-，易知积分?

∞

+a

n m xdx x q x p sin )

()

(发散. ⒍ 设f x ()在[,]a b 只有一个奇点x b =，证明定理8.2.'3和定理8.2.'5. 定理8.2.'3（Cauchy 判别法） 设在[,)a b 上恒有f x ()≥0，若当x 属于b 的某个左邻域[,)b b -η0时，存在正常数K ，使得

⑴ f x K b x p

()()≤-，且p <1，则f x dx a b

()?收敛； ⑵ f x K b x p

()()≥

-，且p ≥1，则f x dx a b

()?发散.

证 （1）当p <1时，积分?-b

a

p

dx x b )

(1

收敛，由反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε，0>?δ，),0(',δηη∈?：

K dx x b b b p

ε

ηη

<-?--'

)

(1. 由于

≤

?--'

)(ηη

b b dx x f εηη

<-?--'

)

(b b p

dx x b K

，所以f x dx a b ()?收敛. （2）当1≥p 时，积分?-b

a

p

dx x b )

(1

发散，由反常积分的Cauchy 收敛原理， 00>?ε，0>?δ，),0(',δηη∈?：

K dx x b b b p

0'

)

(1

εηη

≥-?--. 由于

≥

?--'

)(ηη

b b dx x f 0'

)

(εηη

≥-?--b b p

dx x b K

，所以f x dx a b ()?发散. 推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a b 上恒有f x ()≥0，且

lim ()()x b p b x f x l →-

-=，

则

⑴ 若0≤<+∞l ，且p <1，则f x dx a b

()?收敛；

⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≥1，则f x dx a b ()?发散. 证 （1）由lim ()()x b p b x f x l →-

-= （+∞<≤

0>?δ，),(b b x δ-∈?：p

x b l x f )

(1

)(-+<

， 再应用定理8.2.'3的（1）.

（2）由lim ()()x b p b x f x l →-

-= （+∞≤<≥l p 0,1），可知

0>?δ，),(b b x δ-∈?：p

x b l

x f )

(2)(->

，

再应用定理8.2.'3的（2）.

定理8.2.'5 若下列两个条件之一满足，则f x g x dx a b

()()?收敛： ⑴（Abel 判别法）

f x dx a

b

()?收敛，g x ()在[,)a b 上单调有界；

⑵（Dirichlet 判别法）?

-=ηηb a

dx x f F )()(在],0(a b -上有界，g x ()在[,)a b 上

单调且0)(lim =-

→x g b x .

证 （1）设G x g ≤|)(|，因为f x dx a b

()?收敛，由Cauchy 收敛原理，

0>?ε，0>?δ，),(,b b A A δ-∈'?：

G

dx x f A A

2)(ε

<

?

'.

由积分第二中值定理，

?

'A A

dx x g x f )()(??'

?'+?≤A A

dx x f A g dx x f A g ξ

ξ

)()()()(

??'

+≤A A dx x f G dx x f G ξξ)()(εε

ε=+<2

2.

（2）设M F ≤|)(|η，于是),[,b a A A ∈'?，有

M dx x f A A

2)(

'

.因为0)(lim =-

→x g b x ，

0>?ε，0>?δ，),(b b x δ-∈?，有M

x g 4)(ε

<

.由积分第

二中值定理，

?

'A A

dx x g x f )()(??'

?'+?≤A A

dx x f A g dx x f A g ξ

ξ

)()()()(

|)(|2|)(|2A g M A g M '+≤εε

ε=+<2

2.

所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy 收敛原理，都有?∞

+a

dx x g x f )()(收

敛的结论.

⒎ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：

⑴ 1

12301

x x dx ()

-?;

⑵ ln x

x dx 201

1

-?;

⑶ 1

220

2

cos sin x x

dx π?;

⑷ 10

2

-?cos x

x dx p

π; ⑸ |ln |x dx p 0

1

?;

⑹

x x dx p q ---?1101

1();

⑺

?---1

011

|ln |)1(dx x x x

q p .

解 （1）因为

3

2

)

1(1x x -～

3

21

x )0(+→x ，

3

2

)

1(1

x x -～

3

1)1(1x -

)1(-→x ，所以

积分1

12

3

1x x dx ()

-?收敛. （2）因为1ln lim 21--→x x x 2

1=，且对任意10<<δ，01ln lim 20=-+→x x x x δ，即当0>x 充分

小时，有

δx

x x 1

1ln 2

<-，所以积分ln x x dx 2011-?收敛. （3）因为

x x 22sin cos 1～21x )0(+→x ，x x 22sin cos 1～2

)2

(1

x -π)2(-→πx ，所以积分1

220

2

cos sin x x

dx π?发散.

（4）因为p x x cos 1-～2

21-p x

)0(+→x ，所以当3

-?cos x x dx p π

收敛，当3≥p 时积分10

2

-?cos x

x dx p

π

发散. （5）首先对任意的10<<δ与任意的p ，有0]|ln |[lim 0=+

→p x x x δ，即当0>x 充分小时，有δx x

p

1ln <

；且 p

x ln ～p

x --)

1(1)1(-→x .所以当1->p 时，积分|ln |x dx p 0

1

?收敛，当1-≤p 时，积分|ln |x dx p 01

?发散.

（6）11)1(---q p x x ～

p

x -11)0(+→x ，11)1(---q p x x ～

q

x --1)

1(1

)1(-→x ，所以在0,0>>q p 时积分x x dx p q ---?1101

1()收敛，在其余情况下积分

x x dx p q ---?1101

1()发散.

（7）|ln |)1(11x x x q p ---～

q

x --)

1(1

)1(-→x ，且 0|)]ln |)1(([lim 112

10=----

+

→x x x x

q p p x ，即当0>x 充分小时，有

2

1111ln )1(p q p x

x x x ---<

-，所以当1,0->>q p 时积分?---1

011|ln |)1(dx x x x q p 收

敛，在其余情况下积分?---1

011|ln |)1(dx x x x q p 发散.

⒏ 讨论下列反常积分的敛散性：

⑴ x x x dx p q ---?11

01

ln (+∈R q p ,); ⑵

1

122

3

x x x dx ()()

--+∞

?; ⑶ ln()

10

++∞

?x x dx p

; ⑷ ?

∞

+0

tan arc dx x

x

p

; ⑸

?2

/0

tan πdx x x p

;

⑹

x dx p x --+∞

?10

e ;

⑺

1

x x dx p q

++∞

?;

⑻

?∞

+2

ln 1

dx x

x q

p . 解（1）x x x dx p q ---?110

1

ln ?-=2101ln dx x x p ?--2101ln dx x x q ?---+12

1

11ln dx x x x

q p . 当0>p ，0>q 时积分?-21

1ln dx x x p 与积分?-2101

ln dx x

x

q 显然收敛，且当-→1x 时，

=

---x x x q p ln 11()[]()[]

()

)1(1ln 1

)1(11)1(111-+--+---+--x x x q p ～q p x x q p -=---1)1)((， 即?

---1

2

11

1ln dx x

x x q p 不是反常积分，所以积分x x x dx p q ---?1

10

1ln 收敛. （2）=

--?∞

+0

3

2

)2()1(1dx x x x ?--1

03

2

)

2()1(1dx x x x ?--+21

3

2

)

2()1(1dx x x x

?∞

+--+2

3

2

)

2()1(1

dx x x x .

因为

3

2

)

2()1(1

--x x x ～3

1

31

2

1x ?

-)0(+→x ，

3

2

)

2()1(1

--x x x ～3

2)1(1--

x

)1(-→x ，

所以积分?--103

2

)

2()1(1dx x x x 收敛；

因为

3

2

)

2()1(1

--x x x ～3

2)1(1--

x

)1(+→x ，

3

2

)

2()1(1

--x x x ～3

13

)2(1

2

1-?x

)2(-→x ，

所以积分?--213

2

)2()1(1dx x x x 收敛；

因为

3

2

)

2()1(1

--x x x ～3

13)2(1

2

1-?x

)2(+→x ，

3

2

)

2()1(1

--x x x ～

3

41

x )(+∞→x ，

所以积分?∞

+--2

3

2

)

2()1(1dx x x x 收敛.

由此可知积分1

122

3

x x x dx ()()

--+∞

?收敛. （3）=+?∞

+0

)

1ln(dx x

x p

+

+?10)1ln(

dx x x p

?∞

++1

)

1ln(dx x

x p

. 由

p

x x )1ln(+～11-p x )0(+→x ，可知当2

dx x x p 收敛，当2≥p 时，积分?+10

)

1ln(

dx x

x p

发散；

当1>p 时，0)1ln(lim 213=???

?

????+?-+∞→p p x x x x ，即当0>x 充分大时，有 2

131

)

1ln(-<+p p

x x

x ，其中

1213>-p ，可知当1>p 时，积分?∞++1)1ln(

dx x

x p 收敛，当1≤p 时，积分?∞

++1

)

1ln(dx x

x p

发散； 综上所述，当21<

∞++0

)

1ln(dx x x p

收敛，在其余情况下积分?

∞

++0

)

1ln(dx x

x p

发散.

（4）?∞

+0

tan arc dx x x p ?=10tan arc dx x x p ?∞++1

tan arc dx x

x

p . 由

p x x arctan ～11-p x )0(+→x ,可知当2

tan arc dx x x

p 收敛； 由

p x x arctan ～p x 2π)(+∞→x ，可知当1>p 时积分?∞+1

tan arc dx x x

p

收敛. 所以当21<

∞+0

tan arc dx x

x

p

收敛，在其余情况下积分 ?

∞

+0

tan arc dx x x

p

发散. （5）?2

/0

tan πdx x

x p

?=4

/0

tan πdx x

x p

?+2

/4

/tan ππdx x

x p

.

由

p

x

x

tan ～2

11

-p x )0(+→x ，可知当2

3<

p 时积分?4/0t an πdx x

x p

收敛，当

2

3≥

p 时积分?4/0tan πdx x

x p

发散；

由p

x

x tan ～12

2()

2

p

p x π

π-)2

(-→

π

x ，可知积分?2

/4

/tan ππdx x

x p

收敛.

所以当2

3<

p 时积分?2/0tan πdx x x p

收敛，当2

3

≥

p 时积分 ?2

/0

tan πdx x

x p

发散.

（6）x dx p x --+∞

?10e ?--=1

01e dx x x p ?∞

+--+11e dx x x p .

由于积分?∞

+--11e dx x x p 收敛，及x p e x --1～

p

x

-11)0(+→x ，所以当0>p 时

积分x dx p x --+∞

?10e 收敛，当0≤p 时积分x dx p x --+∞

?10e 发散. （7）10

x x dx p q

++∞

??+=101dx x x q p ?∞

+++11dx x x q p . 当q p =时，显然积分1

x x dx p q

++∞

?发散；

当q p ≠时，由于

q p x x +1～),min(1q p x )0(+→x ，q p x x +1～)

,max(1

q p x

)(+∞→x ， 所以当1),min(q p 时积分1

0x x dx p q

++∞

?收敛，其余情况下积

分1

x x dx p q

++∞

?发散.

（8）设1>p ，则对任意的q ，当x 充分大时，有

2

11ln 1

+

p x

x

x ，因为

12

1

>+p ，可知积分?∞

+2

ln 1

dx x

x q p 收敛.

设1

11ln 1

+>p q

p x

x

x ，因为

12

1

<+p ，可知积分?∞

+2

ln 1

dx x

x q

p 发散. 设1=p ，令t x =ln ，则

?∞

+2

ln 1dx x x q p ?∞+=2ln q

t

dt

，由此可知当1>p 或 1,1>=q p 时积分?∞

+2

ln 1dx x x q p 收敛，在其余情况下积分?∞+2

ln 1dx x

x q p 发散. ⒐ 讨论下列反常积分的敛散性：

⑴ x

x dx p -+∞+?1

2

1; ⑵ x x

x dx q p

sin 11

++∞

? (p ≥0);

⑶

?∞

+0

sin cos e dx x x

p

x ; ⑷

?∞+0

sin 2sin e

dx x x

p

x

; (5) ?1

021cos 1dx x

x p ； (6) ?∞+?

?

? ??

+11sin dx x

x x p

(0>p ). 解（1）x x dx p -+∞

+?120

1?+=-10211dx x x p ?∞+-++121

1dx x

x

p . 由211x x p +-～p x -11)0(+→x ，2

1

1x

x p +-～p x -31)(+∞→x ，可知当20<

分x x dx p -+∞

+?120

1收敛，在其余情况下积分x

x dx p -+∞+?1

2

01发散. （2）当1-

x x x -<+1

1|sin |，可知积分x x x dx q

p sin 11

++∞?绝对收 敛.

当p q p <≤-1时，因为?=A

xdx A F 1

sin )(有界，当x 充分大时p

q

x

x +1单 调减少，且01lim =++∞→p q x x x ，由Dirichlet 判别法，积分?∞++11sin dx x

x

x p q

收敛； 但因为积分?∞

++11|

sin |dx x

x x p

q 发散，所以当p q p <≤-1时积分sin x x dx p 1+∞?条 件收敛.

当p q ≥时，由于n →∞时22sin 1q n p

n x x

dx x πππ

++?

不趋于零，可知积分 x x

x dx q p

sin 11

++∞

?发散.

（3）?∞

+0

sin cos e dx x x p x ?=10sin cos e dx x x p x ?∞++1

sin cos e

dx x

x p x

. 由p x x x e cos sin ～p x 1)0(+→x ，可知当1

dx x

x p x

收敛，在其余情况下积分?10

sin cos e dx x

x

p

x

发散.

当1

?∞

+1

sin |

cos |e dx x x p

x 发散；当0≤p 时，易知积分

?∞

+1

sin cos e dx x x

p

x 发散. 当10<

1cos 1

sin -

e xdx e A x ，

p x 1单调减少，且01

lim =+∞→p x x

，由Dirichlet 判别法；可知积分?∞

+1

sin cos e dx x

x

p

x 收敛. 综上所述，当10<

+0

sin cos e dx x

x

p

x 条件收敛，在其余情况下积

分?∞

+0

sin cos e dx x

x

p

x 发散. （4）?∞+0

sin 2sin e

dx x x p x

?=10sin 2sin e dx x x p x ?∞++1

sin 2sin e

dx x

x p x

. 由p x x

x e 2sin sin ～12-p x )0(+→x ，可知当2

sin 2sin e

dx x x p x

收敛，在其余情况下积分?10

sin 2sin e dx x

x

p

x

发散. 当21<

+1

sin |

2sin |e dx x

x p

x 收敛；当1≤p 时，易知积分?∞

+1

sin |2sin |e dx x

x p x 发散；当0≤p 时，易知积分?∞+1

sin 2sin e

dx x x p x

发散. 当10≤

π

)1(sin 02sin k k x xdx e ，可知

?

A x xdx e 0

sin 2sin 有界，且

p x 1单调减少，01

lim =+∞→p x x

，由Dirichlet 判别法，可知积分 ?∞+1

sin 2sin e

dx x

x

p

x

收敛. 综上所述，当21<

sin 2sin e

dx x

x

p

x

绝对收敛，当10≤

sin 2sin e

dx x x p x

条件收敛，在其余情况下积分?∞+0

sin 2sin e

dx x

x p x

发散. （5）令2

1

x t =

，则 ?=1

021cos 1dx x

x p tdt t p cos 1211

2

3?∞+-. 于是可知当1

?1

02

1c o s 1dx x

x p 绝对收敛；当31<≤p 时积分?1

021cos 1dx x x p 条件收敛，当3≥p 时积分?1021cos 1dx x

x p

发散.

（6）当1>p 时，因为p

p x

x x x 11sin ≤??? ??+，可知积分?∞+??? ??+11sin dx x x x p 绝对收敛. 当10≤

+

+

??? ??+26

1sin πππ

πn n p dx x x x p

n ?

?? ?

?

+?>2321πππ，而级数 ∑

∞

=?

??

?

?

+121n p

n ππ发散，所以积分?∞

+?

?? ?

?

+1

1sin dx x

x x p

发散；又因为 =+?∞+dx x x x p 1

)1

sin(dx x x

x x x p

?∞++1

sin 1

cos cos 1sin ，注意到当x 充分大时，p x x 1sin 与p x x 1cos

都是单调减少的，由Dirichlet 判别法可知积分?∞+?

?? ??+1

1sin dx x

x x p 收敛，所以积分?∞+??? ??

+1

1sin dx x

x x p 条件收敛. 10．证明反常积分?∞

+04sin sin xdx x x 收敛. 证 对任意A A A >>'"，由分部积分法，

?="

'

4sin sin A A xdx x x ?-"'

42

)(cos 4sin

A A x d x x

"

'

24

4cos sin A A x x x ???? ??-=?-+"'244cos cos A A dx x x x ?"'34

2sin cos A A dx x x

x . 显然，当+∞→A 时，等式右端的三项都趋于零，由Cauchy 收敛原理，可知反

常积分?∞

+04sin sin xdx x x 收敛.

11．设f x ()单调，且当x →+0时f x ()→+∞，证明：f x dx ()01

? 收敛的必要条件是lim ()x xf x →+

=00.

证 首先由f x ()的单调性，对于充分小的10<

?≤≤

x

x dt t f x f x 2

)()(2

0. 由Cauchy 收敛原理，?

=+

→x x

x dt t f 2

00)(lim

，于是得到

0)(lim 0=+

→x xf x .

12．设?

∞

+a

dx x f )(收敛，且)(x xf 在),[+∞a 上单调减少，证明:

0)()(ln lim =+∞

→x f x x x .

证 首先容易知道当+∞→x 时，)(x xf 单调减少趋于0，于是有

0)(≥x xf ，且

?=?≤≤

x

x dt t

t tf x f x x 1)()()(ln 210?x

x dt t f )(.

然后由Cauchy 收敛原理，0)(lim

=?

+∞

→x x

x dt t f ，于是得到

0)()(ln lim =+∞

→x f x x x .

13．设f x ()单调下降，且lim ()x f x →+∞

=0，证明：若'f x ()在[,)0+∞上连续，则反

常积分'+∞

?f x x dx ()sin 20收敛. 证 首先由分部积分法，

?∞

+=

2sin )('xdx x f ?∞

+0

2)(sin x xdf ?∞

+-=02sin )(xdx x f .

由于?=A

xdx A F 02sin )(有界，f x ()单调下降，且lim ()x f x →+∞

=0，由 Dirichlet 判别法，可知积分?∞

+02sin )(xdx x f 收敛，从而积分'+∞

?f x x dx ()sin 20收

敛. 14. 设?

∞+a

dx x f )(绝对收敛，且lim ()x f x →+∞

=0，证明f x dx a 2()+∞

?收敛.

证 首先由lim ()x f x →+∞

=0，可知a A >?，A x >?，有1)(时， 成立)()(2

x f x f ≤.因为积分?∞

+a

dx x f )(绝对收敛，于是由比较判别法，

积分f x dx a 2()+∞

?收敛.

15． 若f x dx a 2()+∞?收敛，则称f x ()在[,)a +∞上平方可积（类似可定义无界函数

在[,]a b 上平方可积的概念）.

⑴ 对两种反常积分分别探讨f x ()平方可积与f x ()的反常积分收敛之间的关系；

⑵ 对无穷区间的反常积分，举例说明，平方可积与绝对收敛互不包含； ⑶ 对无界函数的反常积分，证明：平方可积必定绝对收敛，但逆命题不成

立. 解 （1）?∞

+a dx x f )(收敛不能保证f x dx a 2()+∞

?收敛，例如：x

x x f sin )(=，

则?∞

+1

)(dx x f 收敛，但?∞

+1

2)(dx x f 发散；

f x dx a 2()+∞

?收敛不能保证?∞

+a dx x f )(收敛，例如：x

x f 1

)(=

，则 ?∞

+1

2)(dx x f 收敛，但?∞

+1

)(dx x f 发散.

（2）f x dx a 2()+∞

?收敛不能保证?∞

+a dx x f )(绝对收敛，例如：x

x

x f sin )(=

，则?∞

+1

2)(dx x f 收敛，但?∞

+1

)(dx x f 不是绝对收敛的；

?∞

+a

dx x f )(绝对收敛不能保证f x dx a 2()+∞

?收敛，例如：

??

??

?+

∈=∞

=其他

0]1,[)(2

3

n n n n x n x f ，则?∞+1)(dx x f 绝对收敛，但?∞+12)(dx x f 发散.

（3）由)](1[2

1)(2x f x f +≤，可知?b a dx x f )(2收敛保证?b

a dx x f )(绝对收敛；

但?b a dx x f )(绝对收敛不能保证?b

a dx x f )(2收敛，例如：x

x f 1)(=

，则

?1

)(dx x f 绝对收敛，但?1

02)(dx x f 发散.

16. 证明反常积分

sin sin x

x x dx p ++∞

?1

当p ≤

1

2

时发散，当121<≤p 时条件收敛，当p >1时绝对收敛.

证 当p >1时，对充分大的x ，有x x x p sin sin +p

x 2≤，由于积分?∞+12

dx x p

收敛，可知积分sin sin x

x x

dx p ++∞

?1

绝对收敛.

当10≤

)

sin (sin sin sin sin 2x x x x

x x x x x p

p p p

+-=+. 这时积分?∞

+1

sin dx x x p 收敛；积分?∞

++12)

sin (sin dx x x x x p p 当121<≤p 时收敛，当2

1

0≤

++434

sin sin π

πππn n p dx x x x 1

)1(122++?≥p

p n ππ，因为级数

1

)1(11

++∑

∞

=p p n n π发散，所以积分?∞

++1

sin sin dx x

x x

p

发散. 综上所述，当121<≤p 时，积分sin sin x x x dx p ++∞?1条件收敛；当2

1

0≤

积分sin sin x

x x

dx p ++∞

?1

发散.

当0≤p 时，因为有?+

++224

2sin sin π

πππn n p dx x x x 2224sin 2n n x dx π

πππ++>?π162>，由 Cauchy 收敛原理，可知积分sin sin x

x x

dx p ++∞

?1

发散.

习题反常积分的收敛判别法

习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(. 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞ +a dx x f )(发散 时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有

对数判别法

一个比拉阿比判别法更精细的正项级数判别法 摘要：本文用级数∑ ∞ =3 ln 1 n p n n 做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法，笔者称之为“对数判别法”。 关键词：比较判别法 级数判别法的极限形式 拉格朗日中值定理 对数判别法 目前较常用而又精细的正项级数判别法是拉阿比判别法，然而此判别法有时精确度仍然不够。以下本文就以级数∑ ∞ =3 ln 1 n p n n 做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法——“对数判别法”。 我们先看级数∑ ∞ =3ln 1 n p n n 的敛散性：当1>p 时级数收敛；当1≤p 时级数发散。这个结论可用柯西积分判别法证明（具体证明请参见邓东皋、尹小玲编著《数学分析简明教程》），本文不再细述。 先考虑发散的情况。由比较判别法有：设数列}{n u 是正项数列，若n 足够大时，有 n n n n u u n n ln ) 1ln()1(1++< + 成立，则∑∞ =1 n n u 发散。 为了应用方便我们来寻求像拉阿比判别法那样的“极限形式”： n n n n u u n n ln )1ln()1(1++<+n n n u n nu n n ln ln )1ln(1)1(1-+< -+?+， 由拉格朗日中值定理知，对任意n ，存在)1,(+∈n n n ξ，使得 n n n ξ1 ln )1ln(= -+, 故 n n n n u u n n ln ) 1ln()1(1++<+1]1)1([ln 1 <-+?+n n n u n nu n ξ， 要使n 足够大时有1]1)1([ ln 1 <-++n n n u n nu n ξ成立，只需

习题反常积分的收敛判别法

页脚内容278 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞+a dx x )(?和?∞+a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞+a dx x )(?收敛时?∞+a dx x f )(也收敛； 当?∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε?< ?')(. 于是 ≤ ?'A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是

页脚内容279 ≥?'A A dx x )(?0)(1ε≥?'A A dx x f K ， 所以?∞+a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0)()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞+a dx x f )(发散时，?∞+a dx x )(?也发散；但当?∞+a dx x f )(收敛时，?∞+a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 收敛，而对于?∞+1)(dx x ?，则当21<

=p x x p ?，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 发散，而对于?∞+1)(dx x ?，则当12 1≤

p 时收敛. ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）. 证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞?+∞(,)0上恒有f x ()≥0，K 是正常数. ⑴ 若f x K x p ()≤，且p >1，则?∞+a dx x f )(收敛；

积分敛散性的判断

目录 摘要........................................................................................... (2) 引言........................................................................................... . (3) 1无穷积分........................................................................................... .. (5) 1.1无穷积分的概念........................................................................................... .. (5) 1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5) 1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6) 1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7) 2瑕积分........................................................................................... .. (8) 2.1瑕积分的定义........................................................................................... . (9) 2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10) 2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10) 2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12) 3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13) 总结........................................................................................... ......... .. (13) 参考文献........................................................................................... ... .. (14)

反常积分的收敛判别法

反常积分的收敛判别法 阿文 摘 要：掌握不同类型函数反常积分收敛性的多种判别方法，对于需要计算出其收敛值的，也可以方便的计算出其收敛的数值. 关键词：Cauchy 判别法； Abel 判别法； Dirichlet 判别法 引 言 一般情况下，只需确定一个反常积分函数的收敛性，而不一定需要求出其具体的收敛数值.因此，掌握不同类型函数的反常积分收敛判别法是极其必要的. 一 非负函数反常积分的收敛判别法 1.比较判别法 设在),[+∞a 上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数，则 （1） 当? +∞a dx x )(?收敛时?+∞a dx x f )(也收敛； （2） 当?+∞a dx x f )(发散时?+∞a dx x )(?也发散. 2.Cauchy 判别法 设在),[+∞a ),0(+∞?上恒有0)(≥x f ，K 是正常数， （1）若p x K x f ≤)(，且p>1,则dx x f a ?+∞)(收敛； （2）若p x x f K ≥)(，且p 1≤，则?+∞a dx x f )(发散. 二 一般函数反常积分的收敛判别法 1.Abel 判别法 dx x f a ? +∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 单调有界，则dx x g x f a )()(?+∞收敛；

2.Dirichlet 判别法 F(A)=dx x f A a ?)(在[),+∞a 上有界，)(x g 在[),+∞a 上单调且+∞→x lim 0)(=x g ，则dx x g x f a )()(?+∞ 收敛. 三 无界函数反常积分的收敛判别法 1.Cauchy 判别法 设在[),b a 上恒有0)(≥x f ，当x 属于b 的某个领域),[0b b η-时，存在正常数K ，使得 (1) ,) ()(p x b K x f -≤且p<1，则?b a dx x f )(收敛; (2) ,)()(p x b K x f -≥且p 1≥则?b a dx x f )(发散. 2.Abel 判别法 ?b a dx x f )(收敛，)(x g 在),[ b a 上单调有界，则?b a dx x g x f )()(收敛. 3.Dirichlet 判别法 ? -=ηηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，)(x g 在),[b a 上单调且0)(lim =-→x g b x , 则?b a dx x g x f )()(收敛. 总 结 函数的类型不同，其相应的反常积分收敛判别法也就不同. 熟练掌握多种判别法可以对不同类型函数的敛散性做出正确的估计及计算.一般的，同一类函数也可用不同的方法来计算，既省时间，正确度又高. 参考文献 [1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析(第二版)[M]，北京：高等教育出版社，2004.6.

广义积分敛散性判别法的应用

安.师专攀报(自泊科学蔽)1995年旅魂翔 2)若、‘1,。0)的敛散性推导得出的。这在分析教材 中都有介绍。 在使用判别法时,关键在于如何选取入与d,使得符合判别法的条件,从而得出相应的结 论—收敛或发散。一般来说.这种选取是较为困难的。因此,选取入、d,就成为教学中的难点,在分析教材中的例,都是预见选好了入,求出d,据判别法得出相应结论。具体做习题时,在选取入后;还要结合考虑x性(x)的极限,当入,d符合判别法条件l)或幻后,才有相应的结论。对入、d 用“尝试法洲对号入座”,一般不易掌握,但是考虑判别法的特点,还是有一定规律可循的。我们通过对下述例题的讨论,看怎样选取入与d。 例‘讨论几兴dx的敛散性 解一”是被积分函数‘(x,一兴的瑕点·”0<·<,时,in·<”,叮>”, 考虑极限31imx了 工一。+ 一Inx 、反二一1im一Inx~1sm4x寺一。‘一。十x一皿一。十 。___3___.,~~,、,,‘,_ 送里入~丁丈1,d~U,砍原积分收双。悦 分析讨论:能否取入一告呢?‘ 由极限lim、奋 x~。+ 一InX V下~lim(一inx)~一co,不满足O<入<1,O簇d<十、的条件。x一O+ 怎样确定入呢?我们考虑极限limx‘ x~。十 Inx 侧丁~1jm,要使该极限值为有限,而O<久

习题8.2反常积分的收敛判别法

习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数。则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散。 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(。 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(。 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散。 （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?。则当?∞ +a dx x f )(发 散时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散。 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?。显然有 ?∞ +1 )(dx x f 收敛，而对于?∞ +1)(dx x ?，则当21<

反常积分的敛散性判定方法

内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院专业数学与应用数学年级2012 级 学号122094102 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩75 分

目录 摘要??????????????????.. ?? . ?. ?????..1 关键词??????????????????.. ?? . ?. ????..1 引言 ----------------------------------------------------------------------------------------2 一、预备知识?????????? .. ?? . ?. ????? . 2 1.无穷限反常积分??????????..??.?.?????..2 2.瑕积分????????..??.?.????3 3.反常积分的性质???????? .. ?? . ?. ????3 二、反常积分的收敛判别法????????????.. ?? . ?. 4 1 无穷积分的收敛判别????????.. ?? . ? . ?????4 (1). 定义判别法 (2). 比较判别法 (3).柯西判别法??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 5 (4)阿贝尔判别法 . ???????..??.?.?????.6 (5).狄利克雷判别法???????..??.?.?????7 2 瑕积分的收敛判别???????..??.?.?????. .?8 (1). 定义判别法???????..??.?.?????..??8 (2). 定理判别法???????????..??.?.?????.9. (3). 比较判别法?????????????.. ?? . ?. ????9 (4).柯西判别法???????????..??.?.?????9 (5).阿贝尔判别法???????????..??.?.???.10 (6).狄利克雷判别法????????..??.?.?????10.

08第八讲 积分判别法

数学分析第十二章数项级数积分判别法 第八讲

数学分析第十二章数项级数 定理12.9（积分判别法） 积分判别法由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,局限性较大,所以还需要建立一些更有效的判别法. 设[1,)f +∞为上非负减函数,+1()d f x x 与反常积分∞ ?同时收敛或同时发散. 证由假设[1,)f 为+∞上非负减函数, f 在[1, A ]上可积,于是 对任何正数A ,那么正项级数()f n ∑

数学分析第十二章数项级数-≤≤-=?1()()d (1),2,3,. n n f n f x x f n n 依次相加可得1 122 1()()d (1)().(12)m m m m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑?若反常积分收敛,有 111()(1)()d (1)()d . m m m n S f n f f x x f f x x +∞==≤+≤+∑?? 根据定理12.5, 级数()f n ∑收敛. 则由(12)式左边, 对任何正整数m ,

数学分析第十二章数项级数反之, 若()f n ∑为收敛级数, 一正整数m (>1)有 -≤≤=∑?11()d (). (13)m m f x x S f n S 1 0()d , 1.A n f x x S S n A n ≤≤<≤≤+?因为f (x )为非负减函数, 法, 可以证明+1()()d f n f x x 与∞∑? 是同时发散的.112 21()()d (1)().(12)m m m m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑?则由(12)式右边，对任故对任何正数A ,都有111.2,()d .f x x +∞ ?根据定理反常积分收敛用同样方

无穷积分的性质与收敛判别法

§2 无穷积分的性质与收敛判别法 教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。 教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。 教学内容： 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ()dx x f a ? +∞ 收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f u a ?在u →+∞时是否存在 极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。 定理11.1 无穷积分()dx x f a ? +∞ 收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便 有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ?≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()221 1 21|()()|.u u u u a a f x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=-

反常积分

第十一章反常积分 教学要点： 反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。 教学内容： §1 反常积分的概念（4学时） 反常积分的引入，两类反常积分的定义反常积分的计算。 §2 无穷积分的性质与收敛判别（4学时） 无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法与Abel判别法。 §3 瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。 教学要求： 掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。 1．反常积分的收敛性及其收敛性的判别法是本章的重点. 2．两类反常积分的性质及其收敛性判别法有很多相似之处，应引导学生加以类比。 §1 反常积分概念 教学目标：掌握反常积分的定义与计算方法． 教学内容：无穷积分；瑕积分． 教学建议：

讲清反常积分是变限积分的极限． 教学过程： 一、 问题的提出 1、为什么要推广Riemann 积分 定积分()b a f x dx ?有两个明显的缺陷：其一，积分区间[a,b]必须是有限区间； 其二，若[,]f R a b ∈，则0M ?>，使得对于任意的[,]x a b ∈，|()|f x M ≤（即有界是可积的必要条件）。这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形。 例1（第二宇宙速度问题）、在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？ 解： 设地球半径为 ，火箭质量为 ，地面重力加速度为，有万有引 力定理，在距地心处火箭受到的引理为 于是火箭上升到距地心处需要做到功为 当 时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 在由能量守恒定律，可求得处速度至少应使 例2、 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？ 解： 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为 时，水从小孔里流出的速度为

积分敛散性的判断

目录 摘要 (2) 引言 (3) 1无穷积分 (5) 1.1无穷积分的概念 (5) 1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5) 1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6) 1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7) 2瑕积分 (8) 2.1瑕积分的定义 (9) 2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10) 2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10) 2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12) 3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13) 总结.................................................................................................... .. (13) 参考文献.............................................................................................. .. (14)

判断反常积分敛散性的方法 谢鹏数学与计算机科学学院 摘要：反常积分的收敛性是数学分析中的难点之一，本文介绍了反常积分敛散性的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子，以及绝对收敛和条件收敛的概念等，让读者能够用反常积分的柯西收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、柯西判别法，以及一般函数反常积分的狄利克雷、阿贝尔判别法判别法判别基本的反常积分敛散性，以便更好的掌握反常积分收敛先判断的方法. 关键词：无穷积分；瑕积分；敛散性；判别方法 On Convergence of The Method of Judging Abnormal Integral Name of student, School: XiePeng，School of Mathematics & Computer Science

无穷限反常积分敛散性及审敛法则(教案)

无穷限反常积分敛散性及审敛法则 一、教学目标分析 在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识，本节通过介绍反常积分，加深学生对积分的了解，使同学对积分的了解更加系统化，并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。让学生反常积分在一些实际问题中的应运。 二、学情/学习者特征分析 学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛，使学生充分掌握本节课的内容。 三、学习内容分析 1.本节的作用和地位 通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，这些问题通常是一些实际问题。例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。 2．本节主要内容 1. 无穷限反常积分的定义与计算方法 2. 无穷限反常积分的性质 3. 无穷限反常积分的比较审敛法则 4. 条件收敛与绝对收敛 3.重点难点分析 教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则； 教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。 4.课时要求：2课时 四、教学理念 学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解反常积分，尤其是其在一些实际问题中的应运。 五、教学策略 在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质，并适时举例讲解，引导学生互动，相互讨论解决问题。

六.教学环境 网络环境下的多媒体教室与课堂互动。 七、教学过程 一、无穷限反常积分的定义 定义1 设函数／定义在无穷区间[+∞,a )上，且在任何有限区间[u a ,]上可积．如果存在极限 J dx x f u a u =? +∞→)(lim 则称此极限J 为函数f 在[+∞,a )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作 dx x f J a ?+∞ =)(，并称 dx x f a ?+∞ )(收敛．如果极限J dx x f u a u =?+∞ →)(lim 不存在，亦称 dx x f a ?+∞ )(发散． 类似地，可定义f 在(b ,∞-]上的无穷积分：.)(lim )(dx x f dx x f b u u b ?? -∞ →∞ -= 对于f 在(+∞∞-,)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义： ,)()()(dx x f dx x f dx x f a a ???+∞ ∞ -∞-+∞ +=其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收 敛时它才是收敛的． 注： dx x f a ? +∞ )(收敛的几何意义是：若f 在],[+∞a 上为非负连续函数，则介于曲线 )(x f y =，直线a x =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J ． 例1 讨论无穷积分.1) 10 2 ? +∞ +x dx ，.1)22?∞+∞-+x dx ，.)30 2 ?+∞-dx xe x 的收敛性． 例2 讨论下列无穷积分的收敛性：? +∞ 1 ) 1p x dx ， ;)(ln )22?+∞p x x dx 二、无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ?+∞ a dx x f )(收敛与否， 取决于积分上限函数=)(u F ?u a dx x f )(在+∞→u 时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则． 定理11.1 无穷积分 ? +∞a dx x f )(收敛的充要条件是：任给ε>0，存在G ≥a ，只要 G u u >21,，便有 ε<= -? ? ?2 1 2 1 )()()(u u u a u a dx x f dx x f dx x f ． 此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质． 性质 1 若 dx x f a )(1? +∞ 与 dx x f a )(2? +∞ 都收敛，1k ,2k 为任意常数，则

含参量反常积分一致收敛性的判别法资料

含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε-

(完整版)《高数》积分判别法

积分判别法 若在[1,∞)上f 减, 非负, 则∑f (n )收敛??∞1f 收敛. 此时?∞1f ≤∑f (n )≤?∞1f + f (1). 证 ?21f ≤f (1) = f (1), ?32f ≤f (2)≤?21f , … ,?+1n n f ≤f (n )≤?-n n f 1, 相加得?+11n f ≤∑-n k k f 1)(≤?n f 1+ f (1). 令n →∞得证. 注. 条件可改为x 充分大时f 减, 非负. 例1(p 级数)∑p n 1当且仅当p > 1时收敛. 证一. p > 0时用积分判别法; p ≤0时由必要条件. 证二 p ≤1时由n -p ≥n -1得发散, p >1时用积分判别法. *证三 p ≤1时由n -p ≥n -1得发散. p > 1时按下列方法加括号: 括号内的项数依次为1, 2, 4, 8, 16, …, 则由1141447141,21223121--=<++=<+p p p p p p p p Λ, … 及比较判别法知加括号后的级数收敛, 故p 级数也收敛. △∑∑∞=∞ =32ln ln 1 ,ln 1n p n p n n n n n , … . 备考. 设f (x ) = (x ln p x )-1 (x ≥2), 则p ≥0时显然f 减. 而p < 0时对充分大的x , f 仍减[p < 0时f ' (x ) = - (x ln p x )-2 ln p -1x (ln x + p )< 0 (x > e -p ), 故可直接应用积分判别法得∑(n ln p n )-1当p > 1时收敛, p ≤1时发散. △∑)1(~ )1(23n n n +. △)1(~ 1n n n ∑-.△)1(~ )1(q q p p n n n ∑++.△∑sin n 1 (~n 1). △∑n n 1 (n n a =n 1→0, 或n n 10) (n n a a 1+=1+n a , 或n n a =n n a ! →0). △∑n n n ! (n n a a 1+→e 1或n n a →e 1(上 册p.40.4(5)). △∑)2()1(n n n n Λ+(n n a a 1+= (1 +n 1)n 4)22)(12()1(2e n n n →+++<1). △∑n ln 1(n ln 1>n 1或1-n a n →∞). △∑p n )(ln 1(1 -n a n →∞). △∑p n n ln (p ≤1时1-n a n →∞,发散; p >1时取q 使p >q >1,, 则q n n a -→0或a n ≤n -q , 收敛). △∑(n a - 1) (a >1) (由 x a x 1-→ln a (x →0)知n a - 1 = O(n 1). p.16.1 (9)类似). *△∑2121)1ln 2(+-++n n n n n (≤n n n n n 21)2(2121≤+-). *△∑n n ln ln )(ln 1(∵x x ln )ln (ln 2→0(x → ∞), ∴n 充分大时(ln n ) ln ln n = exp(ln ln n )2 < e ln n = n , 发散). 例2. 证明: 若a n > 0, ∑a n 收敛, 则∑1+n n a a 与∑a n a n +1收敛. [与∑a n 比较]. 例3(p.16.9(4). 考察∑∞=3)ln (ln )(ln 1n q p n n n 的收敛性. 解 设f (x ) = x (ln x )p (ln ln x ) q , 则f ' (x ) = ln p -1 x (ln ln x ) q -1((ln x + p ) ln ln x + q ), x 充分大时?p , q , f ' (x ) > 0, 故可用积分判别法. ??∞∞==3ln 3ln )(u u du x f dx I q p . p >1时取r 使p >r >1, 由u r u u q p ln 1→0知I 收敛. p =1时I =?∞3ln ln q t dt , 当且仅当q >1时收敛. p <1时由u u u q p ln 1

级数判别法

级数判别法 基本定理：正项级数收敛的充要条件是： ∑∞ =1 n n a 的部分和数列 }{n S 有界。 1、 比较判别法：设 ∑∞=1 n n a 和∑∞ =1 n n b 是两个正项级数，且存在 0>N ，使当N n >时，有不等式n n b a ≤，则： ○ 1：∑∞ =1n n b 收敛 ∑∞ =?1 n n a 收敛。 ○ 2：∑∑∞ =∞ =?10 1 n n n n b a 发散发散。 2、 比较判别法极限形式：设 ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 是两个正项级数，且 λ=+∞→n n n b a lim ，则： ○ 1：当+∞<<λ0时，∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 具有相同的敛散性。 ○ 2：当0=λ时，∑∞=1 n n b 收敛∑∞ =?1n n a 收敛。 ○ 3：当+∞=λ时，∑∞=1 n n b 发散∑∞ =?1 n n a 发散。 3、 比较判别法II ：设有两正项级数 ∑∑∞ =∞ =10 1 n n n n b a 和，)0,0(≠≠n n b a 满足： n n n n b b a a 1 1++≤，则： ○ 1：∑∞ =1 n n b 收敛 ∑∞ =?1 n n a 收敛。 ○ 2：∑∞ =1 n n a 发散∑∞ =? 1 n n b 发散。 4、 比值判别法（达朗贝尔）：设 ∑∞ =1 n n a 为正项级数，则： 1°若当n 充分大时有： 11 <≤+q a a n n ，则级数∑∞ =1n n a 必收敛。 2°若当n 充分大时有： 11 ≥+n n a a ，则级数∑∞=1 n n a 必发散。 5、 达朗贝尔判别法的极限形式：设 ∑∞ =1 n n a 为正项级数，且 2111lim lim λλ==+∞→+∞→n n n n n n a a ，a a ，+∞≤2,1λ，则： 1°：当11 <λ时，级数∑∞ =1n n a 收敛。 2°：当 12>λ时，级数∑∞ =1 n n a 发散。 6、 根值判别法（Cauchy ）：设 ∑∞ =1 n n a 为正项级数，则：

(整理)广义积分的收敛判别法

第二节 广义积分的收敛判别法 上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分? +∞a dx x f )(收敛的充分必要条件是：0>?ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有 ε?ε , 0>?δ, 只要0<δηη<

反常积分的敛散性判定方法

反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院 专业数学与应用数学 年级 2012级 学号 2 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩 75分

目录 摘要 (1) 关键词 (1) 引言 --------------------------------------------------------------------- -------------------2 一、预备知识 (2) 1.无穷限反常积分 (2) 2.瑕积分 (3) 3.反常积分的性质 (3) 二、反常积分的收敛判别法 (4) 1无穷积分的收敛判别 (4) (1).定义判别法 (4) (2).比较判别法 (4) (3).柯西判别法 (5) (4)阿贝尔判别法 (6) (5).狄利克雷判别法 (7) 2瑕积分的收敛判别.................................................. . (8) (1).定义判别法 (8) (2).定理判别法 (9) (3).比较判别法 (9) (4).柯西判别法 (9) (5).阿贝尔判别

法 (10) (6).狄利克雷判别法 (10)

参考文献 (11)

摘要 在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此得到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。我们将这两种积分统称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性判定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，并给出了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定理判断反常积分的敛散性。 关键词：反常积分瑕积分极限敛散性