广义积分的收敛判别法
第二节 广义积分的收敛判别法
上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．
定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分
?+∞
a
dx x f )(收敛的充分必要条件是：0>?ε, 存在A>0, 使得b , b '>A
时，恒有
ε
b b dx x f
证明：对+∞→b lim
0)(=?
+∞
b
dx x f 使用柯西收敛原理立即得此结论．
同样对瑕积分?b a
dx x f )((b 为瑕点), 我们有
定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛原理）设函数f (x )在[a ,b )上有定义，在其任何闭子区间[a , b –ε]上常义可积，则瑕积分?b
a dx x f )(收敛的
充要条件是: 0>?ε
, 0>?δ, 只要0<δηη<
εηη
b b dx x f
定义9.5如果广义积分
?+∞
a
dx x f |)(|收敛，我们称广义积分
?+∞
a
dx x f )(绝对收敛（也称f (x )在[a ,+)∞上绝对可积]; 如?+∞
a dx
x f )(
收敛而非绝对收敛，则称?+∞
a
dx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上
条件可积．
由于a A A ≥?/,，均有 |)(|/
?A A dx x f ≤
?/
|)(|A A
dx x f
因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分?+∞a
dx x f )(绝对收敛，则广义积分?+∞
a dx
x f )(必收敛．
它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。 对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．
下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法．
比较判别法：
定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a ,+∞)上恒有
),()(0x k x f ?≤≤（k 为正常数）
则当?+∞
a dx x )(?收敛时, ?+∞
a dx x f )(也收敛;
当?
+∞a
dx x f )(发散时,
?+∞
a
dx x )(?也发散．
证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立．
对瑕积分有类似的结论判别法
定理9.5 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使
∈?≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则
1） 如?b a
dx x g )(收敛，则?b
a
dx a f )(也收敛。
2）如?b a
dx x f )(发散，则?b
a
dx x g )(也发散．
比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式．
定理9.6 如果f (x ), g (x )是[a ,+)∞上的非负函数, 且,)()
(lim
l x g x f x =+∞→
则 (1) 如果+∞<≤l 0, 且?+∞a
dx x g )(收敛, 则积分?+∞
a dx x f )(也收敛． (2) 如果+∞≤ a dx x g )(发散，则积分?+∞ a dx x f )(也发散． 证明：如果,0)() (lim ≠=∞ →l x g x f x 则对于)0(0>->εεl , 存在A, 当A x ≥时, εε+<< -≤l x g x f l ) () (0 即)()()()()(x g l x f x g l εε+<<-成立. 显然 ?+∞ a dx x f )(与 ?+∞ a dx x g )(同时收敛或同时发散，在l =0或 l =∞时，可类似地讨论. 使用同样的方法，我们有 定理9.7 对以b 为唯一瑕点的两个瑕积分?b a dx x f )(与?b a dx x g )( 如果 f (x ), g (x ) 是非负函数，且,)() (lim l x g x f b x =- → 则 （1） 当+∞<≤l 0, 且?b a dx x g )(收敛时，则?b a dx x f )(也收敛． （2） 当+∞≤ dx x g )(发散时，则?b a dx x f )(也发散． 对无限区间上的广义积分中，取? ∞ +a p dx x 1 作比较标准，则得到下列Cauchy 判别法：设f (x )是[a ,+)∞的函数，在其任意闭区间上可积,那么: 定理9.8 若0≤f (x )≤p x c ， p >1,那么积分?+∞a dx x f )(收敛，如 f (x )≥p x c ，p ≤1,则积分?+∞a dx x f )(发散． 其极限形式为 定理9.9 如+∞→x lim l x f x p =)( (+∞<≤l 0, p >1), 则积分?+∞ a dx x f )(收 敛． 如∞ →b lim l x f x p =)(, 而+∞≤ a dx x f )( 发散. 例9.8 判断下列广义积分的收敛性。 (1) ?∞ +????? ? +-+1 11)11ln(dx x x (2) ?∞ ++1 1dx x x n m (m >0, n >0) 解：（1）因为0x x +- +≤11)11ln( =+-≤x x 111 2 1 )1(1x x x ≤+ 由? ∞+1 21 dx x 收敛推出?∞+????? ?+-+111)11ln(dx x x 收敛． （2）因为+∞ →x lim ,11=+-n m m n x x x 所以当n －m >1时，积分?∞ ++11dx x x n m 收敛. 当n －m ≤1时，积分?∞++11dx x x n m 发散． 对于瑕积分，使用?-b a p dx a x ) (1 作为比较标准，我们有下列柯西判别法． 定理9.10 设x=a 是f (x )在[a ,b )上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么 （1） 如0≤f (x )≤p a x c )(- (c>0), p<1, 则?b a dx x f )(收敛． （2） 如f (x )≥p a x c ) (- (c>0), p ≥1, 则?b a dx x f )(发散． 瑕积分的Cauchy 判断法的极限形式为 定理9.11 设k x f a x p a x =-+ →)()(lim 如0≤k <∞, p<1, 则?b a dx x f )(收敛 如0 a dx x f )(发散． 例9.9 判别下列瑕积分的敛散性。 (1) ?--1 0222)1)(1(x k x dx (k 2<1) (2) ? 20 cos sin π x x dx q p (p ,q>0) 解：（1）1是被积函数的唯一瑕点 因为 - →1 lim x ) 1)(1()1(2 2 2 2 1 x k x dx x --- = +∞<-) 1(212 k 由2 1 =p 知瑕积分收敛． （2）0与 2 π 都是被积函数的瑕点． 先讨论,cos sin 4 0?π x x dx q p 由+ →0lim x 1cos sin 1=x x x q p p 知: 当p<1时, 瑕积分? 4 cos sin π x x dx q p 收敛; 当p ≥1时,瑕积分? 40 cos sin π x x dx q p 发散． 再讨论 ?2 4 cos sin π πx x dx q p 因-→ 2 lim π x 1cos sin 1 )2 ( =-x x x q p p π 所以当 q <1时, 瑕积分?2 4 cos sin π πx x dx q p 收敛， 当q ≥1时，瑕积分?2 4 cos sin π πx x dx q p 发散． 综上所述，当p<1且q<1时, 瑕积分?20cos sin π x x dx q p 收敛; 其他情况发散． 例9.10 求证: 若瑕积分?1 )(dx x f 收敛，且当+→0x 时函数f (x )单调趋 向于+∞，则+ →0 lim x x f (x )=0. 证明：不妨设]1,0(∈?x , f (x )≥0, 且f (x )在(0, 1)上单调减少。 已知?1 0)(dx x f 收敛，由柯西收敛准则，有 0>?ε, 0>?δ(δ<1), δ< , )(2 ε x x dt t f 从而 0<)(2x f x ≤ε )( 或 0 即+ →0 lim x x f (x )=0. 例9.11 求证瑕积分?-1 )]cos 1([1dx x x λ (λ>0), 当λ<3 1 时收敛 当λ3 1 ≥时发散. 证明:∵+ →0lim x λλ )]cos 1([3x x x -=+ →0lim x λ λ λ ?? ? ??-2 33cos 1x x x x =+ →0 lim x λλ 2cos 112 =?? ? ??-x x 所以当3λ<1时，即λ<31时，瑕积分收敛．当3λ≥1，即λ≥ 3 1 时，瑕积分发散． 前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果． 定理9.12（积分第二中值定理）设g (x )在[a ,b ]上可积，f (x )在[a ,b ]上单调，则存在ξ∈[a ,b ] 使 ?b a dx x g x f )()(=??+ξ ξa a dx x f b g dx x f a g )()()()( 为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况． 引理9.1设f (x )在[a , b ]上单调下降并且非负，函数g (x )在[a ,b ]上可积，则存在c ∈[a ,b ]，使 ?b a dx x g x f )()(=f (a )?c a dx x g )( 证明：作辅助函数)(x ψ= f (a ),)(?x a dt t g 对[a ,b ]的任一分法 P: a =x 0 我们有 ?b a dx x g x f )()(=dx x g x f n i x x i i )()(1 1 ∑?=- 由此得到 |?b a dx x g x f )()(－dx x g x f n i x x i i i )()(1 11 ∑?=--| =|dx x g x f x f i n i x x i i )()]()([111 -=-∑?-| ≤dx x g x f x f i n i x x i i |)(||)()(|11 1 -=-∑?- ≤)(1 f L n i i ∑=ω△x i 这里L 是|g (x )|在[a ,b ]的上界, )(f w i 是)(x f 在[]i i x x ,1-上的振幅，从这个估计式可知, 当P 0→时,应当有 dx x g x f n i x x i i i )()(1 11 ∑?=--→?b a dx x g x f )()( 我们来证明 ≤∈)(min ] ,[x b a x ψdx x g x f n i x x i i i )()(1 11 ∑?=--)(max ] ,[x b a x ψ∈≤ 为此，引入记号 G(x )= ?x a dt t g )( 并作如下变换 dx x g x f n i x x i i i )()(111 ∑?=-- =)]()([)(111-=--∑i i n i i x G x G x f =-∑=-)()(1 1i n i i x G x f )()(111-=-∑i n i i x G x f =-∑=-)()(11i n i i x G x f )()(1 i n i i x G x f ∑-= =-∑=-)()(11i n i i x G x f )()(1 1 i n i i x G x f ∑-= （0)()(0==a G x G ） =+-∑=-)(])()([1 1i n i i i x G x f x f )()(n n x G x f 因为0)()(1≥--i i x f x f , )(n x f 0≥, 所以 dx x g x f n i x x i i i )()(1 11 ∑?=-- =+-∑=-)(])()([1 1i n i i i x G x f x f )()(n n x G x f ≥{)(])()([1 1n n i i i x f x f x f +-∑=-})(min ] ,[x G b a x ∈ =)(min )(] ,[x G a f b a x ∈ 同样可证 dx x g x f n i x x i i i )()(1 11 ∑?=--≤)(max )(] ,[x G a f b a x ∈ 我们证明了不等式 )(min )(] ,[x G a f b a x ∈≤dx x g x f n i x x i i i )()(1 11 ∑?=--≤) (max )(] ,[x G a f b a x ∈ 即 )(min ] ,[x b a x ψ∈≤dx x g x f n i x x i i i )()(1 11 ∑?=--≤)(max ] ,[x b a x ψ∈ 现令|p|0→, 取极限，就得到 )(min ] ,[x b a x ψ∈≤ ?b a dx x g x f )()(≤)(max ] ,[x b a x ψ∈ 因此，存在c ∈[a ,b ]，使得 )(c ψ=?b a dx x g x f )()( （因为)(x ψ在［b a ,］上是连续函数） 也就是?b a dx x g x f )()(=?c a dx x g a f )()( 证毕 下面我们证明定理9.12 证明：如f (x )是单调下降的，则f (x )－f (b )单调下降且非负，由引理12.2.1知，存在c ∈[a ,b ), 使 ?-b a dx x g b f x f )()]()([=?-c a dx x g b f x f )()]()([ 即 ?b a dx x g x f )()(=, )()()()(??+b c c a dx x g b f dx x g a f 对f (x )单调上升的情形，可作类似讨论. 使用积分第二中值定理，我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法 定理9.13 若下列两个条件之一满足，则?+∞ a dx x g x f )()(收敛 （1）（Abel 判别法）? +∞a dx x f )(收敛，g (x )在[a ,∞]上单调有界; （2）（Dirichlet 判别法）设F(A)=?A a dx x f )(在[a ,∞]上有界，g (x )在 [a ,)∞上单调, 且+∞ →x lim g (x )=0. 证明：（1）0>?ε, 设|g (x )|≤M ，∈?x [a ,∞), 因? +∞ a dx x f )(收敛， 由Cauchy 收敛原理，a A ≥?0, 使01,A A A ≥?时, 有 M dx x f A A 2|)(|1 ε < ? 由积分第二中值定理，我们得到 |)()(|1 ?A A dx x g x f ≤+??|)(||)(|ξ A dx x f A g |)(||)(|1 1??A dx x f A g ξ ≤+??|)(|ξ A dx x f M |)(|1 ??A dx x f M ξ ≤2ε+2 ε =ε 再由Cauchy 收敛原理知? +∞a dx x g x f )()(收敛 (2) 设M 为F(A)在[a ,+)∞上的一个上界，则a A A ≥?1,, 显然有 M dx x f A A 2|)(|1 同时, 因为+∞ →x lim g (x )=0，所以存在a A ≥0, 当x >A 0时, 有 g (x )|< M 4ε 于是，对01,A A A ≥?有 ≤?|)(|1 A A dx x f +??|)(||)(|ξ A dx x f A g |)(||)(|1 1??A dx x f A g ξ ≤+?|)(|2A g M |)(|21A g M ? ≤2ε+2 ε=ε 由Cauchy 收敛原理知?+∞ a dx x g x f )()(收敛 例9.12 讨论广义积分? ∞ +1 cos dx x x 的敛散性， 解：令f (x )=x 1 , g (x )=cos x 则当x +∞→时，f (x )单调下降且趋于零， F(A)= ?A xdx 1cos =1sin sin -A 在[a ,∞)上有界． 由Dirichlet 判别法知?∞+1 cos dx x x 收敛， 另一方面 ≥ x x |cos |=x x 2cos x x 22cos 1+ 因? ∞+1 21 dx x 发散，?∞+122cos dx x x 收敛 从而非负函数的广义积分?∞ +1 22cos dx x x 发散 由比较判别法知?∞ +1 | cos |dx x x 发散， 所以? ∞ +1 cos dx x x 条件收敛 例9.13 讨论广义积分? ∞+1 arctan cos xdx x x 的敛散性． 解：由上一题知，广义积分? ∞+1 cos dx x x 收敛, 而arctan x 在[a , +∞)上单调有界，所以由Abel 判别法知? ∞+1 arctan cos xdx x x 收敛。 另一方面, 当),3[∞+∈x 时, 有 |arctan cos | x x x ≥|cos |x x 前面已证? ∞+1 | cos |dx x x 发散 由比较判别法知?∞+1 | arctan cos |dx x x x 发散, 所以?∞+1arctan cos dx x x x 条件收敛. 对瑕积分也有下列形式的Abel 判别法和Dirichlet 判别法 定理9.14若下列两个条件之一满足，则?b a dx x g x f )()(收敛：（ b 为 唯一瑕点） （1）（Abel 判别法）?b a dx x f )(收敛, g (x )在[a ,b )上单调有界 (2) (Dirichlet 判别法) )(ηF =? -η b a dx x f )(在[a , b )上有界, g (x ) 在 (],0a b -上单调, 且0)(lim =- →x g b x . 证明: (1) 只须用第二中值定理估计 ?--/ )()(ηηb b dx x g x f 读者可以仿照定理11.2.8(1) 的作法完成(1)的证明. (2) 读者可以仿照定理11.2.8(2) 的作法完成(2)的证明. 例9.14 讨论积分 ?1 1 sin dx x x p (0 解: 对于0 p p x x x 11sin ≤ 由?1 01 dx x p 收敛知 ?1 1sin dx x x p 绝对收敛敛 对于0≤p <2, 因为函数f (x ) =p x -2, 当+→0x 时单调趋于0, 而函数 g (x )= 21sin x x 满足 2|1cos 1cos |1sin 1≤-≤?η ηdx x x p 所以积分 ?1 1sin dx x x p ?-=10 2 21 sin dx x x x p 收敛. 但在这种情况下, dx x x p ?1 1 sin 是发散的, 事实上 由p p p p x x x x x x x 22cos 211sin 1sin 2-=≥ 因?1021dx x p 发散, ?1022 cos dx x x p 收敛, 知 dx x x p ?101sin 发散 从而当0≤p<2时, 积分条件收敛. 最后我们讨论p=2的情形, 因为 ?1 21 sin η dx x x n 1cos 1cos -= 当+→0η时, 上式无极限, 所以积分?1 021 sin dx x x 发散. 值得注意的是, 两种广义积分之间存在着密切的联系, 设 ?b a dx x f) (中x=a为f(x)的瑕点, 作变换y= a x- 1 , 则有 ?b a dx x f) (=?∞+ - + a b dy y y a f 12, ) 1 ( 而后者是无限区间上的广义积分. 习题 9.2 1、论下列积分的敛散性（包括绝对收敛，条件收敛，发散） (1)?∞+2sin ln ln ln xdx x x ； (2) ?+∞02 sin dx x； (3) ?202 2sin cos 1 π dx x x ； (4) ? - 1 021 ln dx x x ； (5) ?- -- 1 1 1ln ) 1(xdx x x q p； (6) )0 , ( ln 1 1 1 > - ? - - q p dx x x x q p ； (7) ?∞+ + 1 dx x x q p ； (8) ?+∞-- 1dx e x x p； (9) ?∞+ - + 02 1 1 dx x x p ； (10) ?∞+0 sin2 sin dx x x e p x ； (11) )0 ( 1 sin 1 ≥ + ?∞+p dx x x x p q ； (12) )0()1 sin(0 >+?∞+p dx x x x p ． 2．证明：若瑕积分?10 )(dx x f 收敛， 且当+→0x 时， 函数f (x )单调趋于+∞， 则+ →0 lim x x f (x )=0． 3. 若函数f (x )在),[+∞a 有连续导数f / (x )， 且无穷积分? +∞ a dx x f )(与? +∞ a dx x f )(/都收敛， 则+∞ →x lim f (x )=0． 4. 设f (x )在),[+∞a 上可导，且单调减少，+∞ →x lim f (x )=0, 求证: ?+∞ a dx x f )(收敛 ? ?+∞ a dx x xf )(/收敛． 5. 证明：若函数f (x )在),[+∞a 上一致连续， 且无穷积分 ?+∞ a dx x f )(收敛， 则+∞→x lim f (x )=0． 6. 求证： 若无穷积分? +∞a dx x f )(收敛， 函数f (x )在),[+∞a 内单 调， 则 f (x )=o (x 1)． 7. 计算下列广义二重积分的值． (1) ?? D q p y x dxdy , 其中D={}|1,1|),(>≥x xy y x ； (2) ?? ≤+≤--102 2 221y x y x dxdy ； (3) dxdy e y x ?? +∞∞-+∞∞ -+-)(22, 并由此证明 π 1 12 =?+∞∞--dx e x . 8、讨论下列广义重积分的敛散性． (1) dxdy y x y x a a p ??-00||) ,(?, M y x m ≤≤<|),(|0?； (2) dxdy xy y x y x p y x ) () ,(2 2 122++?? ≤+? M y x m ≤≤<|),(|0?． 目录 摘要........................................................................................... (2) 引言........................................................................................... . (3) 1无穷积分........................................................................................... .. (5) 1.1无穷积分的概念........................................................................................... .. (5) 1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5) 1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6) 1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7) 2瑕积分........................................................................................... .. (8) 2.1瑕积分的定义........................................................................................... . (9) 2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10) 2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10) 2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12) 3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13) 总结........................................................................................... ......... .. (13) 参考文献........................................................................................... ... .. (14) 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(. 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞ +a dx x f )(发散 时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有 一个比拉阿比判别法更精细的正项级数判别法 摘要：本文用级数∑ ∞ =3 ln 1 n p n n 做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法，笔者称之为“对数判别法”。 关键词：比较判别法 级数判别法的极限形式 拉格朗日中值定理 对数判别法 目前较常用而又精细的正项级数判别法是拉阿比判别法，然而此判别法有时精确度仍然不够。以下本文就以级数∑ ∞ =3 ln 1 n p n n 做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法——“对数判别法”。 我们先看级数∑ ∞ =3ln 1 n p n n 的敛散性：当1>p 时级数收敛；当1≤p 时级数发散。这个结论可用柯西积分判别法证明（具体证明请参见邓东皋、尹小玲编著《数学分析简明教程》），本文不再细述。 先考虑发散的情况。由比较判别法有：设数列}{n u 是正项数列，若n 足够大时，有 n n n n u u n n ln ) 1ln()1(1++< + 成立，则∑∞ =1 n n u 发散。 为了应用方便我们来寻求像拉阿比判别法那样的“极限形式”： n n n n u u n n ln )1ln()1(1++<+n n n u n nu n n ln ln )1ln(1)1(1-+< -+?+， 由拉格朗日中值定理知，对任意n ，存在)1,(+∈n n n ξ，使得 n n n ξ1 ln )1ln(= -+, 故 n n n n u u n n ln ) 1ln()1(1++<+1]1)1([ln 1 <-+?+n n n u n nu n ξ， 要使n 足够大时有1]1)1([ ln 1 <-++n n n u n nu n ξ成立，只需 §2 广义积分的收敛性 主要知识点：广义积分及其敛散性概念； 非负函数广义积分收敛性的比较判别法、柯西判别法； 一般函数广义积分收敛性的Abel 、Dilichlet 判别法； 广义积分与级数的关系。 1、 讨论积分1 121 (1)[ln(1)]x e dx x α β +∞ --+? 的敛散性。 解：211 ,x x x α β →+∞时 “分子”“分母” 。 2、 证明积分 420 1sin dx x x +∞ +? 收敛 。 1 0,02k k k k k k k k k I v v v πδπδπδ δδ+-- '↓=+ +≤= ≤∑∑? ?解：取则，其中 ， 11 (1)(1)421 11()sin k k k k k k k k k k v k πδπδπδ πδ πδ+++-+-++ + '=≤ +?? 。4 3 1 ,k k v k δ=∑取则收敛； 114 433 () 0,k k k k M M v v k k πδδ+--'' ≤≤≤∑又可见 也收敛。 3、 证明积分 1 2 2 3 (1)(sin ) dx x x +∞ +? 收敛 。 解：注意到(1)2 2 3 3 (sin ) [sin()] ,n n n x x n I u π π π+=-==∑ ∑?故 ，由于 2 222 3 2 1 0,1sin n n u dx u n x π π≤≤ +∑?故 收敛。 4、 讨论积分 10 sin 1cos x dx k x π αα -+?的敛散性 。 解：⑴ －1< k <1时f(x)只可能以0,π为瑕点，且当x →∞时分别与1111 , ()x x α α π---同阶，故 当0α>时积分收敛。 ⑵ k = ±1时，f(x)的可能瑕点仍是0,π 。1 120 1 I I I π = +=+?? k = 1时，将cos x 在点π处展成Taylor 公式，可知1cos x +与2 ()x π-同阶。于是1I 仅当0α>时 收敛，2I 仅当0α<时收敛，从而原积分不收敛。 k = －1 时，将cos x 在点0处展成Taylor 公式，可知1－cos x 与2 x 同阶。于是1I 仅当0α<时 收敛，2I 仅当0α>时收敛，故原积分不收敛。 华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。（总结） 课程名称：高等数学（下） 专业班级： 成员组成 联系方式： 2012年5月18日 摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。 关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。 英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。 页脚内容278 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞+a dx x )(?和?∞+a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞+a dx x )(?收敛时?∞+a dx x f )(也收敛； 当?∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε?< ?')(. 于是 ≤ ?'A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 页脚内容279 ≥?'A A dx x )(?0)(1ε≥?'A A dx x f K ， 所以?∞+a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0)()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞+a dx x f )(发散时，?∞+a dx x )(?也发散；但当?∞+a dx x f )(收敛时，?∞+a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 收敛，而对于?∞+1)(dx x ?，则当21< =p x x p ?，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 发散，而对于?∞+1)(dx x ?，则当12 1≤ p 时收敛. ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）. 证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞?+∞(,)0上恒有f x ()≥0，K 是正常数. ⑴ 若f x K x p ()≤，且p >1，则?∞+a dx x f )(收敛； 一、本课题研究现状及可行性分析 目前通用的数学分析教材（如华东师范大学，复旦大学，吉林大学，北京师范大学等）其介绍的主要内容如下：M 判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法，柯西收敛准则等，用来判别一些级数的一致收敛性问题，其他一些数学方面的工作者对某些特殊级数的收敛性进行了讨论。当前对级数的收敛性的讨论研究已经到达比较高级阶段，分枝也比较细，发展也相对较完善。但在许多实际解题过程中，往往不是特定的级数，用特殊的方法不能解决。故需对特殊级数情况要总结和发展。 函数项级数的一致收敛性的判定是数学分析中的一个重要知识点，函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广，同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例。它们在研究内容上有许多相似之处，如研究其收敛性及和等问题，并且它们很多问题都是借助数列和函数极限来解决，同时它们敛散性的判别方法也具有相似之处，如Cauchy 判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等。教材中给出了对于()n u x 一致收敛性的判别法，如Cauchy 判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等，但在具体进行一致收敛的判别时，往往会有一定的困难，这就需要我们有效地运用函数项级数一致收敛的判别法。而此课题除了叙述以上判别法外，还对这些判别方法进行了一些推广，从而进一步丰富了判别函数项级数一致收敛的方法。 二、本课题研究的关键问题及解决问题的思路 关键问题：对函数项级数一致收敛性判别法总结和推广。 基本思路：首先从定义出发，让读者了解函数项级数及一致收敛的定义，对函数项级数一致收敛有一个大致的认识，并对其进行一定的说明，且将收敛与一致收敛做一个比较，使读者对其有一个更深刻的认识。随后给出一些常见的一致收敛的判别法，并附上例题加以说明。当熟悉了一般的判别法后，我将其加以推广，得到一些特殊的判别法，如比式判别法，根式判别法，对数判别法等。 正项级数敛散性的判别方法 摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。 关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用 1引言 数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法 由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,,,N N n N p N ε+?>?∈?>?∈有12n n n p u u u ε+++++ +<。取特殊的1p =，可 得推论：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法 定理一（比较判别法的极限形式）： 设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数，且有lim n n n u l v →∞=，于是 （1）若0l <<+∞，则 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。 （2）若0l =，则当 1 n n v ∞ =∑收敛时，可得 1 n n u ∞ =∑收敛。 反常积分的收敛判别法 阿文 摘 要：掌握不同类型函数反常积分收敛性的多种判别方法，对于需要计算出其收敛值的，也可以方便的计算出其收敛的数值. 关键词：Cauchy 判别法； Abel 判别法； Dirichlet 判别法 引 言 一般情况下，只需确定一个反常积分函数的收敛性，而不一定需要求出其具体的收敛数值.因此，掌握不同类型函数的反常积分收敛判别法是极其必要的. 一 非负函数反常积分的收敛判别法 1.比较判别法 设在),[+∞a 上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数，则 （1） 当? +∞a dx x )(?收敛时?+∞a dx x f )(也收敛； （2） 当?+∞a dx x f )(发散时?+∞a dx x )(?也发散. 2.Cauchy 判别法 设在),[+∞a ),0(+∞?上恒有0)(≥x f ，K 是正常数， （1）若p x K x f ≤)(，且p>1,则dx x f a ?+∞)(收敛； （2）若p x x f K ≥)(，且p 1≤，则?+∞a dx x f )(发散. 二 一般函数反常积分的收敛判别法 1.Abel 判别法 dx x f a ? +∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 单调有界，则dx x g x f a )()(?+∞收敛； 2.Dirichlet 判别法 F(A)=dx x f A a ?)(在[),+∞a 上有界，)(x g 在[),+∞a 上单调且+∞→x lim 0)(=x g ，则dx x g x f a )()(?+∞ 收敛. 三 无界函数反常积分的收敛判别法 1.Cauchy 判别法 设在[),b a 上恒有0)(≥x f ，当x 属于b 的某个领域),[0b b η-时，存在正常数K ，使得 (1) ,) ()(p x b K x f -≤且p<1，则?b a dx x f )(收敛; (2) ,)()(p x b K x f -≥且p 1≥则?b a dx x f )(发散. 2.Abel 判别法 ?b a dx x f )(收敛，)(x g 在),[ b a 上单调有界，则?b a dx x g x f )()(收敛. 3.Dirichlet 判别法 ? -=ηηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，)(x g 在),[b a 上单调且0)(lim =-→x g b x , 则?b a dx x g x f )()(收敛. 总 结 函数的类型不同，其相应的反常积分收敛判别法也就不同. 熟练掌握多种判别法可以对不同类型函数的敛散性做出正确的估计及计算.一般的，同一类函数也可用不同的方法来计算，既省时间，正确度又高. 参考文献 [1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析(第二版)[M]，北京：高等教育出版社，2004.6. 题目含参量反常积分一致收敛的判别法学生姓名 学号 系别数学系 年级2010级 专业数学与应用数学 指导教师 职称 完成日期 摘要 含参变量的反常积分是研究和表达函数的的有力工具。要更好的研究含参量反常积分所表达的函数，关键问题在于判断他的一致收敛性。本文通过研究判断含参量反常积分一致收敛的判别法,以帮助研究含参量反常积分所表达的函数。关键词：含参量反常积分;一致收敛;判别法 Abstract Improper integral with variable is the study and expression tool function. To better function of parameter improper integral expression of the key problem lies in the judgment, the uniform convergence of his. Through the study of judging function discriminant method of parameter improper integral converges uniformly to help the study of parameter improper integral expression. Key words: Improper integral with variable;uniform convergence; discriminant analysis 目录 1引言 (1) 2基本概念 (1) 2.1含参量反常积分 (1) 2.2含参量反常积分一致收敛 (2) 3含参量反常积分一致收敛的判别方法 (2) 3.1定义法 (2) 3.2柯西准则法 (3) 3.3变上限积分的有界性法 (3) 3.4确界法 (4) 3.5微分法 (5) 3.6级数判别法 (6) 3.7维尔斯特拉斯判别法（简称M判别法） (6) 3.8狄里克莱判别法 (8) 3.9阿贝尔判别法 (8) 4结束语 (1) 参考文献 (10) 致谢 (11) 安.师专攀报(自泊科学蔽)1995年旅魂翔 2)若、‘1,。 广义积分的收敛判别 法 第二节 广义积分的收敛判别法 上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分 ?+∞ a dx x f )(收敛的充分必要条件是：0>?ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有 ε?ε , 0>?δ, 只要0<δηη< 收敛而非绝对收敛，则称?+∞ a dx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上 条件可积． 由于a A A ≥?/,，均有 |)(|/ ?A A dx x f ≤ ?/ |)(|A A dx x f 因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分?+∞a dx x f )(绝对收敛，则广义积分?+∞ a dx x f )(必收敛． 它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。 对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质． 下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法： 定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a ,+∞)上恒有 ),()(0x k x f ?≤≤（k 为正常数） 则当?+∞ a dx x )(?收敛时, ?+∞ a dx x f )(也收敛; 当? +∞a dx x f )(发散时, ?+∞ a dx x )(?也发散． 证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立． 对瑕积分有类似的结论判别法 定理9.5 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使 ∈?≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数。则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散。 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(。 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(。 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散。 （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?。则当?∞ +a dx x f )(发 散时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散。 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?。显然有 ?∞ +1 )(dx x f 收敛，而对于?∞ +1)(dx x ?，则当21< 函数项级数一致收敛性的判别法 摘 要 函数项级数是数学分析中的重点和难点,因此讨论和分析它的性质和判别方法显得尤为重要,本文给出了函数项级数的定义以及函数项级数一致收敛性的判别定理，并用之来解决函数项级数一致收敛性的一些问题比较容易. 关键词 函数项级数；一致收敛性；判别法. 中图分类号 O173.1 Function Seies Convergence Criterion Abstrac t ：Function is a mathematical analysis of series of focus and difficult, so the discussion and analysis of its nature and it is particularly important to identify methods.In this paper, the definition of Function series and uniform convergence of Function series of discriminant theorem,and used to solve the series of uniform convergence of Function of some of the problems is easier. Key words ：Function series; Uniform convergence of; Discriminance 1 引言及预备知识 如果函数项级数具有一致收敛性,函数项级数的和函数或余和易于求得,判别它的一致收敛性可应用一致收敛定义,如果很难求得它的和函数或余和，就根据函数自身的结构,找到判别一致收敛性的判别法. 定义1.1[1] 设()12(),,u x u x …()n u x ,…是一列定义在D 上的函数,把这些函数的各项用加号连接起来的表达式 ()()12u x u x ++…+()n u x +…或()1n n u x ∞ =∑, (1) 称为函数项级数.a D ?∈ 函数级数在a 对应一个数值级数 1 ()U n a ∞ =∑ =12()()u a u a ++...+()n u a +. (2) 它的敛散性可用数值级数敛散性的判别法判别,若级数(2)收敛,则称a 是函数级数(1)的收敛点;若级数(2)发散,则称a 是函数级数(1)的发散点. 定义 1.2[1] 函数项级数(1)的收敛点的集合,称为函数项级数(1)的收敛域,若收敛域是一个区间,则称此区间是函数项级数的收敛区间. 定义 1.3[1] 设数集E 为函数项级数()1 n n u x ∞ =∑的收敛域,则对每个x E ∈记S(x)= ()1 n n u x ∞=∑称S(x)为函数项级数()1 n n u x ∞ =∑的和函数. 华北水利水电 大学 课题 : 数项级数敛散性判别方法（总结） 专业班级:水利港航39班 成员组成:丁哲祥 201203901 联系方式: 2012.05.23 数项级数敛散性判别法（总结） 摘要：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重要组成部分。本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。我们这学期学习过的数项级数敛散性判别法有许多，本文对数项级数敛散性的判别方法进行了分析归纳总结，得到的解题方法。以便我们更好的掌握它。 关键词：数项级数敛散性判别方法总结 Several series gathered of the criterion scattered method (summary) Abstract：The sequence series is one of the main contents in the mathematical analysis. We learn this semester the several series gathered of the criterio n has many scattered method, this paper folding a series of logarithm scat tered discriminant method is analyzed sum-up, get the problem solving m ethod. Key words: Several series; Gathered scattered sex; Identifying method; a nalysis summary 内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院专业数学与应用数学年级2012 级 学号122094102 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩75 分 目录 摘要??????????????????.. ?? . ?. ?????..1 关键词??????????????????.. ?? . ?. ????..1 引言 ----------------------------------------------------------------------------------------2 一、预备知识?????????? .. ?? . ?. ????? . 2 1.无穷限反常积分??????????..??.?.?????..2 2.瑕积分????????..??.?.????3 3.反常积分的性质???????? .. ?? . ?. ????3 二、反常积分的收敛判别法????????????.. ?? . ?. 4 1 无穷积分的收敛判别????????.. ?? . ? . ?????4 (1). 定义判别法 (2). 比较判别法 (3).柯西判别法??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 5 (4)阿贝尔判别法 . ???????..??.?.?????.6 (5).狄利克雷判别法???????..??.?.?????7 2 瑕积分的收敛判别???????..??.?.?????. .?8 (1). 定义判别法???????..??.?.?????..??8 (2). 定理判别法???????????..??.?.?????.9. (3). 比较判别法?????????????.. ?? . ?. ????9 (4).柯西判别法???????????..??.?.?????9 (5).阿贝尔判别法???????????..??.?.???.10 (6).狄利克雷判别法????????..??.?.?????10. 数学分析第十二章数项级数积分判别法 第八讲 数学分析第十二章数项级数 定理12.9（积分判别法） 积分判别法由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,局限性较大,所以还需要建立一些更有效的判别法. 设[1,)f +∞为上非负减函数,+1()d f x x 与反常积分∞ ?同时收敛或同时发散. 证由假设[1,)f 为+∞上非负减函数, f 在[1, A ]上可积,于是 对任何正数A ,那么正项级数()f n ∑ 数学分析第十二章数项级数-≤≤-=?1()()d (1),2,3,. n n f n f x x f n n 依次相加可得1 122 1()()d (1)().(12)m m m m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑?若反常积分收敛,有 111()(1)()d (1)()d . m m m n S f n f f x x f f x x +∞==≤+≤+∑?? 根据定理12.5, 级数()f n ∑收敛. 则由(12)式左边, 对任何正整数m , 数学分析第十二章数项级数反之, 若()f n ∑为收敛级数, 一正整数m (>1)有 -≤≤=∑?11()d (). (13)m m f x x S f n S 1 0()d , 1.A n f x x S S n A n ≤≤<≤≤+?因为f (x )为非负减函数, 法, 可以证明+1()()d f n f x x 与∞∑? 是同时发散的.112 21()()d (1)().(12)m m m m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑?则由(12)式右边，对任故对任何正数A ,都有111.2,()d .f x x +∞ ?根据定理反常积分收敛用同样方 含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε- 第二节 广义积分的收敛判别法 上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分? +∞a dx x f )(收敛的充分必要条件是：0>?ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有 ε?ε , 0>?δ, 只要0<δηη< 收敛而非绝对收敛，则称?+∞ a dx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上 条件可积． 由于a A A ≥?/,，均有 |)(|/ ?A A dx x f ≤ ?/ |)(|A A dx x f 因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分?+∞a dx x f )(绝对收敛， 则广义积分?+∞ a dx x f )(必收敛． 它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。 对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质． 下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法： 定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a ,+∞)上恒有 ),()(0x k x f ?≤≤（k 为正常数） 则当?+∞ a dx x )(?收敛时, ?+∞ a dx x f )(也收敛; 当? +∞ a dx x f )(发散时, ?+∞ a dx x )(?也发散． 证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立． 对瑕积分有类似的结论判别法 定理9.5 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使 ∈?≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则积分敛散性的判断
习题反常积分的收敛判别法
对数判别法
广义积分的收敛性
数项级数敛散性判别法。(总结)
习题反常积分的收敛判别法
函数项级数一致收敛的判定开题报告
正项级数敛散性地判别方法
反常积分的收敛判别法
含参量反常积分一致收敛的判别法
广义积分敛散性判别法的应用
广义积分的收敛判别法知识分享
习题8.2反常积分的收敛判别法
函数项级数一致收敛性的判别法
数项级数敛散性判别方法
反常积分的敛散性判定方法
08第八讲 积分判别法
含参量反常积分一致收敛性的判别法资料
广义积分的收敛判别法-广义积分收敛判别法
相关文档
- 习题反常积分的收敛判别法-精选.pdf
- 反常积分的敛散性判定方法
- 数学分析反常积分 113瑕积分的收敛判别法.
- ch-8-2反常积分的收敛判别法
- 广义积分的收敛判别法
- 习题82反常积分的收敛判别法20页word文档
- 数学分析 反常积分习题解答
- 反常积分审敛法判定
- 反常积分的收敛判别法
- 无穷限反常积分敛散性及审敛法则(教案)
- ch82反常积分的收敛判别法
- 含参量反常积分一致收敛性的判别法资料
- 最新习题82反常积分的收敛判别法
- 两种反常积分敛散性的判别方法
- 反常积分法收敛判别法
- 反常积分的敛散性判定方法
- 反常积分的敛散性判定方法
- 两种反常积分敛散性的判别方法
- 习题反常积分的收敛判别法
- 反常积分