反常积分的敛散性判定方法

反常积分的敛散性判定

方法

Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

内蒙古财经大学本科学年论文

反常积分敛散性的判定方法作者陈志强

学院统计与数学学院

专业数学与应用数学

年级 2012级

学号

指导教师魏运

导师职称教授

最终成绩 75分

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

引言----------------------------------------------------------------------------------------2

一、预备知识 (2)

1.无穷限反常积分 (2)

2.瑕积分 (3)

3.反常积分的性质 (3)

二、反常积分的收敛判别法 (4)

1无穷积分的收敛判别 (4)

(1).定义判别法 (4)

(2).比较判别法 (4)

(3).柯西判别法 (5)

(4)阿贝尔判别法 (6)

(5).狄利克雷判别法 (7)

2瑕积分的收敛判别.................................................. . (8)

(1).定义判别法 (8)

(2).定理判别法 (9)

(3).比较判别法 (9)

(4).柯西判别法 (9)

(5).阿贝尔判别法 (10)

(6).狄利克雷判别法 (10)

参考文献 (11)

摘要

在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此得到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。我们将这两种积分统称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性判定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，并给出了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定理判断反常积分的敛散性。

关键词：反常积分瑕积分极限敛散性

引言

近些年以来，一些数学工作者对反常积分敛散性的判别方法做了研究并取得了许多重要的进展。如华东师范大学数学系编，数学分析（上册），对反常积分积分的定义，性质的运用及讲义其判别收敛性的方法。华中科技大学出版的数学分析理论方法与技巧，也对反常积分敛散性判别做了详细的讲解，还用图形的方法说明其意义。引申出反常积分敛散性的等价定义，并通过例题说明其应用。

众多学者研究的内容全而广，实用性很高，尤其是在研究敛散性的判别很明显，这对我现所研究的论文题目提供了大量的理论依据和参考文献，对我完成此次论文有很大的帮助，但绝大多数文献只是对其一种方法进行研究，而本文将对其进行归纳总结，举例说明其应用。

一、预备知识

1.无穷限反常积分

定义设函数()f x 在[ａ，＋∞）有定义，若()f x 在[ａ，A]上可积（A>a ）且当A →＋∞时，lim ()A

a

A f x dx →∞?

存在，称反常积分 ()a

f x dx ∞

?收敛，否则

称反常积分 ()a

f x dx -∞

?

与()f x dx ∞

-∞

?发散。

对反常积分

()a

f x dx -∞

?

与()f x dx ∞

-∞

?可类似的给出敛散性定义。

注意：只有当()a f x dx -∞

?和()f x dx ∞

-∞

?都收敛时，才认为

()f x dx ∞

-∞

?

是收敛

的。 2．.瑕积分

定义1：设f(x)在a 的任何邻域内均无界，则称a 为f(x)的一个瑕点

定义2：设f(x)在

,a b

内有定义，且b 为唯一瑕点，若

lim ()b δ

a

δf x dx

+-→?

存在，称瑕积分()b

a

f x dx ?

收敛

定义3：设C (),a b ∈

且为f(x)的一个瑕点，若()c

a

f x dx ?和

()d

c

f x dx ?

均收敛，则称瑕积分()b a

f x dx ?

3.反常积分的性质

(1)Cauchy 收敛原理：

()a

f x dx ∞

?

收敛?ε?对>0，?0A >a,当

1A >2A >0A 时，有

()A A f x dx ?

2

1

<ε

(2)线性性质：若

()a

f x dx ∞

?

与()a

g x dx ∞

?都收敛，则对任意常数

,k k 12，[]()()a k f x k g x dx ∞

+?12也收敛，且有

[]()()a

k

f x k

g x dx ∞

+?1

2=k 1

()a

f x dx ∞

?

()a

k g x dx ∞

+?2

(3)积分区间可加性，若

()a

f x dx ∞

?

收敛，则

?b [),a ∈+∞,()a f x dx ∞

?=()()b

a b

f x dx f x dx +∞

+??.

(4)若

()a

f x dx ∞

?

收敛，则

()a

f x dx

∞

?

≤

()a

f x dx ∞

?

。

二、反常积分的敛散性判别法

1.无穷积分的敛散性判别 （1）定义判别法

设函数f 定义在无穷区间[,)a +∞上，且在任何有限区间[,]a u 上可积.如果存在极限

lim ()u a u f x dx J →+∞

?=，

则称()a f x dx +∞

?收敛，否则发散，即相应定积分的极限存在广义积分收敛，定积分的极限不存在广义积分发散 例计算无穷积分 0px

xe dx +∞-? （p 是常数，且0p >）

解：

式中 1

lim lim

lim 0px

px px

x x x x xe

e pe -→∞

→∞→∞===

(2).比较判别法的普通形式：

(),()f x g x 在[),a +∞有定义，且

()()()f x g x x a ≤≤≥0

（a ）

()a

g x dx ∞

?

<+∞?

()a f x dx ∞

?

<+∞

（b ）

()a

f x dx ∞

?

=+∞?()a

g x dx ∞

?=+∞

例 讨论

sin x

dx x

∞+?

2

1的收敛性 解：由于

sin x x x ≤++2

2

1

11 ， [),x ∈

+∞0

因为

dx π

x ∞

=+?

20

12

为收敛，所以根据比较判别法sin x dx x ∞+?201为绝对收敛。

(3).比较判别法的极限形式：

(),()f x g x 在[),a +∞有定义，且非负，

且()

lim ()

x f x l g x →+∞=则： （a ）当l 0时，()a g x dx ∞

?<+∞?()a f x dx ∞

?<+∞

（b ）l

=∞+时，()a g x dx ∞

?=+∞?()a f x dx ∞

?+∞=

（c ）0

g x dx ∞

?

，()a

f x dx ∞

?具有相同点敛散性。

证：（1)若()

lim ()

x f x l g x →+∞=<+∞，由极限的性质，存在常数A （A>a ）使得当x A ≥时成立

即

()()()f x l

g x 1 于是由比较判别法，当()a g x dx ∞

?收敛时

()a

f x dx ∞

?

也收敛

（2）若()

lim

()

x f x l

g x 0，由极限的性质，存在常数A

（A a ≥），使得当x

A ≥时成立

'()

()

f x l

g x 其中0

'l l '()

()f x l g x

于是由比较判别法，当

()a

g x dx ∞

?

发散时

()a

f x dx ∞

?

也发散

例

讨论

∞

?

1

的敛散性

解：lim x →∞

=1

，而

+∞

?

1

1收

敛，所以

∞

?

1

收敛

总结：使用比较判别法，需要一个敛散性判别结论明确，同时又形成简单的

函数作为比较对象，在上面的例子中我们都是取p

x

1为比较对象的，因为它们

正好能满足这俩个条件 (4).柯西判别法： 设

()f x 在[),a +∞有定义，在任何有限区间,a u

上可积，且

()lim p x x f x λ→∞

=则有：

当,p λ>≤<+∞10时，

()a

f x dx ∞

?

收敛

当

p ≤1，时，

()a

f x dx ∞

?

发散

(5).阿贝尔判别法：()()a

f x

g x dx ∞

?

满足：

（a ）

()f x 单调有界

（b ）

()a

g x dx ∞

?

收敛

则

()()a

f x

g x dx ∞

?

收敛

证：由于存在M>0，使()f x M ≤ ()x a ≥再由（2）可知，

ε对>0,a ?>0A ,当21

0A >A A 时，有

()()A A f x g x dx

?

2

1

<

ε

又

()()A A f x g x dx

?

2

1

=

()()()()ζ

A A ζ

f A

g x dx f A g x dx +??

2

1

12M

≤（ε+ε）=2M

ε 再次由柯西准则知Abel 定理成立。

例 证

sin arctan λ

x

xdx x

∞

?

1

(0<λ≤1)收敛 利用阿贝尔判别法，因为

sin λx

dx x

∞

?

1

收敛，又arctan x 在[),+∞1上单调有界，故

sin arctan λ

x

xdx x

∞

?

1

是收敛的 (6). Dirichlet 判别法：

()()a

f x

g x dx ∞

?

满足

（1）f(x)单调且趋于0（x →0）

（2）

()A

a

g x dx ?

有界（a>A ）

则

()()a

f x

g x dx ∞

?

收敛。

证：由于存在M>0，

()A

a

g x dx ?

有界，所以有

()A

a

g x dx M

≤?

又由于f

（x ）→0（x →∞)故对ε?对>0,a ?>0A ,当21

0A >A A 时，有

()

()

f A f A 21ε即()f A 2ε，()

f A 1ε，所以

()()()ζ

ζ

A

A a

a

f x dx

g x dx g x dx <

-?

?

?2

M ≤2同理有

()A ζ

g x dx M

1

2，故当,A A A 210时，有()()()

()()

()A ζ

A A a

ζ

f x

g x dx f A g x dx f A g x dx ≤+?

?

?

2

1

1

21

M ε≤4 例 证积分

sin x

dx x

∞

?

1

收敛，但不绝对收敛 证：

sin cos cos A

xdx A =-≤?

1

12，而x

1

单调且当x →+∞时趋于

0，故由Dirichlet 判别法知

sin x

dx x

∞

?

1

收敛；但()sin sin sin sin x x x x x x x =≥≤21=cos x

x

x

1222 而cos sin sin A

xdx A =-≤?

1

1

22112

，x 12单调趋于0，故

cos x

dx x ∞

?

1

22收敛，而dx x

∞?112发散，故

sin A

xdx

?

1

发散

例 积分

p x dx ?

1

的敛散性

当p ≥0时是可积的；当p

0时，它是不可积的，因为这时被积

函数在,01上无界。但作为反常积分，当p

1时收敛；当p ≤-1时

发散；因为当

p ≠-1时有lim lim p p δ

δδδ

x dx p +→→-==

+?1

1

0011

(){

/,,p p +>-∞111

1

若若p<-

而当

p

1时有()lim lim ln ln δδδx dx δ-→→=-=+∞?1

100

1

例 积分

p x dx ∞

?

作为反常积分，当p

1时它收敛；当p ≥-1时它

发散。这是因为当

p ≠-1时有

lim lim p p

δ

δδδx dx p +→→-==+?

11

01

1

(){

/,,p p -+<-∞1111若若p>- 而当p=-1时有()lim lim ln ln δ

δδx dx δ-→→=-=∞?1

1

1

2. 瑕积分的收敛判别 （1）定义判别法

设函数f 定义在无穷区间(,]a b 上，在点a 的任一右邻域上无界，但在任何内闭区间有限区间[,](,]u b a b ?上有界且可积.如果存在极限

lim ()b u

u a

f x dx J +→?=， 则称反常积分()a f x dx +∞

?收敛.，否则发散

例计算瑕积分1

?的值

解：被积函数()f x =

[0,1)上连续，从而在任何[0,][0,1)u ?上可

积，0x =为其瑕点.依定义求得

(2)定理判别法（柯西收敛原理）

瑕积分()b

a

f x dx ?

（瑕点为a ）收敛的充要条件是：任给ε

0，

存在δ

0，只要(),u u a a δ∈+12总有

()()()b

b

u u u u f x dx f x dx f x dx -=?

??

2

1

2

1

=0<ε

(3).比较法则

设f(x)定义于,a b

，a 为其瑕点，且在任何

[](),,u b a b ?上可

积，如果

()lim ()p

x x a f x λ+

→-=0

当

,p λ>≤<+∞10时，()a f x dx ∞

?收敛 当

p ≤1，λ<≤+∞0时，()a f x dx ∞

?发散

(4).柯西判别法

设x=a 是f(x)的瑕点，如果 ()

()(),p

c

f x c p x a ≤

><-01那么

()b

a f x dx ?绝对收敛；如果()

()(),p

c

f x c p x a ≥>≥-01那么

()b

a

f x dx ?

发散

例 讨论

ln e

p

dx x x

?

1

的敛散性（p R +

∈） 解：x=0是其唯一奇点。 当p

1时，取(),p

q p +=

∈112

，则lim ln q p

x x x x +→=00，由柯西判别法知，ln e p dx x x

?1

0收敛 类似的， 当

p

1时，取(),p

q p +=

∈112

，则lim ln q

p x x x x

+→=+∞0由柯西判别法知，ln e p dx x x ?1

0发散

当

p 1 时，可以直接用Newton-leibniz 公式得到

lim ln ln ln e p ηdx e x x x +→==-∞?

1

01

1

因此,当p

1时，反常积分ln e

p

dx

x x

?

1

收当敛;当p ≥1时，反常积分ln e p dx

x x

?

1

发散

(5).阿贝尔判别法

设f(x)在x=a 有奇点，

()b

a

f x dx ?

收敛，g(x)单调有界，那么积

分

()()b

a

f x

g x dx ?

收敛

(6).狄利克雷判别法

设f(x)在x=a 有奇点，

()b

a η

f x dx +?

是η的有界函数，

g(x)单调且当x →a 时趋于零，那么积分

()()b

a

f x

g x dx ?

例 讨论积分()sin r

x dx r x <≤?1

0102的收敛情形 当

r 01

时，

sin r r

x x x ≤1

1，积分绝对收敛，又 sin cos cos η

dx x x η

≤-≤?

1

2111

12 sin sin r

r

x dx x dx x x x

-=

?

?

1

1

220

1

11 当r 20即r

2时，由狄利克雷判别法，从r x 2单调趋向于零

（x →0）推知积分收敛.当r

2时，

sin cos cos ,dx ηx x η

=-→?

1

20

111

10当时无极限，所以积分()sin r

x dx r x <≤?1

0102发散 参考文献

【1】欧阳光中，《 数学分析 》第三版下册，高等教育出版社 【2】陈纪修，《 数学分析 》第二版下册，高等教育出版社 【3】陈天权，《 数学分析讲义 》第一册，北京大学出版社 【4】中国科学院，《 数学分析习题详解 》第二版上册，吉林大学出版社 【5】华东师范大学数学系，《 数学分析 》第四版下册，高等教育出版社