反常积分的敛散性判定方法

反常积分敛散性的判定方法

作者陈志强

学院统计与数学学院

专业数学与应用数学

年级 2012级

学号 2 指导教师魏运

导师职称教授

最终成绩 75分

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

引言

---------------------------------------------------------------------

-------------------2

一、预备知识 (2)

1.无穷限反常积分 (2)

2.瑕积分 (3)

3.反常积分的性质 (3)

二、反常积分的收敛判别法 (4)

1无穷积分的收敛判别 (4)

(1).定义判别法 (4)

(2).比较判别法 (4)

(3).柯西判别法 (5)

(4)阿贝尔判别法 (6)

(5).狄利克雷判别法 (7)

2瑕积分的收敛判别.................................................. . (8)

(1).定义判别法 (8)

(2).定理判别法 (9)

(3).比较判别法 (9)

(4).柯西判别法 (9)

(5).阿贝尔判别

法 (10)

(6).狄利克雷判别法 (10)

参考文献 (11)

摘要

在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此得到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。我们将这两种积分统称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性判定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，并给出了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定理判断反常积分的敛散性。

关键词：反常积分瑕积分极限敛散性

引言

近些年以来，一些数学工作者对反常积分敛散性的判别方法做了研究并取得了许多重要的进展。如华东师范大学数学系编，数学分析（上册），对反常积分积分的定义，性质的运用及讲义其判别收敛性的方法。华中科技大学出版的数学分析理论方法与技巧，也对反常积分敛散性判别做了详细的讲解，还用图形的方法说明其意义。引申出反常积分敛散性的等价定义，并通过例题说明其应用。

众多学者研究的内容全而广，实用性很高，尤其是在研究敛散性的判别很明显，这对我现所研究的论文题目提供了大量的理论依据和参考文献，对我完成此次论文有很大的帮助，但绝大多数文献只是对其一种方法进行研究，而本文将对其进行归纳总结，举例说明其应用。

一 、 预备知识

1.无穷限反常积分

定义设函数()f x 在[ａ，＋∞）有定义，若()f x 在[ａ，A]上可积（A>a ）且当A →＋∞时，lim ()A

a

A f x dx →∞?

存在，称反常积分 ()a

f x dx ∞

?收敛，否则称

反常积分

()a

f x dx -∞

?

与()f x dx ∞

-∞

?发散。

对反常积分

()a

f x dx -∞

?

与()f x dx ∞

-∞?可类似的给出敛散性定义。

注意：只有当

()a

f x dx -∞

?

和()f x dx ∞

-∞

?都收敛时，才认为

()f x dx ∞

-∞

?

是收敛的。

2．.瑕积分

定义1：设f(x)在a 的任何邻域内均无界，则称a 为f(x)的一个瑕点 定义2：设f(x)在

,a b

内有定义，且b 为唯一瑕点，若

lim ()b δ

a

δf x dx +-→?

存

在，称瑕积分

()b

a

f x dx ?

收敛

定义3：设C (),a b ∈

且为f(x)的一个瑕点，若()c

a

f x dx ?和()d

c

f x dx

?均收敛，则称瑕积分()b

a

f x dx ?

3.反常积分的性质

(1)Cauchy 收敛原理：

()a

f x dx ∞

?

收敛?ε?对>0，?0A >a,当1A >2A >0

A 时，有

()A A f x dx ?

2

1

<ε

(2)线性性质：若

()a

f x dx ∞

?

与()a

g x dx ∞

?都收敛，则对任意常数,k k 12，

[]()()a

k

f x k

g x dx ∞

+?1

2也收敛

，且有

[]()()a

k

f x k

g x dx ∞

+?1

2=k 1

()a

f x dx ∞

?

()a

k g x dx ∞

+?2

(3)积分区间可加性，若

()a

f x dx

∞

?

收敛，则

?b [),a ∈+∞,()a f x dx ∞

?=()()b

a b

f x dx f x dx +∞

+??.

(4)若()a

f x dx ∞

?

收敛，则

()a

f x dx

∞

?

≤

()a

f x dx ∞

?

。

二、反常积分的敛散性判别法

1.无穷积分的敛散性判别 （1）定义判别法

设函数f 定义在无穷区间[,)a +∞上，且在任何有限区间[,]a u 上可积.如果存在极限 lim ()u a u f x dx J →+∞

?=，

则称()a f x dx +∞

?收敛，否则发散，即相应定积分的极限存在广义积分收敛，定积分的极限不存在广义积分发散 例计算无穷积分 0px

xe dx +∞

-? （p 是常数，且0p >）

解：

00

00

2211

1

px px

px px x xe dx e e dx e p

p p

p

+∞

--+∞+∞--+∞?=-+

?=-=

式中 1

lim lim lim 0px

px px x x x x xe

e pe

-→∞

→∞→∞===

(2).比较判别法的普通形式：

(),()

f x

g x 在

[),a +∞有定义，且

()()()f x g x x a ≤≤≥0

（a ）

()a

g x dx ∞

?

<+∞?

()a f x dx ∞

?

<+∞

（b ）

()a

f x dx ∞

?

=+∞?()a

g x dx ∞

?=+∞

例 讨论

sin x

dx x

∞+?

2

1的收敛性 解：由于

sin x x x ≤++2

2

1

11 ， [),x ∈

+∞0

因为dx π

x ∞

=+?

2

12

为收敛，所以根据比较判别法sin x dx x ∞+?201为绝对收敛。

(3).比较判别法的极限形式：

(),()f x g x 在[),a +∞有定义，且非负，且

()

lim ()

x f x l g x →+∞=则： （a ）当l 0时，()a g x dx ∞

?<+∞?()a f x dx ∞

?<+∞

（b ）l

=∞+时，()a g x dx ∞

?=+∞?()a f x dx ∞

?+∞=

（c ）0

()a

g x dx ∞

?

，()a

f x dx ∞

?具有相同点敛散性。

证：（1)若()

lim ()

x f x l g x →+∞=<+∞，由极限的性质，存在常数A （A>a ）使得当x

A ≥时成立

()

()

f x l

g x 1

即

()()()f x l

g x 1 于是由比较判别法，当()a g x dx ∞

?收敛时

()a

f x dx ∞

?

也收敛

（2）若()lim ()

x f x l

g x 0，由极限的性质，存在常数A （A a ≥），

使得当x

A ≥时成立

'()

()

f x l

g x 其中0

'l l '()

()f x l g x

于是由比较判别法，当

()a

g x dx ∞

?

发散时

()a

f x dx ∞

?

也发散

例

讨论

∞

?

1

的敛散性

解：lim x →∞

=1

，而

+∞

?

1

1收敛，

所以

∞

?

1

收敛

总结：使用比较判别法，需要一个敛散性判别结论明确，同时又形成简单的函数作为比较对象，在上面的例子中我们都是取p

x 1为比较对象的，因为它们正

好能满足这俩个条件 (4).柯西判别法： 设

()f x 在[),a +∞有定义，在任何有限区间,a u

上可积，且

()lim p x x f x λ→∞

=则有：

当,p λ>≤<+∞10时，

()a

f x dx ∞

?

收敛

当

p ≤1，时，

()a

f x dx ∞

?

发散

(5).阿贝尔判别法：()()a

f x

g x dx ∞

?

满足：

（a ）

()f x 单调有界

（b ）

()a

g x dx ∞

?

收敛

则

()()a

f x

g x dx ∞

?

收敛

证：由于存在M>0，使()f x M ≤

()x a ≥再由（2）可知，

ε对>0,a ?>0A ,当21

0A >A A 时，有

()()A A f x g x dx

?

2

1

<

ε

又

()()A A f x g x dx

?

2

1

=

()()()()ζ

A A ζ

f A

g x dx f A g x dx +??

2

1

12M

≤（ε+ε）=2M

ε 再次由柯西准则知Abel 定理成立。

例 证

sin arctan λ

x

xdx x

∞

?

1

(0<λ≤1)收敛 利用阿贝尔判别法，因为

sin λx

dx x

∞

?

1

收敛，又arctan x 在[),+∞1上单调有界，故

sin arctan λ

x

xdx x

∞

?

1

是收敛的 (6). Dirichlet 判别法：

()()a

f x

g x dx ∞

?

满足

（1）f(x)单调且趋于0（x →0） （2）

()A

a

g x dx ?

有界（a>A ）

则

()()a

f x

g x dx ∞

?

收敛。

证：由于存在M>0，

()A

a

g x dx ?

有界，所以有

()A

a

g x dx M

≤?

又由于f

（x ）→0（x →∞)故对

ε?对>0,a ?>0A ,当210A >A A 时，有

()()

f A f A 21ε

即

()

f A 2ε

，

()

f A 1ε

，所以()()()ζ

ζ

A A a

a

f x dx

g x dx g x dx

<

-?

?

?2

M

≤2同

理

有

()A ζ

g x dx M

1

2，故当

,A A A 210

时，有

()()()

()()

()A ζ

A A a

ζ

f x

g x dx f A g x dx f A g x dx ≤+?

?

?

2

1

1

21

M ε≤4 例 证积分

sin x

dx x

∞

?

1

收敛，但不绝对收敛 证：

sin cos cos A

xdx A =-≤?

1

12，而x

1

单调且当x →+∞时趋于0，

故由

Dirichlet

判

别

法

知

sin x

dx x

∞

?

1

收敛；但

()sin sin sin sin x x x x x x x

=≥≤21=

cos x

x

x

1222 而

cos sin sin A

xdx A =-≤?

1

1

22112

，x 12单调趋于0，故

cos x

dx x ∞

?

1

22收敛，而dx x

∞?112发散，故

sin A

xdx

?

1

发散

例 积分

p x dx ?

1

的敛散性

当p ≥0时是可积的；当p

0时，它是不可积的，因为这时被积

函数在,01上无界。但作为反常积分，当p

1时收敛；当p ≤-1时

发散；因为当

p ≠-1时有lim lim p p δ

δδδ

x dx p +→→-==

+?1

1

0011

(

){/,,p p +>-∞111

1

若若p<-

而当

p

1时有()lim lim ln ln δδδx dx δ-→→=-=+∞?1

100

1 例 积分p x dx ∞

?

作为反常积分，当p

1时它收敛；当p ≥-1时它

发

散

。

这

是

因

为

当

p ≠-1

时有

lim lim p p

δ

δδδx dx p +→→-==+?

11

011

(){

/,,p p -+<-∞1111若若p>- 而当p=-1时有()lim lim ln ln δ

δδx dx δ-→→=-=∞?1

1

1

2. 瑕积分的收敛判别 （1）定义判别法

设函数f 定义在无穷区间(,]a b 上，在点a 的任一右邻域上无界，但在任何内闭区间有限区间

[,](,]u b a b ?上有界且可积.如果存在极限

lim ()b

u

u a

f x dx J +→?=， 则称反常积分()a f x dx +∞

?收敛.，否则发散

例计算瑕积分1

?的值 解：

被积函数()f x =

[0,1)上连续，从而在任何[0,][0,1)u ?上可积，

0x =为其瑕点.依定义求得

100

11lim lim(11u

u x →-→-

?=?=-=

(2)定理判别法（柯西收敛原理） 瑕积分()b

a

f x dx ?

（瑕点为a ）收敛的充要条件是：任给ε

0，存

在

δ

，

只要

()

,u u a a δ∈+12总

有

()()()b b

u u u u f x dx f x dx f x dx -=???

2

1

2

1

=0<ε

(3).比较法则 设f(x)定义于,a b

，a 为其瑕点，且在任何

[](),,u b a b ?上可积，

如果

()lim ()p

x x a f x λ+

→-=0

当

,p λ>≤<+∞10时，()a f x dx ∞

?收敛 当

p ≤1，λ<≤+∞0时，()a f x dx ∞

?发散

(4).柯西判别法

设x=a 是f(x)的瑕点，如果 ()

()(),p

c

f x c p x a ≤

><-01那么

()b

a f x dx ?绝对收敛；如果()

()(),p

c

f x c p x a ≥>≥-01那么

()b

a

f x dx ?

发散

例 讨论

ln e p

dx x x

?

1

的敛散性（p R +

∈） 解：x=0是其唯一奇点。 当

p 01

时，取

(),p

q p +=

∈112

，则

lim ln q p

x x x x +→=00，由柯西判别法知，ln e p dx x x

?1

0收敛 类似的， 当

p

1时，取(),p

q p +=

∈112

，则lim ln q

p x x x x

+→=+∞0由柯西判别法知，ln e p dx x x ?1

0发散 当

p 1

时，可以直接用Newton-leibniz 公式得到

lim ln ln ln e

p ηdx e x x x +→==-∞?

1

01

1

因此,当p

01时，反常积分ln e

p dx

x x

?

1

收当敛;当p ≥1时，反常积分

ln e p dx

x x

?

1

发散

(5).阿贝尔判别法

设f(x)在x=a 有奇点，

()b

a

f x dx ?

收敛，g(x)单调有界，那么积分

()()b

a

f x

g x dx ?

收敛

(6).狄利克雷判别法 设f(x)在x=a 有奇点，

()b

a η

f x dx +?

是η的有界函数，

g(x)单调且当x →a 时趋于零，那么积分

()()b

a

f x

g x dx ?

例 讨论积分

()

sin r

x dx r x

<≤?

1

1

02的收敛情形

当

r 01

时，

sin

r r

x x x ≤1

1，积分绝对收敛，又 sin cos cos ηdx x x η≤-≤?12111

12 sin sin r r

x dx x dx x x x -=??1

12200111 当r

20即r

2时，由狄利克雷判别法，从r x 2单调趋向于零（x →0）

推

知

积

分

收

敛

.

当

r 2

时，sin cos cos ,dx ηx x η=-→?1

20

111

10当时无极限，所以

积

分

()

sin r

x dx r x

<≤?

1

1

02发散

参考文献

【1】欧阳光中，《数学分析》第三版下册，高等教育出版社

【2】陈纪修，《数学分析》第二版下册，高等教育出版社

【3】陈天权，《数学分析讲义》第一册，北京大学出版社【4】中国科学院，《数学分析习题详解》第二版上册，吉林大学出版社【5】华东师范大学数学系，《数学分析》第四版下册，高等教育出版社

2015考研数学真题解析反常积分敛散性的判定

2015考研数学（二）真题解析：反常积分敛散性的判定 来源：文都教育 研究生入学考试大纲数学二对反常积分这个知识点的要求是：了解反常积分的概念，会计算反常积分。从大纲要求看出，大纲对反常积分敛散性的判定要求比较低，但是近些年数二经常考敛散性的判定，所以2016考研的同学对此知识点不可小觑。下面文都老师把数二近三年考到的这个知识点的两道真题帮大家分析一下。 【15数二】下列反常积分中收敛的是（ ） （A ）21d x x +∞? （B ）2ln d x x x +∞? （C ）21d ln x x x +∞? （D ）2d x x x e +∞? 解析： 221d 2x x x +∞+∞==∞?，所以21d x x +∞?发散 ()222ln 1d ln 2 x x x x +∞+∞==∞?，所以2ln d x x x +∞?发散 221d ln ln ln x x x x +∞+∞==∞?，所以21d ln x x x +∞?发散 22222|3,x x x x x dx xde xe e dx e e +∞ +∞+∞--+∞--=-=-+=???收敛. 应选（D ） 本题主要是应用牛顿—莱布尼兹公式的推广来判定反常积分的敛散性，题目比较简单。 【13数二】设函数f (x )=111,1,(1)1,.ln x e x x e x x αα-+?< (C) 20α-<< (D) 02α<< 解析： 1111()(1)ln e e dx dx f x dx x x x αα+∞+∞-+=+-??? 1111lim(1)1(1)x x x αα--→-=-，因为11(1)e dx x α--?收敛，所以11α-<，即2α< 又因为1111(ln )(ln )|ln ln e e e dx d x x x x x αααα+∞ +∞-+∞++==-?? 因为1ln e dx x x α+∞+?收敛，所以0α>，因此02α<<。 应选（D ） 本题是用反常积分敛散性的判定定理和牛顿—莱布尼兹公式的推广来判断反常积分的敛散性，属中等难度。

积分敛散性的判断

目录 摘要........................................................................................... (2) 引言........................................................................................... . (3) 1无穷积分........................................................................................... .. (5) 1.1无穷积分的概念........................................................................................... .. (5) 1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5) 1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6) 1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7) 2瑕积分........................................................................................... .. (8) 2.1瑕积分的定义........................................................................................... . (9) 2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10) 2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10) 2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12) 3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13) 总结........................................................................................... ......... .. (13) 参考文献........................................................................................... ... .. (14)

正项级数敛散性地判别方法

正项级数敛散性的判别方法 摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。 关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用 1引言 数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法 由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,,,N N n N p N ε+?>?∈?>?∈有12n n n p u u u ε+++++ +<。取特殊的1p =，可 得推论：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法 定理一（比较判别法的极限形式）： 设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数，且有lim n n n u l v →∞=，于是 （1）若0l <<+∞，则 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。 （2）若0l =，则当 1 n n v ∞ =∑收敛时，可得 1 n n u ∞ =∑收敛。

习题反常积分的收敛判别法

习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(. 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞ +a dx x f )(发散 时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有

反常积分的敛散性判定方法

内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院专业数学与应用数学年级2012 级 学号122094102 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩75 分

目录 摘要??????????????????.. ?? . ?. ?????..1 关键词??????????????????.. ?? . ?. ????..1 引言 ----------------------------------------------------------------------------------------2 一、预备知识?????????? .. ?? . ?. ????? . 2 1.无穷限反常积分??????????..??.?.?????..2 2.瑕积分????????..??.?.????3 3.反常积分的性质???????? .. ?? . ?. ????3 二、反常积分的收敛判别法????????????.. ?? . ?. 4 1 无穷积分的收敛判别????????.. ?? . ? . ?????4 (1). 定义判别法 (2). 比较判别法 (3).柯西判别法??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 5 (4)阿贝尔判别法 . ???????..??.?.?????.6 (5).狄利克雷判别法???????..??.?.?????7 2 瑕积分的收敛判别???????..??.?.?????. .?8 (1). 定义判别法???????..??.?.?????..??8 (2). 定理判别法???????????..??.?.?????.9. (3). 比较判别法?????????????.. ?? . ?. ????9 (4).柯西判别法???????????..??.?.?????9 (5).阿贝尔判别法???????????..??.?.???.10 (6).狄利克雷判别法????????..??.?.?????10.

数项级数敛散性判别法。(总结)

华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。（总结） 课程名称：高等数学（下） 专业班级： 成员组成 联系方式： 2012年5月18日

摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。 关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。 英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。

正项数收敛判别方法

数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法

摘要： 各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。 关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和，记为1 n n k k S u == ∑，称为（1）的前n 项部分和。 定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞ =），则称数项级数（1）收 敛，并称S 为（1）的和，记为1 n n S u ∞ == ∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。 根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数（1）收敛的充要条件是：0ε?>，0N ?>，n N ?>，p Z + ?>，有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。 (v) 运算性质： 若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛，c d 是常数，则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛，且满足

无穷限反常积分敛散性及审敛法则(教案)

无穷限反常积分敛散性及审敛法则 一、教学目标分析 在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识，本节通过介绍反常积分，加深学生对积分的了解，使同学对积分的了解更加系统化，并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。让学生反常积分在一些实际问题中的应运。 二、学情/学习者特征分析 学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛，使学生充分掌握本节课的内容。 三、学习内容分析 1.本节的作用和地位 通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，这些问题通常是一些实际问题。例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。 2．本节主要内容 1. 无穷限反常积分的定义与计算方法 2. 无穷限反常积分的性质 3. 无穷限反常积分的比较审敛法则 4. 条件收敛与绝对收敛 3.重点难点分析 教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则； 教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。 4.课时要求：2课时 四、教学理念 学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解反常积分，尤其是其在一些实际问题中的应运。 五、教学策略 在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质，并适时举例讲解，引导学生互动，相互讨论解决问题。

六.教学环境 网络环境下的多媒体教室与课堂互动。 七、教学过程 一、无穷限反常积分的定义 定义1 设函数／定义在无穷区间[+∞,a )上，且在任何有限区间[u a ,]上可积．如果存在极限 J dx x f u a u =? +∞→)(lim 则称此极限J 为函数f 在[+∞,a )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作 dx x f J a ?+∞ =)(，并称 dx x f a ?+∞ )(收敛．如果极限J dx x f u a u =?+∞ →)(lim 不存在，亦称 dx x f a ?+∞ )(发散． 类似地，可定义f 在(b ,∞-]上的无穷积分：.)(lim )(dx x f dx x f b u u b ?? -∞ →∞ -= 对于f 在(+∞∞-,)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义： ,)()()(dx x f dx x f dx x f a a ???+∞ ∞ -∞-+∞ +=其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收 敛时它才是收敛的． 注： dx x f a ? +∞ )(收敛的几何意义是：若f 在],[+∞a 上为非负连续函数，则介于曲线 )(x f y =，直线a x =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J ． 例1 讨论无穷积分.1) 10 2 ? +∞ +x dx ，.1)22?∞+∞-+x dx ，.)30 2 ?+∞-dx xe x 的收敛性． 例2 讨论下列无穷积分的收敛性：? +∞ 1 ) 1p x dx ， ;)(ln )22?+∞p x x dx 二、无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ?+∞ a dx x f )(收敛与否， 取决于积分上限函数=)(u F ?u a dx x f )(在+∞→u 时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则． 定理11.1 无穷积分 ? +∞a dx x f )(收敛的充要条件是：任给ε>0，存在G ≥a ，只要 G u u >21,，便有 ε<= -? ? ?2 1 2 1 )()()(u u u a u a dx x f dx x f dx x f ． 此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质． 性质 1 若 dx x f a )(1? +∞ 与 dx x f a )(2? +∞ 都收敛，1k ,2k 为任意常数，则

反常积分的敛散性判定方法

反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院 专业数学与应用数学 年级 2012级 学号 2 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩 75分

目录 摘要 (1) 关键词 (1) 引言 --------------------------------------------------------------------- -------------------2 一、预备知识 (2) 1.无穷限反常积分 (2) 2.瑕积分 (3) 3.反常积分的性质 (3) 二、反常积分的收敛判别法 (4) 1无穷积分的收敛判别 (4) (1).定义判别法 (4) (2).比较判别法 (4) (3).柯西判别法 (5) (4)阿贝尔判别法 (6) (5).狄利克雷判别法 (7) 2瑕积分的收敛判别.................................................. . (8) (1).定义判别法 (8) (2).定理判别法 (9) (3).比较判别法 (9) (4).柯西判别法 (9) (5).阿贝尔判别

法 (10) (6).狄利克雷判别法 (10)

参考文献 (11)

摘要 在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此得到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。我们将这两种积分统称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性判定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，并给出了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定理判断反常积分的敛散性。 关键词：反常积分瑕积分极限敛散性

无穷积分的性质与收敛判别法

§2 无穷积分的性质与收敛判别法 教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。 教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。 教学内容： 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ()dx x f a ? +∞ 收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f u a ?在u →+∞时是否存在 极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。 定理11.1 无穷积分()dx x f a ? +∞ 收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便 有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ?≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()221 1 21|()()|.u u u u a a f x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=-

考研数学(二)真题解析反常积分敛散性的判定

1 / 1 考研数学（二）真题解析：反常积分敛散性的判定 来源：文都教育 研究生入学考试大纲数学二对反常积分这个知识点的要求是：了解反常积分的概念，会计算反常积分。从大纲要求看出，大纲对反常积分敛散性的判定要求比较低，但是近些年数二经常考敛散性的判定，所以考研的同学对此知识点不可小觑。下面文都老师把数二近三年考到的这个知识点的两道真题帮大家分析一下。 【数二】下列反常积分中收敛的是（ ） （）21d x x +∞? （）2ln d x x x +∞? （）21d ln x x x +∞? （）2d x x x e +∞? 解析： 221d 2x x x +∞+∞==∞?，所以21d x x +∞?发散 ()222ln 1d ln 2 x x x x +∞+∞==∞?，所以2ln d x x x +∞?发散 221d ln ln ln x x x x +∞+∞==∞?，所以21d ln x x x +∞?发散 22222|3,x x x x x dx xde xe e dx e e +∞ +∞+∞--+∞--=-=-+=???收敛. 应选（） 本题主要是应用牛顿—莱布尼兹公式的推广来判定反常积分的敛散性，题目比较简单。 【数二】设函数()111,1,(1)1,.ln x e x x e x x αα-+?< () 20α-<< () 02α<< 解析： 1111()(1)ln e e dx dx f x dx x x x αα+∞+∞-+=+-??? 1111lim(1)1(1)x x x αα--→-=-，因为11(1)e dx x α--?收敛，所以11α-<，即2α< 又因为1111(ln )(ln )|ln ln e e e dx d x x x x x αααα+∞ +∞-+∞++==-?? 因为1ln e dx x x α+∞+?收敛，所以0α>，因此02α<<。 应选（） 本题是用反常积分敛散性的判定定理和牛顿—莱布尼兹公式的推广来判断反常积分的敛散性，属中等难度。

积分敛散性的判断

目录 摘要 (2) 引言 (3) 1无穷积分 (5) 1.1无穷积分的概念 (5) 1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5) 1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6) 1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7) 2瑕积分 (8) 2.1瑕积分的定义 (9) 2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10) 2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10) 2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12) 3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13) 总结.................................................................................................... .. (13) 参考文献.............................................................................................. .. (14)

判断反常积分敛散性的方法 谢鹏数学与计算机科学学院 摘要：反常积分的收敛性是数学分析中的难点之一，本文介绍了反常积分敛散性的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子，以及绝对收敛和条件收敛的概念等，让读者能够用反常积分的柯西收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、柯西判别法，以及一般函数反常积分的狄利克雷、阿贝尔判别法判别法判别基本的反常积分敛散性，以便更好的掌握反常积分收敛先判断的方法. 关键词：无穷积分；瑕积分；敛散性；判别方法 On Convergence of The Method of Judging Abnormal Integral Name of student, School: XiePeng，School of Mathematics & Computer Science

数项级数敛散性的判别法毕业论文

数项级数敛散性的判别法毕业论文

关于数项级数敛散性的判别法 摘要：级数是数学分析中的主要内容之一.我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种,如柯西(Cauchy)判别法、达朗贝尔（D ’Alembert ）判别法、拉阿贝(Raabe)判别法、高斯(Gauss)判别法、狄里克莱(Dirichlet)判别法、莱布尼兹(Leibniz)判别法、阿贝尔(Abel)判别法等.对数项级数敛散性判别法进行归纳,使之系统化. 关键词：数项级数; 正项级数 ; 变号级数; 敛散性; 判别法 1 引言 设数项级数 ++++=∑∞ =n n n a a a a 211 的n 项部分和为: 12n S a a =++ +1 n n i i a a ==∑ 若n 项部分和数列{} n S 收敛,即存在一个实数S,使 lim n n S S →∞ =. 则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S 为级数的和.可见，无穷级数是否收敛，取决于lim n n S →∞ 是否存在.从而由数列的柯西(Cauchy )收敛准则, 可得到级数的柯西(Cauchy )收敛准则[1]:

数项级数1 n n a ∞ =∑收敛0,N N ε+ ??>?∈,对,n N p N + ?>?∈有 12n n n p a a a ε ++++++<. 2 正项级数敛散性判别法 设数项级数1n n a ∞ =∑为正项级数(n a ≥0).则级数的n 项部分和数列{}n S 单调递 增,由数列的单调有界公理,有 定理2.1[1] 正项级数1n n u ∞ =∑收敛?它的部分和数列{}n S 有上界. 由定理2.1可推得 定理2.2 [2] ：设两个正项级数1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑,存在常数c 0 >及正整数N ，当n ＞N 时有 n u ≤c n v ,则 （i ）若级数1 n n u ∞=∑收敛，则级数1 n n v ∞ =∑也收敛； （ii ）若级数1 n n u ∞=∑发散，则级数1 n n v ∞ =∑也发散. 一般常及其极限形式: 定理2.2’（比较判别法的极限形式） [2] ：设1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑是两个正项级数且有 lim n n n u v →∞=λ， （i ）若0＜λ＜＋∞，则两个级数同时敛散； （ii ）若 λ＝0，级数1 n n v ∞ =∑收敛，则级数1 n n u ∞ =∑也收敛； （iii ）若 λ＝＋∞，级数1 n n v ∞=∑发散，则级数1 n n u ∞ =∑也发散. 由比较判别法可推得:

反常积分的收敛判别法

习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或时， 和的敛散性可以产生各种不同的的情况。 +∞∫ ∞ +a dx x )(?∫ ∞ +a dx x f )(解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数。则 当收敛时也收敛； ∫∞ +a dx x )(?∫∞ +a dx x f )(当发散时也发散。 ∫∞ +a dx x f )(∫∞ +a dx x )(?证 当收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， ∫∞+a dx x )(?0>?ε ，，a A ≥?00,A A A ≥′?： K dx x A A ε ?<∫′ )(。 于是 ≤ ∫′ A A dx x f )(ε?<∫′ A A dx x K )(， 所以也收敛； ∫∞ +a dx x f )(当发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， ∫∞ +a dx x f )(00>?ε，，a A ≥?00,A A A ≥′?： εK dx x f A A ≥∫′ )(。 于是 ≥∫′A A dx x )(?0)(1 ε≥∫′ A A dx x f K ， 所以也发散。 ∫∞+a dx x )(?（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?。则当发散时，∫也发散；但当收敛时，∫可能收敛， ∫∞ +a dx x f )(∞+a dx x )(?∫∞+a dx x f )(∞+a dx x )(?

数项级数敛散性判别方法

华北水利水电 大学 课题 : 数项级数敛散性判别方法（总结） 专业班级:水利港航39班 成员组成:丁哲祥 201203901 联系方式: 2012.05.23

数项级数敛散性判别法（总结） 摘要：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重要组成部分。本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。我们这学期学习过的数项级数敛散性判别法有许多，本文对数项级数敛散性的判别方法进行了分析归纳总结，得到的解题方法。以便我们更好的掌握它。 关键词：数项级数敛散性判别方法总结 Several series gathered of the criterion scattered method (summary) Abstract：The sequence series is one of the main contents in the mathematical analysis. We learn this semester the several series gathered of the criterio n has many scattered method, this paper folding a series of logarithm scat tered discriminant method is analyzed sum-up, get the problem solving m ethod. Key words: Several series; Gathered scattered sex; Identifying method; a nalysis summary

无穷积分的敛散判别法

无穷积分的敛散判别法 摘 要：本文主要介绍了无穷积分的几种敛散判别方法，并对这些方法作一些规律性的分析，总结． 关键词：无穷积分；收敛；柯西准则；发散 The convergence and divergence method of infinite integral Abstract ：this article mainly introduces several kinds of infinite integral convergence and divergence discrimination method ，and the method for some regularity analysis ,summary. Key Words ：Infinite integral; Convergence ;Cauchy criterion;Divergence 前言 我们知道当讨论定积分时要考虑两个条件：一是积分区间时必须是有限闭区间；二是 被积函数必须是有界函数．但实际应用中会遇到积分的上限或下限趋于无穷大的情况，这时虽然可以用牛顿－莱布尼茨公式再求极限来解决，但是，如果被积函数的原函数不是初等函数，那么，就不能用上面的方法来解决问题了．这时，这个问题就变成积分上限函数当上限趋于无穷大时的极限是否存在的问题．这即是所谓的反常积分的敛散性问题．这里我们给出几种判断无穷积分敛散的方法． 1 无穷积分的定义 定义：设函数f 定义在无穷积分区间[,)a +∞上，且在任何有限区间[,]a u 上可积．如果存在极限 l i m ()u u a f x d x J →∞=? 则称此极限J 为函数f 在[,)a +∞上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作 ()a f x dx J +∞ =? 并称()a f x dx +∞? 收敛．如果极限不存在，为方便起见，亦称()a f x dx +∞? 发散． 类似地，可定义f 在(,]b -∞上的无穷积分： ()()lim b u b u f x dx f x dx →∞-∞=?? 对于在(,)-∞+∞上的无穷积分，他用前面两种无穷积分来定义： ()()()b a f x dx f x dx f x dx +∞ +∞ -∞-∞ =+??? ， 其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的．

常数项级数敛散性判别法总结

常数项级数敛散性判别法总结 摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。 关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点 无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。 1 级数收敛的概念 给定一个数列{un}，称 u1+u2+...+un+ (1) 为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。 注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。 借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。例如，由性质（1）和当|q|0时，01，则发散。 当级数含有阶乘、n次幂或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。比值判别法不需要与已知的基本级数进行比较，在实用上更为方便。 例2：判别级数的敛散性。 解：因为 由比值判别法知级数收敛。 2.3 根植判别法

第十一章 反常积分

第十一章 反常积分 教学要点： 反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。 教学内容： §1 反常积分的概念 （4学时） 反常积分的引入，两类反常积分的定义 反常积分的计算。 §2 无穷积分的性质与收敛判别 （4学时） 无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy 判别法，反常积分的Dirichlet 判别法与Abel 判别法。 §3 瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。 教学要求： 掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy 收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy 判别法，以及一般函数反常积分的Abel 、Dirichlet 判别法判别基本的反常积分。 1．反常积分的收敛性及其收敛性的判别法是本章的重点. 2．两类反常积分的性质及其收敛性判别法有很多相似之处，应引导学生加以类比。 §1 反常积分概念 教学目标：掌握反常积分的定义与计算方法． 教学内容：无穷积分；瑕积分． 教学建议： 讲清反常积分是变限积分的极限． 教学过程： 一、 问题的提出 1、为什么要推广Riemann 积分 定积分()b a f x dx ?有两个明显的缺陷：其一，积分区间[a,b]必须是有限区间；其二，若 [,]f R a b ∈，则0M ?>，使得对于任意的[,]x a b ∈，|()|f x M ≤（即有界是可积的必要条件）。 这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形。

反常积分的敛散性判定方法

XX财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院 专业数学与应用数学 年级2012级 学号122094102 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩75分

目录 摘要 (1) 关键词 (1) 引言----------------------------------------------------------------------------------------2 一、预备知识 (2) 1.无穷限反常积分 (2) 2.瑕积分 (3) 3.反常积分的性质 (3) 二、反常积分的收敛判别法 (4) 1无穷积分的收敛判别 (4) (1).定义判别法 (4) (2).比较判别法 (4) (3).柯西判别法 (5) (4)阿贝尔判别法 (6) (5).狄利克雷判别法 (7) 2瑕积分的收敛判别.................................................. . (8) (1).定义判别法 (8) (2).定理判别法 (9) (3).比较判别法 (9) (4).柯西判别法 (9)

(5).阿贝尔判别法 (10) (6).狄利克雷判别法 (10)

参考文献 (11)

摘要 在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此得到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。我们将这两种积分统称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性判定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，并给出了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定理判断反常积分的敛散性。 关键词：反常积分瑕积分极限敛散性