高中数学回归课本(排列组合二项式定理 )

回归课本(十) 排列、组合、二项式定理

一． 考试内容：

分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式.

组合.组合数公式.组合数的两个性质. 二项式定理.二项展开式的性质.

二．考试要求：

(1)掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.

(2)理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.

(3)理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.

(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.

【注意】这部分内容复习的重点有：排列组合的理论基础、原理，二项式定 理的通项公式，二项式系数的性质等.

三．基础知识:

1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++L .

2.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =???L .

3.排列数公式

m n A =)1()1(+--m n n n Λ=

！

！)(m n n -.(n ，m ∈N *

，且m n ≤)．

注:规定1!0=. 4.排列恒等式

(1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1m

m

n n n A A n m

-=-; （3）1

1m m n n A nA --=; （4）11n n n

n n n nA A A ++=-;

（5）1

1m m m n n n A A mA -+=+.

(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?++?=+-L .

5.组合数公式

m n

C =m n m m

A A =m m n n n ???+--ΛΛ21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N *

，m N ∈，且

m n ≤).

6.组合数的两个性质

(1)m

n C =m

n n

C - ;(2) m n C +1

-m n

C =m

n C 1+.

注:规定10

=n C .

7.组合恒等式

（1）11m

m n n n m C C m --+=

;（2）1m m

n n n C C n m

-=-; （3）11m

m n n n C C m --=; （4）∑=n

r r n C 0=n 2;

（5）1

121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C Λ.

(6)n

n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ΛΛ. (7)1

4205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C ΛΛ. (8)1

321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ.

(9)r

n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110Λ. (10)n

n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++Λ. 8.排列数与组合数的关系m m

n n A m C =?！ .

9．单条件排列

以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”

①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）1

1111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k

m k n k

k A A --种.

②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k

k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；

③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排

列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有k

h h h A A 1+种.

（3）两组元素各相同的插空

m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n n

n m C A A 11

++=种排法.

（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为n

n m C +.

9．分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有m

n

n n

n n

n mn n

n mn n

mn n mn C C C C C N )!()!

(22=

?????=--Λ. （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有

m

n n

n n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )

!(!)!(!...22=????=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的)L 12m P(P=n +n ++n 个物体分给

m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m

n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有

!

!...!!!! (212)

11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m

=??=-. （4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)L 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，

m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有

!...!!!

(21)

1c b a m C

C

C N m m

n n n n p n p

??=

- 12!!

!!...!(!!!...)

m p m n n n a b c =

.

（5）(非平均分组无归属问题)将相异的)L 12m P(P=n +n ++n 个物体分为

任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!

!...!!

21m n n n p N =

.

（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的)L 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)

!!(!!...!!

21c b a n n n p N m =

.

（7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n =L 1+++）个物体分

给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

!

!...!!

(212)

11m n n n n p n p n n n p C C C N m m =

?=-.

10.二项式定理

n

n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( ; 二项展开式的通项公式r

r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，Λ=.

.二项式系数具有下列性质：

(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等； (2) 若n 为偶数，中间一项（第2

n

＋1项）的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项（第21+n 和2

1

+n ＋1项）的二项式系数最大； （3）

;2;213120210-=???++=???++=+???+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C

11.F(x)=(ax+b)n 展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为

)]1()1([21--f f ；偶数项的系数和为)]1()1([2

1

-+f f ；

四．高考题回顾

一、组数问题：

1（20XX 年全国卷二.文理12）在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ）.

A. 56个

B. 57个

C. 58个

D. 60个

2.（辽宁卷）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）

3. 从集合{ P ，Q ，R ，S }与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任限2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是________．(用数字作答)．

4. .（江西卷）将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不 同分组方法的种数为（ ） A ．70 B ．140 C ．280 D ．840 二、分配问题：

5（20XX 年全国卷三.文理12）将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）. A.12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种

6. （北京卷）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )

（A ）124414128C C C （B ）124414128C A A （C ）124414128

3

3C C C A （D ）12443141283C C C A 7. （湖北卷）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给

4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不

同的分法种数是 （ ） A ．168 B ．96 C ．72 D ．144 8. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（ ）.

A. 2

426

C A B. 24262

1C A C. 2426

A A D. 2

62A 三、几何问题：

9.（20XX 年北京卷.理7）从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种. 在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则

n m 等于（ ）. A. 101 B. 51 C. 10

3 D. 5

2

10. 湖北卷）以平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为

A ．

385

367

B ．

385376 C ．385192 D ．385

18

11（20XX 年湖南卷.文理10）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三

角形，其中直角三角形的个数为（ ）. A. 56 B. 52 C. 48 D. 40

四.二项式定理问题

12. （全国卷Ⅲ）在(x?1)(x+1)8的展开式中x 5的系数是( )

（A ）?14 （B ）14 （C ）?28 （D ）28

13. (山东)

如果3n

x ?? ?的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31

x 的系数是（A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21-

14. 设*∈N n ,则=++++-1

23216

66n n n n n n C C C C Λ 15. （湖南卷）在（1＋x ）＋（1＋x ）2＋……＋（1＋x ）6的展开式中，x 2项的系数是 .（用数字作答） 16.（04年天津卷.理15）若200422004

0122004(12)

()x a a x a x a x x R -=+++???+∈，

则010********()()()()a a a a a a a a ++++++???++= .

17. （04年福建卷.文9）已知8()a

x x

-展开式常数项为1120, 其中实数a 是常

数，则展开式中各项系数的和是（ ）. A. 82 B. 83 C. 1或83 D. 1或82

18.（04年上海卷.9）若在二项式10(1)x +的展开式中任取一项，则该项的系数

为奇数的概率是 .（结果用分数是表示）

19.（04年福建卷.理9）若9)21(x -展开式的第3项为288，则

n n x

x x 111(lim 2+???++∞→）的值是（ ）. A. 2 B. 1 C. 21 D. 52 五.课本中习题归纳

一.分类计数原理与分步计数原理

1.书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.

(1)从书架上任取1本书,有 种不同的取法;

(2)从书架的第1,2,3,层各取1本,有 种不同的取法;

2.一种号码锁有6个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共10个数字,这6个拨号盘可以组成 个六位数字号码.

3.要从甲,乙,丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班,有 种不同的选法.

4.乘积123123412345()()()a a a b b b b c c c c c +++++++++展开后共有 项.

5.用1,5,9,13中任意一个作分子,4,8,12,16中任意一个数作分母,可构造 个不同的分数;可构造 个不同的真分数;可构造 个不同的假分数.

6.(1)在平面直角坐标系内,横坐标与纵坐标均在{0,1,2,3,4,5}A =内取值的不同点共有 个.

(2)在平面直角坐标系内,直线y kx b =+的斜率在集合{1,2,5,}B =内取值,截

距在集合{2,4,6,8}C =内取值,这样不同的直线共有 条.

7.(1)4名同学分别报名参加学校的足球队,篮球队,乒乓球队,每人限报其中的1个运动队,则有 种不同的报名方法. (2)3个班分别从5个风景点中选择1处游览,则有 种不同的选法.

二.排列 组合 二项式定理 8.某年全国足球甲级(A 组)联赛共有14队参加,每队都要与其余各队在主,客场分别比赛1次,共进行 场比赛. 9.(1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有 种不同的送法; (2)有5种不同的书,要买3本送给3名同学,每人各1本,共有 种不同的送法. 10.某信号兵用红,黄,白3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面,2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,则一共可以表示 种

不同的信号.

11.用0到9这10个数字,可以组成 个没有重复数字的三位数;可以组成

个没有重复数字的三位偶数;可以组成 个十位数字比个位数字与百位数字都大的三位数.

12.由数字1,2,3,4,5可以组成 个没有重复数字,并且比2005大的正整数. 13.(1)7个人站成一排,如果甲必须站在正中间,有 种排法; (2) 7个人站成一排,如果甲不站在正中间,有 种排法;

(3) 7个人站成一排,如果甲,乙2人必须站在两端,有 种排法; (4) 7个人站成一排,如果甲不站在左端,乙不站在右端,有 种排法;

(5) 7个小孩子站成两排,其中3个女孩站在前排,4个男孩站在后排,有 种排法;(6) 7个小孩子站成两排,其中前排站3人,后排站4人,有 种排法. 14.(1)从4个风景点中选出2个安排游览,有 种不同的方法;

(2)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有 种不同的方法.

15.(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有 条; (2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有 条. 16.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个球,共有 种取法;

(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有 种取法; (3)从口袋内取出3个球,使其中不含有黑球,有 种取法.

17.在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件. (1)一共有 种不同的抽法;(2)抽出的3件中恰1件是次品的抽法有 种; (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有 种.

18.计算:(1)012345555555C C C C C C +++++= ;

(2)222222

234567C C C C C C +++++= ; (3) 024555C C C ++= ;(4)135

555C C C ++= . 19.1圆,2圆,5圆,10圆的人民币各2张,一共可以组成 种币值. 20.从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛. (1)如果4人中男生和女生各选2人,有 种选法; (2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,则有 种选法; (3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,有 种选法; (4)如果4人中必须既有男生又有女生,有 种选法. 21.12

()x a +的展开式中的倒数第四项的系数是220,则a = ;常数项等

于 .

22.91()x

x

-的展开式中3

x 的系数是 ;12的展开式的中间一项是 .

23.15(的展开式的中间两项系数的和等于 .

高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题的常见模型1

高中数学讲义 1．基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理． ⑵乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =???种不同的方法．又称乘法原理． ⑶加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示． 排列数公式：A (1)(2) (1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合． 组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示． 组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()! m n n n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0 C 1n =） 知识内容 排列组合问题的常见模型 1

高二数学《1.1回归分析的基本思想及其初步应用》教案 文

第一章统计案例 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一） 第一课时 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 指数和残差分析. 教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？ 2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报. 二、讲授新课： 1. 教学例题： ①例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 165 165 157 170 175 165 155 170 身高 /cm 体重 48 57 50 54 64 61 43 59 /kg 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重. （分析思路→教师演示→学生整理） 第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算 ②提问：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？ 不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右. ③解释线性回归模型与一次函数的不同 事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一=+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身次函数y bx a 高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e（即 =++，其中残差残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e 变量e中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义. 3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同. 备课人：张颖岳新霞王莉

高中数学排列组合难题十一种方法

高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = C 14A 34C 13 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

高中数学回归课本(三角函数)

回归课本(五)三角函数 一．考试内容： 角的概念的推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线. 同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式. 两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切. 正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数. 函数sin()y x ω?=+的图像.正切函数的图像和性质. 已知三角函数值求角. 正弦定理.余弦定理.斜三角形解法. 二．考试要求： (1)理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算. (2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.掌握同角三角函数的基本关系式.掌握正弦、余弦的诱导公式.了解周期函数与最小正周期的意义. (3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. (4)能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明. (5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(鵻+)的简图，理解A, ,的物理意义. (6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x 、arccos x 、arctanx 表示. (7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角 【注意】近年的高考题中，三角函数主要考查基础知识、基本技能、基本方 法，一般都在选择题与填空题中考查，多为容易或中等难度的题目.其中，同角三角函数的 基本公式和诱导公式，三角函数的图像和性质，求三角函数式的值等为考查热点. 三．基础知识: 1．常见三角不等式 （1）若(0,)2 x π ∈，则sin tan x x x <<. (2) 若(0, )2 x π ∈ ，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥. 2.同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=，tan θ= θ θ cos sin ，tan 1cot θθ?=. 3.正弦、余弦的诱导公式 21 2(1)sin ,sin()2(1)s , n n n co απαα-? -?+=??-? 2 1 2(1s ,s ()2(1)s i n ,n n co n co απαα+? -?+=??-? 4.和角与差角公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±=. 22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-. sin cos a b αα+ )α?+(辅助角?所在象限由点(,)a b 的 象限决定,tan b a ?= ). 5.二倍角公式 sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-. 2 2tan tan 21tan α αα =-. 6. 三倍角公式 3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33 ππ θθθθθθ=-=-+.

高二数学知识点：排列与组合

高二数学知识点：排列与组合 排列组合公式/排列组合计算公式 排列P------和顺序有关 组合C-------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序，组合不分 例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法."排列" 把5本书分给3个人，有几种分法"组合" 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示. p(n，m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n，m)表示. c(n，m)=p(n，m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n，m)=c(n，n-m); 3.其他排列与组合公式

从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n，r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这n 个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m). 排列(Pnm(n为下标，m为上标)) Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符 号);Pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标，m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标)=1;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m 2019-07-0813：30 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。N-元素的总个数R参与选择的元素个数!-阶乘，如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r 举例： Q1：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数?

高中数学-排列组合解法大全

排列组合解法大全 复习巩固 1.分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n类办法，在第 1类办法中有m1种不同的方法，在第 2 类办法中有m2种不同的方法，?，在第n 类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第 1步有m1种不同的方法，做第 2步有m2种不同的方法，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 : 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时进行 , 确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题, 元素总数是多少及取出多少个元素 . 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一. 特殊元素和特殊位置优先策略 例 1. 由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解: 由于末位和首位有特殊要求 , 应该优先安排 , 以免不合要求的元素占了这两个位置 . 先排末位共有C13 然后排首位共有C14 最后排其它位置共有A43 由分步计数原理得C41C13A43 288 练习题 :7 种不同的花种在排成一列的花盆里 , 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二. 相邻元素捆绑策略 例 2. 7 人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻 , 共有多少种不同的排法 . 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素部进行自排。由分步计数原理可得共有A55A22A22480种不同的排法 练习题 : 某人射击 8 枪，命中 4 枪， 4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为20

高中数学回归课本的100问

回归课本的100个问题 1．区分集合中元素的形式：如：{}|lg x y x =—函数的定义域；{}|lg y y x =—函数的值域；{}(,)|lg x y y x =—函数图象上的点集。 2．在应用条件A ∪B ＝Ｂ?A ∩B ＝Ａ?ＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况． 3，含n 个元素的集合的子集个数为2n ,真子集个数为2n －1;如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 （答：7） 4、C U (A ∩B)=C U A ∪C U B; C U (A ∪B)=C U A ∩C U B;card(A ∪B)=? 5、A ∩B=A ?A ∪B=B ?A ?B ?C U B ?C U A ?A ∩C U B=??C U A ∪B=U 6、注意命题p q ?的否定与它的否命题的区别: 命题p q ?的否定是p q ??；否命题是p q ???；命题“p 或q ”的否定是“┐P 且┐Q”，“p 且q ”的否定是“┐P 或┐Q” 7、指数式、对数式： m n a =，1m n m n a a -=，，0 1a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，log (0,1,0)b a a N N b a a N =?=>≠>，log a N a N =。 8、二次函数①三种形式:一般式f(x)=ax 2+bx+c(轴-b/2a,a ≠0,顶点?);顶点f(x)=a(x-h)2 +k;零点式 f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(轴?);b=0偶函数;③区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; b ＝ （答：2） ; 910递减，在时)0,[],0(,0a a a -> 1112 13 14定义域含零的奇函数过原点 15()y f x =必是周期函数，且一周期为 T 期为a 的周期函数”：①函数()f x 满足 f -1 )(0)() a f x =≠恒成立，则2T a =；③若1 ()(0)() f x a a f x +=- ≠恒成立，则2T a =. 16、函数的对称性。①满足条件()()f x a f b x +=-的函数的图象关于直线2 a b x += 对称。（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）反比例函数:)0x (x c y ≠=平移?b x c a y -+ =(中心为(b,a)) 17.反函数:①函数存在反函数的条件一一映射；②奇函数若有反函数则反函数是奇函数③周期函数、定义域为非单

高中数学新人教版回归教材2-1

2014届高三数学回归教材（选修2-1） 一、知识网络 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.2 充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联结词 1.4 全称量词与存在量词 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法 二、习题重温 1.（P8）证明：若03422 2 ≠--+-b a b a ，则1≠-b a . 2.（P12-3）下列各题中，q p 是的什么条件？ （1）11:,1:-= -=x x q x p ； （2）51:,3|2:|≤≤-≤-x q x p ； （3）x x q x p -=-=33:,2:； （4）:p 三角形是等边三角形，:q 三角形是等腰三角形. 3.（P 27-3）写出下列命题的否定： （1）2 3,x x N x >∈?； （2）所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； （3）01,02 00≤+-∈?x x R x ； （4）存在一个四边形，它的对角线相互垂直.

4.（P31-1）在一次射击训练中，某战士连续射击了两次.设命题p 是“第一次射击击中目标”， q 是“第二次射击击中目标”.试用q p ,以及逻辑联结词“或”“且”“非”（或?∧∨,,）表示下列命题： （1）两次都击中目标； （2）两次都没有击中目标. 5.（P42-4）点A 、B 的坐标分别是)0,1(-，)0,1(，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？为什么？ 6.①（P48-5）比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？ （1）112 163692 22 2 =+=+y x y x 与 ； （2）110 63692 22 2 =+=+y x y x 与 . ②（P72-2）在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中x 的系数有怎样的关系： （1）x y 2 12 =；（2）x y =2；（3）x y 22=；（4）x y 42=. 7.（P49-8）已知椭圆 19 422=+y x ，一组平行直线的斜率是23. （1）这组直线何时与椭圆相交？ （2）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上.

(完整)高中数学知识点：线性回归方程,推荐文档

高中数学知识点：线性回归方程 1.回归直线方程 （1）回归直线：观察散点图的特征，发现各个大致分布在通过散点图中心的一条直线附近。如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。求出的回归直线方程简称回归方程。 2．回归直线方程的求法 设与n 个观测点（,i i x y ）()1,2,,i n =???最接近的直线方程为$ ,y bx a =+，其中a 、b 是待定系数. 则$,(1,2,,)i i y bx a i n =+=L .于是得到各个偏差 μ(),(1,2,,)i i i i y y y bx a i n -=-+=L . 显见，偏差$i i y y -的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵 消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n 个偏差的平方和. 2222211)()()(a bx y a bx y a bx y Q n n --++--+--=Λ 表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度. 记21()n i i i Q y bx a ==--∑. 上述式子展开后，是一个关于a 、b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的a 、b 的值.即 1122211()()()n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====?---??==??--??=-??∑∑∑∑， ∑==n i i x n x 11，∑==n i i y n y 11

相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析 上述求回归直线的方法是使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法，叫做最小二乘法。 要点诠释： 1.对回归直线方程只要求会运用它进行具体计算a、b，求出回归直线方程即可.不要求掌握回归直线方程的推导过程. 2.求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义.否则，求出的回归直线方程毫无意义.因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性. 3.求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a、b，由于求a、b的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误. 4.回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用.应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充.因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识.

(完整)高中数学排列组合专题复习

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m种不同的方法，在第2类 1 办法中有 m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同的方法，那么2 完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m种不同的方法，做第2步 1 有 m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么完成这件事共2 有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 两个位置.

高中生物必修一二三册回归课本资源

高中生物必修一、二、三册回归课本 一、教材科学史 1、人教版必修一册 细胞学说的建立过程（10页）细胞核的功能探究（52页） 对生物膜结构的探究历程（65页）关于酶本质的探索（81页） 光合作用的探究历程（101页） 2、人教版必修二册 对遗传物质的早期推测（42页） 3、人教版必修三册 促胰液素的发现（23页）生长素的发现历程（46页） 二、重要概念 1、人教版必修一册 单体：多糖、蛋白质、核酸等都是生物大分子，都是由许多基本的组成单位连接而成的，这些基本单位称为单体。 多聚体：每一个单体都以若干个相连的碳原子构成的碳链为基本骨架，由许多单体连接成多聚体。 生物膜系统：这些细胞器膜和细胞膜、核膜等结构，共同构成细胞的生物膜系统。 原生质层：细胞膜和液泡膜以及两层膜之间的细胞质。 活化能：分子从常态转变为容易发生化学反应的活跃状态所需要的能量称为活化能。 酶：是活细胞产生的具有催化作用的有机物，其中绝大多数是蛋白质，少数是RNA。 化能合成作用：自然界中的少数种类细菌，，虽然细胞内没有叶绿素，不能进行光合作用，但是能够利用体外环境中的某些无机物氧化分解时所释放的能量来制造有机物，这种合成作用加化能合成作用细胞周期：即连续分裂的细胞，从一次分裂完成时开始，到下一次分裂完成时为止，为一个细胞周期。无丝分裂：分裂过程中没有出现纺锤体和染色体的变化，所以叫无丝分裂。 细胞分化：在个体发育过程中，由一个或一种细胞增值产生的后代，在形态、结构和生理功能上发生稳定性差异的过程，叫做细胞分化。 细胞的全能性：是指已经分化的细胞，仍然具有发育成完整个体的潜能。 癌细胞：有的细胞受到致癌因子的作用，细胞中遗传物质发生变化，就变成不受机体控制的、连续进行分裂的恶性增殖细胞，这种细胞就是癌细胞。 2、人教版必修二册 联会：同源染色体两两配对的现象叫做联会。 四分体：联会后的每对同源染色体含有四条染色单体。 DNA的多样性:遗传信息蕴藏在4种碱基的排列顺序之中，碱基排列顺序的千变万化，构成可DNA分子的多样性。 DNA的特异性：碱基的特定排列顺序，又构成了每一个DNA分子的特异性。 转绿：RNA是在细胞核中，以DNA的一条链为模板合成的，这一过程称为转录 翻译：游离在细胞质中的各种氨基酸，就以mRNA为模板合成具有一定氨基酸顺序的蛋白质，这一过程叫做翻译。 基因突变：DNA分子中发生碱基对的替换、增添和缺失，而引起的基因结构的改变，加基因突变。染色体组：细胞中的一组非同源染色体，在形态和功能上各不相同，但又相互协调，共同控制生物的生长、发育、遗传和变异，这样的一组染色体，叫做一个染色体组。 人类遗传病：通常是指由于遗传物质改变而引起的人类疾病，主要可以分为单基因遗传病、多基因遗传病和染色体异常遗传病。 基因库：一个种群中全部个体所含有的全部基因，叫做这个种群的基因库。 物种：能够在自然状态下相互交配并且产生可育后代的一群生物称为一个物种。 生殖隔离：不同物种之间一般是不能相互交配的，即使交配成功，也不能产生可育的后代，这种现象叫做生殖隔离。 共同进化：不同物种之间、生物与无机环境之间在相互影响中不断进化和发展，这就是共同进化。3、人教版必修三册 渗透压：是指溶液中溶质微粒对水的吸引力，溶质微粒越多，溶液浓度越高，渗透压越高。血浆的渗透压大小主要与无机盐和蛋白质的含量有关。 稳态：正常机体通过调节作用，使各个器官、系统协调活动，共同维持内环境的相对稳定状态叫做稳态。 反馈调节：在一个系统中，系统本身工作的效果，反过来又作为信息调节该系统的工作，这种调节方式叫做反馈调节。 自生免疫病：是由于免疫系统异常敏感，反应过度，?敌我不分?地将自身物质当做外来异物进行攻击而引起的，这类疾病就是自身免疫病。 植物激素：由植物体内产生，能从产生部位运送到作用部位，对植物的生长发育有显着影响的微量有机物，称为植物激素。 植物生长调节剂：人工合成的对植物的生长发育有调节作用的化学物质称为植物生长调节剂。 种群密度：在单位面积或单位体积中的个体数就是种群密度，种群密度是种群的最基本的数量特征。出生率：是指在单位时间内新产生的个体数目占该种群个体总数的比率 死亡率：是指在单位时间内死亡的个体数目占该种群个体总数的比率 丰富度：群落中物种数目的多少称为丰富度。 初生演替：是指在一个从来没有被植物覆盖的地面，或者是原来存在过植被，但被彻底消灭的地方发生的演替。 次生演替:是指在原有植被虽已不存在，但原有土壤条件基本保留，甚至还保留了植物的种子或其他繁殖体的地方发生的演替。 能量流动：生态系统中能量的输入、传递、转化和散失的过程，称为生态系统的能量流动。 物质循环：组成生物体的C、H、O、N、P、S等元素，都不断进行着从无机环境到生物群落，又从生物群落到无机环境的循环过程，这就是生态系统的物质循环。 生态系统的稳定性：生态系统所具有的保持或恢复自身结构和功能相对稳定的能力，叫做生态系统的稳定性。 生物多样性：生物圈内所有的植物、动物和微生物，它们所拥有的全部基因以及各种各样的生态系统，共同构成了生物多样性。 三、与生产和生活有关 育种方法比较其他植物激素的作用光合作用/细胞呼吸的应用 质壁分离的应用信息传递的应用

高中数学：排列与组合练习

高中数学:排列与组合练习 1．(昆明质检)互不相同的5盆菊花,其中2盆为白色,2盆为黄色,1盆为红色,先要摆成一排,要求红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,共有摆放方法(D) A．A55种B．A22种 C．A24A22种D．C12C12A22A22种 解析:红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,即红色菊花两边各一盆白色菊花,一盆黄色菊花,共有C12C12A22A22种摆放方法． 2．(广州测试)某学校获得5个高校自主招生推荐名额,其中甲大学2个,乙大学2个,丙大学1个,并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加,学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象,则不同的推荐方法共有(B) A．36种B．24种 C．22种D．20种 解析:根据题意,分两种情况讨论:第一种,3名男生每个大学各推荐1人,2名女生分别推荐给甲大学和乙大学,共有A33A22＝12种推荐方法；第二种,将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学,共有C23A22A22＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法,选B. 3．(广东珠海模拟)将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有(C) A．480种B．360种 C．240种D．120种 解析:根据题意,将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则必须有2个小球放入1个盒子,其余的小球各单独放入一个盒子,分2步进行分析:①先将5个小球分成4组,有C25＝10种分法；②将分好的4组全排列,放入4个盒子,有A44＝24种情况,则不同放法有10×24＝240种．故选C. 4．某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为(C) A．16 B．18

高中数学 选修 非线性回归模型

2.非线性回归模型 教学目标 班级____姓名________ 1.进一步体会回归分析的基本思想. 2.通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度. 教学过程 一、非线性回归模型. 非线性回归分析的步骤：（1）确定研究对象；（2）采集数据；（3）作散点图；（4）选取函数模型，并转化成线性回归模型，并转化数据；（5）求线性回归方程；（6）建线性回归模型，求残差，画残差图；（7）求2R ，刻画拟合效果. 二、例题分析. 例1：研究红铃虫产卵数与温度的关系. （例见教科书2P ） 1.确定研究对象：红铃虫产卵数与温度的关系. 2.采集数据： 3.作散点图： 4.选取函数模型，并转化成线性回归模型，并转化数据： （1）根据样本点的变化趋势，选取函 数模型：x c e c y 21=（指数函数模 型）； （2）令y z ln =，将指数函数 模型转化成一次函数模型a bx z +=（1ln c a =，2c b =）； （3）数据转化： （4）新散点图： 5.求线性回归方程： 温度C x ο/ 21 23 25 27 29 32 35 产卵数/y 个 7 11 21 24 66 115 325 21 23 25 27 29 32 35 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784

运用公式求得272.0?=b ，849.3?=a ，线性回归方程为849.3272.0?-=x z ， 而红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为849.3272.0)1(?-=x e y . 6.建线性回归模型，求残差，画残差图； 残差849.3272.0)1() 1(??--=-=i x i i i i e y y y e 7.求2R ，刻画拟合效果. 注意事项： （1）根据样本点的变化趋势，选取函数模型时，可能的选择不止一个； （2）本例可选取二次函数模型423c x c y +=， （3）令2x t =，将二次函数模型转化成一次函数模型43c t c y +=； （4）不同模型拟合效果不同，可根据2R 来判断，2R 越大，拟合效果越好. 作业：为了研究某种细菌随时间x 变化时，繁殖个数y 的变化，收集数据如下： 天数x /天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y / 个 6 12 25 49 95 190 （1）用天数x 作解释变量，繁殖个数y 作预报变量，作出这些数据的散点图； （2）描述解释变量x 与预报变量y 之间的关系； （3）计算相关指数 2R .

人教版高中数学(理科)选修线性回归(一)

线性回归（一） 教学目的： 1 了解相关关系、回归分析、散点图的概念 2．明确事物间是相互联系的，了解非确定性关系中两个变量的统计方法；掌握散点图的画法及在统计中的作用，掌握回归直线方程的求解方法 3．会求回归直线方程 教学重点：散点图的画法，回归直线方程的求解方法 教学难点：回归直线方程的求解方法 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 客观事物是相互联系的过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度所以说，函数关系存在着一种确定性关系但还存在着另一种非确定性关系——相关关系 二、讲解新课： 1．相关关系的概念 当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系 相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，函数关系是两个非随机变量之间的关系，是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，所以相关关系与函数关系不同，其变量具有随机性，因此相关关系是一种非确定性关系（有因果关系，也有伴随关系）.因此，相关关系与函数关系的异同点如下： 相同点：均是指两个变量的关系 不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系． 2．回归分析： 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性 3．散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.散点图形象地反映了各对数据的密切程度粗略地看，散点分布具有一定的规律 4. 回归直线 设所求的直线方程为,^ a bx y +=，其中a 、 b 是待定系数． 则),,2,1(,^ n i a bx y i i =+= ．于是得到各个偏差 ),,2,1(),(^ n i a bx y y y i i i i =+-=-. 显见，偏差i i y y ^ -的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n 个偏差的平方和． 2222211)()()(a bx y a bx y a bx y Q n n --++--+--= 表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度．

高中数学回归课本(集合)

回归课本(二)集合、简易逻辑 一.考试内容：集合.子集.补集.交集.并集.逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件. 二.考试要求： (1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.了解空集和全集的 意义.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合. (2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.理解四种命题及其相互关系.掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义. 【注意】近年的高考题中，集合的考查通常以两种方式出现：①考查集合的概念、集合的关系、集合的运算；②在考查其他部分内容时涉及到集合的知识.很少有正面考查逻辑的内容.逻辑与充要条件的知识往往是和其他知识结合起来考查. 三.基础回顾: 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I . 3.包含关系 A B A A B B =?=I U U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦI U C A B R ?=U 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+-U I ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-U U I ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+I I I I I 5．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非 空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.真值表 7. 8. 9.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 四.基本方法和数学思想 1.必须弄清集合的元素是什么，是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是

高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识

高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取mm≤n个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 pn,m表示. pn,m=nn-1n-2……n-m+1= n!/n-m!规定0!=1. 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取mm≤n个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 cn,m 表示. cn,m=pn,m/m!=n!/n-m!*m!;cn,m=cn,n-m; 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=pn,r/r=n!/rn-r!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/n1!*n2!*...*nk!. k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为cm+k-1,m. 排列Pnmn为下标，m为上标 Pnm=n×n-1....n-m+1;Pnm=n!/n-m!注：!是阶乘符号;Pnn两个n分别为上标和下标=n!;0!=1;Pn1n为下标1为上标=n 组合Cnmn为下标，m为上标 Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!n-m!;Cnn两个n分别为上标和下标 =1 ;Cn1n为下标1为上标=n;Cnm=Cnn-m 加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。 两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。 排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。

高中数学 3.1回归分析(一)教案 北师大选修2-3

3.1 回归分析 教学目标 （1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因； （2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法； （3）能求出简单实际问题的线性回归方程． 教学重点，难点 线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法． 教学过程 一．问题情境 1． 情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据，试估计当 时刻x /s 1 2 3 4 5 6 7 8 位置观测值y /cm 5.54 7.52 10.02 11.73 15.69 1 6.12 16.98 21.06 根据《数学（必修）》中的有关内容，解决这个问题的方法是： 先作散点图，如下图所示： 从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间x 与位置观测值y 之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数公式， 1 221()n i i i n i i x y nx y b x n x a y bx ==? -? ?=??-??=-??∑∑ 可以得到线性回归方为$3.5361 2.1214y x =+，所以当9x =时，由线性回归方程可以估计其位置值为$22.6287y = 2．问题：在时刻9x =时，质点的运动位置一定是22.6287cm 吗？ 二．学生活动 思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映x 与y 之间的关系，y 的值不能由x 完全确定，它们之间是统计相关关系，y 的实际值与估计值之间存在着误差． 三．建构数学 1．线性回归模型的定义： 我们将用于估计y 值的线性函数a bx +作为确定性函数； y 的实际值与估计值之间的误差记为ε，称之为随机误差； 将y a bx ε=++称为线性回归模型．

高中数学回归课本(直线与圆的方程)

回归课本(七)直线与圆的参数方程 一．考试内容： 直线的倾斜角和斜率.直线方程的点斜式和两点式.直线方程的一般式. 两条直线平行与垂直的条件.两条直线的交角.点到直线的距离. 用二元一次不等式表示平面区域.简单的线性规划问题. 曲线与方程的概念.由已知条件列出曲线方程. 圆的标准方程和一般方程.了解参数方程的概念.圆的参数方程. 二．考试要求： (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.掌握 直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程. (2)掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. (3)了解二元一次不等式表示平面区域. (4)了解线性规划的意义，并会简单的应用. (5)了解解析几何的基本思想，了解坐标法. (6)掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数 方程. 【注意】本部分内容在高考中主要考查两个类型的问题：①基本概念和求直线方程；②直线与圆的位置关系等综合性试题. 求解有时还要用到平几的基本知．．．．．．识和向量的基本方法．．．．．．．．． 三．基础知识: 1.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 11 2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、 222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 2..两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠;②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①111 12222 ||A B C l l A B C ?=≠ ；②1212120l l A A B B ⊥?+=； 3.夹角公式 (1)21 21 tan | |1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12 21 1212 tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2 π. 4. 1l 到2l 的角公式 (1)21 21 tan 1k k k k α-= +. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)1221 1212 tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是 2 π. 5．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为 00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,) P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线 1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为 111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．