最新高中数学回归课本(三角函数)
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回归课本(五)三角函数
一．考试内容：
角的概念的推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线. 同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.
两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切. 正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.
函数sin()y x ω?=+的图像.正切函数的图像和性质. 已知三角函数值求角.
正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.
二．考试要求：
(1)理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.
(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.掌握同角三角函数的基本关系式.掌握正弦、余弦的诱导公式.了解周期函数与最小正周期的意义.
(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
(4)能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明. (5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(鵻+)的简图，理解A, ,的物理意义. (6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x 、arccos x 、arctanx 表示. (7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角 【注意】近年的高考题中，三角函数主要考查基础知识、基本技能、基本方 法，一般都在选择题与填空题中考查，多为容易或中等难度的题目.其中，同角三角函数的 基本公式和诱导公式，三角函数的图像和性质，求三角函数式的值等为考查热点.
三．基础知识:
1．常见三角不等式 （1）若(0,)2
x π
∈，则sin tan x x x <<.
(2) 若(0,
)2
x π
∈
，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.
2.同角三角函数的基本关系式
22sin cos 1θθ+=，tan θ=
θ
θ
cos sin ，tan 1cot θθ?=. 3.正弦、余弦的诱导公式
21
2(1)sin ,sin()2(1)s ,
n
n n co απαα-?
-?+=??-?
2
1
2(1)s ,s ()2(1)s i n ,n
n co n co απαα+?
-?+=??-?
4.和角与差角公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;
cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=.
22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.
sin cos a b αα+
)α?+(辅助角?所在象限由点(,)a b 的
象限决定,tan b
a
?= ).
5.二倍角公式
sin 2sin cos ααα=.
2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.
2
2tan tan 21tan α
αα
=-. 6. 三倍角公式
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3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33
ππ
θθθθθθ=-=-+.
3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33
ππ
θθθθθθ=-=-+.
323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33
θθππ
θθθθθ-==-+-.
7.三角函数的周期公式 函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T π
ω
=
；函数t a n ()
y x ω?=+，,
x k k Z π
π≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T π
=.
8.正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===. 9.余弦定理
2222cos a b c bc A =+-;
2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.
10.面积定理
（1）111
222a b c S ah bh ch =
==（a b c h h h 、、分别表示a 、
b 、
c 边上的高）. （2）111
sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.
(3)OAB S ?=11.三角形内角和定理
在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+
222
C A B π+?
=-222()C A B π?=-+. 四．基本方法和数学思想
1.三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦；
2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；
3.记住同角三角函数的基本关系，熟练掌握三角函数的定义、图像、性质；
4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于1800，一般用正余弦定理实施边角互化；
5.正弦型函数)sin(φω+=x A y 的对称轴为)(2Z k k x ∈-+=ωφ
ππ；对称中心为))(0,(
Z k k ∈-ω
φ
π；类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心；
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6.（1）正弦平方差公式：sin 2A －sin 2B=sin(A+B)sin(A －B);（2）三角形的内切圆半径r=c
b a S ABC ++?2；（3）三角形的外接圆直径2R=
;sin sin sin C
c
B b A a
== 五．高考题回顾
1.（天津卷）函数
),2
,0)(sin(R x x A y ∈π
<
?>ω?+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）
（A ）)48sin(
4π+π-=x y （B ）)48sin(4π-π=x y （C ）)48sin(4π-π-=x y （D ）)4
8sin(4π
+π=x y
2. （江西卷）设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为
A ．周期函数，最小正周期为32π
B ．周期函数，最小正周期为3
π
C ．周期函数，数小正周期为π2
D ．非周期函数
3.（04年天津卷.理9）函数]),0[()26
sin(2ππ
∈-=x x y 为增函数的区间是
A. ]3,
0[π
B. ]127,12[ππ
C. ]6
5,3[π
π D. ],65[ππ 4. （山东卷）已知函数)12
cos()12sin(π
-π-
=x x y ，则下列判断正确的是 （A ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,12(π
（B ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,12(π
（C ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,6(π
（D ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,6(π
5. (天津卷）要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数
)4
2sin(2π
+=x y 的图象上所有的点的
(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π
个单位长度
(B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4
π
个单位长度
(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π
个单位长度
(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8
π
个单位长度
6. .（江西卷）在△OAB 中，O 为坐标原点，]2
,0(),1,(sin ),cos ,1(π
θθθ∈B A ，
则当△OAB 的面积达最大值时，=θA ．6πB ．4πC ．3π D ．2π
7.（全国卷Ⅰ）当2
0π
< 为 （A ）2 （B ）32 （C ）4 （D ）34 8. 锐角三角形的内角A 、B 满足tan A - A 2sin 1 = tan B,则有 （A ）sin 2A –cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0(C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 0 9. 设02x π≤≤, sin cos x x =-,则 (A) 0x π≤≤ (B) 744x ππ≤≤ (C) 544x ππ≤≤ (D) 322 x ππ ≤≤ 10. 若∈<<=+απ αααα则),2 0(tan cos sin A ．)6, 0(π B ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2 ,3(π π 11. (湖南卷）设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b]上的面 精品文档 积，已知函数y ＝sinn x 在[0，n π ]上的面积为n 2（n ∈N * ），（i ）y ＝sin3x 在[0,3 2π]上的面积为 ；（ii ）y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，3 4π]上的面积为 六.课本中习题归纳 一、任意角的三角函数 1 已知α是锐角,则2α是 ( ) A,第一象限角 B, 第二象限角 C,小于0 180的正角 D,不大于直角的正角 2 已知α是钝角,则2 α 是 ( ) A, 第四象限角 B, 第二象限角 C, 第一、三象限角 D, 锐角 3 已知α是第二象限角, 则 2 α 是 ( ) A, 第一象限角 B, 第一、三象限角 C, 第二、四象限角 D, 锐角 4 设()f x 为偶函数,且(0,1)x ∈时,()2f x x =-+,则列说法正确的是 A,0 (0.5)(30)f f < B,0 (sin 0.5)(sin 30)f f < C,(sin1)(cos1)f f < D,(sin 2)(cos 2)f f > 5 角θ为第一或第二象限角的充要条件是 ( ) A,sin 0θ> B,|sin |sin θθ= C,cos tan 0θθ> D,θ为锐角或钝角 6 已知4sin =5 α,则 cos α= ,tan α= ,cot α= ,sec α= , 7 已知8 cos α=-,则sin =α ,tan α= . 8 已知t a n 3α=,则sin =α , cos α= , cot α= , 9 下列等式不正确的是 ( ) A,cos 1sin 1sin cos αααα += - B,4222 sin sin cos cos 1αααα++= C,2 2 2 2 tan sin tan sin αααα-= D, 1sin cos tan 1cos sin 2 ααα αα+-=++ 10 已知tan 2α=，则sin cos sin cos αα αα+- 。 11 化简（1 = ，（2= 。 12 化简: sin(2)cos()cos(180)sin(3)sin() 2 παπαπ απαα-+----= 二、两角和与差的正弦、余弦、正切。二倍角的正弦、余弦、正切。 1 已知2s i n 3α=，(,)2παπ∈，3cos 4β=-，3(,)2 πβπ∈，则s i n () αβ-= 。cos()αβ+= ，tan()αβ+= 。 2已知一元二次方程2 0(0,)ax bx c a a c ++=≠≠,的两个根为tan ,tan ,αβ则tan( )αβ+= . 3 当[, ]2 x o π ∈,函数()cos f x x x =的值域是 . 4已知当[,]22 x ππ ∈- 时, 函数()cos sin f x x a x =+的最小值为0,则a 的取 值范围是 . 5下列说法不正确的是 ( ) 精品文档 A, 2 2 sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=- B,2222 tan tan tan()tan()1tan tan x y x y x y x y -+-=- C,22 cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=- D,sin()cos()sin cos sin cos αβαβααββ+-=+ 6.(1)0 tan15= , (2)0 tan 20tan 4020tan 40++= . 7 已知 4cos()5αβ-=-,4cos()5αβ+=,(,)2παβπ-∈,3(,2)2 π αβπ+∈, 则cos2α= ,cos 2β= ,tan 2β= . 8 已知锐角α,β满足1c o s 7α=,11 cos()14 αβ+=-,则 cos β= . 9 已知1sin sin 3αβ-=-,1 cos cos 2αβ-=,则cos()αβ-= . 10 已知5sin 13α=,(,)2 π απ∈,则sin 2α= ，cos2α= ， tan 2α= 。 11 “4 A B π+= ”是“(1tan )(1tan )2A B ++=”的 条件。 12 已知1tan 3 α=- ，则2 2sin cos cos ααα+= 。 13 已知2sin()3αβ+=，1 sin()5 αβ-=，则 tan tan αβ= 。 三、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 1（1）函数cos y x =的最小正周期是 。（2）函数2 sin y x =的最小正周期是 ，（3）函数3 cos y x =的最小正周期是 。 2 当x = 时，函数cos 1y x =+有最大值 。 3 （1）函数3sin 4 x y =的周期是 ，（2）函数tan 2y x =的周期是 。 4 函数cos y x =-的单调递减区间是 ，函数sin 2x y =的单调递增区 间是 。 5 函数cos()2 y x π =+ ，x R ∈， （ ） A ，是偶函数 B ，是奇函数 C ，不是奇函数也不是偶函数 D ，有无奇偶性不能确定 6 （1） 不等式sin x ≥的解集是 ，（2） 2cos 20x ≥的解集是 。 （3）不等式1tan 03 x +≥的解集是 ， （4 ）不等式tan x ≥是 。 7（1）若x 满足sin x = ，则x = ， （2）若锐角α满足tan 2α=，则α= 。 8 函数lg cos(2) 3tan 1 x y x π -= -的定义域是 。 9 将函数3sin()5 y x π =+ 的图象经过怎样的（或平移或伸缩或对称）变换， 可得到下列函数的图象？ （1）sin y x = （2）cos y x = （3）3sin()5 y x π =- （4）3sin(2)5y x π=+ （5）4sin()5y x π =+ 10 已知函数22 ()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈ （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调区间及最值； 精品文档 （3）函数()f x 的图象可由函数2y x =，x R ∈的图象经过怎样的变 换得到？ 高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa 第一章统计案例 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一） 第一课时 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 指数和残差分析. 教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？ 2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报. 二、讲授新课： 1. 教学例题： ①例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 165 165 157 170 175 165 155 170 身高 /cm 体重 48 57 50 54 64 61 43 59 /kg 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重. （分析思路→教师演示→学生整理） 第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算 ②提问：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？ 不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右. ③解释线性回归模型与一次函数的不同 事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一=+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身次函数y bx a 高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e（即 =++，其中残差残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e 变量e中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义. 3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同. 备课人：张颖岳新霞王莉 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21 [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π -a) = cosa cos(2π -a) = sina sin(2π +a) = cosa cos(2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 三角函数公式大全关系： 倒数 tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式 （sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ） 坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角），那么 i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦： sin α=∠α的对边/∠α的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义 图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 r ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3.1 倍角公式 3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式 证明过程 首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式） 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式） 将正弦的和角、差角公式相加，得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一） 同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是 2.非线性回归模型 教学目标 班级____姓名________ 1.进一步体会回归分析的基本思想. 2.通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度. 教学过程 一、非线性回归模型. 非线性回归分析的步骤：（1）确定研究对象；（2）采集数据；（3）作散点图；（4）选取函数模型，并转化成线性回归模型，并转化数据；（5）求线性回归方程；（6）建线性回归模型，求残差，画残差图；（7）求2R ，刻画拟合效果. 二、例题分析. 例1：研究红铃虫产卵数与温度的关系. （例见教科书2P ） 1.确定研究对象：红铃虫产卵数与温度的关系. 2.采集数据： 3.作散点图： 4.选取函数模型，并转化成线性回归模型，并转化数据： （1）根据样本点的变化趋势，选取函 数模型：x c e c y 21=（指数函数模 型）； （2）令y z ln =，将指数函数 模型转化成一次函数模型a bx z +=（1ln c a =，2c b =）； （3）数据转化： （4）新散点图： 5.求线性回归方程： 温度C x ο/ 21 23 25 27 29 32 35 产卵数/y 个 7 11 21 24 66 115 325 21 23 25 27 29 32 35 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 运用公式求得272.0?=b ，849.3?=a ，线性回归方程为849.3272.0?-=x z ， 而红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为849.3272.0)1(?-=x e y . 6.建线性回归模型，求残差，画残差图； 残差849.3272.0)1() 1(??--=-=i x i i i i e y y y e 7.求2R ，刻画拟合效果. 注意事项： （1）根据样本点的变化趋势，选取函数模型时，可能的选择不止一个； （2）本例可选取二次函数模型423c x c y +=， （3）令2x t =，将二次函数模型转化成一次函数模型43c t c y +=； （4）不同模型拟合效果不同，可根据2R 来判断，2R 越大，拟合效果越好. 作业：为了研究某种细菌随时间x 变化时，繁殖个数y 的变化，收集数据如下： 天数x /天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y / 个 6 12 25 49 95 190 （1）用天数x 作解释变量，繁殖个数y 作预报变量，作出这些数据的散点图； （2）描述解释变量x 与预报变量y 之间的关系； （3）计算相关指数 2R . 定义式 ） ct 函数关系 倒数关系：；； 商数关系：；． 平方关系：；；．诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作 锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用： 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A -cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式：sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 3.1 回归分析 教学目标 （1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因； （2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法； （3）能求出简单实际问题的线性回归方程． 教学重点，难点 线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法． 教学过程 一．问题情境 1． 情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据，试估计当 时刻x /s 1 2 3 4 5 6 7 8 位置观测值y /cm 5.54 7.52 10.02 11.73 15.69 1 6.12 16.98 21.06 根据《数学（必修）》中的有关内容，解决这个问题的方法是： 先作散点图，如下图所示： 从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间x 与位置观测值y 之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数公式， 1 221()n i i i n i i x y nx y b x n x a y bx ==? -? ?=??-??=-??∑∑ 可以得到线性回归方为$3.5361 2.1214y x =+，所以当9x =时，由线性回归方程可以估计其位置值为$22.6287y = 2．问题：在时刻9x =时，质点的运动位置一定是22.6287cm 吗？ 二．学生活动 思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映x 与y 之间的关系，y 的值不能由x 完全确定，它们之间是统计相关关系，y 的实际值与估计值之间存在着误差． 三．建构数学 1．线性回归模型的定义： 我们将用于估计y 值的线性函数a bx +作为确定性函数； y 的实际值与估计值之间的误差记为ε，称之为随机误差； 将y a bx ε=++称为线性回归模型． 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|ο ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180|οοββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 三角函数计算公式大全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 三角函数公式 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 定义式 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直角三角形 任意角三角函数 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan或t g） 余切（cot或ct g） 正割（sec） 余割（csc） 表格参考资料来源：现代汉语词典[1]． 函数关系 倒数关系：①；②；③ 商数关系：①；②． 平方关系：①；②；③． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限[2]．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： §3.2 回归分析(1) 教学目标 （1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因； （2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法； （3）能求出简单实际问题的线性回归方程． 教学重点，难点 线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法． 教学过程 一．问题情境 1． 情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据，试估计当 根据《数学（必修）》中的有关内容，解决这个问题的方法是： 先作散点图，如下图所示： 从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间x 与位置观测值y 之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据 线性回归的系数公式， 1 221()n i i i n i i x y nx y b x n x a y bx ==? -? ?=??-??=-??∑∑ 可以得到线性回归方为 3.5361 2.1214y x =+，所以当9x =时，由线性回归方程可以估计其位置值为22.6287y = 2．问题：在时刻9x =时，质点的运动位置一定是22.6287cm 吗？ 二．学生活动 思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映x 与y 之间的关系，y 的值不能由x 完全确定，它们之间是统计相关关系，y 的实际值与估计值之间存在着误差． 三．建构数学 1．线性回归模型的定义： 我们将用于估计y 值的线性函数a bx +作为确定性函数； y 的实际值与估计值之间的误差记为ε，称之为随机误差； 将y a bx ε=++称为线性回归模型． 说明：（1）产生随机误差的主要原因有： ①所用的确定性函数不恰当引起的误差； ②忽略了某些因素的影响； ③存在观测误差． （2）对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题： ①模型是否合理（这个问题在下一节课解决）； ②在模型合理的情况下，如何估计a ，b ？ 2．探求线性回归系数的最佳估计值： 对于问题②，设有n 对观测数据(,)i i x y (1,2,3, ,)i n =，根据线性回归模型，对于 每一个i x ，对应的随机误差项()i i i y a bx ε=-+，我们希望总误差越小越好，即要使 2 1 n i i ε =∑越小越好．所以，只要求出使2 1 (,)() n i i i Q y x αββα== --∑取得最小值时的α，β值作 为a ，b 的估计值，记为a ，b ． 注：这里的i ε就是拟合直线上的点(),i i x a bx +到点(),i i i P x y 的距离． 用什么方法求a ，b ？ 回忆《数学3（必修）》“2．4线性回归方程”P71“热茶问题”中求a ，b 的方法：最小二乘法． 利用最小二乘法可以得到a ，b 的计算公式为 1 1 22211 ()()()()n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x n x a y bx ====? ---? ?==??--??=-??∑∑∑∑， 其中11n i i x x n ==∑，1 1n i i y y n ==∑ 由此得到的直线y a bx =+就称为这n 对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中a ，b 分别为a ，b 的估计值，a 称为回归截距，b 称为回归系数，y 称为回归值． 在前面质点运动的线性回归方程 3.5361 2.1214y x =+中， 3.5361a =， 2.1214b =． 3． 线性回归方程y a bx =+中a ，b 的意义是：以a 为基数，x 每增加1个单位，y 相应地 高中数学三角函数公式汇总（正版）一、任意角的三角函数 在角正弦：正切：正割：的终边上任取一点 P(x, y) ，记： 2 2 rx y ，．． y x sin 余弦： cos r r y x tan 余切： cot x y r r sec 余割： csc x y 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向线段 MP 、 OM 、 AT 分别叫做角的正弦线、余弦线、正．． 切线。 二、同角三角函数的基本关系式 倒数关系： sin csc 1 ， cos sec 1， tan cot 1 。 商数关系： tan sin ， cot cos 。cos sin 平方关系： sin 2 cos2 1，1 tan 2 sec2 ，1 cot 2 csc2 。三、诱导公式 ⑴2k( k Z ) 、、、、2的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名 ．． 不变，符号看象限） ⑵、、3 、 3 的三角函数值，等于的异名函数值， 222 2 前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看 ．． 象限） 四、和角公式和差角公式 sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin tan( ) tan tan 1 tan tan tan( ) tan tan 1 tan tan 五、二倍角公式 sin 22sin cos cos2cos2sin 22cos2 1 1 2sin2( ) 2tan tan2 1 tan2 二倍角的余弦公式( ) 有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） 1 cos 2 2cos2 1 cos2 2 sin 2 1 sin 2 (sin cos )2 1 sin 2 (sin cos )2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 ，tan 1 cos2 sin 2 cos 2 ， 2 sin 2 。 1 cos2 六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式） 2 tan 1 tan 2 ， tan 2 2 tan 。 sin 2 2 ， cos2 tan2 1 tan 2 1 tan 1 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．．来表示。 七、和差化积公式 sin sin 2 sin cos⑴ 2 2 高中数学三角函数公式大全三角函数和差化积公式 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 三角函数积化和差公式 sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 三角函数万能公式 sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 三角函数半角公式 sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 三角函数三倍角公式 sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα 三角函数倍角公式 sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三角函数两角和与差公式 cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 高中三角函数公式大全 2009年07月12日 星期日 19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +- 高一数学三角函数公式大全 sinα=∠α的对边/斜边 cosα=∠α的邻边/斜边 tanα=∠α的对边/∠α的邻边 cotα=∠α的邻边/∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA2) (注：SinA2是sinA的平方sin2(A)) 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina 三角函数辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A2+B2)’(1/2) cost=A/(A2+B2)’(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 三角函数推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos2α 1-cos2α=2sin2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)2=2sina(1-sin2a)+(1- 2sin2a)sina=3sina-4sin3a cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa=4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(√3/2)2- sin2a]=4sina(sin260°-sin2a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°- a)/2]cos[(60°-a)/2]=4s inasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a- (√3/2)2]=4cosa(cos2a-cos230°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{- 2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=- 4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)高中数学公式三角函数公式大全
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