信号与系统(Python) 学习笔记摘录 (2) 傅里叶 Fourier
信号与系统(Python) 学习笔记摘录 (2) 傅里叶 Fourier
定义: 在 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2) 区间的两个函
数φ 1 ( t ) \varphi_1(t) φ1(t) 和φ 2 ( t )
\varphi_2(t) φ2(t), 若满足∫ t 1 t 2 φ 1 ( t ) φ 2 ∗ ( t ) d t = 0 , (两函数的内积为0)
\int_{t_1}^{t_2} \varphi_1(t) \varphi_2^* (t)d t = 0, \, \text{(两函数的内积为0)} ∫t1t2φ1(t)φ2∗
(t)dt=0,(两函数的内积为0)则称φ 1 ( t ) \varphi_1(t) φ1(t) 和φ 2 ( t ) \varphi_2(t) φ2(t) 在区间 ( t 1 , t 2 ) (t_1, t_2) (t1,t2) 内正交
•实函数正交∫ t 1 t 2 φ 1 ( t ) φ 2 ( t ) d t =
0 , (两函数的内积为0) \int_{t_1}^{t_2}
\varphi_1(t) \varphi_2 (t)d t = 0, \, \text{(两函
数的内积为0)} ∫t1t2φ1(t)φ2(t)dt=0,(两函数的内
积为0)
•正交函数集: 若 n n n 个函数φ 1 ( t ) , φ 2 ( t ) , ⋯ , φ n ( t ) \varphi_1(t), \varphi_2(t), \cdots , \varphi_n(t) φ1(t),φ2(t),⋯,φn(t) 构成一个函数集,
当这些函数在区间 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2) 内满
足∫ t i t j φ 1 ( t ) φ 2 ∗ ( t ) d t = { 0 ,
i ≠ j K j ≠ 0 , i = j
\begin{aligned}\int_{t_i}^{t_j} \varphi_1(t)
\varphi_2^* (t)d t ={\begin{cases} 0,\, & i\neq j \\
K_j \neq 0 , \, & i=j \end{cases}}\end{aligned} ∫titj φ1(t)φ2∗(t)dt={0,Kj=0,i=ji=j则称此函数为函数集
在区间 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2) 上的正交函数
集。
•若 K i = 1 K_i= 1 Ki=1, 称为标准正交函数集。
•完备正交函数集: 如果在正交函数集{ φ 1 ( t ) , φ 2 ( t ) , ⋯ , φ n ( t ) } \{ \varphi_1(t),
\varphi_2(t), \cdots , \varphi_n(t) \} {φ1(t),φ2 (t),⋯,φn(t)} 之外，不存在任何函数φ ( t ) ( ≠ 0 ) \varphi(t) (\neq0) φ(t)(=0) 满足∫ t 1 t 2 φ ( t ) φ i ∗ ( t ) d t = 0 , ( i = 1 , 2 , ⋯ , n )
\int_{t_1}^{t_2} \varphi(t) \varphi_i^* (t)d t = 0, \, (i = 1,2,\cdots, n) ∫t1t2φ(t)φi∗
(t)dt=0,(i=1,2,⋯,n)则称此函数集为完备正交函数集。
•信号的正交分解: 设由 n n n 个函数φ 1 ( t ) , φ 2 ( t ) , ⋯ , φ n ( t ) \varphi_1(t), \varphi_2(t), \cdots, \varphi_n(t) φ1(t),φ2(t),⋯,φn(t) 在区间
( t 1 , 2 ) (t_1,_2) (t1,2) 构成一个正交函数空间。将任一函数 f ( t ) f(t) f(t) 用这 n n n 个正交函数的线性组合来近似, 可表示为 f ( t ) ≈ C 1 φ 1 ( t ) + C 2 φ
2 ( t ) + ⋯ + C i φ i ( t ) + ⋯ + C n φ n ( t ) = ∑ j = 1 n C j φ j ( t ) f(t) \approx C_1\varphi_1(t) + C_2\varphi_2(t) + \cdots + C_i\varphi_i(t) + \cdots + C_n\varphi_n(t) = \displaystyle \sum^{n}_{j=1} C_j
\varphi_j(t) f(t)≈C1φ1(t)+C2φ2(t)+⋯+Ciφi(t)+⋯+Cn φn(t)=j=1∑nCjφj(t)
•使误差的均方误差ε 2 ‾ = 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t
2 [ f ( t ) − ∑ j = 1 n C j φ k ( t ) ] 2 d t
\overline{\varepsilon^2} = \displaystyle
\frac{1}{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2}\big[f(t)-
\sum^n_{j=1} C_j\varphi_k(t)\big]^2 dt ε2=t2−t1
1∫t1t2[f(t)−j=1∑nCjφk(t)]2dt 最小,要令∂ ε
2 ‾∂ C i = 0
\displaystyle\frac{\partial\overline{\varepsilon^
2}}{\partial C_i} = 0 ∂Ci∂ε2=0 即ε 2 ‾ = 1
t 2 − t 1 [ ∫ t 1 t 2 f 2 ( t ) d t − ∑ j = 1 n ∫ t 1 t 2 [ C j φ j ( t ) ] 2 d t ] ≥ 0
\displaystyle\overline{\varepsilon^2} =
\frac{1}{t_2-t_1}\Big[\int^{t_2}_{t_1} f^2(t)dt - \sum^n_{j=1}
\int^{t_2}_{t_1}\big[C_j\varphi_j(t)\big]^2dt\Big
]\geq0 ε2=t2−t11[∫t1t2f2(t)dt−j=1∑n∫t1t2[Cj
φj(t)]2dt]≥0
o可知在正交函数去近似 f ( t ) f(t) f(t) 时,
所取的项数越多, 即 n n n 越大, 则均方误差越
小。当n → ∞ n\to\infty n→∞时 (完备正交
函数集), 均方误差为零。
•广义傅里叶系数:
•复变函数: C i = ∫ t 1 t 2 f ( t ) φ i ∗ ( t )
d t ∫ t 1 t 2 φ i ( t ) φ i ∗ ( t ) d t = 1 K
i ∫ t 1 t 2 f ( t ) φ i ∗ ( t ) d t C_i =
\displaystyle\frac{\int^{t_2}_{t_1}f(t)\varphi_i^
*(t)dt}{\int^{t_2}_{t_1}\varphi_i(t)\varphi_i^*(t
)dt} =
\frac{1}{K_i}\int^{t_2}_{t_1}f(t)\varphi_i^*(t)dt Ci=∫t1t2φi(t)φi∗(t)dt∫t1t2f(t)φi∗(t)dt=Ki1
∫t1t2f(t)φi∗(t)dt
•帕什瓦尔 Parseval 方程: ∫ t 1 t 2 f 2 ( t ) d t = ∑ i = 1 ∞ ∫ t 1 t 2 [ C i φ j ( t ) ] 2 d t
\int^{t_2}_{t_1} f^2(t)dt = \sum^\infty_{i=1}
\int^{t_2}_{t_1}\big[C_i\varphi_j(t)\big]^2dt ∫t1t2
f2(t)dt=i=1∑∞∫t1t2[Ciφj(t)]2dt
•物理意义: 在区间 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2), 信号 f ( t ) f(t) f(t) 所含由的能量恒等于此信号在
完备正交函数集中各正交分量能量之和, 即能量守恒
定理也称帕什瓦尔定理。
•数学本质: 矢量空间信号正交变换的范数不变性。
三角函数集 { 1 , cos ( n Ω t ) , sin ( n Ω
t ) , n = 1 , 2 , ⋯ } \{ 1, \cos(n\Omega t),
\sin(n\Omega t), n = 1,2,\cdots\}
{1,cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,⋯}
三角形式的傅里叶级数: 设周期信号为 f ( t ) f(t) f(t), 其周期为 T T T, 角频率为Ω = 2 π / T \Omega = 2\pi/T Ω=2π/T, 当满足 Dirichlet 狄里赫利条件时, 可展开为 f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ( n Ω t ) + ∑ n = 1 ∞ b n sin ( n Ω t ) 合并n 次正余弦分量
→ f ( t ) = A 0 2 + ∑ n = 1 ∞ A n cos ( n Ω t + φ n ) { A n = a n 2 + b n 2 φ n = − arctan b n a n { a n = A n cos φ n b n = − A n sin φ n
\begin{aligned}f(t) = \displaystyle \frac{a_0}{2} +
\sum^\infty_{n=1} a_n \cos(n\Omega t) +
\sum^\infty_{n=1} b_n \sin(n\Omega t) \\ \text{合并 n 次正余弦分量} \to f(t) = \frac{A_0}{2} +
\sum^\infty_{n=1} A_n \cos\big(n\Omega t +
\varphi_n\big) \\ \begin{cases} A_n & = \sqrt{a^2_n + b^2_n} \\ \varphi_n & = - \arctan \frac{b_n}{a_n}
\end{cases} \begin{cases} a_n & = A_n \cos \varphi_n \\ b_n & = - A_n \sin \varphi_n \end{cases}
\end{aligned} f(t)=2a0+n=1∑∞ancos(nΩt)+n=1∑∞bn
sin(nΩt)合并n 次正余弦分量→f(t)=2A0+n=1∑∞An
cos(nΩt+φn){Anφn=an2+bn2
=−arctananbn{anbn=Ancosφn=−Ansinφn
•系数 a n , b n a_n, b_n an,bn 称为傅里叶系数
•直流分量系数: a 0 2 = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) d
t \displaystyle\frac{a_0}{2} =
\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-
\frac{T}{2}}f(t)dt 2a0=T1∫−2T2Tf(t)dt
•余弦分量系数: a n = 2 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) cos
( n Ω t ) d t \displaystyle a_n =
\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-
\frac{T}{2}}f(t)\cos(n\Omega t)dt an=T2∫−2T2T
f(t)cos(nΩt)dt
•正弦分量系数: b n = 2 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) sin
( n Ω t ) d t \displaystyle b_n =
\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-
\frac{T}{2}}f(t)\sin(n\Omega t)dt bn=T2∫−2T2T
f(t)sin(nΩt)dt
•直流分量 A 0 / 2 A_0/2 A0/2 , 基波 (一次谐波) A 1
cos ( Ω t + φ 1 ) A_1 \cos(\Omega t +
\varphi_1) A1cos(Ωt+φ1) , n次谐波 A n cos
( n Ω t + φ n ) A_n \cos(n \Omega t + \varphi_n) Ancos(nΩt+φn)
谐波特性:
1.f ( t ) f(t) f(t) 为偶函数 ( f ( t ) = f ( −
t ) ) \big(f(t)=f(-t)\big) (f(t)=f(−t)) 时， b n
= 0 b_n = 0 bn=0 展开为余弦级数
2.f ( t ) f(t) f(t) 为奇函数 ( f ( t ) = − f ( −
t ) ) \big(f(t)=-f(-t)\big) (f(t)=−f(−t)) 时，
a n = 0 a_n = 0 an=0 展开为正弦级数
3.f ( t ) f(t) f(t) 为奇谐函数 ( f ( t ) = − f ( t
± T / 2 ) ) \big(f(t)=-f(t\pm T/2)\big)
(f(t)=−f(t±T/2)) 时， a i = b i = 0 , ( i =
0 , 2 , 4 , ⋯ ) a_i= b_i = 0, \,
(i=0,2,4,\cdots) ai=bi=0,(i=0,2,4,⋯) 展开级数只
含奇次谐波分量，不含偶次谐波分量。
4.f ( t ) f(t) f(t) 为偶谐函数( f ( t ) = f ( t ±
T / 2 ) ) \big(f(t)=f(t\pm T/2)\big)
(f(t)=f(t±T/2)) 时， a i = b i = 0 , ( i = 1 ,
3 , 5 , ⋯ ) a_i= b_i = 0, \, (i=1,3,5,\cdots)
ai=bi=0,(i=1,3,5,⋯) 展开级数只含偶次谐波分量，不
含奇次谐波分量。
例：图示方波信号f(t) 为奇谐函数展开为傅里叶级数解得: f ( t ) = 0 + 4 π ∑ i = 0 n [ 1 1 + 2 i sin ( ( 1 + 2 i ) Ω t ) ] , Ω = 2 π T , T = 2
\displaystyle f(t) = 0 + \frac{4}{\pi}
\sum^n_{i=0}\big[\frac{1}{1+2i}\sin{\big((1+2i)\Omega t\big)}\big], \, \Omega = \frac{2\pi}{T}, \, T=2
f(t)=0+π4i=0∑n[1+2i1sin((1+2i)Ωt)],Ω=T2π,T=2
吉布斯现象: 在有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时, 在间断点附近不可避免的会出现震荡和超调量。超调量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多, 震荡频率变高, 并向间断点处压缩, 从而使它所占有的能量减小。当选取的项数很大时, 该超调量趋近于一个常数, 大约等于总跳变值的9%, 并从间断点开始以起伏震荡的形式逐渐衰减下去。
Sa ( x ) = sin ( x ) x \text{Sa}(x) =
\displaystyle\frac{\sin(x)}{x} Sa(x)=xsin(x)
f ( t ) F ( j ω ) f(t) \longleftrightarrow
F(j\omega) f(t)F(jω) F ( j ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j ω t d t = F [ f ( t ) ] F(j\omega)
=\int^{\infty}_{-\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt =
\mathfrak{F}\big[f(t)\big] F(jω)=∫−∞∞
f(t)e−jωt dt=F[f(t)] f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( j ω ) e j ω t d ω = F − 1 [ F ( j ω ) ] f(t)
=\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty} F(j\omega) e^{j\omega t} d\omega = \mathfrak{F}^{-
1}\big[F(j\omega)\big] f(t)=2π1∫−∞∞
F(jω)e jωtdω=F−1[F(jω)]
F ( j ω ) = 1 α + j ω \begin{aligned} F(j\omega) = \displaystyle \frac{1}{\alpha + j\omega} \end{aligned} F(jω)=α+jω1
F ( j ω ) = 2 α α 2 + ω 2 \begin{aligned}
F(j\omega) = \displaystyle \frac{2\alpha}{\alpha^2 + \omega^2} \end{aligned} F(jω)=α2+ω22α
F ( j ω ) = τ Sa ω τ 2 \begin{aligned}
F(j\omega) = \tau \text{Sa} \Big\lgroup \displaystyle \frac{\omega\tau}{2} \Big\rgroup \end{aligned}
F(jω)=τSa2ωτ
冲激函数δ , δ ′ , δ ( n ) \delta, \delta^\prime, \delta^{(n)} δ,δ′,δ(n) f ( t ) F ( j ω ) δ 1 δ ′ j ω δ ( n ) ( j ω ) n
\begin{aligned} f(t) \longleftarrow& \longrightarrow
F(j\omega) \\ \delta \longleftarrow& \longrightarrow 1
\\ \delta^\prime \longleftarrow& \longrightarrow
j\omega \\ \delta^{(n)} \longleftarrow&
\longrightarrow (j\omega)^n \end{aligned}
f(t)δδ′δ(n)F(jω)1jω(jω)n
常数 1 1 2 π δ ( ω ) \begin{aligned}1
\longleftarrow& \longrightarrow 2\pi\delta{(\omega)} \end{aligned} 12πδ(ω)
符号函数 sgn ( t ) 2 j ω \begin{aligned}
\text{sgn}(t)\longleftarrow& \longrightarrow
\frac{2}{j\omega} \end{aligned} sgn(t)jω2 sgn ( t ) = { − 1 t < 0 1 t > 0 \begin{aligned}
\text{sgn}(t) = \begin{cases}-1 \; & t<0 \\ 1 \; & t>0 \end{cases} \end{aligned} sgn(t)={−11t<0t>0
阶跃函数ε \varepsilon εε ( t ) π δ ( ω ) + 1 j ω \begin{aligned} \varepsilon(t)\longleftarrow& \longrightarrow \pi \delta(\omega) + \frac{1}{j\omega} \end{aligned} ε(t)πδ(ω)+jω1 ε ( t ) = { 0
t < 0 1 t > 0 = 1 2 + 1 2 sgn ( t )
\begin{aligned} \varepsilon(t) = \begin{cases}0 \; &
t<0 \\ 1 \; & t>0 \end{cases} \; = \frac{1}{2} +
\frac{1}{2} \text{sgn}(t) \end{aligned} ε(t)={01
t<0t>0=21+21sgn(t)
f ( t ) F ( j ω ) F ( j t ) 2 π f ( −
ω ) f ( α t ) 1 ∣ α ∣ F ( j ω α ) a ⋅ f 1 + b ⋅ f 2 a ⋅ F 1 + b ⋅ F 2 f ( t ± t 0 ) e ± j ω t 0 F ( j ω ) f ( t ± t 0 ) ∣ F ( j ω ) ∣ e j [ φ ( ω ) ± ω t 0 ] e ∓ j ω 0 t f ( t ) F [ j ( ω ± ω 0 ) ] f 1 ( t ) ⋆ f
2 ( t ) F 1 ( j ω ) F 2 ( j ω ) f 1 ( t ) f 2 ( t ) 1 2 π F 1 ( j ω ) ⋆ F 2 ( j ω ) f ( n ) ( t ) ( j ω ) n F ( j ω ) ∫ − ∞ t f ( x ) d x π F ( 0 ) δ ( ω ) + F ( j ω ) j ω ( − j t ) n f ( t ) F ( n ) ( j ω ) π f ( 0 ) δ
( t ) + f ( t ) − j t ∫ − ∞ ω F ( j x ) d x e − α t ε ( t ) 1 α + j ω e − α ∣ t ∣
2 α α 2 + ω 2 g τ ( t ) τ Sa ω τ 2 1 2 π δ ( ω ) δ 1 δ ′ j
ω δ ( n ) ( j ω ) n ε ( t ) π δ
( ω ) + 1 j ω sgn ( t ) 2 j ω R ( τ )
E ( ω ) ∫ − ∞ ∞ f ( t ) f ( t − τ ) d t
∣ F ( j ω ) ∣ 2 R ( τ ) P ( ω ) lim T → ∞ [ 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) f ( t − τ ) d t ]
lim T → ∞ ∣ F T ( j ω ) ∣ 2 T e j ω 0 t 2 π δ ( ω − ω 0 ) e − j ω 0 t 2 π δ ( ω + ω 0 ) cos ( ω 0 t ) π [ δ ( ω +
ω 0 ) + δ ( ω − ω 0 ) ] sin ( ω 0 t ) j π [ δ ( ω + ω 0 ) − δ ( ω − ω 0 ) ] f T ( t ) F T ( j ω ) δ T ( t ) ⋆ f 0 ( t ) Ω δ Ω ( ω ) F 0 ( j ω ) δ T ( t ) ⋆ f 0 ( t )
Ω ∑ n = − ∞ ∞ F 0 ( j n Ω ) δ ( ω − n Ω ) ∑ n = − ∞ ∞ F n e j n Ω t 2 π ∑ n = − ∞ ∞ F n δ ( ω − n Ω ) \begin{aligned} \displaystyle
f(t) \longleftarrow& \longrightarrow F(j\omega) \\ F(j t) \longleftarrow& \longrightarrow 2\pi f(-\omega)\\
f(\alpha t) \longleftarrow& \longrightarrow
\frac{1}{\lvert \alpha
\rvert}F(j\frac{\omega}{\alpha})\\ a\cdot f_1 + b\cdot f_2 \longleftarrow& \longrightarrow a\cdot F_1 + b
\cdot F_2 \\ f(t \pm t_0) \longleftarrow&
\longrightarrow e^{\pm j \omega t_0}F(j\omega)\\ f(t \pm t_0) \longleftarrow& \longrightarrow \lvert
F(j\omega)\rvert e^{j[\varphi(\omega)\pm \omega
t_0]}\\ e^{\mp j\omega_0 t}f(t)\longleftarrow&
\longrightarrow F\big[j(\omega\pm\omega_0)\big]\\
f_1(t) \star f_2(t) \longleftarrow& \longrightarrow
F_1(j\omega) F_2(j\omega)\\ f_1(t) f_2(t)
\longleftarrow& \longrightarrow
\frac{1}{2\pi}F_1(j\omega)\star F_2(j\omega)\\ f^{(n)} (t) \longleftarrow& \longrightarrow (j\omega)^n
F(j\omega)\\ \int^{t}_{-\infty} f(x) dx
\longleftarrow& \longrightarrow \pi F(0)\delta(\omega) + \frac{F(j\omega)}{j\omega}\\ (-jt)^n f (t)
\longleftarrow& \longrightarrow F^{(n)}(j\omega)\\ \pi f(0)\delta(t) + \frac{f(t)}{-jt} \longleftarrow&
\longrightarrow \int^{\omega}_{-\infty}F(jx)dx\\ e^{-\alpha t} \varepsilon(t)\longleftarrow&
\longrightarrow \frac{1}{\alpha + j\omega}\\ e^{-
\alpha \lvert t\rvert} \longleftarrow& \longrightarrow \frac{2\alpha}{\alpha^2 + \omega^2} \\ g_\tau(t)
\longleftarrow& \longrightarrow \tau \text{Sa}
\Big\lgroup \displaystyle \frac{\omega\tau}{2}
\Big\rgroup\\ 1 \longleftarrow& \longrightarrow
2\pi\delta{(\omega)}\\ \delta \longleftarrow&
\longrightarrow 1 \\ \delta^\prime \longleftarrow&
\longrightarrow j\omega \\ \delta^{(n)}
\longleftarrow& \longrightarrow (j\omega)^n \\
\varepsilon(t)\longleftarrow& \longrightarrow \pi
\delta(\omega) + \frac{1}{j\omega}\\
\text{sgn}(t)\longleftarrow& \longrightarrow
\frac{2}{j\omega}\\ R(\tau) \longleftarrow&
\longrightarrow E(\omega)\\ \int^{\infty}_{-
\infty}f(t)f(t-\tau)dt \longleftarrow& \longrightarrow \lvert F(j\omega) \rvert ^2\\ R(\tau) \longleftarrow& \longrightarrow P(\omega)\\ \lim_{T\to\infty}
\big[ \frac{1}{T} \int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}
f(t)f(t-\tau)dt \big] \longleftarrow& \longrightarrow \lim_{T\to\infty} \frac{\lvert F_T(j\omega)\rvert
^2}{T}\\ e^{j\omega_0 t} \longleftarrow&
\longrightarrow 2\pi \delta (\omega - \omega_0) \\
e^{-j\omega_0 t} \longleftarrow& \longrightarrow 2\pi \delta (\omega + \omega_0) \\ \cos ( \omega_0
t )\longleftarrow& \longrightarrow \pi
\big[ \delta(\omega + \omega_0) + \delta(\omega-
\omega_0)\big] \\ \sin (\omega_0 t) \longleftarrow&
\longrightarrow j\pi \big[ \delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega-\omega_0)\big] \\ f_T(t) \longleftarrow& \longrightarrow F_T(j\omega)\\ \delta_T(t) \star f_0(t) \longleftarrow& \longrightarrow \Omega
\delta_\Omega(\omega) F_0(j\omega)\\ \delta_T(t) \star f_0(t) \longleftarrow& \longrightarrow \Omega
\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_0(jn\Omega) \delta
(\omega- n\Omega)\\ \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n
e^{jn\Omega t} \longleftarrow& \longrightarrow 2\pi
\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \delta (\omega- n\Omega) \\ \end{aligned} f(t)F(jt)f(αt)a⋅f1+b⋅f2
f(t±t0)f(t±t0)e∓jω0tf(t)f1(t)⋆f2(t)f1 (t)f2(t)f(n)(t)∫−∞t
f(x)dx(−jt)nf(t)πf(0)δ(t)+−jtf(t)
e−αtε(t)e−α∣t∣gτ
(t)1δδ′δ(n)ε(t)sgn(t)R(τ)∫−∞
∞f(t)f(t−τ)dtR(τ)T→∞lim[T1∫−2T2T
f(t)f(t−τ)dt]e jω0te−jω0tcos(ω0t)sin(ω0 t)fT(t)δT(t)⋆f0(t)δT(t)⋆f0(t)n=−∞∑∞Fn ejnΩtF(jω)2πf(−ω)∣α∣1F(jαω)a⋅F1 +b⋅F2e±jωt0F(jω)∣F(jω)∣ej[φ(ω)±ωt0
]F[j(ω±ω0)]F1(jω)F2(jω)2π1F1(jω)⋆F2
(jω)(jω)nF(jω)πF(0)δ(ω)+jωF(jω)
F(n)(jω)∫−∞ωF(jx)dxα+jω1α2+ω22α
τSa2ωτ
2πδ(ω)1jω(jω)nπδ(ω)+jω1jω2
E(ω)∣F(jω)∣2P(ω)T→∞limT∣FT(jω)∣2
2πδ(ω−ω0)2πδ(ω+ω0)π[δ(ω+ω0
)+δ(ω−ω0)]jπ[δ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)]FT
(jω)ΩδΩ(ω)F0(jω)Ωn=−∞∑∞F0
(jnΩ)δ(ω−nΩ)2πn=−∞∑∞Fnδ(ω−nΩ)
信号与系统课程设计-傅里叶变换及matlab仿真
实践课名称设计报告 题目：居中填写 院系：电气信息工程系专业： 组长：学号： 组员 1 ：学号： 组员 2 ：学号： 组员 3 ：学号： 组员 4 ：学号： 组员 5 ：学号： 组员 6 ：学号： 指导教师： XXXX年XX月XX日
实践课名称设计报告 一、选题目的和意义： 傅里叶分析的研究与应用至今已经历了一百余年。进入二十世纪后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。从此，人们逐渐认识到，在通信与控制系统的理论研究与实际应用中，采用频域的分析方法较之经典的时域方法有许多突出优点。当今，傅里叶分析方法已经成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。 傅里叶分析方法不仅应用于电力工程、通信和控制领域之中，而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关数学、物理和工程技术领域中得到广泛而普遍的应用。 傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。 课上学习的《信号与系统引论》第三章——《傅里叶变换》，从傅里叶级数政教函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。 我们小组在本次课程设计中着重研究非周期信号的傅里叶变换及其MATLAB实现。通过本次课程设计，我们应用MATLAB软件仿真一些典型非周期信号的傅里叶变换，通过对这些典型信号频谱的研究，我们希望能够对非周期信号的傅里叶变换有更加深刻的认识和了解，同时也希望掌握MATLAB软件以实现其对函数信号的仿真应用。 学生姓名任务分工学生姓名任务分工学生姓名任务分工
期末复习资料(信号与系统)
《信号与系统》期末复习材料 一、考核目标和范围 通过考核使学生了解和掌握信号与系统的基本原理、概念和方法，运用数学分析的方法解决一些简单问题，使学生在分析问题和解决问题的能力上有所提高，为学生进一步学习后续课程打下坚实的基础。 课程考核的命题严格限定在教材第1—8章内，对第9、10章不做要求。 二、考核方式 三、复习资源和复习方法 （1）教材《信号与系统》第2版，陈后金，胡健，薛健编著，清华大学出版社，北方交通大学出版社，2003年。结合教材习题解答参考书（陈后金，胡健，薛健，钱满义，《信号与系统学习指导与习题精解》，清华大学出版社，北京交通大学出版社，2005）进行课后习题的练习、复习。 （2）离线作业。两次离线作业题目要熟练掌握。
（3）复习方法：掌握信号与系统的时域、变换域分析方法，理解各种变换（傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换）的基本内容、性质与应用。特别要建立信号与系统的频域分析的概念以及系统函数的概念。结合习题进行反复练习。 四、期末复习重难点 第1章信号与系统分析导论 1. 掌握信号的定义及分类。 2. 掌握系统的描述、分类及特性。 3. 重点掌握确定信号及线性非时变系统的特性。 第2章信号的时域分析 1．掌握典型连续信号与离散信号的定义、特性及其相互关系。 2．掌握连续信号与离散信号的基本运算。 3．掌握信号的分解，重点掌握任意连续信号分解为冲激信号的线性组合，任意离散信号分解为单位脉冲序列的线性组合。 第3章系统的时域分析 1．掌握线性非时变连续时间系统时域描述。 2．掌握用卷积法计算连续时间系统的零状态响应 3．掌握离散时间系统的时域描述。 4．掌握用卷积法计算离散时间系统的零状态响应。 第4章周期信号的频域分析 1．掌握连续周期信号的频域分析方法。
信号与系统(郑君里)复习要点
信号与系统复习 书中最重要的三大变换几乎都有。 第一章 信号与系统 1、信号的分类 ①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号 连续周期信号f (t )满足 f (t ) = f (t + m T )， 离散周期信号f(k )满足 f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,… 两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。 ③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号 2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷） 2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号 3.1 单位冲激函数的性质 f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a) 例： 3.2序列δ(k )和ε(k ) f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0) 4、系统的分类与性质 4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质 T [a f (·)] = a T [ f (·)](齐次性) T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性） ②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统： )0(d )()(f t t t f =?∞∞ -δ) (d )()(a f t a t t f =-? ∞ ∞-δ?d )()4 sin(9 1=-? -t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=?∞∞ -δ) 0()1(d )()()()(n n n f t t f t -=? ∞ ∞ -δ4)2(2])2[(d d d )(')2(0022=--=--=-==∞ ∞-? t t t t t t t t δ)(1||1)()()(t a a at n n n δδ?=)(||1)(t a at δδ=)(||1 )(00a t t a t at -=-δδ) 0()()(f k k f k =∑ ∞-∞ =δ
275个信号与系统常用词汇中英文对照表
275个信号与系统常用词汇中英文对照表 序号英文词汇中文翻译 1 Absolutely summable impulse response 绝对可和的冲激响应 2 Absolutely integrable impulse response 绝对积的冲激响应 3 Accumulation property 累加性质 4 Adder 加法器 5 Additivity 可加性 6 Aliasing 混叠 7 Allpass system 全通系统 8 Amplitude Modulation(AM) 幅度调制 9 Amplifier 放大器 10 Analog-to-Digital Conversion 模数转换 11 Analysis equation 分析方程 12 Aperiodic signal 非周期性信号 13 Associative property 结合性质 14 Audio system 音频系统 15 Autocorrelation function 自相关函数 16 Band-limited signal 带限信号 17 Band-limited interpolation 带限内插 18 Bandpass filter 带通滤波器 19 Bandpass-sampling technique 带通抽样方法 20 Bandpass signal 带通信号 21 Bandwidth of an LTI system 线性时不变系统的带宽 22 Bilinear transformation 双线性变换 23 Block diagram 方框图 24 Bode plot 波特图 25 Butterworth filter 巴特沃斯滤波器 26 Carrier frequency 载波频率 27 Carrier signal 载波信号 28 Cartesian (rectangular) form for complex number 复数的笛卡尔（直角坐标）形式 29 Cascade-form block diagram 级联型方框图 30 Cascade (series) interconnection 级联连接 31 Causal LTI system 因果的线性时不变系统 32 Channel equalization 信道均衡 33 """Chirp"" transform algorithm" 线性调频变换算法 34 Closed-loop system 闭环系统 35 Coefficient multiplier 系数乘法器 36 Communication system 通信系统 37 Commutative property 交换性质 38 Complex conjugate 复共轭 39 Complex exponential 复指数 40 Complex number 复数 41 Continuous-time signal 连续时间信号
信号与系统考试重点
1. 几点说明: ①若x （t ）是周期的，则x （2t ）也是周期的，反之也成立②对于f [k ]=cos[Ωk ]只有当|Ω|/2π为有理数的时候，才是一个周期信号③设x1（t ）和x2（t ）的基本周期分别是T1和T2，则x1+x2是周期信号的条件是 12T T =k m 为有理数（k ，m 为互素正整数）周期是T=m 1T =k 2T 思考：周期分别为3和5的两个离散序列的卷积和的周期为多少？为什么？ 与 功率信号（公式见书4p ） E 。若为有限值则为能量信号。否则，计算功率P ，若为有限值则为功率信号。否则，；两者都不是。 注：一个信号不可能既是能量信号又是功率信号，但可能既不是能量信号也不是功率信号。 思考：确定下述论点正确与否，并简述理由。 （1）所有非周期信号都是能量信号。 （2）所有能量信号都是周期信号。 （3）两个功率信号之积总是一个功率信号。 （4）两个功率信号之和总是一个功率信号。 (1)错；双边信号一般是功率信号，甚至不是能量，也不是功率信号，如e^2t (2)错；因为：周期信号一定是 功率信号 (3)错;假设2个 信号周期 相等，其中一个 前半周期不等于0，后半周期=0；另一个则相反；相乘后，恒等于=0哦！但是大部分情况下，是 对的！ (4)错；可能相加后 恒等于 0哦；但是大部分情况下，是 对的！ 2.LTI 系统（考试难点） （1）当系统的微分方程是常系数的线性微分方程时，系统为线性时不变系统。 （2）一般情况下，可分别判断系统是否满足线性和时不变性。 判断系统是否线性注意问题： 1．在判断可分解性时，应考察系统的完全响应y (t )是否可以表示为两部分之和，其中一部分只与系统的初始状态有关，而另一部分只与系统的输入激励有关。 2．在判断系统的零输入响应()x y t 是否具有线性时，应以系统的初始状态为自变量（如上述例题中y (0))，而不能以其它的变量（如t 等）作为自变量。 3．在判断系统的零状态响应()f y t 是否具有线性时，应以系统的输入激励为自变量（如上述例题中f (t )），而不能以其它的变量（如t 等）作为自变量。 判断系统是否为时不变系统注意问题： 判断一个系统是否为时不变系统，只需判断当输入激励f (t )变为f (t -t 0)时，相应的输出响应y (t )是否也变为 y (t -t 0)。由于系统的时不变特性只考虑系统的零状态响应，因此在判断系统的时不变特性时，不涉及系统的初始状态。
信号与系统实验报告3实验3傅里叶变换及其性质
信息工程学院实验报告 课程名称： 实验项目名称：实验3 傅里叶变换及其性质 实验时间：2015/11/17 班级：通信141 ： 学号：5 一、实 验 目 的: 学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶（Fourier ）变换；学会运用MATLAB 求连续时间信号的频谱图；学会运用MATLAB 分析连续时间信号的傅里叶变换的性质。 二、实 验 设 备 与 器 件 软件：Matlab 2008 三、实 验 原 理 3.1傅里叶变换的实现 信号()f t 的傅里叶变换定义为： ()[()]()j t F F f t f t e dt ωω∞ --∞ ==⎰ ， 傅里叶反变换定义为：1 1()[()]()2j t f t F F f e d ωωωωπ ∞ --∞ == ⎰ 。 信号的傅里叶变换主要包括MATLAB 符号运算和MATLAB 数值分析两种方法，下面分别加以探讨。同时，学习连续时间信号的频谱图。 3.1.1 MATLAB 符号运算求解法 MATLAB 符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函数fourier( )和ifourier( )。Fourier 变换的语句格式分为三种。 （1）F=fourier(f)：它是符号函数f 的Fourier 变换，默认返回是关于ω的函数。 （2）F=fourier(f,v)：它返回函数F 是关于符号对象v 的函数，而不是默认的 ω，即 ()()jvt F v f t e dt ∞ --∞ =⎰。 （3）F=fourier(f,u,v)：是对关于u 的函数f 进行变换，返回函数F 是关于v 的函数，即 ()()jvu F v f t e du ∞ --∞ =⎰。 傅里叶反变换的语句格式也分为三种。 （1）f=ifourier(F)：它是符号函数F 的Fourier 反变换，独立变量默认为ω，默认返回是关于x 的函数。 （2）f=ifourier(F,u)：它返回函数f 是u 的函数，而不是默认的x 。 （3）f=ifourier(F,u,v)：是对关于v 的函数F 进行反变换，返回关于u 的函数f 。
傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换
傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T - 上满足狄里克莱条件：1o )(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T -上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 0)sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2=， ),2,1,0(,cos )(222 ==?-n dt t n t f T a T T n ω， （2） ),3,2,1(,sin )(222 ==?-n dt t n t f T b T T n ω， （3） 根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为 ∑∞=--?? ????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ????++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令 dt t f T c T T ?-=220)(1
信号与系统(Signals and Systems)
信号与系统（Signals and Systems） 信号与系统（Signals and Systems）是电子信息工程领域中非 常重要的一门课程。它是研究信号在各种系统中传输、变换和处理的学科，通常需要一些微积分和线性代数的基础知识。信号和系统理论不仅应用于工程中，也广泛出现在生物医学、电力系统、通信系统中。 总的来说，信号与系统可以分为三个部分：信号、系统和信号处理。下面我将分别介绍这三个方面的内容。 一、信号 信号是代表某种信息的物理量，可以是电信号、光信号、声波等。常见的信号包括连续信号和离散信号。 连续信号指的是在一段时间内连续地变化的信号，可以用函数 f(t) 来表示。离散信号则是在特定的时间点（离散时间）上产 生的信号，表示为序列{xn}。无论是连续信号还是离散信号，它们都遵循一些基本的信号特性，比如幅度、频率、相位、周期和能量等。 二、系统 系统是用于处理信号的工具，可以是电路、滤波器、放大器或者是数字信号处理器。在信号和系统领域，系统可以被分为连续系统和离散系统。
连续系统指的是输入和输出都是连续信号的系统，比如电路。离散系统则是输入和输出都是离散信号的系统，比如数字滤波器。系统通常被描述为输入到输出之间的关系，这个关系可以用一个函数 h(t) 或者 h[n] 来表示。 一个系统可以具有不同的特性，比如时域特性、频域特性、稳定性、因果性、线性性和时变性等。学习系统理论可以帮助我们更好地了解各种信号和系统的行为特点，从而选择合适的系统来处理不同类型的信号。 三、信号处理 信号处理指的是对信号进行分析、处理或者变换的过程，可以是模拟信号处理或数字信号处理。在信号处理领域，我们经常遇到需要从原始信号中提取特定信息的问题，比如噪声消除、滤波、增强等。 常见的信号处理方法包括傅里叶变换、卷积、差分方程、滤波等。这些方法可以在时域或者频域中对信号进行变换，得到更有用的信息。 总结 信号与系统是一门重要的学科，它主要研究信号在不同系统中传输、变换和处理的过程。理解信号与系统对于电子信息、通信、生物医学工程等领域的从业者来说十分重要。在日常工作中，我们通常需要对不同的信号进行分析、处理或者提取信息，
傅里叶变换和FFT学习笔记
傅里叶变换的学习 一直以来对傅里叶变换的理解不够深入，对于用计算机实现采集到的离散信号进行频谱分析也没有实际操作过。信号采集的硬件部分我已经基本掌握，在上课所做的ppt中也有所体现，而对采集到的信号进行软件处理，我却做得很少，所以希望利用本次课的机会把离散傅里叶变换学会。下面首先根据阅读的书籍阐述对傅里叶变换的理解，然后利用matlab和LabVIEW对一个信号进行了FFT变换。 对于信号处理我们是做傅里叶变换，对于系统的数学模型处理我们是做拉普拉斯变换，将s换成jω就是系统的频率特性，频率特性我们用Bode图可以研究系统的稳定性。这些都已经学过。那么系统进行时域向复数域或者频域变换的目的是研究系统的稳定性等特性，信号的傅里叶变换的目的是在变换之后能够看到该信号由哪些频率的信号组成，而对于机械系统都有其固有频率，所以对分辨系统组成等问题提供了很好的解决方法。 傅里叶提出：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。这是傅里叶变换的根本所在，这句话揭示了信号的本质组成，也可以说级数（如泰勒级数和傅里叶级数等）可以近似或者说在无穷的情况下等于某种函数。谐波信号是我们研究和认识最清楚的一类信号，从谐波信号的表达式中我们可以很清楚的看到频率、相位和幅值信息。所以傅里叶的想法实在是非常的绝，这是伟大的创造。此处需指出一个问题，就是傅里叶变换跟函数变换是不同的，通常意义上的函数变换是映射，而傅里叶变换不是映射，是无穷序列的和与函数值的近似。 连续周期信号用傅里叶级数展开，连续非周期信号用傅里叶变换，离散周期信号用离散傅里叶变换，离散非周期信号用离散时域傅里叶变换，如图1所示。这些我们都知道，而且在本科阶段就已经学习过。但机械专业的学生很多学校都没有开设实验课或者没有讲解离散傅里叶变换，导致像我这样的学生就一直没有理解离散傅里叶变换，也不会用软件在工程实际中去实现离散信号的频谱分析。 图1 信号与傅里叶变换方法对应关系 傅里叶级数表达式： 傅里叶变换表达式：
信号与系统(Python) 学习笔记摘录 (2) 傅里叶 Fourier
信号与系统(Python) 学习笔记摘录 (2) 傅里叶 Fourier 定义: 在 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2) 区间的两个函 数φ 1 ( t ) \varphi_1(t) φ1(t) 和φ 2 ( t ) \varphi_2(t) φ2(t), 若满足∫ t 1 t 2 φ 1 ( t ) φ 2 ∗ ( t ) d t = 0 , (两函数的内积为0) \int_{t_1}^{t_2} \varphi_1(t) \varphi_2^* (t)d t = 0, \, \text{(两函数的内积为0)} ∫t1t2φ1(t)φ2∗ (t)dt=0,(两函数的内积为0)则称φ 1 ( t ) \varphi_1(t) φ1(t) 和φ 2 ( t ) \varphi_2(t) φ2(t) 在区间 ( t 1 , t 2 ) (t_1, t_2) (t1,t2) 内正交 •实函数正交∫ t 1 t 2 φ 1 ( t ) φ 2 ( t ) d t = 0 , (两函数的内积为0) \int_{t_1}^{t_2} \varphi_1(t) \varphi_2 (t)d t = 0, \, \text{(两函 数的内积为0)} ∫t1t2φ1(t)φ2(t)dt=0,(两函数的内 积为0) •正交函数集: 若 n n n 个函数φ 1 ( t ) , φ 2 ( t ) , ⋯ , φ n ( t ) \varphi_1(t), \varphi_2(t), \cdots , \varphi_n(t) φ1(t),φ2(t),⋯,φn(t) 构成一个函数集, 当这些函数在区间 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2) 内满 足∫ t i t j φ 1 ( t ) φ 2 ∗ ( t ) d t = { 0 , i ≠ j K j ≠ 0 , i = j \begin{aligned}\int_{t_i}^{t_j} \varphi_1(t) \varphi_2^* (t)d t ={\begin{cases} 0,\, & i\neq j \\ K_j \neq 0 , \, & i=j \end{cases}}\end{aligned} ∫titj φ1(t)φ2∗(t)dt={0,Kj=0,i=ji=j则称此函数为函数集
专业英语词汇(信号与系统)(DOC)
专业英语词汇(信号与系统)(DOC)
第 2 章连续时间系统的时域分析 齐次解（homogeneous solution） 特解（particular solution） 特征方程（characteristic function） 特征根（characteristic root） 固有（自由）解（natural solution） 强迫解（forced solution） 起始条件（original condition） 初始条件（initial condition） 自由响应（natural response） 强迫响应（forced response） 零输入响应（zero-input response） 零状态响应（zero-state response） 冲激响应（impulse response） 阶跃响应（step response） 卷积积分（convolution integral） 交换律（exchange law） 分配律（distribute law） 结合律（combine law） 第3 章傅里叶变换 频谱（frequency spectrum） 频域（frequency domain） 三角形式的傅里叶级数（trigonomitric Fourier series）指数形式的傅里叶级数（exponential Fourier series）傅里叶系数（Fourier coefficient） 直流分量（direct composition） 基波分量（fundamental composition） n 次谐波分量（n th harmonic component） 复振幅（complex amplitude） 频谱图（spectrum plot（diagram）） 幅度谱（amplitude spectrum） 相位谱（phase spectrum） 包络（envelop） 离散性（discrete property） 谐波性（harmonic property） 收敛性（convergence property） 奇谐函数（odd harmonic function） 吉伯斯现象（Gibbs phenomenon） 周期矩形脉冲信号（periodic rectangular pulse signal）周期锯齿脉冲信号（periodic sawtooth pulse signal） 周期三角脉冲信号（periodic triangular pulse signal）
数字信号处理—原理、实现及应用(第4版)第2章 时域离散信号和系统的频域分析 学习要点及习题答案
·22 · 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 2.1 引 言 数字信号处理中有三个重要的数学变换工具，即傅里叶变换、Z 变换和离散傅里叶变换，利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换，这大大方便了对信号和系统的分析和处理。 三种变换互有联系，但又不同。表征一个信号和系统的频域特性用傅里叶变换；Z 变换是傅里叶变换的一种扩展，在Z 域对系统进行分析与设计更加既灵活方便。单位圆上的Z 变换就是傅里叶变换，因此用Z 变换分析频域特性也很方便。离散傅里叶变换是离散化的傅里叶变换，因此用计算机分析和处理信号时，全用离散傅里叶变换进行。离散傅里叶变换具有快速算法FFT ，使离散傅里叶变换在应用中更加重要。但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z 变换，其优点是将信号的时域和频域都进行了离散化，便于计算机处理。但实际使用中，一定要注意它的特点，例如对模拟信号进行频域分析，只能是近似的，如果使用不当，会引起较大的误差。因此掌握好这三种变换是学习好数字信号处理的关键。本章只学习前两种变换，离散傅里叶变换及其FFT 在下一章中讲述。 2.2 本章学习要点 (1) 求序列的傅里叶变换—序列频率特性。 (2) 求周期序列的傅里叶级数和傅里叶变换—周期序列频率特性。 (3) 0()，()，()，1，cos()n N n a u n R n n δω，0sin()n ω和0 j e n ω的傅里叶变换，02/ωπ 为有理数。 (4) 傅里叶变换的性质和定理：傅里叶变换的周期性、移位与频移性质、时域卷积定理、巴塞伐尔定理、频域卷积定理、频域微分性质、实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性。 (5) 求序列的Z 变换及其收敛域。 (6) 序列Z 变换收敛域与序列特性之间的关系。 (7) 求逆Z 变换：部分分式法和围线积分法。 (8) Z 变换的定理和性质：移位、反转、Z 域微分、共轭序列的Z 变换、时域卷积定理、初值定理、终值定理、巴塞伐尔定理。 (9) 如何求系统的传输函数和系统函数。 (10) 如何用极点分布判断系统的因果性和稳定性。 (11) 何谓零状态响应、零输入响应、稳态响应以及暂态响应；如何求稳态响应及系统稳定时间；如何用单位阶跃函数测试系统的稳定性。 (12) 如何用零极点分布定性画出系统的幅频特性。
python傅里叶光学
python傅里叶光学 Python傅里叶光学 Python是一种易于学习且功能强大的编程语言，可以应用于各种领域。近年来，Python在科学计算和数学建模方面的应用越来越广泛。傅里 叶光学是一种利用傅里叶变换技术分析光学信号的方法，Python通过 强大的傅里叶变换库SciPy，为傅里叶光学分析提供了很好的支持。 本文将从以下几个方面介绍Python在傅里叶光学分析方面的应用： 一、傅里叶分析 傅里叶分析是一种将信号分解成不同频率的技术。在光学中，可以将 光信号抽象成不同频率的波，借助傅里叶变换将信号分解为基频和其 它高次谐波。 Python通过SciPy库提供了傅里叶变换的函数。用户只需输入需要进行傅里叶变换的信号，即可得到其频谱信号，从而完成傅里叶分析。 二、光学系统模拟 光学系统模拟是一种应用傅里叶光学分析的方法。通过模拟光学系统 的传递函数，可以预测光学系统的性能。光学系统模拟在光学设计和 工程中扮演了重要的角色。
Python通过Zemax OpticStudio等光学模拟软件的API，提供了对光学系统模拟的支持。用户可以通过Python脚本，调用光学模拟软件的API，进行光学系统模拟和分析，提高工作效率和精度。 三、自适应光学 自适应光学是一种通过传感器实时测量光学系统的像差，然后通过变形镜对光束进行实时校正的技术。自适应光学在现代望远镜、显微镜等光学系统中有着广泛的应用。 Python通过Matplotlib等可视化库，提供了对自适应光学的支持。用户可以使用Python绘制自适应光学系统的仿真图，并进行实验设计、数据分析和结果可视化。 四、传感技术 光学传感技术是一种应用傅里叶光学分析的重要领域。通过测量光学系统的像差和光学信号，可以为医学成像、机器视觉等科学领域提供基础数据支持。 Python通过OpenCV等图像处理库，提供了对光学传感技术的支持。用户可以使用Python编写光学传感的程序，调用图像处理库的函数，实现对光学信号的测量和分析。
浅谈傅里叶变换及其应用(小论文)
浅谈傅里叶变换及其应用 一．由来 傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 二．概要介绍 1.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函 数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。——（1） 2.傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。 3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为 常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性 质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。 三．计算方法 连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。 这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。 连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为 即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。 一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。 四．应用领域
傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。 五．简介离散傅里叶变换的应用。 DFT在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。需要指出的 是，所有DFT的实际应用都依赖于计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算 法，即快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（即FFT）是计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法。）。 1.频谱分析 DFT是连续傅里叶变换的近似。因此可以对连续信号x(t)均匀采样并截断以得到有限长的离散序列，对这一序列作离散傅里叶变换，可以分析连续信号x(t)频谱的性质。前面还提到DFT应用于频谱分析需要注意的两个问题：即采样可能导致信号混叠和截断信号引起的频谱泄漏。可以通过选择适当的采样频率 （见奈奎斯特频率）消减混叠。选择适当的序列长度并加窗可以抑制频谱泄 漏。 2.数据压缩 由于人类感官的分辨能力存在极限，因此很多有损压缩算法利用这一点将语 音、音频、图像、视频等信号的高频部分除去。高频信号对应于信号的细节，滤除高频信号可以在人类感官可以接受的范围内获得很高的压缩比。这一去除高频分量的处理就是通过离散傅里叶变换完成的。将时域或空域的信号转换到频域，仅储存或传输较低频率上的系数，在解压缩端采用逆变换即可重建信 号。 3.OFDM OFDM（正交频分复用）在宽带无线通信中有重要的应用。这种技术将带宽为N 个等间隔的子载波，可以证明这些子载波相互正交。尤其重要的是，OFDM调制可以由IDFT实现，而解调可以由DFT实现。OFDM还利用DFT的移位性质，在每个帧头部加上循环前缀（Cyclic Prefix），使得只要信道延时小于循环前 缀的长度，就能消除信道延时对传输的影响。 参考文献 （1）^林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版 社，北京。原版书名为C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to
信号与系统及傅里叶级数的MATLAB计算
4.1 傅里叶级数的MATLAB 计算 设周期信号x(t)的基本周期为T 1，且满足狄里克利条件，则其傅里叶级数的系数可由式2.4计算得到。式2.4重写如下： ⎰--= 2 /2 /1 110)(1T T t jk k dt e t x T a ω 基本频率为： 1 02T πω= 对周期信号进行分析时，我们往往只需对其在一个周期内进行分析即可，通常选择主周期（Principle period ）。假定x 1(t)是x(t)中的主周期，则 ⎰ --= 2 /2 /11 110)(1 T T t jk k dt e t x T a ω 计算机不能计算无穷多个系数，所以我们假设需要计算的谐波次数为N ，则总的系数个 数为2N+1个。在确定了时间范围和时间变化的步长即T 1和dt 之后，对某一个系数，上述系数的积分公式可以近似为： ∑⎰---==n t jk n T T t jk k T dt e t x dt e t x T a 12 /2/11/)()(10110ωω 121/],,[)](),(),([0201 0T dt e e e t x t x t x M t jk t jk t jk M ⋅⋅=---ωωω 对于全部需要的2N+1个系数，上面的计算可以按照矩阵运算实现。MATLAB 实现系 数计算的程序如下： dt = 0.01; T = 2; t = -T/2:dt:T/2; w0 = 2*pi/T; x1 = input(‘Type in the periodic signal x(t) over one period x1(t)=’); N = input(‘Type in the number N=’); k = -N:N; L = 2*N+1; ak = x1*exp(-j*k*w0*t’)*dt/T; 需要强调的是，时间变量的变化步长dt 的大小对傅里叶级数系数的计算精度的影响 非常大，dt 越小，精度越高，但是，计算机计算所花的时间越长。 例题2-1：给定一个周期为T 1 = 2s 的连续时间周期方波信号，如图所示，其一个周期内 的数学表达式为： ⎩⎨ ⎧<<≤≤=2 1, 010, 1)(1t t t x 解：首先，我们根据前面所给出的公式，计算该信号的傅里叶级数的系数。 图2.1 周期方波信号
信号与系统中的数学
信号与系统中的数学 摘要：信号与系统是通信工程的一门基础课程，主要研究确定信号与系统的线性非时 变系统。在这门课程中数学的应用几乎占据了整个课程的体系。傅里叶变换、Laplace 变换、Z变换是分析与研究确定信号的基础；卷积运算时研究系统必不可少的工具。当然在信号与系统中也少不了微积分与复变函数的身影。 关键词：信号与系统数学频域分析 要谈信号与系统中的数学，首先来了解一下信号与系统这门课程的产生背景吧。信号与系统这门课程的发展经历了一个漫长的过程，很久以来，人们寻求各种方法以实现信号的传输。在我国的古代就有利用烽火传送边疆警报，这是最原始的光通信系统。除此之外还出现了击鼓鸣金、信鸽、旗语、驿站等传送消息的方法。但是这些方法无论在距离、速度或可靠性与有效性方面都存在一定的缺陷。这种缺点从19世纪开始慢慢发生了变化。在这个时候人们开始研究如何利用电信号传送信息。1844年5月24日，莫尔斯（Morse）在国会大厦联邦最高法院会议厅进行了“用莫尔斯电码”发出了人类历史上的第一份电报，从而实现了长途电报通信。1876年贝尔（A.G. Bell）发明了电话，直接将语音转变为电信号进行传输。19世纪末，人们又致力于研究用电磁波传送无线电信号，在这个过程中赫兹、波波夫、马可尼等人分别作出了杰出的贡献。而如今，无线电信号的传输不仅能够飞跃高山海洋，而且可以遍及全球并通向宇宙，现代通信技术的发展已完全超出许多人的想象。信号与系统这门课程正是在通信技术与信息传输方式不断的发展过程中形成的，它通过数学理论的分析来研究信号的传输、信号的交换以及信号的处理，正是基于这样的研究基础之上才有了今天的信息传递技术的迅猛发展。下图是信号与系统理论应用的一些实例。
信号与系统实验报告 (2)
实验三常见信号得ＭATLAB表示及运算 一、实验目得 １。熟悉常见信号得意义、特性及波形 2.学会使用MATLAB表示信号得方法并绘制信号波形 ３、掌握使用ＭATLAB进行信号基本运算得指令 4、熟悉用ＭATＬAB实现卷积积分得方法 二、实验原理 根据ＭAＴLAB得数值计算功能与符号运算功能，在MATＬAＢ中，信号有两种表示方法,一种就是用向量来表示,另一种则就是用符号运算得方法。在采用适当得MＡＴLAB语句表示出信号后，就可以利用MATＬAＢ中得绘图命令绘制出直观得信号波形了。 １、连续时间信号 从严格意义上讲,ＭATLＡＢ并不能处理连续信号。在ＭAＴLＡB中，就是用连续信号在等时间间隔点上得样值来近似表示得,当取样时间间隔足够小时,这些离散得样值就能较好地近似出连续信号。在MATＬAB中连续信号可用向量或符号运算功能来表示。 ⑴向量表示法 对于连续时间信号，可以用两个行向量f与t来表示,其中向量t就是用形如得命令定义得时间范围向量,其中，为信号起始时间，为终止时间,p为时间间隔。向量f为连续信号在向量ｔ所定义得时间点上得样值． ⑵符号运算表示法 如果一个信号或函数可以用符号表达式来表示,那么我们就可以用前面介绍得符号函数专用绘图命令ezplot(）等函数来绘出信号得波形。 ⑶常见信号得MＡTLAＢ表示 单位阶跃信号 单位阶跃信号得定义为: 方法一：调用Hｅａviside(t)函数 首先定义函数Heａｖisｉdｅ（ｔ) 得ｍ函数文件,该文件名应与函数名同名即Ｈeaviside、m. ％定义函数文件，函数名为Hｅavｉsiｄｅ,输入变量为x,输出变量为ｙ function y=Hｅaviside（t） y＝(t＞0）; %定义函数体,即函数所执行指令 %此处定义ｔ>0时y=1,t<＝0时ｙ=0,注意与实际得阶跃信号定义得区别. 方法二：数值计算法 在ＭATLAB中,有一个专门用于表示单位阶跃信号得函数，即sｔeｐｆun( )函数，它就是用数值计算法表示得单位阶跃函数．其调用格式为: stｅpfun(t,t0) 其中,t就是以向量形式表示得变量，t0表示信号发生突变得时刻,在ｔ０以前,函数值小于零,ｔ０以后函数值大于零。有趣得就是它同时还可以表示单位阶跃序列,这只要将自变量以及
(完整word版)傅里叶变换在信号与系统系统中的应用.
河北联合大学 本科毕业设计（论文） 2011年 5月24日
题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 专业数学与应用数学姓名刘帅学号 200710050113 主要内容、基本要求、主要参考资料等 主要内容 傅里叶变换是一种重要的变换,且在与通信相关的信号与系统中有着广泛的应用。本文主要研究傅里叶变换的基本原理；其次，掌握其在滤波，调制、解调,抽样等方面中的应用。分析了信号在通信系统中的处理方法，通过傅里叶变换推导出信号调制解调的原理，由此引出对频分复用通信系统的组成原理的介绍. 基本要求 通过傅里叶变换实现一个高通滤波，低通滤波,带通滤波。用傅里叶变换推导出信号调制解调的原理。通过抽样实现连续信号离散化,简化计算.另外利用调制的原理推导出通信系统中的时分复用和频分复用。 参考资料 [1］《信号与系统理论、方法和应用》徐守时著中国科技大学出版社 2006年3月修订二版［2］《信号与系统》第二版上、下册郑君里、应启珩、杨为理著高等教育出版社 [3]《通信系统》第四版 Simon Haykin 著宋铁成、徐平平、徐智勇等译沈连丰审校电 子工业出版社 [4]《信号与系统—连续与离散》第四版 Rodger E.Ziemer 等著肖志涛等译腾建辅审校电 子工业出版社 [5]《现代通信原理》陶亚雄主编电子工业出版社 [6］《信号与系统》乐正友著清华大学出版社 [7］《信号与线性系统》阎鸿森、王新风、田惠生编西安交通大学出版社
［8］《信号与线性系统》张卫钢主编郑晶、徐琨、徐建民副主编西安电子科技大学出版社 ［9] http：//baike.baidu。com/view/191871.htm//百度百科傅里叶变换 [10]《通信原理》第六版樊昌信曹丽娜编著国防工业出版社 [11］A．V．Oppenheim，A。S。Willsky with S。H.Nawab.Siganals and systems（Second edition).Prentice-Hall，1997.中译：刘树棠.信号与系统。西安交通工业大学出版社 完成期限 指导教师 专业负责人 2010年11 月 1日 目录 1.引言 (1) 2。傅里叶变换 (1) 2。1 傅里叶变换的提出及发展 (1) 2.2 傅里叶变换定义 (2) 2.3 傅里叶变换的分类 (3) 傅里叶变换的性质 3.傅里叶变换在滤波技术中的应用 (4) 3.1 滤波的概念 (4) 3。2 理想选择性滤波器 (5) 3.3 系统的物理可实现性 (7) 4.傅里叶变换在调制与解调技术中的应用 (8) 4.1 调制与解调的原理 (9)