n条直线分平面问题

N 条直线分平面问题

1.n 条直线最多能将平面分为多少个区域？

设n 条直线最多能将平面分为n a 个区域,则121,4a a ==。

下面来建立1n a +与n a 的关系，设已画出n 条直线的情况，对于n+1条直线，我们看成是在n 条的基础上再增加一条直线所得，设新增直线为L,L 与n 条直线最多有n 个交点，n 个交点将L 分为 n+1个部分，而每个部分均将其在的区域一分为二，所以增一条L ，使在n 条直线的基础上最多增加n+1个区域，从而11n n a a n +=++。 由递推知11221,1,,2n n n n a a n a a n a a ----=-=--= 。 累加得11(1)(2)2(1)12

n a a n n n n n -=+-+-++=

+- ,故1(1)12

n a n n =

++。

所以n 条直线最多能将平面分为1

(1)12

n n ++个区域。

2.平面上n 条直线相交，内部最多能得到多少个区域？

方法（1）设n 条直线相交，内部最多能得到n a 个区域,则1230,0,1a a a ===。 下面来建立1n a +与n a 的关系，设已画出n 条直线的情况，对于n+1条直线，我们看成是在n 条的基础上再增加一条直线所得，设新增直线为L,L 与n 条直线最多有n 个交点，n 个交点将L 分为 n+1个部分，而每个部分均将其在的区域一分为二，只有两头两部分没有使所在区域增加一个内部区域，中间n-1个部分使所在区域均增加一个内部区域，所以增一条L ，使在n 条直线的基础上最多增加n-1个内部区域，从而11n n a a n +=+-。 由递推知112212,3,,0n n n n a a n a a n a a ----=--=--= 。 累加得11(2)(3)(4)10(1)(2)2

n a a n n n n n -=-+-+-+++=-- ,

故1(1)(2)2

n a n n =

--。

所以平面上n 条直线相交，内部最多能得到1

(1)(2)2

n n --个区域。

方法（2）我们已将“n 条直线最多能将平面分为

1(1)12

n n ++个区域”当作结论。

平面上n 条直线相交，要使内部区域最多，n 条直线应两两相交，且没有三线共点。此时正是n 条直线将平面分为1

(1)12n n ++个区域的情况，我们只需计算出外部区域的个数即

可，发现n （n ≥1）条直线有2n 个“头”，每个去掉一个“头”就能减少一个外部区域，故外部区域有2n 个，从而平面上n 条直线相交，内部最多能得到

11(1)12(1)(2)2

2

n n n n n ++-=

--个区域。

高三数学上学期直线和平面练习(附答案)

第七章 直线和平面 (一)选择题 1.有下列四个命题： (1)n 条直线中，若任意两条都共面，则这n 条直线都共面 (2)分别与两条异面直线都相交的两条直线是异面直线 (3)空间中有三个角是直角的四边形是矩形 (4)两条异面直线在同一平面内的射影不可能是平行线 其中，真命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.下列命题中，真命题是( ) A.若直线m 、n 都平行于平面α则m ∥n B.设α—l —β是直二面角，若直线m ⊥l,则m ⊥β C.若m 、n 在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且m ⊥n,则n 在α内或n 与α平行 D.若直线m 、n 是异面直线，若m 与平面α平行，则n 与α平行，则n 与α相交 3.已知直线a 、b 和平面α，下列命题正确的是( ) (1) a b a a b a ⊥????⊥∥ (2) b a a b a a ∥?? ?? ⊥⊥ (3) a b b a a a ∥????⊥⊥ (4) a a b a a b ⊥?? ??⊥∥ A.(1)(2) B.(1)(2)(3) C.(1)(2)(4) D.(2)(3)(4) 4.设α、β是两个不重合的平面，m 和l 是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分条( ) A.l ?α，m ?α且l ∥β，m ∥β B.l ?α， m ?β且l ∥m C.l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m D.l ∥α，m ∥β且l ∥m 5.四棱柱成平行六面体的充分但不必要条件是( ) A.底面是矩形 B.侧面是平行四边形 C.一个侧面是矩形 D.两个相邻侧面是矩形 6.二面角α—EF —β是直二面角，C ∈EF ，AC ?α，BC ?β，如果∠ACF=30°，∠ACB=60° ，∠BCF=θ，那么cos θ的值等于，则( ) A. 332 B.36 C.22 D.3 3 7.如图，有共同底边的等边△ABC 和等边三角形BCD 所在平面互相 垂直，则异面直线AB 和CD 所成角的余弦值为( )

车间责任区域划分

生产车间班长岗位职责 整个生产厂区、工人生活区及周边环境：（附公司总平面图） 责任人：陈金权 一、岗位素质及能力要求 要熟知企业规定的规章制度，了解铝合金门窗、塑钢门窗制造的全部过程，熟练掌握本车间所有工序的工艺流程，工艺要求，设备性能及车间衔接上下工序的过程特点，具有一定的行政管理能力，讲求工作方法和工作效果，具有独立处理车间各种突发性问题的能力。 二、职责范围 负责车间人员.生产.设备.质量.安全等方面的管理工作，负责工人宿舍以及食堂卫生安全管理工作。 三、人员管理 1、班长有权对所有生产人员，根据需要进行调整和安排。 2、班长负责记录车间生产人员的出勤情况。 3、如果车间出现突发性问题，班长有权调动本班所有人员，通力合作，共同解决问题，确保当班生产顺利进行 四、生产、质量与安全管理 1、根据车间下达的生产任务和作业计划，合理调配生产人员，安排好各岗位的生产任务，组织车间生产人员全面按时完成生产任务。 2、加强车间的生产质量控制和管理，负责要求车间员工严格执行岗位标准操作程序，严格按工艺文件规定组织生产，确保产品质量。 3、对生产过程中出现的质量问题，班长应采取及时有效的措施，与质检员、生产部管理员通力合作，消除不合理因素，减少质量损失。 4、全面负责生产过程的安全，每日下班前，做好水、电、汽、门的安全检查工作。严格遵守安全生产操作规范，即“安全操作”“节约用电”“预防为主”“安全生产”提高安全生产意识，确保安全生产，万无一失。 5、负责检查车间职工搞好车间环境卫生、工艺卫生和职工食堂住宿的环境卫生。督促职工严格执行工艺卫生管理制度，检查落实工艺卫生及卫生清洁标准操作程序，营造一个良好的工作环境。 6、班长必须发挥积极带头作用，对待工作仔细认真，树立良好的个人威信。 7、加强车间劳动纪律的管理，职工必须遵守厂规厂纪。 8、完成生产物流部主管安排的其他临时工作。

二元一次不等式(组)的平面区域教案.docx

二元一次不等式（组）的平面区域教案 教学设计 ．5.1 二元一次不等式所表示的平面区域整 体设计 教学分析 前面已经学习了一元一次不等式、一元二次不等式及其 解法，并且知道相应的几何意义．作为不等式模型，它们在生产、生活中有着广泛的应用．然而，在不等式模型中，除了它们之外，还有二元一次不等式模型．教材通过举例验证和归纳猜想的途径，得出二元一次不等式所表示的平面区域．本节的主要内容有：二元一次不等式的概念、表示的平面区域及相应的画法．其中，重点是二元一次不等式所表示的平面区域，难点是复杂的二元一次不等式组所表示的平面区域的确定．在教学中，可启发学生观察图象，循序渐进地理解掌握相关概念，以学生探究为主，老师点拨为辅，学生之间分组讨论，交流心得，分享成果，进行思维碰撞，同时可借助计算机等媒体工具来进行动态演示． 本节内容在教学中应体现以下几点：①注重探究过程．能正确地画出给定的二元一次不等式表示的平面区域， 是学习下节简单线性规划问题的重要基础．由于二元一次不

等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交 集，决定了问题的研究应从二元一次不等式所表示的平面区 域入手．②注重探究方法．充分理解二元一次不等式解集的 几何意义，以不等式解为坐标的所有点构成的集合，叫做不 等式表示的区域或不等式的图象．③注重探究手段．信息技 术可作为探究平台，有条件的学校可利用信息技术手段对直 线 Ax＋By＋ c＝ 0 一侧的点 P 的坐标进行跟踪显示，并将点P 的坐标代入Ax＋ By＋c 中，观察所得值的符号，由学生发现 处于直线 Ax＋By＋ c＝ 0 同侧的点的坐标代入 Ax＋ By＋c 中符号都相同，直线 Ax＋By＋ c＝0 异侧的点的坐标代入 Ax＋By＋ c 中符号不同，由此得到判定 Ax＋By＋ c＞ 0 表示的是直 线Ax＋By＋ c＝ 0 哪一侧的平面区 域．三维目标 ．通过本节探究，使学生了解并会用二元一次不等式表 示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；能画出 二元一次不等式所表示的平面区域． ．通过学生的亲身体验，培养学生观察、联想以及作图 的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生 “建模”和解决实际问题的能力． ．通过本节学习，着重培养学生深刻理解“数形结合” 的数学思想．尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用 “形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等

第21题 n条直线把平面划分成多少个区域-

第21题 n条直线把平面划分成多少个区域 平面上有n条直线两两相交，但没有三条直线交于一点。问这n条直线把平面划分成多少个区域？ 分析：当我们遇到一个较为复杂的数学问题时，往往想起与它类似的问题，类似的形式，类似的解法等等，并联想起与它相应的定理，相应的公式，相应的法则等，从而把所遇到的问题与联想起的问题进行比较。通过类比推理的思考方法，将所遇到的问题进行等效“转化”，向想起的问题“靠拢”，又将联想起的类似的方法“移植”到所遇到的问题上。因此在解决直线分平面的问题时，我们可通过类比和联想，从点分直线的情况出发来探索直线分平面的问题。 解：首先我们来考虑点分直线的问题。设一直线上的n个点能将直线分成a n个部分，那么容易得到a n=n+1。 接着我们再来研究直线分平面问题。平面上有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设这n条直线将平面分成b n个部分，在观察的基础上进行归纳可知，第k＋1条直线与前k条直线均相交得k个交点，由前面点分直线的情形可知，该直线被k个交点分成k＋1段，而其中每一段都把平面上的每一个区域分成两个区域，所以平面部分应增加(k＋1)块。由此可得递推关系式为 b k+1=b k＋(k＋1)，并且b1=2 所以，当k=1时，b2-b1=2 当k=2时，b3-b2=3 当k=3时，b4-b3=4 … 当k=n-1时，b n-b n-1=n 把以上n-1个式子相加得： (b2-b1)＋(b3-b2)+(b4-b3)＋…＋(b n-b n-1)

＝2＋3＋4＋…＋n 则： b n-b1=2＋3＋4＋…＋n 即：b n=2＋2＋3＋4＋…＋n 因此n条两两相交，且没有三线交于一点的直线可把平面分成 回顾：本题还可利用差分法来帮助发现规律，从而解决问题，首先我们考虑一条直线、两条直线、三条直线，……，将平面所分的区域数。 计算数列2，4，7，11，…的差分 由于二阶差分数列是非零的常数列，所以猜测bn是n的2次多项式bn=an2＋bn＋c，利用待定系数法，进一步求出a、b、c的值。 但我们运用差分法猜测得到的结论，还需通过数学归纳法加以论证。

两个平面的位置关系

三.两个平面得位置关系 知识提要 1.空间两个平面有相交（有一条公共直线）与平行（无公共点)两种位置关系. 2.(１）定义如果两个平面没有公共点,则称这两个平面互相平行． (2)判定如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面 平行。 （3)性质如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们得交线平行。 3.(1)定义如果两个平面相交,所成得二面角就是直二面角，则称这两个平面互相垂 直． （２)判定如果一个平面经过另一个平面得一条垂线,则这两个平面互相垂直. (３)性质（1)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线得直线,垂直于另一个平面． (2)如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于另一个平面得直线,也垂 直于交线. 4.二面角平面内一条直线把这个平面分成两个部分，其中得每一部分都叫做半平 面．一条直线与由这条直线出发得两个半平面所组成得图形叫做二面角。这条直线叫做二面角得棱,这两个半平面叫做二面角得面。 5.二面角得平面角以二面角棱上得任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱得两 条射线,这两条射线所成得角叫做二面角得平面角,二面角得平面角就是9０0时称直二面角。 6.作二面角得平面角有:定义法,三垂线(或其逆)定理法，垂面法．把平面角放入相关三 角形中求解。 课前练习 １.α、β就是两个不同得平面,m,ｎ就是平面α及β之外得两条不同直线，给出四个论断:①m ⊥ｎ，②α⊥β，③n⊥β,④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下得一个论断作为结论,写出您认为正确得一个命题,并证明它. 解析：m⊥α，ｎ⊥β，α⊥βm⊥n(或m⊥n,m⊥α，n⊥βα⊥β） 证明如下：过不在α、β内得任一点P，作PM∥m，ＰN∥n, 过PM、PN作平面r交α于MQ，交β于NQ。 ， 同理PN⊥ＮＱ． 因此∠ＭＰN＋∠MQN= 180°， 故∠MQN= 90°∠MＰN = 9０° 即m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n

n条直线能把平面最多分成几部分之欧阳家百创编

n条直线能把平 面最多分成几部 分 欧阳家百（2021.03.07） 一、画图探索． 一条线两条直线三条直线 【答案】B． 【点评】平面内一条直线将平面分成两部分，记作a1＝1＋1＝2；平面内两条直线将平面最多分成四部分，记作a2＝1＋1＋2＝4；平面内三条直线将平面最多分成七部分，记作a3＝1＋1＋2＋3＝7； 平面内四条直线将平面最多分成几部分？由图可知，共可分成11个部分，记作a4＝1＋1＋2＋3＋4＝11． 若平面上有n条直线，最多可将平面分成多少部分，此时n条直线的相对位置如何？

从前面的分析不难推出平面上有n条直线时，最多可将平面分成 a n＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋个部分，此时每两条直线都相交，且没有三条直线交于一点 二、为了探究n条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手．（1）一条直线把平面分成2部分；（2）两条直线最多可把平面分成4部分；（3）三条直线最多可把平面分成11部分…；把上述探究的结果进行整理，列表分析：直线条数把平面分成部分数写成和形式 1 2 1+1 2 4 1+1+2 3 7 1+1+2+3 4 11 1+1+2+3+4 ……… （1）当直线条数为5时，把平面最多分成 16 部分，写成和的形式 1+1+2+3+4+5 ；（2）当直线为10条时，把平面最多分成 56 部分；（3）当直线为n条时，把平面最多分成 n(n+1) 2 +1

解答：解：（1）根据表中规律，当直线条数为5时，把平面最多分成16部分，1+1+2+3+4+5=16；（2）根据表中规律，当直线为10条时，把平面最多分成56部分，为1+1+2+3+… +10=56；（3）设直线条数有n条，分成的平面最多有m 个．有以下规律： n m1 1+12 1+1+23 1+1+2+3：：：n m=1+1+2+3+…+n= n(n+1) 2 +1． 本题体现了由“特殊到一般再到特殊”的思维过程，有利于培养同学们的探究意识． 三、平面内有n条直线，其中没有两条互相平行，也没有三条交于一点，一共有多少个交点？ 因为每两条直线都确定一个交点,则每一条直线与另外的(n-1)条直线都有一个交点,所以共有n(n-1)个交点.但是每一个交点都重复计算了一次,(例如直线a,b的交点和直线b,a的交点就是同一个)因此应该除以2.是故共有n(n-1)/2个交点. 平面内n条直线，把这个平面最多分成几部分 第1条分成2个, 第2条分成4个, 第3条分成7个, 第4条分成11个, 第2条比第1条多分2个, 第3条比第2条多分3个第4条比第3条多分4个所以第n条,比第n-1条多分n个. 第2条的个 数:4=2+2 第3条的个数:7=2+2+3 第4条的个数:11=2+2+3+4 第n 条的个数:=2+2+3+4+ ----- +n 2+2+3+4+ ----- +n =1+1+2+3+4+ ----

检验平面与平面的位置关系

8.5 检验平面与平面的位置关系 上海师范大学第三附属中学吴珍英教学目的：1、掌握检验平面与平面垂直、平行的几种方法；会用合适的工具进行简单的检验操作；能从长方体中找到现成检验的工具。 2、从直线与平面的位置关系检验到平面与平面的位置关系检验的学习，体验观 察、比较和归纳，初步培养学生运用类比的思想。 3、通过学生动手进行简单的实践操作，提高学习兴趣，学会团队合作的精神，同时也深刻 体会到“学以致用”的道理。 教学重点：掌握检验平面与平面垂直、平行的几种方法并会进行简单地检验操作。教学难点：在学习新知的过程中能够培养学生实验操作的意识，学会从实践中去掌握新知识，从旧知识中类比得到新知识。 教学用具：多媒体、铅垂线、长方形纸片、合页型折纸 教学过程：一、新课引入吴老师家新买了一个书柜，但是摆放好之后，总觉得书柜左右倾斜，连放书的搁板都是左高右低的，你作为售后服务员知道问题出在哪里吗？能不能消除吴老师的顾虑呢？ （现实问题的提出引发学生学习的兴趣。）引导学生指出，其实问题的关键就在 于“书柜的左右倾斜” 只要能检验出书柜的左右两个面都与地面是垂直的，那么就不可能倾 斜；而“搁板的左高右低”只要检验两块板是平行的，就不会出现这样的情况。那么怎么去检 验呢？这就是我们今天所要学的内容。 二、新课展开怎么去检验面与面的垂直、平行关系呢？整节都是带着这样一个问题展开。为了 和检验直线与平面的垂直和平行关系相类比提出了以下的问题： 1、我们学过检验的方法吗？（有，直线和平面垂直、平行关系的检验。） 2、那么直线和平面垂直、平行关系是如何检验的？ （一）复习直线和平面垂直检验方法：铅垂线、一副三角尺、合页型折纸过程描述：铅垂 线——如果铅垂线与被检测的直线紧贴，那么直线与水平面垂直；一副三角尺——两把三角 尺相交放置，如果两把三角尺各有一条边紧贴面，且另一条直角边都能紧贴直线则直线与平面 垂直；合页型折纸——合页型折纸直立于平面，如果折痕与直线紧贴，则直线与平面垂直。 （二）平面与平面垂直的检验那么平面与平面的垂直检验可能用什么方法呢？可能用以上的 三种方法。 1、铅垂线实践操作：观察可得课桌的侧面是垂直于地面的，接着用自制的铅垂线检验，观 察铅垂线与课桌侧面的情况；继续观察相邻的两个墙面；老师准备的两个不垂直的平面。 （四人一小组，一人操作，两人观察，一人记录。观察铅垂线是否紧贴课桌侧 面。）

点线面之间的位置关系的知识点总结

高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。 2 公理4：平行于 c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2

总平面图设计规范

工业企业总平面设计规范GB50187－93 主编部门：中国工业运输协会 批准部门：中华人民共和国建设部 施行日期：1994年5月1日 关于发布国家标准《工业企业总平面设计规范》的通知 建标［1993］730号 根据国家计委计综［1986］250号文的要求，由中国工业运输协会会同有关部门共同编制的《工业企业总平面设计规范》，已经有关部门会审。现批准《工业企业总平面设计规范》GB50187－93为强制性国家标准，自一九九四年五月一日起施行。 本规范由冶金工业部负责管理，其具体解释等工作由武汉钢铁设计研究院负责。出版发行由建设部标准定额研究所负责组织。 中华人民共和国建设部 一九九三年九月二十七日 编制说明 本规范是根据国家计委计综〔1986〕250号文的要求，由我会秘书处会同有关单位共同编制而成的。 在本规范的编制过程中，规范编制组进行了广泛的调查研究，认真总结了多年来工业企业总平面设计的实践经验，吸取了有关科研成果，参考了国外的有关标准，并广泛地征求了全国有关单位的意见，最后，由我会会同有关部门审查定稿。 本规范共分九章和三个附录，主要内容有：总则，厂址选择，总体规划，总平面布置，运输线路及码头布置，竖向设计，管线综合布置，绿化布置，主要技术经济指标等。 鉴于本规范系初次制定，在执行过程中，希望各有关单位结合设计实践和科学研究，注意积累资料，认真总结经验，并请将需要修改、补充的意见和有关资料寄交武汉钢铁设计研究院（武汉市青山区冶金大道12号，邮政编码：430080），以供今后修订时参考。 中国工业运输协会 1993年6月 第一章总则 第1.0.1条为使工业企业总平面设计，遵循国家有关法律、法规和方针、政策，统一工业企业总平面设计的原则和技术要求，做出符合国情、布置合理、生产安全、技术先进、经济效益、社会效益和环境效益好的设计，制定本规范。 第1.0.2条本规范适用于工业企业新建、改建及扩建的总平面设计。对工业企业在总平面设计

坐标平面上的直线知识点归纳

坐标平面上的直线知识点归纳 一、直线的倾斜角和斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么 α就叫做直线的倾斜角。 注意：规定当直线和x 轴平行或重合时，其倾斜角为o 0，所以直线的倾斜角α的范o o （2）直线的斜率：倾斜角不是o 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，①斜率是用来表示倾斜角不等于o 90的直线对于x 轴的倾斜程度的。 ②每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。 ③斜率计算公式： 设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ， 则当21x x ≠时，2 121tan x x y y k --==α；当21x x =o 二、直线方程的几种形式： （1）点斜式：过已知点),(00y x ，且斜率为k 的直线方程：)(00x x k y y -=-； 注意：①当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =； ②k x x y y =--0 0表示：)(00x x k y y -=-直线上除去),(00y x 的图形 。

（2）斜截式：若已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=； 注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。 （3）两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠），则直线的方程：1 21121x x x x y y y y --=--； 注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ②当两点式方程写成如下形式0))(())((=-----x x y y y y x x 时， 方程可以适应在于任何一条直线。 （4）截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （0,0≠≠b a ）则直线方程： 1=+b y a x ； 注意：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表 示过原点的直线，要谨慎使用。 （5）参数式：? ??+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）其中方向向量为),(b a ，),(2222b a b b a a ++； a b k =；22||||b a t PP o +=； 点21,P P 对应的参数为21,t t ，则222121| |||b a t t P P +-=； ???+=+=α αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）其中方向向量为)sin ,(cos αα， t 的几何意义为||o PP ；斜率为αtan ；倾斜角为)0(παα<≤。 （6）一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：0=++C By Ax ；（B A ,不同时为零）； 反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。

1 平面区域问题

阅读使人快乐，成长需要时间 第一讲 平面区域问题 一 知识扫描: 早在1826年,法国大数学家傅立叶便研究过如何解决一组联立线性不等式的问题.这以后一直有数学家做过相关的研究工作,直到美国的G.B.Dantzig 教授在1947年完善了这一理论.这类问题的特点是:在若干可能的方案中寻求某种意义下的最优方案,数学上称为最优化问题,而研究处理这种问题的方法叫最优化的方法.优化模型是一种特殊的数学模型,一般有下面三个要素: (1)决策变量,它通常是该问题要求解的那些未知量； (2)目标函数,通常是该问题要优化(最大或最小)的那个目标的数学表达式,它是决策变量的函数； (3)约束条件,该问题对决策变量的限制条件. 下面来看看几个具体的知识要点和处理问题的方式方法 1 直线(曲线)划分平面区域 直线0=++C By Ax 将平面划分为两个半平面0>++C By Ax 和0Ax By C ++<,位于同一半平面内的点,其坐标必适合同一个不等式,要确凿一个二元一次不等式所表示的半平面,可用“特殊点”法，（也可分离变量y ，化为()y f x >或()y f x <，借助“数形结合” 来直观划分直线上、下区域）.同样的,对于圆222()()x a y b r -+-=,椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x ,双曲线)0,0(12 222>>=-b a b y a x ,抛物线)0(22 >=p px y ,都将平面划分为两个半平面,也可以用“特殊点”法来检验判断不等式表示的区域属于哪个半平面. 2 线性规划 (1)对于变量,x y 的约束条件,都是关于,x y 的一次不等式,称为线性约束条件,(,)z f x y =是欲达到最大(小)值所涉及的变量,x y 的解析式,叫做目标函数.当(,)f x y 是关于,x y 的一次解析式时,(,)z f x y =叫做线性目标函数；(2)求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题称为线性规划问题,满足线性约束条件的解(,)x y 称为可行解.由所有解组成的集合叫可行域,使目标函数取得最值的可行解叫最优解. 一般地,如果目标函数或约束条件中包含非线性函数,就称这种规划问题为非线性规划问题. 3

n条直线能把平面最多分成几部分

n条直线能把平面最多分成几部分 一、画图探索． 一条线两条直线三条直线 【答案】B． 【点评】平面内一条直线将平面分成两部分，记作a1＝1＋1＝2； 平面内两条直线将平面最多分成四部分，记作a2＝1＋1＋2＝4； 平面内三条直线将平面最多分成七部分，记作a3＝1＋1＋2＋3＝7； 平面内四条直线将平面最多分成几部分？由图可知，共可分成11个部分，记作a4＝1＋1＋2＋3＋4＝11． 若平面上有n条直线，最多可将平面分成多少部分，此时n条直线的相对位置如何？ 从前面的分析不难推出平面上有n 条直线时，最多可将平面分成an＝1＋1＋2＋3＋4＋...＋n＝1＋个部分，此时每两条直线都相交，且没有三条直线交于一点 二、为了探究n条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手． （1）一条直线把平面分成2部分； （2）两条直线最多可把平面分成4部分； （3）三条直线最多可把平面分成11部分...； 把上述探究的结果进行整理，列表分析： 直线条数 把平面分成部分数 写成和形式 1 2 1+1 2 4 1+1+2 3 7 1+1+2+3 4 11 1+1+2+3+4 ... ... ... （1）当直线条数为5时，把平面最多分成 16 部分，写成和的形式

1+1+2+3+4+5 ； （2）当直线为10条时，把平面最多分成 56 部分； （3）当直线为n条时，把平面最多分成 n(n+1) 2 +1 解答：解： （1）根据表中规律，当直线条数为5时，把平面最多分成16部分，1+1+2+3+4+5=16；（2）根据表中规律，当直线为10条时，把平面最多分成56部分，为1+1+2+3+...+10=56；（3）设直线条数有n条，分成的平面最多有m个． 有以下规律： n m 1 1+1 2 1+1+2 3 1+1+2+3 ： ： ： n m=1+1+2+3+...+n= n(n+1) 2 +1． 本题体现了由"特殊到一般再到特殊"的思维过程，有利于培养同学们的探究意识． 三、平面内有n条直线，其中没有两条互相平行，也没有三条交于一点，一共有多少个交点？ 因为每两条直线都确定一个交点,则每一条直线与另外的(n-1)条直线都有一个交点,所以共有n(n-1)个交点.但是每一个交点都重复计算了一次,(例如直线a,b的交点和直线b,a的交点就是同一个)因此应该除以2.是故共有n(n-1)/2个交点. 平面内n条直线，把这个平面最多分成几部分 第1条分成2个, 第2条分成4个, 第3条分成7个, 第4条分成11个, 第2条比第1条多分2个, 第3条比第2条多分3个第4条比第3条多分4个所以第n条,比第n-1条多分n 个. 第2条的个数:4=2+2 第3条的个数:7=2+2+3 第4条的个数:11=2+2+3+4 第n条的个数:=2+2+3+4+ ----- +n 2+2+3+4+ ----- +n =1+1+2+3+4+ ---- +n =1+n*(n+1)/2 当n=1时,1+n*(n+1)/2=2 当n=2时,1+n*(n+1)/2=4 当n=3时,1+n*(n+1)/2=7 所以n条直线把平面分成1+n*(n+1)/2个

高中数学 空间点,直线和平面的位置关系公式

空间点，直线和平面的位置关系 一，线在面内的性质： 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二，平面确定的判定定理： 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三，两面相交的性质： 定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。 四，直线平行的判定定理： 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五，等角定理： 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。 六，异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角） 七，直线和平面平行的判定定理： 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。 符合表示：

β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ? ????=??βαβαα 八，平面与平面平行判定定理： 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 符号表示： β αββαα //////??????????=??b a M b a b a 推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 九，平面与平面平行的性质： 定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβα

平面与平面之间的位置关系附答案

平面与平面之间的位置关系 [学习目标] 1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示. 知识点一直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系 (1)按公共点个数分类 (2)按直线是否在平面内分类 思考“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？ 答不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行. 知识点二两个平面的位置关系 答这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面. 题型一直线与平面的位置关系 例1下列命题中，正确命题的个数是()

①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行； ③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b； ④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α. A.0 B.2 C.1 D.3 答案 C 解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中， AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC?平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.故答案为C. 跟踪训练1以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b?α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b?α，则a∥b.其中正确命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 答案A 解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB?平面 ABCD，但CD?平面ABCD，故①错误； A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误； AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故③错误； A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误. 题型二平面与平面的位置关系 例2以下四个命题中，正确的命题有() ①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行； ②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行； ③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这

高二数学 上学期平面区域问题例题解析

高二数学 上学期平面区域问题知识点分析 在直角坐标平面内，直线l 可以用二元一次方程Ax +By +C =0来表示，点P (x 0,y 0)在直线l 上的充要条件是Ax 0+By 0+C =0；若点P 不在直线l 上，则Ax 0+By 0+C ＞0或Ax 0+By 0+C ＜0，二者必居其一. 直线l ：Ax +By +C =0将平面划分为两个半平面Ax +By +C ＞0和Ax +By +C ＜0，位于同一个半平面内的点，其坐标必适合同一个不等式.要确定一个二元一次不等式所表示的半平面，可用“特殊点”法，如取原点或坐标轴上的点来检验.另外，还可证明如下结论： （1）若A ＞0，则Ax +By +C ＞0表示直线l :Ax +By +C =0右侧的半平面，Ax +By +C ＜0表示直线l 左侧的半平面. （2）若B ＞0，则Ax +By +C ＞0表示直线l :Ax +By +C =0上方的半平面，Ax +By +C ＜0表示直线l 下方的半平面. ［例1］在直角坐标平面上有两个区域M 和N .M 是由y ≥0，y ≤x 和y ≥z -x 这三个不等式确定的.N 是随t 变化的区域，它由不等式t ≤x ≤t +1的确定，t 的取值范围是0≤t ≤1.设M 和N 的公共面积是函数f (t )，求证：f (t )=-t 2+t +2 1. 导析：这是一个基本问题，关键是确定M 和N 的公共部分的形状.可先让学生自行画出M 、N 这两个区域，然后再作判断. 如图所示，依题意，区域M 是图中△AOB ,区域N 是直线x =t 与x =t +1(0≤t ≤1)之间的带形域.M 和N 的公共部分为图中的阴影部分五边形ACDEF （包括边界）. 关于五边形ACDEF 面积的计算，可引导学生从下面三个途径去考虑： （1）△AOB 的面积减去Rt △ODC 、Rt △BEF 的面积； （2）过A 作x 轴的垂线，将其划分为两个直角梯形来计算； （3）连结CF ，将其划分为一个直角三角形CAF 和一个直角梯形CDEF 去求解. ［例2］已知实数x 、y 满足2x +y ≥1，求u =x 2+y 2+4x -2y 的最小值. 导析：注意到所求式的结构特点，学生容易想到将其作如下的配方变形. u =(x +2)2+(y -1)2-5 显然，(x +2)2+(y -1)2表示点P （x ,y )与定点A （-2,1)的距 离的平方. 由约束条件2x +y ≥1知，点P （x ，y ）在直线l ：2x +y =1 的右上方区域G . 于是，问题转化为求定点A （-2，1）到区域G 的最近距离. 由图知，点A 到直线l 的距离为A 到区域G 中点的距离的 最小值. d =541211)2(222=+-+-?

发热门诊布局标准图

发热门诊布局标准图 今年疫情期间，国家启动发热门诊和传染病医院的建设工程。现结合近期完成的一些具体项目，说说应急发热门诊的设计： 应急发热门诊一般采用模块化、标准化设计，设计有效使用年限为5年，耐火等级为二级。 应急发热门诊，相同使用功能的箱体、板材及构配件宜有通用性、互换性，外观简洁、美观，保温、隔声、防水、防火等满足国家规范、标准。 一、应急发热门诊主要是结合现有的医院等医疗机构来建设，应怀医疗机柳眉内其它区域进行有效隔离，找一块相对独立的区域进行设计。 与普通门（急）诊相对隔离，并宜临近急诊，设立相对独立的出入口，便于患者筛查、转运。 二、发热门诊与医院的其它医疗用房的卫生间距不应小于20米。这个20米的卫生防护间距，在《传染病医院建筑设计规范》里要求是绿化隔离带的宽度至少20米，不包括道路、停车场的宽度。以前的老规范要求卫生间距是30米。

三、发热门诊的功能是：对发热患者进行鉴诊、诊断、检查、治疗等，对于“新冠肺炎”疑似病例，安排到隔离留观病区观察、治疗，并按照要求进一步诊断。当患者确诊为“新冠肺炎”等呼吸道传病时，按照要求转诊至定点医院救治，进行规范治疗。 四、发热门诊的平面布局简单说就是“三区两通道”，洁污分离。三区是清洁区、半污染区和污染区，两通道是指医护人员通道和患者通道。即医护人员和患者进入污染区时，应分别走不同的入口和通道。同时医护人员和患者应通过不同的出口退出，且医护人员返回清洁区的口部和进入污染区口部应分别设置，不得合用。 1、发热门诊平面布局应当划分为清洁区、半污染区、污染区，并设置醒目标识。三区相互无交叉，使用面积应当满足日常诊疗工作及生活需求。其中，病人活动应当限制在污染区，医务人员一般的工作活动宜限制在清洁区；半污染区位于清洁区与污染区之间的过渡地段。 2、发热门诊应当合理设置清洁通道、污染通道，设置患者专用出入口和医务人员专用通道，合理组织清洁物品和污染物品流线，有效控制院内交叉感染。各出入口、通道应当设有醒目标识，避免误入。

平面与平面之间的位置关系(附答案)

平面与平面之间得位置关系 [学习目标]１、了解直线与平面之间得三种位置关系,会用图形语言与符号语言表示、2。了解平面与平面之间得两种位置关系,会用符号语言与图形语言表示。 知识点一直线与平面得位置关系 1。直线与平面得位置关系 (1)按公共点个数分类 错误! (2)按直线就是否在平面内分类 错误! 思考“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”就是相同得意义吗？ 答不就是、前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况;而后者仅指直线与平面平行、 知识点二两个平面得位置关系

答这两条直线没有公共点,故它们得位置关系就是平行或异面. 题型一直线与平面得位置关系 例1 下列命题中,正确命题得个数就是( ) ①如果ａ,b就是两条直线,a∥ｂ,那么a平行于经过b得任何一个平面; ②如果直线a与平面α满足a∥α,那么a与平面α内得任何一条直线平行; ③如果直线a,b满足a∥α,b∥α,那么a∥ｂ; ④如果平面α得同侧有两点A,B到平面α得距离相等,那么ＡB∥α。 A、0 B.2Ｃ、1 D.3 答案C 解析如图,在长方体ABCD—A′B′Ｃ′D′中, AA′∥BＢ′,ＡA′却在过BＢ′得平面ＡＢ′内,故命题①不正确;AA′∥平面B′C,BＣ?平面B′C,但AA′不平行于BC,故命题②不正确;AA′∥平面B′Ｃ,Ａ′D′∥平面Ｂ′C,但ＡＡ′与Ａ′D′相交,所以③不正确;④显然正确.故答案为C、 跟踪训练1 以下命题(其中a,b表示直线,α表示平面),①若a∥b,b?α,则ａ∥α;②若a∥α,ｂ∥α,则ａ∥ｂ;③若ａ∥b,b∥α,则ａ∥α;④若ａ∥α,ｂ?α,则ａ∥b、其中正确命题得个数就是() A。０B、1C、２D。3 答案A 解析如图所示在长方体ABCD－A′B′Ｃ′D′中,AＢ∥CD,AB?平面ABCD,但ＣD?平面ABＣＤ,故①错误; A′Ｂ′∥平面ＡBCD,B′C′∥平面ＡBＣD,但A′Ｂ′与B′C′相交,故②错误; AＢ∥A′B′,A′B′∥平面ＡＢＣD,但ＡB?平面ＡBCD,故③错误; A′B′∥平面ABCD,BC?平面ABＣD,但A′B′与BC异面,故④错误、

(整理)平面区域问题

平面区域问题 1 平面区域的确定 1．1 不等式的区域 我们把满足不等式F(x，y)＞0的点(x，y)的集合称为不等式F(x，y)＞0的区域．对于不等式F(x，y)＞0，如果方程F(x，y)=0确定平面内一实曲线，则曲线把平面分成若干个区域G1，G2，…． 在每一个区域内任取一点，坐标满足F(x，y)＞0的区域的并集，即为原不等式的区域． 为方便起见，我们常选取一些简单的特殊点(如坐标原点等)来计算 F(x，y)的值． 例如，求x2＞2y2＋1的区域． 先画出x2=2y2＋1的曲线(图1)，然后用原点(0，0)代入原不等式，不能成立，再取(2，0)代入原不等式，能成立．故x2＞2y2＋1所表示区域为双曲线“内部”(含焦点部分)． 1．2 不等式组的区域 我们把同时满足若干个不等式的点的集合叫做这些不等式构成的不等式组的区域． 不等式组的区域是不等式中每一个不等式区域的交集．为方便起见，我们也可以通过用特殊点法求出每一个小区域内有关式子的符号，来判断不等式组的区域． 例如，求不等式(y－x＋1)(2x－y－3)＞0所表示的区域． 首先作出两直线y－x＋1=0与2x－y－3＝0的图象(图2)，它们将平面分成四个部分．为确定(y－x＋1)(2x－y－3)＞0的区域，可以用两种方法．

不等式y－x＋1＞0可化为y＞x－1，表示直线y－x＋1=0的“上方”；同样，2x－y－3＞0表示直线2x－y－3=0的“下方”．所以不等式组(1)表示的区域为图2中的区域Ⅰ，不等式组(2)表示区域Ⅲ．故本题所表示的区域为将Ⅰ、Ⅲ两部分合并而成的区域． 方法2：分别在四个区域内选取特殊点，如区域Ⅰ内选点(4，4)，区域Ⅱ内选点(0，0)，区域Ⅲ内选点(0，－2)，区域Ⅳ内选点(2，0)，分别代入检验，以确定符合条件的区域范围． 对于含有复数的不等式组，可结合复数几何意义来确定平面区域． 集合A={z||z－1|≤1}表示以(1，0)为圆心，以1为半径的圆内区域(含圆)，B 图3中的阴影部分(含曲线和线段OA1，但不含线段OB)． 学生解题时，常将A∩B表示为第一象限内的弓形区域部分，而忽视了下半圆区域的存在． 2 平面区域问题例举 2．1 平面区域的单纯性题型 这类问题是只需根据题意作出所要求的平面区域范围，便可直接求解的单纯性问题． 例1 已知三个集合M，N，P，M＝{(x，y)| |x|＋|y|＜1}，N={(x，y)|

施工现场的平面布置与划分()

施工现场的平面布置与划分 施工现场的平面布置图是施工组织设计的重要组成部分，必须科学合理的规划，绘制出施工现场平面布置图，在施工实施阶段按照施工总平面图要求，设置道路、组织排水、搭建临时设施、堆放物料和设置机械设备等。 ? 1? 施工总平面图编制的依据 (1)工程所在地区的原始资料，包括建设、勘察、设计单位提供的资料； (2)原有和拟建建筑工程的位置和尺寸； (3)施工方案、施工进度和资源需要计划； (4)全部施工设施建造方案； (5)建设单位可提供房屋和其他设施。 2施工平面布置原则 ??? (1)满足施工要求，场内道路畅通，运输方便，各种材料能按计划分期分批进场，充分利用场地； ??? (2)材料尽量靠近使用地点，减少二次搬运； ??? (3)现场布置紧凑，减少施工用地； ??? (4)在保证施工顺利进行的条件下，尽可能减少临时设施搭设，尽可能利用施工现场附近的原有建筑物作为施工临时设施； ??? (5)临时设施的布置，应便于工人生产和生活，办公用房靠近施工现场，福利设施应在生活区范围之内； (6)平面图布置应符合安全、消防、环境保护的要求。 3? 施工总平面图表示的内容 (1)拟建建筑的位置，平面轮廓； (2)施工用机械设备的位置； (3)塔式起重机轨道、运输路线及回转半径； (4)施工运输道路、临时供水、排水管线、消防设施； (5)临时供电线路及变配电设施位置； (6)施工临时设施位置； (7)物料堆放位置与绿化区域位置；

(8)围墙与人口位置。 4 施工现场功能区域划分要求 施工现场按照功能可划分为施工作业区、辅助作业区、材料堆放区和办公生活区。施工现场的办公生活区应当与作业区分开设置，并保持安全距离。办公生活区应当设置于在建建筑物坠落半径之外，与作业区之间设置防护措施，进行明显的划分隔离，以免人员误入危险区域；办公生活区如果设置在在建建筑物坠落半径之内时，必须采取可靠的防砸措施。功能区的规划设置时还应考虑交通、水电、消防和卫生、环保等因素。 这里的生活区是指建设工程作业人员集中居住、生活的场所，包括施工现场以内和施工现场以外独立设置的生活区。施工现场以外独立设置的生活区是指施工现场内五条件建立生活区，在施工现场以外搭设的用于作业人员居住生活的临时用房或者集中居住的生活基地。