N条直线能把平面分成几块

N条直线能把平面分成几块

一、摘要

在生活中常常用直线来分平面，本研究是要探讨如何用直线划分平面成最多块和最少块，并找出规则和公式。我们发现分成几块和线数、交点数有关系。N 条线全部平行、没有交点，能分成最少N+1 块，每增加一个两线交点，就会增加 1 块。每增加一个三线交点，会增加2 块。每增加一个四线交点，会增加3 块。以此类推，每增加一个n 线交点，就会增加n-1 块。N 条线完全没有平行、只有两线交点的话，就能分成最多（N2+N+2）÷2 块。注:N 等于线段的数量。

二、研究动机及目的：

有一天，我们做一个“猫与老鼠”的题目。感情交恶的猫与老鼠合计16只，想让老鼠不被猫吃掉，要用直线来把牠们一只只分开，最少用5条就可以把它们分开。所以我们就想研究用直线来分平面，最少能分成几块？最多能分成几块？有没有规则或公式？

三、研究设备器材：

笔和纸。

四、研究过程或方式：

我们找50个同学，请每位同学分别用三条、四条、五条、六条直线来分平面，再把得到的结果整理分类，然后用表格整理，找出规则和公式。

五、研究结果：

（一）、什么情况下可分成最多块、最少块

我们发现，不管是2 条、3 条、4 条、5 条或6 条直线，全部都平行、都没有交点时是最少块的；如果没有平行线，每一条线都跟其他条直线都有交点的话，会分成最多块。(二)、找出交点、线数、块数间的关系。

我们已经知道，N条直线平行时，得到的块数是最少的。所以，我们慢慢减少平行线，讨论N条直线与两线交点、三线交点、四线交点，试着找出点、线、块之间的关系。

(1) 两线交点的情况

我们发现，全部平行线、都没有交点时块数最少，得到的块数＝线段+1。不管怎么分，只要线数和点数相同，得到的块数也会相同。每增加一个两线交点，就会增加 1 块，点、线、块的关系是：（线段+1）+点数＝块数。

我们发现，每增加一个三线交点，会增加2 块。如果同时有两线交点和三线交点，点、线、块的关系是：（线段+1）+（1×两线交点数）+（2×三线交点数）＝块数。

我们发现，每增加一个四线交点，会增加3 块。如果同时有两线交点、三线交点和四线交点，所得到的块数是（线段+1）+（1×两线交点数）+（2×三线交点数）+（3×四线交点数）。

（三）、如何求出最多块数的公式

因为每一条线都跟其他条线都有交点的话，分成最多块。所以，要求出最多块数，

我们发现有N 条线的时候，每一条线都可以碰到其他条线，所以每条线都会产生(N-1)个点，总共N×（N-1）个点，但有一半是重复的，所以要除以2 扣掉。分成最多块，得到的交点数是：N×(N-1)÷2=(N2-N)/2。每增加一个两线交点，块数=（线段+1）+点数。所以最多块的求法是：N+1+（N2-N）/2=（N2+N+2）/2。

六、讨论与结论：

（一）、当N 条线段都平行时，会分成最少块，最少为N+1 块。

每一条线都跟其他条线有互相交错的话，会分成最多块。

（二）、N 条线分平面所得到的块数，跟线数、点数有关系。如果有一样

多条的直线，不管怎么分，只要点数相同，得到的块数也会相同。

（三）、每增加一个两线交点，就会增加1 块

每增加一个三线交点，会增加2 块。

每增加一个四线交点，会增加3 块。

每增加一个n 线交点，就会增加(n-1)块。

（四）、有N 条线分平面，点、线、块的关系：

(1) 如果平面只有两线交点，（N+1）+两线交点数＝块数。

(2) 如果同时有两线交点与三线交点，（N+1）+（1×两线交点数）+（2×三线交点数）＝块数。

(3) 如果同时有两线交点与三线交点、四线交点，块数＝（N+1）

+（1×两线交点数）+（2×三线交点数）+（3×四线交点数）。

(4) 我们推论，当N 条直线分平面，同时有两线交点与三线交点、四线交点….N 线交点，所得块数＝(N+1) + (1×两线交点数) + (2×三线交点数) + (3×四线交点数) +….(N-1) ×(N 线交点数)。

（五）、N 条线分成最多块时，全部是两线交点。所以N 条线分成最多块的公式是（N2+N+2）÷2=块数。

高三数学上学期直线和平面练习(附答案)

第七章 直线和平面 (一)选择题 1.有下列四个命题： (1)n 条直线中，若任意两条都共面，则这n 条直线都共面 (2)分别与两条异面直线都相交的两条直线是异面直线 (3)空间中有三个角是直角的四边形是矩形 (4)两条异面直线在同一平面内的射影不可能是平行线 其中，真命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.下列命题中，真命题是( ) A.若直线m 、n 都平行于平面α则m ∥n B.设α—l —β是直二面角，若直线m ⊥l,则m ⊥β C.若m 、n 在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且m ⊥n,则n 在α内或n 与α平行 D.若直线m 、n 是异面直线，若m 与平面α平行，则n 与α平行，则n 与α相交 3.已知直线a 、b 和平面α，下列命题正确的是( ) (1) a b a a b a ⊥????⊥∥ (2) b a a b a a ∥?? ?? ⊥⊥ (3) a b b a a a ∥????⊥⊥ (4) a a b a a b ⊥?? ??⊥∥ A.(1)(2) B.(1)(2)(3) C.(1)(2)(4) D.(2)(3)(4) 4.设α、β是两个不重合的平面，m 和l 是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分条( ) A.l ?α，m ?α且l ∥β，m ∥β B.l ?α， m ?β且l ∥m C.l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m D.l ∥α，m ∥β且l ∥m 5.四棱柱成平行六面体的充分但不必要条件是( ) A.底面是矩形 B.侧面是平行四边形 C.一个侧面是矩形 D.两个相邻侧面是矩形 6.二面角α—EF —β是直二面角，C ∈EF ，AC ?α，BC ?β，如果∠ACF=30°，∠ACB=60° ，∠BCF=θ，那么cos θ的值等于，则( ) A. 332 B.36 C.22 D.3 3 7.如图，有共同底边的等边△ABC 和等边三角形BCD 所在平面互相 垂直，则异面直线AB 和CD 所成角的余弦值为( )

第21题 n条直线把平面划分成多少个区域-

第21题 n条直线把平面划分成多少个区域 平面上有n条直线两两相交，但没有三条直线交于一点。问这n条直线把平面划分成多少个区域？ 分析：当我们遇到一个较为复杂的数学问题时，往往想起与它类似的问题，类似的形式，类似的解法等等，并联想起与它相应的定理，相应的公式，相应的法则等，从而把所遇到的问题与联想起的问题进行比较。通过类比推理的思考方法，将所遇到的问题进行等效“转化”，向想起的问题“靠拢”，又将联想起的类似的方法“移植”到所遇到的问题上。因此在解决直线分平面的问题时，我们可通过类比和联想，从点分直线的情况出发来探索直线分平面的问题。 解：首先我们来考虑点分直线的问题。设一直线上的n个点能将直线分成a n个部分，那么容易得到a n=n+1。 接着我们再来研究直线分平面问题。平面上有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设这n条直线将平面分成b n个部分，在观察的基础上进行归纳可知，第k＋1条直线与前k条直线均相交得k个交点，由前面点分直线的情形可知，该直线被k个交点分成k＋1段，而其中每一段都把平面上的每一个区域分成两个区域，所以平面部分应增加(k＋1)块。由此可得递推关系式为 b k+1=b k＋(k＋1)，并且b1=2 所以，当k=1时，b2-b1=2 当k=2时，b3-b2=3 当k=3时，b4-b3=4 … 当k=n-1时，b n-b n-1=n 把以上n-1个式子相加得： (b2-b1)＋(b3-b2)+(b4-b3)＋…＋(b n-b n-1)

＝2＋3＋4＋…＋n 则： b n-b1=2＋3＋4＋…＋n 即：b n=2＋2＋3＋4＋…＋n 因此n条两两相交，且没有三线交于一点的直线可把平面分成 回顾：本题还可利用差分法来帮助发现规律，从而解决问题，首先我们考虑一条直线、两条直线、三条直线，……，将平面所分的区域数。 计算数列2，4，7，11，…的差分 由于二阶差分数列是非零的常数列，所以猜测bn是n的2次多项式bn=an2＋bn＋c，利用待定系数法，进一步求出a、b、c的值。 但我们运用差分法猜测得到的结论，还需通过数学归纳法加以论证。

n条直线能把平面最多分成几部分之欧阳家百创编

n条直线能把平 面最多分成几部 分 欧阳家百（2021.03.07） 一、画图探索． 一条线两条直线三条直线 【答案】B． 【点评】平面内一条直线将平面分成两部分，记作a1＝1＋1＝2；平面内两条直线将平面最多分成四部分，记作a2＝1＋1＋2＝4；平面内三条直线将平面最多分成七部分，记作a3＝1＋1＋2＋3＝7； 平面内四条直线将平面最多分成几部分？由图可知，共可分成11个部分，记作a4＝1＋1＋2＋3＋4＝11． 若平面上有n条直线，最多可将平面分成多少部分，此时n条直线的相对位置如何？

从前面的分析不难推出平面上有n条直线时，最多可将平面分成 a n＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋个部分，此时每两条直线都相交，且没有三条直线交于一点 二、为了探究n条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手．（1）一条直线把平面分成2部分；（2）两条直线最多可把平面分成4部分；（3）三条直线最多可把平面分成11部分…；把上述探究的结果进行整理，列表分析：直线条数把平面分成部分数写成和形式 1 2 1+1 2 4 1+1+2 3 7 1+1+2+3 4 11 1+1+2+3+4 ……… （1）当直线条数为5时，把平面最多分成 16 部分，写成和的形式 1+1+2+3+4+5 ；（2）当直线为10条时，把平面最多分成 56 部分；（3）当直线为n条时，把平面最多分成 n(n+1) 2 +1

解答：解：（1）根据表中规律，当直线条数为5时，把平面最多分成16部分，1+1+2+3+4+5=16；（2）根据表中规律，当直线为10条时，把平面最多分成56部分，为1+1+2+3+… +10=56；（3）设直线条数有n条，分成的平面最多有m 个．有以下规律： n m1 1+12 1+1+23 1+1+2+3：：：n m=1+1+2+3+…+n= n(n+1) 2 +1． 本题体现了由“特殊到一般再到特殊”的思维过程，有利于培养同学们的探究意识． 三、平面内有n条直线，其中没有两条互相平行，也没有三条交于一点，一共有多少个交点？ 因为每两条直线都确定一个交点,则每一条直线与另外的(n-1)条直线都有一个交点,所以共有n(n-1)个交点.但是每一个交点都重复计算了一次,(例如直线a,b的交点和直线b,a的交点就是同一个)因此应该除以2.是故共有n(n-1)/2个交点. 平面内n条直线，把这个平面最多分成几部分 第1条分成2个, 第2条分成4个, 第3条分成7个, 第4条分成11个, 第2条比第1条多分2个, 第3条比第2条多分3个第4条比第3条多分4个所以第n条,比第n-1条多分n个. 第2条的个 数:4=2+2 第3条的个数:7=2+2+3 第4条的个数:11=2+2+3+4 第n 条的个数:=2+2+3+4+ ----- +n 2+2+3+4+ ----- +n =1+1+2+3+4+ ----

点线面之间的位置关系的知识点总结

高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。 2 公理4：平行于 c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2

坐标平面上的直线知识点归纳

坐标平面上的直线知识点归纳 一、直线的倾斜角和斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么 α就叫做直线的倾斜角。 注意：规定当直线和x 轴平行或重合时，其倾斜角为o 0，所以直线的倾斜角α的范o o （2）直线的斜率：倾斜角不是o 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，①斜率是用来表示倾斜角不等于o 90的直线对于x 轴的倾斜程度的。 ②每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。 ③斜率计算公式： 设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ， 则当21x x ≠时，2 121tan x x y y k --==α；当21x x =o 二、直线方程的几种形式： （1）点斜式：过已知点),(00y x ，且斜率为k 的直线方程：)(00x x k y y -=-； 注意：①当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =； ②k x x y y =--0 0表示：)(00x x k y y -=-直线上除去),(00y x 的图形 。

（2）斜截式：若已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=； 注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。 （3）两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠），则直线的方程：1 21121x x x x y y y y --=--； 注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ②当两点式方程写成如下形式0))(())((=-----x x y y y y x x 时， 方程可以适应在于任何一条直线。 （4）截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （0,0≠≠b a ）则直线方程： 1=+b y a x ； 注意：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表 示过原点的直线，要谨慎使用。 （5）参数式：? ??+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）其中方向向量为),(b a ，),(2222b a b b a a ++； a b k =；22||||b a t PP o +=； 点21,P P 对应的参数为21,t t ，则222121| |||b a t t P P +-=； ???+=+=α αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）其中方向向量为)sin ,(cos αα， t 的几何意义为||o PP ；斜率为αtan ；倾斜角为)0(παα<≤。 （6）一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：0=++C By Ax ；（B A ,不同时为零）； 反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。

高中数学 空间点,直线和平面的位置关系公式

空间点，直线和平面的位置关系 一，线在面内的性质： 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二，平面确定的判定定理： 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三，两面相交的性质： 定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。 四，直线平行的判定定理： 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五，等角定理： 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。 六，异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角） 七，直线和平面平行的判定定理： 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平

面平行。

符合表示： β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ?????=??βαβαα 八，平面与平面平行判定定理： 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 符号表示： β αββαα//////??????????=??b a M b a b a 推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 九，平面与平面平行的性质： 定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。

n条直线能把平面最多分成几部分

n条直线能把平面最多分成几部分 一、画图探索． 一条线两条直线三条直线 【答案】B． 【点评】平面内一条直线将平面分成两部分，记作a1＝1＋1＝2； 平面内两条直线将平面最多分成四部分，记作a2＝1＋1＋2＝4； 平面内三条直线将平面最多分成七部分，记作a3＝1＋1＋2＋3＝7； 平面内四条直线将平面最多分成几部分？由图可知，共可分成11个部分，记作a4＝1＋1＋2＋3＋4＝11． 若平面上有n条直线，最多可将平面分成多少部分，此时n条直线的相对位置如何？ 从前面的分析不难推出平面上有n 条直线时，最多可将平面分成an＝1＋1＋2＋3＋4＋...＋n＝1＋个部分，此时每两条直线都相交，且没有三条直线交于一点 二、为了探究n条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手． （1）一条直线把平面分成2部分； （2）两条直线最多可把平面分成4部分； （3）三条直线最多可把平面分成11部分...； 把上述探究的结果进行整理，列表分析： 直线条数 把平面分成部分数 写成和形式 1 2 1+1 2 4 1+1+2 3 7 1+1+2+3 4 11 1+1+2+3+4 ... ... ... （1）当直线条数为5时，把平面最多分成 16 部分，写成和的形式

1+1+2+3+4+5 ； （2）当直线为10条时，把平面最多分成 56 部分； （3）当直线为n条时，把平面最多分成 n(n+1) 2 +1 解答：解： （1）根据表中规律，当直线条数为5时，把平面最多分成16部分，1+1+2+3+4+5=16；（2）根据表中规律，当直线为10条时，把平面最多分成56部分，为1+1+2+3+...+10=56；（3）设直线条数有n条，分成的平面最多有m个． 有以下规律： n m 1 1+1 2 1+1+2 3 1+1+2+3 ： ： ： n m=1+1+2+3+...+n= n(n+1) 2 +1． 本题体现了由"特殊到一般再到特殊"的思维过程，有利于培养同学们的探究意识． 三、平面内有n条直线，其中没有两条互相平行，也没有三条交于一点，一共有多少个交点？ 因为每两条直线都确定一个交点,则每一条直线与另外的(n-1)条直线都有一个交点,所以共有n(n-1)个交点.但是每一个交点都重复计算了一次,(例如直线a,b的交点和直线b,a的交点就是同一个)因此应该除以2.是故共有n(n-1)/2个交点. 平面内n条直线，把这个平面最多分成几部分 第1条分成2个, 第2条分成4个, 第3条分成7个, 第4条分成11个, 第2条比第1条多分2个, 第3条比第2条多分3个第4条比第3条多分4个所以第n条,比第n-1条多分n 个. 第2条的个数:4=2+2 第3条的个数:7=2+2+3 第4条的个数:11=2+2+3+4 第n条的个数:=2+2+3+4+ ----- +n 2+2+3+4+ ----- +n =1+1+2+3+4+ ---- +n =1+n*(n+1)/2 当n=1时,1+n*(n+1)/2=2 当n=2时,1+n*(n+1)/2=4 当n=3时,1+n*(n+1)/2=7 所以n条直线把平面分成1+n*(n+1)/2个

高中数学空间点直线和平面的位置关系公式

高中数学空间点直线和平面的位置关系公式 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

空间点，直线和平面的位置关系 一，线在面内的性质： 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二，平面确定的判定定理： 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三，两面相交的性质： 定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。 四，直线平行的判定定理： 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五，等角定理： 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。 六，异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角） 七，直线和平面平行的判定定理：

定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。 符合表示： β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ?????=??βαβα α 八，平面与平面平行判定定理： 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 符号表示： β αββαα//////??????????=??b a M b a b a 推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 九，平面与平面平行的性质：

《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结

高中数学必修2知识点总结 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底3 1 3台体的体积h S S S S V ?++=)3 1 下下上上（ 4球体的体积 334R V π= 第二章《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结 1.内容归纳总结 （1）四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ? ∈且。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。 符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈?=∈ 且。 公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言：//,////a l b l a b ?且。 （2）空间中直线与直线之间的位置关系 1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把 a '与 b '所 成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。（易知：夹角 范围090θ<≤?） 定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形） 2.位置关系：???? ??? ?相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点; 共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点; 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 （3）空间中直线与平面之间的位置关系 直线与平面的位 置 关 系 有 三 种 ： //l l A l ααα??? =?? ?? ?? 直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点 （4）空间中平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ??=? 两个平面平行（）没有公共点 两个平面相交（）有一条公共直线 2 22r rl S ππ+=

n条直线分平面问题

N 条直线分平面问题 1.n 条直线最多能将平面分为多少个区域？ 设n 条直线最多能将平面分为n a 个区域,则121,4a a ==。 下面来建立1n a +与n a 的关系，设已画出n 条直线的情况，对于n+1条直线，我们看成是在n 条的基础上再增加一条直线所得，设新增直线为L,L 与n 条直线最多有n 个交点，n 个交点将L 分为 n+1个部分，而每个部分均将其在的区域一分为二，所以增一条L ，使在n 条直线的基础上最多增加n+1个区域，从而11n n a a n +=++。 由递推知11221,1,,2n n n n a a n a a n a a ----=-=--= 。 累加得11(1)(2)2(1)12 n a a n n n n n -=+-+-++= +- ,故1(1)12 n a n n = ++。 所以n 条直线最多能将平面分为1 (1)12 n n ++个区域。 2.平面上n 条直线相交，内部最多能得到多少个区域？ 方法（1）设n 条直线相交，内部最多能得到n a 个区域,则1230,0,1a a a ===。 下面来建立1n a +与n a 的关系，设已画出n 条直线的情况，对于n+1条直线，我们看成是在n 条的基础上再增加一条直线所得，设新增直线为L,L 与n 条直线最多有n 个交点，n 个交点将L 分为 n+1个部分，而每个部分均将其在的区域一分为二，只有两头两部分没有使所在区域增加一个内部区域，中间n-1个部分使所在区域均增加一个内部区域，所以增一条L ，使在n 条直线的基础上最多增加n-1个内部区域，从而11n n a a n +=+-。 由递推知112212,3,,0n n n n a a n a a n a a ----=--=--= 。 累加得11(2)(3)(4)10(1)(2)2 n a a n n n n n -=-+-+-+++=-- , 故1(1)(2)2 n a n n = --。 所以平面上n 条直线相交，内部最多能得到1 (1)(2)2 n n --个区域。 方法（2）我们已将“n 条直线最多能将平面分为 1(1)12 n n ++个区域”当作结论。 平面上n 条直线相交，要使内部区域最多，n 条直线应两两相交，且没有三线共点。此时正是n 条直线将平面分为1 (1)12n n ++个区域的情况，我们只需计算出外部区域的个数即 可，发现n （n ≥1）条直线有2n 个“头”，每个去掉一个“头”就能减少一个外部区域，故外部区域有2n 个，从而平面上n 条直线相交，内部最多能得到 11(1)12(1)(2)2 2 n n n n n ++-= --个区域。

经过平面上几个点可做直线的条数

7．我们知道过两点有且只有一条直线． 阅读下面文字，分析其内在涵义，然后回答问题： 如图，同一平面中，任意三点不在同一直线上的四个点A、B、C、D，过每两个点画一条直线，一共可以画出多少条直线呢？我们可以这样来分析： 过A点可以画出三条通过其他三点的直线，过B点也可以画出三条通过其他三点的直线．同样，过C点、D点也分别可以画出三条通过其他三点的直线．这样，一共得到3×4=12条直线，但其中每条直线都重复 过一次，如直线AB和直线BA是一条直线，因此，图中一共有34 2 ? =6条直线．请你仿照上面分析方法， 回答下面问题： （1）若平面上有五个点A、B、C、D、E，其中任何三点都不在一条直线上，过每两点画一条直线，一共可以画出条直线； 若平面上有符合上述条件的六个点，一共可以画出条直线； 若平面上有符合上述条件的n个点，一共可以画出条直线（用含n的式子表示）． （2）若我校初中24个班之间进行篮球比赛，第一阶段采用单循环比赛（每两个班之间比赛一场），类比上面的分析计算第一阶段比赛的总场次是多少？

8．如图平面上有四个点，过其中每两个点画一条直线，可以画条直线，在画出的图形中共有条线段，条射线。 经过平面上几个点可做直线的条数答案 1．C．解：有两种情况，一种是三点共线时，只有一条， 另一种是三点不共线，有三条； 2．D．平面上四点的位置关系由三种情况，即： 四点在同一直线上时，可以画一条直线； 三点在同一条直线上，可以画四条直线； 任意三点均不在同一条直线上，则可画六条直线． 可以画直线的条数为1或4或6．

3．C．解：如图所示： 当C、D两点可A、B中任一点在一条直线上即如图（一）所示时，经过两点可以画4条直线； 当C、D两点不和A、B中任一点在一条直线上时即如图（二）所示时，经过两点可以画6条直线． 点评：分四个点中有三点共线和任意三点不共线解答，不要漏解． 4．无数、一、一或三、一、六． 5．B．解：设直线有n条，交点有m个．有以下规律： 直线n条交点m个 2 1 3 1+2 4 1+2+3 … n m=1+2+3+…+（n-1） (1) 2 n n- 十条直线相交有10(101) - =45个． 是24×23÷2=276场． 7．解：（1）5个点，共画5(51) 2 ?- =10条直线；6个点，共画 6(61) 2 ?- =15条直线，n个点；共画 (1) 2 n n ?- 条直线。 （2）每个队能进行23场比赛，但每两个队的比赛重复数一次，所以应除以2， 即第一阶段比赛的总场次是24×23÷2=276场． 8．6条直线，6条线段，12条射线． 分析：根据图形可得任意三点不共线，由此可得任意两个点确定一条直线，任意两个点确定一条线段，任意两个点确定两条射线，由此可得出答案． 解：根据直线、射线、及线段的定义可得： 任意两个点确定一条直线，任意两个点确定一条线段，任意两个点确定两条射线， ∴图形中有：6条直线，6条线段，12条射线．

点,线,面知识点

高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第一章 空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线 称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这 些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。 重点记忆：直观图面积=原图形面积 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 ②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+ ④圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π= ⑥扇形的面积公式213602 n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积 V S h =?底 ②锥体的体积 1 3 V S h =?底 ③台体的体积 1 )3 V S S h =+ ?下上（ ④球体的体积 343 V R π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理 2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2π2π2π2r rl S +=

N条直线能把平面分成几块

N条直线能把平面分成几块 一、摘要 在生活中常常用直线来分平面，本研究是要探讨如何用直线划分平面成最多块和最少块，并找出规则和公式。我们发现分成几块和线数、交点数有关系。N 条线全部平行、没有交点，能分成最少N+1 块，每增加一个两线交点，就会增加 1 块。每增加一个三线交点，会增加2 块。每增加一个四线交点，会增加3 块。以此类推，每增加一个n 线交点，就会增加n-1 块。N 条线完全没有平行、只有两线交点的话，就能分成最多（N2+N+2）÷2 块。注:N 等于线段的数量。 二、研究动机及目的： 有一天，我们做一个“猫与老鼠”的题目。感情交恶的猫与老鼠合计16只，想让老鼠不被猫吃掉，要用直线来把牠们一只只分开，最少用5条就可以把它们分开。所以我们就想研究用直线来分平面，最少能分成几块？最多能分成几块？有没有规则或公式？ 三、研究设备器材： 笔和纸。 四、研究过程或方式： 我们找50个同学，请每位同学分别用三条、四条、五条、六条直线来分平面，再把得到的结果整理分类，然后用表格整理，找出规则和公式。 五、研究结果： （一）、什么情况下可分成最多块、最少块 我们发现，不管是2 条、3 条、4 条、5 条或6 条直线，全部都平行、都没有交点时是最少块的；如果没有平行线，每一条线都跟其他条直线都有交点的话，会分成最多块。(二)、找出交点、线数、块数间的关系。 我们已经知道，N条直线平行时，得到的块数是最少的。所以，我们慢慢减少平行线，讨论N条直线与两线交点、三线交点、四线交点，试着找出点、线、块之间的关系。 (1) 两线交点的情况

我们发现，全部平行线、都没有交点时块数最少，得到的块数＝线段+1。不管怎么分，只要线数和点数相同，得到的块数也会相同。每增加一个两线交点，就会增加 1 块，点、线、块的关系是：（线段+1）+点数＝块数。

n条直线相交有几对对顶角

n条直线相交有几对对顶角？几对邻补角？ 2011-03-23 21:00:18| 分类：默认分类| 标签：交点直线相交平行个数|举报|字号大中小订阅 在同一平面内，n条直线相交有多少对对顶角？多少对邻补角？ 首先考虑只有两条直线的情况，两直线不平行，那么会有一个交点，2对对顶角和4对邻补角 由此我们也可以知道，对顶角数 = 交点个数 * 2；邻补角数 = 交点个数 * 4 考虑有多条直线， 画第3条直线，只要和前2条都不平行，就会和前2条直线都相交，增加2个交点，共1+2个交点。 画第4条直线，只要和前3条都不平行，就会和前3条直线都相交，增加3个交点，共1+2+3个交点。 画第5条直线，只要和前4条都不平行，就会和前4条直线都相交，增加4个交点，共1+2+3+4个交点。 画第n条直线，只要和前n-1条都不平行，就会和n-1条直线都相交，增加n-1个交点，共1+2+3+4+ ... + n-1个交点。 所以，n条相互都不平行的直线，交点个数=1+2+...+（n-1）= n(n-1)/2个 所以：对顶角数为n(n-1)对；邻补角数为2n(n-1)对。 当然，以上是没有考虑三条或三条以上的直线相交于同一点的 现在我们考虑这种情况：当已经有（x-1）条直线交于同一点，假设现在对顶角数为N，那么当新增加一条直线，通过公共交点，那么他会和现在已有的所有的直线形成新的对顶角，新对顶角的对数是2(x-1)对，由此可以推论出，即使出现公共交点，对顶角数量是不变的，同理，邻补角的个数也是不变的。 所以，即使所有的直线全部交于一点：对顶角数同样为n(n-1)对；邻补角数同样为2n(n-1)对。

空间中直线与平面之间的位置关系

空间中直线与平面之间的位置关系 知识点一 直线与平面的位置关系 1、直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。 2、直线与平面位置关系的分类 （1）直线与平面位置关系可归纳为 (2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外，我们用记号α?a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形． (3)直线与平面位置关系的图形画法： ①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内， 而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外； ②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边 形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感； ③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。 例1、下列命题中正确的命题的个数为 。 ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面。 变式1、下列说法中正确的是 。 ①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l //α； ②若直线a 在平面α外，则a//α; ③若直线a//b ，直线α?b ，则a//α; ④若直线a//b ，直线α?b ，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线。 变式2、下列命题中正确的个数是( ) ①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α ②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行 ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 ④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点 A.0 B.1 C.2 D.3

平面图形中与n有关的知识点的归纳

平面图形中与n有关的知识点的归纳 1、若平面内有n个点，过其中任何两点画直线，最多画几条？ 解析：n点中的每一点都可以和其他n-1点画n-1条直线，而从一点到另一点和从另一点到一点是同一条直线。所以如果没有任意三点在一条直线上的话，就可以画n(n-1)/2条。 2、在一条直线上取n个点时，共可得多少条线段？共可得多少条射段？ 解析：每两个点就有一条线段，每取一个点为线段其中一个端点，就有n-1个另一个端点。所以，就有n(n-1)条线段。不过这里面，线段两个端点会有重复，每条线段等于计算了两次，需要减半。所以是：n(n-1)/2条线段。共可得2n条射段. 3、n条直线相交时，最多有几个交点？ 解析：两条直线只有一个交点，第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 ；第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3 ；第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4；………；第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点；由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋……n－1（个），这里n≥2，其和可表示为〔1+（n+1）〕× (n+1)/2, 即n(n-1)/2个交点。 4、往返于甲、乙两地的客运火车，途中停靠(n-2)站，（各站距离不等）有多少种不同的票价？要准备多少种车票？ 解析：每个站可以看做一条直线上的点，点和点之间的距离不同，等价于数线段。所以有不同n(n-1)/2的票价，两地之间的票不一样，所以要准备n(n-1)种车票. 5、从甲地到乙地的客运火车，途中停靠(n-2)站，（各站距离不等）有多少种不 同的票价？要准备多少种车票？ 解析：同3题，所以有不同n(n-1)/2的票价，两地之间的票不一样，但有方向，从甲地到乙地。所以只是n(n-1)/2种车票. 6、从一点o引出n条射线，最外侧两条射线的夹角小于180°，则以o 为顶点小于180°的角有多少个？ 解析：n(n-1)/2个。 7、从n边形的一个顶点出发,可以引多少条对角线?多边形共有多少条对角