非线性规划粒子群算法(I)

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智能优化算法课内实验报告书

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非线性规划问题的粒子群算法

1.1 背景介绍

1.1.1 非线性规划简介

具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要的分支，非线性规划研究一个n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的机制问题且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数，目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。

非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。1951年H.W库恩和A.W塔克发表的关于最优性条件的论文是非线性规划正式诞生的一个重要标志。在50年代可得出了可分离规划和二次规划的n种解法，它们大都是以G.B.丹齐克提出的解线性规划的单纯形法为基础的。50年代末到60年代末出现了许多解非线性规划问题的有效的算法，70年代又得到进一步的发展。非线性规划在工程、管理、经济、科研、军事等方面都有广泛的应用，为最优设计提供了有力的工具。

非线性规划问题广发存在于科学与工程领域，是一类比较难以解决的优化问题，没有普遍使用的解法。传统的求解该问题的方法（如罚函数，可行方向法，以及变尺度法等）是基于梯度的方法所以目标函数与约束式必须是可微的，并且这些方法只能保证求的局部最优解。

1.1.2 粒子群算法简介

粒子群算法（Particle Swarm optimization，PSO）的基本概念源于对于鸟群捕食行为的简化社会模型的模拟，1995年由Kenndy和Eberhart等人提出，它同遗传算法类似，通过个体间的协作和竞争实现全局搜索系统初始化为一组随机解，称之为粒子。通过粒子在搜索空间的飞行完成寻优，在数学公式中即为迭代，它没有遗传算法的交叉及变异算子，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。

PSO算法的改进主要在参数选择、拓扑结构以及与其他优化算法相融合方面。据此当前典型的改进算法有：自适应PSO算法、模糊PSO算法、杂交PSO 算法、混合粒子算法（HPSO）和离散PSO算法等等。其中自适应和模糊PSO算法是EberhartShi研究了惯性因子ω对优化性能的影响，发现较大的ω值有利于跳出局部极小点，较小的ω值有利于算法的收敛。自适应PSO算法通过线性地减少ω值动态的调整参数ω，而模糊PSO算法则在此基础上利用模糊规则动态调整参

数

ω的值，即构造一个2输入、1输出的模糊推理机来动态地修改惯性因子ω。杂交和混合粒子群算法（HPSO ）是受遗传算法、自然选择机制的启示，将遗传算子与基本PSO 相结合而得。杂交PSO 在基本PSO 中引入了杂交算子，两者均取得了满意的结果，改善了算法的性能。

基本PSO 算法是求解连续函数优化的有力工具，但对离散问题却无能为力。因此Kenndy 和Eberhart 发展了离散PSO 算法，用于解决组合优化问题等。在一定程度上完善发展了基本PSO 算法，并将其应用于旅行商问题（TSP ）的求解，取得了较好的结果。目前PSO 已经广泛应用于函数优化、神经网络训练、模糊系统控制以及其它遗传算法的应用领域。最初应用到神经网络训练上，在随后的应用中PSO 又可以用来确定神经网络的结构。一般说来，PSO 比较有潜在的应用包括系统设计、多目标优化、分类、模式识别、调度、信号处理、决策、机器人应用等。其中具体应用实例是非线性规划的粒子群算法。总之，PSO 算法的应用十分广泛，它有着比较好的发展前景，值得做进一步的研究。

4 基本粒子群算法

4.1 粒子群算法简介

粒子群算法是一个非常简单的算法，且能够有效的优化各种函数。从某种程度上说，此算法介于遗传算法和进化规划之间。此算法非常依赖于随机的过程，这也是和进化规划的相识之处，此算法中朝全局最优和局部最优靠近的调整非常的类似于遗传算法中的交叉算子。此算法还是用了适应值的概念，这是所有进化计算方法所共有的特征。

在粒子群算法中，每个个体称为一个“粒子”，其实每个粒子代表着一个潜在的解。例如，在一个D 维的目标搜索空间中，每个粒子看成是空间内的一个点。设群体由m 个粒子构成。m 也被称为群体规模，过大的m 会影响算法的运算速度和收敛性。

PSO 算法通常的数学描述为：设在一个D 维空间中，由m 个粒子组成的种群1(,...,,...,)i D X x x x =，其中第i 个粒子位置为12(,,...,)T i i i iD x x x x =，其速度为12(,,...,,...,)T i i i id iD V v v v v =。它的个体极值为12(,,...,)T i i i iD p p p p =，种群的全局极值为12(,,...,)T g g g gD p p p p =，按照追随当前最优例子的原理，粒子i x 将按(4.1)、(4.2)式改变自己的速度和位置。

))()()(())()()(()()1(2211t x t p t r c t x t p t r c t v t v ij gj ij ij ij ij -+-+=+ (4.1) )1()()1(++=+t v t x t x ij ij ij (4.2)式中j=1,2,…,D ，i=1,2,…m ，m 为种群规模，t 为当前进化代数，12,r r 为分布于[0,1]之间的随机数；

,c c为加速常数。从式(4.1)中可知，每个粒子的速度由三部分组成：第一12

部分为粒子先前的速度；第二部分为“认知”部分，表示粒子自身的思考；第三部分为“社会”部分，表示粒子间的信息共享与相互合作。

4.1.3 粒子群算法的特点

粒子群算法是一种新兴的智能优化技术，是群体智能中一个新的分支，它也是对简单社会系统的模拟。该算法本质上是一种随机搜索算法，并能以较大的概率收敛于全局最优解。实践证明，它适合在动态、多目标优化环境中寻优，与传统的优化算法相比较具有更快的计算速度和更好的全局搜索能力。具体特点如下：

（1）粒子群优化算法是基于群体智能理论的优化算法，通过群体中粒子间的合作与竞争产生的群体智能指导优化搜索。与进化算法比较，PSO是一种更为高效的并行搜索算法。

（2）PSO与GA有很多共同之处，两者都是随机初始化种群，使用适应值来评价个体的优劣程度和进行一定的随机搜索。但PSO是根据自己的速度来决定搜索，没有GA的明显的交叉和变异。与进化算法比较，PSO保留了基于种群的全局搜索策略，但是其采用的速度-位移模型操作简单，避免了复杂的遗传操作。

（3）PSO有良好的机制来有效地平衡搜索过程的多样性和方向性。

（4）GA中由于染色体共享信息，故整个种群较均匀地向最优区域移动。在PSO中gbest将信息传递给其他粒子，是单向的信息流动。多数情况下，所有的粒子可能更快地收敛于最优解。

（5）PSO特有的记忆使其可以动态地跟踪当前的搜索情况并调整其搜索策略。

（6）由于每个粒子在算法结束时仍然保持着其个体极值。因此，若将PSO 用于调度和决策问题时可以给出多种有意义的选择方案。而基本遗传算法在结束时，只能得到最后一代个体的信息，前面迭代的信息没有保留。

（7）即使同时使用连续变量和离散变量，对位移和速度同时采用和离散的坐标轴，在搜索过程中也并不冲突。所以PSO可以很自然、很容易地处理混合整数非线性规划问题。

（8）PSO算法对种群大小不十分敏感，即种群数目下降时性能下降不是很大。

（9）在收敛的情况下，由于所有的粒子都向最优解的方向飞去，所以粒子趋向同一化（失去了多样性）使得后期收敛速度明显变慢，以致算法收敛到一定精度时无法继续优化。因此很多学者都致力于提高PSO算法的性能。

4.1.4 粒子群算法的应用

粒子群算法提供了一种求解复杂系统优化问题的通用框架，它不依赖于问题的具体领域，对问题的种类有很强的适应性，所以广泛应用于很多学科。下面是粒子群算法的一些主要应用领域：

（1）函数优化。函数优化是粒子群算法的经典应用领域，也是对粒子群算法进行性能评价的常用算例。

（2）约束优化。随着问题的增多，约束优化问题的搜索空间也急剧变换，有时在目前的计算机上用枚举法很难或甚至不可能求出其精确最优解。粒子群算法是解决这类问题的最佳工具之一。实践证明，粒子群算法对于约束优化中的规划，离散空间组合问题的求解非常有效。

（3）工程设计问题。工程设计问题在许多情况下所建立起来的数学模型难以精确求解，即使经过一些简化之后可以进行求解，也会因简化得太多而使得求解结果与实际相差甚远。现在粒子群算法已成为解决复杂调度问题的有效工具，在电路及滤波器设计、神经网络训练、控制器设计与优化、任务分配等方面粒子群算法都得到了有效的应用。

（4）电力系统领域。在其领域中有种类多样的问题，根据目标函数特性和约束类型许多与优化相关的问题需要求解。PSO在电力系统方面的应用主要如下：配电网扩展规划、检修计划、机组组合、负荷经济分配、最优潮流计算与无功优化控制、谐波分析与电容配置、配电网状态估计、参数辨识、优化设计。随着粒子群优化理论研究的深入，它还将在电力市场竞价交易、投标策略以及电力市场仿真等领域发挥巨大的应用潜在力。

（5）机器人智能控制。机器人是一类复杂的难以精确建模的人工系统，而粒子群算法可用于此类机器人群搜索，如机器人的控制与协调，移动机器人路径规划。所以机器人智能控制理所当然地成为粒子群算法的一个重要应用领域。

（6）交通运输领域。交通方面有车辆路径问题，在物流配送供应领域中要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程来完成货物的派送任务；交通控制，城市交通问题是困扰城市发展、制约城市经济建设的重要因素。城市交通运输系统的管理和控制技术进行研究，来为缓解交通拥挤发挥巨大作用。其中在其解决方法中应用粒子群算法给解决问题提供了新的，有效的计算方式。

（7）通信领域。其中包括路由选择及移动通信基站布置优化，在顺序码分多址连接方式（DS-CDMA）通讯系统中使用粒子群算法，可获得可移植的有力算法并提供并行处理能力。比传统的先前的算法有了显著的优越性。还应用到天线阵列控制和偏振模色散补偿等方面。

（8）计算机领域。在计算机中处理各种问题都涉及到大量的信息计算的方法选择以减少程序运行的时间，增加系统解决问题的能力，其中包括任务分配问题、数据分类、图像处理等，都得到了粒子群算法的实际问题解决效率的提高。

（9）生物医学领域。许多菌体的生长模型即为非线性模型提出了用粒子群算法解决非线性模型的参数估计问题。还在分子力场的参数设定和蛋白质图形的发现。根据粒子群算法提出的自适应多峰生物测定融合算法，提高了解决问题的准确性。在医学方面，如医学成像上得到的推广应用等。

4.2 基本粒子群算法

4.2.1 基本粒子群算法的构成要素

（1）粒子群编码方法。基本粒子群算法使用固定长度的二进制符号串来表示群体中的个体，其等位基因是由二值符号集{0，1}所组成的。初始群体中各个个体的基因值可用均匀分布的随机数来生成。

（2）个体适应度评价。通过确定局部最优迭代达到全局最优收敛，得出结果。

（3）基本粒子群算法的运行参数。基本粒子群算法有下述7个运行参数需要提前设定：

●r为粒子群算法的种子数，对粒子群算法其中种子数值可以随机生成也可

以固定为一个初始的数值，要求能涵盖目标函数的范围内。

●M：粒子群群体大小，即群体中所含个体的数量，一般取为20～100。在

变量比较多的时候可以取100以上较大的数。

●max_d：一般为最大迭代次数以最小误差的要求满足的。粒子群算法的最

大迭代次数，也是终止条件数。

●r1,r2：两个在[0,1]之间变化的加速度权重系数随机产生。

●c1,c2：加速度数，取随机2左右的值。

●ww：为惯性权重产生的。

●vk，xk：为一个粒子的速度和位移数值，用粒子群算法迭代出每一组数值。

4.2.2 基本粒子群算法的形式化定义

基本粒子群算法可定义为的元素：

max_d——粒子群算法的最大迭代次数；

r——给定个体的种子数值；

fmax——为最大的惯性权值；

fmin——为最小的惯性权值；

pg——初始群体值；

M——粒子群的群体大小；

vk——粒子移动的速度；

xk——粒子移动的方向；

c1,c2；r1,r1——随机参数变量；

[x,dd]=judge(x,M)——算法调用的求解函数。

4.2.3 基本粒子群算法描述

begin

Initalize ;%包括初始化粒子群数，粒子初始速度和位置

[x,xd]=judge(x,pop_size);%调用judge函数，初始化第一次值

for num=2:最大迭代次数

wk=wmax-num*(wmax-wmin)/max_gen;%计算惯性权重

r1= ; r2= %随机产生加速权重

PSO算法

迭代求vk,xk；

While 判断vk是否满足条件

再次重新生成加速权重系数r1;r2

PSO算法

再次迭代求vk;xk数值

end

调用[x,xd]=judge(x,pop_size);重新计算出目标函数值

判断并重新生成pj数值；

判断并重新生成pjd数值；

if 迭代前数值>迭代后的数值

累加迭代次数值

end

输出随机数种子、进度、最优迭代次数、每个函数的数值和目标

函数的数值

用ASCII保存粒子位移的数值

用ASCII保存粒子速度的数值

end

5 基于粒子群算法求解非线性规划问题的设计

作为运筹学的一个重要的分支，非线性规划问题求解方法一直式人们研究的重点。随着优化对象复杂性的增加，优化问题的规模也越来越大，传统的优化方法难以适应，因此人们在寻求严格最优化理论化方法和智能优化方法如遗传算法，蚁群算法等，但各种方法都有其相应的适用范围和局限性。粒子群优化算法是由Kennedy 和Eberhart 开发的一种演化计算技术。由于PSO 概念简单、容易实现并且没有许多参数需要调整，同时又有深刻的智能背景，即适合科学计算，又特别适合工程应用。因此，将粒子群算法应用于非线性规划，是改善求解非线性规划的效果，提高非线性规划质量的有效途径。本章就是介绍粒子群算法在非线性规划中的具体应用，设计并实现基于粒子群算法的非线性规划问题的求解。

5.1 实用粒子群算法设计

5.1.1 编码方法设计

在MATLAB 中编写非线性规划问题的粒子群算法编码的过程中，首先在函数中把非线性规划函数转化为一种MATLAB 可以阅读的矩阵型的函数值，在其中添加约束条件，并作超出约束的变换的方法。在运行函数中设置各种参数数值，编写粒子群方法的实现方法，并迭代求解各个过程中目标函数的数值解，输出结果值。在所有局部解中搜索最优解，作为最终的目标函数数值。计算结束。

5.1.2 适应度函数设计

适应度表示个体x 对环境的适应程度。分为两类，一类为针对被优化的目标函数的优化型适应度，另一类为针对约束函数的约束性适应度。

其中优化型适应度和约束型适应度分别表示为

()()obj F X f X = （5-1）

0,()0()(),()0i i i

i g X F X g X g X ≤⎧=⎨>⎩ （5-1）

定义不同约束条件的权重为i ω，则总的约束型适应度为1()()m con i i i f X F X ω==∑。其中，1

1,01m

i i i ωω==≤≤∑，这里，i ω随机获得，任意选取k 组i ω，获得的k 个适应值的均值作为最终的总的约束型适应度。

5.1.3 基于约束适应度优先排序的约束条件处理方法

因为粒子向适应度函数值高的方向群游，因此对群体中所有粒子按照适应值进行排序，基本思想是：首先比较粒子的约束适应度，适应值大的粒子排名靠前；如果约束值大的粒子排名靠前。与通常的惩罚函数方法相比，这种方法的优点是可行点的适应度总是优于非可行点的适应度。从而使得优化过程先得到可行点，然后由这些可行点及较好的不可行点的进行操作得到最优可行点。这样可以将进入可行域和得到优化点统一起来，且无需变换优化目标的适应度到大于零，并且无需设置约束适应度和目标适应度的权重，使用较为简单。

5.1.4 动态邻域算子

因为在适应值较好的点的邻域一定存在适应度更好的个体，为此可采用动态邻域算子方法，基本思想是：在优化的初始阶段，一个微粒的邻域就是它本身，当优化代数增加后，邻域逐渐变大，最后将包括所有的微粒。为得到邻域，首先在约束适应度空间，计算候选个体与其他所有个体的距离，其中对第l 个个体的距离为[]dist l ，找出距离最近的k 个个体（k 为邻域大小），其中目标函数适应值大的个体为邻域的局部历史最好值best l ，其中最大距离为max inst -，并定义一个与当前计算代数n G 有关的分数max 0.60.3/n frac G G =+，如果0.9frac <，且[]/max frac dist l inst >-，则针对best l 进行搜索；否则使用best g 。

根据粒子邻域是否为整个群体，PSO 分为全局模型best g 和局部模型best l ，对于best g 模型，每个粒子与整个群体的其他粒子进行信息交换，并有向所有粒子中的历史最佳位置移动的趋势。Kennedy 指出，best g 模型虽然具有较快的收敛速度，但更容易陷入局部极值。为了克服best g 全局模型的缺点，研究人员采用每个粒子仅在一定的邻域内进行信息交换，提出各种best l 局部模型。根据现有的研究成果，本文将邻域分为空间邻域、性能空间邻域和社会关系邻域。空间邻域直接在搜索空间按粒子间的距离进行划分，如Suganthan 引入一个时变的欧式空间邻域算子：在搜索初始阶段，将邻域定义为每个粒子自身；随着迭代次数的增加，将邻域范围逐渐扩展到整个种群。性能空间指根据性能指标（如适应度、目标函数值）划分的邻域。社会关系邻域通常按粒子存储阵列的索引编号进行划分，这也是研究最多的一种划分手段，主要有：环形拓扑、轮形拓扑或星形拓扑、塔形拓扑、冯-诺以曼拓扑以及随机拓扑等。针对不同的优化问题，这些拓扑的性能表现各异；但总的来说随机拓扑往往对大多数问题能表现出较好的性能，其次是冯-诺以曼拓扑。

5.1.5 可变惯性权重和最大速度

惯性权重控制前一变化量对当前变化量的影响，如果ω较大，能够搜索以前未能达到的区域，整个算法的全局搜索能力加强；若ω较小，则前一部分的影响较小，主要是在当前解的附近搜索，局部搜索能力较强，在具体实例中的方法将惯性权重设为从0.8到0.2随时间线性减小的变量，使其在前期时有较高的探索能力以及得到合适的种子，而在后期时有较高的开发能力以加快收敛速度。

最大速度max v 决定在当前位置与最好的位置之间的区域的分辨率（或精度），

如果max v 太高，微粒可能会飞过好解，如果max v 太小，微粒不能在局部好区间之

外进行足够的探索，导致陷入局部优值。

5.1.6 粒子群算法运行参数设计

（1）群体大小M 。群体大小M 表示群体中所含个体的数量。M 取值的大小与粒子群算法运行速度，群体多样性有关。一般取值为50～100。在变量比较多的时候会影响粒子群算法的精确度，因此可以扩大粒子群的大小，本文引用300个粒子数。

（2）权重fmax ，fmin ，c1，c2。fmax 为初始惯性权重，fmin 为终止惯性权重。c1粒子自身加速度权重系数，一般在0-2之间的取值，c2为全局加速度权重系数，一般在0-2之间取值。在算法中c1和c2为随机产生数值。

（3）r1，r2。[0,1]范围内两个相互独立的，均匀分布的随机数。

（4）粒子自身速度vk 。为了减少在搜索过程中粒子离开搜索空间的可能性，vk 通过被限定于一定的范围内，即max max vk vk vk -≤≤，当然，亦可根据具体情况，将搜索空间限定于一定的范围内，粒子的位移max max xk xk xk -≤≤内。

（5）代沟G 。这里我们由父代生成子代过程中，不是单纯地直接遗传，而是进行两次遗传操作。将当前群体Mi 作为父代，对父代Mi 进行遗传操作（交叉、变异）产生群体大小相同的子代Mi1，在对父代Mi 和子代Mi1按适应度值大小降序排列，将种群Mi 和Mi1中前1/2的较好个体整合成一个种群Mx2，对种群Mx2进行遗传操作（交叉、变异）产生群体大小相同的孙代Mi2。由此得到3个群体大小相同的种群Mi 、Mi1、Mi2。对3个种群按适应度大小进行降序排列，用Mi1、Mi2中前1/3的个体（即最好的M/3个个体）淘汰Mi 中后2/3的个体，新形成的种群Mx3，将种群Mx3作为子代种群Mi+1。

5.2 非线性规划的粒子群算法程序设计

5.2.1 算法过程描述

由基本粒子群算法的算法描述再结合本次毕业设计的实际情况，我们设计了以下的具体算法流程。步骤如下：

（1）初始化粒子群算法的参数，最大迭代次数（终止条件）max_d=1000；粒子群大小M=300；给定种子数值为r=20880001。

（2）设置初始judge[x,M]函数及初始条件和初始计算结果。

（3）对粒子群赋初始值。

（4）设置惯性权重值fmax=0.8；fmin=0.2。随机产生加速度权重系数。

（5）进入算法迭代，计算惯性权重系数wk，同时随机产生加速权重系数r1,r2，算法迭代。

（6）判断粒子速度防止速度超出范围，再次进行粒子群算法重新计算粒子速度vk和粒子位移xk。

（7）调用judge函数重新计算目标函数数值。

（8）判断num-1次数值与num次数值，并重新生成新的目标函数值。

（9）判断目标函数数值的大小，并ww=num生成进度数值。

（10）输出种子数值、进度数、最优迭代次数、目标函数数值。

（11）用ASCII保存粒子位移数值。

（12）用ASCII保存粒子速度数值。

（13）绘图出目标函数数值的变化情况。

5.2.2 粒子群算法程序流程图

由以上程序过程描述我们得到粒子群算法程序流程图，如图5-5所示。

图 5-5 粒子群算法流程图

6 基于粒子群算法的非线性规划求解的性能分析

6.1 概述

在以上算法分析设计的基础上，我们用MATLAB语言分别实现了基于粒子群算法。本章我们通过运行实际的算法程序，通过对运行结果进行统计分析，比较两种算法各自的优越性。

程序运行的硬件环境是： 2G内存，AMD 4800+处理器。软件环境是：Windows XP SP2操作系统，MATLAB集成开发环境。

6.2 粒子群算法参数设置效果比较

为了能直观地观察粒子群算法的实际执行结果，我们将粒子群算法的执行结果以图像的形式直观地表达出来。结果如图6-1，6-2所示。

参数粒子群300，迭代次数1000，种子数值208800001

图 6-1 基于粒子群算法结果

参数粒子群300，迭代次数1000，种子数值2088001

图 6-2 基于粒子群算法结果

从两个参数种子数值设置的不同可以得出对于粒子群算法由于种子数值的不同产生的运行结果也会有些差异，所以对于算法设置合适的参数也对准确的结果有很大的影响。

我们通过统计算法参数设置的不同所得的最优适应度值的变化，来比较两种算法的效果。为了充分比较算法参数设置不同效果，我们采用两个大小分别是100和300的样本集。得到结果如图6-3所示。

参数种子数值2088001，粒子群100，迭代次数1000

图6-3基于粒子群算法结果

参数种子数2088001，种群300，迭代次数100

图6-4基于粒子群算法结果

我们将图6-3中的图的形式进行表示，得到两种算法所得最优解值的变化曲线，如其中参数迭代次数不同导致结果差异很大。所以对于复杂的非线性规划函数求解要求有比较大的迭代次数。

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）

l-m算法和粒子群算法

l-m算法和粒子群算法 L-M算法 L-M算法是一种非线性最小二乘法的算法，它是将高斯-牛顿算法与牛顿-拉弗森算法相结合的一种优化算法。在非线性最小二乘问题中，我们要找到一组未知参数，使得该组参数下的函数值与实际观测值的误差平方和最小。 L-M算法的基本思想是：在进行参数更新计算时，先利用高斯-牛顿算法求得近似解，然后再利用牛顿-拉弗森算法对高斯-牛顿算法得到的近似解进行改进。具体步骤如下： 1.初始化参数向量和衰减系数； 2.求得残差向量和雅可比矩阵； 3.利用高斯-牛顿算法得到近似解； 4.计算新的目标函数值和残差向量，判断误差减少的程度是否满足要求； 5.如果误差减少的程度较小，则调整衰减系数，回到第4步，否则转入第6步； 6.利用牛顿-拉弗森算法改进当前的近似解； 7.计算新的目标函数值和残差向量，判断误差减少的程度是否满足要求； 8.如果误差减少的程度较小，则调整衰减系数，回到第7步，否则输出结果。 L-M算法的特点是：具有牛顿-拉弗森算法的高精度和收敛速度快的特点，并且还能自适应地调整步长，避免算法陷入局部最优解。但是，L-M算法对初始参数设置要求较高，容易陷入局部极值。 粒子群算法是一种基于群体智能的随机搜索算法，通过模拟鸟群或鱼群等生物的群体行为来搜索最优解。在粒子群算法中，搜索空间中的每个点都被看作一个粒子，每个粒子都有一个位置和速度，算法通过不断调整粒子的位置和速度来搜索最优解。 具体步骤如下： 1.初始化粒子群的位置和速度； 2.计算每个粒子的适应度值，选择当前最优的粒子作为全局最优解； 3.按照既定规则更新所有粒子的位置和速度； 4.计算新的适应度值，更新全局最优解；

基于粒子群优化算法的路径规划研究

基于粒子群优化算法的路径规划研究路线规划是一个复杂且历史悠久的问题，它涉及到众多领域的知识与技术，如运筹学、数学、计算机科学、交通工程等等。随着科学技术的不断发展，人们提出了许多有效的路线规划方法，目前粒子群优化算法在路线规划方面具有重要的应用。 一、粒子群优化算法 粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是源于社会心理学的一种演化算法。一般适用于解决多维的优化问题，本质上是通过模拟鸟群捕食行为而对每个解决方案进行更新，使得粒子寻找到全局最优解或接近最优解。该算法具有简单、易实现、收敛速度快等特点，已被广泛应用于多领域的优化问题上。 二、基于粒子群优化算法的路径规划 基于粒子群优化算法的路径规划将问题相应地转化为了粒子的位置更新，并利用群体智能来实现有限制的优化。在这一领域，常用的方法为系统动力学和模拟退火算法。然而，这些方法存在着一些缺陷，如易受初始化的影响，容易陷入局部最优解等问题。而粒子群优化算法能有效地解决这些问题。 首先，需要定义问题空间的解空间和适应度函数，通过设计正确的目标函数与限制条件将路径规划问题量化。然后，将每个粒子看作一个解的候选者，并通过粒子学习并适应上一代的信息，根据当前最优

解来更新自己的速度和位置。最终，寻找到最优解或接近最优解的粒子将表示路径规划问题的最终结果。 三、优点与展望 与传统的路径规划算法相比，基于粒子群优化算法的路径规划方法具有如下优点：一是可以在很短时间内得到良好的关键路径和可行路径；二是更加适用于高维、复杂的非线性优化问题；三是不需要过多的假设和先验知识。因此，这种方法在物流领域、智慧城市建设等领域有着重要的应用前景。 不过，粒子群优化算法也存在着一些问题，如易受参数等干扰。未来，我们需要进一步改进算法，减少其对于参数的敏感性，以及更好地处理实际问题中的复杂性。 四、结语 基于粒子群优化算法的路径规划方法在多领域的应用上得到了广泛的关注和研究。粒子群优化算法能够在很短时间内得到良好的解，且与传统算法相比，更具有计算效率和稳定性的优势。虽然，它仍然存在着一些问题，但我们相信，随着科学技术的发展，粒子群优化算法的前途将会越来越广阔。

粒子群算法原理

粒子群算法原理 粒子群算法原理是一种基于优化的算法，它利用一组无序的粒子来搜索整个可能的解决方案空间，以找出最佳的解决方案。 粒子群算法（PSO）是一种迭代优化算法，它采用群体行为思想，相当于一群鸟类在搜寻食物，以及其他任何生活必需品，它们通过互相之间的协作来实现，而不是通过教师或者其他外部干预。 粒子群算法由三个基本要素组成：粒子、适应度函数和社会因素。粒子代表算法中的搜索空间，每个粒子都有一个位置和一个速度，它们根据适应度函数和社会因素来移动，最终形成群体行为模式。 粒子群算法的运行有两个步骤：第一步是更新粒子的位置，第二步是更新粒子的速度。在更新粒子的位置时，粒子的位置由其当前位置，当前速度，以及社会因素和个体因素（如最优位置）的影响共同决定。更新粒子的速度时，粒子的速度由其当前位置，当前速度，最优位置，个体因素和社会因素的影响共同决定。 粒子群算法还有一个自适应模块，可以根据算法的运行状态和工作情况，动态调整粒子的速度和位置，以达到更好的优化效果。最后，算法将根据粒子群当前的位置，最优位置，以及其他因素，来搜索出最优解。

粒子群算法能够有效解决多维非线性优化问题，并且能够找到更加优化的解决方案。它的优势在于可以解决复杂的最优化问题，而且可以快速逼近最优解，运行时间比较短。 粒子群算法也有一些缺点，其中最大的缺点就是可能会陷入局部最优解，而不能找到全局最优解。此外，粒子群算法还存在参数设置的难度，它需要调整大量的参数以获得最佳的性能，而且可能会出现运行时间过长的情况。 总之，粒子群算法是一种有效的优化算法，它可以有效地解决多维非线性优化问题，并且可以快速找到更优的解决方案。但是在使用这种算法时，需要注意参数设置和潜在的陷入局部最优解的风险。

基于粒子群优化算法的非线性控制研究

基于粒子群优化算法的非线性控制研究 随着科技的不断发展，非线性系统的控制问题日益显著。面对复杂性增加的非 线性控制难题，学术界不断探索各种解决方案。其中，粒子群优化算法作为一种新兴的群体智能算法，在非线性控制中得到了越来越广泛的应用，成为非线性控制研究的热点领域。本文即以此为主题，对基于粒子群优化算法的非线性控制研究进行探讨。 一、粒子群优化算法简介 粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）是一种仿生智能算法，它 模拟鸟群或鱼群等社会群体的协同行为，通过联合个体的多样化思想进行全局优化。其基本思路是将求解问题的问题域视为空间中的个体群体，通过模拟个体在空间中的运动，实现问题域中的全局优化。 基本的PSO模型可以由以下公式加以描述： $$ x_{i}(t+1) = x_{i}(t) + v_{i}(t+1) $$ $$ v_{i}(t+1) = \omega v_{i}(t) + \phi_p r_p (p_i - x_{i}(t)) + \phi_g r_g (g_i - x_{i}(t)) $$ 在公式中，$x_i$代表第$i$个粒子的当前位置，$v_i$代表其移动方向和速度，$\omega$代表惯性权重，$\phi_p$和$\phi_g$代表粒子的局部和全局信息的影响因子，$p_i$和$g_i$分别代表第$i$个粒子的最佳位置和全局最优位置，$r_p$和 $r_g$是0到1之间的随机数。 二、基于PSO的非线性控制方法 在系统控制问题中，如果系统非线性程度很高，传统的线性控制方法可能会表 现出很弱的控制效果。与此相比，PSO优化算法可以针对非线性控制问题进行优化，为非线性控制方法提供了有效的支持。

粒子群算法

粒子群算法 粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一种群体智能优化算法，它模拟了鸟群觅食行为中个体在信息交流、合作与竞争中寻找最优解的过程。粒子群算法在解决优化问题中具有较好的效果，尤其适用于连续优化问题。 粒子群算法的基本思想是模拟粒子在解空间中的移动过程，每个粒子代表一个候选解，粒子的位置表示解的一组参数。每个粒子都有一个速度向量，表示粒子在解空间中的移动方向和速率。算法的核心是通过更新粒子的位置和速度来搜索目标函数的最优解。 具体来说，粒子的位置和速度更新通过以下公式计算： $$ v_i^{t+1} = w\cdot v_i^{t} + c_1 \cdot rand() \cdot (p_i^{best}-x_i^{t}) + c_2 \cdot rand() \cdot (p_g^{best}-x_i^{t}) $$ $$ x_i^{t+1} = x_i^{t} + v_i^{t+1} $$ 其中，$v_i^{t}$是粒子$i$在时间$t$的速度，$x_i^{t}$是粒子$i$在时间$t$的位置，$p_i^{best}$是粒子$i$自身经历过的最好位置，$p_g^{best}$是整个种群中经历过的最好位置， $w$是惯性权重，$c_1$和$c_2$是加速度因子，$rand()$是一个0到1的随机数。

粒子群算法的优点在于简单、易于理解和实现，同时具有较好的全局搜索能力。其收敛速度较快，可以处理多维、非线性和非光滑的优化问题。另外，粒子群算法有较少的参数需要调节，因此适用于许多实际应用中的优化问题。 粒子群算法的应用领域非常广泛，包括机器学习、数据挖掘、图像处理、模式识别、人工智能等。例如，在机器学习中，粒子群算法可以应用于神经网络的训练和参数优化；在数据挖掘中，粒子群算法可以用于聚类、分类和关联规则挖掘等任务；在图像处理中，粒子群算法可以用于图像分割、边缘检测和特征提取等；在模式识别中，粒子群算法可以用于目标检测和模式匹配等。 总之，粒子群算法是一种有效的全局优化算法，具有广泛的应用前景。它通过模拟粒子在解空间中的移动过程，不断更新粒子的位置和速度，寻找目标函数的最优解。粒子群算法在实际应用中取得了很多成功，对于解决优化问题具有重要意义。

非线性规划粒子群算法(I)

xx大学 智能优化算法课内实验报告书 院系名称： 学生姓名： 专业名称： 班级： 学号： 时间：

非线性规划问题的粒子群算法 1.1 背景介绍 1.1.1 非线性规划简介 具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要的分支，非线性规划研究一个n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的机制问题且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数，目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。 非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。1951年H.W库恩和A.W塔克发表的关于最优性条件的论文是非线性规划正式诞生的一个重要标志。在50年代可得出了可分离规划和二次规划的n种解法，它们大都是以G.B.丹齐克提出的解线性规划的单纯形法为基础的。50年代末到60年代末出现了许多解非线性规划问题的有效的算法，70年代又得到进一步的发展。非线性规划在工程、管理、经济、科研、军事等方面都有广泛的应用，为最优设计提供了有力的工具。 非线性规划问题广发存在于科学与工程领域，是一类比较难以解决的优化问题，没有普遍使用的解法。传统的求解该问题的方法（如罚函数，可行方向法，以及变尺度法等）是基于梯度的方法所以目标函数与约束式必须是可微的，并且这些方法只能保证求的局部最优解。 1.1.2 粒子群算法简介 粒子群算法（Particle Swarm optimization，PSO）的基本概念源于对于鸟群捕食行为的简化社会模型的模拟，1995年由Kenndy和Eberhart等人提出，它同遗传算法类似，通过个体间的协作和竞争实现全局搜索系统初始化为一组随机解，称之为粒子。通过粒子在搜索空间的飞行完成寻优，在数学公式中即为迭代，它没有遗传算法的交叉及变异算子，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。 PSO算法的改进主要在参数选择、拓扑结构以及与其他优化算法相融合方面。据此当前典型的改进算法有：自适应PSO算法、模糊PSO算法、杂交PSO 算法、混合粒子算法（HPSO）和离散PSO算法等等。其中自适应和模糊PSO算法是EberhartShi研究了惯性因子ω对优化性能的影响，发现较大的ω值有利于跳出局部极小点，较小的ω值有利于算法的收敛。自适应PSO算法通过线性地减少ω值动态的调整参数ω，而模糊PSO算法则在此基础上利用模糊规则动态调整参

一种求解非线性规划问题的粒子群算法

一种求解非线性规划问题的粒子群算法 赵佳鑫;高岳林;陈群林 【期刊名称】《宁夏大学学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2017(038)001 【摘要】为了求解非线性混合整数规划问题,提出了一种基于随机游走的粒子群优化算法(RWPSO).构造出自适应的惯性权重,平衡了算法的全局和局部搜索能力;提出了一种“随机游走”行为,增强粒子的局部寻优能力;为了防止算法出现早熟收敛现象,提出了“优胜劣汰”更新机制.最后,为了验证算法在求解非线性混合整数规划问题方面的可行性和有效性,将提出的算法用16个常用的测试函数进行了测试并与其他3种算法比较.实验结果表明,RWPSO算法在精确度和成功率方面得到了很大的提高.%A particle swarm optimization based on random walk(RWPSO) is proposed to solve nonlinear mixed integer programming problem.To balance local search capability and global search capability,self-adaptive inertia weight is constructed.A "random walk" behavior is proposed to enhance the local search ability of particles.In order to prevent premature convergence,the "survival of the fittest" update mechanism is introduced.Finally,in order to validate the algorithm is feasible and effective for solving nonlinear mixed integer programming problem,RWPSO is tested and compared with the other three algorithms in 16 test functions.The experimental study shows that RWPSO has been greatly improved in terms of accuracy and success rate. 【总页数】5页(P15-18,22)

基于多目标优化的非线性规划算法研究

基于多目标优化的非线性规划算法研究 随着计算机技术的快速发展，非线性规划问题的求解已经成为了数学领域中的热门问题。非线性规划问题的求解难度较大，主要是由于目标函数的非光滑性和优化过程中局部极小值的存在。因此，在非线性规划问题的求解过程中，必须依靠高精度的计算方法和创新性的优化策略。本文将对基于多目标优化的非线性规划算法进行深入研究。 一、非线性规划问题的建模 在进行非线性规划问题的求解之前，首先必须对问题进行准确的建模。建模的过程中需要依据实际问题描述构建目标函数和约束条件，并采用合适的优化方法来求解。目标函数和约束条件的复杂度越高，则求解过程越复杂。 二、多目标优化方法 多目标优化是指在优化问题中同时考虑多个目标函数的优化问题。解决多目标优化问题涉及到权衡多个目标之间的权重以及评价指标选择问题。因此，在使用多目标优化方法求解非线性规划问题时，必须清晰地定义评价指标和权重，避免出现偏差或者误解。 三、基于多目标优化的非线性规划算法研究 （一）粒子群算法 粒子群算法是一种基于搜索和优化的自适应算法，其工作原理是将搜索空间看作粒子的群体，每个粒子都有自己的位置和速度。在更新过程中，每个粒子的速度和位置都被更新，从而得到最优解。在使用粒子群算法求解非线性规划问题时，需要定义目标函数和约束条件，并通过自适应控制算法调整粒子的速度和位置，以获得最优解。 （二）遗传算法

遗传算法是一种模拟自然界进化过程的求解方法。利用遗传算法求解非线性规 划问题时，首先需要对目标函数和约束条件进行编码，然后使用遗传操作（如交叉、变异）来改变个体的基因组合，从而逐步达到最优解。在遗传算法的求解过程中，需要定义适应度函数、选择操作和交叉、变异操作等，以获得最优解。 （三）模拟退火算法 模拟退火是一种基于概率迭代的随机求解方法。模拟退火算法的基本思想是根 据不同的温度设置不同的搜索步长，从而达到快速收敛的目的。在使用模拟退火算法求解非线性规划问题时，需要定义目标函数和约束条件，并根据当前状态进行状态迭代，最终找到最优解。 （四）蚁群算法 蚁群算法是一种基于蚂蚁生物行为的求解方法。在蚁群算法中，蚂蚁通过释放 信息素的方式来沟通交流，达到优化搜索的效果。在使用蚁群算法求解非线性规划问题时，需要定义目标函数和约束条件，并利用信息素来控制搜索路径。 四、总结 本文主要介绍了基于多目标优化的非线性规划算法研究，包括粒子群算法、遗 传算法、模拟退火算法和蚁群算法等。这些算法在不同的求解问题中表现出不同的优势和适用性。非线性规划问题的求解涉及到机器学习、计算机科学、数学等多个领域，需要将这些领域的优势相结合，不断探索创新的优化策略和方法。未来，基于多目标优化的非线性规划算法将越来越成为研究和应用的热点领域。

粒子群优化算法概述

计算机辅助工艺课程作业 学生：赵华琳学号：s308070072时间：09年 6月

粒子群优化算法概述 工程技术和经济管理等领域的重要研究工具。它所研究的问题是讨论在众多 的方 案中寻找最优方案。例如，工程设计中怎样选择设计参数，使设计方案既满足设计要求又能降 低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的 经济效益。在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。优化这一技术，正是为这些问题的解 决，提供理论基础和求解方法，它是一门应用广泛、实用性很强的科学。近十余年来，粒子群优化 算法作为群体智能算法的一个重要分支得到了广泛深入的研究，在路径规划等许多领域都有应用。本 文主要结合现阶段的研究概况对粒子群优化算法进行初步介绍。 1 •粒子群优化算法的基本原理 1.1粒子群优化算法的起源 粒子群优化(PSO)算法是由Kennedy 和Eberhart 于1995年用计算机模拟鸟群觅食这一简单的 社会行为时，受到启发，简化之后而提出的 ⑴⑵。 设想这样一个场景：一群鸟随机的分布在一个区域中，在这个区域里只有一块食物。所有的鸟 都不知道食物在哪里。但是他们知道当前的位置离食物还有多远。那么找到食物的最优策略是什么 呢。最简单有效的方法就是追寻自己视野中目前离食物最近的鸟。如果把食物当作最优点，而把鸟 离食物的距离当作函数的适应度，那么鸟寻觅食物的过程就可以当作一个函数寻优的过程。鱼群和 鸟群的社会行为一直引起科学家的兴趣。他们以特殊的方式移动、同步，不会相互碰撞，整体行为看 上去非常优美。生物学家 CargiReynolds 提出了一个非常 有影响的鸟群聚集模型。在他的模拟模型boids 中，每一个个体遵循：避免与邻域个体相冲撞、匹配 邻域个体的速度、试图飞向感知到的鸟群中心这三条规则形成简单的非集中控制算法驱动鸟群的聚 集，在一系列模拟实验中突现出了非常接近现实鸟群聚集行为的现象。该结果显示了在空中回旋的 鸟组成轮廓清晰的群体，以及遇到障碍物时鸟群的分裂和再度汇合过程。由此受到启发，经过简化提 出了粒子群优化算法。 1.2粒子群优化算法的原理 在粒子群优化算法中，每个优化问题的潜在解都是搜索空间中的一只鸟，称之为“粒子”。所 有的粒子都有一个由被优化的函数决定的适应值，每个粒子还有一个速度决定他们飞翔的方向和距 离。然后粒子们就追随当前的最优粒子在解空间中搜索。优化开始时先初始化为一群随机粒子(随机 解)。然后通过迭代找到最优解。在每一次迭代中，粒子通过跟踪两个极值来更新自己。第一个极值 就是整个种群目前找到的最优解。这个极值是全局极值。另外也可以不用整个种群而只是用其中一 部分作为粒子的邻居，那么在所有邻居中的极值就是局部极值。第二个极值是粒子本身所找到的最 优解，称为个体极值。这是因为粒子仅仅通过跟踪全局极值或者局部极值来更新位置，不可能总是 获得较好的解。这样在优化过程中，粒子在追随全局极值或局部极值的同时追随个体极值则圆满的 解决了这个问题。 这就是粒子群优化 算法的原理。 在算法幵始时，随机初始化粒子的位置和速度构成初始种群，初始种群在解空间中为均匀分 布。其中第i 个粒子在n 维解空间的位置和速度可分别表示为 Xi= ( XgXz …,Xid)和Vi = (Wi,Vi2,…,Vid ),然后通过迭代找到最优解。在每一次迭代中，粒子通过跟踪两个极值来更新自己的速 度和位置。一个极值是粒子本身到目前为止所找到的最优解，这个极值称为个体极值Pb 匸 (Pbn,Pbi2,…,Pbid)。另一个极值是该粒子的邻域到目前为止找到的最优解， 这个极 值称为整个邻域的最优粒子 Nbest 匸(Nbestii,Nbestz …,Nbestid)。粒子根据如下的式(2・1)和式 0 •前言 优化是科学研

非线性规划问题的求解方法研究

非线性规划问题的求解方法研究随着科技的不断发展，各行各业也在不断发展变化。非线性规 划问题的求解方法也成为了当下热门的话题之一。非线性规划是 指优化问题中目标函数或约束条件是非线性的情况，这类问题在 实际应用中很常见。解决非线性规划问题的数学方法又被称为非 线性规划算法。 非线性规划算法主要分为两类：确定性算法和随机算法。确定 性算法是通过一系列有规律的计算来达到问题的最优解。而随机 算法则是简单而暴力的方法，通过一些随机序列来优化思路，最 终达到问题的最优解。下面将介绍几类典型的非线性规划算法。 一、传统算法 1. 信赖域算法 信赖域算法是一种可应用于大规模非线性规划问题的优化方法。它考虑了简单的限制条件，以期得到最优解。它是迭代求解算法，通过寻找限制条件来达到最优解。

2. 罚函数算法 罚函数算法的思想是将限制条件进行“惩罚”，使其变得更加强烈。它可以转化为一个无限制最优化问题来求解原问题。 3. 共轭梯度法 共轭梯度法是一种求解大规模非线性规划问题的高效算法。它是迭代法，通过寻找相互垂直的方向来达到最优解。 二、元启发式算法 元启发式搜索（也称为群智能）是一种通过模拟自然界的行为以解决优化问题的算法，包括蚁群算法、粒子群算法、遗传算法等。 1. 蚁群算法

蚁群算法是一种基于蚂蚁行为的元启发式算法。它通过模拟蚂蚁寻找食物的方式来优化问题，即将蚂蚁的行为规则应用于优化问题中。 2. 粒子群算法 粒子群算法是一种仿照群体行为的元启发式算法。它通过模拟鸟群、鱼群等集体行为来寻找最优解。 3. 遗传算法 遗传算法是一种模拟自然选择和遗传机制的元启发式算法。它通过模仿生物进化的过程来寻找最优解。遗传算法适用于搜索空间大、目标函数复杂的优化问题。 三、其他算法 除了传统算法和元启发式算法，还有一些其他的算法也被应用于非线性规划问题中，包括模拟退火算法、蒙特卡罗方法等。

粒子群算法在机器人路径规划中的应用研究

粒子群算法在机器人路径规划中的应用研究引言 随着全球工业的快速发展，机器人已经成为现代生产中必不可 少的一部分。机器人的工作主要是通过程序控制，但程序中的一 些参数需要经常调整以适应不同的生产环境和任务需求。机器人 路径规划是其中非常关键的一项任务，它决定了机器人在生产线 上的运动轨迹。现有的路径规划算法存在许多不足之处，例如计 算复杂度高、局部最优、无法适应动态环境等问题。本文将对一 种基于算法优化的路径规划方法——粒子群算法进行深入研究， 探讨其在机器人路径规划中的应用前景。 1. 粒子群算法简介 粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一种模拟 自然界粒子群运动行为的优化算法，由Eberhart和Kennedy于 1995年提出。该算法的目标是在搜索空间中寻找最优解。粒子群 算法中，每个粒子都代表一个候选解，同时会记录自身历史最佳 解和全局历史最佳解。粒子在搜索空间内随机移动，在不断更新 自身历史最佳解和全局历史最佳解的过程中逐渐靠近全局最优解。该算法具有以下几个特点： （1）无需求解梯度信息，能够处理高维复杂的非线性优化问题。

（2）全局收敛速度快，搜索效率高。 （3）易于实现，不需要复杂的参数设置。 2. 粒子群算法在机器人路径规划中的应用 机器人路径规划问题是多样化、复杂化的，直接使用传统的优化算法求解效率低下，很难找到全局最优解。而粒子群算法在处理这种问题时具有普遍适用性。目前相关研究主要集中在以下几个方面： （1）静态环境下的路径规划 静态环境下的机器人路径规划是机器人应用中经典的问题。该问题的主要挑战在于不同的机器人需要满足不同的约束条件，例如，机器人需要避免障碍等。传统算法难以找到最优解，而粒子群算法则可以更好地应对该问题。众所周知的是，粒子群算法是一种适应性算法，不需要事先确定约束条件，能够灵活地应对不同情况。因此，它在静态环境下的路径规划中拥有广泛的应用。 （2）动态环境下的路径规划 相较于静态环境下的机器人路径规划，动态环境下的路径规划更加复杂，主要是因为障碍物的运动轨迹不确定。这种变化使得极难使用传统算法求解最优路径。但是，通过动态更新障碍物的位置和速度，粒子群算法可以灵活地适应环境变化，找到最优路

粒子群优化算法

粒子群优化算法 一、基本概念和背景知识 粒子群优化算法是由James Kennedy和Russell Eberhart于1995年提出的一种优化算法。该算法通过模拟鸟群觅食行为，将问题解空间中的每个解看作一只鸟，称为“粒子”。所有粒子都有一个位置和一个速度，通过不断更新粒子的位置和速度来寻找问题的最优解。 粒子群优化算法的原理基于群体智能，它通过粒子之间的协作和信息共享来寻找问题的最优解。每个粒子都记录了自身的最佳位置和群体的最佳位置，并在更新自身位置时根据这两个信息进行更新。算法通过不断迭代，使得粒子群逐渐向问题的最优解方向聚集。 二、应用领域 粒子群优化算法已经被广泛应用于各个领域，包括机器学习、数据挖掘、优化问题等。在机器学习领域，粒子群优化算法常用于优化神经网络、支持向量机等模型的参数。在数据挖掘领域，粒子群优化算法可以用于聚类、分类等问题的求解。在优化问题领域，粒子群优化算法可以用于求解各类工程设计、电力系统优化等问题。

三、技术特点 粒子群优化算法具有以下技术特点： 1、群体协作：粒子群优化算法利用群体中粒子的协作和信息共享来寻找最优解，这使得算法具有更好的全局搜索能力。 2、随机性：粒子群优化算法引入了随机性，这使得算法具有更好的鲁棒性和避免局部最优解的能力。 3、高效性：粒子群优化算法具有较快的收敛速度和较低的复杂度，这使得算法可以更高效地求解大规模问题。 四、不足之处 粒子群优化算法虽然具有许多优点，但也存在一些不足之处： 1、收敛性不足：粒子群优化算法可能无法找到问题的全局最优解，特别是在处理复杂或多峰问题时。 2、实现复杂度高：粒子群优化算法的实现需要考虑许多细节，如粒子的初始化、速度和位置的更新策略等。 五、展望未来

毕业论文：非线性规划问题的粒子群算法(定稿)-精品

分类号密级 学校代码学号 0608060124 西安科技大学 学士学位论文 题目：非线性规划问题的粒子群算法 作者： 指导教师：专业技术职称： 学科专业：申请学位日期：

摘要 优化技术是一种以数学为基础，用于求解各种组合优化问题的应用技术。最优化问题是人们在工程技术、科学研究、和经济管理等诸多领域中经常碰到的问题，它是指在满足一定的约束条件下，寻找一组参数值，使目标函数达到最大或最小。最优化问题根据其目标函数、约束条件的性质以及优化变量的取值范围可以分为许多类型，例如：根据目标函数和约束条件是否均为线性表达式，把最优化问题划分为线性规划问题和非线性规划问题。针对不同的最优化问题，提出了许多不同的优化方法，如牛顿法、共轭梯度法、Polar-Ribiere 法、拉格朗日乘子法等。这些优化算法能很好地找到问题的局部最优点，是成熟的局部优化算法。 但是随着人类生存空间的扩大以及认识与改造世界范围的拓展，人们发现由于问题的复杂性、约束性、非线性、建模困难等特点，解析性优化算法已不能满足人们的要求，需要寻找一种适合于大规模并行且具有智能特征的优化算法。现代进化类方法如人工神经网络、遗传算法、禁忌搜索法、模拟退火法和蚁群算法等在解决大规模的问题时体现出强大的潜力，它们可以在合理的时间限制内逼近优化问题的较好可行解。其中，遗传算法和蚁群算法被称为智能优化算法，其基本思想是通过模拟自然界生物的行为来构造随机优化算法。 近年来，另一种智能优化算法—粒子群算法（particle swarm optimization，简称PSO）越来越受到学者的关注。粒子群算法是美国社会心理学家JamesKennedy 和电气工程师Russell Eberhart 在1995 年共同提出的，它是受到鸟群社会行为的启发并利用了生物学家Frank Heppner 的生物群体模型而提出的。它用无质量无体积的粒子作为个体，并为每个粒子规定简单的社会行为规则，通过种群间个体协作来实现对问题最优解的搜索。由于算法收敛速度快，设置参数少，容易实现，能有效地解决复杂优化问题，在函数优化、神经网络训练、图解处理、模式识别以及一些工程领域都得到了广泛的应用。 关键字：非线性规划；粒子群算法；智能算法 ABSTRACT Optimization technology is based on mathematics and can solve various combinatorial optimization problems. Many problems possess a set of parameters to be optimized, especially in the fields of engineering technology, scientific research and economic management.

粒子群算法论文

粒子群算法的寻优算法 摘要：粒子群算法是在仿真生物群体社会活动的基础上，通过模拟群体生物相互协同寻优能力，从而构造出一种新的智能优化算法。这篇文章简要回顾了粒子群算法的发展历史；引入了一个粒子群算法的实例，对其用MATLAB进行编程求解，得出结论。之后还对其中的惯性权重进行了延伸研究，对惯性权重的选择和变化的算法性能进行分析。 关键词：粒子群、寻优、MATLAB、惯性权重 目录： 1.粒子群算法的简介2 1.1 粒子群算法的研究背景2 1.2 起源2 1.3 粒子群理论3 2.案例背景4 2.1问题描述4 2.2 解题思路与步骤4 3.MATLAB编程实现5 3.1设置PSO算法的运行参数5 3.2种群初始化5 3.3寻找初始极值5 3.4迭代寻优6 3.5结果分析6 4.惯性权重对PSO算法的影响8 4.1惯性权重的选择8 4.2惯性权重变化的算法性能分析8 5 结论10 参考文献：11

1.粒子群算法的简介 粒子群算法（Particle Swarm Optimization）是一种新的智能优化算法。谈到它的发展历史，就不得不先介绍下传统的优化算法，正因为传统优化算法自身的一些不足，才有新智能优化算法的兴起，而粒子群算法（PSO）就是在这种情况下发展起来的。 1.1 粒子群算法的研究背景 最优化是人们在科学研究、工程技术和经济管理等领域中经常遇到的问题。优化问题研究的主要内容是在解决某个问题时，如何从众多的解决方案中选出最优方案。它可以定义为：在一定的约束条件下，求得一组参数值，使得系统的某项性能指标达到最优（最大或最小）。传统的优化方法是借助于优化问题的不同性质，通常将问题分为线性规划问题、非线性规划问题、整数规划问题和多目标规划问题等。相应的有一些成熟的常规算法，如应用于线性规划问题的单纯形法，应用于非线性规划的牛顿法、共扼梯度法，应用于整数规则的分枝界定法、动态规划等。列举的这些传统的优化算法能够解决现实生活和工程上的很多问题，但工业和科学领域大量实际问题的困难程度正在日益增长，它们大多是根本无法在可接受的时间内找到解的问题。这类优化问题的困难性不仅体现在具有极大的规模，更为重要的是，它们多数是非线性的、动态的、多峰的、具有欺骗性的或者不具有任何导数信息。因此，发展通用性更强、效率更高的优化算法总是需要的。 1.2 起源 在自然界中，鸟群运动的主体是离散的，其排列看起来是随机的，但在整体的运动中它们却保持着惊人的同步性，其整体运动形态非常流畅且极富美感。这些呈分布状态的群体所表现出的似乎是有意识的集中控制，一直是许多研究者感兴趣的问题。有研究者对鸟群的运动进行了计算机仿真，他们通过对个体设定简单的运动规则，来模拟鸟群整体的复杂行为。 1986 年Craig ReynolS 提出了Boid 模型，用以模拟鸟类聚集飞行的行为，通过对现实世界中这些群体运动的观察，在计算机中复制和重建这些运动轨迹，并对这些运动进行抽象建模，以发现新的运动模式。之后，生物学家Frank Heppner 在此基础上增加了栖息地对鸟吸引的仿真条件，提出了新的鸟群模型。这个新的鸟群模型的关键在于以个体之间的运算操作为基础，这个操作也就是群体行为的同步必须在于个体努力维持自身与邻居之间的距离为最优，为此每个个体必须知道自身位置和邻居的位置信息。这些都表明群体中个体之间信息的社会共享有助于群体的进化。 在1995年，受到Frank Heppner 鸟群模型的影响，社会心理学博士James

数学建模c题常用算法

数学建模c题常用算法 在数学建模中，常用的算法有： 1. 线性规划算法（Linear Programming）：通过优化目标函数，同时满足一系列线性约束条件，找到最优解。 2. 非线性规划算法（Nonlinear Programming）：通过优化目标 函数，同时满足一系列非线性约束条件，找到最优解。 3. 整数规划算法（Integer Programming）：在线性规划问题中，将变量限定为整数，并找到最优解。 4. 动态规划算法（Dynamic Programming）：通过划分问题为 子问题，并通过保存子问题的解来构建整个问题的解。 5. 贪心算法（Greedy Algorithm）：通过每一步都选择当前状 态下最优的解，最终得到全局最优解。 6. 遗传算法（Genetic Algorithm）：通过模拟生物进化过程， 通过选择、交叉和变异等操作，优化目标函数，找到最优解。 7. 模拟退火算法（Simulated Annealing Algorithm）：通过模拟退火的过程，在每次迭代中接受概率性的向下移动，避免陷入局部最优解。 8. 粒子群算法（Particle Swarm Optimization）：通过模拟鸟群 或鱼群等生物群体的行为，通过个体之间的合作与竞争，优化

目标函数，找到最优解。 9. 蚁群算法（Ant Colony Optimization）：通过模拟蚂蚁找食的行为，通过蚁群中蚂蚁之间的信息交流，优化目标函数，找到最优解。 10. 模型拟合算法（Model Fitting）：通过拟合一个合适的数学模型，找到描述观测数据的最佳参数。 这些算法在不同的数学建模问题中都有广泛的应用，根据具体的问题特点和约束条件选择适当的算法进行求解。

粒子群算法 组合优化

粒子群算法组合优化 粒子群算法（PSO）是一种近年来被大量研究和使用的智能算法，它结合了群体智慧与粒子搜索算法，拥有少量的参数，并且准确的求解优化问题。而组合优化算法就是运用粒子群算法来解决高维组合优化问题的计算机算法，它是一种基于迭代搜索算法来自动搜索和进行最优化解决方案的巧妙算法，并且可以提供自适应性变更邻域搜索。 组合优化问题是计算机科学中的一个比较重要的实际问题，也称旅行商问题（TSP）或者是非线性规划（NLP）。与传统的优化算法不同，这类问题的特点是非线性，而且约束条件的数量也比较多，优化的目标也是差别极大的，因此其优化难度也比较大，传统的优化算法不能很好地解决这类问题，因此组合优化算法应运而生。 粒子群算法实际上是一种基于简单的群体智慧行为表现来拟合 从一堆初始解开始搜索出最优解的算法。这种算法先随机生成初始粒子，然后把它们放到一个坐标系中，并用特定的函数来衡量其质量，以决定其价值，以及它是否满足最优化的要求。粒子群算法的搜索过程可以分为三部分：第一步是信息交流，第二步是适应性变更邻域搜索，第三步是移动搜索策略，这三者的结合可以有效地加快搜索过程，使得最优解更容易找到。 由于传统的优化算法只针对简单的最小化或者最大化函数，而非线性、约束性多种多样，而组合优化算法则是运用粒子群算法来解决非线性、约束条件多的组合优化问题，它可以极大地提高优化问题的求解效率，以及优化的准确度。

实际上，组合优化问题的求解一直是计算机科学中的重要主题，广泛应用于众多领域，比如控制系统设计、视频分割算法、凸优化算法、多智能体控制、以及可行性分析等，如果采用传统方法来解决这些问题，花费的时间和劳动力将会效率很低，但是如果采用组合优化算法，就可以非常有效地解决这些问题。 基于粒子群优化算法的组合优化方法主要根据优化的目的和限 制条件来确定，当确定了优化的目标函数和限定条件后，就可以按照算法的要求来进行编程，以达到最优的解决方案。组合优化算法能够有效地搜索并找到全局最优解，而且编程所需要的时间也比较短，由于其算法复杂度不高，局部最优解也可以较快地找到，因此它可以有效地提高优化问题的求解效率。 粒子群算法组合优化作为一种新的算法领域，越来越受到重视。开拓性的研究和发展可以加强组合优化的实用性能，并且更有效的应用于各个不同的领域，从而解决众多的实际问题，甚至助力现实世界的发展。 总之，组合优化算法是一种极具应用价值的算法，它能够有效地解决各种复杂的、非线性的组合优化问题，提高优化问题的求解效率，也帮助现实社会的发展。它的发展可以增进计算机科学的研究，使各个领域的实际应用更加灵活高效，从而提升社会和经济效益。

粒子群算法应用

粒子群算法应用 摘要：粒子群算法(PSO)是一种被广泛运用的优化技术，它可以帮助我们快速搜索最优解，为解决复杂问题提供了强大的技术支持。本文在综述粒子群算法的基本概念和特点的基础上，主要研究了它在模式识别、机器学习、机器视觉、网络安全和混沌系统中的应用；并给出了几种常见的粒子群算法变种；最后，介绍了粒子群算法的发展前景和研究方向。 关键词：粒子群算法；模式识别；机器学习；机器视觉；网络安全；混沌系统 Introduction 粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一种目标优化算法，它可以极大地节省时间，快速搜索出最优解。与其它优化算法相比，粒子群算法更具有一定的鲁棒性和智能性，可以更好地解决复杂优化问题。 Basic Concepts and Characteristics of PSO 粒子群算法是一种利用群体实体集合（又称粒子）来模拟在非线性优化过程中的群体行为。它的特点有：算法简单易行，不需要人工参数调优；学习能力强，可以适应非线性函数；参数受限性小，快速收敛；整体性强，能够同步收敛；对负责优化对象有较好的针对性，以及具有良好的可扩展性。 Applications of PSO 由于粒子群算法的易行性，它得到了广泛的应用，如模式识别、

机器学习、机器视觉、网络安全和混沌系统等领域。 1.模式识别方面，粒子群算法可以用来快速搜索最优参数，优化模式识别算法的收敛性和准确性，提高分类的精度。 2.机器学习方面，粒子群算法可以通过分布式计算来实现快速的计算和优化，以达到机器学习的最优结果。 3.机器视觉方面，粒子群算法可以用来建立机器视觉中的特征提取算法，从而提高图像分类和分析的精度。 4.网络安全方面，粒子群算法可以用来优化各种网络攻击检测算法，提高入侵检测精度。 5.混沌系统方面，粒子群算法可以用来设计有效的优化算法，以控制混沌系统的动力学行为，从而实现混沌系统的控制。 Variants of PSO 目前，研究者们尝试基于粒子群算法的基本框架，开发出一系列的变种算法，它们的共同特点是对粒子群算法机制的修改。基于原始算法框架，PSO研究者们已经提出了一系列改进形式，如：改进策略法（IPPSO）、混合策略法（HPSO）、智能算子（ISPSO）、偏向性粒子 群法（BPPSO）、拓扑结构算子群算法（TPSO）等。 Prospects and Future Directions 粒子群算法的研究越来越受到重视，它的应用领域也在不断扩大，但与其他优化算法相比，粒子群算法仍有待改进。未来，粒子群算法的研究方向主要包括：开发更加节省时间的算法；增加策略调优，提高解决复杂优化问题的能力；构建更多混合优化策略；加强算法的参