两条直线的位置关系教案(绝对经典)

§9.2 两条直线的位置关系

【考纲】1.考查两条直线的平行、垂直关系；2.考查两点间的距离公式及点到直线的距离公式的应用．

1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行

对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2?k 1＝k 2.特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行． (2)两条直线垂直

如果两条直线l 1，l 2斜率存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 2．两直线相交

交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组?

??

??

A 1x ＋

B 1y ＋

C 1＝0，

A 2x ＋

B 2y ＋

C 2＝0的解一一对应．

相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行?方程组无解； 重合?方程组有无数个解．

过两直线交点的直线系方程可设为：（A 1x ＋B 1y ＋C 1 )+λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2 )=0, 但不包括l 2 3．三种距离公式

(1)点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)间的距离： 点点距：|AB |＝

(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.

(2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：

点线距：d ＝ |Ax 0＋By 0＋C |

A 2＋

B 2

.

(3)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0 (C 1≠C 2)间的距离为

线线距：d ＝|C 2－C 1|

A 2＋

B 2

.

4.对称问题

1、点点对称：中点坐标公式

2、点线对称：??

?-=?中点在直线上②1

k ①k 21

3、线点对称：?

??=点点对称②k ①k 2

1

4、线线对称：

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?=

?

?

?

　或线线距相等

点点对称

平行：

点线对称

求交点

相交：

②

k

①k

②

①

2

1

[难点正本疑点清源]

1．两条直线平行、垂直的充要条件是有大前提的，就是两条直线都有斜率．当直线无斜率时，要单独考虑．

2．与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：

一般地，平行的直线方程设为Ax＋By＋m＝0；垂直的直线方程设为Bx－Ay＋n＝0.

1．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.

答案 1 解析∵直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，∴

1

2×(

)－2m＝－1，∴m＝1.

2．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是2，则直线l1的方程为_____________．答案x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0 解析设l1的方程为x＋y＋c＝0，则

|c＋1|

2

＝ 2.

∴|c＋1|＝2，即c＝1或c＝－3.

3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是() A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0

答案 A

4．若经过点(3，a)、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为

1

2的直线垂直，则a的值为() A.

5

2 B.

2

5C．10 D．－10

答案 D 解析∵

a－0

3－(－2)

＝－2，∴a＝－10.

题型一两条直线的平行与垂直

例1已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.

(1)试判断l1与l2是否平行；

(2)l1⊥l2时，求a的值．

思维启迪：运用两条直线平行或垂直的条件求解，要注意斜率为0或斜率不存在的情形．

解(1)方法一当a＝1时，

l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；

当a＝0时，l1：y＝－3，

l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；

当a≠1且a≠0时，两直线可化为

l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝1

1－a x －(a ＋1)，

l 1∥l 2???

?

－a 2＝11－a ，

－3≠－(a ＋1)，

解得a ＝－1，

综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．

方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，

∴l 1∥l 2???? a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0， ????

a 2

－a －2＝0，

a (a 2－1)≠6，

?a ＝－1，

故当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行． (2)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0， l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；

当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2；

当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a

2x －3，

l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由()

－a 2·11－a

＝－1?a ＝2

3.

方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0得a ＋2(a －1)＝0?a ＝2

3

.

探究提高 (1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x 、y 的系数不能同时为零这一隐含条件．

(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．

已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m 、n 的值，使：

(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；

(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.

解 (1)由题意得???

m 2

－8＋n ＝0

2m －m －1＝0

，解得m ＝1，n ＝7.

(2)当m ＝0时，显然l 1不平行于l 2；

当m ≠0时，由m 2＝8m ≠n

－1

，

得??? m ·m －8×2＝0，8×(－1)－n ·m ≠0， ∴??? m ＝4，n ≠－2，或???

m ＝－4，n ≠2.

即m ＝4，n ≠－2时或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2.

(3)当且仅当m ·2＋8·m ＝0，即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n

8＝－1，∴n ＝8.

即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.

题型二 两条直线的交点问题

例2 求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线

l 的方程．

思维启迪：可先求出l 1与l 2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．

解 方法一 先解方程组???

3x ＋2y －1＝0

5x ＋2y ＋1＝0

，

得l 1、l 2的交点坐标为(－1,2)， 再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－5

3，

于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－5

3

(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.

方法二 由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(－1,2)， 故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1， 故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.

方法三 由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条， 将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0.

其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝1

5， 代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.

探究提高 运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有： (1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0 (m ∈R 且m ≠C )； (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0 (m ∈R )；

(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0 (λ∈R )，但不包括l 2.

题型三 距离公式的应用

例3 已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.

解 设点P 的坐标为(a ，b )，∵A (4，－3)，B (2，－1)， ∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)， ∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.

∵点P (a ，b )在上述直线上，∴a －b －5＝0.① 又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，

∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②

联立①②可得??

?

a ＝1

b ＝－4

或???

??

a ＝277

b ＝－87

. ∴所求点P 的坐标为(1，－4)或

()277，－8

7

. 题型四 对称问题

例4 （1）点（1,1）关于直线x+2y=8的对称点为 。

（2）已知直线2x+3y+1=0,则它关于点（1，2）成中心对称的直线方程为 答案： （1）（3,5） （2）. 2x-3y+7=0

（3）光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．

审题视角 (1)入射光线所在直线与反射光线所在直线关于l 对称．(2)对称点的连线被对称轴垂直平分． 规范解答

解 方法一 由??? x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0， 得???

x ＝－1，y ＝2. ∴反射点M 的坐标为(－1,2)．[2分]

又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5，0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0

x 0＋5.[4

分]

而PP ′的中点Q 的坐标为????x 0－52，y 02，

Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 0

2＋7＝0.[6分]

由?????

y 0x 0＋5＝－2

3，32(x 0－5)－y 0＋7＝0.

得???

??

x 0＝－17

13，y 0＝－3213

.[8分]

根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0.[12分] 方法二 设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x

＝－2

3，[4分]

又PP ′的中点Q ??

??

x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，

∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 0

2＋7＝0，[6分]

由???

y 0－y x 0－x

＝－2

3，

3×x ＋x

2－(y ＋y 0

)＋7＝0.

可得P 点的坐标为 x 0＝

－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋28

13

，[10分]

代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.[12分]

（1）点（4,5）关于直线y=3x+3的对称点为 。

（2）直线y=x-2关于直线y=3x+3对称的直线方程为 ；

答案：（1）（-2,7） （2）7x+y+22=0

A 组 专项基础训练

一、选择题(每小题5分)

1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是

( )

A ．3x ＋2y －1＝0

B ．3x ＋2y ＋7＝0

C ．2x －3y ＋5＝0

D ．2x －3y ＋8＝0

答案 A 解析 由题意知，直线l 的斜率为－32，因此直线l 的方程为y －2＝－3

2

(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.

2．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的

( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

答案 A 解析 若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0，

即a ＝－2或a ＝1，所以“a ＝1”是“直线l 1与直线l 2平行”的充分不必要条件．

3．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为

( )

A ．x ＋2y －4＝0

B ．2x ＋y －1＝0

C ．x ＋6y －16＝0

D ．6x ＋y －8＝0

答案 A 解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝1

2(x －2)，其与y

轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．

4．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0 B ．2x －y －2＝0

C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0

D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0

答案 D 解析 由题意设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，

由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， ∴k ＝2或k ＝－2

3. ∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.

5.已知

()(){}=?=++=?

??

???=--=N M a y ax y x N x y y x M ，且02,,323,?，则a = ( )

A ．－6或－2

B ．－6

C ．－6或2

D ．－2

答案 A

6、两直线ax ﹣y+2a=0和（2a ﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a=（ ）

A ．1

B ．﹣

C ．1或0

D ．﹣

或

答案及解析：C

7、已知两直线l 1：x+my+4=0，l 2：（m ﹣1）x+3my+2m=0．若l 1∥l 2，则m 的值为（ ）

A ．4

B ．0或4

C ．﹣1或

D ．

答案及解析：.B

8、两平行直线620kx y ++=与4340x y -+=之间的距离为

A ．15

B ．25 C. 1 D. 6

5

答案及解析：.C 二、填空题

1、已知点(,2)A a 到直线:30l x y -+=a =____________.

答案及解析：1或-3

2、已知直线2x+3y+1=0,则它关于点（1，2）成中心对称的直线方程为 。 答案：2x+3y -17=0

3、.已知直线3x+4y-2=0,则它关于X 轴、Y 轴、直线y=x 成轴对称的直线方程分别为： ； ； ； 答案：3x-4y-2=0; 3x-4y+2=0; 3y+4x-2=0

4、直线y=x-2关于直线y=3x+3对称的直线方程为 ； 答案：7x+y+22=0

5、已知点A ，B 分别是x 轴，y 轴上的两个动点，定点M （3,4）则|MA |+|AB |+|BM |的最小值为_________.

答案：10

三、解答题

1、已知平面内两点A （8，－6），B （2,2）. （Ⅰ）求AB 的中垂线方程；

（Ⅱ）求过P （2，－3）点且与直线AB 平行的直线l 的方程；

（Ⅲ）一束光线从B 点射向（Ⅱ）中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在的直线方程.

答案及解析：

（Ⅰ）8252+=，62

2

2-+=-，∴AB 的中点坐标为(5,2)-

624

823AB k --=

=--，∴AB 的中垂线斜率为34 ∴AB 的中垂线方程为34230x y --=

（Ⅱ）由点斜式4

3(2)

3y x +=-- ∴直线l 的方程4310x y ++=

（Ⅲ）设(2,2)B 关于直线l 的对称点(,)B m n '

∴23

24224310

22n m m n -?=??-?

++??+?+=??， 解得14585m n ?=-????=-?

? ∴

148

(,)

55B '--，8

6115142785B A

k '-+

=

=-+

由点斜式可得116(8)27y x +=--，即1127740x y ++= 2、在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=4，点P 是边AB 上异于A,B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图），若光线QR 经过三角形ABC 的重心，求AP 的长度。

得a=

3

4

B 组

1．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

设C （m ，n ），由重心坐标公式得，三角形ABC 的重心为代入欧拉线方程得：整理

得：m-n+4=0 ①

AB 的中点为（1，2）， AB 的中垂线方程为，

即x-2y+3=0．联立

解得

∴△ABC 的外心为（-1，1）．

则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m 2+n 2+2m-2n=8 ② 联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．

当m=0，n=4时B ，C 重合，舍去．∴顶点C 的坐标是（-4，0）．故选A

2．已知点A 在直线210x y +-=上，点B 在直线230x y ++=上，线段AB 的中点为()00,P x y ，且满足002y x >+，则

y x 的取值范围为（ ） A ．11,25??-

- ??? B ．1,5??-∞- ??? C ．11,25??-- ??? D ．1,02??

- ???

【答案】A

【解析】如图所示，∵直线210x y +-= 与直线230x y ++= 平行， 000021

23

5

5

x y x y +-++∴=

，

化简可得00210x y ++=．

()000012122y x x x +∴-

++＞，＞，

解得05

3

x -＜．

设

,y k x = ()0001

111222x k x x -

+∴==--， 053

x -＜． 0135x ∴-＜ ，即

01312105k x -

∴-＜．＜． 又111

225

k k -∴--＞，＜＜ 选A 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:0l x y a ++=与点()02A ，，若直线l 上存在点M 满足

22

10MA MO +=（O 为坐标原点）

，则实数a 的取值范围是（ ） A

．()

1 B

．1????

C

．()

1- D

．1,1??-??

【答案】D

【解析】设(),M x x a -- ，

∵直线:0l x y a ++=与点()02A ，，直线l 上存在点M 满足2

2

10MA MO +=，

∴()()22

22210x x a x x a ++++---=，

整理,得()()2

2242222100x a x a a +++++-= ①， ∵直线l 上存在点M,满足2

210MA MO +=，

∴方程①有解，∴0?≥，解得：

11a -≤≤ ， 4．设

，过定点的动直线

和过定点的动直线

交于点

，

（点与点，

不重合），则的面积最大值是（ ）

A ．

B ．5

C ．

D ．

【答案】C

【解析】由题意可知

，且两直线互相垂直。所以交点P 在以AB 为值的圆上（不含A,B 点），显

然，当等腰直角三角形时,

即高最大时，面积最大。 。选C.

5．已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是________ 【答案】

解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为=1，

由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），

由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，

故﹣≤0，故点M在射线OA上．

设直线y=ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．

①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），

把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b=．

②若点M在点O和点A之间，此时b＞，点N在点B和点C之间，

由题意可得三角形NMB的面积等于，

即=，即=，可得a=＞0，求得b＜，

故有＜b＜．

③若点M在点A的左侧，则b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a．

设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），

此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即?（1﹣b）?|x N﹣x P|=，

即（1﹣b）?|﹣|=，化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．

由于此时b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ．

两边开方可得（1﹣b）=＜1，∴1﹣b＜，化简可得b＞1﹣，

故有1﹣＜b＜．

再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是，

解法二：当a=0时，直线y=ax+b（a＞0）平行于AB边，

由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=，b=1﹣，趋于最小．

由于a＞0，∴b＞1﹣．

当a逐渐变大时，b也逐渐变大，

当b=时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜．综上可得，1﹣＜b＜，

故答案为：．

6．在平面直角坐标系中，动点P 到两条直线30x y -=与30x y +=的距离之和等于2，则点P 到坐标原点的距离的最小值为_________.

【解析】∵3x ﹣y=0与x+3y=0的互相垂直，且交点为原点， ∴设点P 到两条直线的距离分别为a ，b ，则a≥0，b≥0，

则a+b=2，即b=2﹣a≥0， 得0≤a≤2，

由勾股定理可知OP ∵0≤a≤2，

∴当a=1时， OP 的距离OP =

．

7．在平面直角坐标系内，设

、

为不同的两点，直线的方程为

， 设

有下列四个说法：

①存在实数，使点

在直线上；

②若，则过

、

两点的直线与直线平行；

③若，则直线经过线段的中点；

④若

，则点

、

在直线的同侧，且直线与线段

的延长线相交

上述说法中，所有正确说法的序号是 【答案】②③④

试题分析：若点在直线上，则

，所以不存在实数，使得点在直线上，所以不正确；若

，

则

，所以，即过两点的直线与直线平行，所以是正确

的；若，则

，化简可得

，所以直线经

过线段

的中点，所以是正确的；若

，则

或

，即点

在直线的同侧，且直线与线段不平行，所以是真确的，故选

②③④．

8．如图所示，将一块直角三角形木板ABO 置于平面直角坐标系中，已知1,AB OB AB OB ==⊥，点

11,24P ??

???

是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角形木板锯成AMN .设直线MN 的斜率为k

.

（Ⅰ）求点,M N 的坐标及直线MN 的斜率k 的范围； （Ⅱ）令AMN 的面积为S ，试求出S 的取值范围；

（Ⅲ）令（Ⅱ）中S 的取值范围为集合D ，若()2

12S m S >-对S D ∈恒成立，求m 的取值范围.

试题解析：（（Ⅰ）∵,1AB OB AB OB ⊥==， ∴直线OA 方程为： y x = 直线AB 方程为： 1x =，

由11{

42y k x y x

??-

=- ?

??=得()()2121,4141k k M k k ??-- ? ?

--??. ∵

()21041k k -≥-，∴1k >或1

2

k ≤，

又由11{

421

y k x x ?

?-

=- ???=得211,4k N +?? ??

?且

21

04k +≥， 得12k ≥-，∴1122

k -≤≤. （Ⅱ）12AMN

S

AN h =

??= ()12121112441k k k ??--??--????-??????

()11414321k k ??

=-++??-??. 设131,22t k ??=-∈????

， ()1

4f t t t

=+.

∵()f t 在13,22??????

是单调递增.∴当32t =时， ()203f t =，即当312k -=时即1

2k =-时， ()max 1201

43233

S ??=

+=????， ()min 1124t S ==

，∴11,43D ??

=????

. （Ⅲ）已知()2

21S m S >-+对任意S D ∈恒成立.

又∵1121,32S ??

-+∈????，∴22

121111S m S S <=-+??

-- ???

， []111,,3,443S S

??∈∈????.∴2min

118111m S ?? ?

?<= ???-- ? ?????

.

9．已知三条直线1:230l ax y -+=，2:4210l x y --=和3:10l x y +-=. （1）若此三条直线不能构成三角形，求实数a 的取值范围；

（2）已知12//l l ，能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：①P 是第一象限的点；②P 点到1

l

的距离是P 点到2l 的距离的12；③P 点到1l 的距离与P 点到3l

若能，试求P 点坐标；若不能，请说明理由. 【详解】

（1）分以下三种情况讨论：

①若12//l l ，则12k k =，22a ∴=，解得1a =； ②若13//l l ，则13k k =，则21a =-，解得1

2

a =-

； ③若三条直线交于一点，由421010x y x y --=??+-=?，得12

1

2x y ?=????=??

，则2l 与3l 交点坐标为11,22?? ???，代入1l 中得52a =-.

故实数a 的取值范围为151,,22?

?-

-????

； （2）假设存在点()00,P x y 符合题意，则00x >，00y >，由于12//l l ，所以1a =.

由题意得1213125d d d d ?=????=??

，即125==

所以()()

000000008412421231x y x y x y x y ?-+=±--??-+=±+-??，

所以000000042130126110240320x y x y x y x -+=-+=??-+=+=?或或，又00x >，所以0019

3718x y ?

=????=??

，

故存在点P ，其坐标为137,

918??

???

. 10、在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别为x 轴、y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合，如图所示，将矩形折叠，使点落在线段DC 上。

（1）若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在的直线的方程； （2）当032≤≤+

-k 时，求折痕长度的最大值。

空间直线与直线的位置关系(教学案)

青岛市中等职业学校信息化教学设计比赛 教学案 参赛人: 王立广 参赛单位: 青岛幼儿师范学校

课题：10.2空间两条直线的位置关系 学习目标： 1、知识与技能 （1）理解空间两条直线的位置关系。 （2）会用平面衬托来画异面直线。 （3）掌握并会应用平行公理。 （4）会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 2、过程与方法 在直线的位置关系的判断过程中，掌握借助平面判断空间两条直线的位置关系的方法； 3、情感态度与价值观 (1).让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 (2).增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。 (3).通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。 学习重点：异面直线的判断； 学习难点：异面直线所成角的推证与求解。 教具准备：学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体）、手工制作模型 一、课前导学 平面内两条直线的位置关系有：、。其中相交直线有 个公共点；平行直线公共点。 【问题引导】在同一个平面内，两条直线要么平行，要么相交，不平行的两直线一定相交，在空间内任意两条直线这个结论是否还成立？ 【实例观察】观察下列两个图形，螺母与十字路口----立交桥，AB, CD所在直线平行吗？相交吗？） 二、新课导学A B D

1.异面直线的定义: 我们把 叫做异面直线。 【问题引导】你认为异面直线的定义中，关键字有哪些？为什么？ 2.空间两直线的位置关系 按平面基本性质分?? ???? ?????? 不同在任何平面内 在同一平面内 按公共点个数分?? ? ? ?? ??????没有公共点有一个公共点 【合作探究】 1.在正方体ABCD －EFGH 中，和AE 相交、平行、异面的直线分别有哪些？ （学生快速对照模型寻找答案，然后收起模型，看图回答。） 2.如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对? （学生以小组为单位，对照课前准备好的正方体模型，进行合 作讨论，找出异面直线。教师通过几何画板展示此图还原的过程，与学生一起订正他们的答案） 【问题引导】你是怎么判断直线的位置关系的？怎么判断两直线是否是异面直线的？ 3．异面直线的判断 经过 一点和 一点的直线，和 的直线是异面直线。 【问题引导】异面直线的判断需要平面的辅助，怎么寻找辅助的平面呢？ 4.异面直线的画法 说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托。下列三 A D C B E G H C

空间中直线与直线之间的位置关系(附答案)

空间中直线与直线之间的位置关系 [学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题. 知识点一空间中两条直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行. ②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然 有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O， 所以a与b不是异面直线. (2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线. (3)判断方法 方法内容 定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内 定理法过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用) 反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不

是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线 2.空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类 ?? ? 共面直线??? ?? 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)按两条直线是否有公共点分类 ??? 有且仅有一个公共点——相交直线 无公共点? ?? ?? 平行直线异面直线 思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？ 答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二 公理4(平行公理) 文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性 符号语言 ? ??? ?a ∥c b ∥c ?a ∥b 图形语言 知识点三 空间等角定理 1.定理

两条直线的位置关系教案

课题：7.3两条直线的位置关系（二）垂直 教学目的： 1．熟练掌握两条直线垂直的条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 2．通过研究两直线垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力． 3．通过对两直线垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣． 教学重点：两条直线垂直的条件王新敞 教学难点：两直线的垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题王新敞 教学过程： 一、复习引入： 1、在平面几何中，两条直线垂直垂直的判定定理与性质定理是怎么描述的？ 2、问题：在直角坐标系中，怎样根据直线方程的特征判断两条直线垂直？ 二、讲解新课： 问题：如果两条直线的斜率分别是 1 k和 2 k，则这两条直线垂直时斜率之间有怎样的关系？ 用倾斜角的关系推导：如果 2 1 l l⊥，这时 2 1 α α≠，否则两直线平行王新敞设2 1 α α>，甲图的特征是 1 l与 2 l的交点在x轴上方；乙图的特征是 1 l与 2 l的交 点在x轴下方；丙图的特征是 1 l与 2 l的交点在x轴上，无论哪种情况下都有2 1 90α α+ =．因为 1 l和 2 l的斜率为 1 k和 2 k，即0 1 90 ≠ α，所以0 2 ≠ α王新敞 2 2 1tan 1 ) 90 tan( tan α α α- = + =，即 2 1 1 k k- =或1 2 1 - = k k王新敞

反过来，如果2 11 k k - =或121-=k k ?20190αα+=?21l l ⊥． 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即 21l l ⊥?2 11 k k - =?121-=k k 王新敞 一般性结论：21l l ⊥?121-=k k 王新敞 或一条直线斜率不存在，另一条直线 斜率为0 特殊情况下的两直线垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞 一般性结论：21l l ⊥?121-=k k 王新敞 或一条直线斜率不存在，另一条直线 斜率为0 三、例题讲解： 例1 判断下列两直线是否垂直，并说明理由： （1）121 :42,:5;4 l y x l y x =+=- + （2）1:536,:355;l x y l x y +=-= （3）12:5,:8.l y l x == 例2 求过点A （3，2）且垂直于直线4580x y +-=的直线方程 例3 已知直线03)1()2(=--++y a x a 与02)32()1(=+++-y a x a 互相垂直，求a 的值． 解 ： ∵21+=a A ，12-=a A ，a B -=11，322+=a B 且两直线互相垂直 ∴0)32)(1()1)(2(=+-+-+a a a a ，解之得1±=a 王新敞

两条直线的位置关系说课稿

《两条直线的位置关系》说课稿 一、关于教材分析 1、教材的地位和作用 直线是最常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有广泛的应用.初中几何对直线的基本性质作了比较系统的研究.初中代数研究了一次函数的图象和性质，高一数学研究了平面向量、三角函数.直线的方程是以上述知识为基础的，同时是平面解析几何学的基础知识，是进一步学习圆锥曲线以及其它曲线方程的基础，也是学习导数、微分、积分等的基础王新敞 “两条直线的位置关系”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线垂直在生活中应用事例非常多，在诸多求解角度、面积、长度等方面都要用到两直线的垂直关系，因此，找到两条直线垂直的充要条件，尤其是两直线垂直与方程中系数的关系成为急需解决的问题。另外，学生已经具备直线的有关知识（如垂直定义、向量垂直、方向向量、法向量、直线方程等），这样探索两直线垂直的充要条件成为可能，通过探索两直线垂直的充要条件，可以培养学生分析问题、解决问题的能力。 2、教学目标分析 我确定教学目标的依据有以下三条： （1）教学大纲、考试大纲的要求 （2）新教材的特点

（3）所教学生的实际情况 教学目标包括：知识、能力、情感等方面的内容． “两条直线的位置关系”是平面解析几何重要的基础知识，也是教学大纲和考试大纲要求掌握的一个知识点．按照大纲“在传授知识的同时，渗透数学思想方法，培养学生数学能力”的教学要求，结合新教材向量的引入，又根据所带班级学生的情况，我把本节课的教学目标确定为： 1．熟练掌握两条直线垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．能够根据两条直线的位置关系求直线的方程 2．通过研究两直线垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力． 3．通过对两直线垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣． 教学重点：两条直线垂直的充要条件 教学难点：两直线垂直问题的转化与两直线的系数关系 二、关于教学方法和教学用具的说明 1、教学方法的选择 （1）指导思想：在“以生为本”理念的指导下，充分体现“教师为主导，学生为主体”． （2）教学方法：观察---探索——归纳---应用 本节课的任务主要是两条直线垂直的充要条件及应用．我选

两条直线的位置关系

2.1两条直线的位置关系（第2课时） 一、教学目标： 1.知识与技能： (1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 (2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 (3)初步尝试进行简单的推理。 2. 过程与方法：经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等活动，进一步发展学生 的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识。 3．情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理，在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性。 二、教学过程 1、创设情境引入新课 观察生活中的图片，你能找出其中相交的直线吗？他们有什么特殊的位置关系？ 设计意图：数学来源于生活，从生活中的图形中抽象出几何图形。在比较中发现新知，加深了学生对垂直和平行的感性认识，感受垂直“无处不在”；使学生充分体验到现实世界的美来源于数学的美，在美的享受中进入新知识的殿堂.激发学生的学习兴趣。 2、总结归纳讲授新知 定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直（perpendicular），其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。 说明：两条线段垂直是指它们所在的直线垂直。 表示：通常用“⊥”表示两直线垂直。直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD； 直线l 与直线m垂直，记作l⊥m．其中，点O是垂足． 设计意图：强调知识内容的准确性，加深对概念的理解。 3、动手实践探究新知 动手画一画1：你能画出两条互相垂直的直线吗？你有哪些方法？小组交流，相互点评。 1．你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？

两条直线的位置关系及其判定

两条直线的位置关系及其判定教学目标 (1)熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. (2)理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角. (3)能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标. (4)掌握点到直线距离公式的推导和应用. (5)进一步掌握求直线方程的方法. (6)进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法. (7)通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法. 教学建议 一、教材分析 1.知识结构 2.重点、难点分析重点是两条直线的平行与垂直的判断;两条直线的夹角;点到直线的距离. 难点是两条直线垂直条件的推导;一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导. 页 1 第 本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂

直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的 应用，因此非常重要. (1)平行与垂直 ①平行 在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件(即判定定理和性质定理)转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况. ②垂直 教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件.结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：或一个为0，另一个不存在. (2)夹角①应正确区分直线到的角、直线到的角、直线和 的夹角这三个概念. 到的角是带方向的角，它是指按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，它与到的角是不同的，如果设前者是，后者是，则+ = . 与所夹的不大于的角成为和的夹角，夹角不带方向. 页 2 第

空间两条直线的位置关系

空间两条直线的位置关系 知识点一空间两条直线的位置关系 1．异面直线 ⑴定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线。 ⑵特点：既不相交，也不平行。 ⑶理解：①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此， 异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性。 ②“不同在任……”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”。 ③不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．也就是说，在两 个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线． 2．空间两条直线的位置关系 ⑴相交——在同一平面内，有且只有一个公共点； ⑵平行——在同一平面内，没有公共点； ⑶异面——不同在任何个平面内，没有公共点． 例1、正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线． 其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上) 答案：③④ 例2、异面直线是指____． ①空间中两条不相交的直线；②分别位于两个不同平面内的两条直线； ③平面内的一条直线与平面外的一条直线；④不同在任何一个平面内的两条直线． 变式1、一个正方体中共有对异面直线．

变式1、如图E 、F 、G 、H 是平面四边形ABCD 四边中点，四边形EFGH 的形状是平行四 边形吗？为什么？如果将ABCD 沿着对角线BD 折起就形成空间四边形ABCD ，那么四边形 EFGH 的形状还是平行四边形吗？ 知识点三 异面直线 1、 异面直线的画法：为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，常常需要以辅助平面 作为衬托，以加强直观性，如下图(l)，若画成如下图(2)的情形，就分不开了，千万不能 画成(2)的图形。 画平面衬托时，通常画成下图中的情形。 2、异面直线的判定 ⑴异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直 线是异面直线． ⑵判定两条直线为异面直线的常用方法有： ①定义法：不同在任一平面内的两条直线． ②定理法：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线为异面 直线． ③推论法：一条异面直线上两点与另一条异面直线上两点所连成的两条直线为异面直线． ④反证法：反证法是证明立体几何问题的一种重要方法，证明步骤有三步：一是提出与 结论相反的假设；二是由此假设推出与题目条件或某一公理、定理或某一已 被证明是正确的命题相矛盾结果；三是推翻假设，从而肯定与假设相反的结 论，即命题的结论成立， 3、异面直线所成的角 a 与 b 是异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a′∥a ，b ′//b ，直线a′和b ′所成的锐角 （或直角）叫做异面直线a ，b 所成的角．如下图所示． A B D E F G H A B C D E F G H 折

(教案1)2.1两条直线的位置关系

2.1两条直线的位置关系 主备人：祁梅华 教学目标 (一)教学知识点 1.余角、补角及对顶角的定义. 2.余角、补角及对顶角的性质. (二)能力训练要求 1.经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力. 2.在具体情境中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题. (三)情感与价值观要求 通过在具体情境下的讨论，让学生理解基础知识的同时，提高他们理论联系实际的观念. 教学重点、难点 1.互为余角、互为补角的定义及其性质. 2.对顶角的定义及性质. 3、互为余角、互为补角、对顶角的定义的理解. 教学过程 一、学 1、创设现实情景，引入新课 ［师］在上册第四章“平面图形及其位置关系”中，我们学习了“平行”与“垂直”，大家想一想：什么是平行线？ ［生］在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. ［师］很好，在日常生活中，我们随处可见道路、房屋、山川、桥梁……等这些大自然的杰作和人类的创造物.这其中蕴涵着大量的平行线和相交线. 下面大家来看几幅图片：(出示投影片：桥的图片，宫殿、建筑物、门等的图片) 你能从这些图案中找出平行线和相交线吗？ (同学们踊跃发言，都能准确地找出其中的平行线和相交线) ［师］同学们找得都对，说明大家掌握了所学内容.从今天开始，我们将深入学习这方面的内容：第二章平行线与相交线. 在这一章里，我们将发现平行线和相交线的一些特征，并探索两条直线平行的条件，我们还将利用圆规和没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的图案. 相信大家，一定会学得很好. 2、自主探究。 我们知道，在打台球时，只有通过选择适当的方向用白球撞击所打的球后，反弹的球才会入袋.如图所示(电脑显示上图).此时：∠1=∠2. 让我们来看看模拟实例(电脑演示：用白球撞击红球，红球反弹后入袋) 下面我们来看红球滑过的痕迹(电脑演示；让学生了解：数学源于实际). 我们不难看出：台球运动的路线和球桌的边框可以构成下图： 图2－1 其中：CD与EF垂直，各个角与∠1有什么关系？ 大家来分组讨论一下.

两条直线位置关系判断方法

两条直线的位置关系判断方法 设平面上两条直线的方程分别为11112222:0,:0 l a x b y c l a x b y c ++=++= 一．行列式法 记系数行列式为1 122,a b D a b = 和相交?0D ≠1221b a b a ≠? 1l 和2l 平行?0,0x D D =≠或0,0y D D =≠ 和重合?0 ===x y D D D 二．比值法 和相交()0b ,a 22≠； 和垂直?0b a b a 2211=+； 和平行()0c ,b ,a 222≠； 和重合()0c ,b ,a 222≠ 三．斜率法 111222:y 0.:y 0l k x b l k x b =+==+=（条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式） 12l l ?与相交21k k ≠； 2121b b k k ≠=， 2121b b k k ==，； -1.=21k k ; 特别提醒：在具体判断两条直线的位置关系时，先考虑比值法，但要注意前提条件(分母不 为零)；再考虑斜率法，但也有条件(两条直线的斜率都存在)，最后选择行列式(无条件)； 注：（1）两直线平行是它们的法向量（方向向量）平行的充分非必要条件； （2）两直线垂直是它们的法向量（方向向量）垂直的充要条件； （3）两条直线平行?它们的斜率均存在且相等或者均不存在； （4）两条直线垂直?他们的斜率均存在且乘积为-1，或者一个存在另一个不存在； 1122,x c b D c b -=-1122y a c D a c -=-1l 2l 1l 2l 1l 2l ?2 121b b a a ≠1l 2l 1l 2l ?21212 1c c b b a a ≠=1l 2l ?2 12121c c b b a a ==12l l ?与平行12l l ?与重合12l l ?与垂直

1_两条直线的位置关系_课时2_教案

第二章相交线与平行线 1两条直线的位置关系（第2课时） 课时安排说明: 《两条直线的位置关系》共分两课时，我们在第一课时已经学习了在同一平面内两条直线的位置关系、对顶角、余角、补角的定义及其性质；今天我们将要学习第二课时，主要内容是掌握垂直的定义及其表示方法，会借助有关工具画垂线，掌握垂线的有关性质并会简单应用。 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生的知识技能基础：学生在小学已经认识了平行线、相交线、角；在七年级上册中，已经对角及其分类有了一定的认识；上一节课又进一步学习了两直线的位置关系、两角互补、互余等概念，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能。 学生活动经验基础：在上一节课，通过引导学生走进生活，从身边熟悉的情境出发，使学生经历了从现实生活中抽象出数学模型的过程；让学生通过直观和大量的操作活动，引导学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；鉴于学生已有充分的知识储备，本课时将继续延续还课堂于学生，在开放的前提下，让学生经历动手画图（或者操作）、合作交流的过程，给学生一个充分发表见解的舞台，激发学生的创新精神，提高学生的自信力，打造高效课堂！ 二、教学任务分析 根据七年学生好奇的心理，首先应引导学生走进现实世界，用一双慧眼去发现有关垂直的情境，借助视觉思维的直观性，复习旧知识，提炼新知识，让学生在主动“探索发现”的过程中增进对数学知识的理解，激发他们的创造力，在无形中培养学生的推理能力！根据学生已经具备的知识储备和能力，特制定目标如下： 1.知识与技能： (1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 (2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 (3)初步尝试进行简单的推理。

2.1两条直线的位置关系(二)教学设计

第二章相交线与平行线 《两条直线的位置关系》共分两课时，我们在第一课时已经学习了在同一平面内两条直线的位置关系、对顶角、余角、补角的定义及其性质；今天我们将要学习第二课时，主要内容是掌握垂直的定义及其表示方法，会借助有关工具画垂线，掌握垂线的有关性质并会简单应用。 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生的知识技能基础：学生在小学已经认识了平行线、相交线、角；在七年级上册中，已经对角及其分类有了一定的认识；上一节课又进一步学习了两直线的位置关系、两角互补、互余等概念，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能。 学生活动经验基础：在上一节课，通过引导学生走进生活，从身边熟悉的情境出发，使学生经历了从现实生活中抽象出数学模型的过程；让学生通过直观和大量的操作活动，引导学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；鉴于学生已有充分的知识储备，本课时将继续延续还课堂于学生，在开放的前提下，让学生经历动手画图（或者操作）、合作交流的过程，给学生一个充分发表见解的舞台，激发学生的创新精神，提高学生的自信力，打造高效课堂！ 二、教学任务分析 根据七年学生好奇的心理，首先应引导学生走进现实世界，用一双慧眼去发现有关垂直的情境，借助视觉思维的直观性，复习旧知识，提炼新知识，让学生在主动“探索发现”的过程中增进对数学知识的理解，激发他们的创造力，在无形中培养学生的推理能力！根据学生已经具备的知识储备和能力，特制定目标如下： 1.知识与技能： (1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 (2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 (3)初步尝试进行简单的推理。 2. 过程与方法：经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等 活动，进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。善于举一反三， 学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识。 3．情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”

2.1两条直线的位置关系(二)导学案

第二章 相交线与平行线 1两条直线的位置关系（第2课时） 导预习 1. 垂直 2. 点与直线的位置关系 导课堂 第一步：情境创设 问题：1.观察下面三个图形，你能找出其中相交的直线吗？他们有什么特殊的位置关系？ 2．你还能提出哪些问题？. 第二步：目标展示 知识与技能： (1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 (2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 (3)初步尝试进行简单的推理。 过程与方法：经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等活动，进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识。 情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理，在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性。 第三步：合作探究 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直（perpendicular ），其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。通 b c a

常用“⊥”表示两直线垂直。 动手画一画1： 工具1：你能借助三角尺或者量角器，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？工具2：如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 说出你的画法和理由. 工具3：你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗，试试看吧！请说明理由。 归纳结论： 1. 点A和直线m的位置关系有 两种：点A可能在直线m上， 也可能在直线m外。 2.平面内，过一点有且只有 ．．．．一 条直线与已知直线垂直。 2.1—1 2.1—2 你能画出两条互相垂直的直线吗？ 你有哪些方法？小组交流，相互点评 用自己的语言描述你的画法。 图2.1-3 A A m

两条直线的位置关系习题

两条直线的位置关系（1）习题 一、选择题 1、下列说法中，正确的个数是（ ） ①在同一个平面内不相交的两条线段必平行 ②在同一个平面内不相交的两条直线必平行 ③在同一个平面内不平行的两条线段必相交 ④在同一个平面内不平行的两条直线必相交 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） 3下列说法正确的是（ ） A 、一个角的补角一定比这个角大 B 、锐角大于它的余角 C 、两个角都与一个角互余，则这两个角一定相等 D 、互为余角、互为补角的关系必须在同一个图形中 4、已知∠A = 40°，则∠A 的余角的补角是（ ） A 、50° B 、150° C 、40° D 、130° 5、如果∠1 + ∠2 = 90°，∠2+ ∠3= 90°，则 （ ） A 、 ∠1 =∠2 B 、 ∠1 = ∠3 C 、 ∠2 =∠3 D 、 ∠1 = ∠2 = ∠3 6、∠1与∠2互补且相等， ∠3与∠2是对顶角，则∠3的一半是（ ） A 、45° B 、80° C 、75° D 、30° 7、若互为余角的两个角之差为40°，则较大的角为（ ） A 、40° B 、50° C 、65° D 、75° 8、若∠α+ ∠β = 90°，∠β与∠γ互为余角，则∠α与∠γ的关系是（ ） A 、互余 B 、互补 C 、相等 D 、不确定 9、三条线相交于一点，所成的小于平角的对顶角有（ ） A 、3对 B 、4对 C 、5对 D 、6对 2 A 2 B 2 D 2 C

10、∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，若∠3=75°，则∠1的度数是（） A、75° B、105° C、90° D、75°或105° 二、填空题 11、∠1与∠2是对顶角，∠1=38°，则∠1= ； 12、右图所示，一个破损的扇形零件，利用图中的量 角器可以量出这个扇形零件的圆心角是度，你的 根据是； 13、如图1，是由两个相同的直角三角形ABC和FDE 拼成的，则图中与∠A相等的角有个，分别是； ∠1与∠A关系是；∠2与∠1的关系是； 14、∠α=25°，则∠α的余角= ；∠α的补角= ； 15、已知：∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3互补，则∠2+∠3= ； 16、互为补角的两个角的度数之比为2:7，则这两个角分别是= ； 17、已知∠α的补角是∠α的4倍，则∠α=； 三、解答题： 16、如图，已知：直线AB与CD相交于点O，∠1=50度．求：∠2和∠3的度数． 17、直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD=100°，∠1=30°，求∠2的度数．

最新2.1两条直线的位置关系说课稿

2.1两条直线的位置关系说课稿 今天我说课的内容是北师版新教材七年级下册第二章第一节《两条直线的位置关系》。下面，我将重点从课标，教材分析，教学建议这三个方面对本节课加以说明。 一、说课标 数学课程目标分为知识与技能、解决问题、数学思考、情感与态度四个维度，新课标指出，有效的数学学习不能单纯的依赖模仿与记忆，动手操作、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。这节课我们的学习目标如下： 1、结合具体情景了解同一平面内两条直线的两种位置关系，能正确判断相交和平行，知道对顶角，余角和补交的概念和运用。 2、结合具体情景体会数学与日常生活的联系。 3、在探索活动中，培养学生的观察、操作、想象等能力，发展初步的空间观念。 教学的重点是让学生理解掌握对顶角、余角、补交的运用。 二、说教材 新数学课程标准将“空间与图形”安排为一个重要的学习领域，强调发展学生的空间观念和空间想象能力。“两条直线的位置关系”就属于“空间与图形”这一领域的内容，它是学生在认识了直线和角等概念的基础上进行教学的，教材通过具体的生活情境，让学生充分感知同一平面内两条直线的两种位置关系。正确认识相交、平行、对顶角、余角、补交等概念是学生今后学习三角形、平行四边形等几何知识的基础。同时，它也为培养学生的空间观念提供了一个很好的载体。 1、引导学生通过观察、讨论、感知生活中的相交与平行的现象。 2、帮助学生初步理解相交与平行、对顶角、余角、补交知识。 3、培养学生的空间观念及空间想象能力，引导学生具有合作探究的学习意识。 三、说教法和学法的建议 课堂教学首先是情感成长的过程，然后才是知识成长的过程，学生的学习过程是一

两条直线的位置关系及其判定

教学目标 (1)熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. (2)理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角. (3)能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标. (4)掌握点到直线距离公式的推导和应用. (5)进一步掌握求直线方程的方法. (6)进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法. (7)通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法. 教学建议 一、教材分析 1.知识结构 2.重点、难点分析 重点是两条直线的平行与垂直的判断;两条直线的夹角;点到直线的距离. 难点是两条直线垂直条件的推导;一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导.

本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的应用，因此非常重要. (1)平行与垂直 ①平行 在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件(即判定定理和性质定理)转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况. ②垂直 教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件.结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：或一个为0，另一个不存在. (2)夹角 ①应正确区分直线到的角、直线到的角、直线和的夹角这三个概念. 到的角是带方向的角，它是指按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，它与到的角是不同的，如果设前者是，后者是，则 + = . 与所夹的不大于的角成为和的夹角，夹角不带方向. 当到的角为锐角时，则和的夹角也是 ;当到的角为钝角时，则和的夹角也是 . ②在求直线到的角时，应注意分析图形的几何性质，找出与，的倾斜角，关系，得出或，然后由，联想差角的正切公式，便可把图形的几何性质转化为坐标语言来表示，推导出. 再由与的夹角与到的角之间的关系，而得出夹角计算公式

《两条直线的位置关系》教学设计

两条直线的位置关系 一、学情分析 学生的知识技能基础：学生在小学已经接触认识过平行线、相交线，已经直观认识了角、平行与垂直。这些知识储备为学生本节课的学习奠定了良好的知识技能基础。 学生活动经验基础：在前面知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索、发现的数学活动，积累了初步的数学活动经验。具备了一定的图形认识能力和借助图形分析和解决问题的能力；并初步学习了在直观认识的基础上进行合情说理，将直观与简单说理相结合的方法；初步感受到推理说明的必要性和作用；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 教科书提出本课的具体学习任务：了解补角、余角、对顶角的概念及其性质并能够进行简单的应用。但这仅仅是这堂课外显的具体教学目标，或者说是一个近期目标。数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课内容从属于“空间与图形”这一数学学习领域，因而必须服务于几何知识教学的远期目标：“让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程，发展学生的空间观念及推理能力”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的教学目标是： [知识与技能] 在具体情境中了解余角与补角，知道余角和补角的性质，通过练习掌握余角和补角的概念及性质，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 [过程与方法] 经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理地表达的能力；经历探索余角、补角、对顶角的性质的过程。 [情感与价值观] 通过学生动手操作、观察、合作、交流，进一步感受学习数学的意义，培养其主动探索、合作以及解决问题的能力。

两条直线的位置关系教案(七年级下册)

2.1 两条直线的位置关系 教学分析 教学目标： 1、在具体的现实情境中，了解同一平面内两条直线的位置关系是平行和相交，理解对顶角、余角、补角等概念。 2、探索并掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质。 3、进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。 4、体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。 教学重难点 重点：余角、补角、对顶角的性质及其应用。 难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质。 教学准备实物图片、ppt课件。 我的思考 本节内容首先介绍平行线、相交线，在初中数学中起到承上启下的作用。在小学，学生已对平行、相交有了初步的了解，已经在形象上知晓了，本节内容在学生已有的基础上让学生自行探索平行、相交的概念，为即将要学习的“探索直线平行的条件”、“探索平行线的性质”等打基础。 本课又是继“角”及“角的大小比较”之后的内容，是进一步认识角，并认识两角之间的关系，并为寻找角之间的数量关系打下基础.同时也为以后的学习做好铺垫. 从知识的准备上，学生已认识了角，有了这个基础，对于本课认识做好了铺垫；从难度上，难度不大，学生也能学会；从知识呈现体系，也是很恰当地；从应用上，学生经常找角的数量关系，应用价值很大. 教学设计 教学过程 一、创设情境，引入新课 教师活动： 向同学们展示一些生活中的图片：双杠、铁轨、比萨斜塔等，让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系。 【设计意图：让学生观察图片，不但可以体会到几何来源于生活，激发学生学习的兴趣，还可以为下面的分类提供依据，为了解平行线、相交线的概念打下基础。】 二、建立模型，探索新知 互动探究一、平行线、相交线的概念： 师生活动： 1、请各组同学每人拿出两支笔，用它们代表两条直线，随意移动笔，观察笔与笔有几种位置关系？各种位置关系，分别叫做什么？（选取一个小组的代表上黑板上演示给大家看）(板书：①平行、②相交、③重合，并给出相交线的定义) 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。 2、凡未作特别说明，我们只研究不重合的情形，则去掉重合这种情况，在同一平面上两条直线有几种位置关系？（板书：去掉③重合，并总结出同一平面内的两条直线的位置关系）

空间直线与直线的位置关系(教案).

课题： 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 桓台一中数学组尹朔 教材版本：新课标：人教版A版《数学必修2》 设计思想： 空间中直线与直线的位置关系是学生在已经学习了平面的基本概念的基础上进行学习的。在立体几何初步的内容中，位置关系主要包括直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系。而空间中直线与直线的位置关系是以上各种位置关系中最重要、最基本的一种，是我们研究的重点。其中，等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下角的大小不变，它是两条异面直线所成角的依据，也是以后学习研究二面角几角有关内容的理论依据，它提供了一个研究角之间关系的重要方法。 教材在编写时注意从平面到空间的变化，通过观察实物，直观感知，抽象概括出定义及定理培养学生的观察能力和分析问题的能力，通过联系和比较，理解定义、定理，以利于正确的进行运用。 教材分析： 直线与直线问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。 教学目标： 1、知识与技能 （1）.掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。 （2）.会用平面衬托来画异面直线。 （3）.掌握并会应用平行公理和等角定理。 （4）.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 2、过程与方法 （1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合； （2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。 3、情感态度与价值观 (1).让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 (2).增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。 (3).通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。 教学重点：异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。 教学难点：异面直线所成角的推证与求解。 教具准备:学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体） 教学模式 问题——自主、合作——探究

北师大版初一数学下册2.1两条直线的位置关系

《两条直线的位置关系》教学设计 教学目标 一、知识与技能 1在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义； 2.会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线； 二、过程与方法 1. 经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观念、推理能力和 有条理表达的能力； 2. 善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识； 三、情感态度和价值观 1. 激发学生学习数学的兴趣，认识到现实生活中蕴含着大量的数量和图形的有关问题； 2. 在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性；教学重点 对顶角、余角、补角、垂直的定义及其性质； 教学难点 性质的应用； 教学方法 引导发现法、启发猜想、讲练结合法 课前准备 教师准备 课件、多媒体； 学生准备 练习本； 课时安排 1课时 教学过程 一、导入

观察下面几幅生活中的图片

问题 2:针对这三幅图，你还能提出哪些问题？ 数学来源于生活，通过引导学生从身边熟悉的图形出发，体会数学与生活的联系，总结出同一平 面内两条直线的基本位置关系，体会本章内容的重要性和在生活中的广泛应用，为引入新课做好准备 二、新课 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 如图2-1，直线AB与CD相交于点0,那么/ 1与/ 2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？为什么？与同伴交流? 直线AB与CD相交于点0,/ 1与/ 2有公共顶点0,它们的两边互为反向延长线，这样的两个 角叫做对顶角? 对顶角有如下性质：对顶角相等? 设置问题的目的是通过创设生动有趣的活动情景，为学生提供了观察、操作、推理、交流等丰富 的活动素材，使学生在自主学习的过程中，学会对顶角的概念及其性质?同时进一步培养学生抽象几 何图形进行建模的能力? 在图2-1中，/ 1与/ 3有什么数量关系？ 如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角? 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角? 注意：互余与互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。 如图2-2，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时 a和b的关系是

两条直线的位置关系优秀教案

两条直线的位置关系 【课时安排】 2课时 【第一课时】 【教学目标】 1．知识与技能：在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义，知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题。 2．过程与方法：经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。 3．情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，认识到现实生活中蕴含着大量的数量和图形的有关问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学方法予以解决。 【教学重难点】 1．对顶角、补角和余角的概念与性质。 2．推理能力及有条理表达的能力的发展。 【教学准备】 实物图片、幻灯片。 【教学过程】 （一）走进生活，引入课题： 活动内容一：两条直线的位置关系 1．请同学们自学第一节，提前两天搜集有关“两条直线的位置关系”的图片，提炼出数学图形，进行归类，然后小组合作交流。 2．教师提前一天进行筛选，捕捉出有代表性的答案，课堂上由学生本人主讲，最后概括出有关结论。 3．巩固练习：教师展示下列图片，学生快速回答：

7.1-1 7.1-2 7.1-3 结论：（1）一般地，在同一平面内，两条直线的位置关系有两种 和 。 （2）定义分别为： 。 问题1：在7.1-1中，直线m 和n 的关系是 ；a 和b 是 ；a 和n 是 。 问题2：在7.1-2和7.1-3中你能提出哪些问题？ 4．活动目的：独立思考、学会思考是创新的核心。数学来源于生活，通过课前开放，引导学生从身边熟悉的图形出发，体会数学与生活的联系，总结出同一平面内两条直线的基本位置关系，体会本章内容的重要性和在生活中的广泛应用，为引入新课做好准备。通过亲身经历提炼有关数学信息的过程，可以让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学。充分利用现代化教学手段加强直观教学，引起学生学习的兴趣：通过师生互动，生生互动，增加学生之间的凝聚力，在相互探讨中激发学生学习积极性，提高学课堂效率。 （二）动手实践，探究新知： 1．动手实践一： （1）观察7.1-4：∠1和∠2的位置有什么关系？大小有何关系？为什么？小组合作交流，尝试用自己的语言描述对顶角的定义。 （2）剪子可以看成图7.1-4，那么剪子在剪东西的过程中，∠1和∠2还保持相等吗？∠3和∠4呢？你有何结论？ m n a b 7.1-5 1 2 3 4 7.1-4 7.1-6