蒲丰投针问题 概率论论文

Buffon投针问题

摘要

本文讨论了Buffon投针问题的解法及其不同解法之间的内在联系，同时从投针到投平面图形对Buffon投针问题给出了一些推广，并得到一般的结论，指出了其概率在探矿、近似计算中的应用。

关键词

蒲丰投针概率随机试验近似计算

一、引言

蒲丰投针问题是由法国科学家蒲丰（Buffon）在1777年提出的，它是概率中非常有代表性的问题，它是第一个用几何形式表达概率问题的例子，其结论具有很强的理论与实际意义。蒲丰针问题的解决不仅较典型的反应了集合概率的特征及处理方法，而且还可以由此领略到从“概率土壤”上开出的一朵瑰丽的鲜花——蒙特卡洛（Monte-Carlo）方法。

二、Buffon投针问题及其解法

Buffon投针问题：平面上画有等距离的平行线，每两条平行线之间的距离为2a，向平面任意投掷一枚长为2l(l

解：以x表示针的中点M到最近一条平行线的距离，以φ表示该针与平行线的夹角。针与平行线的关系见图1.则有：0≤x≤a，0≤φ≤π，由它们所围成的矩形区域记为G1。针与平行线相交的充要条件是：0≤x≤lsinφ，记满足这个关系的区域为g1(图2中的阴影部分)。则所求概率为

P1=g1的面积

G1的面积

=

lsinφdφ

π

aπ

=

2l

aπ

三、Buffon投针问题不同解法及其内在联系

上述解法是常见解法之一(记为解法一)，这里讨论一下蒲丰针问题的其他解法及其之间的联系。

1.其他解法

解法二：以x表示针的重点M到最近一条平行线的距离，y表示该针在此平行线上投影和长度，如图3所示。易知x和y的取值范围是0≤x≤a，0≤y≤2l，这两个不等式确定了xOy平面上的矩形区域G2，针与平行线相交的充要条件是(y

2

)2+x2≤l2，该不等式确定了矩形区域G2(如图4所示)中的区域g2，从而所求概率为

P2=g2的面积

G2的面积

=

1

4

·l·2l·π

2l·a

=

lπ

4a

解法三：作垂直于平行线的直线，在该直线上选定一方向为正向，用z1，z2分别表示针头与针尾关于某平行线的纵坐标(如图5所示)，该平行线的选取应使|z1+z2|≤2a。注意到z1，z2满足|z1?z2|≤2l，则在平面z1Oz2上确定了矩形区域G3中的子集g3(如图6所示)，因此，所求概率为

P3=g3的面积

G3的面积

=

2

22a·22l

=

l

2.矛盾产生的原因

三种解法得出三种完全不同的结果，直观上看，是由于它们所用的随机变量不同，但本质上，则是由于它们选择的假设条件不同。

解法一依据的假设：

假设1针的中点到平行线的距离X和针与平行线的夹角?所构成的二维随机向量(X,?)服从G1上的均匀分布；

解法二依据的假设：

假设2 针的中点到平行线的距离X和针与平行线上的投影长度Y构成的二维随机向量(X,Y)服从G2上的均匀分布；

解法三依据的假设：

假设3针的两个端点到平行线的距离Z1，Z2构成的二维随机向量(Z1,Z2)服从G3上的均匀分布。

上述三种假设是不能同时成立的。这可由以下几个命题看出：

命题1若随机向量(X,?)服从[0,a]×[0,π]上的均匀分布，则

(1)随机向量(X,Y)=(X,2lcos?)的分布密度函数为：

P1x,y=

1

aπ

·

22

∈0,a,y∈[?2l,2l]

0 其它

(1)

(2)随机向量(Z1,Z2)=(X+lsin?,X-lsin?)的分布函数为：

P2z1,z2=

1

aπ

·

4l2?(z1?z2)2

z1?z2|≤2l,|z1+z2|<2a

0 其它

(2)

命题2若随机向量(X,Y)服从[0,a]×[-2l,2l]上的均匀分布，则(1)随机向量(X,?)=(X,arccos Y

2l

)的分布密度函数为：

P3x,φ=

sinφ

2a

x∈0,a,y∈[0,φ]

0 其它

(3)

(2)随机向量(Z1,Z2)=(X+l1?Y

2l 2

,X?l1?Y

2l

2

)的分布密度为：

P4z1,z2=

1

4l a

·12

2

12

2

z1?z2|≤2l,|z1+z2|<2a

0 其它

(4)

命题3若随机向量(Z1,Z2)服从区域G3:|z1?z2|≤2l,|z1+z2|<2a上的均匀分布，则

(1)随机向量(X,?)=(Z1+Z2

2,arcsin Z1?Z2

2l

)的分布密度为：

P5x,φ=

cosφ

4a

x∈?a,a,φ∈[?π

2

,π

2

]

0 其它

(5)

(2)随机向量(X,Y)=(Z1+Z2

2

,4l2?(Z1?Z2)2)的分布密度为：

P6x,y=

1

8la

·

22

∈?a,a,y∈[?2l,2l]

0 其它

(6)

也就是说，在假设1成立时，随机向量(X,Y)和(Z1,Z2)已不再服从均匀分布，而是分别服从密度函数为(1)和(2)的分布；在假设2成立时，随机向量(X,?)和(Z1,Z2)分别服从密度为(3)和(4)的分布；在假设3成立时，随机向量(X,?)和(X,Y)分别服从密度为(5)和(6)的分布。

3.各种解法的联系

对同一问题，在相同的假设条件下，使用不同的方法求解，所得到的结果应该是一致的。对蒲丰问题也不例外，因此，我们断言：

(1)在假设1成立的条件下，用随机向量(X,Y)或(Z1,Z2)求解蒲丰问题，所得到的结果

与解法一相同；

(2)在假设2成立的条件下，用随机向量(X,?)或(Z1,Z2)求解蒲丰问题，所得到的结果与

解法二相同；

(3)在假设3成立的条件下，用随机向量(X,?)或(X,Y)求解蒲丰问题，所得到的结果与

解法三相同；

下面给出断言1的证明，其余类似。为叙述方便，把断言1改述成如下两个问题。

问题1 设随机向量(X,?)服从[0,a]×[0,π]上的均匀分布，并且(X,Y)=(X,2lcos?)(l

求证P((Y

2)2+X2≤l2)=2l

πa

.

证由命题一可知，随机向量(X,Y)的密度函数为(1)式。通过积分计算得

P((Y

2)2+X2≤l2)=P1x,y dxdy

(y)2+x2≤l2

=1

πa

dx

1

022

22l2?x2

?22l2?x2

=2l

aπ

证毕。

问题 2 设随机向量(X,?)服从[0,a]×[0,π]上的均匀分布，并且(Z 1,Z 2)=(X+lsin ?,X-lsin ?)(l

证由命题一可知，随机向量(Z 1,Z 2)的密度函数为(2)式，通过积分计算得

P(Z 1Z 2≤0)= P 2 z 1,z 2 d z 1d z 2z 1z 2≤0= 1aπd z 10?2l 2

4l 2?(z 1?z 2)22l+z 0=2l

aπ 证毕。

四、Buffon 投针问题的推广

1. 二维空间中的蒲丰投针问题

1.1 把针替换成三角形时的蒲丰问题

设平面上画有等距离l(l>0)的平行线，向平面上任意投掷一个以a ，b ，c 为边长的三角形，且a

解 1) 当三角形与平行线相交时，有下列4中情形：

① 三角形只有一个顶点在一条平行线上，即三角形与平行线只有一个交点(如图1(a)所示)； ② 三角形有两条边分别与平行线相交，交点有2个(如图1(b)所示)；

③ 三角形的某一个顶点在一条平行线上，其对应边也在同一条平行线上(如图1(c)所示)； ④ 三角形的某一条边与以平行线重合，此时认为三角形与平行线的交点有无穷多个(如图

1(d)所示)。

2)由于三角形的三个顶点及三条边所占有的区域面积为零，在集合概率中，其概率也为零。因此，三角形与平行线相交的概率在数值上等于三角形中有两条边与平行线相交时的概率，即P 3=P ab +P bc +P(ac).

3)考虑三角形中有两条边与平行线相交的情况 ① 投掷三角形时，若只考虑三角形的a 边与平行线是否相交，则a 与平行线相交的概率仍然符合蒲丰投针问题，故三角形的a 边与平行线相交的概率为P(a)=2a πl ，同理有P(b)=2b πl ，P(c)=2c πl 。

② 由假设，三角形中有两条边与平行线相交。所以，当三角形的a 边与平行线相交时，必然导致b 或c 边与平行线相交，即：P(a)=P ab +P(ac)，同理有P(b)=P ab +P(bc)，P(c)=P ac +P(bc)。三式相加得P(a)+P(b)+P(c)=2[P ab +P bc +P(ac)],所以：P 3=P ab +P bc +P ac =P(a)+P(b)+P(c)2=a +b+c

πl 。

1.2 把针替换成四边形时的蒲丰问题

平面上画有等距离l(l>0)的平行线，向平面上任意投掷一个以a ，b ，c ，d 为边长的四边形，此四边形的两条对角线分别为e ，f ，且a

解 1)和三角形与平行线相交的讨论类似，四边形与平行线相交也有5种情形：

①

四边形只有一个顶点在一条平行线上(1个交点)(如图2(a)所示)； ②

四边形有两条边分别与平行线相交(2个交点)(如图2(b)所示)； ③

平行线过四边形的对角线(2个交点)(如图2(c)所示)； ④ 四边形的某一顶点恰好在平行线上，其对应的某一边也在同一条平行线上(2个交点)(如

图2(d)所示)；

⑤ 四边形的某一条边与平行线重合(无穷多个交点)(如图2(e)所示)。

因为四边形的四个顶点及四条边所占有的区域为零，在集合概率中，其概率也为零。因此，四边形与平行线相交的概率在数值上等于四边形中有两条边与平行线相交的概率，即P 4=P ab +P ac +P(ad)+P bc +P bd +P cd 。

2)对四边形的每一条边进行单独考虑，并假设四边形与平行线相交时，四边形有两条边与平行线相交。有蒲丰投针问题可得：

P a =

2a πl =P ab +P ac +P(ad)，P b =2b πl =P ab +P bc +P(bd)， P c =2c πl =P ac +P bc +P(cd)，P d =2d πl =P ad +P bd +P(cd)，

四式相加，得：P 4=P ab +P ac +P ad +P bc +P bd +P cd =a +b+c+d πl 。

1.3 把针替换成硬币时的蒲丰问题

平面上画有等距离l(l>0)的平行线，向平面上任意投掷一个半径为r(r

解硬币是否与平行线相交，由硬币圆心到离它最近的平行线的距离R 是否小于r 来决定，当R>r 时，硬币与平行线不相交；当R ≤r 时，硬币与平行线相交。而硬币圆心到最近的一条平行线的距离在0到l 2之间变化，设Ω={R|0≤R ≤l 2}，G={R|0≤R ≤r }，则由几何概率公式得硬币与平行线相交的概率P 0=m (G )m (Ω)=r l /2=2r l 。

1.4 当投掷物是一般的平面凸曲线时的蒲丰问题

平面内任何一个凸曲线，都可以有一列凸多边形来逼近（当凸多边形的边数趋于无穷大时），在这列凸多边形中取极限的过程，就可得到凸曲线。例如，圆可以由正n 边形来逼近(n →∞)。因此，可以不加证明地指出：平面凸曲线的蒲丰问题与凸多边形的蒲丰问题有相同的结果，也就是说，平面上画有等距离l(l>0)的平行线，向平面上任意投掷一个直径为d(d

2. 蒲丰投针问题在三维空间中的初步推广

2.1 把针替换成正四面体时的蒲丰问题

平面上画有等距离l(l>0)的平行线，向平面上任意投掷一个以a 为棱长的正四面体，且a

投掷一个正四面体，落到由平行线构成的平面上时，总有且只有一个面与之接触。又因为正四面体的四个面是全等的等边三角形，因此不管是正四面体的哪一个面与平面接触，正四面体与平行线相交的概率在数值上等于正四面体的任一个面与平行线相交的概率。由前面

的讨论知，在蒲丰问题中，以a为边长的等边三角形与平行线相交的概率为P3=3a

πl

，因此

P

正4=P3=3a

πl

=6a

2πl

=正四面体的棱长

2πl

。

2.2把针替换成正方体时的蒲丰问题

平面上画有等距离l(l>0)的平行线，向平面上任意投掷一个以a为棱长的正方体，且a<2l

2

,

求正方体与平行线相交的概率。

投掷一个正方体时，正方体与平行线构成的平面接触的总是正方体的某一个面，而正方体的每一个面均是全等的正方形，因此不管正方体的哪一个面与平面接触，正方体与平行线相交的概率在数值上等于正方体的任一个面与平行线相交的概率。由前面的讨论知，以a

为边长的正方形与平行线相交的概率为P4=4a

πl ，因此P

正6

=P4=4a

πl

=12a

3πl

=正方体的棱长

3πl

五、Buffon投针问题的应用

“投针问题”是找矿中的一个重要概型。设在给定区域内的某处有一矿脉（相当于针）长为l，用间隔为a的一组平行线进行探测，假定l

由于问题的答案与π有关，所以如果平行线间的距离a及其所投物的测度（长度或周长）已知，将π值代入即可计算出其与平行线相交的概率p，也可以利用所得答案球的π。当然，一般来说p是未知的，但可以用频率去近似它。其方法是投“物”N次，计算得此“物”与

平行线相交的次数n，则频率为n

N ，于是π≈2lN

an

或π≈S n N

an

。

历史上有一些学者亲自做过抛针实验，其试验结果（把a折算为单位长）如下：

这是一个颇为奇妙的方法：只要设计一个随机试验，使一个事件的概率与某一未知数有关，然后通过重复试验，以频率近似概率，即可求得未知数的近似解。现在随着电子计算机的发展，人们便利用计算机来模拟所设计的随机试验，使得这种方法得到了迅速的发展和广泛的应用。此种计算方法称为随机模拟法，或蒙特卡洛（Monte-Carlo）法。

六、参考文献

[1] 姚楠黄金明.蒲丰针问题不同结果及其内在联系.常德师范学院学报（自然科学版），

1999年9月第11卷第3期

[2] 张德然.蒲丰投针问题的推广及其应用.阜阳师范学院学报（自然科学版），1997年第1期

[3] 黄朝霞.蒲丰投针问题研究.集美大学学报（自然科学版），2005年12月第10卷第4期

Abstract As to the problem of Buffon’s needle, different perspectives lead to different solutions.

The article points out the problem from Buffon needle throwing to plane figure

throwing and its extending. It also tells about its probability Principle and the usage in

mineral-detecting and in its approximated calculation.

Key words Buffon Needle throwing, Probability, Random test, Approximated calculation

基于MATLAB的布丰投针实验仿真

系统建模与仿真题目：Buffon实验的仿真 院系: 电子工程学院 专业：信息对抗技术 班级：021231 姓名：余颖智 学号：02123021 指导老师：刘洋 完成时间：2015年4月 西安电子科技大学

基于MATLAB的投针实验仿真 摘要 在求证圆周率的过程中经过割圆术后，出现的投针试验以求出圆周率，目前利用MATLAB数学建模的仿真实验，运用到计算机中，简化其随机实验的操作量大，运算慢等特点。不同针距相同实验量运算后得出不同的π，其针距与线间距离相等，所得值接近于π。

目录 摘要 (2) 二、实验内容 (4) 三、建模流程图 (5) 四、程序主要代码 (6) 五、运行结果 (6) 六、结论 (7)

一、实验原理 1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题。该投针实验主要有如下三个步骤：(一)取一张白纸，在上面画许多条间距为a的平行线；（二）取一根长度为l（l

三、建模流程图

四、程序主要代码 str(handles.edit1,'string'); %取得变量，定义变量，变量初始化 n = str2double(str); str = get(handles.edit2,'string'); l = str2double(str); str = get(handles.edit3,'string'); a = str2double(str); counter = 0; %变量初始化 phi = 0; frequency = 0; Pi = 0; x = unifrnd(0,a/2,1,n);%产生n个（0，a/2）之间均匀分布的随机数，这里a/2是投针的中点到最近的平行线的距离 phi = unifrnd(0,pi,1,n);% 产生n个（0，pi）之间均匀分布的随机数，这里pi是投针与最近平行线的角度 for i=1:n if x(i)

概率统计期末论文

概率统计期末论文 姓名：周芹 班级：会计1201 学号：1080112133 日期：2013.12.18

概率统计在企业盈亏问题中的应用 摘要：本文从企业出发，选择经济问题中的盈亏角度，讨论概率统计在其中的具体应用。首先通过引用中心极限定理和数学期望的具体例子，详细的介绍了概率统计在盈利问题中的应用；然后运用对参数的点估计的分析，阐释了概率统计在企业亏损问题中的应用。从而得出如何计算盈亏概率、如何使利润最大化、如何进行亏损估计，进一步总结出概率统计在处理企业盈亏问题方面的必要性。 关键词：概率统计，企业盈亏，中心极限定理，数学期望，参数点估计 1、引言 自中国古代开始，数学就是一门重要的学科，不管是小小的结绳记事，还是复杂的程序计算，数学都在其中扮演着重要的角色，自然，数学中一个非常重要的分支-概率统计也就不可避免的在很多领域中取得越来越广泛的应用。正如英国逻辑学家和经济学家杰文斯所说：“概率统计是生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，无所作为。” 概率统计是一门相当有趣的数学分支学科，近几十年来，经济学界和经济学者越来越多的运用其作为研究和分析的工具。而实践证实，这一选择是极其正确的，概率统计为经济猜测和决策提供了新的手段，有助于经济效益和治理水平的提高，同时也被引入各个企业进行经济分析。本文则就是从企业出发，选择经济问题中的盈亏角度，讨论概率统计在其中的具体应用。 2、概率统计在企业盈利问题中的应用 对于一个企业来说，其存在的首要目的就是盈利，不过我们都知道，投资并不代表就一定有利润的实现。因而，企业在投资过程中总是尽量降低其存在的风险从而提高盈利的概率，像一些风险性的企业，如：保险行业，一般可提前通过收集材料计算得出其盈利的概率；同时企业的最终目标是利润最大化，所以在确定能够盈利的前提下，计算何种方法使得利润最大。 在概率统计中，关于盈利问题的应用，最独树一帜的当属中心极限定理与数学期望的应用，接下来将就这两方面分别讨论。 2.1、计算盈利概率 - 中心极限定理的应用 要了解中心极限定理是如何应用于盈利计算中的，首先当了解中心极限定理本身，在概率统计中有好几种中心极限定理，不过，它们所要表达的意思其实都是相近的，统一指出： 如果一个随机变量由众多的随机因素所引起，每个随机因素的变化起着不大作用，就可以推断描述这个随机现象的随机变量近似服从正态分布，所以要求随机变量之和落在某个区间上的概率，只要把它标准化，用正态分布作近似计算即可。

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概率论与数理统计总结（1-5章节） 第一章&第二章概率论引论& 条件概率 本章知识点： 1．随机事件及其运算（随机试验，随机事件与样本空间，事件之间的关系及其运算） 2．概率的定义、性质及其运算（频率，概率的统计定义，古典概率，概率的公理化定义，概率的性质） 3．条件概率及三个重要公式（乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式） 4．事件的独立性及贝努里(Bernoulli)概型 理解重点： 1.理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件的关系与基本运算； 2.理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性，理解概率的公理化定义和概率的其它性质； 3.理解古典概率的定义，掌握古典概率的计算，了解几何概率的定义及计算； 4.掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算； 5.理解条件概率的概念，熟练掌握条件概率的计算，熟练掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式以及应用这些公式进行概率计算； 6.理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算，理

解贝努利试验的概念，熟练掌握二项概率公式（贝努利概型）及其应用。 第一节随机事件 一、概率论序言 二、随机试验与随机事件 （一）随机试验 1．试验可在相同条件下重复进行； 2．每次试验的可能结果不止一个，而究竟会出现哪一个结果，在试验前不能准确地预言； 3．试验所有可能结果在试验前是明确(已知)的，而每次试验必有其中的一个结果出现，并且也仅有一个结果出现。 满足上述三个特性的试验，叫做随机试验，简称试验，并用字母E 等表示。 （二）随机事件 随机试验的结果称为随机事件，简称事件。 1．必然事件：在试验中一定出现的结果，记作Ω； 2．不可能事件：在试验中一定不会出现的结果，记作Φ； 3．随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的结果，常用大写拉丁字母A、B、C…表示； 4．基本事件(样本点)：试验最基本的结果，记作ω； 5．样本空间(基本事件空间)：所有基本事件的集合，常用Ω表示；样本空间Ω中的元素是随机试验的可能结果。样本空间的任一子集称

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概率论论文 【摘要】概率论是研究随机现象规律性的一个数学分支，它来源于实际生活，也解决了实际生活中的许多问题。小概率事件是概率论中的一个具有实用意义的原理，在我们的日常生活中已经有广泛的应用。本文重点讨论的内容有：小概率事件的含义、小概率原理以及用彩票阐述小概率事件在日常生活中的实际应用，给出几点彩票玩法建议，并使人们对生活中的小概率事件树立正确的认识。 【Abstract】Probability theory is a mathematics branch of random phenomena regularity study, it comes from the actual life, and also solves many problems in actual life. Probability of small probability events is a principle of practical significance in our daily life which has a wide application. What is mainly discussed in this paper is the meaning of small probability events, small probability principle and the actual application expounded by lottery，small probability events in daily life, and suggestions about lottery play helping people establish correct understanding of small probability events. 【关键词】小概率事件彩票二项分布泊松分布 【Keywords】Small probability events,Lottery, Binomial distribution, Poisson distribution 1 引言 随着彩票在全国乃至全球的火热发行，对有些人来说，博彩已成为生活的一部分，影响之大不言而喻。由“一夜暴富”心理导致的盲目购买彩票已经成了社会的一个大问题，因此，虽然现在买彩票的人越来越多，但其中真正理智买彩票的却不多。大家都想把彩票当钞票，要知道即开彩大奖是属于小概率事件。社会上各种彩票的方式，玩法不尽相同，但是万变不离其宗，都包含了共同的规律。在这样的背景下我研究“小概率事件在彩票中的应用”是大有意义的。 概率学是专门研究随机事件规律的科学，它在彩票的购买中起着重要的作用，是概率论中一个简单但又极其有用的原理，是统计学存在、发展的基础。小概率事件作为在统计推断的理论及应用中有着重要作用的一个基本原理——实际推断原理，即小概率事件在一次试验中实际上是几乎不发生的，我们可以把它看成是不可能事件，这是概率论应用中的一条最基本的原理。对于自然界中的

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概率论小论文

浅谈概率论 专业：环境设计 姓名：zhou 学号：66626edfe 【摘要】:概率论与数理统计课程是我们哈工大学生学习的一门应用性很强的必修基础课程。通过近一个学期的学习，我对概率论也有了一些粗浅的认识，这篇文章将从概率论的历史和发展讲起，接着对二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系进行一个简单的论述，然后将概率论的一些概念与以往学过的概念进行类比，最后对概率论在工科数学分析中的几个巧用进行说明，并附加了几个实例。 【关键词】：二项分布泊松分布正态分布类比级数广义积分

正文 1 概率论的起源和发展 概率论不仅是当代科学的重要数学基础之一，而且还是当代社会和人类日常生活最必需的知识之一。正如十九世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：“对于生活中的大部分, 最重要的问题实际上只是概率问题。你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的, 只有一小部分我们能确定地了解。甚至数学科学本身, 归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上的。因此,整个的人类知识系统是与这一理论相联系的。”然而, 饶有趣味的是, 这门被拉普拉斯称为“人类知识的最重要的一部分”的数学却直接地起源于一种相当独特的人类行为的探索: 人们对于机会性游戏的研究思考。所谓机会性游戏就是靠运气取胜一些游戏, 如赌博等。这种游戏不是哪一个民族的单独发明, 它几乎出现在世界各地的许多地方, 如埃及、印度、中国等。著名的希腊历史学家希罗多德在他的巨著《历史》中写道: 早在公元前1500年, 埃及人为了忘却饥饿的困扰, 经常聚集在一起掷骰子和紫云英,这是一种叫做“猎犬与胡狼”的游戏, 照一定规则,根据掷出各种不同的紫云英而移动筹码。大约从公元前1200年起, 人们把纯天然的骨骼(如脚上的距骨) 改进成了立方体的骰子。[1] 二十世纪以来, 概率论逐渐渗入到自然科学、社会科学、以及人们的日常生活等几乎无所不在的领域中去.无论在研究领域, 还是教育领域, 它愈来愈成为一门当今最重要的学科之一。于是, 对于概率论历史的研究也日益引起科学史学家们的重视。在概率论发展历史上, 十八、十九世纪之交法国最伟大的科学家之一拉普拉斯具有特殊的地位, 1812年拉普拉斯首次出版的《分析概率论》标志着概率论历史上的一个重要阶段--古典概率论的成熟。概率论发展到1901年, 中心极限定理终于被严格的证明了, 以后数学家正利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从以正态分布。到了20世纪的30年代, 人们开始研究随机过程, 著名的马尔可夫过程的理论在1931年才被奠定其地位。到了近代, 出现了理论概率及应用概率的分支, 及将概率论应用到不同范筹, 从而产生了不同学科。因此, 现代概率论已经成为一个非常庞大的数学分支。 2二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系 2.1 二项分布、泊松分布之间的关系 定理1 泊松定理:在n重伯努利试验中,事件A在每次试验中发生的概率为 p n ,它与试验次数有关,如果 n lim0 n npλ →∞ =>，则对任意给定的k, 有

布丰投针实验模拟

系统建模与仿真 基于MATLAB的布丰实验模拟 姓名：石星宇 学号： 02123010 指导教师：刘洋 2015年4月9日

目录 基于MATLAB的布丰实验模拟 .................................................................... - 1 - 一、实验原理......................................................................................... - 1 - 二、编程模拟......................................................................................... - 1 - 1、程序流程图............................................................................... - 1 - 2、程序代码................................................................................... - 2 - 三、实验结果......................................................................................... - 2 -

基于MATLAB 的布丰实验模拟 一、实验原理 找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离a 。可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。因此，如果圆圈扔下的次数为n 次，那么相交的交点总数必为n 2。现在设想把圆圈拉直，变成一条长为a π的铁丝。显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有4个交点，3个交点，2个交点，1个交点，甚至于都不相交。由于圆圈和直线的长度同为a π，根据机会均等的原理（即等概率事件），当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交点的总数期望也是一样的。这就是说，当长为a π的铁丝扔下n 次时，与平行线相交的交点总数应大致为n 2。现在转而讨论铁丝长为l 的情形。当投掷次数n 增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的交点总数k 应当与长度l 成正比，因而有：l k λ=，式中λ是比例系数。为了求出λ来，只需注意到，对于a l π=的特殊情形，有n k 2=。于是求得a n πλ2=。代入前式就有：a m πln 2≈从而ak nl 2≈π。 二、编程模拟 1、程序流程图 参数初始化 产生位置随机数； 产生角度随机数 判断相交 1+=k k 1+=n n 是 否 判断结束

2020年上学期大学教师个人工作总结

上学期大学教师个人工作总结 一个学期来，卑人能时刻牢记“爱岗敬业”和“为人师表”的职业道德之宗旨，在实际工作中不辞劳苦、焚膏继晷地主动开展班级管理和德育建设，在上级诸多领导的关心、支持、指导和帮助下，取得了一定的收效并且有了良性的发展。 一、主动贯彻落实学校以及各职能部门各个阶段和突发性的工作要求，做到坚决服从、动作迅速、部署到位、落实有策，经常性抓好班级管理中的组织、协调、督促、检查和小结环节工作。与其他班主任一样，经常性加强对学生的集会、早读、课间操、卫生清洁、午休、晚自习等督促检查并考核登记，阶段性地或持续某段时间坚持每天对早读、午休、清洁卫生情况或晚自习情况进行突击检查，经常性、随意性地观察其他课任教师上课时学生的学习和纪律状况，力求更多的感性掌握第一手材料，以便有的放矢地加强动态管理，在深入学生的学习、生活和活动中及时了解、关心、教育并且督促其良好习惯的养成，同时发挥教师的言传身教之示范效果。 二、主动、大胆搞好对学生干部的发掘、使用、扶持、教育和培养工作，尽可能的发挥学生的自我管理、自我监督和自我教育能力，培养和提高学生的“五自”能力。该班“难得”的班干部从总体上说：“领头雁”几乎没有、表率网射作用差、胆小怕事常拖拉。针对本班学生干部胆小怕事、明哲保身而不能形成班集体的核心这一状况，深

入学生生活，善于洞察和了解情况，。我更多的采取定期召开班干部会议或个别谈话，分析研究之根源、指出教育其不足、授之建议以方法；同时进行职责分工，做到人人有权、人人有责、互相监督、相互协调，实行民主管理，逐步培养出像曲超、刘玺、王琳、那荣威、张一烁等这样一批较为得力的班干部，使班级管理有了良性的互动，此一状况在有了明显的改观。 三、始终贯彻分层次教育，做好教学工作计划，坚持“抓两头、促中间”，不厌其烦地耐心做好后进生的帮教转化工作。针对本班如：杨恒、李忠阳、杨行、杨磊、曾超、李文君、蔡思阳、王照、金善、邵楠等纪律或学习双差的后进生多、且突出之头疼状况，我班实行了《学生每天情况登记表》、《学生思想动态情况每天公布》制度，坚持每天登记、每周公布、每月小结的做法，发现问题及时纠正教育，做到“小犯指出批评、多错检讨通报、大错约见家长、累犯严肃处理”，更主要的是班主任经常性加强督促和引导，充分利用班会、集会小结、召开座谈会、电话通知其家长、开展“告别不良行为，重塑文明形象”等进行苦口婆心的教育，从情入口、感之以心。 同时，有的放矢地“约法三章”，狠治各种歪风邪气，培育正确的舆论导向，耐心做好后进生的教育转化和家长的配合督导；充分利用班会、课余时间以及校内外各种方式的活动，结合《德育量化考核实施细则》和文明学生的评比，培育正确的舆论导向和核心集体，

概率论结课论文

条件期望的性质和应用 1 条件期望的几种定义 1.1 条件分布角度出发的条件期望定义 从条件分布的角度出发，条件分布的数学期望称为条件期望。 由离散随机变量和连续随机变量条件分布的定义，引出条件期望的定义。 定义1 离散随机变量的条件期望 设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为(),ij j i p P X x Y y ===， 1,2,,1,2,.i j =???=???，对一切使()10j j ij i P Y y p p +∞ ?====>∑的j y ，称 ()() |,(),1,2,j ij i i j i j j j P X x Y y p p P X x Y y i p P Y y ?====== = =???= 为给定j Y y =条件下X 的条件分布列。 此时条件分布函数为 () ()i i j i j i j x x x x F x y P X x Y y p ≤≤====∑∑； 同理，对一切使()1 0i i ij j P X x p p +∞ ?====>∑的i x ，称 ()()() j|i ,,1,2,j ij i j i i j P X x Y y p p P Y y X x j p P X x ? ====== = =???= 为给定i X x =条件下Y 的条件分布列。 此时条件分布函数为 ()()j j i j i j i y y y y F y x P Y y X x p ≤≤= === ∑∑。 故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下 ()()i i i E X Y y x P X x Y y ====∑或()()j j j E Y X x y P Y y X x ====∑。 定义2 连续随机变量的条件期望 设二维连续随机变量（X,Y ）的联合密度函数为(,)p x y ，边际密度函数为 ()X p x 和()Y p y 。 对一切使()Y p y >0的y ，给定Y y =条件下X 的条件分布函数和条件密度函数 分别为(,) ()()x Y p u y F x y du p y -∞ =? ，()()() ,Y p x y p x y p y =； 同理对一切使()X p x >0的x ，给定X=x 条件下Y 的条件分布函数和条件密度

概率论课程期末论文大作业

《概率论与数理统计》论文题目：正态分布及其应用 学院：航天学院 专业：空间科学与技术 姓名：黄海京 学号：1131850108

正态分布及其应用 摘要：正态分布（normal distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度,炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态分布，以及确定医学参考值范围，药品规格，用量等。可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般是一个正态随机变量。 关键词：正态分布， 一、正态分布的由来 正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution）。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年受次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。 正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ= 0,σ= 1的正态分布。 二、正态分布的特性 1. 正太分布的曲线特征 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。 （1）集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。 （2）对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。 （3）均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

蒲丰氏投针问题的模拟过程

蒲丰氏投针问题的模拟过程，随机数发生器也是自编的，以供大家参考和提出建议。谢谢。（seed1和seed2最好选择3和5，为了使投针次数达到1000000，CVF进行如下设置Project->settings->link-> output，将stack allocations reserve:设为1000000000） program getpi implicit none real,parameter::a=5,L=4,pi=3.14159 integer::n1,i,counter=0 real,allocatable::R1(:),R2(:) real::theta,x,pi1 write(*,*) 'input the size of the array:' read(*,*) n1 allocate(R1(n1)) allocate(R2(n1)) call random(n1,R1,R2) do i=1,n1 x=a*(2*R1(i)-1) theta=pi*R2(i) if(abs(x)

概率论论文

概率论与数理统计在日常生活中的应用 学院：通信工程学院 班级：电子信息工程152 学号：208150654 姓名：王鑫 学校：南京工程学院

目录 摘要 引言 第一章基本知识点 1.1概率论的基本概念 1.2随机变量及其分布 1.3多维随机变量及其分布 1.4随机变量的数字特征 1.5大数定律和中心极限定理 1.6样本及抽样分布 1.7参数估计 1.8假设检验 1.9方差分析与回归分析 第二章在日常生活中的应用 2.1经济保险问题中的应用 2.2在经济损失估计中的应用 2.3在求解最大经济利润中的应用 2.4在医学领域中的概率论思想 2.5金融领域中的概率论思想 第三章结语及参考文献

摘要：数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。概率论与数理统计作为数学的一个重要组成部分，在生活中的应用也越来越广泛，近些年来，概率论与数理统计知识也越来越多的渗透到经济学，心理学，遗传学等学科中，另外在我们的日常生活之中，赌博，彩票，天气，体育赛事等都跟概率学有着十分密切的关系。本文通过实例讨论概率统计在经济保险，经济损失估计、最大经济利润求解、医学应用、金融应用等日常生活中的应用 关键词：概率统计经济领域医学领域金融领域生活 引言：概率论与数理统计是一门相当有用的数学分支学科，随着社会的发展，概率论与数理统计在生活中的应用越来越多，我们在学习过程中也了解到概率论与数理统计在疾病预测，彩票，抽样调查，评估，彩票，保险，以及在经济中的一些广泛的应用比如说经济损失估计、最大经济利润求解、经济保险等，下面我用一些实例谈谈一些常见的概率论与数理统计在生活中的应用问题

大学教师一学期工作总结

大学教师一学期工作总结小编温馨提醒写总结的时候一定要实事求是，成绩不夸大，缺点不缩小，更不能弄虚作假。这是分析、得出教训的基础。以下是小编为大家搜集提供到的有关大学教师一学期工作总结范文。欢迎阅读xxxx 年度的工作总结从以下几个方面进行阐述： 一、思想品德和个人修养方面我坚持四项基本原则，树立正确的世界观和人生观，与人为善，有礼有节，不做有损于国家、有损于单位、有损于个人形象的事。在教学工作之余，我努力提高自己的政治思想水平，积极培养观察问题、分析问题的能力，关注社会时事，与时俱进，全面发展。在个人品行方面，我尊敬领导，团结同事，爱护学生，维护集体荣誉，和大家打成一片，在广大师生中赢得了较好的评价。 二、教学方面 本年度讲授的课程有：概率论与数理统计A,数理统计，贝叶斯统计推断，并指导6 名学生毕业论文，完成工作任务。 同时，积极参与教研活动，暑假集体备课，并讲概率论与数理统计4 学时， 参与统计专业人才培养方案修订; 指导学生参加大学生统计建模竞赛，获得优秀奖。 三、科研方面 认真学习贝叶斯计量经济学，并阅读相关书籍和文章，自学贝叶斯统计软件winbugs 和R 软件，以期自己在贝叶斯计量经济学

方面有所成绩。 一年时间倏忽而过，我深知，我取得的所有成绩是和诸位领导、老师的关心、帮助和支持，各位同学们的积极配合分不开的。我更深知，自己的成绩和进步离学院和领导的要求还有相当距离，我的知识和技能都还有待很大的提高。尤其是在科研方面，由于种种原因我没能集中时间和精力去做，这是很大的遗憾，我希望自己以后能在这方面多下下功夫，也希望领导和老师们提供必要的方便。在此我向各位领导、老师保证，我会在以后的工作中尽自己最大的努力，争取更大的进步，同时也希望各位领导、老师能继续给我以关心、帮助和支持。 光阴在指间飞逝，转眼间一学年又结束了! 为了更好地做好今后的工作，总结经验、吸取教训，本人特就这学期的工作作如下小结： 一、思想工作方面 一年来，我积极参加党章学习小组的各项活动，经常收看新闻联播，关心国家大事，认真学习党的基本理论，特别是认真学习“三个代表”的重要思想，不断提高自己，充实自己，严格要求自己，树立正确的世界观、人生观和价值观，提高自身的政治敏锐性和鉴别能力，坚定共产主义理想和社会主义信念，在大是大非问题面前，能够始终保持清醒的头脑，热爱学生，热爱工作，敬业爱岗，努力将自己锻炼成新时代的合格教师。 平日里我重视理论于实践相结合，虚心接受领导、同事们的批

蒲丰投针问题

蒲丰投针问题 1.蒲丰简介 蒲丰有的时候翻译成布丰，是18世纪法国著名 的博物学家。他喜欢研究数学和生物学。主要的贡献 有：（1）翻译了牛顿的《流数法》，流数法按现在的 说法就叫微积分。（2）写了一本巨著，这部巨著的名 字叫《自然史》，因为他特别喜欢研究生物。这个自 然史一共有44卷，其中他生前写了36卷，后来他学 生又完成了。这本书对后来的世界有很大的影响，尤 其影响到一个人叫达尔文，所以蒲丰这个人其实是很 厉害的。 2.蒲丰投针 1777年，在蒲丰晚年的时候，他有一次举行了一 个家庭宴会。邀请了一大堆他的朋友来帮他做实验。 做什么实验呢，就“投针”。那朋友来了之后发现，就 是桌子上有很多根间距相等的平行线。然后蒲丰就说 了，给你们同样大的针，你把这些针随机扔到这个桌子上。然后宾客就随便扔吗，有可能这样，有可能 这样……，随便扔是吧，这都有可能，什么情况都 有可能。有的针就没有跟平行线相交，比如这个， 这个，这个，就没有相交，也有相交的，比如这个， 这个，这个，这是相交的，对吧，然后他就数，他 说这个针一共投了多少个呢？一共投了n =2212个。 其中与这个平行线相交的针有多少 个，数了一下有m =704个。然后他说， 我现在可以计算圆周率了，别人都不 信，他说你看我圆周率怎么算，我只 要把这两个数相除就行了。我用n 除 以m ，这个数除完了大概是3.142，这个就是圆周率了。别人说好神奇，这怎么回事儿，蒲丰说我给你解释解释这个原理是什么？其实这个原理并不复杂，我们来看一下它的原理是什么。 3. 蒲丰投针原理 (1)首先，它这个平行线是严格平行的，那平行线之间的距离是固定的，是a 。然后我随意地把一根针投上去，也许相交，也许不相交，这不一定。比如说这个针投上去了，投上去了之后，针的总长是b ，针有一个中点叫M ，对吧，这个M 到它比较近的平行线之间的距离我们设为x ，大家注意，这个是针的中点到比较近的平行线的距离是x ，所以我们应该知道x 的范围。x 的最小值就是这个终点正好落在平行线上，那最小值是0，对吧。最大值就 是针的中点正好在两条平行线中间，那最大值是a 2 ，不会再大了。因为我这个x 的定义是针的终点到比较近的平行线的距离，对吧！所以x ∈[0，a 2 ]。 (2)其次就是我想知道这个针与这个平行线的夹角是多少？令夹角为α，α的范围是什么呢，如果你完全跟这个平行线平行的话，那么这个夹角是00，对吧。如果你往上竖过来，

概率论小论文Word版

概率论论文 浅谈敏感性问题调查与全概率公式的应用 学院专业： 班级： 学号：

姓名：Rabbit 联系方式： 浅谈敏感性问题调查与全概率公式的应用 Rabbit 英才学院自动化 摘要：敏感性问题在常见的各种调查中存在很大比重。然而，直接的敏感性问题提问由于极有可能导致受访者难堪而难以得到准确回答，进而严重影响了调查效果。而借助随机回答法和不相关问题模型，可以极大减少由于受访者主观因素导致的非抽样误差，进而得到关于敏感性问题问题的小误差统计结果。 关键词：敏感性问题随即回答法不相关问题模型全概率公式误差分析 引言：你考试是否作过弊吗？你是否违反过学校纪律？当被问及这些敏感问题时，许多人会然拒绝回答或者编造答案。然而，这样便难以得出准确的统计结果，也就难以根据所得数据进行分析，得出相关结论。 随机回答法给出了一种使被问人放心的方法，访问者并不知道被问者所回答的内容。不相关问题模型则在一定程度上减缓了受访者对询问者的敌意，更有助于得到诚实回答。随即回答法的本质则是全概率公式的应用。

一、随机回答法 1、随机化回答法与Warner模型 沃纳在1965年提出的随机化回答技术，基于“愈少泄漏问题的答案实质，愈能较好合作”的思想，通过巧妙设计的间题形式对被调查者的隐私和秘密加以保护，引导被问者的答案仅仅提供概率意义下的信息。通过这些信息完成调查，再用这种方法对总体的比例进行估计的模型，通称为沃纳模型。 假定我们想要估计总体中属于团体A 2、概率推导 数字12，除此以外，小球没有其它的区别。访问者从 被问者从混合均匀的一桶球中随便地选取一个，记下球上的数字，数字不要让访问者看见。被问者面前有两个问题： 问题1 问题2 他要求按照所选的数字回答相应的问题。虽然，访问者仅仅获得了“是”和“不是”的 下列的记号： 1 1的牌的概率。 2的牌的概率。

哈工大概率论小论文

哈工大概率论小论文 篇一：哈工大概率论小论文概率论课程小论文计算机科学与技术学院信息安全专业一班(1303201) 姓名：宫庆红学号：1130320103 概率论中用到的几种数学思想作为数学中的一个重要分支，概率论同时用到了其他几种数学思想。本文着重从数学归纳法、集合论和微积分等几个方面进行简单的讨论。一．概率论中的数学归纳法思想在概率问题中常会遇到一些与试验次数无关的重要结论, 这些结论在使用数学归纳法来证明时, 常常需要配合使用全概率公式, 从而使概率论中的数学归纳法具有自己的特色。例l 设有冷个罐子, 在每一个罐子中各有m 个白球与k 个黑球, 从第一个罐子中任取一球放入第二个罐子中, 并依次类推。求从最后一个罐子中取出一个白球的概率。分析: 先探索规律, 设n =2 令H1=“ 从第一个罐子中取出一个球, 是白球” H2=“ 从第二个罐子中取出一个球, 是白球” 显然P(H1)=m m?k,所求之概率 P(HL)=P(H1)P(H2|H1)+P(H1’)P(H2|H1) =mm?1kmm???? m?km?k?1m?km?k?1m?k 这恰与n=1时的结论是一样的，于是可以预见，不管n为什么自然数，所求的概率都应是m。 m?k上述预测的正确性是很容易用大家所熟知的数学归纳法来证明的。事实上，另Hi=“从i个罐子中去除一个球，是白球”(i=1,2,……n)设当n=t时，结论成立，即P(Ht)=m m?k 则当n=t+1时，有P(Ht+1)=P(Ht)P(Ht+1|Ht)+P(Ht’)P(Ht+1|Ht’) mm?1kmm???? m?km?k?1m?km?k?1m?k k于是，结论P(Hn)=对任意自然数n都是成立的。 m?k = 不难看出，在这里数学归纳法之所以能顺利进行，那是由于在知道从第t个罐中取出的球的颜色（比如是白球）之后，第t+1罐的新总体成分就完全清楚了。（相当于从第t罐取出的是白球，这时新的第t+1罐中就有m+1个白球，k个黑球）所以相应的条件概率P(Ht+1|Ht)=m?1m(或P(Ht|Ht’)=)也就随之而得了。m?k?1m?k?1 二．概率论中的微积分思想在我们现阶段所学习的概率论课程中，微积分是重要的基础。如何正确、巧妙地运用微积分方法和技巧是值得重视的问题。现在，简单归纳一些问题来说明微积分方法在概率论中有着广泛的应用。幂级数方法例1 设随机变量ξ服从参数为（r,p）的负二项分布，（r≧1,0 p 1）,即P{ξ=m}=Cm?1pr?1rqm?r,m=r,r+1,……q=1-p, 求E(ξ).解这道题的解题过程中要用到公式 1 (1?x)??Cmxr?1 m?r?rm?r。 ?1n这个公式是有??x(0?x?1)

深大好老师

物理课选张晓明，这个老师可以把物理课完全教懂，生动幽默有趣~而且人也很nice，样子也蛮帅的，很年轻~ 最近大家大二的在选毛邓那些课吧..推荐个..王晓丽.....不点名.. 推荐我们传播吕勇老师的《城市文化研究》 挺有趣，不点名，期末交论文 理科学分推荐一个《数学思想发展史》 马克思选王馨唯一会不舍得逃的一门课 看见有个叫赵红教线代的要小心~他很难让你明白上课内容 李联春的文科课蛮（强调蛮字）有道理的~课也挺幽默~没上过的可以试试~ 我讲讲第一学期的老师: 高数:王梅,超好人,不点名,教得懂 另外谢婉雯也很好.还有千南仁讲课很快,适合喜欢讲课快的同学. 科学史:姓崔的,我觉得选哪个都差不多,挺喜欢点名,但一次点300多人很爽 管理学原理:张多中,照书讲,会点名,作业3次,还挺麻烦的. 政导:张涛,很喜欢讲大道理,教我们做人,不怎么爱讲课,但内容挺有趣,但要拿好成绩应该不容易. 计算机:钱嘉伟,很搞笑,有间谍,完全逃不了课,容易说话,但个人一点计算机都学不到,全是考试前自己看书. 现代汉语:陈瑶,很好人的老师,点过一次名吧,但教得还好 体育:羽毛球曾小松,挺严格挺严肃.很有个性的感觉. 说说我们院的：

Bradley，最年轻也是最受欢迎的外教，人很Nice，上课轻松有趣，开了一些关于美国文化的课程，主要是讲讲他自己在美国中学和大学时的生活，有时候会放电影，喜欢美国文化的不妨选选他的课~期末交论文 乔骏骐，很有个人魅力，口语很棒，只开一门“英语电影欣赏”，很多人选，大概点三次名，上课是看美国经典电影~期末写篇影评就OK~ 野村知行，日语老师，教大学日语，中文说得不错，上课认真，很负责任，有小测验，有时要签到~ 法学院推荐老师.. 王茂祺....坚决不点名..怎么都不点名..考试好过的老师..只是课讲得一般.. 蔡元庆...课讲得好..不点名..分给得高...人很不错..很好的一个老师.. 杨建...我没上过他的课..只听说了不点名..很好人..很容易过.. 林伟强...也没上过他的..听说超级好过的一个老师.. 白云...偶尔会点人回答问题..但是非常好过的一个老师.. 大英---蔡国华从不点名，就是期末考试前背篇短文，甚至不背都行，不背就要对话 计算机导论···薛丽萍···很少点名，要签到，去上课=不去上课，期末前的随机课堂束后会要求人手一张写上自己名字的纸条上交，交一张走一个，总的来说千万别选她 毛邓，思修，近代史等选项鳄的绝对没错～～教得也很好，而且很少点名，顶多写纸条上去～～他的选修课也很好，签个到就行了，很会替学生“着想”，让大家过，让大家拿高分～～～～ 文史哲想学到东西的话，李联春是个不错的选择，偶尔抽着人点名。 大一新生来凑热闹啦~ 科学史纲要千万别选姜碗的,次次课都点名! 而且是每次课的最后一节才点名!!

蒲丰投针实验模拟

概率论与数理统计实验 蒲丰投针与蒙特卡罗法 班级应数12级01班 学号2012444086 姓名张旭东

蒲丰投针与蒙特卡罗法 张旭东2012444086 （重庆科技学院数学与应用数学，重庆沙坪坝） 【摘要】通过设计一个投针实验使这个事件的概率和未知量π有关，然后通过重复实验，以频率估计概率，即可求得未知参数π的近似解。这种方法称为随机模拟法，也称为蒙特卡罗法。一般来说，实验次数越多所得的近似值就越接近真值。可以利用MATLAB来大量重复地模拟所设计的随机实验。 【关键词】随机模拟；投针实验；重复实验

1 引言 蒲丰投针问题是由法国科学家蒲丰（Buffon）在1777年提出的，它是概率中非常有代表性的问题，它是第一个用几何形式表达概率问题的例子，其结论具有很强的理论与实际意义。蒲丰针问题的解决不仅较典型的反应了集合概率的特征及处理方法，而且还可以由此领略到从“概率土壤”上开出的一朵瑰丽的鲜花——蒙特卡洛（Monte-Carlo）方法。 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，也称计算机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法，大数定律为近年来发展迅速的随机计算机和随机模拟方法提供了理论基础。 MATLAB是一个适合多学科，具有多种工作平台的功能强大的大型软件。MATLAB已经成为线性代数、自动控制理论、数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等高级课程的进本教学工具，Matlab随机数发生器的种类丰富且用法简便。 本文介绍了利用随机模拟方法和大数定律的相关理论解决蒲丰投针问题计算π的近似值。

2 有关数学实验的有关基础 定理（贝努力大数定律） 设n μ是n 重贝努力实验中事件A 出现的次数，P 是事件A 每次实验中出现的概率，即P(A)=p,则对任意的 ε>0，有 3 实验 蒲丰投针问题 在平面上画有等距离的一些平行线，平行线间的距离为a(a>0)，向平面上随机投一长为l(l