与π有关的故事——布丰投针问题
1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法
——随机投针法,即著名的布丰投针问题。
投针步骤
这一方法的步骤是:
1)取一张白纸,在上面画上许多条间距为a的平行线。
2)取一根长度为l
3)计算针与直线相交的概率.
18世纪,法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”,记载于布丰1777年出版的著作中:“在平面上画有一组间距为a的平行线,将一根长度为l(l平行线中任一条相交的概率。”布丰本人证明了,这个概率是p=2l/(πd)(π为圆周率)
最简单些:1)取一张白纸,在上面画上许多条间距为a的平行线;
2)取一根长度为a;
3)计算针与直线相交的概率为2/π =m/n m相交次数,n投针总次数π= 2n/m
公元1901年,意大利数学家拉兹瑞尼作了3408次投针,给出π的值为3.1415929——准确到小数后6位.不过,不管拉兹瑞尼是否实际上投过针,他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰的质疑.通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π,这是着实令人惊讶的!
下面是一些资料:
1850年,一位叫沃尔夫的人在投掷5000多次后,得到π的近似值为3.1596。1901年,意大利数学家拉兹瑞尼作了3408次投针,给出π的值为3.1415929——准确到小数后6位.不过,不管拉兹瑞尼是否实际上投过针,他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L?巴杰的质疑.通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π,这是着实令人惊讶的!
不过,蒲丰实验的重要性并非是为了求得比其它方法更精确的π值。蒲丰投针问题的重要性在于它是第一个用几何形式表达概率问题的例子,他首次使用随机实验处理确定性数学问题,为概率论的发展起到一定的推动作用。计算π的这一方法,不但因其新颖,奇妙而让人叫绝,而且它开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河,是用偶然性方法去解决确定性计算的前导。
在用概率方法计算π值中还要提到的是:R?查特在1904年发现,两个随意写出的数中,互素的概率为6/2π。1995年4月英国《自然》杂志刊登文章,介绍英国伯明翰市阿斯顿大学计算机科学与应用数学系的罗伯特?马修斯,如何利用夜空中亮星的分布来计算圆周率。马修斯从100颗最亮的星星中随意选取一对又一对进行分析,计算它们位置之间的角距。他检查了100万对因子,据此求得π 的值约为3.12772。这个值与真值相对误差不超过5%。
像投针实验一样,用通过概率实验所求的概率来估计我们感兴趣的一个量,这样的方法称为蒙特卡罗方法(Monte Carlo method)。蒙特卡罗方法是在第二次世界大战期间随着计算机的诞生而兴起和发展起来的。这种方法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生态学、社会学以及经济行为等领域中得到广泛利用。
此外,随便说出3个正数,以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的概率P也与π有关。
蒲丰投针问题的原理探究(需要用到微积分)
在1777年出版的《或然性算术实验》一书中,蒲丰(Buffon)提出的一种计算圆周率π的方法——随机投针法,即著名的蒲丰投针问题。
这个实验方法的操作很简单:
1) 取一张白纸,在上面画上许多条间距为d的平行线;
2) 取一根长度为l(l 为m; 3)计算针与直线相交的概率 由分析知针与平行线相交的充要条件是其中 建立直角坐标系,上述条件在坐标系下将是曲线所围成的曲边梯形区域,见图l(2). 由几何概率知 4)经统计实验估计出概率 由(*)式即π=2ln/md 这样反复地投多次,数数针与任意平行线相交的次数,于是就可以得到π的近似值。因此蒲丰本人证明了针与任意平行线相交的概率为p = 2l/πd。利用这一公式,可以用概率方法得到圆周率的近似值。在一次实验中,他选取l = d/2,然后投针2212次,其中针与平行线相交704次,这样求得圆周率的近似值为2212/704 = 3.142。当实验中投的次数相当多时,就可以得到π的更精确的值。 值得注意的是这里采用的方法:设计一个适当的试验,它的概率与我们感兴趣的一个量(如π)有关,然后利用试验结果来估计这个量,随着计算机等现代技术的发展,这一方法已经发展为具有广泛应用性的蒙特卡罗方法。 系统建模与仿真题目:Buffon实验的仿真 院系: 电子工程学院 专业:信息对抗技术 班级:021231 姓名:余颖智 学号:02123021 指导老师:刘洋 完成时间:2015年4月 西安电子科技大学 基于MATLAB的投针实验仿真 摘要 在求证圆周率的过程中经过割圆术后,出现的投针试验以求出圆周率,目前利用MATLAB数学建模的仿真实验,运用到计算机中,简化其随机实验的操作量大,运算慢等特点。不同针距相同实验量运算后得出不同的π,其针距与线间距离相等,所得值接近于π。 目录 摘要 (2) 二、实验内容 (4) 三、建模流程图 (5) 四、程序主要代码 (6) 五、运行结果 (6) 六、结论 (7) 一、实验原理 1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法,即著名的布丰投针问题。该投针实验主要有如下三个步骤:(一)取一张白纸,在上面画许多条间距为a的平行线;(二)取一根长度为l(l 三、建模流程图 四、程序主要代码 str(handles.edit1,'string'); %取得变量,定义变量,变量初始化 n = str2double(str); str = get(handles.edit2,'string'); l = str2double(str); str = get(handles.edit3,'string'); a = str2double(str); counter = 0; %变量初始化 phi = 0; frequency = 0; Pi = 0; x = unifrnd(0,a/2,1,n);%产生n个(0,a/2)之间均匀分布的随机数,这里a/2是投针的中点到最近的平行线的距离 phi = unifrnd(0,pi,1,n);% 产生n个(0,pi)之间均匀分布的随机数,这里pi是投针与最近平行线的角度 for i=1:n if x(i) 系统建模与仿真 基于MATLAB的布丰实验模拟 姓名:石星宇 学号: 02123010 指导教师:刘洋 2015年4月9日 目录 基于MATLAB的布丰实验模拟 .................................................................... - 1 - 一、实验原理......................................................................................... - 1 - 二、编程模拟......................................................................................... - 1 - 1、程序流程图............................................................................... - 1 - 2、程序代码................................................................................... - 2 - 三、实验结果......................................................................................... - 2 - 基于MATLAB 的布丰实验模拟 一、实验原理 找一根铁丝弯成一个圆圈,使其直径恰恰等于平行线间的距离a 。可以想象得到,对于这样的圆圈来说,不管怎么扔下,都将和平行线有两个交点。因此,如果圆圈扔下的次数为n 次,那么相交的交点总数必为n 2。现在设想把圆圈拉直,变成一条长为a π的铁丝。显然,这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些,可能有4个交点,3个交点,2个交点,1个交点,甚至于都不相交。由于圆圈和直线的长度同为a π,根据机会均等的原理(即等概率事件),当它们投掷次数较多,且相等时,两者与平行线组交点的总数期望也是一样的。这就是说,当长为a π的铁丝扔下n 次时,与平行线相交的交点总数应大致为n 2。现在转而讨论铁丝长为l 的情形。当投掷次数n 增大的时候,这种铁丝跟平行线相交的交点总数k 应当与长度l 成正比,因而有:l k λ=,式中λ是比例系数。为了求出λ来,只需注意到,对于a l π=的特殊情形,有n k 2=。于是求得a n πλ2=。代入前式就有:a m πln 2≈从而ak nl 2≈π。 二、编程模拟 1、程序流程图 参数初始化 产生位置随机数; 产生角度随机数 判断相交 1+=k k 1+=n n 是 否 判断结束 蒲丰氏投针问题的模拟过程,随机数发生器也是自编的,以供大家参考和提出建议。谢谢。(seed1和seed2最好选择3和5,为了使投针次数达到1000000,CVF进行如下设置Project->settings->link-> output,将stack allocations reserve:设为1000000000) program getpi implicit none real,parameter::a=5,L=4,pi=3.14159 integer::n1,i,counter=0 real,allocatable::R1(:),R2(:) real::theta,x,pi1 write(*,*) 'input the size of the array:' read(*,*) n1 allocate(R1(n1)) allocate(R2(n1)) call random(n1,R1,R2) do i=1,n1 x=a*(2*R1(i)-1) theta=pi*R2(i) if(abs(x) 公元1777年的一天,法国科学家D·布丰(D·buffon,1707~1788)的家里宾客满堂,原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的. 试验开始,但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来,纸上预先画好了一条条等距离的平行线.接着他又抓出一大把原先准备好的小针,这些小针的长度都是平行线间距离的一半.然后布丰先生宣布:“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧!不过,请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我.” 客人们不知布丰先生要干什么,只好客随主意,一个个加入了试验的行列.一把小针扔完了,把它捡起来又扔.而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着,如此这般地忙碌了将近一个钟头.最后,布丰先生高声宣布:“先生们,我这里记录了诸位刚才的投针结果,共投针2212次,其中与平行线相交的有704次.总数2212与相交数704的比值为3.142.”说到这里,布丰先生故意停了停,并对大家报以神秘的一笑,接着有意提高声调说:“先生们,这就是圆周率π的近似值!” 众宾哗然,一时议论纷纷,个个感到莫名其妙;“圆周率π?这可是与圆半点也不沾边的呀!” 布丰先生似乎猜透了大家的心思,得意洋洋地解释道:“诸位,这里用的是概率的原理,如果大家有耐心的话,再增加投针的次数,还能得到π的更精确的近似值.不过,要想弄清其间的道理,只好请大家去看敝人的新作了.”随着布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书. π在这种纷纭杂乱的场合出现,实在是出乎人们的意料,然而它却是千真万确的事实.由于投针试验的问题,是布丰先生最先提出的,所以数学史上就称它为布丰问题.布丰得出的一般结果是:如果纸上两平行线间相距为d,小针长为l,投针的次数为n,所投的 针当中与平行线相交的次数是m,那么当n相当大时有:π≈2ln dm .在上面故事中,针长l 等于平行线距离d的一半,可以代入上面公式简化.我想,喜欢思考的读者一定想知道布丰先生投针试验的原理,下面就是一个简单而巧妙的证明. 找一根铁丝弯成一个圆圈,使其直径恰恰等于平行线间的距离d.可以想象得到,对于这样的圆圈来说,不管怎么扔下,都将和平行线有两个交点.因此,如果圆圈扔下的次数为n次,那么相交的交点总数必为2n. 现在设想把圆圈拉直,变成一条长为πd的铁丝.显然,这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些,可能有4个交点,3个交点,2个交点,1个交点,甚至于都不相交. 由于圆圈和直线的长度同为πd,根据机会均等的原理,当它们投掷次数较多且相等时,两者与平行线组交点的总数可望是一样的.这就是说,当长为πd的铁丝扔下n次时,与平 概率论与数理统计实验 蒲丰投针与蒙特卡罗法 班级应数12级01班 学号2012444086 姓名张旭东 蒲丰投针与蒙特卡罗法 张旭东2012444086 (重庆科技学院数学与应用数学,重庆沙坪坝) 【摘要】通过设计一个投针实验使这个事件的概率和未知量π有关,然后通过重复实验,以频率估计概率,即可求得未知参数π的近似解。这种方法称为随机模拟法,也称为蒙特卡罗法。一般来说,实验次数越多所得的近似值就越接近真值。可以利用MATLAB来大量重复地模拟所设计的随机实验。 【关键词】随机模拟;投针实验;重复实验 1 引言 蒲丰投针问题是由法国科学家蒲丰(Buffon)在1777年提出的,它是概率中非常有代表性的问题,它是第一个用几何形式表达概率问题的例子,其结论具有很强的理论与实际意义。蒲丰针问题的解决不仅较典型的反应了集合概率的特征及处理方法,而且还可以由此领略到从“概率土壤”上开出的一朵瑰丽的鲜花——蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法。 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法,也称计算机模拟方法,是一种基于“随机数”的计算方法,大数定律为近年来发展迅速的随机计算机和随机模拟方法提供了理论基础。 MATLAB是一个适合多学科,具有多种工作平台的功能强大的大型软件。MATLAB已经成为线性代数、自动控制理论、数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等高级课程的进本教学工具,Matlab随机数发生器的种类丰富且用法简便。 本文介绍了利用随机模拟方法和大数定律的相关理论解决蒲丰投针问题计算π的近似值。 2 有关数学实验的有关基础 定理(贝努力大数定律) 设n μ是n 重贝努力实验中事件A 出现的次数,P 是事件A 每次实验中出现的概率,即P(A)=p,则对任意的 ε>0,有 3 实验 蒲丰投针问题 在平面上画有等距离的一些平行线,平行线间的距离为a(a>0),向平面上随机投一长为l(l 蒲丰投针问题 1.蒲丰简介 蒲丰有的时候翻译成布丰,是18世纪法国著名 的博物学家。他喜欢研究数学和生物学。主要的贡献 有:(1)翻译了牛顿的《流数法》,流数法按现在的 说法就叫微积分。(2)写了一本巨著,这部巨著的名 字叫《自然史》,因为他特别喜欢研究生物。这个自 然史一共有44卷,其中他生前写了36卷,后来他学 生又完成了。这本书对后来的世界有很大的影响,尤 其影响到一个人叫达尔文,所以蒲丰这个人其实是很 厉害的。 2.蒲丰投针 1777年,在蒲丰晚年的时候,他有一次举行了一 个家庭宴会。邀请了一大堆他的朋友来帮他做实验。 做什么实验呢,就“投针”。那朋友来了之后发现,就 是桌子上有很多根间距相等的平行线。然后蒲丰就说 了,给你们同样大的针,你把这些针随机扔到这个桌子上。然后宾客就随便扔吗,有可能这样,有可能 这样……,随便扔是吧,这都有可能,什么情况都 有可能。有的针就没有跟平行线相交,比如这个, 这个,这个,就没有相交,也有相交的,比如这个, 这个,这个,这是相交的,对吧,然后他就数,他 说这个针一共投了多少个呢?一共投了n =2212个。 其中与这个平行线相交的针有多少 个,数了一下有m =704个。然后他说, 我现在可以计算圆周率了,别人都不 信,他说你看我圆周率怎么算,我只 要把这两个数相除就行了。我用n 除 以m ,这个数除完了大概是3.142,这个就是圆周率了。别人说好神奇,这怎么回事儿,蒲丰说我给你解释解释这个原理是什么?其实这个原理并不复杂,我们来看一下它的原理是什么。 3. 蒲丰投针原理 (1)首先,它这个平行线是严格平行的,那平行线之间的距离是固定的,是a 。然后我随意地把一根针投上去,也许相交,也许不相交,这不一定。比如说这个针投上去了,投上去了之后,针的总长是b ,针有一个中点叫M ,对吧,这个M 到它比较近的平行线之间的距离我们设为x ,大家注意,这个是针的中点到比较近的平行线的距离是x ,所以我们应该知道x 的范围。x 的最小值就是这个终点正好落在平行线上,那最小值是0,对吧。最大值就 是针的中点正好在两条平行线中间,那最大值是a 2 ,不会再大了。因为我这个x 的定义是针的终点到比较近的平行线的距离,对吧!所以x ∈[0,a 2 ]。 (2)其次就是我想知道这个针与这个平行线的夹角是多少?令夹角为α,α的范围是什么呢,如果你完全跟这个平行线平行的话,那么这个夹角是00,对吧。如果你往上竖过来,基于MATLAB的布丰投针实验仿真
布丰投针实验模拟
蒲丰氏投针问题的模拟过程
苏科版-数学-九年级上册-知识拓展 布丰的投针试验
蒲丰投针实验模拟
蒲丰投针问题
Buffon投针实验的理论证明