sba一个通用的稀疏光束法平差的软件包解析
如果你来到这个页面来寻找一个通用的Levenberg-Marquardt算法的C/C++实现，请看levmar
引言：
本页面是关于sba，一个通用的稀疏光束法平差的C/C++软件包。它基于GNU通用公共许可证GPL分发的。光束法平差（BA）是作为每个基于特征的多视重建视觉算法的最后一步，用来获得最佳的三维结构和运动（如相机矩阵）参数估计。提供初始估计，BA同时精化运动和结构参数，通过最小化观测和预测的图像点之间的投影误差。最小化一般通过Levenberg-Marquardt (LM)算法来辅助完成。然而，由于许多未知的因素作用于最小投影误差，一个通用的LM算法的实现（如MINPACK的lmder）当应用于BA背景下的定义的最小化问题时，会带来极高的计算代价。
幸运的是，在基本的法方程中不同的三维点和相机参数相互之间影响较小，呈现一种稀疏的块结构（如图）。Sba利用这种稀疏的特性，使用LM算法的简化的稀疏变量来降低计算的复杂度。Sba是通用的，因为它保证了用户对于相机和三维结构的描述参数的定义的完全控制。因此，它事实上可以支持任何多视重建问题的显示和参数化。比如任意投影相机，部分的或完全标定的相机，由固定的三维点进行外方位元素（即姿态）的估计，精化本征参数，等等。用户要想在这类问题中使用sba，只需要提供合适的程序对这些问题和参数来计算估计的图像投影和他们的函数行列式（Jacobian）。用来计算解析的函数行列式可以是手头的代码，或者使用支持符号微分的工具（如maple）生成的代码，或者通过自动微分技术获得的代码。也可以使用近似的函数行列式，辅之以有限差分的方法。另外，sba包含了检查用户提供的函数行列式的一致性的程序。就我们的知识之所及，sba是第一个并且也是当前独一无二的的软件包，因为他能够不受版权限制以源代码形式放置在任何工程中。
作为sba的效率的一个指标，我们在这里说明，sba的单次测试已经涉及54台相机和5207三维点，产生了24609个图像投影。相应的最小化问题依赖于15999个变量，sba使用非最优的BLAS在Intel P4@1.8 GHz running Linux机器上大约7秒钟内解决。如果没有BA的稀疏实现，那么这种规模的问题会变得非常棘手。
https://www.sodocs.net/doc/ad669275.html,/lulyon/blog/item/70179866ed90132eaa184c1f.html
又一个光束法平差库，由德国斯图加特大学发布。名字很怪，不知道全称是什么。
引言
程序DGAP 实现了光束法平差的摄影测量方法，由Helmut Schmid and Duane Brown 发明。它
基于图像和目标的几何关系的中心投影，使用最小二乘法。
特点
Camera-/self-/simultan 标定，连同作者Brown, Ebner and Gruen 建议附加的参数。
两者可选的图像模型：直接线性变换（DLT）和仿射变换。
不同测量位置和/或姿态数据（GPS 支持的空三、直接地理参考）的集成。
精确的计算内外几何参数
测试附加参数的意义
计算协方差(新！)和相关性
新：对分格摄影机图像（frame camera imagery）的扩展的摄影测量模型。
新：线扫描仪（line scanner）图像的直接地理参考。
新：空三（aerial triangulation，AT）的样例，GPS 支持的空三并且直接地理参考。
新：ADS-40 线扫描仪图像的直接地理参考样例。
版权/许可
Copyright (C) 2005 Dirk Stallmann
This program is free software; you can redistribute it and/or modify it under the terms of the GNU General Public License as published by the Free Software Foundation; either version 2 of t he
License, or (at your option) any later version.
This program is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the GNU General Public License for more details.
You should have received a copy of the GNU General Public License along with this program; if not, write to the Free Software Foundation, Inc., 59 Temple Place - Suite 330, Boston, MA 02111-1307, USA.
下载地址：http://www.ifp.uni-stuttgart.de/publications/software/openbundle/index.en.html
依赖
库genlib2 提供了各种子程序以及模板类。
可以有选择的使用LAPACK 和BLAS。LAPACK 是一个Fortran77 库，用来解数字线性代数中
最常见的问题。它又依赖于基本的线性代数子程序BLAS。BLAS 也是一个Fortran77 库，提供
优化的向量和矩阵操作。两个库都是自由软件，并且拥有版权。
LAPACK 和BLAS 可在netlib 上获得: https://www.sodocs.net/doc/ad669275.html,
为了在MS Windows 2000/XP 下编译DGAP，可以使用Cygnus 的GNU-win32 开发工具包“Cygwin” (https://www.sodocs.net/doc/ad669275.html,)，版本1.3.6 或者更高。LAPACK/BLAS 库在Cygwin 下
依然可用。
安装
在UNIX 或者Cygwin 下编译
1、在同一目录下解压压缩包。
tar xzf genlib2-$RELEASE.tar.gz
tar xzf dgap-$RELEASE.tar.gz
2、编译genlib2 库：
cd genlib2-$RELEASE
make
3、重命名这个目录为genlib2 或者创建一个符号链接：
cd ..
ln -s genlib2-$RELEASE genlib2
4、编译DGAP 程序
cd ..
ln -s genlib2-$RELEASE genlib2
为了安装DGAP 只需要从主目录中复制程序dgap 到/usr/bin or /usr/local/bin.。
Sparse Bundle Adhustment 1.5使用指南
Sparse bundle adjustment即稀疏集束调整，现在广泛应用于计算机视觉领域，基本成为最后优化的标准算法，就是在已经得到的初始摄像机参数和三维点数据的基础针对投影误差进行优化，得到使得均方投影误差最小意义下的Motion和Structure。其算法的核心是利用Levenberg-Marquardt算法，由于视觉中问题的特殊性，造成矩阵稀疏，从而针对此特性进行求解。这里介绍的是使用比较多的一个工具函数库，由希腊学者Manolis I.A.Lourakis和Antonis A. Argyros开发，网址为：http://www.ics.forth.gr/lourakis/sba。这里我主要翻译下其中接口函数的使用说明：
需要使用的结构体是struct sba_crsm，定义如下：
struct sba_crsm{
int nr,nc; // 稀疏矩阵的行和列
int nnz; //非0元素数量
int *val; //非0元素存储空间，大小为nnz
int *colidx //非零元素的列下标，大小为nnz
int *rowptr; //val中开始一行的位置，大小为:nr+1, rowptr[nr] = nnz
}
本结构体用于保存稀疏矩阵的元素
（根据其定义可以看出，其存储过程其实对于稀疏矩阵按行扫描，得到非零元素出现的行和列，然后用colidx存储列下标，rowptr存储数据中新的一行出现的位置，非零结果存在val中。）
Sparse Bundle Adjustment通过函数sba_motstr_levmar_x()执行，函数原型如下：
int sba_motstr_levmar_x(const int n, const int m, const int mcon, char * vmask, double *p, const int cnp, const int pnp, double *x, const int mnp,
void(*func)(double *p, struct sba_crsm * idxij, int *wk1, int *wk2, double *hx, void *adata),
void(*fjac)(double *p, struct sba_crsm * idxij, int *wk1, int *wk2, double *hx, void *adata),
void *adata, int itmax, int verbose, double opts[3], double info[10];
函数运行成功终止则返回达到最小需要的迭代次数，否则输入-1。当前版本中假设观测向量的协方差矩阵为单位矩阵。函数的核心是通过LU分解求解线性系统，使用LAPACK实现。下面是用I,O分别表示输入和输出：
n: 3D点的数量。（I）
m：摄像机的数量（图像）（I）
mcon：从第一个摄像机开始不需要修正参数的摄像机的数量。当我们将世界坐标系与第一个摄像机的坐标对齐的时候，第一个摄像机矩阵保持为[I 0] （I）
vmask：点的可见性标志：mask[(i-1)*m + j -1] = 1 如果点i在图像j中可见，否则为0.需要注意的是点和摄像机的表示从1，2开始而矩阵下标则是从0开始。Vamsk的大小为n*m（I）；
p：作为输入，初始参数向量P0 = （a1,a2,…am, b1,b2,…bn）。作为输出，
估计的最小值，其大小为m*cnp+n*pnp (I/O);
cnp: 定义一个摄像机的参数数量。例如，欧氏摄像机参数化使用6个参数（3
个旋转参数+3个平移参数）。如果使用四元数表述旋转则参数的数量增加到7（4+3）。完整的透视摄像机使用11个参数表示，如果包括全局的尺度因子则参数为12个（I）
pnp：定义一个3D 点需要的参数数量，对于欧氏几何为3，对于投影空间为4 （I）
x：观测向量X包括所有图像投影，顺序为（x11,x12,…,x1m,….xnm）.对于不可见的点，对应的xij消失。最大为n*m*mnp.（I）
mnp：定义一个图像点参数的数量（一般为2）（I）
func：计算估计的参数向量的函数。（I）
fjac：在jac中评估处的稀疏雅可比行列式（I）
adata：指向可能的额外数据的指针，传递给func，fjac。主要是为了避免对于全局变量的直接应用（I）
itmax：Levenberg-Marquardt迭代的最大次数。（I）
verbose：冗长程度。0表示冷静的操作，大的值对应着增加冗长级别。（I）
opts：Levenberg-Marquardt算法中最小化参数选项，
，分别对应着初始衰减项的尺度因子和结束的终止门限(I)；info：关于最小化输出的信息，如果不需要可以设置为NULL。（O）
info[0]：初始参数估计的误差。主要到info[0]除以所有的图像点观测的数量对应着初始均方投影误差；
info[1-4]：（，
，，
），全部是在
计算得到的。类似于info[0]，info[1]除以图像观测点的数量得到最终的均方投影误差；
info[5]：总的迭代次数；
info[6]：结束的原因：
1.过小的
2 过小的
3 迭代次数达到itmax
4 增强法方程矩阵奇异，最小化过程应该从当前解重新开始采用增加的衰减项；
Info[7]:function评价的总的次数；
Info[8]：fjac评价的总的次数；
Info[9]:增强法方程求解总的次数。这个参数一般比总的迭代次数要大，由于在一次LM迭代中，可能需要多个参数进行尝试，每一个都需要对应的增强法方程的求解。
另外Sba还提供了两个函数sba_mot_levmar_x()和sba_str_levmat_x()，分别只对相机参数和结构参数优化投影误差。
个别公式无法显示。
关于sba（sparse bundle adjustment）的30个常见问题（1-14）
sba FAQ
Q1 -- 什么是sba？
sba是一个C/C++软件包对广义稀疏光束平差，在GNU公共许可证下分发。sba 是通用的，提供关于定义涉及光束法平差的图像投影的参数选择和函数关系增强的灵活性。
Q2 -- 什么是光束法平差？
假设给定一系列图像中观测到的一组对应点集相应的三维坐标的初始估计，以及关于每张图像的viewing参数的初始估计。光束法平差（BA）是一个大的最优化的问题，包括同时精化三维结构和viewing参数（即相机姿态和可能的本征校准和径向畸变），为了获得一个在特定的假设下最优化的重建，考虑与观测的图像特征有关的噪声：如果图像误差满足均值为零的正态分布，那么BA是最大似然法估计。它的名字“bundles”(光束)源于每个三维特征聚焦于每个相机的光学中心，这些光学中心相对于结构和viewing参数进行最优化的调整。sba使用Levenberg-Marquardt非线性最小二乘算法的常规实现来解决与BA相联系的稀疏的大规模的优化问题。
Q3 -- “稀疏”是什么意思？
由于不同的三维点和相机之间没有相互影响，BA过程中必须解决的线性系统（即法方程）包含许多零并且形成了一个稀疏的块结构特征。这种结构可以通过避免存储和处理零元素来利用，从而获得可观的计算效益。
Q4 -- 为什么通用的优化代码不能用于实现BA？
BA涉及大规模最小化问题的解决，一般涉及上千个变量。优化算法通过迭代的进行函数的线性化，在当前估计的周围进行最小化并且获得线性系统（它的解确定了当前估计的一个增量）。大多数优化代码（如，minpack, nl2sol/n2g等）假设这些线性系统是稠密的，即包含很多非零元素。已知的几个这种系统的计算复杂度是O（n**3）。调用BA涉及到大规模最小化问题的解（一般涉及上千个变量），所以很明显大多数通用的优化代码在应用BA时会引起运行效率降低和存储容量增大。
Q5 -- 在哪里可以找到更多的关于光束法平差的信息？
关于BA的在基于视觉的重建中的应用的一个优秀的综述：Triggs 等人的Bundle Adjustment: A Modern Synthesis。更简短的说明，可参考bundle adjustment article in Wikipedia。
Q6 -- 在哪里可以找到更多关于Levenberg-Marquardt算法的信息？
参考讲稿Methods for Non-Linear Least Squares Problems, by K. Madsen, H.B. Nielsen and O. Tingleff, Technical University of Denmark, 2004.
Q7 -- sba支持哪些类型的光束法平差？
Sba 给它的用户对于描述相机和三维结构的参数定义的完全的控制。因此，它可以支持不同的多视重建问题的实例，如投影重建，几何重建，本征相机参数精化，等等。Sba也提供了程序处理前方交会和后方交会问题，其中相机姿态和场景结构分别保持不变。
Q8 -- 谁在使用sba？
Sba对于计算机视觉、机器人、基于图像的图形学、摄影测量、测量、制图等领域的研究者和从业者是无价的。它已经在全球许多实验室中使用，并且也是世界范围内以源代码方式提供的GNU GPL许可证而且授权商用的软件。如果你想要知道更多关于sba的用途方面的信息，以下是我们列出的使用了sba的论文列表here。
Q9 -- 使用sba时我需要什么？
为了能够使用所有的sba函数，必须安装LAPACK或者等价的库，检查
https://www.sodocs.net/doc/ad669275.html,/clapack的f2c'ed的免费版本。据报告上述站点上的预编译的MSWin库损坏了，需要使用工程文件重新构建。你也可以尝试这些预编译的MSWin LAPACK/BLAS 库。
Q10 -- 我怎么样编译sba？
首先，你必须保证在本地安装了LAPACK。如果你必须安装它，请遵循以下安装说明包括LAPACK的分发。第二步是编译sba本身。tar压缩包包含Unix/Linux 下使用gcc的makefile文件以及MSWin下使用Visual Studio的Makefile.vc。请阅读这些文件中的注释以获得更多信息。基于提供的makefile文件，它可以使用任何符合ANSI的编译器来直接编译。
Q11 -- 为什么我得到一个未确定的外部符号dgesdd的链接错误？
可能是因为你的LAPACK是旧的版本。Dgesdd在LAPACK3.0中引入。如果你不想升级，你可以选择使用稍微慢一点的dgesvd。Sba_lapack.c对于注释中的dgesvd 有类似的调用。
Q12 -- 不同的事物参数在哪里有详细的解释？
参考 ICS/FORTH TR-340: The Design and Implementation of a Generic Sparse Bundle Adjustment Software Package Based on the Levenberg-Marquardt Algorithm, by M.I.A. Lourakis and A.A. Argyros, 2004. 源代码中也包含了每个函数的每个参数的注释。
Q13 -- 怎样把sba改编为我自己的BA变体？
如上所述，sba在选择描述相机、三维结构和图像投影的函数关系和参数时非常灵活。因此，它可以支持许多种类的BA，包括任意投影或者仿射相机，部分地活着完全的本征标定相机，外方位元素（即姿态）估计，从特定的三维点、本征标定图像的三维重建，本征标定参数的精化，等等。为了把sba改编为一个特定的问题，用户必须对相机和三维结构选择一个合适的参数化方法，然后提供相应的投影函数以及它的函数行列式的实现代码。包括sba的演示程序更详细的阐述了处理几何BA问题的细节。
Q14 -- 如何计算sba重建的初始点？
由于BA涉及一个迭代最小化问题的解，不同参数的初始估计应该提供给sba。这种估计定义了一个初始的三维重建并且可以使用任何结构或者运动估计视觉算法来计算，如Hartley and Zisserman's的书里面描述的方法。
本文全部译自http://www.ics.forth.gr/~lourakis/sba/faq.html
Q15 -- sba对outlying数据稳健吗？
短的回答：No。
长的回答：假设图像点特征的局部误差时零平均的正态分布，BA是最大似然法估计。正是由于这个性质，使得BA如此强大，同时精化三维结构和viewing 参数。然而，注意，前述的假设不包括有gross outliers（即不匹配的特征）的情况。这些outlying特征应该在BA之前使用几何方法检测和消除。这种方法的更多的细节，在这里。
Q16 -- 怎样避免指定事务来计算投影函数行列式？
通过传入NULL作为函数行列式的对应参数，函数行列式在前向有限差分方法的辅助下进行计算。然而，注意，我们不推荐这种选择：为了获得最大的效率，我们建议提供一个函数解析的评估函数行列式。
Q17 -- 我们如何通过投影函数和函数行列式来传入和使用我们自己的数据？
设想你想传入两个数组，一个是double型的，一个是integer型的。一个快速并且有效的方法是使用全局变量。避免使用全局变量的最简单的方法是声明一个结构体如下
struct mydata{
double dar[XXX];
int iar[YYY];
};
其中XXX和YYY表示合适的数组大小。然后，定义一个结构体变量：
struct mydata data;
然后赋值：
data.dar[0]=7.0;
data.iar[0]=-17;
// etc
然后，调用合适sba程序，传入数据的地址作为参数，如：
ret=sba_motstr_levmar(..., proj, projac, (void *)&data, itmax, verbose, opts, info);
你的proj 和 projac 程序需要使用类型转换来解析提供的数据：
struct mydata *dptr;
dptr=(struct mydata *)adata; // adata is passed as void *
// supplied data can now be accessed as dptr->dar[0], etc
Q18 -- 我如何检验用户提供的jacobi行列式？
文件sba_chkjac.c包括检查传入BA函数的函数行列式的正确性（即用户提供的投影函数的一致性）函数。这些函数可以直接调用，通过将所有的
sba_XXX_levmar() 和 sba_XXX_levmar_x() 中的itmax的值指定为0。这种情况下，这些函数立即返回0。检查函数输出可能的梯度（即函数行列式的行）到stderr。然而，我们应该注意，这些函数并不是100%安全可靠的，因为他们依赖点的评估，他们可能报告函数行列式是正确的。解决这种问题的方法是试着检查其它点Point(s)处的函数行列式的正确性。参考sba_chkjac.c查看更多细节。同时，记住这些函数是为了检查解析函数行列式，而不是有限差分的数值近似。
Q19 -- 为什么我获得一个LAPACK错误：函数sba_Axb_Chol()中错误的因式分解？
完整的消息是这样的：
LAPACK error: the leading minor of order XX is not positive definite,the factorization could not be completed for dpotf2/dpotrf insba_Axb_Chol()。这意味着增广的法方程的基于Cholesky的算子在某次迭代时出错。理论上，待解决的系统矩阵应该是正定的，这样Cholesky是有效
的。然而由于数值误差，并不完全是这样的，并且这时Cholesky也无法因式分解。尽管如此，不会有什么损害，因为当一次迭代出错时，法方程的阻尼增加了，所以在接下去的迭代中它们的矩阵式正定的。换言之，这些错误不会影响收敛。为了阻止sba报错，注释掉sba_levmar.c中的对sba_Axb_Chol()的调用，而去掉sba_Axb_LU()的注释。这样我们就能够使用LU分解来取代Choleskyl来解法方程，并且可以避免警告。然而，注意，LU分解需要更长时间计算，所以以上更改会使sba运行的稍慢一些。
Q20 -- 为什么sba返回错误代码7（用户错误）？
这个错误在sba函数探测到用户生成的预测投影的一个或多个无效的（即，NaN 或者Inf）值返回。如果你使用自己的投影函数，那么就要保证他们被正确的编码了。对于投影函数，包括sba的演示程序，一般是由于对特定点的无效的初始估计；然而，它也可能是因为错误的初始相机参数。为了将引起问题的投影打印在屏幕上，重新运行eucsbademo，使verbosity level为2或者更高。这可以通过设置 eucsbademo.c中的verbose变量为2，然后重新编译来达到。
Q21 -- 演示程序解决哪些类型的光束法平差问题？
如Q7中所述，sba在光束法平差的参数化选择方面非常灵活。为了向用户展示几何光束法平差，demo目录包含了educsbademo程序。升级到1.3版本之前，eucsbademo只支持所有图像的相机本征参数相同的并且在光束法平差过程中保持不变的情况。从版本1.3开始，eucsbademo也支持图像的相机本征参数不同的并且在光束法平差过程中变化的情况。
Q22 -- 怎样更改本征参数的个数并在演示程序过程中保持不变？
eucsbademo程序支持BA的多种的相机本征参数，每个相机都不同（见Q21）。Eucsbademo支持不同数量的本征参数，并且在BA过程中保持不变。如：歪曲率保持不变，纵横比和歪曲率保持不变，纵横比、歪曲率和主点保持不变，更多细节可以在sba_driver()中的第一行找到。
Q23 -- 演示程序的输出在哪里？
一般情况下演示程序不产生输出；只有关于最小化的一些统计资料会被打印出来。为了在BA之后打印运动和/或结构参数到stdout，请编辑eucsbademo.c中的函数sba_driver()，并且去掉对prnt变量赋值的注释，将prnt赋值为
BA_MOTSTRUCT, BA_MOT 或者 BA_STRUCT。
Q24 -- 演示程序中的协定坐标系统是什么？
演示程序假设一个左手相机坐标系统，Z轴与相机光轴方向一致，并且指向场景。另一个左手系是世界坐标系统。请参考这里和这里观看图示。
Q25 -- 在哪里可以找到更多关于四元数的信息？
Eucsbademo演示程序包括sba使用四元数来表示旋转。更多关于四元数和旋转
的细节可以在Berthold Horn的笔记中找到。
Q26 -- 如何计算图像投影的协方差？
一个图像点的协方差只能够近似的计算；最常见的做法是使用图像深度的空间派生物。更多细节在这里given by Brooks et al. in What value covariance information in estimating vision parameters?, ICCV01, vol. I, pp. 302-308, Vancouver, IEEE Press, 2001.
Sba 迭代停止的原因
1 - stopped by small gradient J^T e
2 - stopped by small dp
3 - stopped by itmax
4 - stopped by small relative reduction in ||e||_2
5 - stopped by small ||e||_2
6 - too many attempts to increase damping. 增大mu，重启sba。
7 - stopped by invalid (i.e. NaN or Inf) "func" values. 投影函数或数据错误。
Sba 中的投影函数
Sba 的投影方程为
其中A即为sba中需要的相机标定矩阵（3′3），在传入的相机标定文件（calib.txt）中给出；K 为sba中的旋转矩阵（3′3），由相机文件（cams.txt）给出其对应的四元数；t为sba中的平移量（3′1），在相机文件(cams.txt)中直接给出。也可以修改sba 的投影函数calcImgProj，它文件imgproj.c 中。
2009-08-19 19:48
sba中非命令行参数的设置
在sba 工程中配置好传入的参数命令行参数为cams.txt pts.txt calib.txt，函数
sba_driver 中的几个变量的设置如下：
nconstframes=0;//nconstframe 表示前几幅图像的参数在平差过程中保持不变。这里我们
使所有图像都参与平差，因此设nconstframe 为0。
howto= BA_MOTSTRUCT;//howto 表示平差的方式，只对相机参数(motion)进行平差,只对
激光点坐标(structure)进行平差,还是一起平差？这里我们选择一起平差。expert=1;//sba 过程提供两个接口，一个是专家版（运算过程复杂，时间长，结果更精
确），以及普通版。这里我们选择专家版。
analyticjac=1;//使用解析方法计算投影方程的雅可比矩阵，还是近似计算雅可比矩阵？
这里我们选择解析方法，因为更准确。
prnt = BA_MOTSTRUCT；//打印相机参数的估计值，还是激光点参数的估计值？这里我
们选择同时打印。
计算过程如下：将sba中两个重要的宏SBA_INIT_MU 和SBA_STOP_THRESH置为默认值，或输出的图像点误差仍然不够小，或显示的迭代停止的原因代号为4，则减小SBA_INIT_MU，并将迭代的结果作为初值代入重新平差，直到输出的图像点误差足够小并且迭代停止的原理代号为1或2。以下是一组计算实例：
首先，将宏SBA_INIT_MU的值置为1E-03，SBA_STOP_THRESH的值置为1E-18。运行sba，得到如下结果（将平差值写入文件中）：
Starting BA with fixed intrinsic parameters
SBA using 19943 3D pts, 5 frames and 41563 image projections, 59859 variables
Method BA_MOTSTRUCT, expert driver, analytic Jacobian, fixed intrinsics, without covariances
SBA returned 6 in 6 iter, reason 2, error 827.631 [initial 2940.98], 6/6 func/fjac evals, 6 lin. systems
Elapsed time: 1.06 seconds, 1063.00 msecs
图像点误差为827.631，比较大。将宏SBA_INIT_MU的值置为1E-06，将运算结果作为初值，重新运行sba，得到如下结果：
Starting BA with fixed intrinsic parameters
LAPACK error: the leading minor of order 27 is not positive definite, the factorization could not be completed for dpotf2/dpotrf in
sba_Axb_Chol()
LAPACK error: the leading minor of order 27 is not positive definite, the factorization could not be completed for dpotf2/dpotrf in
sba_Axb_Chol()
LAPACK error: the leading minor of order 27 is not positive definite, the factorization could not be completed for dpotf2/dpotrf in
sba_Axb_Chol()
LAPACK error: the leading minor of order 27 is not positive definite, the factorization could not be completed for dpotf2/dpotrf in
sba_Axb_Chol()
LAPACK error: the leading minor of order 27 is not positive definite, the factorization could not be completed for dpotf2/dpotrf in
sba_Axb_Chol()
LAPACK error: the leading minor of order 27 is not positive definite, the factorization could not be completed for dpotf2/dpotrf in
sba_Axb_Chol()
LAPACK error: the leading minor of order 27 is not positive definite, the factorization could not be completed for dpotf2/dpotrf in
sba_Axb_Chol()
LAPACK error: the leading minor of order 27 is not positive definite, the factorization could not be completed for dpotf2/dpotrf in
sba_Axb_Chol()
SBA using 19943 3D pts, 5 frames and 41563 image projections, 59859 variables
Method BA_MOTSTRUCT, expert driver, analytic Jacobian, fixed intrinsics, without
covariances
SBA returned 1369 in 1369 iter, reason 4, error 0.300721 [initial 827.631], 1381
/1369 func/fjac evals, 1388 lin. systems
Elapsed time: 246.28 seconds, 246282.00 msecs
图像点误差为0.300721，已经足够小，但迭代停止的原因代号为4，所以将平差结果重新传入，重新运行sba，得到如下结果：
Starting BA with fixed intrinsic parameters
SBA using 19943 3D pts, 5 frames and 41563 image projections, 59859 variables
Method BA_MOTSTRUCT, expert driver, analytic Jacobian, fixed intrinsics, without
covariances
SBA returned 1 in 1 iter, reason 2, error 0.300721 [initial 0.300721], 1/1 func/
fjac evals, 1 lin. systems
Elapsed time: 0.19 seconds, 188.00 msecs
此时，图像点误差为0.300721，已经足够小，并且迭代停止的原因代号为2，所以平差值可以作为最后的结果，平差结束。得到三个文件“pts平差值.txt”、“cams平差值.txt”，“3DPoints平差值.txt”。
使用SBA(Sparse Bundle Adjustment)时应传入的的命令行参数
分两种情况：
1、当所有相机的内参数相同时（使用型号相同的相机或者所有相片使用同一相机拍摄）需传入三个命令行参数：
按顺序以空格或tab符间隔 cams.txt pts.txt calib.txt。
cams.txt为相机外参数文件，描述了每张照片的外参数。格式如下：
r a b c Xt Yt Zt
其中r a b c 为投影函数旋转矩阵对应的四元数（r为实部，a b c为虚部）。Xt Yt Zt为平移量。
pts.txt为激光点与图像点的匹配文件，格式如下：
X Y Z nframes frame0 x0 y0 frame1 x1 y1 ...
文件的每一行如上所示。X Y Z为激光点坐标。nframes为该激光点对应的图像
点的个数。后面是对nframes个图像点的描述。frame0 x0 y0 表示第frame0幅照片上图像坐标为x0 y0的像点，以此类推。
calib.txt由相机规格和相片大小决定的相机标定文件。跟计算机视觉中的相机标定矩阵一致。可以根据相机焦距、像元大小以及相片的宽度和高度写出相机标定文件calib.txt。比如，我们获得的焦距f = 28.1359mm，像元大小为8u，相片宽度为3000像素，高度为4500像素。那么我们得到的相机标定文件为：（通常不考虑相机坐标轴不平行的情况）
3516.9875 0.0 1500
0.0 3516.9875 2250
0.0 0.0 1.0
2、当相机的内参数不同时，需传入两个命令行参数：
camsvarK.txt pts.txt
因为相机的内参数不同，所以没有统一的相机标定文件。
这里，参数pts.txt不变。camsvarK.txt表示了每张照片对应的相机的内外参数。格式如下：
fu, u0, v0, ar, s quaternion translation
fu表示以像素为单位的焦距大小，u0,v0 表示像主点坐标。
比如，若焦距f = 28.1359mm，像元大小为8u，相片宽度为3000像素，高度为4500像素，则fu = 3516.9875,u0 = 1500,v0 = 2250。通常设ar=1,s=0。
**************************************************************
SBA
version 1.6
By Manolis Lourakis
Institute of Computer Science
Foundation for Research and Technology - Hellas
Heraklion, Crete, Greece
**************************************************************
==================== GENERAL ====================
This is sba, a copylefted C/C++ implementation of generic bundle adjustment
based on the sparse Levenberg-Marquardt algorithm. sba can support a wide
range of manifestations/parameterizations of the multiple view reconstruction
problem such as arbitrary projective cameras, partially or fully intrinsically
calibrated cameras, exterior orientation (i.e. pose) estimation from fixed 3D
points, etc. sba can be downloaded from http://www.ics.forth.gr/~lourakis/sba
sba relies on lapack for solving the augmented normal equations arising in the
course of the Levenberg-Marquardt algorithm. if you don't already have lapack,
I suggest getting clapack from https://www.sodocs.net/doc/ad669275.html,/clapack.
Directory demo contains eucsbademo, a working example of using sba for Euclidean
bundle adjustment.
More details regarding sba can be found in ICS/FORTH Technical Report No. 340
entitled "The Design and Implementation of a Generic Sparse Bundle Adjustment
Software Package Based on the Levenberg-Marquardt Algorithm", by M.I.A. Lourakis
and A.A. Argyros (available from http://www.ics.forth.gr/~lourakis/sba)
In case that you use sba in your published work, please include a reference to
the above TR:
@techreport{lourakis04,
author={M.I.A. Lourakis and A.A. Argyros},
title={The Design and Implementation of a Generic Sparse Bundle Adjustment Software Package
Based on the Levenberg-Marquardt Algorithm}
institution={Institute of Computer Science - FORTH},
address={Heraklion, Crete, Greece},
number={340},
year={2004},
month={Aug.},
note={Available from \verb+http://www.ics.forth.gr/~lourakis/sba+}
}
==================== FILES ====================
sba_levmar.c: SBA expert driver routines
sba_levmar_wrap.c: simple wrappers around the routines in sba_levmar.c
sba_lapack.c: LAPACK-based linear system solvers (LU, QR, SVD, Cholesky, Bunch-Kaufman) sba_crsm.c: CRS sparse matrix manipulation routines
sba_chkjac.c: routines for verifying the correctness of user-supplied jacobians
sba.h: Function prototypes & related data structures
demo/*: Euclidean BA demo; see demo/README.txt for more details
matlab/*: sba MEX-file interface; see matlab/README.txt for more details
utils/*: Various utilities; see utils/README.txt for more details
==================== COMPILING ====================
- On a Linux/Unix system, typing "make" will build both sba and the demo program.
- Under Windows and if Visual C is installed & configured for command line use, type "nmake /f Makefile.vc" in a cmd window to build sba and the demo program.
In case of trouble, read the comments on top of Makefile.vc
Send your comments/bug reports to lourakis@ics.forth.gr
测量平差复习题及答案
测量平差复习题及答案 一、综合题 1．已知两段距离的长度及中误差分别为cm m 5.4465.300±及cm m 5.4894.660±，试说明这两段距离的真误差是否相等？他们的精度是否相等？ 答：它们的真误差不一定相等；相对精度不相等，后者高于前者。 2．已知观测值向量 ???? ??=2121 L L L 的权阵为? ??? ????=32313132 LL P ，现有函数21L L X +=， 13L Y =,求观测值的权 1 L P ， 2 L P ，观测值的协因数阵XY Q 。 答：12/3L P =；22/3L P =；3XY Q = 3．在下图所示三角网中，A ．B 为已知点，41~P P 为待定点，已知32P P 边的边长和方位角 分别为 S 和 0α， 今测得角度1421,,,L L L 和边长21,S S ，若按条件平差法对该网进行平差： （1）共有多少个条件方程？各类条件方程各有多少个？ （2）试列出除图形条件和方位角条件外的其它条件方程（非线性条件方程不要求线性化） 答：（1）14216,6,10n t r =+=== ，所以图形条件：4个；极条件：2个；边长条件：2个；基线条件：1个；方位角条件：1个 （2）四边形14ABPP 的极条件（以1P 为极） ： 34131 241314????sin()sin sin 1????sin sin sin() L L L L L L L L +??=+ 四边形1234PP P P 的极条件（以4P 为极） ： 101168 91167????sin()sin sin 1????sin sin sin() L L L L L L L L +??=+
光束法平差-基本原理
1. 光束法平差模型： 在解析摄影测量中，将外方位元素和模型点坐标的计算放在一个整体内进行，此时称其为光束法。光束法平差是以共线方程式作为数学模型，像点的像平面坐标观测值是未知数的非线性函数，经过线性化后按照最小二乘法原理进行计算。该计算也是在提供一个近似解的基础上，逐次迭代来达到趋近于最佳值的。 ①.共线方程式的表达： 设S 为摄影中心，在世界坐标系下的坐标为（S X ,S Y ,S Z ）;M 为空间一点，在世界坐标系下的坐标为（X,Y,Z ），m 是M 在影像上的构象，其像平面和像空间辅助坐标分别为（x ，y ，-f ），（m m m Z Y X ,,），此时可知S 、m 、M 三点共线。可得（式3-5） λ===---ZS Z Zm YS Y Ym XS X Xm ……（式3-5） 再根据像平面坐标和像空间辅助坐标的关系有（式3-6） ???? ? ???????????????=??????????=??????????-m m m m m m T Z Y X c b a c b a c b a Z Y X f y x R *333222111 …… （式3-6） 由式3-5和式3-6可解得共线方程式为（式3-7） ) (3)(3)(3) (2)(2)(20) (3)(3)(3) (1)(1)(10ZS Z YS Y Xs X ZS Z YS Y Xs X ZS Z YS Y Xs X ZS Z YS Y Xs X c b a c b a f y y c b a c b a f x x -+-+--+-+--+-+--+-+--=--=- ……（式3-7） 其中，0x 、0y 、f 是影像内方位元素；表示像平面中心坐标和摄像机主距。 ②.共线方程式的线性化： 该方程式一次项展开式为（式3-8） Z Y X Zs Ys Xs Z Y X Zs Ys Xs d d d d d d d d d F F d d d d d d d d d F F Z Fy Y Fy X Fy Fy Fy Fy Zs Fy Ys Fy Xs Fy y y Z Fx Y Fx X Fx Fx Fx Fx Zs Fx Ys Fx Xs Fx X X ????????????????????????????????????+ + + + + + + + + =+++++++++=κω?κω?κ ω ? κω?00…（式3-8） 式中0X F 、0y F 为共线方程函数近似值，Xs d 、Ys d 、Zs d 、?d 、ωd 、κd 为外方位元素改正数，X d 、Y d 、Z d 为待定点的坐标改正数。 在保证共线条件下有： Zs Fy Z Fy Ys Fy Y Fy Xs Fy X Fy Zs Fx Z Fx Ys Fx Y Fx Xs Fx X Fx ????????????????????????-=-=-=-=-=-=,,,, ……（式3-9） 此时，根据式3-7以及旋转矩阵可得到（式3-10）： )(31111 Fx a f a a z Xs Fx +==?? )(31121Fx b f b a z Ys Fx +==?? )(31131 Fx c f c a z Zs Fx +==?? )(32211Fy a f a a z Xs Fy +==?? )(32221Fy b f b a z Ys Fy +== ?? )(32231Fy c f c a z Zs Fy +==?? ωκκκω?cos ]cos )sin cos ([sin 14f y x y a f x Fx +--== ?? …… （式3-10）
大学概率论习题五详解(1)
正文： 概率论习题五详解 1、设X 为离散型的随机变量，且期望EX 、方差DX 均存在，证明对任意0>ε,都有 ()2 εεDX EX X P ≤ ≥- 证明 设()i i p x X P == ,...2,1=i 则 ()()∑≥ -==≥-ε εEX x i i x X P EX X P ()i EX x i p EX x i ∑≥ --≤εε2 2 ()i i i p EX x ∑ -≤2 2ε=2 εDX 2、设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，请利用切比 雪夫不等式证明： ()12 16≤ ≥-Y X P 。 证 ()0=-Y X E ()1,cov ==DXDY Y X ρ ()()325,cov 2=-=-+=-Y X DY DX Y X D ()()()()()12 1 6662= -≤≥---=≥-Y X D Y X E Y X P Y X P 3、一枚均匀硬币要抛多少次才能使正面出现的频率与0.5之间的偏差不小于0.04的概率不 超过0.01？ 解设n X 为 n 次抛硬币中正面出现次数，按题目要求，由切比雪夫不等式可得 01.004.05.05.004.05.02≤??≤??? ? ??≥-n n X P n 从而有 1562504.001.025 .02 =?≥n 即至少连抛15625次硬币，才能保证正面出现频率与0.5的偏差不小于0.04的概率不超过0.01。 4、每名学生的数学考试成绩X 是随机变量，已知80=EX ，25=DX ，（1）试用切比雪夫不等式估计该生成绩在70分到90分之间的概率范围；（2）多名学生参加数学考试，要使他们的平均分数在75分到85分之间的概率不低于90%，至少要有多少学生参加考试？ 解 (1)由切比雪夫不等式 () 2 1ε εDX EX X P - ≥<- ()0>ε 又 ()()()101090709070≤-≤-=-≤-≤-=≤≤EX X P EX EX X EX P X P =()75.0100 25 11080=-≥≤-X P 即该生的数学考试成绩在70分到90分之间的概率不低于75% (2)设有n 个学生参加考试(独立进行)，记第i 个学生的成绩为i X ()n i i ...2,=，则平均成绩
matlab课后答案解析完整版
ones表示1矩阵 zeros表示0矩阵 ones(4)表示4x4的1矩阵 zeros(4)表示4x4的0矩阵 zeros(4,5)表示4x5的矩阵 eye(10,10)表示10x10的单位矩阵 rand(4,5)表示4x5的伴随矩阵 det(a)表示计算a的行列式 inv(a)表示计算a的逆矩阵 Jordan(a)表示求a矩阵的约当标准块rank(a)表示求矩阵a的秩 [v,d]=eig(a)对角矩阵 b=a’表示求a矩阵的转置矩阵 sqrt表示求平方根 exp表示自然指数函数 log自然对数函数 abs绝对值 第一章 一、5（1） b=[97 67 34 10;-78 75 65 5;32 5 -23 -59]; >> c=[97 67;-78 75;32 5;0 -12]; >> d=[65 5;-23 -59;54 7]; >> e=b*c e = 5271 11574 -11336 664 1978 3112 （2）a=50:1:100 二、1 、x=-74; y=-27; z=(sin(x.^2+y.^2))/(sqrt(tan(abs(x+y)) )+pi) z = -0.0901 2、a=-3.0:0.1:3.0; >> b=exp(-0.3*a).*sin(a+0.3) 3、x=[2 4;-0.45 5]; y=log(x+sqrt(1+x.^2))/2
y = 0.7218 1.0474 -0.2180 1.1562 4、a*b表示a矩阵和b矩阵相乘 a.*b表示a矩阵和b矩阵单个元素相乘A(m,n)表示取a矩阵第m行，第n列 A(m,:)表示取a矩阵第m行的全部元素A(:,n)表示取a矩阵的第n列全部元素 A./B表示a矩阵除以b矩阵的对应元素， B.\A等价于A./B A.^B表示两个矩阵对应元素进行乘方运算 A.^2表示a中的每个元素的平方 A^2表示A*A 例：x=[1,2,3]; y=[4,5,6]; z=x.^y z= 1 3 2 729 指数可以是标量（如y=2）.底数也可以是标量（如x=2） 5、a=1+2i; >> b=3+4i; >> c=exp((pi*i)/6) c = 0.8660 + 0.5000i d=c+a*b/(a+b) d = 1.6353 + 1.8462i 第二章 二、4、（1） y=0;k=0; >> while y<3 k=k+1; y=y+1/(2*k-1); end >> display([k-1,y-1/(2*k-1)]) ans =
测量平差练习题及参考答案
计算题 1、如图，图中已知A 、B 两点坐标，C 、D 、E 为待定点，观测了所有内角，试用条件平差的方法列出全部条件方程并线性化。 解：观测值个数 n =12，待定点个数t =3，多余观测个数r =n -2t =6 ① 图形条件4个： )180(0 )180(0 )180(0 )180(0 121110121110987987654654321321-++-==-++-++-==-++-++-==-++-++-==-++L L L w w v v v L L L w w v v v L L L w w v v v L L L w w v v v d d c c b b a a ② 圆周条件1个： )360(0963963-++-==-++L L L w w v v v e e ③ 极条件1个： ρ''--==----++)sin sin sin sin sin sin 1(0 cot cot cot cot cot cot 8 52741774411885522L L L L L L w w v L v L v L v L v L v L f f 3、如图所示水准网，A 、B 、C 三点为已知高程点， D 、E 为未知点，各观测高差及路线长度如下表所列。 用间接平差法计算未知点D 、E 的高程平差值及其中误差；
C 3、解：1）本题n=6，t=2，r=n-t=4； 选D 、E 平差值高程为未知参数2 1??X X 、 则平差值方程为： 1 615142322211?????????????X H h H X h H X h H X h H X h X X h A A B A B -=-=-=-=-=-= 则改正数方程式为： 6165154143232221211???????l x v l x v l x v l x v l x v l x x v --=-=-=-=-=--= 取参数近似值 255.24907.2220221011=+==++=h H X h h H X B B 、
摄影测量考试试题及详细答案
1摄影测量学 2航向重叠 3单像空间后方交会 4相对行高 5像片纠正 6解析空中三角测量 7透视平面旋转定律 8外方位元素 9核面 10绝对定向元素 一、填空 1摄影测量的基本问题，就是将_________转换为__________。 2物体的色是随着__________的光谱成分和物体对光谱成分固有不变的________、__________、和__________的能力而定的。 3人眼产生天然立体视觉的原因是由于_________的存在。 4相对定向完成的标志是__________。 5光束法区域网平差时，若像片按垂直于航带方向编号，则改化法方程系数阵带宽为_______，若按平行于航带方向编号，则带宽为_________。 三、简答题 1两种常用的相对定向元素系统的特点及相对定向元素。 2倾斜位移的特性。 3单行带法相对定向后，为何要进行比例尺归化？为何进行？ 4独立模型法区域网平差基本思想。 5何谓正形变换？有何特点？ 四、论述题 1空间后方交会的结算步骤。 2有三条航线，每条航线六张像片组成一个区域，采用光束法区域网平差。（1）写出整体平差的误差方程式的一般式。 （2）将像片进行合理编号，并计算带宽，内存容量。 （3）请画出改化法方程系数阵结构简图。 A卷答案： 一、 1是对研究的对象进行摄影，根据所获得的构想信息，从几何方面和物理方面加以分析研究，从而对所摄影的对象本质提供各种资料的一门学 科。 2供测图用的航测相片沿飞行方向上相邻像片的重叠。 3知道像片的内方位元素，以及三个地面点坐标和量测出的相应像点的坐标，就可以根据共线方程求出六个外方位元素的方法。 4摄影瞬间航摄飞机相对于某一索取基准面的高度。 5将中心投影转换成正射投影时，经过投影变换来消除相片倾斜所引起的像点位移，使它相当于水平相片的构象，并符合所规定的比例尺的变换过程。 6是将建立的投影光束，单元模型或航带模型以及区域模型的数字模型，根据少数地面控制点，按最小二乘法原理进行平差计算，并求加密点地面坐标的方法。7当物面和合面分别绕透视轴合线旋转后，只要旋转地角度相同，则投影射线总是通过物面和像面的统一相对应点。 8用以确定摄影瞬间摄影机或像片空间位置，即摄影光束空间位置的数据。
摄影测量程序汇总(后方交会+前方交会+单模型光束法平差)
程序运行环境为Visual Studio2010.运行前请先将坐标数据放在debug 下。 1.单像空间后方交会 C语言程序： #include 2014年分析化学课后作业参考答案 P25： 1．指出在下列情况下，各会引起哪种误差？如果是系统误差，应该采用什么方法减免？ （1） 砝码被腐蚀； （2） 天平的两臂不等长； （3） 容量瓶和移液管不配套； （4） 试剂中含有微量的被测组分； （5） 天平的零点有微小变动； （6） 读取滴定体积时最后一位数字估计不准； （7） 滴定时不慎从锥形瓶中溅出一滴溶液； （8） 标定HCl 溶液用的NaOH 标准溶液中吸收了CO 2。 答:（1）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。 （2）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。 （3）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。 （4）系统误差中的试剂误差。减免的方法：做空白实验。 （5）随机误差。减免的方法：多读几次取平均值。 （6）随机误差。减免的方法：多读几次取平均值。 （7）过失误差。 （8）系统误差中的试剂误差。减免的方法：做空白实验。 3．滴定管的读数误差为±0.02mL 。如果滴定中用去标准溶液的体积分别为2mL 和20mL 左右，读数的相对误差各是多少？从相对误差的大小说明了什么问题？ 解：因滴定管的读数误差为mL 02.0±，故读数的绝对误差mL a 02.0±=E 根据%100?T E = E a r 可得 %1%100202.02±=?±= E mL mL mL r %1.0%1002002.020±=?±=E mL mL mL r 这说明，量取两溶液的绝对误差相等，但他们的相对误差并不相同。也就是说，当被测定的量较大时，测量的相对误差较小，测定的准确程度也就较高。 4．下列数据各包括了几位有效数字？ （1）0.0330 (2) 10.030 (3) 0.01020 (4) 8.7×10-5 (5) pKa=4.74 (6) pH=10.00 答：（1）三位有效数字 （2）五位有效数字 （3）四位有效数字 （4） 两位有效数字 （5） 两位有效数字 （6）两位有效数字 9．标定浓度约为0.1mol ·L -1 的NaOH ，欲消耗NaOH 溶液20mL 左右，应称取基准物质H 2C 2O 4·2H 2O 多少克？其称量的相对误差能否达到0. 1%？若不能，可以用什么方法予以改善？若改用邻苯二甲酸氢钾为基准物，结果又如何？ 解：根据方程2NaOH+H 2C 2O 4·H 2O==Na 2C 2O 4+3H 2O 可知， 需H 2C 2O 4·H 2O 的质量m 1为： 《误差理论与测量平差基础》课程试卷A 2010-06-27 11:30:49 来源：《误差理论与测量平差基础》课程网站浏览：4次 武汉大学测绘学院 2007-2008学年度第二学期期末考试 《误差理论与测量平差基础》课程试卷A 出题者课程小组审核人 班级学号姓名成绩 一、填空题（本题共20个空格，每个空格1.5分，共30分） 1、引起观测误差的主要原因有（1）、（2）、（3）三个方面的因素，我们称这些因素为（4）。 2、根据对观测结果的影响性质，观测误差分为（5）、（6）、（7）三类，观测误差通过由于（8）引起的闭合差反映出来。 3、观测值的精度是指观测误差分布的（9）。若已知正态分布的观测误差落在区间的概率为95.5%，则误差的方差为（10），中误差为（11）。 4、观测值的权的定义式为（12）。若两条水准路线的长度为、，对应的权为2、1，则单位权观测高差为（13）。 5、某平差问题的必要观测数为，多余观测数为，独立的参数个数为。若，则平差的函数模型为（14）。若（15），则平差的函数模型为附有参数的条件平差。 6、观测值的权阵为，的方差为3，则的方差为（16）、 的权为（17）。 7、某点的方差阵为，则的点位方差为（18）、误差曲线的最大值为（19）、误差椭圆的短半轴的方位角为（20）。 二、简答题（本题共2小题，每题5分，共10分） 1、简述观测值的精度与精确度含义及指标。 在什么情况下二者相同？ 2、如图1所示，A、B、C、D为已知点，由A、C分别观测位于直线AC上的点。观测边长、及角度、。问此问题的多余观测数等于几？若采用条件平差法计算，试列出条件方程式（非线性方程不必线性化）。 图1 三、（10分）其它条件如上题（简答题中第2小题）。设方位角，观测边长，中误差均为，角度、的观测中误差为 。求平差后点横坐标的方差（取）。 四、（10分）采用间接平差法对某水准网进行平差，得到误差方程及权阵（取 ） （1）试画出该水准网的图形。 （2）若已知误差方程常数项，求每公里观测 第一章测试 1 【单选题】(1分) 2019年张祖勋院士提出的第三种摄影测量方式是什么？ A. 贴近摄影测量 B. 无人机摄影测量 C. 竖直摄影测量 D. 倾斜摄影测量 2 【单选题】(1分) 摄影测量与遥感相比，其优势在于： A. 地表温度反演 B. 辐射信息的使用 C. 能获得人眼看不到的地物属性 D. 获得地物精确的位置属性 3 【单选题】(1分) 解析摄影测量时代实现几何反转的方式是： A. 正射投影 B. 中心投影 C. 物理投影 D. 数字投影 4 【单选题】(1分) 与传统摄影测量相比，倾斜摄影测量的优势在于： A. 获得更清晰的建筑物顶部信息 B. 获得更清晰的建筑物侧面信息 C. 时间分辨率更高 D. 空间分辨率更高 5 【多选题】(1分) 按照成像距离的不同，摄影测量可以分为，即： A. 近景摄影测量 B. 显微摄影测量 C. 航空摄影测量 D. 航天摄影测量 6 【多选题】(1分) 在摄影测量发展历程中，使用数字投影的摄影测量阶段有： A. 三种都是 B. 模拟摄影测量 C. 解析摄影测量 D. 数字摄影测量 7 【多选题】(1分) 在摄影测量发展历程中，使用数字投影模拟像片的摄影测量阶段有： A. 三种都是 B. 数字摄影测量 C. 模拟摄影测量 D. 解析摄影测量 8 【判断题】(1分) 1988年前后，摄影测量与遥感又将两者被合并为一个概念。 A. 错 B. 对 9 【判断题】(1分) 模拟摄影测量阶段数据量最大。 A. 错 B. 对 10 【判断题】(1分) 数字影像航向重叠度可以小于60%。 A. 错 B. 对 正文： 概率论习题五详解 1、设X 为离散型的随机变量，且期望EX 、方差DX 均存在，证明对任意0>ε,都有 ()2 εεDX EX X P ≤ ≥- 证明 设()i i p x X P == ,...2,1=i 则 ()()∑≥ -==≥-ε εEX x i i x X P EX X P ()i EX x i p EX x i ∑≥ --≤εε2 2 ()i i i p EX x ∑ -≤2 2ε=2 εDX 2、设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为，请利用切比雪 夫不等式证明： ()12 16≤ ≥-Y X P 。 证 ()0=-Y X E ()1,cov ==DXDY Y X ρ ()()325,cov 2=-=-+=-Y X DY DX Y X D ()()()()()12 1 6662= -≤≥---=≥-Y X D Y X E Y X P Y X P 3、一枚均匀硬币要抛多少次才能使正面出现的频率与之间的偏差不小于的概率不超过 解设n X 为 n 次抛硬币中正面出现次数，按题目要求，由切比雪夫不等式可得 01.004.05.05.004.05.02≤??≤??? ? ??≥-n n X P n 从而有 1562504.001.025 .02 =?≥n 即至少连抛15625次硬币，才能保证正面出现频率与的偏差不小于的概率不超过。 4、每名学生的数学考试成绩X 是随机变量，已知80=EX ，25=DX ，（1）试用切比雪夫不等式估计该生成绩在70分到90分之间的概率范围；（2）多名学生参加数学考试，要使他们的平均分数在75分到85分之间的概率不低于90%，至少要有多少学生参加考试 解 (1)由切比雪夫不等式 () 2 1ε εDX EX X P - ≥<- ()0>ε 又 ()()()101090709070 ≤-≤-=-≤-≤-=≤≤EX X P EX EX X EX P X P =()75.0100 25 11080=-≥≤-X P 即该生的数学考试成绩在70分到90分之间的概率不低于75% (2)设有n 个学生参加考试(独立进行)，记第i 个学生的成绩为i X ()n i i ...2,=，则平均成 绩为∑==n i i X n X 11，又8011==∑=n i i EX n X E , n DX n X D 251== 第一章质点运动学 1、(习题1.1)：一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2 x =2t,y =4t 8-。（1）求质点的轨道方程；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。 解：（1）由x=2t 得， y=4t 2-8 可得： y=x 2 -8 即轨道曲线 （2）质点的位置 ： 2 2(48)r ti t j =+- 由d /d v r t =则速度： 28v i tj =+ 由d /d a v t =则加速度： 8a j = 则当t=1s 时，有 24,28,8r i j v i j a j =-=+= 当t=2s 时，有 48,216,8r i j v i j a j =+=+= 2、（习题1.2）： 质点沿x 在轴正向运动，加速度kv a -=，k 为常数．设从原点出发时速 度为0v ，求运动方程)(t x x =. 解： kv dt dv -= ??-=t v v kdt dv v 001 t k e v v -=0 t k e v dt dx -=0 dt e v dx t k t x -?? =0 00 )1(0 t k e k v x --= 3、一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式． 解： =a d v /d t 4=t d v 4=t d t ? ?=v v 0 d 4d t t t v 2=t 2 v d =x /d t 2=t 2 t t x t x x d 2d 0 20 ?? = x 2= t 3 /3+10 (SI) 4、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的 d d r t ，d d v t ，t v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1） 2gt 21h y -= 式（2） 201 ()(h -)2 r t v t i gt j =+ （2）联立式（1）、式（2）得 2 2 v 2gx h y -= （3） 0d -gt d r v i j t = 而落地所用时间 g h 2t = 所以 0d -2g h d r v i j t = d d v g j t =- 2 202y 2x )gt (v v v v -+=+= 21 20 212202)2(2])([gh v gh g gt v t g dt dv +=+= CXXXCCZ 中国矿业大学2008～2009学年第 二 学期 《 误差理论与测量平差 》试卷（B ）卷DDDDDEF2WT AW34CQ2 考试时间：100 分钟 考试方式：闭 卷 一、填空题 （共20分，每空 2 分） 1、如下图，其中A 、B 、C 为已知点，观测了5个角，若设L 1、L 5观测值的平 差值为未知参数2 1??X X 、，按附有限制条件的条件平差法进行平差时，必要观测个数为 ，多余观测个数为 ，一般条件方程个数为 ，限制条件方程个数为 A B C D E L 1L 2L 3 L 4 L 5 2、测量是所称的观测条件包括 、观测者、 3、已知某段距离进行了同精度的往返测量（L 1、L 2），其中误差cm 221==σσ，往返测的平均值的中误差为 ，若单位权中误差cm 40=σ，往返测的平均值的权为 4、已知某观测值X 、Y 的协因数阵如下，其极大值方向为 ，若单位权中误差为±2mm ，极小值F 为 mm 。 ??? ? ??--=0.15.05.00.2XX Q 二、已知某观测值X 、Y 的协因数阵如下，求X 、Y 的相关系数ρ。（10分） ??? ? ??--=25.015.015.036.0XX Q 三、设有一函数2535+=x T ，6712+=y F 其中： ? ? ?+++=+++=n n n n L L L y L L L x βββααα 22112211 αi ＝A 、βi =B （i ＝1，2，…，n ）是无误差的常数，L i 的权为p i =1，p ij ＝0（i ≠ j ）。（15分） 1）求函数T 、F 的权； 2）求协因数阵TF Ty Q Q 、。 四、如图所示水准网，A 、B 、C 三点为已知高程点， D 、E 为未知点，各观测高差及路线长度如下表所列。（20分） 用间接平差法计算未知点D 、E 的高程平差值及其中误差； C 双向解析光束法 光束法程序有问题，在Getelement这个函数里便出现索引超限，这个问题一直解决不了 光束法的流程： 1.根据同名像点对对相交理论求系数阵A，系数阵B和常数阵L a11=(a1f+a3x)/Z; a12=(b1f+b3x)/Z; a13=(c1f+c3x)/Z; a14=ysin(omega)-[x/f(xcos(kappa)-ysin(kappa))+fcos(kappa)]cos(omega); a15=-fsin(kappa)-x/f(xsin(kappa)+ycos(kappa)); a16=y; a21=(a2f+a3y)/Z; a22=(b2f+b3y)/Z; a23=(c2f+c3y); a24=-xsin(omega)-[x/f(xcos(kappa)-ysin(kappa))-fsin(kappa)]cos(omega) a25=-fcos(kappa)-y/f(xsin(kappa)+ycos(kappa)); a26=-x; 2.求方程的改化法方程求出外方位元素和物方坐标改正数 3.判断改正数的值，如果小于限差则输出结果 光束法是最严密的一种方法的原因： 在一张相片中，待定点与控制点的像点与摄影中心及相应地面点均构成一条光束，该方法是以每张相片所组成的一束光线作为平差的基本单元，已共线条件方程作为平差的基础方程，通过各个光束在空间中的旋转和平移，使模型之间公共点的光线实现最佳交汇，并使整个区域纳入到已知的地面控制点坐标系中，所以要建立全区域统一的误差方程，整体解求全区域内每张相片的六个外方位元素及所有待定点坐标，光束法区域网平差是基于摄影时像点，物点和摄站点三点共线提出来的。由单张相片构成区域，其平差的数学模型是共线条件方程，平差单元是单个光束，像点坐标是观测值，未知数是每张相片的外方位元素及所有待定点坐标。误差方程直接由像点坐标的观测值列出，能对像点坐标进行系统误差改正。 《 误差理论与测量平差 》试卷（D ）卷 考试时间：100 分钟 考试方式：闭 卷 一、填空题 （共20分，每空 2 分） 1、观测误差产生的原因为：仪器、 、 2、已知一水准网如下图，其中A 、B 为已知点，观测了8段高差，若设E 点高程 的平差值与B 、E 之间高差的平差值为未知参数2 1??X X 、，按附有限制条件的条件平差法（概括平差法）进行平差时，必要观测个数为 ，多余观测个数为 ，一般条件方程个数为 ，限制条件方程个数为 C B 3、取一长度为d 的直线之丈量结果的权为1，则长度为D 的直线之丈量结果的权为 ，若长度为D 的直线丈量了n 次，则其算术平均值的权为 。 4、已知某点(X 、Y)的协方差阵如下，其相关系数ρXY ＝ ，其点位方差为2 σ＝ mm 2 ??? ? ??=00.130.030.025.0XX D 二、设对某量分别进行等精度了n 、m 次独立观测，分别得到观测值 ),2,1(,n i L i =，),2,1(,m i L i =，权为p p i =，试求： 1）n 次观测的加权平均值] [] [p pL x n = 的权n p 2）m 次观测的加权平均值] [] [p pL x m = 的权m p 3）加权平均值m n m m n n p p x p x p x ++=的权x p （15分） 三、 已知某平面控制网中待定点坐标平差参数y x ??、的协因数为 ??? ? ??=2115.1??X X Q 其单位为()2 s dm ，并求得2?0''±=σ ，试用两种方法求E 、F 。（15分） 四、得到如下图所示，已知A 、B 点，等精度观测8个角值为： 222 概率论与数理统计 习题七 ( A ) 1、设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，n X X X ,,,21 为取自 X 的一个样本，试求参数p 的矩估计量与极大似然估计量. 解：由题意，X 的分布律为： ()(1),0k N k N P X k p p k N k -??==-≤≤ ??? . 总体X 的数学期望为 (1)(1) 011(1)(1) 1N N k N k k N k k k N N EX k p p Np p p k k ----==-????=-=- ? ?-???? ∑∑ 1((1))N Np p p Np -=+-= 则EX p N = .用X 替换EX 即得未知参数p 的矩估计量为?X p N =. 设12,,n x x x 是相应于样本12,,n X X X 的样本值，则似然函数 为 11 1211(,, ;)()(1) n n i i i i n n x nN x n i i i i N L x x x p P X x p p x ==- ==∑ ∑??===?- ??? ∏∏ 取对数 11 1ln ln ln ()ln(1)n n n i i i i i i N L x p nN x p x ===??=+?+-?- ???∑∑∑， 1 1 ln (1) n n i i i i x nN x d L dp p p ==-=- -∑∑. 223 令 ln 0d L dp =，解得p 的极大似然估计值为 11?n i i x n p N ==∑. 从而得p 的极大似然估计量为 11?n i i X X n p N N ===∑. 2,、设n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,X 的概率密度为 2 2,0(;)0, x x f x θ θθ?<，求θ的矩估计. 解：取n X X X ,,,21 为母体X 的一个样本容量为n 的样本，则 20 22 ()3 x EX xf x dx x dx θ θθ+∞ -∞ ==? =? ? 3 2 EX θ?= 用X 替换EX 即得未知参数θ的矩估计量为3 ?2 X θ =. 3、设12,, ,n X X X 总体X 的一个样本, X 的概率密度为 ?? ?? ?≤>=--0 ,0, 0, );(1x x e x x f x α λαλαλ 其中0>λ是未知参数，0>α是已知常数,求λ的最大似然估计. 解：设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数 为 旋转矩阵四元素法和光束法平差模型 1. 旋转矩阵的四元素表示法： 由于利用传统旋转矩阵表示法解算时,旋转阵中的三角函数存在多值性和奇异性,经常导致迭代计算的次数增加,甚至会出现不收敛情况。Pope 从四维代数出发,提出用四个代数参数d, a, b, c 构成R 矩阵,Hinsken 导出了一整套公式,即pope-hinsken 算法(简称P-H 算法),使pope 参数在实际摄影测量中得到了应用。设四个参数d, a, b, c 服从下列条件（如式3-1）: 12 222 =+++c b a d ………………（式3-1） 用这四个参数构造下列矩阵（如式3-2）: ????????? ???------=d a b c a d c b b c d a c b a d P ????? ? ??????------=d a b c a d c b b c d a c b a d a Q …………（式3-2） 可以知道P,Q 矩阵都是正交矩阵，从而可知（式3-3）： ???? ? ? ??????==0000001R PQ T …………（式3-3） 因 I P Q T X T T T PQ T 44==可知I R X T R 33=,R 为正交矩阵，其形式如（式3-4） ： ……（式3-4） 上式就是旋转矩阵R 的四元素表示法，可以表示任何一种旋转状态。 2. 光束法平差模型： 在解析摄影测量中，将外方位元素和模型点坐标的计算放在一个整体内进行，此时称其为光束法。光束法平差是以共线方程式作为数学模型，像点的像平面坐标观测值是未知数的非线性函数，经过线性化后按照最小二乘法原理进行计算。该计算也是在提供一个近似解的基础上，逐次迭代来达到趋近于最佳值的。 ①.共线方程式的表达： 设S 为摄影中心，在世界坐标系下的坐标为（S X ,S Y ,S Z ）;M 为空间一点，在世界坐标系下的坐标为（X,Y,Z ），m 是M 在影像上的构象，其像平面和像空间辅助坐标分别为（x ，y ，-f ），（m m m Z Y X ,,），此时可知S 、m 、M 三点共线。可得（式3-5） λ===---ZS Z Zm YS Y Ym XS X Xm ……（式3-5） 再根据像平面坐标和像空间辅助坐标的关系有（式3-6） 222 习题七 ( A ) 1、设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，n X X X ,,,21 为取自 X 的一个样本，试求参数p 的矩估计量与极大似然估计量. 解：由题意，X 的分布律为： ()(1),0k N k N P X k p p k N k -??==-≤≤ ??? . 总体X 的数学期望为 (1)(1) 011(1)(1) 1N N k N k k N k k k N N EX k p p Np p p k k ----==-????=-=- ? ?-???? ∑∑ 1((1))N Np p p Np -=+-= 则EX p N = .用X 替换EX 即得未知参数p 的矩估计量为?X p N =. 设12,,n x x x 是相应于样本12,,n X X X 的样本值，则似然函数为 11 1211(,,;)()(1) n n i i i i n n x nN x n i i i i N L x x x p P X x p p x ==- ==∑ ∑??===?- ??? ∏∏ 取对数 11 1ln ln ln ()ln(1)n n n i i i i i i N L x p nN x p x ===??=+?+-?- ???∑∑∑， 11 ln (1) n n i i i i x nN x d L dp p p ==-=--∑∑. 223 令 ln 0d L dp =，解得p 的极大似然估计值为 11?n i i x n p N ==∑. 从而得p 的极大似然估计量为 11?n i i X X n p N N ===∑. 2,、设n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,X 的概率密度为 2 2,0(;)0, x x f x θ θθ?<，求θ的矩估计. 解：取n X X X ,,,21 为母体X 的一个样本容量为n 的样本，则 20 22 ()3 x EX xf x dx x dx θ θθ+∞ -∞ ==? =? ? 3 2 EX θ?= 用X 替换EX 即得未知参数θ的矩估计量为3 ?2 X θ =. 3、设12,,,n X X X 总体X 的一个样本, X 的概率密度为 ?? ?? ?≤>=--0 ,0, 0, );(1x x e x x f x α λαλαλ 其中0>λ是未知参数，0>α是已知常数,求λ的最大似然估计. 解：设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为 《误差理论与测量平差》课程自测题（1） 一、正误判断。正确“T”，错误“F”。（30分） 1．在测角中正倒镜观测是为了消除偶然误差（）。 2．在水准测量中估读尾数不准确产生的误差是系统误差（）。 3．如果随机变量X和Y服从联合正态分布，且X与Y的协方差为0，则X与Y相互独立（）。4．观测值与最佳估值之差为真误差（）。 5．系统误差可用平差的方法进行减弱或消除（）。 6．权一定与中误差的平方成反比（）。 7．间接平差与条件平差一定可以相互转换（）。 8．在按比例画出的误差曲线上可直接量得相应边的边长中误差（）。 9．对同一量的N次不等精度观测值的加权平均值与用条件平差所得的结果一定相同（）。 10．无论是用间接平差还是条件平差，对于特定的平差问题法方程阶数一定等于必要观测数（）。 11．对于特定的平面控制网，如果按条件平差法解算，则条件式的个数是一定的，形式是多样的（）。 12．观测值L的协因数阵Q LL的主对角线元素Q ii不一定表示观测值L i的权（）。13．当观测值个数大于必要观测数时，该模型可被唯一地确定（）。 14．定权时σ0可任意给定，它仅起比例常数的作用（）。 15．设有两个水平角的测角中误差相等，则角度值大的那个水平角相对精度高（）。 二、用“相等”或“相同”或“不等”填空（8分）。 已知两段距离的长度及其中误差为300.158m±3.5cm; 600.686m±3.5cm。则： 1．这两段距离的中误差（）。 2．这两段距离的误差的最大限差（）。 3．它们的精度（）。 4．它们的相对精度（）。 三、选择填空。只选择一个正确答案（25分）。 1．取一长为d的直线之丈量结果的权为1，则长为D的直线之丈量结果的权P D=（）。 《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 2．运算规则（1）（2）（3）（4） 3．概率满足的三条公理及性质：（1）（2）（3）对互不相容的事件，有（可以取）（4）（5） （6），若，则，（7）（8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若，则（2）乘法公式：若为完备事件组，，则有（3）全概率公式： （4） Bayes公式： 7．事件的独立 性：独立（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分 布 1．离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）（3）对 任意， 2．连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）（2）； （3）对任意， 4．分布函数，具有以下性质（1）；（2）单调非降；（3）右连续；（4），特别；（5）对离散随机变量，； （6）为连续函数，且在连续点上， 5．正态分布的 概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有（1）；（2）；（3） 若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位 数，则 6．随机变量的函数（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导 数，，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量 1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2 （3）， 2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有 （1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积 4．二维正态分布 且； 5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关 于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对 二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性独立（1） 离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且 7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续 时， ；，； (3) 二维时， (4)； （5）；（6）；（7）独立时， 2．方差（1）方差，标准差（2）； （3）；（4）独立时， 3．协方差 （1）；；；（2）（3）；（4）时， 称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5） 4．相关系数；有， 5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律 3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布， 或，或分析化学课后作业答案解析
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