多目标优化问题

多目标优化方法

基本概述

几个概念

优化方法

一、多目标优化基本概述

现今,多目标优化问题应用越来越广,涉及诸多领域。在日常生活与工程中,经常要求不只一项指标达到最优,往往要求多项指标同时达到最优,大量得问题都可以归结为一类在某种约束条件下使多个目标同时达到最优得多目标优化问题。例如:在机械加工时,在进给切削中,为选择合适得切削速度与进给量,提出目标:1)机械加工成本最低2)生产率低3)刀具寿命最长;同时还要满足进给量小于加工余量、刀具强度等约束条件。

多目标优化得数学模型可以表示为:

X=[x1,x2,…,x n ]T ---------- n维向量

min F(X)=[f1(X),f2(X),…,f n(X)]T----------向量形式得目标函数

s、t、 g i(X)≤0,(i=1,2,…,m)

h j(X)=0,(j=1,2,…,k) --------设计变量应满足得约束条件

多目标优化问题就是一个比较复杂得问题,相比于单目标优化问题,在多目标优化问题中,约束要求就是各自独立得,所以无法直接比较任意两个解得优劣。

二、多目标优化中几个概念:最优解,劣解,非劣解。

最优解X*:就就是在X*所在得区间D中其函数值比其她任何点得函数值要小即f(X*)≤f(X),则X*为优化问题得最优解。

劣解X*:在D中存在X使其函数值小于解得函数值,即f(x)≤f(X*),

即存在比解更优

得点。

非劣解X*:在区间

D中不存在X使

f(X)全部小于解

得函数值f(X*)、

如图:在[0,1]中

X*=1为最优解

在[0,2]

中X*=a为劣解

在[1,2]中X*=b 为非劣解

多目标优化问题中绝对最优解存在可能性一般很小,而劣解没有意义,所以通常去求其非劣解来解决问题。 三、多目标优化方法

多目标优化方法主要有两大类:

1)直接法:直接求出非劣解,然后再选择较好得解

将多目标优化问题转化为单目标优化问题。 2)间接法 如:主要目标法、统一目标法、功效系数法等。 将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题。 如:分层系列法等。

1、主要目标法

求解时从多目标中选择一个目标作为主要目标,而其她目标只需满足一定要求即可,因此可将这些目标转化成约束条件,也就就是用约束条件得形式保证其她目标不致太差,这样就变成单目标处理方法。

例如:多目标函数f 1(x),f 2(x),、、、、、,f n (x)中选择f k (x)作为主要目标,这时问题变为求 min f k (x)

D={x|f min ≤f i (x)≤f max },D 为解所对应得其她目标函数应满足上下限。

2、统一目标法

通过某种方法将原来多目标函数构造成一个新得目标函数,从而将多目标函数转变为单目标函数求解。 ①线性加权与法

根据各目标函数得重要程度给予相应得权数,然后各目标函数与权数相乘再求与即构成单目标函数。例如:根据各目标函数f 1(X),f 2(X),、、、,f n (X)得重要程度,对应确定一组权数ω1,ω2,ωn

进行构造f(X)=ω1f 1+ω2f 2+…+ωn f n ,其中0ω 1ωi n

1i ≥=∑，

,于就是求f(X)得最优解即为多目标函数得最优解。(重点就是权数得确定) 下面介绍两种确定权数得方法:

1、容限法。求出各目标函数在区域得变化范围a ≤f(x)≤b,则取Δ=

2b a +为其容限,则权数为ω=21

?

。这种方法目得就是在评价函数中使子目标在数量级上达到统一平衡。

2、求出各目标函数得极小值f i *,然后分别取倒数作为各自得权数。 ②理想点法

一般很难使各子目标函数同时达到最优,但就是可以使各子目标尽可能接近目标,则可较好得求出非劣解,先用单目标优化法求出各

自得最优点X i *

与最优值f i *

,构造各评价函数f(X)={[]∑-n

1

2

*i i f )(f X }1/2,,

然后求极值min f,变为单目标优化问题。

在理想点法基础上如果再引入权数,则称为平方加权法。 3、功效系数法

功效系数法又叫功效函数法,它就是根据多目标规划原理,对每一项评价指标确定一个满意值与不允许值,以满意值为上限,以不允许值为下限.计算各指标实现满意值得程度,并以此确定各指标得分数,再经过加权平均进行综合,从而评价被研究对象得综合状况。运用功效系数法进行业绩评价,企业中不同得业绩因素得以综合,包括财务得与非财务得、定向得与非定量得。

多目标优化问题中各单目标函数要求不一,有得要求极大值,有得要求极小值,有得要求一个合适值,为了反映这些要求得不同,引入功效函数d i ,其值即为功效系数,规定d i ∈(0,1),当f i 满意时,d i =1;f i 不满意时,d i =0;请她情况取0-1之间得得数。这样组成评价函数n n 21d ...d d d =,d=1则最满意,d=0则有不符合要求得f 。

系数d i 得确定:先求出区间上各个目标函数得最大值f i max

与最小值f i min ,

在n 个子函数中,当某个子函数得值越大,功效系数越小时用公式 min

max max f －f (X)

f －f di =

求其功效系数; 反之用公式

min

max min

f －f f (X)－f di =求系数。功效系数法得基本思想就是先按各子目标

值得优劣分别求出其对应得功效系数,然后再构造评价函数 max f(X)=n n 21d ...d d 便可转化为单目标优化问题。 此方法特点:

1)直接按要求得性能指标来评价函数,直观,且初步试算后,调整方便;

2)无论各子目标得量级与量纲如何,最终都转化为在[0,1]区间取值,而且一旦有一个子目标达不到要求,则其相应得功效系数为0,从而使评价函数也为0,表明不能接受所得设计方案; 3)可以处理既非越大越好,也非越小越好得目标函数; 4、分层序列法 1)基本思想

将多目标优化问题中得n 个目标函数分清主次,按照其重要程度逐一排除,然后依次对各个目标函数求最优解,只就是后一目标应在前一目标最优解得集合域内寻优。

现

在假设f 1(x)最重

要,f2(x)其次,f3(x)再其次,依次类推。首先在域内对第一个目标函数f1(x)求解,求得最优解,然后在第一个目标函数得最优解集合域内,求第二个目标函数得最优值,也就就是将第一个目标函数转化成辅助约束。然后在第一个与第二个目标函数得辅助约束下求第三个目标函数得最优解,依次进行下去,最后求得最后得目标函数得最优解即为多目标优化问题得最优解。

2)特点。 在求解过程中可能会出现中断现象,使求解过程无法 继续进行下去。

当求解到第k 个目标函数得最优解就是唯一时,则再往后求第(k+1),(k+2),…、,n 个目标函数得解就完全没有意义了。尤其就是当求得得第一个目标函数得最优解就是唯一时,则失去了多目标优化得意义了。为此引入“宽容分层序列法”。这种方法就是将分层序列法中得最优解放宽要求,即求后一个函数得最优解时,就是前一个函数接近最优就行,如下图:

不作宽容时,x ~为最优解,但考虑f 2(x)后,则取)1(x 为最优解,这

时存在一个宽容值ε1,第一个函数也就存在一个误差。

多目标优化得主要方法及特点、思路与步骤

优化方法 主要 目标法 线性 加权法 理想点法 功效 系数法 分层序

列法

多目标优化实例和matlab程序教学教材

多目标优化实例和m a t l a b程序

精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 NSGA-II 算法实例 目前的多目标优化算法有很多, Kalyanmoy Deb 的带精英策略的快速非支配排序遗传算法(NSGA-II) 无疑是其中应用最为广泛也是最为成功的一种。本文用的算法是MATLAB 自带的函数gamultiobj ，该函数是基于NSGA-II 改进的一种多目标优化算法。 一、 数值例子 多目标优化问题 424221********* 4224212212112 12min (,)10min (,)55..55 f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x s t x =-++-=-++-≤≤??-≤≤? 二、 Matlab 文件 1． 适应值函数m 文件： function y=f(x) y(1)=x(1)^4-10*x(1)^2+x(1)*x(2)+x(2)^4-x(1)^2*x(2)^2; y(2)=x(2)^4-x(1)^2*x(2)^2+x(1)^4+x(1)*x(2); 2． 调用gamultiobj 函数，及参数设置： clear clc fitnessfcn=@f; %适应度函数句柄 nvars=2; %变量个数 lb=[-5,-5]; %下限 ub=[5,5]; %上限 A=[];b=[]; %线性不等式约束 Aeq=[];beq=[]; %线性等式约束 options=gaoptimset('paretoFraction',0.3,'populationsize',100,'generations' ,200,'stallGenLimit',200,'TolFun',1e-100,'PlotFcns',@gaplotpareto); % 最优个体系数paretoFraction 为0.3；种群大小populationsize 为 100，最大进化代数generations 为200， % 停止代数stallGenLimit 为200， 适应度函数偏差TolFun 设为1e- 100，函数gaplotpareto ：绘制Pareto 前端 [x,fval]=gamultiobj(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)

浅析多目标优化问题

浅析多目标优化问题 【摘要】本文介绍了多目标优化问题的问题定义。通过对多目标优化算法、评估方法和测试用例的研究，分析了多目标优化问题所面临的挑战和困难。 【关键词】多目标优化问题；多目标优化算法；评估方法；测试用例 多目标优化问题MOPs （Multiobjective Optimization Problems）是工程实践和科学研究中的主要问题形式之一，广泛存在于优化控制、机械设计、数据挖掘、移动网络规划和逻辑电路设计等问题中。MOPs有多个目标，且各目标相互冲突。对于MOPs，通常存在一个折衷的解集（即Pareto最优解集），解集中的各个解在多目标之间进行权衡。获取具有良好收敛性及分布性的解集是求解MOPs的关键。 1 问题定义 最小化MOPs的一般描述如下： 2 多目标优化算法 目前，大量算法用于求解MOPs。通常，可以将求解MOPs的算法分为两类。 第一类算法，将MOPs转化为单目标优化问题。算法为每个目标设置权值，通过加权的方式将多目标转化为单目标。经过改变权值大小，多次求解MOPs 可以得到多个最优解，构成非支配解集[1]。 第二类算法，直接求解MOPs。这类算法主要依靠进化算法。进化算法这种面向种群的全局搜索法，对于直接得到非支配解集是非常有效的。基于进化算法的多目标优化算法被称为多目标进化算法。根据其特性，多目标进化算法可以划分为两代[2]。 （1）第一代算法：以适应度共享机制为分布性策略，并利用Pareto支配关系设计适应度函数。代表算法如下。VEGA将种群划分为若干子种群，每个子种群相对于一个目标进行优化，最终将子种群合并。MOGA根据解的支配关系，为每个解分配等级，算法按照等级为解设置适应度函数。NSGA采用非支配排序的思想为每个解分配虚拟适应度值，在进化过程中，算法根据虚拟适应度值采用比例选择法选择下一代。NPGA根据支配关系采用锦标赛选择法，当解的支配关系相同时，算法使用小生境技术选择最优的解进入下一代。 （2）第二代算法：以精英解保留机制为特征，并提出了多种较好的分布性策略。代表算法如下。NSGA-II降低了非支配排序的复杂度，并提出了基于拥挤距离的分布性策略。SPEA2提出了新的适应度分配策略和基于环境选择的分布性策略。PESA-II根据网络超格选择个体并使用了基于拥挤系数的分布性策略。

多目标优化实例和matlab程序

NSGA-II 算法实例 目前的多目标优化算法有很多, Kalyanmoy Deb 的带精英策略的快速非支配排序遗传算法(NSGA-II) 无疑是其中应用最为广泛也是最为成功的一种。本文用的算法是MATLAB 自带的函数gamultiobj ，该函数是基于NSGA-II 改进的一种多目标优化算法。 一、 数值例子 多目标优化问题 424221********* 4224212212112 12min (,)10min (,)55..55 f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x s t x =-++-=-++-≤≤??-≤≤? 二、 Matlab 文件 1． 适应值函数m 文件： function y=f(x) y(1)=x(1)^4-10*x(1)^2+x(1)*x(2)+x(2)^4-x(1)^2*x(2)^2; y(2)=x(2)^4-x(1)^2*x(2)^2+x(1)^4+x(1)*x(2); 2． 调用gamultiobj 函数，及参数设置： clear clc fitnessfcn=@f; %适应度函数句柄 nvars=2; %变量个数 lb=[-5,-5]; %下限 ub=[5,5]; %上限 A=[];b=[]; %线性不等式约束 Aeq=[];beq=[]; %线性等式约束 options=gaoptimset('paretoFraction',0.3,'populationsize',100,'generations', 200,'stallGenLimit',200,'TolFun',1e-100,'PlotFcns',@gaplotpareto); % 最优个体系数paretoFraction 为0.3；种群大小populationsize 为100，最大进化代数generations 为200， % 停止代数stallGenLimit 为200， 适应度函数偏差TolFun 设为1e-100，函数gaplotpareto ：绘制Pareto 前端 [x,fval]=gamultiobj(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)

多目标优化问题

多目标优化方法 基本概述 几个概念 优化方法 一、多目标优化基本概述 现今,多目标优化问题应用越来越广,涉及诸多领域。在日常生活与工程中,经常要求不只一项指标达到最优,往往要求多项指标同时达到最优,大量的问题都可以归结为一类在某种约束条件下使多个目标同时达到最优的多目标优化问题。例如:在机械加工时,在进给切削中,为选择合适的切削速度与进给量,提出目标:1)机械加工成本最低2)生产率低3)刀具寿命最长;同时还要满足进给量小于加工余量、刀具强度等约束条件。 多目标优化的数学模型可以表示为: X=[x1,x2,…,x n ]T----------n维向量 min F(X)=[f1(X),f2(X),…,f n(X)]T----------向量形式的目标函数s、t、g i(X)≤0,(i=1,2,…,m) h j(X)=0,(j=1,2,…,k)--------设计变量应满足的约束条件多目标优化问题就是一个比较复杂的问题,相比于单目标优化问题,在多目标优化问题中,约束要求就是各自独立的,所以无法直接比较任意两个解的优劣。 二、多目标优化中几个概念:最优解,劣解,非劣解。 最优解X*:就就是在X*所在的区间D中其函数值比其她任何点的函数

值要小即f(X*)≤f(X),则X*为优化问题的最优解。 劣解X*:在D中存在X使其函数值小于解的函数值,即f(x)≤f(X*), 即存在比解更优的点。 非劣解X*:在区间D中不存在X使f(X)全部小于解的函数值f(X*)、 如图:在[0,1]中 X*=1为最优解 在[0,2]中 X*=a为劣解 在[1,2]中 X*=b为非劣解 多目标优化 问题中绝对最优 解存在可能性一般很小,而劣解没有意义,所以通常去求其非劣解来解决问题。 三、多目标优化方法 多目标优化方法主要有两大类: 1)直接法:直接求出非劣解,然后再选择较好的解 将多目标优化问题转化为单目标优化问题。 2)间接法如:主要目标法、统一目标法、功效系数法等。 将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题。 如:分层系列法等。

一种基于改进遗传算法的多目标动态调度优化

一种基于改进遗传算法的多目标动态调度优化 连坤雷,张超勇,高 亮,张朝阳 (华中科技大学数字制造装备与技术国家重点实验室,湖北武汉 430074) 摘要:静态调度问题一般是NP-hard 问题,而动态调度问题的性能指标比静态调度的更为复杂,并且以多目标综合性能指标居多。在系统地研究了多目标动态作业车间调度问题的基础上,运用滚动窗口技术和改进的遗传算法来解决动态调度问题。滚动窗口技术将调度过程分成连续静态调度区间,在每个区间内用多目标遗传算法进行调度优化。最后开发了面向应用的动态调度原型系统,并对改进的Job-shop 基准实例进行仿真试验,证明了提出策略的可行性和有效性。关键词:作业车间调度;动态调度;遗传算法;滚动窗口 中图分类号:TP301 文献标识码:A 文章编号:1672-1616(2010)03-0013-05 传统的静态调度模型不能适应实际生产调度环境的动态性、随机性、多目标等特点,Jackson 在1957年最早给出了动态调度的概念。动态调度问题的提出主要是因为存在新订单到达、零件报废或返工、交货期变更以及机器故障、原材料延迟到达等一系列随机干扰因素,迫使原定的生产计划被打乱。为了保证生产过程的顺利进行,就需要根据系统中工件的状况不断地进行重新调度。 对于动态调度,很难用传统的整数规划法来解决实际问题。随着计算机技术的迅速发展,人工智能、仿真方法、滚动窗口再调度方法和元启发式算法等为动态调度的研究开辟了新思路,也为生产调度的实用化奠定了基础。人工智能和专家系统方法能够根据系统的当前状态和给定优化目标,对知识库进行搜索,选择最优的调度策略。但这种方法对新环境的适应性差、开发周期长、成本高。离散系统仿真方法通过建立仿真模型来模拟实际的生产环境,但是由于仿真本身具有实验的特点,很难从特定的试验中提炼出一般规律。滚动窗口再调度(rolling horizon rescheduling )是Nelson 等在1977年最早提出的,它的基本思想是把动态调度过程分成多个连续的调度区间,然后对各个调度区间进行在线优化,达到每个区间内最优,从而使得调度方案能适应复杂多变的动态环境。正是基于这些优点,滚动窗口再调度得到了较广泛的关注和应用 [1,2] 。 在元启发式算法中,遗传算法具有操作简单、高效性、鲁棒性、通用性强和仅根据个体的适应度值进行搜索等特点,在动态调度研究中得到广泛应用。本节结合实际生产情况,将多目标遗传算法和滚动窗口再调度技术结合,设计了一种动态调度优化策略,研究了原材料延期到达、工序加工时间延误和装配延误等突发事件的发生,以及紧急工件加入或计划工件不断到达等动态事件的处理。其他许多类型问题的处理均可借鉴于此。 1 动态调度问题的描述 在静态调度问题中,n 个工件在m 台机器上加工,当各工件在每台机器上的加工顺序确定后,所有工件的调度方案就被确定。然而在实际的制造系统中可能发生新订单到达、机器故障、原料延迟到达等意外事件,需要对加工顺序重新调度。动态调度是把车间生产看成一个动态过程,工件依次进入待加工状态,各种工件不断进入系统接受加工,同时完成加工的工件又不断离开。引起车间调度环境变化,从而需要进行动态调度的事件称为动态事件。动态事件的种类有多种,主要可分成以下4类。 a.与工件相关的事件:包括工件随机到达、工件加工时间不确定、交货期变化、动态优先级和订单变化。 b.与机器相关的事件:包括机器损坏、负载有 收稿日期:2009-07-30 基金项目:国家高技术研究发展计划(863)项目(2007AA04Z107,2007AA04Z190,2006AA04Z131);湖北省教育厅中青年项目资助(Q20092303)作者简介:连坤雷(1987-),男,河南开封人,华中科技大学硕士研究生,主要研究方向为车间调度。 13 #企业管理与信息化# 连坤雷 张超勇 高 亮等 一种基于改进遗传算法的多目标动,,

多目标优化算法与求解策略

多目标优化算法与求解策略 2多目标优化综述 2.1多目标优化的基本概念 多目标优化问题(Multi-objective Optimization Problem，MOP)起源于许多实际复杂系统的设计、建模和规划问题，这些系统所在的领域包括工业制造、城市运输、资本预算、森林管理、水库管理、新城市的布局和美化、能量分配等等。几乎每个重要的现实生活中的决策问题都要在考虑不同的约束的同时处理若干相互冲突的目标，这些问题都涉及多个目标的优化，这些目标并不是独立存在的，它们往往是祸合在一起的互相竞争的目标，每个目标具有不同的物理意义和量纲。它们的竞争性和复杂性使得对其优化变得困难。 多目标最优化是近20多年来迅速发展起来的应用数学的一门新兴学科。它研究向量目标函数满足一定约束条件时在某种意义下的最优化问题。由于现实世界的大量问题，都可归结为含有多个目标的最优化问题，自70年代以来，对于多目标最优化的研究，在国内和国际上都引起了人们极大的关注和重视。特别是近10多年来，理论探索不断深入，应用范围日益广泛，研究队伍迅速壮大，显示出勃勃生机。同时，随着对社会经济和工程设计中大型复杂系统研究的深入，多目标最优化的理论和方法也不断地受到严峻挑战并得到快速发展。近几年来，将遗传算法(Genetic Algorithm，GA)应用于多目标优化问题成为研究热点，这种算法通常称作多目标优化进化算法或多目标优化遗传算法。由于遗传算法的基本特点是多方向和全局搜索，这使得带有潜在解的种群能够一代一代地维持下来。从种群到种群的方法对于搜索Pareto解来说是十分有益的。 一般说来，科学研究与工程实践中许多优化问题大都是多目标优化问题。多目标优化问题中各目标之间通过决策变量相互制约，对其中一个目标优化必须以其它目标作为代价，而且各目标的单位又往往不一致，因此很难客观地评价多目标问题解的优劣性。与单目标优化问题的本质区别在于，多目标优化问题的解不是唯一的，而是存在一个最优解集合，集合中

多目标优化的求解方法

多目标优化的求解方法 多目标优化(MOP)就是数学规划的一个重要分支,就是多于一个的数值目标函数在给定区域上的最优化问题。 多目标优化问题的数学形式可以描述为如下: 多目标优化方法本质就是将多目标优化中的各分目标函数,经处理或数学变换,转变成一个单目标函数,然后采用单目标优化技术求解。目前主要有以下方法: （1）评价函数法。常用的方法有:线性加权与法、极大极小法、理想点法。评价函数法的实质就是通过构造评价函数式把多目标转化为单目标。 (2)交互规划法。不直接使用评价函数的表达式,而就是使决策者参与到求解过程,控制优化的进行过程,使分析与决策交替进行,这种方法称为交互规划法。常用的方法有:逐步宽容法、权衡比替代法,逐次线性加权与法等。 (3)分层求解法。按目标函数的重要程度进行排序,然后按这个排序依次进行单目标的优化求解,以最终得到的解作为多目标优化的最优解。 而这些主要就是通过算法来实现的, 一直以来很多专家学者采用不同算法解决多目标优化问题, 如多目标进化算法、多目标粒子群算法与蚁群算法、模拟退火算法及人工免疫系统等。 在工程应用、生产管理以及国防建设等实际问题中很多优化问题都就是多目标优化问题, 它的应用很广泛。 1)物资调运车辆路径问题 某部门要将几个仓库里的物资调拨到其她若干个销售点去, 在制定调拨计划时一般就要考虑两个目标, 即在运输过程中所要走的公里数最少与总的运输费用最低, 这就是含有两个目标的优化问题。利用首次适配递减算法与标准蚁群算法对救灾物资运输问题求解, 求得完成运输任务的最少时间, 将所得结果进行了比较。 2)设计 如工厂在设计某种新产品的生产工艺过程时, 通常都要求产量高、质量好、成本低、消耗少及利润高等, 这就就是一个含有五个目标的最优化问题; 国防部门在设计导弹时, 要考虑导弹的射程要远、精度要最高、重量要最轻以及消耗燃料要最省等,这就就是一个含有四个目标的最优化问题。Jo等人将遗传算法与有限元模拟软件结合

有关多目标优化设计完整过程

有关多目标优化设计完整过程 由于做项目，我在仿真论坛上搜索过N次，只是查到说多目标要用加权和方法。但是没有具体步骤，经过一些时间郁闷，看了几天的help，终于搞出来了。 我的经验如下，不一定正确（我个人感觉是正确的），我用的是9.0版。我只是把我发现在问题，解决问题的过程说出来，可能语句不太通顺。 1. 我们用optistruct时只能有一个objective.如下图： 我只用过min,其他三个我没有用过。特别是后两个，谁用过说一下。 2.我们可以设置多个response,可以把很多response用dconstraint约束，但是只能有一个objective。有时我们需要同时满足某几个response的最小值或是最大值。但是deconstraint 只能设置response的上限或是下，不能设置为min或是max。（听说可以将上限和下限设置成相近的值可以使约束近似定为某一确定的值）。 3.多目标其实在help里有说明，如下。 DRESP2 – Design Response via equations for design optimization Description When a desired response is not directly available from OptiStruct, it may be calculated using DRESP2. This response can be a functional combination of any set of responses that are the result of a design analysis iteration. These responses can be used as a design objective or as design constraints. The DRESP2 card identifies the equation to use for the response relationship and the input values to evaluate the response function. 我看过一些论文，现在还没有什么新的理论可以实现多目标（可能我没有发现），现在对多目标的处理情况是response用函数关联起来，将不同的response设置为函数的变量，把多目标处理成为一个单目标。方程形式如下：f=w1*response1+w2*response2 W1,w2 为权值。

多目标优化问题

多目标优化方法 基本概述几个概念优化方法 一、多目标优化基本概述 现今，多目标优化问题应用越来越广，涉及诸多领域。在日常生活和工程中，经常要求不只一项指标达到最优，往往要求多项指标同时达到最优，大量的问题都可以归结为一类在某种约束条件下使多个目标同时达到最优的多目标优化问题。例如：在机械加工时，在进给切削中，为选择合适的切削速度和进给量，提出目标：1)机械加工 成本最低2)生产率低3)刀具寿命最长；同时还要满足进给量小于加工余量、刀具强度等约束条件。 多目标优化的数学模型可以表示为： X=[x i,x 2,…,x n ] T ---------------------------------- n 维向量 min F(X)=[f i(X),f 2(X),…,f n(X)] T- --------- 向量形式的目标 函数 s.t. g i(X) < 0,(i=1,2,…,m) h j (X)=0,(j=1,2,…,k) ------ 设计变量应满足的约 束条件 多目标优化问题是一个比较复杂的问题，相比于单目标优化问题，在 多目标优化问题中，约束要求是各自独立的，所以无法直接比较任意两个解的优劣。 二、多目标优化中几个概念：最优解，劣解，非劣解。 最优解X*:就是在乂所在的区间D中其函数值比其他任何点的函数值要小即f(X *)

如图：在［0,1］ 中 X*=1为最优解 在［0,2］ 中X*=a为劣解 在［1,2］ 中X*=b为非劣解 多目标优化问 题中绝对最优解存 在可能性一般很 小，而劣解没有 意义，所以通常去 求其非劣解来解决 问题。 三、多目标优化方法 多目标优化方法主要有两大类： 1)直接法：直接求出非劣解，然后再选择较好的解 将多目标优化问题转化为单目标优化问题。 2)间接法女口：主要目标法、统一目标法、功效系数法等。 将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题。女口：分层系列法等。 1、主要目标法 求解时从多目标中选择一个目标作为主要目标，而其他目标只需满足一定要求即可，因此可将这些目标转化成约束条件，也就是用约束条件的形式保证其他目标不致太差，这样就变成单目标处理方法。 例如：多目标函数f 1(X),f 2(X),.?…,f n(X)中选择f k(X)作为主 要目标，这时问题变为求min f k(x) D={x|f min < f i(X)< f ma》,D为解所对应的其他目标函数应满足上下限。 2、统一目标法 通过某种方法将原来多目标函数构造成一个新的目标函数，从而将多目标函数转变为单目标函数求解。 ①线性加权和法 根据各目标函数的重要程度给予相应的权数，然后各目标函数与

多目标优化的求解方法

多目标优化的求解方法 多目标优化（MOP）是数学规划的一个重要分支，是多于一个的数值目标函数在给定区域上的最优化问题。 多目标优化问题的数学形式可以描述为如下： 多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。目前主要有以下方法： （1）评价函数法。常用的方法有:线性加权和法、极大极小法、理想点法。评价函数法的实质是通过构造评价函数式把多目标转化为单目标。 （2）交互规划法。不直接使用评价函数的表达式，而是使决策者参与到求解过程，控制优化的进行过程，使分析和决策交替进行，这种方法称为交互规划法。常用的方法有：逐步宽容法、权衡比替代法，逐次线性加权和法等。 （3）分层求解法。按目标函数的重要程度进行排序，然后按这个排序依次进行单目标的优化求解，以最终得到的解作为多目标优化的最优解。 而这些主要是通过算法来实现的, 一直以来很多专家学者采用不同算法解决多目标优化问题, 如多目标进化算法、多目标粒子群算法和蚁群算法、模拟退火算法及人工免疫系统等。

在工程应用、生产管理以及国防建设等实际问题中很多优化问题都是多目标优化问题, 它的应用很广泛。 1)物资调运车辆路径问题 某部门要将几个仓库里的物资调拨到其他若干个销售点去, 在制定调拨计划时一般就要考虑两个目标, 即在运输过程中所要走的公里数最少和总的运输费用最低, 这是含有两个目标的优化问题。利用首次适配递减算法和标准蚁群算法对救灾物资运输问题求解, 求得完成运输任务的最少时间, 将所得结果进行了比较。 2)设计 如工厂在设计某种新产品的生产工艺过程时, 通常都要求产量高、质量好、成本低、消耗少及利润高等, 这就是一个含有五个目标的最优化问题; 国防部门在设计导弹时, 要考虑导弹的射程要远、精度要最高、重量要最轻以及消耗燃料要最省等,这就是一个含有四个目标的最优化问题。Jo等人将遗传算法与有限元模拟软件结合应用于汽车零件多工序冷挤压工艺的优化。Chung等人也成功应用遗传算法对锻件工艺进行了优化。 3)投资 假设某决策部门有一笔资金要分配给若干个建设项目, 在确定投资方案时, 决策者总希望做到投资少收益大。Branke等人采用基于信封的多目标进化算法成功地解决了计划投资地选择问题。 4)模拟移动床过程优化与控制 一个工业化模拟移动床正常运行时, 一般有七股物料进、出吸附塔, 其中起关键作用的物料口将作为决策量引起目标值的变化。根据实际生产要求通常包括生产率、产品纯度、吸附剂消耗量等多个目标。模拟移动床分离过程由于其过程操作变量的强耦合性、工艺机理的复杂性及分离性能的影响因素繁多性, 需要众多学者对其操作优化和过程控制进行深入的研究。Huang等人利用TPS 算法解决了模拟移动床多个冲突目标的最大最小的问题, 并与NSGA2 算法的结果进行了比较。吴献东等人运用粒子群算法开发出一种非线性模拟移动床( SMB )色谱分离过程的优化策略。 5)生产调度 在离散制造生产系统中, 一个工件一般经过一系列的工序加工完成, 每道工序需要特定机器和其他资源共同完成, 各工件在各机器上的加工顺序(称技术约束条件)通常是事先给定的。车间调度的作用

多目标最优化数学模型

第六章最优化数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 1．2 最优化问题分类 1．3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2．1 无约束条件极值 2．2 等式约束条件极值2．3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3．1 线性规划 3．2 整数规划 §4 最优化问题数值算法4．1 直接搜索法 4．2 梯度法 4．3 罚函数法 §5 多目标优化问题 5．1 多目标优化问题 5．2 单目标化解法 5．3 多重优化解法 5．4 目标关联函数解法5．5 投资收益风险问题

第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 （1）最优化问题 在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。 最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。 最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。 （2）变量 变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。 设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X =表示。 （3）约束条件 在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。 例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。 用数学语言描述约束条件一般来说有两种： 等式约束条件 m i X g i ,,2,1,0)( == 不等式约束条件 r i X h i ,,2,1, 0)( =≥ 或 r i X h i ,,2,1, 0)( =≤ 注：在最优化问题研究中，由于解的存在性十分复杂，一般来说，我们不考虑不等式约束条件0)(>X h 或0)(

多目标优化进化算法比较综述

龙源期刊网 https://www.sodocs.net/doc/834782465.html, 多目标优化进化算法比较综述 作者：刘玲源 来源：《决策与信息·下旬刊》2013年第07期 摘要多目标优化是最优化领域的一个重要研究方向，本文简要介绍了多目标优化的模型和几种多目标优化的进化算法，并对算法进行了简要比较。 关键词多目标优化粒子群遗传算法蚁群算法人工免疫系统 中图分类号：TP391 文献标识码：A 一、背景 多目标优化（Multiobjective OptimizaTionProblem，MOP）是最优化的一个重要分支，多目标问题中的各目标往往是有着冲突性的，其解不唯一，如何获得最优解成为多目标优化的一个难点，目前还没有绝对成熟与实用性好的理论。近年来，粒子群算法、遗传算法、蚁群算法、人工免疫系统、等现代技术也被应用到多目标优化中，使多目标优化方法取得很大进步。本文将其中四种多目标优化的进化算法进行一个简单的介绍和比较。 二、不同算法介绍 （一）多目标遗传算法。 假定各目标的期望目标值与优先顺序已给定，从优先级最高的子目标向量开始比较两目标向量的优劣性，从目标未满足的子目标元素部分开始每一级子目标向量的优劣性比较，最后一级子目标向量中的各目标分量要全部参与比较。给定一个不可实现的期望目标向量时，向量比较退化至原始的Pareto排序，所有目标元素都必须参与比较。算法运行过程中，适应值图景可由不断改变的期望目标值改变，种群可由此被引导并集中至某一特定折中区域。当前种群中（基于Pareto最优概念）优于该解的其他解的个数决定种群中每一个向量解的排序。 （二）人工免疫系统。 人工免疫算法是自然免疫系统在进化计算中的一个应用，将抗体定义为解，抗原定义为优化问题，抗原个数即为优化子目标的个数。免疫算法具有保持个体多样性、搜索效率高、群体优化、避免过早收敛等优点。其通用的框架是：将优化问题的可行解对应抗体，优化问题的目标函数对应抗原，Pareto最优解被保存在记忆细胞集中，并采取某种机制对记忆集进行不断更新，进而获得分布均匀的Pareto最优解。 （三）多目标PSO约束算法。

多目标优化实例和matlab程序

NSGA -II 算法实例 目前的多目标优化算法有很多, Kalyanmoy Deb 的带精英策略的快速非支配排序遗传算法(NSGA-II) 无疑是其中应用最为广泛也是最为成功的一种。本文用的算法是MATLAB 自带的函数gamultiobj ，该函数是基于NSGA-II 改进的一种多目标优化算法。 一、 数值例子 多目标优化问题 424221********* 4224212212112 12min (,)10min (,)55..55 f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x s t x =-++-=-++-≤≤??-≤≤? 二、 Matlab 文件 1．适应值函数m 文件： function y=f(x) y(1)=x(1)^4-10*x(1)^2+x(1)*x(2)+x(2)^4-x(1)^2*x(2)^2; y(2)=x(2)^4-x(1)^2*x(2)^2+x(1)^4+x(1)*x(2); 2．调用gamultiobj 函数，及参数设置： clear clc fitnessfcn=@f; %适应度函数句柄 nvars=2; %变量个数 lb=[-5,-5]; %下限 ub=[5,5]; %上限 A=[];b=[]; %线性不等式约束

Aeq=[];beq=[]; %线性等式约束 options=gaoptimset('paretoFraction',0.3,'populationsize',100, 'generations',200,'stallGenLimit',200,'TolFun',1e-100,'Plo tFcns',@gaplotpareto); % 最优个体系数paretoFraction 为0.3；种群大小populationsize 为100，最大进化代数generations 为200， % 停止代数stallGenLimit 为200， 适应度函数偏差TolFun 设为1e-100，函数gaplotpareto ：绘制Pareto 前端 [x,fval]=gamultiobj(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,option s) 3. 计算结果 图1. 实例1对应的Pareto 前沿图 -40-35-30-25-20 -15-10-5-50 5 10 15 202530 35 Objective 1O b j e c t i v e 2 Pareto front

多目标优化问题教学提纲

多目标优化问题

多目标优化方法 基本概述 几个概念 优化方法 一、多目标优化基本概述 现今，多目标优化问题应用越来越广，涉及诸多领域。在日常生活和工程中，经常要求不只一项指标达到最优，往往要求多项指标同时达到最优，大量的问题都可以归结为一类在某种约束条件下使多个目标同时达到最优的多目标优化问题。例如：在机械加工时，在进给切削中，为选择合适的切削速度和进给量，提出目标：1）机械加工成本最低2）生产率低3）刀具寿命最长；同时还要满足进给量小于加工余量、刀具强度等约束条件。 多目标优化的数学模型可以表示为： X=[x1,x2,…,x n ]T ----------n维向量 min F(X)=[f1(X),f2(X),…,f n(X)]T----------向量形式的目标函数 s.t. g i(X)≤0,(i=1,2,…,m) h j(X)=0,(j=1,2,…,k)--------设计变量应满足的约束条件 多目标优化问题是一个比较复杂的问题，相比于单目标优化问题，在多目标优化问题中，约束要求是各自独立的，所以无法直接比较任意两个解的优劣。

二、多目标优化中几个概念：最优解，劣解，非劣解。 最优解X*：就是在X*所在的区间D中其函数值比其他任何点的函数值要小即f(X*)≤f(X)，则X*为优化问题的最优解。 劣解X*：在D中存在X使其函数值小于解的函数值，即f(x)≤f(X*), 即存在比解更优的点。 非劣解X*：在区间D中不存在X使f(X)全部小于解的函数值f(X*). 如图：在[0,1]中X*=1为最优解 在[0,2]中X*=a为劣解 在[1,2]中X*=b为非劣解 多目标优化问题中绝对最优解存在可能性一般很小，而劣解没有意义，所以通常去求其非劣解来解决问题。

多目标优化问题(over)

第七章多目标优化问题的求解 优化问题按照目标函数的数量，可以分为单目标优化问题和多目标优化问题，前面我们讲过的线性优化就是一个单目标优化问题，对单目标优化问题进一步突破，将目标函数扩展为向量函数后，问题就转化为多目标优化问题。本节将简要介绍多目标最优化问题的建模与求解方法。 1、多目标优化模型 多目标优化问题一般表示为 ..()min () s t J ≤= x G x 0 x F 其中121()[(),(),,()]T f f f =F x x x x ，下面将通过例子演示多目标优化问题的建模。 例1 设某商店有123,,A A A 三种糖果，单价分别为4,2.8和2.4元/kg ，现在 要举办一次茶话会，要求买糖果的钱不超过20元，但糖果的总重量不少于6kg ， 1A 和2A 两种糖果的总重量不低于3kg ，应该如何确定最好的买糖方案。 分析：首先应该确定目标函数如何选择的问题，本例中，好的方案意味着少花钱多办事，这应该是对应两个目标函数，一个是花钱最少，一个是买的糖果最重，其他的可以认为是约束条件。当然，这两个目标函数有些矛盾，下面考虑如何将这个问题用数学描述。 设123,,A A A 三种糖果的购买重量分别为123,,x x x kg ，这时两个目标函数分别为花钱：1123min ()4 2.8 2.4f x x x =++x ，糖果总重量：2123max ()f x x x =++x ，如果统一用最小值问题表示，则有约束的多目标优化问题可以表示为 123123123123121234 2.8 2.4min -4 2.8 2.4206.. +3,,0 x x x x x x x x x x x x s t x x x x x ++?? ??++??++≤??++≥?? ≥??≥?（）模型建立以后，可以考虑用后面的方法进行求解。