多目标优化方法

多目标优化方法

基本概述

几个概念

优化方法

一、多目标优化基本概述

现今，多目标优化问题应用越来越广，涉及诸多领域。在日常生活和工程中，经常要求不只一项指标达到最优，往往要求多项指标同时达到最优，大量的问题都可以归结为一类在某种约束条件下使多个目标同时达到最优的多目标优化问题。例如：在机械加工时，在进给切削中，为选择合适的切削速度和进给量，提出目标：1）机械加工成本最低2）生产率低3）刀具寿命最长；同时还要满足进给量小于加工余量、刀具强度等约束条件。

多目标优化的数学模型可以表示为：

X=[x1,x2,…,x n ]T----------n维向量

min F(X)=[f1(X),f2(X),…,f n(X)]T----------向量形式的目标函数s.t. g i(X)≤0,(i=1,2,…,m)

h j(X)=0,(j=1,2,…,k)--------设计变量应满足的约束条件多目标优化问题是一个比较复杂的问题，相比于单目标优化问题，在多目标优化问题中，约束要求是各自独立的，所以无法直接比较任意两个解的优劣。

二、多目标优化中几个概念：最优解，劣解，非劣解。

最优解X*：就是在X*所在的区间D中其函数值比其他任何点的函数值要小即f(X*)≤f(X)，则X*为优化问题的最优解。

劣解X*：在D中存在X使其函数值小于解的函数值，即f(x)≤f(X*), 即存在比解更优的点。

非劣解X*：在区间D中不存在X使f(X)全部小于解的函数值f(X*).

如图：在[0,1]中X*=1为最优解

在[0,2]中X*=a为劣解

在[1,2]中X*=b为非劣解

多目标优化问题中绝对最优解存在可能性一般很小，而劣解没有意义，所以通常去求其非劣解来解决问题。

三、多目标优化方法

多目标优化方法主要有两大类：

1)直接法：直接求出非劣解，然后再选择较好的解

将多目标优化问题转化为单目标优化问题。

2)间接法如：主要目标法、统一目标法、功效系数法等。

将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题。

如：分层系列法等。

1、主要目标法

求解时从多目标中选择一个目标作为主要目标，而其他目标只需满足一定要求即可，因此可将这些目标转化成约束条件，也就是用约束条件的形式保证其他目标不致太差，这样就变成单目标处理方法。

例如：多目标函数f1(x),f2(x),.....,f n(x)中选择f k(x)作为主要目标，这时问题变为求min f k(x)

D={x|f min≤f i(x)≤f max},D为解所对应的其他目标函数应满足上下限。

2、统一目标法

通过某种方法将原来多目标函数构造成一个新的目标函数，从而将多目标函数转变为单目标函数求解。

①线性加权和法

根据各目标函数的重要程度给予相应的权数，然后各目标函数与权数相乘再求和即构成单目标函数。例如：根据各目标函数

f 1(X),f 2(X),...,f n (X)的重要程度，对应确定一组权数ω1，ω2，ωn

进行构造f(X)=ω1f 1+ω2f 2+…+ωn f n ,其中0ω 1ωi n

1i ≥=∑，

，于是求f(X)的最优解即为多目标函数的最优解。（重点是权数的确定）

下面介绍两种确定权数的方法：

1、容限法。求出各目标函数在区域的变化范围a ≤f(x)≤b ，则取Δ=

2b a +为其容限，则权数为ω=21?

。这种方法目的是在评价函数中使子目标在数量级上达到统一平衡。

2、求出各目标函数的极小值f i *，然后分别取倒数作为各自的权数。

②理想点法

一般很难使各子目标函数同时达到最优，但是可以使各子目标尽可能接近目标，则可较好的求出非劣解，先用单目标优化法求出各自的最优点X i *和最优值f i *，构造各评价函数f(X)={[]∑-n 1

2

*i i f )(f X }1/2,,然后求极值min f ，变为单目标优化问题。

在理想点法基础上如果再引入权数，则称为平方加权法。

3、功效系数法

功效系数法又叫功效函数法，它是根据多目标规划原理，对每一项评价指标确定一个满意值和不允许值，以满意值为上限，以不允许值为下限．计算各指标实现满意值的程度，并以此确定各指标的分数，再经过加权平均进行综合，从而评价被研究对象的综合状况。运用功效系数法进行业绩评价，企业中不同的业绩因素得以综合，包括财务的和非财务的、定向的和非定量的。

多目标优化问题中各单目标函数要求不一，有的要求极大

值，有的要求极小值，有的要求一个合适值，为了反映这些要求的不同，引入功效函数d i ，其值即为功效系数，规定d i ∈(0,1)，当f i 满意时，d i =1；f i 不满意时，d i =0；请他情况取0-1之间的的数。这样组成评价函数n n 21d ...d d d =，d=1则最满意，d=0则有不

符合要求的f 。

系数d i 的确定：先求出区间上各个目标函数的最大值f i max 和最小值f i min ，

在n 个子函数中，当某个子函数的值越大，功效系数越小时用公式 min max max f －f (X)f －f di =

求其功效系数； 反之用公式min

max min f －f f (X)－f di =求系数。功效系数法的基本思想是先按各子目标值的优劣分别求出其对应的功效系数，然后再构造评价函数

max f （X ）=n

n 21d ...d d 便可转化为单目标优化问题。

此方法特点：

1）直接按要求的性能指标来评价函数，直观，且初步试算后，调整方便；

2）无论各子目标的量级和量纲如何，最终都转化为在[0,1]区间取值，而且一旦有一个子目标达不到要求，则其相应的功效系数为0，从而使评价函数也为0，表明不能接受所得设计方案；

3）可以处理既非越大越好，也非越小越好的目标函数；

4、分层序列法

1）基本思想

将多目标优化问题中的n个目标函数分清主次，按照其重要程度逐一排除，然后依次对各个目标函数求最优解，只是后一目标应在前一目标最优解的集合域内寻优。

现在假设f1(x)最重要，f2(x)其次，f3(x)再其次，依次类推。首先在域内对第一个目标函数f1(x)求解，求得最优解，然后在第一个目标函数的最优解集合域内，求第二个目标函数的最优值，也就是将第一个目标函数转化成辅助约束。然后在第一个和第二个目标函数的辅助约束下求第三个目标函数的最优解，依次进行下去，最后求得最后的目标函数的最优解即为多目标优化问题的最优解。

2）特点。在求解过程中可能会出现中断现象，使求解过程无法继续进行下去。

当求解到第k个目标函数的最优解是唯一时，则再往后求第（k+1），(k+2)，….，n个目标函数的解就完全没有意义了。尤其是当求得的第一个目标函数的最优解是唯一时，则失去了多目标优化的意义了。为此引入“宽容分层序列法”。这种方法是将分层序列法中的最优解放宽要求，即求后一个函数的最优解时，是前一个函数接近最优就行，如下图：

五种最优化方法

五种最优化方法 1.最优化方法概述 1.1最优化问题的分类 1）无约束和有约束条件； 2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）； 3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）； 4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。 1.2最优化问题的一般形式（有约束条件）： 式中f（X）称为目标函数（或求它的极小，或求它的极大），si（X）称为不等式约束，hj（X）称为等式约束。化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。 2.牛顿法 2.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）是一种函数逼近法。 2.2原理和步骤

3.最速下降法（梯度法） 3.1最速下降法简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向； 3.2最速下降法算法原理和步骤

4.模式搜索法（步长加速法） 4.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤

5.评价函数法 5.1简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t. g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权求合法介绍。 5.2线性加权求合法 6.遗传算法 智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进

浅析多目标优化问题

浅析多目标优化问题 【摘要】本文介绍了多目标优化问题的问题定义。通过对多目标优化算法、评估方法和测试用例的研究，分析了多目标优化问题所面临的挑战和困难。 【关键词】多目标优化问题；多目标优化算法；评估方法；测试用例 多目标优化问题MOPs （Multiobjective Optimization Problems）是工程实践和科学研究中的主要问题形式之一，广泛存在于优化控制、机械设计、数据挖掘、移动网络规划和逻辑电路设计等问题中。MOPs有多个目标，且各目标相互冲突。对于MOPs，通常存在一个折衷的解集（即Pareto最优解集），解集中的各个解在多目标之间进行权衡。获取具有良好收敛性及分布性的解集是求解MOPs的关键。 1 问题定义 最小化MOPs的一般描述如下： 2 多目标优化算法 目前，大量算法用于求解MOPs。通常，可以将求解MOPs的算法分为两类。 第一类算法，将MOPs转化为单目标优化问题。算法为每个目标设置权值，通过加权的方式将多目标转化为单目标。经过改变权值大小，多次求解MOPs 可以得到多个最优解，构成非支配解集[1]。 第二类算法，直接求解MOPs。这类算法主要依靠进化算法。进化算法这种面向种群的全局搜索法，对于直接得到非支配解集是非常有效的。基于进化算法的多目标优化算法被称为多目标进化算法。根据其特性，多目标进化算法可以划分为两代[2]。 （1）第一代算法：以适应度共享机制为分布性策略，并利用Pareto支配关系设计适应度函数。代表算法如下。VEGA将种群划分为若干子种群，每个子种群相对于一个目标进行优化，最终将子种群合并。MOGA根据解的支配关系，为每个解分配等级，算法按照等级为解设置适应度函数。NSGA采用非支配排序的思想为每个解分配虚拟适应度值，在进化过程中，算法根据虚拟适应度值采用比例选择法选择下一代。NPGA根据支配关系采用锦标赛选择法，当解的支配关系相同时，算法使用小生境技术选择最优的解进入下一代。 （2）第二代算法：以精英解保留机制为特征，并提出了多种较好的分布性策略。代表算法如下。NSGA-II降低了非支配排序的复杂度，并提出了基于拥挤距离的分布性策略。SPEA2提出了新的适应度分配策略和基于环境选择的分布性策略。PESA-II根据网络超格选择个体并使用了基于拥挤系数的分布性策略。

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最优化方法及其应用 作者：郭科 出版社：高等教育出版社 类别：不限 出版日期：20070701 最优化方法及其应用 的图书简介 系统地介绍了最优化的理论和计算方法,由浅入深,突出方法的原则,对最优化技术的理论作丁适当深度的讨论,着重强调方法与应用的有机结合,包括最优化问题总论,线性规划及其对偶问题,常用无约束最优化方法,动态规划,现代优化算法简介,其中前八章为传统优化算法,最后一章还给出了部分优化问题的设计实例,也可供一般工科研究生以及数学建模竞赛参赛人员和工程技术人员参考, 最优化方法及其应用 的pdf电子书下载 最优化方法及其应用 的电子版预览 第一章 最优化问题总论1.1 最优化问题数学模型1.2 最优化问题的算法1.3 最优化算法分类1.4

组合优化问題简卉习题一第二章 最优化问题的数学基础2.1 二次型与正定矩阵2.2 方向导数与梯度2.3 Hesse矩阵及泰勒展式2.4 极小点的判定条件2.5 锥、凸集、凸锥2.6 凸函数2.7 约束问题的最优性条件习题二第三章 线性规划及其对偶问题3.1线性规划数学模型基本原理3.2 线性规划迭代算法3.3 对偶问题的基本原理3.4 线性规划问题的灵敏度习题三第四章 一维搜索法4.1 搜索区间及其确定方法4.2 对分法4.3 Newton切线法4.4 黄金分割法4.5 抛物线插值法习题四第五章 常用无约束最优化方法5.1 最速下降法5.2 Newton法5.3 修正Newton法5.4 共轭方向法5.5 共轭梯度法5.6 变尺度法5.7 坐标轮换法5.8 单纯形法习題五第六章 常用约束最优化方法6.1外点罚函数法6.2 內点罚函数法6.3 混合罚函数法6.4 约束坐标轮换法6.5 复合形法习题六第七章 动态规划7.1 动态规划基本原理7.2 动态规划迭代算法7.3 动态规划有关说明习题七第八章 多目标优化8.1 多目标最优化问题的基本原理8.2 评价函数法8.3 分层求解法8.4目标规划法习题八第九章 现代优化算法简介9.1 模拟退火算法9.2遗传算法9.3 禁忌搜索算法9.4 人工神经网络第十章 最优化问题程序设计方法10.1 最优化问题建模的一般步骤10.2 常用最优化方法的特点及选用标准10.3 最优化问题编程的一般过程10.4 优化问题设计实例参考文献 更多 最优化方法及其应用 相关pdf电子书下载

多目标优化实例和matlab程序

NSGA-II 算法实例 目前的多目标优化算法有很多, Kalyanmoy Deb 的带精英策略的快速非支配排序遗传算法(NSGA-II) 无疑是其中应用最为广泛也是最为成功的一种。本文用的算法是MATLAB 自带的函数gamultiobj ，该函数是基于NSGA-II 改进的一种多目标优化算法。 一、 数值例子 多目标优化问题 424221********* 4224212212112 12min (,)10min (,)55..55 f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x s t x =-++-=-++-≤≤??-≤≤? 二、 Matlab 文件 1． 适应值函数m 文件： function y=f(x) y(1)=x(1)^4-10*x(1)^2+x(1)*x(2)+x(2)^4-x(1)^2*x(2)^2; y(2)=x(2)^4-x(1)^2*x(2)^2+x(1)^4+x(1)*x(2); 2． 调用gamultiobj 函数，及参数设置： clear clc fitnessfcn=@f; %适应度函数句柄 nvars=2; %变量个数 lb=[-5,-5]; %下限 ub=[5,5]; %上限 A=[];b=[]; %线性不等式约束 Aeq=[];beq=[]; %线性等式约束 options=gaoptimset('paretoFraction',0.3,'populationsize',100,'generations', 200,'stallGenLimit',200,'TolFun',1e-100,'PlotFcns',@gaplotpareto); % 最优个体系数paretoFraction 为0.3；种群大小populationsize 为100，最大进化代数generations 为200， % 停止代数stallGenLimit 为200， 适应度函数偏差TolFun 设为1e-100，函数gaplotpareto ：绘制Pareto 前端 [x,fval]=gamultiobj(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)

《最优化方法与应用》实验指导书

《最优化方法与应用》 实验指导书 信息与计算科学系编制

1 实验目的 基于单纯形法求解线性规划问题，编写算法步骤，绘制算法流程图，编写单纯形法程序，并针对实例完成计算求解。 2实验要求 程序设计语言：C++ 输入：线性规划模型（包括线性规划模型的价值系数、系数矩阵、右侧常数等） 输出：线性规划问题的最优解及目标函数值 备注：可将线性规划模型先转化成标准形式，也可以在程序中将线性规划模型从一般形式转化成标准形式。 3实验数据 123()-5-4-6=Min f x x x x 121231212320 324423230,,0３-+≤??++≤??+≤??≥? x x x x x x st x x x x x

1 实验目的 基于线性搜索的对分法、Newton 切线法、黄金分割法、抛物线法等的原理及方法，编写算法步骤和算法流程图，编写程序求解一维最优化问题，并针对实例具体计算。 2实验要求 程序设计语言：C++ 输入：线性搜索模型（目标函数系数，搜索区间，误差限等） 输出：最优解及对应目标函数值 备注：可从对分法、Newton 切线法、黄金分割法、抛物线法中选择2种具体的算法进行算法编程。 3实验数据 2211 ()+-6(0.3)0.01(0.9)0.04 = -+-+Min f x x x 区间[0.3,1],ε=10-4

实验三 无约束最优化方法 1实验目的 了解最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、DFP 法和BFGS 法等的基本原理及方法，掌握其迭代步骤和算法流程图，运用Matlab 软件求解无约束非线性多元函数的最小值问题。 2实验要求 程序设计语言：Matlab 针对实验数据，对比最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、DFP 法和BFGS 法等算法，比较不同算法的计算速度和收敛特性。 3实验数据 Rosenbrock's function 222211()(100)+(1-)=-Min f x x x x 初始点x=[-1.9, 2]，,ε=10-4

最优化方法及应用

陆吾生教授是加拿大维多利亚大学电气与计算机工程系 (Dept. of Elect. and Comp. Eng. University of Victoria) 的正教授, 且为我校兼职教授，曾多次来我校数学系电子系讲学。陆吾生教授的研究方向是：最优化理论和小波理论及其在1维和2维的数字信号处理、数字图像处理、控制系统优化方面的应用。 现陆吾生教授计划在 2007 年 10－11 月来校开设一门为期一个月的短期课程“最优化理论及其应用”（每周两次，每次两节课），对象是数学系、计算机系、电子系的教师、高年级本科生及研究生，以他在2006年出版的最优化理论的专著作为教材。欢迎数学系、计算机系、电子系的研究生及高年级本科生选修该短期课程，修毕的研究生及本科生可给学分。 上课地点及时间：每周二及周四下午2:00开始，在闵行新校区第三教学楼326教室。（自10月11日至11月8日） 下面是此课程的内容介绍。 ----------------------------------- 最优化方法及应用 I. 函数的最优化及应用 1.1 无约束和有约束的函数优化问题 1.2 有约束优化问题的Karush-Kuhn-Tucker条件 1.3 凸集、凸函数和凸规划 1.4 Wolfe对偶 1.5 线性规划与二次规划 1.6 半正定规划 1.7 二次凸锥规划 1.8 多项式规划 1.9解最优化问题的计算机软件 II 泛函的最优化及应用 2.1 有界变差函数 2.2 泛函的变分与泛函的极值问题 2.3 Euler-Lagrange方程 2.4 二维图像的Osher模型 2.5 泛函最优化方法在图像处理中的应用 2.5.1 噪声的消减 2.5.2 De-Blurring 2.5.3 Segmentation ----------------------------------------------- 注：这是一门约二十学时左右的短期课程，旨在介绍函数及泛函的最优化理论和方法，及其在信息处理中的应用。只要学过一元及多元微积分和线性代数的学生就能修读并听懂本课程。课程中涉及到的算法实现和应用举例都使用数学软件MATLAB 华东师大数学系

多目标优化算法与求解策略

多目标优化算法与求解策略 2多目标优化综述 2.1多目标优化的基本概念 多目标优化问题(Multi-objective Optimization Problem，MOP)起源于许多实际复杂系统的设计、建模和规划问题，这些系统所在的领域包括工业制造、城市运输、资本预算、森林管理、水库管理、新城市的布局和美化、能量分配等等。几乎每个重要的现实生活中的决策问题都要在考虑不同的约束的同时处理若干相互冲突的目标，这些问题都涉及多个目标的优化，这些目标并不是独立存在的，它们往往是祸合在一起的互相竞争的目标，每个目标具有不同的物理意义和量纲。它们的竞争性和复杂性使得对其优化变得困难。 多目标最优化是近20多年来迅速发展起来的应用数学的一门新兴学科。它研究向量目标函数满足一定约束条件时在某种意义下的最优化问题。由于现实世界的大量问题，都可归结为含有多个目标的最优化问题，自70年代以来，对于多目标最优化的研究，在国内和国际上都引起了人们极大的关注和重视。特别是近10多年来，理论探索不断深入，应用范围日益广泛，研究队伍迅速壮大，显示出勃勃生机。同时，随着对社会经济和工程设计中大型复杂系统研究的深入，多目标最优化的理论和方法也不断地受到严峻挑战并得到快速发展。近几年来，将遗传算法(Genetic Algorithm，GA)应用于多目标优化问题成为研究热点，这种算法通常称作多目标优化进化算法或多目标优化遗传算法。由于遗传算法的基本特点是多方向和全局搜索，这使得带有潜在解的种群能够一代一代地维持下来。从种群到种群的方法对于搜索Pareto解来说是十分有益的。 一般说来，科学研究与工程实践中许多优化问题大都是多目标优化问题。多目标优化问题中各目标之间通过决策变量相互制约，对其中一个目标优化必须以其它目标作为代价，而且各目标的单位又往往不一致，因此很难客观地评价多目标问题解的优劣性。与单目标优化问题的本质区别在于，多目标优化问题的解不是唯一的，而是存在一个最优解集合，集合中

多目标优化问题

多目标优化方法 基本概述 几个概念 优化方法 一、多目标优化基本概述 现今，多目标优化问题应用越来越广，涉及诸多领域。在日常生活和工程中，经常要求不只一项指标达到最优，往往要求多项指标同时达到最优，大量的问题都可以归结为一类在某种约束条件下使多个目标同时达到最优的多目标优化问题。例如：在机械加工时，在进给切削中，为选择合适的切削速度和进给量，提出目标：1）机械加工成本最低2）生产率低3）刀具寿命最长；同时还要满足进给量小于加工余量、刀具强度等约束条件。 多目标优化的数学模型可以表示为： X=[x1,x2,…,x n ]T----------n维向量 min F(X)=[f1(X),f2(X),…,f n(X)]T----------向量形式的目标函数s.t. g i(X)≤0,(i=1,2,…,m) h j(X)=0,(j=1,2,…,k)--------设计变量应满足的约束条件多目标优化问题是一个比较复杂的问题，相比于单目标优化问题，在多目标优化问题中，约束要求是各自独立的，所以无法直接比较任意两个解的优劣。

二、多目标优化中几个概念：最优解，劣解，非劣解。 最优解X*：就是在X*所在的区间D中其函数值比其他任何点的函数值要小即f(X*)≤f(X)，则X*为优化问题的最优解。 劣解X*：在D中存在X使其函数值小于解的函数值，即f(x)≤f(X*), 即存在比解更优的点。 非劣解X*：在区间D中不存在X使f(X)全部小于解的函数值f(X*). 如图：在[0,1]中X*=1为最优解 在[0,2]中X*=a为劣解 在[1,2]中X*=b为非劣解 多目标优化问题中绝对最优解存在可能性一般很小，而劣解没有意义，所以通常去求其非劣解来解决问题。

最优化方法及其应用课后答案

1 2 ( ( 最优化方法部分课后习题解答 1.一直优化问题的数学模型为： 习题一 min f (x ) = (x ? 3)2 + (x ? 4)2 ? g (x ) = x ? x ? 5 ≥ ? 1 1 2 2 ? 试用图解法求出： s .t . ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 ≥ 0 ?g (x ) = x ≥ 0 ? 3 1 ??g 4 (x ) = x 2 ≥ 0 （1） 无约束最优点，并求出最优值。 （2） 约束最优点，并求出其最优值。 （3） 如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 ? x 2 = 0 ，其约束最优解是什么？ * 解 ：（1）在无约束条件下， f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上，不难看出，当 x =（3，4） 时， f (x ) 取最小值，即，最优点为 x * =（3，4）：且最优值为： f (x * ) =0 （2）在约束条件下， f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是 在约束集合即可行域中找一点 (x 1 , x 2 ) ，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可 以看出，当 x * = 15 , 5 ) 时， f (x ) 所在的圆的半径最小。 4 4 ?g (x ) = x ? x ? 5 = 0 ? 15 ?x 1 = 其中：点为 g 1 (x ) 和 g 2 (x ) 的交点，令 ? 1 1 2 ? 2 求解得到： ? 4 5 即最优点为 x * = ? ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 = 0 15 , 5 ) ：最优值为： f (x * ) = 65 ?x = ?? 2 4 4 4 8 （3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。 2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优 化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题. 解：列出这个优化问题的数学模型为： max f (x ) = x 1x 2 x 3 ?x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S

多目标优化的求解方法

多目标优化的求解方法 多目标优化(MOP)就是数学规划的一个重要分支,就是多于一个的数值目标函数在给定区域上的最优化问题。 多目标优化问题的数学形式可以描述为如下: 多目标优化方法本质就是将多目标优化中的各分目标函数,经处理或数学变换,转变成一个单目标函数,然后采用单目标优化技术求解。目前主要有以下方法: （1）评价函数法。常用的方法有:线性加权与法、极大极小法、理想点法。评价函数法的实质就是通过构造评价函数式把多目标转化为单目标。 (2)交互规划法。不直接使用评价函数的表达式,而就是使决策者参与到求解过程,控制优化的进行过程,使分析与决策交替进行,这种方法称为交互规划法。常用的方法有:逐步宽容法、权衡比替代法,逐次线性加权与法等。 (3)分层求解法。按目标函数的重要程度进行排序,然后按这个排序依次进行单目标的优化求解,以最终得到的解作为多目标优化的最优解。 而这些主要就是通过算法来实现的, 一直以来很多专家学者采用不同算法解决多目标优化问题, 如多目标进化算法、多目标粒子群算法与蚁群算法、模拟退火算法及人工免疫系统等。 在工程应用、生产管理以及国防建设等实际问题中很多优化问题都就是多目标优化问题, 它的应用很广泛。 1)物资调运车辆路径问题 某部门要将几个仓库里的物资调拨到其她若干个销售点去, 在制定调拨计划时一般就要考虑两个目标, 即在运输过程中所要走的公里数最少与总的运输费用最低, 这就是含有两个目标的优化问题。利用首次适配递减算法与标准蚁群算法对救灾物资运输问题求解, 求得完成运输任务的最少时间, 将所得结果进行了比较。 2)设计 如工厂在设计某种新产品的生产工艺过程时, 通常都要求产量高、质量好、成本低、消耗少及利润高等, 这就就是一个含有五个目标的最优化问题; 国防部门在设计导弹时, 要考虑导弹的射程要远、精度要最高、重量要最轻以及消耗燃料要最省等,这就就是一个含有四个目标的最优化问题。Jo等人将遗传算法与有限元模拟软件结合

多目标最优化模型

第六章 最优化数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 1．2 最优化问题分类 1．3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2．1 无约束条件极值 2．2 等式约束条件极值 2．3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3．1 线性规划 3．2 整数规划 §4 最优化问题数值算法 4．1 直接搜索法 4．2 梯度法 4．3 罚函数法 §5 多目标优化问题 5．1 多目标优化问题 5．2 单目标化解法 5．3 多重优化解法 5．4 目标关联函数解法 5．5 投资收益风险问题 第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 （1）最优化问题 在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。 最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。 最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。 （2）变量 变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。 设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X 表示。 （3）约束条件 在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。 例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设

最优化求解法在实际问题中的应用

本科毕业论文 （2014届） 题目：最优化求解法在实际问题中的应用学院：计算机与科学技术学院 专业：数学与应用数学 班级：10数本班 学号：1006131084 姓名：严慧 指导老师：孙钢钢

目录 1．摘要 (3) 2．关键字 (3) 3．引言 (3) 4．最优化求解法在实际问题中的应用 (4) 4.1．无约束最优化问题的求解............................................... ....... 4.2．有约束最优化问题的求解............................................... ....... 4.3．线性规划问题的求解............................................... ........... ... 4.4．非线性规划问题的求解............................................... ........... 5．结束语................................................................................................参考书目

1.摘要：本文介绍最优化及相关知识在实际生活中的应用，主要是利用运筹 学来研究解决在实际生活中所遇到的一些问题，找到最优的解决方案，帮助人们提供最好的最有科学依据的最佳方法。 2.关键字：最优化，运筹学，生活，应用。 Abstract：This paper introduced the Optimization in the real life application，this is use of Operations research to solve the problem in real life，finding the best solution，and provide the best and scientifically valid solution to the people . Key words: Optimization, Operations research, life, application. 3.引言 随着社会迅速发展，各行各业中的竞争日益激烈，我们日常生活中好多事情都会牵扯到最优化，比如运输成本问题、效益分配问题等等。 什么是数学最优化问题，就是利用合理的安排和规划在一件事情或者问题上取得利润最大，时间最少，路线最短，损失最少的方法。所以最优化解决方法对实际生活现实社会的帮助作用很大。现如今，最优化解决问题已经渗透到生活中的方方面面。 一个好的决策也许会让你绝处逢生，反败为胜，譬如中国历史上田忌赛马的故事，田忌的聪明之处在于在已有的条件下，经过策划安排，选择了最好的方案，所以最后就是自己看似劣势也能取胜，筹划是非常重要的，这就是运筹学的魅力。 我们在中国的古代史上就可以看到中国古人已经具有很好的运筹学思想了，在战争中，两兵交战，各方都会有自己的军师，历史上有很多著名的军师，比如诸葛亮，刘伯温等。他们在战争中所起到的作用就是“运筹于帷幄之中，决胜于千里之外”，运筹学二字也是来源于此，了解敌方的军情，以此做出相应的对策，筹划最佳作战计划，做到“知己知彼百战不殆”，历史上也不乏一些以少胜多以弱胜强的战争，由此可见运筹学在军事中的力量有多强大。 现代社会中运筹学不仅在军事方面发挥着重要作用，同样在企业经营管理方面也是非常重要的，最优化理论最早是在工业领域产生的，它的对象可以是产

多目标最优化模型

第六章最优化数学模型 §1最优化问题 1．1最优化问题概念 1．2最优化问题分类 1．3最优化问题数学模型 §2经典最优化方法 2．1无约束条件极值 2．2等式约束条件极值 2．3不等式约束条件极值 §3线性规划 3．1线性规划 3．2整数规划 §4最优化问题数值算法 4．1直接搜索法 4．2梯度法 4．3罚函数法 §5多目标优化问题 5．1多目标优化问题 5．2单目标化解法 5．3多重优化解法 5．4目标关联函数解法 5．5投资收益风险问题 第六章最优化问题数学模 §1最优化问题 1．1最优化问题概念 （1）最优化问题在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。 最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值； ②求出取得极值时变量的取值。 最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。 （2）变量变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。 一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。 设问题中涉及的变量为x1,x2, , x n ；我们常常也用X （x1,x2, ,x n）表示。 3）约束条件 在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设

多目标函数的优化设计方法

第9章 多目标函数的优化设计方法 Chapter 9 Multi-object Optimal Design 在实际的机械设计中，往往期望在某些限制条件下，多项设计指标同时达到最优，这类问题称为多目标优化设计问题。与前面单目标优化设计不同的是，多目标优化设计有着多种提法和模式，即数学模型。因此，解决起来要比单目标问题复杂的多。 9.1 多目标最优化模型 9.1.1 问题举例 例9-1 生产计划问题 某工厂生产n （2≥n ）种产品：1号品、2号品、...、n 号品。 已知：该厂生产)...,,2,1(n i i =号品的生产能力是i a 吨/小时； 生产一吨)...,,2,1(n i i =号品可获利润i α元； 根据市场预测，下月i 号品的最大销售量为)...,,2(n i b i =吨； 工厂下月的开工能力为T 小时； 下月市场需要尽可能多的1号品。 问题：应如何安排下月的生产计划，在避免开工不足的条件下，使 工人加班时间尽可能的地少； 工厂获得最大利润； 满足市场对1号品尽可能多地要求。 为制定下月的生产计划，设该厂下月生产i 号品的时间为)...,,1(n i x i =小时。 9.1.2 基本概念 如图9.1所示，两个目标函数f 1,f 2中的若干个设计中，3，4称为非劣解，若 )(min{)(*x f x f j j ≤ S.t ．0)(≤x g u u=1,2,………….m 成立，则称* x 为非劣解。若不存在一个方向，同时满足： 0)(*≤*?s x f (目标函数值下降0)(*≤*?s x g (不破坏约束) 图9.1 则称* x 为约束多目标优化设计问题的K-T 非劣解。这样，多目标优化设计问题的求解过程为：先求出满足K-T 条件的非劣解，再从众多的非劣解确定一个选好解。 多目标优化的数学模型： T r x f x f x f X F V )](),........(),([)(m in 21=--

多目标最优化数学模型

第六章最优化数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 1．2 最优化问题分类 1．3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2．1 无约束条件极值 2．2 等式约束条件极值2．3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3．1 线性规划 3．2 整数规划 §4 最优化问题数值算法4．1 直接搜索法 4．2 梯度法 4．3 罚函数法 §5 多目标优化问题 5．1 多目标优化问题 5．2 单目标化解法 5．3 多重优化解法 5．4 目标关联函数解法5．5 投资收益风险问题

第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 （1）最优化问题 在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。 最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。 最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。 （2）变量 变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。 设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X =表示。 （3）约束条件 在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。 例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。 用数学语言描述约束条件一般来说有两种： 等式约束条件 m i X g i ,,2,1,0)( == 不等式约束条件 r i X h i ,,2,1, 0)( =≥ 或 r i X h i ,,2,1, 0)( =≤ 注：在最优化问题研究中，由于解的存在性十分复杂，一般来说，我们不考虑不等式约束条件0)(>X h 或0)(

多目标优化问题

多目标优化方法 基本概述几个概念优化方法 一、多目标优化基本概述 现今，多目标优化问题应用越来越广，涉及诸多领域。在日常生活和工程中，经常要求不只一项指标达到最优，往往要求多项指标同时达到最优，大量的问题都可以归结为一类在某种约束条件下使多个目标同时达到最优的多目标优化问题。例如：在机械加工时，在进给切削中，为选择合适的切削速度和进给量，提出目标：1)机械加工 成本最低2)生产率低3)刀具寿命最长；同时还要满足进给量小于加工余量、刀具强度等约束条件。 多目标优化的数学模型可以表示为： X=[x i,x 2,…,x n ] T ---------------------------------- n 维向量 min F(X)=[f i(X),f 2(X),…,f n(X)] T- --------- 向量形式的目标 函数 s.t. g i(X) < 0,(i=1,2,…,m) h j (X)=0,(j=1,2,…,k) ------ 设计变量应满足的约 束条件 多目标优化问题是一个比较复杂的问题，相比于单目标优化问题，在 多目标优化问题中，约束要求是各自独立的，所以无法直接比较任意两个解的优劣。 二、多目标优化中几个概念：最优解，劣解，非劣解。 最优解X*:就是在乂所在的区间D中其函数值比其他任何点的函数值要小即f(X *)

如图：在［0,1］ 中 X*=1为最优解 在［0,2］ 中X*=a为劣解 在［1,2］ 中X*=b为非劣解 多目标优化问 题中绝对最优解存 在可能性一般很 小，而劣解没有 意义，所以通常去 求其非劣解来解决 问题。 三、多目标优化方法 多目标优化方法主要有两大类： 1)直接法：直接求出非劣解，然后再选择较好的解 将多目标优化问题转化为单目标优化问题。 2)间接法女口：主要目标法、统一目标法、功效系数法等。 将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题。女口：分层系列法等。 1、主要目标法 求解时从多目标中选择一个目标作为主要目标，而其他目标只需满足一定要求即可，因此可将这些目标转化成约束条件，也就是用约束条件的形式保证其他目标不致太差，这样就变成单目标处理方法。 例如：多目标函数f 1(X),f 2(X),.?…,f n(X)中选择f k(X)作为主 要目标，这时问题变为求min f k(x) D={x|f min < f i(X)< f ma》,D为解所对应的其他目标函数应满足上下限。 2、统一目标法 通过某种方法将原来多目标函数构造成一个新的目标函数，从而将多目标函数转变为单目标函数求解。 ①线性加权和法 根据各目标函数的重要程度给予相应的权数，然后各目标函数与

多目标优化的求解方法

多目标优化的求解方法 多目标优化（MOP）是数学规划的一个重要分支，是多于一个的数值目标函数在给定区域上的最优化问题。 多目标优化问题的数学形式可以描述为如下： 多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。目前主要有以下方法： （1）评价函数法。常用的方法有:线性加权和法、极大极小法、理想点法。评价函数法的实质是通过构造评价函数式把多目标转化为单目标。 （2）交互规划法。不直接使用评价函数的表达式，而是使决策者参与到求解过程，控制优化的进行过程，使分析和决策交替进行，这种方法称为交互规划法。常用的方法有：逐步宽容法、权衡比替代法，逐次线性加权和法等。 （3）分层求解法。按目标函数的重要程度进行排序，然后按这个排序依次进行单目标的优化求解，以最终得到的解作为多目标优化的最优解。 而这些主要是通过算法来实现的, 一直以来很多专家学者采用不同算法解决多目标优化问题, 如多目标进化算法、多目标粒子群算法和蚁群算法、模拟退火算法及人工免疫系统等。

在工程应用、生产管理以及国防建设等实际问题中很多优化问题都是多目标优化问题, 它的应用很广泛。 1)物资调运车辆路径问题 某部门要将几个仓库里的物资调拨到其他若干个销售点去, 在制定调拨计划时一般就要考虑两个目标, 即在运输过程中所要走的公里数最少和总的运输费用最低, 这是含有两个目标的优化问题。利用首次适配递减算法和标准蚁群算法对救灾物资运输问题求解, 求得完成运输任务的最少时间, 将所得结果进行了比较。 2)设计 如工厂在设计某种新产品的生产工艺过程时, 通常都要求产量高、质量好、成本低、消耗少及利润高等, 这就是一个含有五个目标的最优化问题; 国防部门在设计导弹时, 要考虑导弹的射程要远、精度要最高、重量要最轻以及消耗燃料要最省等,这就是一个含有四个目标的最优化问题。Jo等人将遗传算法与有限元模拟软件结合应用于汽车零件多工序冷挤压工艺的优化。Chung等人也成功应用遗传算法对锻件工艺进行了优化。 3)投资 假设某决策部门有一笔资金要分配给若干个建设项目, 在确定投资方案时, 决策者总希望做到投资少收益大。Branke等人采用基于信封的多目标进化算法成功地解决了计划投资地选择问题。 4)模拟移动床过程优化与控制 一个工业化模拟移动床正常运行时, 一般有七股物料进、出吸附塔, 其中起关键作用的物料口将作为决策量引起目标值的变化。根据实际生产要求通常包括生产率、产品纯度、吸附剂消耗量等多个目标。模拟移动床分离过程由于其过程操作变量的强耦合性、工艺机理的复杂性及分离性能的影响因素繁多性, 需要众多学者对其操作优化和过程控制进行深入的研究。Huang等人利用TPS 算法解决了模拟移动床多个冲突目标的最大最小的问题, 并与NSGA2 算法的结果进行了比较。吴献东等人运用粒子群算法开发出一种非线性模拟移动床( SMB )色谱分离过程的优化策略。 5)生产调度 在离散制造生产系统中, 一个工件一般经过一系列的工序加工完成, 每道工序需要特定机器和其他资源共同完成, 各工件在各机器上的加工顺序(称技术约束条件)通常是事先给定的。车间调度的作用

多目标优化进化算法比较综述

龙源期刊网 https://www.sodocs.net/doc/851451375.html, 多目标优化进化算法比较综述 作者：刘玲源 来源：《决策与信息·下旬刊》2013年第07期 摘要多目标优化是最优化领域的一个重要研究方向，本文简要介绍了多目标优化的模型和几种多目标优化的进化算法，并对算法进行了简要比较。 关键词多目标优化粒子群遗传算法蚁群算法人工免疫系统 中图分类号：TP391 文献标识码：A 一、背景 多目标优化（Multiobjective OptimizaTionProblem，MOP）是最优化的一个重要分支，多目标问题中的各目标往往是有着冲突性的，其解不唯一，如何获得最优解成为多目标优化的一个难点，目前还没有绝对成熟与实用性好的理论。近年来，粒子群算法、遗传算法、蚁群算法、人工免疫系统、等现代技术也被应用到多目标优化中，使多目标优化方法取得很大进步。本文将其中四种多目标优化的进化算法进行一个简单的介绍和比较。 二、不同算法介绍 （一）多目标遗传算法。 假定各目标的期望目标值与优先顺序已给定，从优先级最高的子目标向量开始比较两目标向量的优劣性，从目标未满足的子目标元素部分开始每一级子目标向量的优劣性比较，最后一级子目标向量中的各目标分量要全部参与比较。给定一个不可实现的期望目标向量时，向量比较退化至原始的Pareto排序，所有目标元素都必须参与比较。算法运行过程中，适应值图景可由不断改变的期望目标值改变，种群可由此被引导并集中至某一特定折中区域。当前种群中（基于Pareto最优概念）优于该解的其他解的个数决定种群中每一个向量解的排序。 （二）人工免疫系统。 人工免疫算法是自然免疫系统在进化计算中的一个应用，将抗体定义为解，抗原定义为优化问题，抗原个数即为优化子目标的个数。免疫算法具有保持个体多样性、搜索效率高、群体优化、避免过早收敛等优点。其通用的框架是：将优化问题的可行解对应抗体，优化问题的目标函数对应抗原，Pareto最优解被保存在记忆细胞集中，并采取某种机制对记忆集进行不断更新，进而获得分布均匀的Pareto最优解。 （三）多目标PSO约束算法。

最优化方法在化学工程中到的应用

最优化方法在化学工程中到的应用 摘要：随着高新技术、信息技术及计算机领域的飞速发展，最优化在众多领域的应用日益广泛,涉及问题的规模越来越大,复杂程 度越来越高。最优化方法主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。其目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。随着最优化理论的发展，最优化模型和算法的不断完善、创新，如遗传算法、神经网络的建立，进一步为建立可靠模型、精确求解铺平道路。在化工生产与产品销售过程中，最优化的踪迹更是无处不在，如生产设备最优化、生产流程最优化、运输管道最优化、产品利润最优化，以及涉及相关化学实验、化学反应动力学的最优化模型。最优化方法的日益成熟使化工生产低投入高产出得以实现，节约了资源提高了效率，降低了污染。而一系列最优化软件，如Matlab、lingo等在化工过程中得到了广泛应用。关键词：最优化；化学工程；应用现状；管网 最优化方法（也称运筹学方法）是近几十年形成的，主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据［1］。随着科学技术，尤其是计算机技术发展，最优化方法已经在各个领域，如化学工程、生化工程、机械工程、土木工程、经济管理等，得到越来越广泛的运用［2］。化工过程系统最优化设计的研究在

过去二三十年中取得了很大的进展，这主要得益于计算及技术的发展，计算机的应用不仅仅体现在为大规模数值问题的处理提供了强有力 的工具, 而更多地体现在为过程设计的经验和艺术插上了数字化的 翅膀.大约在十多年前, 当大规模数学规划方法的实施仍面临一系列 问题时, 在过程设计领域中一种新引入的概念方法一专家系统以及 由此而引申的人工智能方法在解决实际问题上表现出的优势, 引起 了人们的关注目前基于知识和规则的智能系统研究取得了很大的进展, 基于经验、工况分析以及逐渐演进方法等的设计过程也越来越多地由计算机完成, 应用知识和经验规则进行过程设计的计算机辅助 系统逐步趋于完善, 特别是针对更加复杂(例如同时考虑环境影响以 及安全性)的大规模过程系统设计问题, 这些方法仍会有很好的应用 前景。 化工生产遍布现代生活的方方面面，涉及生活用品、工业材料、油气能源，不一而足。化工过程是一个由原料到产品的过程，其中包含物质的转化与能量的传递，而节能省材一直是工业生产的目标之一；化学反应需要在特定的反应设备里进行，怎样设计反应器，使其既能满足生产要求又能高效率的利用资源，是化工设计者的设计原则；原料、产物与成品的输送需要管线，适当的管路管道尺寸的选择，管道的成本；产量的设定，产品的销售等这一系列问题都需要最优化选择，而最优化算法从建立模型、求解方法方面使这一系列决策尽可能达到最理想结果，以下将对最优化方法在化工过程各个部分的应用作简要介绍。针对化学工程，最优化方法主要应用领域包括“三传一反”过