塑性力学_第二章应力状态

第二章 应力状态理论

2.1 应力和应力张量

在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置发生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。用以描述物体在受力后任何部位的内力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论应力矢量和某一点处的应力状态。

为了说明应力的概念，假想把受—组平衡力系作用的物体用一平面A 分成A 和B 两部分(图2.1)。如将B 部分移去，则B 对A 的作用应代之以B 部分对A 部分的作用力。这种力在B 移去以前是物体内A 与B 之间在截面C 的内力，且为分布力。如从C 面上点P 处取出一包括P 点在内的微小面积元素S ?，而S ?上的内力矢量为F ?，则内力的平均集度为F ?／S ?，如令S ?无限缩小而趋于点P ，则在内力连续分布的条件下F ?／S ?趋于一定的极限σo ，即 σ=??→?S

F S 0lim 这个极限矢量σ就是物体在过c 面上点P 处

的应力。由于S ?为标量，故，σ的方向与F ?的

极限方向一致。内力矢量F ?可分解为所在平面

的外法线方向和切线方向两个分量n F ?和s F ?。

同样，应力σ可分解为所在平面的外法线方向

和切线方向两个分量。沿应力所在平面

的外法线方向n 的应力分量称为正应力，记为n σ，沿切线方向的应力分量称为切应力，记为

n τ。此处脚注n 标明其所在面的外法线方向，由此， S ?面上的正应力和切应力分别为

在上面的讨论中，过点P 的平面C 是任选的。显然，过点P 可以做无穷多个这样的平面C ，也就是说，过点P 有无穷多个连续变化的n 方向。不同面上的应力是不同的。这样，就产生了如何描绘一点处的应力状态的问题。为了研究点P 处的应力状态，在点P 处沿坐标轴x ，y ，z 方向取一个微小的平行六面体(图2.2)，其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的正负方向重合，其边长分别为x ?，Δy ，Δz 。假定应力在各面上均匀分布，于是各面上的应力便可用作用在各面中心点的一个应力矢量来表示，每个面上的应力矢量又可分解关一个正应力和两个切应力分量，如图2.2所示。以后，对正应力只用一个字母的下标标记，对切应力则用两个字母标记*其中第一个字母表示应力所在面的外法线方向；第二个字母表示应力分量的指向。正应力的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。切应力的正负早规定分为两种情况：当其所在面的外法线与坐标轴的正方向一致时，则以沿坐标轴正方向的切应力为正．反之为负；当所在面的外法线与坐标袖的负方向一致时，则以沿坐标轴负方向的切应力为正，反之为负。图2.2中的各应力分量均为正。应力及其分量的单位为Pa 。

图2.1 应力矢量

图2.2 应力表示法

由图2.2可知，当微小的平行六面体趋于无穷小时，六面体上的应力就代表一点处的应力。因此，一点处的应力分量共有9个，其中有3个正应力分量、6个切应力分量，由切应力互等定理可知，实际上独立的切应力分量只有3个。把这9个应力分量按一定规则排列，令其中每一行为过一点的一个面上的3个应力分量，即得如下应力张量，在数学上称之为二阶张量。

????

??????=z zy zx yz y yx xz xy x ij στττστττσσ

其中 i ，j =(x ，y ，z )，当i ，j 任取x ，y ，z 时，则得到相应的应力分量，但xx σ，yy σ，zz σ分别简写为x σ，y σ，z σ。

应当指出，物体内各点的应力状态，一般并不是相同的，即非均匀分布的，

因此各点的应力分量是坐标z ，y ，z 的函数。所以，应力张量ij σ与给定点的空间位置有关，同时应力张量是针对物体中的某一确定点而言的，今后将会看到，应力张量完全确定了一点处的应力状态。

张量符号与下标记号法使冗长的弹塑性力学公式变得简明醒目，在文献中已被广泛应用，今后将逐渐熟悉这种标记法。

2.2 二维应力状态与平面问题的平衡微分方程式

上节中讨论应力概念时，是从三维受力物体出发的，其中点P 是从一个三维空间中取出来约点。为简单起见，首先讨论平面问题。掌提了平面问题以后．再讨论空间问题就比较容易了。

当受载物体所受的面力和体力以及其应力都与某—个坐标轴(例如z 轴)无关。平面问题又分为平面应力问题与平面应变问题。

1. 平面应力问题

如果考虑如图2.3所示物体是一个很薄的

平板，荷载只作用在板边，且平行于板面，即

xy 平面，z 方向的体力分量Z 及面力分量z F 均

为零，则板面上(2/δ±=z 处)应力分量为 0)(2

=±=δσz z 0)()(22==±=±=δ

δ

ττz zy z zx

因板的厚度很小，外荷载又沿厚度均匀分布，

所以可以近似地认为应力沿厚度均匀分布。由此，

在垂直于z 轴的任一微小面积上均有

0=z σ， 0==zy zx ττ 图2.3 平面应力问题 根据切应力互等定理，即应力张量的对称性，必然有0==xz yx ττ。因而对于平面应力状态的应力张量为

????

??????=00000y

yx xy

x ij σττσσ

也可写为

??????=y yx

xy x ij σττσσ 如果z 方向的尺寸为有限量，仍假设0=z σ，0==zy zx ττ，且认为x σ，y σ和xy τ(yx τ)为沿厚度的平均值，则这类问题称为广义平面应力问题。

2. 平面应变问题

如果物体纵轴方向(oz 坐标方向)的尺寸很长，外荷载及体力为沿z 轴均匀分布地作用在垂直于oz 方向，如图2.4所示的水坝是这类问题的典型例子。忽略端部效应，则因外载沿z 轴方向为一常数，因而可以认为，沿纵轴方向各点的位移与所在z 方向的位置无关，即z 方向各点的位移均相同。令

u 、v 、w 分别表示一点在x 、y 、z 坐标方向的位移

分量，则有w 为常数。等于常数的位移w 并不伴随产

生任一xy 平面的翘曲变形，故研究应力、应变问题时，

可取0=w 。此外，由于物体的变形只在xy 平面内产生，

因此w 与z 无关。故对于平面应变状态有

图2.4 平面应变问题

??

???===0),(),(w y x v v y x u u

由对称条件可知，在xy 平面内)(zx xz ττ和)(zy yz ττ

恒等于零，但因z 方向对变形的约束，故z σ一般并不

为零，所以其应力张量为

????

??????=z y

yx xy

x ij σσττσσ0000

实际上z σ并不是独立变量，它可通过x σ和y σ求得，因此不管是平面应变问题还是平面应力问题，独立的应力分量仅有3个，即x σ、y σ和xy τ(=yx τ)，对于平面应变问题的求解，可不考虑z σ。

三. 平衡微分方程

物体在外力作用下处于平衡状态时，由各点应力分量与体力分量之间的关系所导出的方程称为平衡微分方程。如图2.5a)所示的平面应力问题，除面力外，在这个微单元体上还有体力的作用．单位体积的体力在二个坐标轴上的投影为Y X ,．而固体的质量密度为ρ。自弹性体内任一点P 处附近截取一单元体，

a) b)

图2.5 平面应力状态微元体的应力

它在x ，y 方向的尺寸分别为dx 和dy 。为了计算方便，在z 方向取单位长度，如图2.5b)所示。该单元体受有其相邻部分对它作用的应力和单元体的体力。由于在一般情况下应力分量是位置坐标的函数，因此在单元体左、右或上、下两对面上的应力不相等，而具有一微小的增量。若作用于ab 上的正应力和剪应力分别为x σ，则作用于cd 面上的正应力应随之变化。该变化可根据Taylor 级数展开，即

),(022dy dx dy y dx x ab

x ab x ab x cd x +??+

??+=σσσσ 由于ab,cd 线元上的应力分量均可用相应线元中点处的应力分量表示，以及略去二阶以上的微量后，由上式得cd 边上的正应力为 dx x

x x ??+σσ 同理，如ab 边上的切应力为xy τ，ad 边上的正应力和切应力分别为y σ，yx τ可

得cd 边上的切应力及bc 边的应力分量可类推分别得 dx x xy

xy ??+ττ dy

y dy y

yx

yx y y ??+??+

ττσσ 微单元体在面力及体力作用下处于平衡，必须满足静力平衡的三个方程式。如果考虑到质点运动，而按照牛顿第二定律，方程式的右边还应包括这个微单元体的质量与加速度在该坐标轴上的投影的乘积(即惯性力的投影)。

对于所研究的一点P 。，设其位移在坐标铀y x ,上的投影分别为v u ,，加速度的

投影可分别写为： 22t u ??, 22t

v ?? 若弹性体处于平衡状态，则取自物体内的单元体也必处于平衡状态。因而，根据

0=∑x F )(2dxdy t u ??=ρ，有 (dx x x x ??+σσ)0)(=+-??++-Xdxdy dx dx y

dy dy yx yx yx x τττσ)(2dxdy t u ??=ρ 将上式化简，并等式两边同除以dxdy ，可得 0=+??+??X y

x xy x τσ()22t u ??=ρ (2.2-1a)

由平衡方程式0=∑y F )22t

v ??=ρ，可类似导得

0=+??+??Y y x y

yx στ()22t v ??=ρ (2.2-1b) 根据平衡方程0=∑a m 得

0222)(2)(2)(2)(2222=-+??-??+-??+??++??-??dy Xdxdy dx Ydxdy dx dxdy t

v dxdy dy y dy dxdy t u dydx dx x dy dydx x dx dydx y yx yx xy xy x y

ρττρττσσ 略去三阶微量的项，得

yx xy ττ=

这就是前面曾提到的切应力互等定理。下面不再区分xy τ和yx τ。

式(2.2-1)为平面应力问题的平衡微分方程式，它表明了应力分量的变化与已知体力分量之间的关系；当改为括号内的项，就代表运动方程式，又称为柯西 (Chuchy )平衡运动微分方程。

式(2.2-1)是以平面应力为例导出的，对于平面应变问题，在图2.5(b)所示的

单元体上，一般在前、后两个面上还作用有正应力z σ，但由于它们自成平衡，不影响方程的建立，因而，式(2.2-1)对两种平面问题都适用。在建立上述方程时，我们是按照1.2节的小变形中假没，用物体变形以前的尺寸，而没有用变形后平衡状态下的尺寸。在以后建立任何平衡力程式时，都将作同样的处理，不再加以说明。

对于三维应力状态的情况，可从受力物体中取出一微小六面体单元，可类似

平面问题导出

zx xz ττ= ， zy yz ττ=

以及 ????

???????==+??+??+????==+??+??+????==+??+??+??)(0)(0)(0222222t w Z z y x t v Y z y x t u X z y x z zy zx yz y yx xz xy x ρσττρτστρττσ (2.2-2) 式(2.2-2)为三维情况下的平衡微分方程。

如果采用张量符号和下标记号法，切应力互等定理可缩写为

ji ij ττ= (z y x j i ,,,=)

由此可知，应力张量为一对称张量，一共有6个独立元素

????

????

??=z yz y xz xy x ij 对称στσττσσ)( 平衡方程也可缩写为

0,=+i j ij G σ (2.2-3) 其中j ij ,σ表示),,,(z y x j i ij =σ对),,(z y x j =取偏导数，而i G 当z y x i ,,=时，则分别代表Z Y X ,,。因此，0,=j ij σ，则代表 ????

?????=??+??+??=??+??+??=??+??+??000z y x z y x z y x z zy zx yz y yx xz xy x στττστττσ (2.2-4) 式(2.2-4)即是不计体力时们三维平衡微分方程式。

2.3 一点的应力状态

所谓一点的应力状态是指受力变形物体内一点的不同截面上的应力变化的状况。现以平面问题为例说明一点处应力状态。在受力物体中取一个如图2.6所示的微小三角形单元，，其中AC ，AB 与坐标轴y x ,重合，而BC 的外法线与z z 轴成θ角。取坐标'',y x ，使BC 的外法线方向与'x 方向重合(如图2.6)。如果xy y x τσσ,,已知，则BC 面上的正应力'x σ，和切应力''y x τ可用已知量表示。因θ角的任意性，

若BC 面趋于点

A 时，则可认为求得了描绘过点4处的应力状态的表达式。

实际上，这里所讨论的问题是一点处不同方向的面上的应

力的转换，即BC 面无限趋于点A 时，该面上的应力如何

用与原坐标相平行的面上的应力来表示。在这种问题的分

析中，可不必引入应力增量和体力，因为它们与应力相比

属于小量。

假定BC 的面积为1，则AB 和AC 的面积分别为

θcos 与θsin 。于是，由力在坐标y x ,的平衡条件 图2.6 一点的应力状态

0=∑x F 和0=∑y F ，

可得 θσθτθ

τθσsin cos sin cos y xy y xy x x p p +=+= (a)

式中y x p p ,为BC 面上单位面积的力p 在坐标轴y x ,方向上的分力(图 2.6)。将y x p p ,投影到'',y x 坐标轴方向，有

θθτθθσsin cos sin cos '''

y x y x y x x p p p p -=+= (b)

将式(b)代入式(a)，并注意到 θθ2cos 1cos 22+=，θθ2cos 1sin 22-=，θθθ2cos sin cos 22=-和θθθ2sin cos sin 2=，可得 θτθσσσσσ2sin 2cos 22'xy y

x y x x +-++= (2.3-1a) θτθσστ2cos 2sin 2''xy y x y x +--= (2.3-1b) 将式(2.3-1a)中的θ换成2πθ+

，则得 θτθσσσσσ2sin 2cos 22'xy y

x y x y ---+= (2.3-1c)

如果BC 面趋近于A 点，且已知A 点的应力分量xy y x τσσ,,时，则由式(2.3-1)

可求得过该点任意方向的平面上的应力分量。因此，对于平面问题，式(2.3-1)描述了该点的应力分布规律，即描述了该点的应力状态。

对于三向应力状态，可以采用类似于二维应力状态分析的方法。现在研究从受力物体中取出的任一无穷小的四面体(图2.7)。斜面ABC 的法线N 与坐标轴间的夹角的方向余弦分别是l 、m 、n 。四

面体棱边的长度分别dx 、dy 和dz 。设斜

面的面积为1，则三角形OBC 、OAC 、

OAB 的面积分别为

n

z N m y N l

x N =?=?=?),cos(1),cos(1),cos(1

如果ABC 面上单位面积上的力为p ，沿坐标

轴方向的分量z y x p p p ,,可由傲小四面体单元

图2.7 四面体的应力分布

的平衡条件得到

??

???++=++=++=n m l p n m l p n m l p z zy zx z yz y yx y xz xy x x στττστττσ (2.3-2)

式(2.3-2)是与坐标轴呈任意倾斜面止单位面积上的面力，该式也可按下标

记号法和求和约定缩写为

j ij i n p σ= (z y x j i ,,,=) (2.3-3) 式中j n 为斜面ABC 外法线n 与),,(z y x j =轴间夹角的方向余弦l 、m 、n 。

为了分析一点处应力的某些特征，现将坐标系oxyz 变换到新坐标系'''z y ox ，且新坐标系的'ox 轴与图 2.7中的法线方向n 重合，新旧坐标系间的方向余弦

，n ，z x ，m ，y x ，l x x 1'1'1')cos()cos(),cos(===…，

如表2.1所示，则'x 方向的正应力'

x σ为 'x σ=111n p m p l p z y x ++

将(2.3-2)代入上式，并注意到l 、m 、n 分别等于111，n ，m l ，则得

'x σ=)(2111111212121l n n m m l n m l xz yz xy z y x τττσσσ+++++

类似地将z y x p p p ,,在''，z y 方向投影，可得到

'y σ=)(2222222222222l n n m m l n m l xz yz xy z y x τττσσσ+++++

'z σ=)(2333333232323l n n m m l n m l xz yz xy z y x τττσσσ+++++

)()()(122112211221212121'

'n l n l n m n m m l m l n n m m l l zx yz xy z y x y x ++++++++=τττσσστ )()()(233223322332323232'

'n l n l n m n m m l m l n n m m l l zx yz xy z y x z y ++++++++=τττσσστ

)()()(311331133113131313''n l n l n m n m m l m l n n m m l l zx yz xy z y x x z ++++++++=τττσσστ 采用张量的方法，可将以上各式统一表示为

ij j j i i j i l l σσ''''= (2.3-4)

式(2.3-4)则是ij σ在坐标变换时所遵循的法则。凡是一组9个量ij σ，在坐标变换时遵从式(2.3-4)的法则就称为二阶张量。

２.4边界条件

当物体处于平衡状态时，除物体内部各点要满足平衡微分方程式(2.2-4)外，还应满走解条件。定解条件一般包括初始条件、边界条件或其它能确定唯一解答的补充条件。对于弹塑性静力学问题，定解条件主要是边界条件，所以弹塑性力学问题也就是数学物理方程中的边值问题。其它如约束条件、位移单值条件等也是常遇到的定解条件。

在弹塑性力学中，给定面力的边界，用σS 表示，结定位移的过界，用u S 表示，如图2.8所示。本节主要讨论弹塑性力学平面问题的边界条件。

a) b)

图2.8 平面问题边界条件

1. 位移边界条件

所谓位移边界条件，就是在给定位移的边界上，物体的位移分量必须等于边界

上的已知位移。

设平面弹塑性体在u S 边界上给定x 、y 方向上的位移分别为_u 和_

v ；，它们是

边界坐标的已知函数；而位移分量u 、v 则是坐标的待求函数。当把它们代入u S 边界的坐标时，则必等于该点所给定的位移，即

_u u =， _v v = 在u S (2.4-1)

对于三维问题，在u S 边界的位移边界条件为

_i i u u = (2.4-2)

此处),,(z y x i =，且对应于u 、v 、w 。

2. 应力边界条件

弹塑性体在外力作用下，处于平衡状态的条件，除物体内部各点的应力分量应满足平衡方程式(2.2-4)外，物体边界上各点也必须都是平衡的。由后者将导出应力边界条件。所谓应力边界条件就是在给定面力σS 的边界上应力分量与面力分量之间的关系。实质上，它是弹塑性体内部各点的平衡条件在其边界上的延续。因此，应力边界条件就是物体边界上点的平衡条件。

设平面弹性体在σS 上给定面力_X 、_Y ，它们是边界坐标的已知函数；而应力分量x σ、y σ、z σ则是坐标的待求函数。它们之间的关系可由边界上微元体的平衡条件求出。不失一般性，在物体的边界上取一微元体(一般取为三角形微元，因为它可以描述任意曲线边界)．如图2.8b)所示，它在平面问题中显然是三角板(平面应力)或三棱柱(平面应变)。

若令微元体边界面外法线N 与x 轴和y 轴夹角的方向余弦分别为l x N =),cos(，m y N =),cos(；斜边长为ds ，两直角边长分别为dx 和dy ，微元体的厚度仍取为1，则由图2.18b)，根据力的平衡条件有

?????

=+=+__Y m l X m l y xy xy x σττσ (2.4-3)

如当边界平行于x 轴时，有1,0±==m l 。这时，式(2.2-7)则为

_Y y ±=σ， _X xy ±=τ (在σS 边界上) (a)

而当边界平行y 轴时，有0,1=±=m l 。这时，式(2.2-7)则为

_X x ±=σ, _

Y xy ±=τ (在σS 边界上) (b) 由此可见，当物体的边界线与某一坐标轴平行(或垂直)时，应力边界条件变得十分简单，即应力分量的边界值就等于对应的面力分量，应力分量的符号取决于边界面的外法线方向。当边界面的外法线方向与坐标正向一致时，等式右边取正号，否则取负号。但应注意，面力本身还有正负号。其规定与应力符号法则相同。

对于三维问题，由力的平衡条件可得 ??

?????=++=++=++___Z n m l Y n m l X n m l z yz xz yz y xy xz xy x στττστττσ (2.4-4)

需要指出的是：在垂直x 轴的边界面上，应力边界条件中不出现y σ，而在垂直y 轴的边界上不出现x σ。当作用在边界面上的面力不连续时，应分段或展开成级数写出其边界条件；没有给定位移的自由边界，实际上是给定面力为零的应力边界，不能遗漏。

3.混合边界条件

在一般情况下，若用S 表示整个物体的表面积，则往往在其中一部分面积σS 上给出了面力，而在另一部分面积u S 上给定的是位移。如图2.9所示悬臂梁，固定端部分属于u S 部分，它给定位移而末给定外力；其余边界均属σS 部分，它的外力已给定 (包括外力等于零的部分)。显然，在u S 上各点应满足位

移边界条件式(2.4-1)，在

σS 上各点应满足

应力边界条件式(2.4-3)。

对于混合边界条件，可以分别给在边界

面的不同区域上，也可以给在同一区域的不

同方向上。也即，对于边界上的一个点，在

某一确定方向上，必须且只能给出u S 和σS 中

的一种，既不能同时给定，也不能同时不给 图2.9 受均布载荷悬臂梁 定；而同—点在两个互相垂直方向止，可以是

其中一个为σS ，另一个为u S 。

例2—1 如图2.9所示的一矩形截面悬臂梁，跨度为l ，梁上表面作用均匀载荷q 。试写出该问题的边界条件。并检查材料力学的应力公式是否满足力的边界条件。

解：由材料力学所得的应力分量为 z

x I y qx 23-=σ， 0=y σ, z z xy I qxS -=τ (a) 1) 梁的上表面2

h y =处 0_=X ， q Y -=_

而 0),cos(==x N l , 1),cos(-==y N m

代入力的边界条件(2.4-3)，则解得

0=yx τ， q y -=σ

由上式可知，因为材料力学作了纵向纤维无挤压的假设，无法算出y σ的分布规律。因此，材料力学的应力计算公式(a)结果并不满足上表面q y -=σ的边界条件。

2) 梁的下表面2

h y -=处 0_=X ， 0_=Y

而 1),cos(-==x N l ， 0),cos(==y N m

代入式(2.4-3)后解得

0=yx τ， 0=y σ

由上式可见，材料力学的应力计算公式(a)的结果满足该边界的力边界条件，其中0=y σ是由材料力学的假设得出的。

3) 0=x 的自由端处

0_=X ， 0_=Y

又 1),cos(-==x N l ， 0),cos(==y N m

代入式(2.4-3)后解得

0=xy τ， 0=y σ

因此，在该边材料力学的应力计算公式(a)的结果也满足该边界的力边界条件。 4) l x =的固定端处

因为固定端的外力分布没有具体给定．我们只能求出该端面上的合力和合力矩的大小。且固定端限制了梁的移动和转动，所以该截面的位移边界条件是很重要的。位移边界条件可表示为

0_=u ， 0_=v ， 0=??x u 或 0=??y

v (在l x =，0=y 处) 有关这方面的内容和处理方法将在后面的章节中详细介绍。

2.5 主应力、主切应力和八面体应力

在受力物体内一点任意方向的微小面元上，一般都有正应又和切应力，不同方向的面元上这些应力有不同的数值。当此微小面元转动时，它的法线方向N 随之改变，面元上的正应力σ和切应力τ的方向和它们的值也都要发生变化。在外法线方向不断改变过程中，必然会出现面元上只有正应力，而切应力τ等于零的情况。把这时面元的法线方向N 称为主应力方向(主方向)，相应的正应力N σ称为主应力，它所在的面称为主平面。以下将说明，物体中任一点都有3个主应力和相应的3个主方向。

1. 主应力

在图2.7中，如令z y x p p p ,,为ABC 面上单位面积面力的三个分量，则有

2222z

y x p p p p ++= (a)

将面元ABC 上单位面积的三个分量z y x p p p ,,投影到面元的法线方向N ，即得面元ABC 的正应力为

n p m p l p z y x N ++=σ (b) 将(2.3-2)式代入(b)式，并经整理后则得

)(2222nl mn lm n m l zx yz xy z y x N τττσσσσ+++++= (2.5-1) 式(2.5-1)即为任意法线方向N 的斜面上正应力的表达式。该面上的切应力为

222N

N p στ-= (2.5-2) 将式(a)和式(2.5-1)代入上式(2.5-2)，可得法线方向为N 的斜面上的切应力。 注意到

1222=++n m l (2.5-3) 因而三个方向余弦并不是独立的。现以l 、m 为独立变量，N σ和n 看成是l 和m 的函数，并求(2.5-1)式的极值。因此，其一阶偏导数应满足

0=??l N σ， 0=??m

N σ 即 ?

??=??+++++=??+++++0)(0)(m n n m l n m l l n n m l n m l z zy zx yz y xy z yz zx zx xy x στττστσττττσ (c) 由式(2.5-3)可求得n 对l 和m 的两个偏导数为 n l l n -=??， n m m n -==?? (d) 将(d)式代入(c)式，并注意到(2.3-2)式，可得 n p m p l p z y x ==

令其比值为N σ，则有

??

???===n p m p l p N z N y N x σσσ (e)

式(e)说明，在正应力取极值的斜平面上，全应力投影与斜平面的方向余弦成正比，比值N σ当然是正应力，正应力投影就是斜平面上全部应力的投影，而切应力不存在，因此主应力(主平面)确实存在。

将 (2.3-2) 式代入(e)式，经整理后得

??

???=-++=+-+=++-0)(0)(0)(n m l n m l n m l N z yz xz yz N y xy xz xy N x σστττσστττσσ (2.5-4)

或用张量符号写为

0)(=-j N ij ij l σδσ (2.5-5) 此处ij δ为δ-ker Ktonec ，定义为

???=0

1ij δ j i j i ≠= 在(2.5-4)式中，共有4个未知数，即l 、m 、n 和N σ，但由(2.5-3)式知，l 、m 、n 这3个方向余弦不可能同时为零，因此，(2.5-4)可看成是关于l 、m 、n 的线性齐次方程组，而且应有非零解存在，由线性齐次方程组有非零解的条件可得到 0=---N

z yz xz

yz N y xy

xz xy N

x σστττσστττσσ 展开上式得 032213=-+-I I I N N N σσσ (2.5-6)

其中 z y x I σσσ++=1

)(2222xz yz xy x z z y y x I τττσσσσσσ++-++= )(22223xy z xz y yz

x xz yz xy z y x z

yz xz yz y xy xz

xy x I τστστστττσσσστττστττσ++-+== 方程式(2.5-6)是一关于N σ的三次方程，它至少有一个实根。令其为z σσ=3，该上0==xz yz ττ。这样式(2.5-6)中剩下的应力分量只有xy y x τσσ,,，可由平面应力状态理论求得其余两主应力1σ、2σ以

及它们作用的方向。这就简单地证明了，在物体内的任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主平面，以及对应的三个主应力，它们的方向称为应力主方向。 因为主应力1σ，2σ，3σ是方程(2.5-6)的根，按大小排列为321σσσ>>，它们分别位于三个互相垂直的主平面，且在主平面上切应力为零，所以式(2.5-6)也可改写为

0)()(32113322123213=-+++++-σσσσσσσσσσσσσσσN N N

由代数学可知，为保证此方程和式(2.5-6)的解相同，其系数应相同，出此可得三个系数为

z y x I σσσ++=1=321σσσ++

)(2222xz yz xy x z z y y x I τττσσσσσσ++-++==133221σσσσσσ++

)(22223xy z xz y yz x xz yz xy z y x z

yz xz yz y xy xz

xy x I τστστστττσσσστττστττσ++-+===321σσσ

由于在一定的应力状态下，物体内任一点的主应力不会随坐标系的改变而改变，所以式(2.5-6)所给出的系数1I ，2I ，3I 分别称为第一、第三、第三应力张量不变量，简称应力不变量。

以主应力1σ，2σ，3σ的方向为坐标轴(分别记为1、2、3)的几何空间，称为主向空间。

在主向空间，(2.5-1)和(2.5-2)式则为

232221n m l N σσσσ++= (2.5-7) 2232221223222

221)(n m l n m l N σσσσσστ++-++= (2.5-8) 2. 主切应力

当在主向空间讨论切应力N τ的变化时，(2.5-2)式可写为

22322212232222212)(n m l n m l N σσσσσστ++-++= (2.5-9)

由(2.5-3)可知

2221m l n --=

将2n 用上式代替后，(2.5-9)式可得

[]2

32322312322322223212)()()()(σσσσσσσσσστ+-+--+-+-=m l m l N 为了求出N τ的极值，取2N τ对l 和m 的偏导数，并令它等于零，这时有 ???

????=??????---+-=??????---+-0)(21)()(0)(21)()(3223223131232231σσσσσσσσσσσσm l m m l l (f)

满足上式的解有以下四种情况：

(1)0=l 、0=m ，由(2.5-3)式可得±=n ，由(2.5-7)式得0=N τ，这是一主平面。

(2)0≠l 、0=m ，由式(f)的第一式得

0)21)((231=--l σσ

因0)(31≠-σσ，故 2

1

±=l 由式(2.5-3)可知 21

±=n

该解表示通过2σ，并平分1σ、3σ所夹再的平面，如图2.10a)所示。

a) b) c)

图2.10 主切应力平面

用同样的方法可得

(3)0=l ，2

1

±==n m (4) 0=n ，21

±==m l

解(3)代表通过1σ，并平分2σ、3σ所夹角的平面，见图2.10b)；而解(4)代表通过2σ并平

分1σ、3σ所夹角的平面，见图1.10c)。现将所有的解列于表2.2中。

表2.2 切应力有极值的平面方位

将以上所得到的l 、m 、n 值代入式(2.5-9)中，可以得到所求方向的切应力的极值，这时有 ?????????

-±=-±=-±

=22221

121331

3223σστσστσστ (2.5-10) 称23τ、31τ、12τ为主切应力，这些主切应力所在的面如图1.10所示，依据主应力大小的排列次序，则最大切应力23

1max σστ-=。且上式可知，显然23τ、31τ、

12τ满足下式所列条件

23τ+31τ+12τ=0

注意，在主切应力所在平面正应力σ并不为零，它们分别为23

2σσ+，2

31σσ+，22

1σσ+。

3. 八面体应力

当变形物体受载较大时，可能产生塑性变形。在塑性理论中，除要用到最大切应力外，还要用到正八面体的切应力。现在主向空间取一如图2.11a)所示的倾斜面，且该倾斜面的法线N 与三个坐标轴呈等倾斜，即具方尚余弦为

n m l ==

根据(2.5-3)式可知 31===n m l (2.5-11)

a) b)

图2.11 等倾平面与正八面体

将以上方向余弦的值代入式(2.5-7)和(2.5-8)，并注意到应力第一不变量1I 则得正八面体的正应力8σ和8τ分别为，

8σ=)(31321σσσ++)(3

1z y x σσσ++= (2.5-12) 由此可见，正八面体上的正应力等于三个正应力之和的三分之一，此值又称为平均正应力，记为m σ。即

m σ=)(31321σσσ++)(3

1z y x σσσ++= (2.5-13) 如将式(2.5-11)代入式(2.5-8)并整理后，则得正八面体上的剪应力8

τ为

8τ=213232221)()()(3

1σσσσσσ-+-+- (2.5-14) 正八面体上的应力可以用应力第一不变量和皮力第二不变量来表示为 ??

???-==2221818623131I I I τσ (2.5-14) 八面体剪应力还可以用主剪应力表示，即 23122321283

2ττττ++= (2.5-15) 由于正八面体上的剪应力和正应力均为不变量，因此通过它们可以方便池表示材料的某些力学行为。

2.6应力球张量与应力偏张量

在外力作用下，物体的变形通常可分为体积改变和形状改变两部分。体积改变是由于各向相等的应力引起的，因而，在一般情况下，某一点处的应力状态可以分解为两部分，一部分是各向相等的压(或拉)应力0σ，另一部分记为ij S ，即

ij ij S +=0σσ (2.6-1)

其中

0000

000m

m

m σσσσ????=??????

x m xy xz ij yx

y m yz zx zy z m S σστττσστττσσ??-??=-????-??

在主向空间内，如令任一斜面N 上的应力矢量为P ，则沿坐标轴1、2、3似分量为 ??

???===n p m p l p 332211σσσ (a)

当一点的三个主应力相等时(等拉或等压)，则(2.6-1)式中ij S =0，此时应力张量0σ中的元素为m σσσσ===321，将式(a)代入式(2.5-3)，得

2232221m

p p p σ=++ 这是一个以m σ为半径，以坐标轴原点为球心的球面方程，如图2.12所示。因此，定义0σ为应力球张量。

对于固体材料，经试验己证明，在各向相等的应力作用下，通常都表现为弹性性质。对于一般应力状态， 则ij S 使物体产生形状变化，称ij S 为应力偏张量。因此，对于材料的非弹性变形，也即塑性变形可以认为主要是物体产生形状变化时产生的。

图2.12 等主应力状态(应力球张量)

以主应力表示的应力偏张量为 ????????????????------=320003200

032213132321σσσσσσσσσij S 对于球张量0σ和应力偏张量ij S ，可以类似于应力张量ij σ那样得到应力偏张量的三个不变量为

《土力学》第四章习题集及详细解答

《土力学》第四章习题集及详细解答 第4章土中应力 一填空题 1.土中应力按成因可分为和。 2.土中应力按土骨架和土中孔隙的分担作用可分为和 。 3.地下水位下降则原水位出处的有效自重应力。 4.计算土的自重应力应从算起。 5.计算土的自重应力时，地下水位以下的重度应取 。 二选择题 1．建筑物基础作用于地基表面的压力，称为（ A ）。 (A)基底压力； (B)基底附加压力； (C)基底净反力； (D)附加应力 2．在隔水层中计算土的自重应力c时，存在如下关系（ B ）。 (A) =静水压力 (B) =总应力，且静水压力为零 (C) =总应力，但静水压力大于零 (D)=总应力—静水压力，且静水压力大于零 3．当各土层中仅存在潜水而不存在毛细水和承压水时，在潜水位以下的土中自重应力为（ C ）。 (A)静水压力 (B)总应力 (C)有效应力，但不等于总应力 (D)有效应力，但等于总应力 4．地下水位长时间下降，会使（ A ）。 (A)地基中原水位以下的自重应力增加 (B)地基中原水位以上的自重应力增加 (C)地基土的抗剪强度减小 (D)土中孔隙水压力增大 5．通过土粒承受和传递的应力称为（ A ）。 (A)有效应力； (B)总应力； (C)附加应力； (D)孔隙水压力 6．某场地表层为4m厚的粉质黏土，天然重度=18kN/m3，其下为饱和重度sat=19 kN/m3的很厚的黏土层，地下水位在地表下4m处，经计算地表以下2m处土的竖向自重应力为（B ）。 (A)72kPa ；(B)36kPa ； (C)16kPa ； (D)38kPa 7．同上题，地表以下5m处土的竖向自重应力为（ A ）。 (A)91kPa ；(B)81kPa ； (C)72kPa ； (D)41kPa 8．某柱作用于基础顶面的荷载为800kN，从室外地面算起的基础深度为1.5m，室内地面比室外地面高0.3m，基础底面积为4m2，地基土的重度为17kN/m3，则基底压力为（ C ）。

弹塑性力学简答题

弹塑性力学简答题 第一章 应力 1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？ 物体边界点的平衡条件。 3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？ 相同。110220330 S S S σσσσσσ=+=+=+。 4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？ 不规则，内部受力不一样。 5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？ 保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点？ 该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0，为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。 固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？ 第二章 应变 1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量，问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？ 满足。根据几何方程求出各应变分量，则变形协调方程自然满足，因为变形协调方程本身是从几何方程中推导出来的。 5、应变协调方程的物理意义是什么？ 对于单连通体，协调方程是保证由几何方程积分出单值连续的充分条件。多于多连通体，除满足协调方程方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条件。 6、已知物体内一组单值连续的位移，试问通过几何方程给出的应变一定满足变形协调方程吗？为什么？

《土力学》第七章习题集及详细解答

《土力学》第七章习题集及详细解答 第7章土的抗剪强度 一、填空题 1. 土抵抗剪切破坏的极限能力称为土的___ _ ____。 2. 无粘性土的抗剪强度来源于____ _______。 3. 粘性土处于应力极限平衡状态时，剪裂面与最大主应力作用面的夹角为。 4. 粘性土抗剪强度库仑定律的总应力的表达式，有效应力的表达式。 5. 粘性土抗剪强度指标包括、。 6. 一种土的含水量越大，其内摩擦角越。 7. 已知土中某点，，该点最大剪应力值为，与主应力的夹角为。 8. 对于饱和粘性土，若其无侧限抗压强度为，则土的不固结不排水抗剪强度指标 。 9. 已知土中某点，，该点最大剪应力作用面上的法向应力为，剪应力为。 10. 若反映土中某点应力状态的莫尔应力圆处于该土的抗剪强度线下方，则该点处于_____ _______状态。 【湖北工业大学2005年招收硕士学位研究生试题】 11. 三轴试验按排水条件可分为、、三种。 12. 土样最危险截面与大主应力作用面的夹角为。 13. 土中一点的摩尔应力圆与抗剪强度包线相切，表示它处于状态。 14. 砂土的内聚力（大于、小于、等于）零。 二、选择题 1．若代表土中某点应力状态的莫尔应力圆与抗剪强度包线相切，则表明土中该点 ( )。 (A)任一平面上的剪应力都小于土的抗剪强度 (B)某一平面上的剪应力超过了土的抗剪强度 (C)在相切点所代表的平面上，剪应力正好等于抗剪强度 (D)在最大剪应力作用面上，剪应力正好等于抗剪强度

2. 土中一点发生剪切破坏时，破裂面与小主应力作用面的夹角为( )。 (A) (B) (C) (D) 3. 土中一点发生剪切破坏时，破裂面与大主应力作用面的夹角为( )。 (A) (B) (C) (D) 4. 无粘性土的特征之一是( )。 (A)塑性指数 (B)孔隙比 (C)灵敏度较高(D)粘聚力 5. 在下列影响土的抗剪强度的因素中，最重要的因素是试验时的( )。 (A)排水条件（B）剪切速率 (C)应力状态 (D)应力历史 6．下列说法中正确的是( ) (A)土的抗剪强度与该面上的总正应力成正比 (B)土的抗剪强度与该面上的有效正应力成正比 (C)剪切破裂面发生在最大剪应力作用面上 (D)破裂面与小主应力作用面的夹角为 7. 饱和软粘土的不排水抗剪强度等于其无侧限抗压强度试验的（）。 (A)2倍 (B)1倍(C)1/2倍 (D)1/4倍 8. 软粘土的灵敏度可用（）测定。 (A)直接剪切试验 (B)室内压缩试验 (C)标准贯入试验(D)十字板剪切试验9．饱和粘性土的抗剪强度指标（）。 (A)与排水条件有关 (B)与基础宽度有关 (C)与试验时的剪切速率无关 (D)与土中孔隙水压力是否变化无关 10. 通过无侧限抗压强度试验可以测得粘性土的（）。 (A)和 (B)和(C)和 (D)和 11. 土的强度破坏通常是由于（）。 (A)基底压力大于土的抗压强度所致 (B)土的抗拉强度过低所致 (C)土中某点的剪应力达到土的抗剪强度所致 (D)在最大剪应力作用面上发生剪切破坏所致 12．（）是在现场原位进行的。 (A)直接剪切试验 (B)无侧限抗压强度试验 (C)十字板剪切试验 (D)三轴压缩试验 13. 三轴压缩试验的主要优点之一是（）。

应力状态——材料力学

土体应力计算 补充一、力学基础知识 材料力学研究物体受力后的内在表现，即变形规律和破坏特征。 一、材料力学的研究对象 材料力学以“梁、杆”为主要研究对象。

二、材料力学的任务 材料力学的任务：在满足强度、刚度、稳定性的要求下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适宜的材料，而提供必要的理论基础和计算方法。 强度:杆件在外载作用下，抵抗断裂或过量塑性变形的能力。刚度:杆件在外载作用下，抵抗弹性变形的能力。 稳定性:杆件在压力外载作用下，保持其原有平衡状态的能力。 如：自行车结构也有强度、刚度和稳定问题； 大型桥梁的强度、刚度、稳定问题 强度、刚度、稳定性

三、基本假设 1、连续性假设：物质密实地充满物体所在空间，毫无空隙。（可用微积分数学工具） 2、均匀性假设：物体内，各处的力学性质完全相同。 3、各向同性假设：组成物体的材料沿各方向的力学性质完全相同。（这样的材料称为各项同性材料；沿各方向的力学性质不同的材料称为各项异性材料。） 4、小变形假设：材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形与原始尺寸相比甚小，故对构件进行受力分析时可忽略其变形。 假设

四、杆件变形的基本形式

五、内力?截面法?轴力 1、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。 2、截面法 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。

（1）截面法的基本步骤： ①截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 ③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力） 截面法

第2章土中应力计算(土力学与地基基础教案)

第2章土中应力计算 一、知识点： 2.1 概述 2.2 土中自重应力 2.3 基底压力(接触应力) 2.3.1 基底压力的简化计算 2.3.2 基底附加压力 2.4 地基附加应力 2.4.1 竖向集中力下的地基附加应力 2.4.2 矩形基础下的地基附加应力 2.4.3 线荷载和条形荷载下的地基附加应力 2.4.4 非均质和各向异性地基中的附加应力 2.5 地基沉降的弹性力学公式 二、考试内容： 重点掌握内容 1．自重应力在地基土中的分布规律，均匀土、分层土和有地下水位时土中自重应力的计算方法。2．基底接触压力的概念，基底附加压力的概念及计算方法。 3．基底附加压力的概念，基底附加压力在地基土中的分布规律。应用角点法计算地基土中任意一点的竖向附加应力。 三、本章内容： §2.1 概述 建筑物的建造使地基土中原有的应力状态发生变化，从而引起地基变形，出现基础沉降。由于建筑物荷载差异和地基不均匀等原因，基础各部分的沉降或多或少总是不均匀的，使得上部结构之中相应地产生额外的应力和变形。基础不均匀沉降超过了一定的限度，将导致建筑物的开裂、歪斜甚至破坏，例如砖墙出现裂缝、吊车轮子出现卡轨或滑轨、高耸构筑物倾斜、机器转轴偏斜以及与建筑物连接管道断裂等等。因此，研究地基变形，对于保证建筑物的正常使用、经济和牢固，都具有很大的意义。 地基的沉降，必须要从土的应力与应变的基本关系出发来研究。对于地基土的应力一般要考虑基底附加应力、地基自重应力和地基附加应力。地基的变形是由地基的附加应力导致，变形都有一个由开始到稳定的过程。我们把地基稳定后的累计变形量称为最终沉降量。地基应力一般包括由土自重引起的自重应力和由建筑物引起的附加应力，这两种应力的产生条件不相同，计算方法也有很大差别。此外，以常规方法计算由建筑物引起的地基附加应力时，事先确定基础底面的压力分布是不可缺少的条件。 从地基和基础相互作用的假设出发，来分析地基上梁或板的内力和变形，以便设计这类结构复杂的连续基础时，也要以本章的有关内容为前提。 地基土的变形都有一个由开始到稳定的过程，各种土随着荷载大小等条件的不同，其所需时间的差别很大，关于地基变形随时间而增长的过程是土力学中固结理论的研究内容。它是本章的一个重要组成部分。在工程实践中，往往需要确定施工期间和完工后某一时间的基础沉降量，以便控制施工速度，确定建筑物的使用措施，并要考虑建筑物有关部分之间的预留净空和连接方式，还必须考虑地基沉降与时间的关系。 §2.2 土中自重应力 土是由土粒、水和气所组成的非连续介质。若把土体简化为连续体，而应用连续体力学(例如弹性力学)来研究土中应力的分布时，应注意到，土中任意截面上都包括有骨架和孔隙的面积在内，所

土力学第二章(渗透性)

第二章：土的渗透性 名词解释 1、渗透系数：是表征土的渗透性大小的指标，等于单位水力坡度下的渗透流速i v K = 。 2、渗透压力：由于渗流作用在建筑物基底产生的单位面积压力。 3、渗透力：由渗透水流施加在单位土体上的拖曳力。 4、流土：在渗流作用下，局部土体表面隆起，或某一范围内土粒群体同时发生移动的现象。 5、管涌：在渗流作用下，无粘性土中的细小颗粒通过较大颗粒的孔隙，发生移动并被带出的现象。 6、接触流失：当渗透水流垂直于渗透系数相差较大的两种土体接触面时,把细粒土带出并透过粗粒土而流失的现象。 7、接触冲刷：当渗透水流平行于不同介质的接触面流动时,把颗粒带走的现象。 8、临界水力坡度：使土体开始发生渗透变形的水力坡度。 简答 1、何为渗透力，其大小和方向如何确定？ 答：渗透力是指由渗透水流施加在单位土体上的拖曳力。渗透力的大小与渗透水流水力坡度成正比，其方向为渗透水流方向。 2、土的渗透性指标是什么？其物理意义是什么？ 答：描述土的渗透性大小的指标是渗透系数。其物理意义是单位水力坡度下的渗透流速。i v K = 3、达西定律计算出的渗透流速是否是土的真实渗透流速？二者有何区别 答：不是。用达西定律计算出的渗透流速是渗透水流在整个土体横断面上的平均流速。土的真实渗透流速是渗透水流在土体孔隙面积上的平均流速，其值要比用达西定律计算出的渗透流速大。 4、影响土的渗透性的主要因素有哪些？ 答：影响土的渗透性的主要因素有土的颗粒大小和级配、土的密实度、水的动力粘滞系数和土中封闭气体的含量。 5、防止渗透变形的措施有哪些？ 答：防止土体产生渗透变形的工程措施是“上挡下排”或“上堵下疏”的原则。上挡主要是在上游做好防渗措施（如水平防渗或垂直防渗等），下排是指在下游要做好排水措施（如设排水体，挖排水沟和排水井等）。

弹性力学 第二章 应力状态分析

第二章应力状态分析 一、内容介绍 弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。 应力状态是本章讨论的首要问题。由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。因此，一点各个截面的应力是不同的。确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。 本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。 二、重点 1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量； 2、平衡微分方程与切应力互等定理； 3、面力边界条件； 4、应力分量的转轴公式； 5、应力状态特征方程和应力不变量； 知识点： 体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力 分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质； 截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量； 切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态 特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量 §2.1 体力和面力 学习思路:

本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。 应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。 体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。 面力矢量用F s表示，其分量用F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表示。 体力和面力分量的方向均规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。 学习要点： 1、体力； 2、面力。 1、体力 作用于物体的外力可以分为两种类型：体力和面力。 所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。 面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。为了表明物体在xyz坐标系内任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点的邻域取一微小体积元素△V，如图所示 设△V 的体力合力为△F，则P点的体力定义为 令微小体积元素△V趋近于0，则可以定义一点P的体力为

第二章应力状态 弹塑性力学基本理论及应用_刘土光

第二章 应力状态理论 2.1 应力和应力张量 在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置发生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。用以描述物体在受力后任何部位的内力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论应力矢量和某一点处的应力状态。 为了说明应力的概念，假想把受—组平衡力系作用的物体用一平面A 分成A 和B 两部分(图2.1)。如将B 部分移去，则B 对A 的作用应代之以B 部分对A 部分的作用力。这种力在B 移去以前是物体内A 与B 之间在截面C 的内力，且为分布力。如从C 面上点P 处取出一包括P 点在内的微小面积元素S ?，而S ?上的内力矢量为F ?，则内力的平均集度为F ?／S ?，如令S ?无限缩小而趋于点P ，则在内力连续分布的条件下F ?／S ?趋于一定的极限σ，即 σ=??→?S F S 0lim 这个极限矢量σ就是物体在过c 面上点P 处 的应力。由于S ?为标量，故，σ的方向与F ?的 极限方向一致。内力矢量F ?可分解为所在平面 的外法线方向和切线方向两个分量n F ?和s F ?。 同样，应力σ可分解为所在平面的外法线方向 和切线方向两个分量。沿应力所在平面 的外法线方向n 的应力分量称为正应力，记为n σ，沿切线方向的应力分量称为切应力，记为 n τ。此处脚注n 标明其所在面的外法线方向，由此， S ?面上的正应力和切应力分别为n σ和n τ。 在上面的讨论中，过点P 的平面C 是任选的。显然，过点P 可以做无穷多个这样的平面C ，也就是说，过点P 有无穷多个连续变化的n 方向。不同面上的应力是不同的。这样，就产生了如何描绘一点处的应力状态的问题。为了研究点P 处的应力状态，在点P 处沿坐标轴x ，y ，z 方向取一个微小的平行六面体(图2.2)，其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的正负方向重合，其边长分别为x ?，Δy ，Δz 。假定应力在各面上均匀分布，于是各面上的应力便可用作用在各面中心点的一个应力矢量来表示，每个面上的应力矢量又可分解关一个正应力和两个切应力分量，如图2.2所示。以后，对正应力只用一个字母的下标标记，对切应力则用两个字母标记*其中第一个字母表示应力所在面的外法线方向；第二个字母表示应力分量的指向。正应力的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。切应力的正负号规定分为两种情况：当其所在面的外法线与坐标轴的正方向一致时，则以沿坐标轴正方向的切应力为正，反之为负；当所在面的外法线与坐标袖的负方向一致时，则以沿坐标轴负方向的切应力为正，反之为负。图2.2中的各应力分量均 图2.1 应力矢量

弹塑性力学简答题

弹塑性力学简答题

弹塑性力学简答题 第一章 应力 1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？ 物体边界点的平衡条件。 3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？ 相同。110220330 S S S σσσσσσ=+=+=+。 4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？ 不规则，内部受力不一样。 5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？ 保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点？ 该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0，为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。 固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？ 第二章 应变 1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量，问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？ 满足。根据几何方程求出各应变分量，则变形协调方程自然满足，因为变形协调方程本身是从几何方程中推导出来的。 5、应变协调方程的物理意义是什么？ 对于单连通体，协调方程是保证由几何方程积分出单值连续的充分条件。多于多连通体，除满足协调方程方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条件。 6、已知物体内一组单值连续的位移，试问通过几何方程给出的应变一定满足变形协调方程吗？为什么？

《材料力学》第章%B应力状态和强度理论%B习

第七章 应力状态和强度理论 习题解 [习题7-1] 试从图示各构件中A 点和B 点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。 [习题7-1（a ）] 解：A 点处于单向压应力状态。 2244 12d F d F F A N A ππσ-=-== [习题7-1（b ）] 解：A 点处于纯剪切应力状态。 331616 1d T d T W T P A ππτ-=== MPa mm mm N 618.798014.3108163 36=????= [习题7-1（b ）] 解：A 点处于纯剪切应力状态。 0=∑A M 04.028.02.1=?--?B R )(333.1kN R B = A σ A τ

)(333.1kN R Q B A -=-= MPa mm N A Q A 417.01204013335.15.12-=??-=? =τ B 点处于平面应力状态 MPa m m m m m m N I y M z B B 083.21204012 130103.0333.1436=??????==σMPa m m m m m m N b I QS z z B 312.0401204012 145)3040(13334 33 *-=??????-== τ [习题7-1（d ）] 解：A 点处于平面应力状态 MPa m m m m N W M z A A 064.502014.332 1103.39333=????==σ MPa m m m m N W T P A 064.502014.316 1106.78333 =????== τ [习题7-2] 有一拉伸试样，横截面为mm mm 540?的矩形。在与轴线成0 45=α角的面上切应力MPa 150=τ时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力F 。 解：A F x = σ；0=y σ；0=x τ 004590cos 90sin 2 x y x τσστ+-= A F 20 45= τ 出现滑移线，即进入屈服阶段，此时， 15020 45≤= A F τ kN N mm mm N A F 6060000540/30030022==??== [习题7-3] 一拉杆由两段沿n m -面胶合而成。由于实用的原因，图中的α角限于0 60 ~0范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力][τ为许用拉应力][σ的4/3 ，且这一拉杆 A τ B τ B σA τA σ

材料力学习题册答案-第7章+应力状态

第 七 章 应力状态 强度理论 一、 判断题 1、平面应力状态即二向应力状态，空间应力状态即三向应力状态。 (√) 2、单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零。 (√) 3、单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零。 (×) 原因：正应力一般不为零。 4、单向应力状态的应力圆和三向均匀拉伸或压缩应力状态的应力圆相同，且均为应力轴 上的一个点。 (×) 原因：单向应力状态的应力圆不为一个点，而是一个圆。三向等拉或等压倒是为一个点。 5、纯剪应力状态的单元体，最大正应力和最大剪应力值相等，且作用在同一平面上。(×) 原因：最大正应力和最大剪应力值相等，但不在同一平面上 6、材料在静载作用下的失效形式主要有断裂和屈服两种。 (√) 7、砖,石等脆性材料式样压缩时沿横截面断裂。 (×) 8、塑性材料制成的杆件，其危险点必须用第三或第四强度理论所建立的强度条件来校核强度。 (×) 原因：塑性材料也会表现出脆性，比如三向受拉时，此时，就应用第一强度理论 9、纯剪应力状态的单元体既在体积改变，又有形状改变。(×) 原因：只形状改变，体积不变 10、铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀被胀裂，而管内的冰不会被破坏，只是因为冰的强度比铸铁的强度高。(×) 原因：铸铁的强度显然高于冰，其破坏原因是受到复杂应力状态 二、 选择题 1、危险截面是（ C ）所在的截面。 A 最大面积 B 最小面积 C 最大应力 D 最大内力 2、关于用单元体表示一点处的应力状态，如下论述中正确的一种是( D )。 A 单元体的形状可以是任意的 B 单元体的形状不是任意的，只能是六面体微元 C 不一定是六面体，五面体也可以，其他形状则不行 D 单元体的形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的硬力 3、受力构件内任意一点，随着所截取截面方位不同，一般来说（ D ） A 正应力相同，剪应力不同 B 正应力不同，剪应力相同 C 正应力和剪应力均相同 D 正应力和剪应力均不同 4、圆轴受扭时，轴表面各点处于（ B ） A 单向应力状态 B 二向应力状态 C 三向应力状态 D 各向等应力状态 5、分析处于平面应力状态的一点，说法正确的是（ B ）。 A a σ=0时，必有a τ=max τ或a τ=min τ B a τ=0时，必有a σ=max σ或a σ=min σ C a σ+90a σ+及|a τ|+|90a τ+|为常量 D 1230σσσ≥≥≥

土力学__第6章土中应力.doc

第6章 土中应力 一简答题 1．成层土地基可否采用弹性力学公式计算基础的最终沉浸量？ 2．在计算基础最终沉降量（地基最终变形量）以及确定地基压缩层深度（地基变形计算深度）时，为什么自重应力要用有效重度进行计算？ 3．有一个基础埋置在透水的可压缩性土层上，当地下水位上下发生变化时，对基础沉降有什么影响？当基础底面为不透水的可压缩性土层时，地下水位上下变化时，对基础有什么影响？ 4．两个基础的底面面积相同，但埋置深度不同，若低级土层为均质各向同性体等其他条件相同，试问哪一个基础的沉降大？为什么？ 5．何谓超固结比？在实践中，如何按超固结比值确定正常固结土？ 6．正常固结土主固结沉降量相当于分层总和法单向压缩基本公式计算的沉降量，是否相等？ 7．采用斯肯普顿-比伦法计算基础最终沉降量在什么情况下可以不考虑次压缩沉降？ 8．简述有效应力原理的基本概念。在地基土的最终变形量计算中，土中附加应力是指有效应力还是总应力？ 9．一维固结微分方程的基本假设有哪些？如何得出解析解 10．何谓土层的平均固结度？如何确定一次瞬时加载、一级加载和多级加载时的地基平均固结度？ 二填空题 1．分层总和法计算地基沉降量时，计算深度是根据 应力和 应力的比值确定的。 2．饱和土的有效应力原理为： ，土的 和 只随有效应力而变。地下水位上升则土中孔隙水压力 有效应力 。 3．地基土层在某一压力作用下，经历时间t 所产生的固结变形量与最终固结变形量之比值称为 。 三选择题 1．对非压缩性土，分层总和法确定地基沉降计算深度n z 的标准是（ ）。 (A) z c σσ1.0≤ ； (B) z c σσ2.0≤ ； (C) c z σσ1.0≤ ； (D) c z σσ2.0≤ 2．薄压缩层地基指的是基底下可压缩土层的厚度H 与基底宽度b 的关系满足（ ）。 (A) b H 3.0≤ ； (B) b H 5.0≤ ；(C) b H ≤ ； (D) b H ≥ 3．超固结比1＞OCR 的土属于（ ） 。 (A) 正常固结土 ； (B) 超固结土 ；(C) 欠固结土 ； (D) 非正常土 4．饱和黏性土层在单面排水情况下的固结时间为双面排水的（ ）。 (A) 1倍 ； (B) 2倍 ； (C) 4倍 ； (D) 8倍 5．某黏性土地基在固结度达到40%时的沉降量为100mm ，则最终固结沉降量为（ ）。 (A) 400mm ； (B) 250mm ； (C) .200mm ； (D) 140mm 6．对高压缩性土，分层总和法确定地基沉降计算深度n z 的标准是（ ）。 (A) z c σσ1.0≤ ； (B) z c σσ2.0≤ ； (C) c z σσ1.0≤ ； (D) c z σσ2.0≤ 7．计算时间因数V T 时，若土层为单面排水，则式中的H 取土层厚度的（ ）。

材料力学B试题7应力状态_强度理论

(2) 主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体上。 解：(1) MPa 6.762sin 2cos 2 2 =--+ += ατασσσσσα x y x y x MPa 7.322cos 2sin 2 -=+-=ατασστα x y x (2) 2 2min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=98.12198.81-=MPa 98.811=σMPa ，02 =σ，98.1213-=σ MPa 35.3940 200 arctan 21)2arctan( 2 10== --=y x xy σστα 2. 解：取合适坐标轴令25=x σ MPa ，9.129-=x τ由02cos 2sin 2 120 =+-= ατασστxy y x 得125-=y σMPa 所以2 2m in m ax )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-± += 200 100 15050)9.129(755022-= ±-=-+± -= MPa 1001=σ MPa ，02=σ，2003-=σ MPa 3. 一点处两个互成 45平面上的应力如图所示，其中σ未知，求该点主应力。 解：150=y σ MPa ，120-=x τ MPa

由 ατασστ2cos 2sin 2 45 xy y x +-= 802 150 -=-= x σ 得 10-=x σ MPa 所以 2 2min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+= 22 .7422.214-= MPa 22.2141=σ MPa ，02=σ，22.743-=σ 4. 图示封闭薄壁圆筒，内径100=d mm ，壁厚2=t mm ，承受内压4=p MPa ，外力偶矩192.0=e M kN ·m 。求靠圆筒内壁任一 点处的主应力。 解：75.505.032 ) 1.0104.0(π1019 2.0443 =?-?= x τ MPa 504==t pd x σ MPa 1002==t pd y σ MPa 35.497.100)2 (22 2min max =+-±+=xy y x y x τσσσσσσ MPa 7.1001=σ MPa ，35.492=σ MPa ，43-=σ MPa 5. 受力体某点平面上的应力如图示，求其主应力大小。 解：取坐标轴使100=x σMPa ，20=x τ α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 x y x y x --+ += ' 45-M e

弹塑性力学总结读书报告

弹塑性力学读书报告 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究可变形固体变形规律的一门学科。研究可变形固体在荷载（包括外力、温度变化等作用）作用时，发生应力、应变及位移的规律的学科。它由弹性理论和塑性理论组成。弹性理论研究理想弹性体在弹性阶段的力学问题，塑性理论研究经过抽象处理后的可变形固体在塑性阶段的力学问题。因此，弹塑性力学就是研究经过抽象化的可变形固体，从弹性阶段到塑性阶段、直至最后破坏的整个过程的力学问题。弹塑性力学也是连续介质力学的基础和一部分。弹塑性力学包括：弹塑性静力学和弹塑性动力学。 弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。 1 基本思想及理论 1.1科学的假设思想 人们研究基础理论的目的是用基础理论来指导实践，而理论则是通过对自然、生活中事物的现象进行概括、抽象、分析、综合得来，在这个过程中就要从众多个体事物中寻找规律，而规律的得出一般先由假设得来，弹塑性力学理论亦是如此。固体受到外力作用时表现出的现象差别根本的原因在于材料本身性质差异，这些性质包括尺寸、材料的方向性、均匀性、连续性等，力学问题的研究离不开数学工具，如果要考虑材料的所有性质，那么一些问题的解答将无法进行下去。所以，在弹塑性力学中，根据具体研究对象的性质，并联系求解问题的范围，忽略那些次要的局部的对研究影响不大的因素，使问题得到简化。 1.1.1连续性假定 假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。 1.1.2线弹性假定（弹性力学）

材料力学应力状态

材料力学应力状态

关键词：单元体的取法，莫尔应力圆的前提 有那么一个单元体后（单元体其中的一对截面上主应力=0（平面）或平衡（空间），也就是单元体的一对截面为主平面），才有这么 一个隔离体，才有那么一个莫尔应力圆和表达式 也就是：取的单元体不同，则单元体的应力特点不一样，从而用截面法求任意截面上的应力取隔离体列平衡方程时，隔离体的受力特点不同，从而球出来的表达式也不同，只有这种表达式才适合 莫尔应力圆。 因此拿到一个单元体后，不要急着应用莫尔应力圆，要先看它的特点适合不适合莫尔应力圆，也就是σα和τα的表达式球出来以后还是 不是下面的这个公式。

σy的形式。比如，面的外法线之间的夹角，这样公式中才是σx— 当α表示的是斜截面的外法线与σ1所在平面的夹角，那么公式就是σ1—σ2的形式；不论是谁减谁，应力圆的性状都不变； 1.首先，先有主平面和主应力的概念，剪应力为0的平面为主平面，主平面上的正应力为主应力； 2.然后，由于构件受力情况的不同，各点的应力状态也不一样，可以按三个主应力中有几个不等于零而将一点处的应力状态划分为三类： ?单向应力状态：只有一个主应力不等于零，如受轴向拉伸和压缩的直杆及纯弯曲的直杆内各点的应力状态。 ?二向应力状态(平面应力状态)：有两个主应力不等于零，如受扭的圆轴，低压容器器壁各点的应力状态。 ?三向应力状态：三个主应力都不等于零，如高压容器器壁内各点的应力状态。 3.然后，根据受力宏观判断是单轴应力状态还是平面应力状态还是三轴应力状态，取单元体关键，单元体取的不同，单元体上的应力也不同，做莫尔圆的繁简程度也不同，对于平面应力状态，当然要用主应力=0的那个截面参与单元体截取；

弹塑性力学 应力和应变之间的关系

我所认识的应力和应变之间的关系 在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系是满足胡克定律的一一对应的关系。在三维应力状态下描述一点处的应力状态需要9个分量，相应的应变状态也要用9个应变分量来表示。对于一个具体的理想弹性体来讲，如果在三维应力状态下，应力与应变之间仍然有线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。 所谓各向弹性体，从力学意义上讲，就是弹性体内的每一点沿各个方向的力学性质都完全相同的。这类线性弹性体独立的唐兴常数只有两个。 各向同性体本构关系特点：1.主应力与主应变方向重合。2.体积应力与体积应变成比例。 3.应力强度与应变强度成比例。 4.应力偏量与应变偏量成比例。工程应用中，常把各向同性弹性体的本构方程写下成11()11()11()x y z xy xy y x z yz yz z y x xz xz E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ???=-+=???????=-+=???????=-+=???? ，式中分别为弹性模量、泊松比和剪切模量。在E G μ、、这三个参数之间，实际上独立的常量只有两个，它们之间存在关系为() 21E G μ=+。 屈服条件:弹性和塑性的最主要区别在于变形是可以恢复。习惯上，根据破坏时变形的大小把工程材料分为脆性材料和塑性材料两类。对于加载过程如图1 OA: 比例阶段；线性弹性阶段 AB: 非弹性变形阶段 BC ： 初始屈服阶段 s σσ≤ CDE ：强化阶段；应变强化硬化阶段 EF ： 颈缩阶段；应变弱化，软化阶段 s σσ≥ C 点为初始屈服点具有唯一性。在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任意一点D 处卸 载，应力和应变之间将不再遵循原有的加载曲线规 律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ’变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。如果用OD ’表示总应变ε，O ’D ’表示可以恢复的弹性应变e ε，OO ’表示不能恢复的塑性应变p ε，则有e p εεε=+，即总应变等于弹性应变加上塑性应变。若在卸载后重新加载，则曲线基本上仍沿直线O ’D 变化，直至超过D 点的应力之后，才会产生新的塑性变形。由此看来，在经过前次塑性变形后，屈服应力提高了，这种现象称为应变强化现象。为了与初始屈服相区别，我们把机箱发生新的塑性变形时的材料的再次屈服称为后

第二章_应力分析

第二章 应力分析 研究弹性力学问题要从三方面规律（条件）：平衡、几何、物理来建立，本章就是研究第一个规律：平衡规律。 第1节 内力和外力 1.1 外力： 物体承受外因而导致变形，外因可以是热力作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积力和表面积力。我们讨论的外力是属于机械力中的体力和面力的范围。 1． 外部体力：作用在物体单位体积（质量）上的力如重力（惯性力）。 量纲：力/（长度）3。 求V 中任意点P 上承受体力采用极限方法： X X 2 X X 2

第2节 应力和应力张量 2.1 应力 当变形体受外力作用时，要发生变形，同时引起物体内部各点之间相互作用力（抵抗力）——内力，为了描述物体内任意点P 的内力可采取如下方法： 过P 点设一个截面S 将V 分为两部分：（作用力与反作用力） F F -

l n n x ==1、m n n y ==2、n n n z ==3。即 n t m t l t n t n t n t n t t z y x i i n )()()(3)3(2)2(1)1()()( ++=++== , , 1S n P B C S A B C ????== 0)()(=++-V f S t S t i i n ??? 而 S n S t t i i i i ??=-=-, )()( 代入上式，并忽略高阶微量 0)()(=-S n t S t i i n ?? 或 )()(i i n t n t = 展开为 3)3(2)2(1)1()(n t n t n t t n ++= 或 n t m t l t t z y x n )()()()( ++= 2.1 应力张量 每个坐标面上的应力矢量又可以沿三个坐标面分解三个分量，比如坐标面法线为x 1 j xj j j z xz y xy x xx x e e e e e e e e t t σσσσσσσσ==++=++==1313212111)()1( x 2 x 1 x 1 (x) x 3, ,32S n PAB S n PAC ?=??=?

jlu塑性力学复习题

塑性力学复习题 一、填空题 1．塑性变形不仅与当前的应力状态有关，还和（加载历史）有关。 2．对一般金属，体积应变完全是（）的，静水压力不产生（）。它对屈服极限的影响（）。 3．下图是低碳钢作简单拉伸试验得到的应力—应变曲线。 （1）图中P点的纵坐标称为（），记作（）。Q点的纵坐标称为（），记作（）。对应于R点的应力称为（），对应于SA的应力称为（）。一般把（）称为屈服极限，以（）表示。 σ阶段，服从（）。 （2）在σ≤ s （3）σ—ε曲线的ABF段称为（）。 （4）卸载时卸掉的应力σ'与恢复的应变ε'之间也应当服从（）。 （5）经过一次塑性变形以后再重新加载的试件，其弹性段增大了，屈服极限提高了。这种现象称为（）。 （6）σ—ε曲线至F点后开始下降，这是由于在F点处试件已开始出现（）现象。 ε=（）， 4．八面体面上的正应变为 8 γ（）。 剪应变为= 8 σ=（）。 5．用主应力表示的等效应力（或应力强度）为： i 用六个应力分量表示的等效应力（或应力强度）为： σ=（）。 i 6．用主应力表示的等效剪应力（或剪应力强度）为：T = （）。 用六个应力分量表示的等效剪应力（或剪应力强度）为： T = （）。 μ=（）。 7．应力状态的Lode参数为： σ ε=（）。 8．用主应变表示的等效应变（或应变强度）为： i 用六个应变分量表示的等效应变（或应变强度）为： ε= （）。 i 9．用主应变表示的等效剪应变（或剪应变强度）为：Γ=（）。 用六个应变分量表示的等效剪应变（或剪应变强度）为：

Γ=（ ）。 10．表示应变状态特征的Lode 参数为：εμ=（ ）。 11．第一应力不变量为：1I =（ ）=（ ）。 第二应力不变量为：2I =（ ）=（ ）。 第三应力不变量为：3I =（ ）=（ ）。 12．第一应变不变量为：1I '=（ ）=（ ）。 第二应变不变量为：2I '=（ ）=（ ）。 第三应变不变量为：='3I （ ）=（ ）。 13．应力偏张量的第一不变量为：=1J （ ）。 应力偏张量的第二不变量为：2J =（ ） =（ ）。 应力偏张量的第三不变量为：3J =（ ）=（ ）。 14．应变偏张量的第一不变量为：='1J （ ）。 应变偏张量的第二不变量为：='2 J （ ） =（ ）。 应变偏张量的第三不变量为：3J '=（ ）=（ ）。 15．在应力空间中，靠近坐标原点且包括原点在内，有一个弹性区（在这个区内的点所表示的应力状态处于弹性阶段），而在其外则为塑性区（其中各点所表示的应力状态已进入塑性阶段）。这两个区的分界叫做（ ）。 16．主应力按大小顺序排列时的Tresca 屈服条件为（ ）。 17．主应力不按大小顺序排列时的Tresca 屈服条件为 （ ）。 18．用应力偏张量的第二，第三不变量表示的Tresca 屈服条件为： （ ）。 19．Mises 屈服条件为（ ） 或（ ）。 二、判断题（如果题中的说法正确，就在后面的括号里填“√”反之填“×”） 1．塑性应变和应力之间具有一一对应的关系。（ ） 2．进入塑性状态后，应力与应变之间呈非线性关系。（ ）。 3．一个已知应力状态（σ1，σ2，σ3）对应π平面上唯一的点S 。反之，π平面上的一点S 也唯一地确定它所代表的原始应力状态。（ ） 4．如果以单向拉伸得到的σ为基础，则Mises 屈服条件和Tresca 屈服条件在单向拉压应力状态下完全一致，（ ）在纯剪切时二者差异最大，约为15％。（ ） 三、选择题（只能选一个答案） 1．如果规定σ1≥σ2≥σ3，则最大剪应力为（ ）： a ．22 1max σστ-=； b ．231max σστ-=； c ．2 32max σστ-=。 2．单向拉伸（0,0321==>σσσ）时应力状态的Lode 参数为（ ）。 a ．σμ=－1； b ．σμ=0； c ．σμ=1。 3．纯剪切（312,0σσσ-==）时应力状态的Lode 参数为（ ）。 a ．σμ=－1； b ．σμ=0； c ．σμ=1。 4．单向压缩（0,0321<==σσσ）时应力状态的Lode 参数为（ ）。