弹塑性力学基本理论及应用 刘土光 华中科技大学研究生院教材基金资助 第二章应力状态

第二章 应力状态理论

2.1 应力和应力张量

在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置发生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。用以描述物体在受力后任何部位的内力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论应力矢量和某一点处的应力状态。

为了说明应力的概念，假想把受—组平衡力系作用的物体用一平面A 分成A 和B 两部分(图2.1)。如将B 部分移去，则B 对A 的作用应代之以B 部分对A 部分的作用力。这种力在B 移去以前是物体内A 与B 之间在截面C 的内力，且为分布力。如从C 面上点P 处取出一包括P 点在内的微小面积元素S ?，而S ?上的内力矢量为F ?，则内力的平均集度为F ?／S ?，如令S ?无限缩小而趋于点P ，则在内力连续分布的条件下F ?／S ?趋于一定的极限σo ，即 σ=??→?S

F S 0lim 这个极限矢量σ就是物体在过c 面上点P 处

的应力。由于S ?为标量，故，σ的方向与F ?的

极限方向一致。内力矢量F ?可分解为所在平面

的外法线方向和切线方向两个分量n F ?和s F ?。

同样，应力σ可分解为所在平面的外法线方向

和切线方向两个分量。沿应力所在平面

的外法线方向n 的应力分量称为正应力，记为n σ，沿切线方向的应力分量称为切应力，记为

n τ。此处脚注n 标明其所在面的外法线方向，由此， S ?面上的正应力和切应力分别为

在上面的讨论中，过点P 的平面C 是任选的。显然，过点P 可以做无穷多个这样的平面C ，也就是说，过点P 有无穷多个连续变化的n 方向。不同面上的应力是不同的。这样，就产生了如何描绘一点处的应力状态的问题。为了研究点P 处的应力状态，在点P 处沿坐标轴x ，y ，z 方向取一个微小的平行六面体(图2.2)，其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的正负方向重合，其边长分别为x ?，Δy ，Δz 。假定应力在各面上均匀分布，于是各面上的应力便可用作用在各面中心点的一个应力矢量来表示，每个面上的应力矢量又可分解关一个正应力和两个切应力分量，如图2.2所示。以后，对正应力只用一个字母的下标标记，对切应力则用两个字母标记*其中第一个字母表示应力所在面的外法线方向；第二个字母表示应力分量的指向。正应力的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。切应力的正负早规定分为两种情况：当其所在面的外法线与坐标轴的正方向一致时，则以沿坐标轴正方向的切应力为正．反之为负；当所在面的外法线与坐标袖的负方向一致时，则以沿坐标轴负方向的切应力为正，反之为负。图2.2中的各应力分量均为正。应力及其分量的单位为Pa 。

图2.1 应力矢量

图2.2 应力表示法

由图2.2可知，当微小的平行六面体趋于无穷小时，六面体上的应力就代表一点处的应力。因此，一点处的应力分量共有9个，其中有3个正应力分量、6个切应力分量，由切应力互等定理可知，实际上独立的切应力分量只有3个。把这9个应力分量按一定规则排列，令其中每一行为过一点的一个面上的3个应力分量，即得如下应力张量，在数学上称之为二阶张量。

????

??????=z zy zx yz y yx xz xy x ij στττστττσσ

其中 i ，j =(x ，y ，z )，当i ，j 任取x ，y ，z 时，则得到相应的应力分量，但xx σ，yy σ，zz σ分别简写为x σ，y σ，z σ。

应当指出，物体内各点的应力状态，一般并不是相同的，即非均匀分布的，

因此各点的应力分量是坐标z ，y ，z 的函数。所以，应力张量ij σ与给定点的空间位置有关，同时应力张量是针对物体中的某一确定点而言的，今后将会看到，应力张量完全确定了一点处的应力状态。

张量符号与下标记号法使冗长的弹塑性力学公式变得简明醒目，在文献中已被广泛应用，今后将逐渐熟悉这种标记法。

2.2 二维应力状态与平面问题的平衡微分方程式

上节中讨论应力概念时，是从三维受力物体出发的，其中点P 是从一个三维空间中取出来约点。为简单起见，首先讨论平面问题。掌提了平面问题以后．再讨论空间问题就比较容易了。

当受载物体所受的面力和体力以及其应力都与某—个坐标轴(例如z 轴)无关。平面问题又分为平面应力问题与平面应变问题。

1. 平面应力问题

如果考虑如图2.3所示物体是一个很薄的

平板，荷载只作用在板边，且平行于板面，即

xy 平面，z 方向的体力分量Z 及面力分量z F 均

为零，则板面上(2/δ±=z 处)应力分量为 0)(2

=±=δσz z 0)()(22==±=±=δ

δ

ττz zy z zx

因板的厚度很小，外荷载又沿厚度均匀分布，

所以可以近似地认为应力沿厚度均匀分布。由此，

在垂直于z 轴的任一微小面积上均有

0=z σ， 0==zy zx ττ 图2.3 平面应力问题 根据切应力互等定理，即应力张量的对称性，必然有0==xz yx ττ。因而对于平面应力状态的应力张量为

????

??????=00000y

yx xy

x ij σττσσ

也可写为

??????=y yx

xy x ij σττσσ 如果z 方向的尺寸为有限量，仍假设0=z σ，0==zy zx ττ，且认为x σ，y σ和xy τ(yx τ)为沿厚度的平均值，则这类问题称为广义平面应力问题。

2. 平面应变问题

如果物体纵轴方向(oz 坐标方向)的尺寸很长，外荷载及体力为沿z 轴均匀分布地作用在垂直于oz 方向，如图2.4所示的水坝是这类问题的典型例子。忽略端部效应，则因外载沿z 轴方向为一常数，因而可以认为，沿纵轴方向各点的位移与所在z 方向的位置无关，即z 方向各点的位移均相同。令

u 、v 、w 分别表示一点在x 、y 、z 坐标方向的位移

分量，则有w 为常数。等于常数的位移w 并不伴随产

生任一xy 平面的翘曲变形，故研究应力、应变问题时，

可取0=w 。此外，由于物体的变形只在xy 平面内产生，

因此w 与z 无关。故对于平面应变状态有

图2.4 平面应变问题

??

???===0),(),(w y x v v y x u u

由对称条件可知，在xy 平面内)(zx xz ττ和)(zy yz ττ

恒等于零，但因z 方向对变形的约束，故z σ一般并不

为零，所以其应力张量为

????

??????=z y

yx xy

x ij σσττσσ0000

实际上z σ并不是独立变量，它可通过x σ和y σ求得，因此不管是平面应变问题还是平面应力问题，独立的应力分量仅有3个，即x σ、y σ和xy τ(=yx τ)，对于平面应变问题的求解，可不考虑z σ。

三. 平衡微分方程

物体在外力作用下处于平衡状态时，由各点应力分量与体力分量之间的关系所导出的方程称为平衡微分方程。如图2.5a)所示的平面应力问题，除面力外，在这个微单元体上还有体力的作用．单位体积的体力在二个坐标轴上的投影为Y X ,．而固体的质量密度为ρ。自弹性体内任一点P 处附近截取一单元体，

a) b)

图2.5 平面应力状态微元体的应力

它在x ，y 方向的尺寸分别为dx 和dy 。为了计算方便，在z 方向取单位长度，如图2.5b)所示。该单元体受有其相邻部分对它作用的应力和单元体的体力。由于在一般情况下应力分量是位置坐标的函数，因此在单元体左、右或上、下两对面上的应力不相等，而具有一微小的增量。若作用于ab 上的正应力和剪应力分别为x σ，则作用于cd 面上的正应力应随之变化。该变化可根据Taylor 级数展开，即

),(022dy dx dy y dx x ab

x ab x ab x cd x +??+

??+=σσσσ 由于ab,cd 线元上的应力分量均可用相应线元中点处的应力分量表示，以及略去二阶以上的微量后，由上式得cd 边上的正应力为 dx x

x x ??+σσ 同理，如ab 边上的切应力为xy τ，ad 边上的正应力和切应力分别为y σ，yx τ可

得cd 边上的切应力及bc 边的应力分量可类推分别得 dx x xy

xy ??+ττ dy

y dy y

yx

yx y y ??+??+

ττσσ 微单元体在面力及体力作用下处于平衡，必须满足静力平衡的三个方程式。如果考虑到质点运动，而按照牛顿第二定律，方程式的右边还应包括这个微单元体的质量与加速度在该坐标轴上的投影的乘积(即惯性力的投影)。

对于所研究的一点P 。，设其位移在坐标铀y x ,上的投影分别为v u ,，加速度的

投影可分别写为： 22t u ??, 22t

v ?? 若弹性体处于平衡状态，则取自物体内的单元体也必处于平衡状态。因而，根据

0=∑x F )(2dxdy t u ??=ρ，有 (dx x x x ??+σσ)0)(=+-??++-Xdxdy dx dx y

dy dy yx yx yx x τττσ)(2dxdy t u ??=ρ 将上式化简，并等式两边同除以dxdy ，可得 0=+??+??X y

x xy x τσ()22t u ??=ρ (2.2-1a)

由平衡方程式0=∑y F )22t

v ??=ρ，可类似导得

0=+??+??Y y x y

yx στ()22t v ??=ρ (2.2-1b) 根据平衡方程0=∑a m 得

0222)(2)(2)(2)(2222=-+??-??+-??+??++??-??dy Xdxdy dx Ydxdy dx dxdy t

v dxdy dy y dy dxdy t u dydx dx x dy dydx x dx dydx y yx yx xy xy x y

ρττρττσσ 略去三阶微量的项，得

yx xy ττ=

这就是前面曾提到的切应力互等定理。下面不再区分xy τ和yx τ。

式(2.2-1)为平面应力问题的平衡微分方程式，它表明了应力分量的变化与已知体力分量之间的关系；当改为括号内的项，就代表运动方程式，又称为柯西 (Chuchy )平衡运动微分方程。

式(2.2-1)是以平面应力为例导出的，对于平面应变问题，在图2.5(b)所示的

单元体上，一般在前、后两个面上还作用有正应力z σ，但由于它们自成平衡，不影响方程的建立，因而，式(2.2-1)对两种平面问题都适用。在建立上述方程时，我们是按照1.2节的小变形中假没，用物体变形以前的尺寸，而没有用变形后平衡状态下的尺寸。在以后建立任何平衡力程式时，都将作同样的处理，不再加以说明。

对于三维应力状态的情况，可从受力物体中取出一微小六面体单元，可类似

平面问题导出

zx xz ττ= ， zy yz ττ=

以及 ????

???????==+??+??+????==+??+??+????==+??+??+??)(0)(0)(0222222t w Z z y x t v Y z y x t u X z y x z zy zx yz y yx xz xy x ρσττρτστρττσ (2.2-2) 式(2.2-2)为三维情况下的平衡微分方程。

如果采用张量符号和下标记号法，切应力互等定理可缩写为

ji ij ττ= (z y x j i ,,,=)

由此可知，应力张量为一对称张量，一共有6个独立元素

????

????

??=z yz y xz xy x ij 对称στσττσσ)( 平衡方程也可缩写为

0,=+i j ij G σ (2.2-3) 其中j ij ,σ表示),,,(z y x j i ij =σ对),,(z y x j =取偏导数，而i G 当z y x i ,,=时，则分别代表Z Y X ,,。因此，0,=j ij σ，则代表 ????

?????=??+??+??=??+??+??=??+??+??000z y x z y x z y x z zy zx yz y yx xz xy x στττστττσ (2.2-4) 式(2.2-4)即是不计体力时们三维平衡微分方程式。

一点的应力状态

所谓一点的应力状态是指受力变形物体内一点的不同截面上的应力变化的状况。现以平面问题为例说明一点处应力状态。在受力物体中取一个如图2.6所示的微小三角形单元，，其中AC ，AB 与坐标轴y x ,重合，而BC 的外法线与z z 轴成θ角。取坐标'',y x ，使BC 的外法线方向与'x 方向重合(如图2.6)。如果xy y x τσσ,,已知，则BC 面上的正应力'x σ，和切应力''y x τ可用已知量表示。因θ角的任意性，

若BC 面趋于点

A 时，则可认为求得了描绘过点4处的应力状态的表达式。

实际上，这里所讨论的问题是一点处不同方向的面上的应

力的转换，即BC 面无限趋于点A 时，该面上的应力如何

用与原坐标相平行的面上的应力来表示。在这种问题的分

析中，可不必引入应力增量和体力，因为它们与应力相比

属于小量。

假定BC 的面积为1，则AB 和AC 的面积分别为

θcos 与θsin 。于是，由力在坐标y x ,的平衡条件 图2.6 一点的应力状态

0=∑x F 和0=∑y F ，

可得 θσθτθ

τθσsin cos sin cos y xy y xy x x p p +=+= (a)

式中y x p p ,为BC 面上单位面积的力p 在坐标轴y x ,方向上的分力(图 2.6)。将y x p p ,投影到'',y x 坐标轴方向，有

θθτθθσsin cos sin cos '''

y x y x y x x p p p p -=+= (b)

将式(b)代入式(a)，并注意到 θθ2cos 1cos 22+=，θθ2cos 1sin 22-=，θθθ2cos sin cos 22=-和θθθ2sin cos sin 2=，可得 θτθσσσσσ2sin 2cos 22'xy y

x y x x +-++= (2.3-1a) θτθσστ2cos 2sin 2''xy y x y x +--= (2.3-1b) 将式(2.3-1a)中的θ换成2πθ+

，则得 θτθσσσσσ2sin 2cos 22'xy y

x y x y ---+= (2.3-1c)

如果BC 面趋近于A 点，且已知A 点的应力分量xy y x τσσ,,时，则由式(2.3-1)

可求得过该点任意方向的平面上的应力分量。因此，对于平面问题，式(2.3-1)描述了该点的应力分布规律，即描述了该点的应力状态。

对于三向应力状态，可以采用类似于二维应力状态分析的方法。现在研究从受力物体中取出的任一无穷小的四面体(图2.7)。斜面ABC 的法线N 与坐标轴间的夹角的方向余弦分别是l 、m 、n 。四

面体棱边的长度分别dx 、dy 和dz 。设斜

面的面积为1，则三角形OBC 、OAC 、

OAB 的面积分别为

n

z N m y N l

x N =?=?=?),cos(1),cos(1),cos(1

如果ABC 面上单位面积上的力为p ，沿坐标

轴方向的分量z y x p p p ,,可由傲小四面体单元

图2.7 四面体的应力分布

的平衡条件得到

??

???++=++=++=n m l p n m l p n m l p z zy zx z yz y yx y xz xy x x στττστττσ (2.3-2)

式(2.3-2)是与坐标轴呈任意倾斜面止单位面积上的面力，该式也可按下标

记号法和求和约定缩写为

j ij i n p σ= (z y x j i ,,,=) (2.3-3) 式中j n 为斜面ABC 外法线n 与),,(z y x j =轴间夹角的方向余弦l 、m 、n 。

为了分析一点处应力的某些特征，现将坐标系oxyz 变换到新坐标系'''z y ox ，且新坐标系的'ox 轴与图 2.7中的法线方向n 重合，新旧坐标系间的方向余弦

，n ，z x ，m ，y x ，l x x 1'1'1')cos()cos(),cos(===…，

如表2.1所示，则'x 方向的正应力'

x σ为 'x σ=111n p m p l p z y x ++

将(2.3-2)代入上式，并注意到l 、m 、n 分别等于111，n ，m l ，则得

'x σ=)(2111111212121l n n m m l n m l xz yz xy z y x τττσσσ+++++

类似地将z y x p p p ,,在''，z y 方向投影，可得到

'y σ=)(2222222222222l n n m m l n m l xz yz xy z y x τττσσσ+++++

'z σ=)(2333333232323l n n m m l n m l xz yz xy z y x τττσσσ+++++

)()()(122112211221212121'

'n l n l n m n m m l m l n n m m l l zx yz xy z y x y x ++++++++=τττσσστ )()()(233223322332323232'

'n l n l n m n m m l m l n n m m l l zx yz xy z y x z y ++++++++=τττσσστ

)()()(311331133113131313''n l n l n m n m m l m l n n m m l l zx yz xy z y x x z ++++++++=τττσσστ 采用张量的方法，可将以上各式统一表示为

ij j j i i j i l l σσ''''= (2.3-4)

式(2.3-4)则是ij σ在坐标变换时所遵循的法则。凡是一组9个量ij σ，在坐标变换时遵从式(2.3-4)的法则就称为二阶张量。

２.4边界条件

当物体处于平衡状态时，除物体内部各点要满足平衡微分方程式(2.2-4)外，还应满走解条件。定解条件一般包括初始条件、边界条件或其它能确定唯一解答的补充条件。对于弹塑性静力学问题，定解条件主要是边界条件，所以弹塑性力学问题也就是数学物理方程中的边值问题。其它如约束条件、位移单值条件等也是常遇到的定解条件。

在弹塑性力学中，给定面力的边界，用σS 表示，结定位移的过界，用u S 表示，如图2.8所示。本节主要讨论弹塑性力学平面问题的边界条件。

a) b)

图2.8 平面问题边界条件

1. 位移边界条件

所谓位移边界条件，就是在给定位移的边界上，物体的位移分量必须等于边界

上的已知位移。

设平面弹塑性体在u S 边界上给定x 、y 方向上的位移分别为_u 和_

v ；，它们是

边界坐标的已知函数；而位移分量u 、v 则是坐标的待求函数。当把它们代入u S 边界的坐标时，则必等于该点所给定的位移，即

_u u =， _v v = 在u S (2.4-1)

对于三维问题，在u S 边界的位移边界条件为

_i i u u = (2.4-2)

此处),,(z y x i =，且对应于u 、v 、w 。

2. 应力边界条件

弹塑性体在外力作用下，处于平衡状态的条件，除物体内部各点的应力分量应满足平衡方程式(2.2-4)外，物体边界上各点也必须都是平衡的。由后者将导出应力边界条件。所谓应力边界条件就是在给定面力σS 的边界上应力分量与面力分量之间的关系。实质上，它是弹塑性体内部各点的平衡条件在其边界上的延续。因此，应力边界条件就是物体边界上点的平衡条件。

设平面弹性体在σS 上给定面力_X 、_Y ，它们是边界坐标的已知函数；而应力分量x σ、y σ、z σ则是坐标的待求函数。它们之间的关系可由边界上微元体的平衡条件求出。不失一般性，在物体的边界上取一微元体(一般取为三角形微元，因为它可以描述任意曲线边界)．如图2.8b)所示，它在平面问题中显然是三角板(平面应力)或三棱柱(平面应变)。

若令微元体边界面外法线N 与x 轴和y 轴夹角的方向余弦分别为l x N =),cos(，m y N =),cos(；斜边长为ds ，两直角边长分别为dx 和dy ，微元体的厚度仍取为1，则由图2.18b)，根据力的平衡条件有

?????

=+=+__Y m l X m l y xy xy x σττσ (2.4-3)

如当边界平行于x 轴时，有1,0±==m l 。这时，式(2.2-7)则为

_Y y ±=σ， _X xy ±=τ (在σS 边界上) (a)

而当边界平行y 轴时，有0,1=±=m l 。这时，式(2.2-7)则为

_X x ±=σ, _

Y xy ±=τ (在σS 边界上) (b) 由此可见，当物体的边界线与某一坐标轴平行(或垂直)时，应力边界条件变得十分简单，即应力分量的边界值就等于对应的面力分量，应力分量的符号取决于边界面的外法线方向。当边界面的外法线方向与坐标正向一致时，等式右边取正号，否则取负号。但应注意，面力本身还有正负号。其规定与应力符号法则相同。

对于三维问题，由力的平衡条件可得 ??

?????=++=++=++___Z n m l Y n m l X n m l z yz xz yz y xy xz xy x στττστττσ (2.4-4)

需要指出的是：在垂直x 轴的边界面上，应力边界条件中不出现y σ，而在垂直y 轴的边界上不出现x σ。当作用在边界面上的面力不连续时，应分段或展开成级数写出其边界条件；没有给定位移的自由边界，实际上是给定面力为零的应力边界，不能遗漏。

3.混合边界条件

在一般情况下，若用S 表示整个物体的表面积，则往往在其中一部分面积σS 上给出了面力，而在另一部分面积u S 上给定的是位移。如图2.9所示悬臂梁，固定端部分属于u S 部分，它给定位移而末给定外力；其余边界均属σS 部分，它的外力已给定 (包括外力等于零的部分)。显然，在u S 上各点应满足位

移边界条件式(2.4-1)，在

σS 上各点应满足

应力边界条件式(2.4-3)。

对于混合边界条件，可以分别给在边界

面的不同区域上，也可以给在同一区域的不

同方向上。也即，对于边界上的一个点，在

某一确定方向上，必须且只能给出u S 和σS 中

的一种，既不能同时给定，也不能同时不给 图2.9 受均布载荷悬臂梁 定；而同—点在两个互相垂直方向止，可以是

其中一个为σS ，另一个为u S 。

例2—1 如图2.9所示的一矩形截面悬臂梁，跨度为l ，梁上表面作用均匀载荷q 。试写出该问题的边界条件。并检查材料力学的应力公式是否满足力的边界条件。

解：由材料力学所得的应力分量为 z

x I y qx 23-=σ， 0=y σ, z z xy I qxS -=τ (a) 1) 梁的上表面2

h y =处 0_=X ， q Y -=_

而 0),cos(==x N l , 1),cos(-==y N m

代入力的边界条件(2.4-3)，则解得

0=yx τ， q y -=σ

由上式可知，因为材料力学作了纵向纤维无挤压的假设，无法算出y σ的分布规律。因此，材料力学的应力计算公式(a)结果并不满足上表面q y -=σ的边界条件。

2) 梁的下表面2

h y -=处 0_=X ， 0_=Y

而 1),cos(-==x N l ， 0),cos(==y N m

代入式(2.4-3)后解得

0=yx τ， 0=y σ

由上式可见，材料力学的应力计算公式(a)的结果满足该边界的力边界条件，其中0=y σ是由材料力学的假设得出的。

3) 0=x 的自由端处

0_=X ， 0_=Y

又 1),cos(-==x N l ， 0),cos(==y N m

代入式(2.4-3)后解得

0=xy τ， 0=y σ

因此，在该边材料力学的应力计算公式(a)的结果也满足该边界的力边界条件。 4) l x =的固定端处

因为固定端的外力分布没有具体给定．我们只能求出该端面上的合力和合力矩的大小。且固定端限制了梁的移动和转动，所以该截面的位移边界条件是很重要的。位移边界条件可表示为

0_=u ， 0_=v ， 0=??x u 或 0=??y

v (在l x =，0=y 处) 有关这方面的内容和处理方法将在后面的章节中详细介绍。

主应力、主切应力和八面体应力

在受力物体内一点任意方向的微小面元上，一般都有正应又和切应力，不同方向的面元上这些应力有不同的数值。当此微小面元转动时，它的法线方向N 随之改变，面元上的正应力σ和切应力τ的方向和它们的值也都要发生变化。在外法线方向不断改变过程中，必然会出现面元上只有正应力，而切应力τ等于零的情况。把这时面元的法线方向N 称为主应力方向(主方向)，相应的正应力N σ称为主应力，它所在的面称为主平面。以下将说明，物体中任一点都有3个主应力和相应的3个主方向。

1. 主应力

在图2.7中，如令z y x p p p ,,为ABC 面上单位面积面力的三个分量，则有

2222z

y x p p p p ++= (a)

将面元ABC 上单位面积的三个分量z y x p p p ,,投影到面元的法线方向N ，即得面元ABC 的正应力为

n p m p l p z y x N ++=σ (b) 将(2.3-2)式代入(b)式，并经整理后则得

)(2222nl mn lm n m l zx yz xy z y x N τττσσσσ+++++= (2.5-1) 式(2.5-1)即为任意法线方向N 的斜面上正应力的表达式。该面上的切应力为

222N

N p στ-= (2.5-2) 将式(a)和式(2.5-1)代入上式(2.5-2)，可得法线方向为N 的斜面上的切应力。 注意到

1222=++n m l (2.5-3) 因而三个方向余弦并不是独立的。现以l 、m 为独立变量，N σ和n 看成是l 和m 的函数，并求(2.5-1)式的极值。因此，其一阶偏导数应满足

0=??l N σ， 0=??m

N σ 即 ?

??=??+++++=??+++++0)(0)(m n n m l n m l l n n m l n m l z zy zx yz y xy z yz zx zx xy x στττστσττττσ (c) 由式(2.5-3)可求得n 对l 和m 的两个偏导数为 n l l n -=??， n m m n -==?? (d) 将(d)式代入(c)式，并注意到(2.3-2)式，可得 n p m p l p z y x ==

令其比值为N σ，则有

??

???===n p m p l p N z N y N x σσσ (e)

式(e)说明，在正应力取极值的斜平面上，全应力投影与斜平面的方向余弦成正比，比值N σ当然是正应力，正应力投影就是斜平面上全部应力的投影，而切应力不存在，因此主应力(主平面)确实存在。

将 (2.3-2) 式代入(e)式，经整理后得

??

???=-++=+-+=++-0)(0)(0)(n m l n m l n m l N z yz xz yz N y xy xz xy N x σστττσστττσσ (2.5-4)

或用张量符号写为

0)(=-j N ij ij l σδσ (2.5-5) 此处ij δ为δ-ker Ktonec ，定义为

???=0

1ij δ j i j i ≠= 在(2.5-4)式中，共有4个未知数，即l 、m 、n 和N σ，但由(2.5-3)式知，l 、m 、n 这3个方向余弦不可能同时为零，因此，(2.5-4)可看成是关于l 、m 、n 的线性齐次方程组，而且应有非零解存在，由线性齐次方程组有非零解的条件可得到 0=---N

z yz xz

yz N y xy

xz xy N

x σστττσστττσσ 展开上式得 032213=-+-I I I N N N σσσ (2.5-6)

其中 z y x I σσσ++=1

)(2222xz yz xy x z z y y x I τττσσσσσσ++-++= )(22223xy z xz y yz

x xz yz xy z y x z

yz xz yz y xy xz

xy x I τστστστττσσσστττστττσ++-+== 方程式(2.5-6)是一关于N σ的三次方程，它至少有一个实根。令其为z σσ=3，该上0==xz yz ττ。这样式(2.5-6)中剩下的应力分量只有xy y x τσσ,,，可由平面应力状态理论求得其余两主应力1σ、2σ以

及它们作用的方向。这就简单地证明了，在物体内的任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主平面，以及对应的三个主应力，它们的方向称为应力主方向。 因为主应力1σ，2σ，3σ是方程(2.5-6)的根，按大小排列为321σσσ>>，它们分别位于三个互相垂直的主平面，且在主平面上切应力为零，所以式(2.5-6)也可改写为

0)()(32113322123213=-+++++-σσσσσσσσσσσσσσσN N N

由代数学可知，为保证此方程和式(2.5-6)的解相同，其系数应相同，出此可得三个系数为

z y x I σσσ++=1=321σσσ++

)(2222xz yz xy x z z y y x I τττσσσσσσ++-++==133221σσσσσσ++

)(22223xy z xz y yz x xz yz xy z y x z

yz xz yz y xy xz

xy x I τστστστττσσσστττστττσ++-+===321σσσ

由于在一定的应力状态下，物体内任一点的主应力不会随坐标系的改变而改变，所以式(2.5-6)所给出的系数1I ，2I ，3I 分别称为第一、第三、第三应力张量不变量，简称应力不变量。

以主应力1σ，2σ，3σ的方向为坐标轴(分别记为1、2、3)的几何空间，称为主向空间。

在主向空间，(2.5-1)和(2.5-2)式则为

232221n m l N σσσσ++= (2.5-7) 2232221223222

221)(n m l n m l N σσσσσστ++-++= (2.5-8) 2. 主切应力

当在主向空间讨论切应力N τ的变化时，(2.5-2)式可写为

22322212232222212)(n m l n m l N σσσσσστ++-++= (2.5-9)

由(2.5-3)可知

2221m l n --=

将2n 用上式代替后，(2.5-9)式可得

[]2

32322312322322223212)()()()(σσσσσσσσσστ+-+--+-+-=m l m l N 为了求出N τ的极值，取2N τ对l 和m 的偏导数，并令它等于零，这时有 ???

????=??????---+-=??????---+-0)(21)()(0)(21)()(3223223131232231σσσσσσσσσσσσm l m m l l (f)

满足上式的解有以下四种情况：

(1)0=l 、0=m ，由(2.5-3)式可得±=n ，由(2.5-7)式得0=N τ，这是一主平面。

(2)0≠l 、0=m ，由式(f)的第一式得

0)21)((231=--l σσ

因0)(31≠-σσ，故 2

1

±=l 由式(2.5-3)可知 21

±=n

该解表示通过2σ，并平分1σ、3σ所夹再的平面，如图2.10a)所示。

a) b) c)

图2.10 主切应力平面

用同样的方法可得

(3)0=l ，2

1

±==n m (4) 0=n ，21

±==m l

解(3)代表通过1σ，并平分2σ、3σ所夹角的平面，见图2.10b)；而解(4)代表通过2σ并平

分1σ、3σ所夹角的平面，见图1.10c)。现将所有的解列于表2.2中。

表2.2 切应力有极值的平面方位

将以上所得到的l 、m 、n 值代入式(2.5-9)中，可以得到所求方向的切应力的极值，这时有 ?????????

-±=-±=-±

=22221

121331

3223σστσστσστ (2.5-10) 称23τ、31τ、12τ为主切应力，这些主切应力所在的面如图1.10所示，依据主应力大小的排列次序，则最大切应力23

1max σστ-=。且上式可知，显然23τ、31τ、

12τ满足下式所列条件

23τ+31τ+12τ=0

注意，在主切应力所在平面正应力σ并不为零，它们分别为23

2σσ+，2

31σσ+，22

1σσ+。

3. 八面体应力

当变形物体受载较大时，可能产生塑性变形。在塑性理论中，除要用到最大切应力外，还要用到正八面体的切应力。现在主向空间取一如图2.11a)所示的倾斜面，且该倾斜面的法线N 与三个坐标轴呈等倾斜，即具方尚余弦为

n m l ==

根据(2.5-3)式可知 31===n m l (2.5-11)

a) b)

图2.11 等倾平面与正八面体

将以上方向余弦的值代入式(2.5-7)和(2.5-8)，并注意到应力第一不变量1I 则得正八面体的正应力8σ和8τ分别为，

8σ=)(31321σσσ++)(3

1z y x σσσ++= (2.5-12) 由此可见，正八面体上的正应力等于三个正应力之和的三分之一，此值又称为平均正应力，记为m σ。即

m σ=)(31321σσσ++)(3

1z y x σσσ++= (2.5-13) 如将式(2.5-11)代入式(2.5-8)并整理后，则得正八面体上的剪应力8

τ为

8τ=213232221)()()(3

1σσσσσσ-+-+- (2.5-14) 正八面体上的应力可以用应力第一不变量和皮力第二不变量来表示为 ??

???-==2221818623131I I I τσ (2.5-14) 八面体剪应力还可以用主剪应力表示，即 23122321283

2ττττ++= (2.5-15) 由于正八面体上的剪应力和正应力均为不变量，因此通过它们可以方便池表示材料的某些力学行为。

2.6应力球张量与应力偏张量

在外力作用下，物体的变形通常可分为体积改变和形状改变两部分。体积改变是由于各向相等的应力引起的，因而，在一般情况下，某一点处的应力状态可以分解为两部分，一部分是各向相等的压(或拉)应力0σ，另一部分记为ij S ，即

ij ij S +=0σσ (2.6-1)

其中 ??????????=m m m σσσσ0000000 ????

??????---=m z zy zx yz m y yx xz xy m x ij S σστττσστττσσ

在主向空间内，如令任一斜面N 上的应力矢量为P ，则沿坐标轴1、2、3似分量为 ??

???===n p m p l p 332211σσσ (a)

当一点的三个主应力相等时(等拉或等压)，则(2.6-1)式中ij S =0，此时应力张量0σ中的元素为m σσσσ===321，将式(a)代入式(2.5-3)，得

2232221m

p p p σ=++ 这是一个以m σ为半径，以坐标轴原点为球心的球面方程，如图2.12所示。因此，定义0σ为应力球张量。

对于固体材料，经试验己证明，在各向相等的应力作用下，通常都表现为弹性性质。对于一般应力状态， 则ij S 使物体产生形状变化，称ij S 为应力偏张量。因此，对于材料的非弹性变形，也即塑性变形可以认为主要是物体产生形状变化时产生的。

图2.12 等主应力状态(应力球张量)

以主应力表示的应力偏张量为 ????????????????------=320003200

032213132321σσσσσσσσσij S 对于球张量0σ和应力偏张量ij S ，可以类似于应力张量ij σ那样得到应力偏张量的三个不变量为

01=J (2.6-2a) []

33)()()(612212132322212I I J +=-+-+--=σσσσσσ (2.6-2b) [])2)(2)(2(27

12131323213σσσσσσσσσ------=J =)2792(27

132131I I I I ++ (2.6-2c)

2014华中科技大学工程力学试卷

华中科技大学 《工程力学实验》（A 卷，闭卷，90分钟） 2013-2014年第2学期（机械平台） 班级___________________ 学号____________________姓名____________________ 一．(本题共30分) 简答题（含选择和问答题） 1. 选择题（6分）: 试件材料相同，直径相同，长度不同测得的断后伸长率δ、截面收缩率ψ是（ ）。 A ．不同的 B. 相同的 C. δ不同，ψ相同 D ．δ相同，ψ不同 2. 选择题（6分）: 铸铁压缩实验中，铸铁的破坏是由（ ）引起的。 A 正应力 B 与轴线垂直的切应力 C 与轴线成45°的切应力 D 以上皆是 3. 选择题（6分）: 铸铁圆棒在外力作用下，发生图示的破坏形式，其破坏前的受力状态如图（ ）。 4. 选择题（6分）: 如图示，沿梁横截面高度粘贴五枚电阻应片，编号如图，测得其中三枚应变 片的应变读数分别为80εμ、 38εμ和-2εμ，试判断所对应的应变片编号为（ ）。 A ．1、2、3； B ．5、4、2； C ．5、4、3； D ．1、2、4。

5. 在电测实验中，应变片的灵敏系数为片K =2.16时，若将应变仪的灵敏系数设置为仪K =2.30，在加载后，应变仪读数ds ε=400 με (单臂测量情况下)，则测点的实际应变ε为多少？（6分） 6. 分析低碳钢拉伸曲线与扭转曲线的相似处和异同点？（6分） 二．在低碳钢拉伸实验中，采用初始直径d 0=10mm 的标准圆截面试样，峰值载荷F b =35.01kN ，其断裂时的载荷F d =29.05kN, 断面收缩率为64.1%。请据此计算该试样的抗拉强度和断裂时破坏面的真实正应力。（15分）

华中科技大学结构力学试卷及答案

华中科技大学土木工程与力学学院 《结构力学》试卷 2003－2004学年度第一学期 姓名______________专业________________班级____________成绩______ 1、用位移法计算图示结构，EI 为常数。 （只需做到建立好位移法方程即可）。（15分） 2、用力矩分配法作图示对称结构的M 图。已知：40/q kN m =，各杆EI 相同。（15分） 3、已知图示结构B 点转角64 11B EI θ= ，各杆的EI 为常数，作M 图，8P kN =，12/q kN m =。 （13分）

q 4、图示结构，用矩阵位移法计算时（先处理法，计轴向变形），请标注编码，并给出各单元的定位向量。（10分） 5、请求出图示结构等效结点荷载列阵。（15分） q 6、请求出图示结构C 点的转角。（12分）

A B EI C φφ 7、求两端固定梁的极限荷载u P F ，已知梁截面的极限弯矩87.1, 4.37u M kN m L m =?=。（12分） A B 8、请确定位移法计算该题时的未知量数，并画出基本体系。（8分） 华中科技大学土木工程与力学学院 《结构力学》试卷 2004－2005学年度第一学期 姓名______________专业________________班级____________成绩______ 1、用位移法计算图示结构，并绘弯矩图。（25分） q q a a 2、请用力矩分配法作图示结构的弯矩图，并求D 点竖向位移。（25分） 3、指出图示结构位移法的未知量个数（最少），并在图上标出。（每题5分，共10分） 1）

华科 流体力学-参考试题及解答2

参考试题2 注：水密度31000kg /m ρ=，空气绝热指数 1.4γ=，空气气体常数287 J/(kg K)R =?，重力加速度29.8m/s g =。 一．（14分）如图所示，矩形闸门宽120cm ，长90 cm ，顶端悬挂于点A ，闸门在自身重量的作用下保持关闭。假设闸门总重9800N ，重心位于点G 。试确定刚可以使闸门开启的水深h 。 解：建立如图所示的坐标系xoy ，图中 l h h = ? =sin .601155 y l e h y y J y A y be y be y e y c D c cx c c c c c =- =-=+=+?=+2 1155045112112 32.. 45.0155.10675.01212-==-∴h y e y y c c D 45.0155.10675 .045.0)(2-+=-+=∴h y y e AD c D 2.19.0)60sin 2 (???- ?==e h g A gh P c ρρ而 闸门刚开启时，有：G P AD ?=?03. 即：980398092600912045006751155045...(.sin )..(....)?=?-?????+-h h 化简得：h h 2 127 03440-+=.. 解上面这个方程得：h m 1088 =.()， h m 2039=.()（不合题意，舍去） 故，刚使闸门打开的水深h 为0.88m 。

二．（14分）如图所示，两股速度同为V 的圆截面水射流汇合后成伞状体散开。假设两股射流的直径分别为1d 和2d ，并且不计重力影响，试求散开角θ与1d 和2d 之间的关系；又如果127.0d d =，试计算散开角θ。 解：如图6所示，在1-1（或2-2）断面及3-3断面列伯努利方程，可得： V V V V ==321)( 选取1-1、2-2及3-3断面间的液体所占据的空间做为控制体，有： () 2221214 d d V Q Q Q +? =+=π 在x 方向列动量方程，有： ()0cos 2211=--=∑V Q V Q QV F x ρρθρ ()212211cos Q Q V V Q V Q QV -=-=θ即 2 2 2 12 2 2121cos d d d d Q Q Q +-=-=∴ θ 3423.049.049.0cos 7.02 1 212 12112=+-==d d d d d d θ时当 7098.69≈=∴ θ 三.(12分)用图示水泵把低池中的水泵入高池，两池水面高度差30m H =，吸水管长112m L =，压水管长2100m L =，两管直径250mm d =，沿程损失系数0.02λ=，吸水管局部损失系数 5.0ζ=，不计压水 管局部损失。假设流量3 0.1 m /s Q =，水泵效率 0.7η=，水泵进口截面真空压强为6.5m 水柱，试求水泵的最大安装高度s h 和水泵功率N 。

弹塑性力学基本理论及应用 刘土光 华中科技大学研究生院教材基金资助 第二章应力状态

第二章 应力状态理论 2.1 应力和应力张量 在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置发生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。用以描述物体在受力后任何部位的内力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论应力矢量和某一点处的应力状态。 为了说明应力的概念，假想把受—组平衡力系作用的物体用一平面A 分成A 和B 两部分(图2.1)。如将B 部分移去，则B 对A 的作用应代之以B 部分对A 部分的作用力。这种力在B 移去以前是物体内A 与B 之间在截面C 的内力，且为分布力。如从C 面上点P 处取出一包括P 点在内的微小面积元素S ?，而S ?上的内力矢量为F ?，则内力的平均集度为F ?／S ?，如令S ?无限缩小而趋于点P ，则在内力连续分布的条件下F ?／S ?趋于一定的极限σo ，即 σ=??→?S F S 0lim 这个极限矢量σ就是物体在过c 面上点P 处 的应力。由于S ?为标量，故，σ的方向与F ?的 极限方向一致。内力矢量F ?可分解为所在平面 的外法线方向和切线方向两个分量n F ?和s F ?。 同样，应力σ可分解为所在平面的外法线方向 和切线方向两个分量。沿应力所在平面 的外法线方向n 的应力分量称为正应力，记为n σ，沿切线方向的应力分量称为切应力，记为 n τ。此处脚注n 标明其所在面的外法线方向，由此， S ?面上的正应力和切应力分别为 在上面的讨论中，过点P 的平面C 是任选的。显然，过点P 可以做无穷多个这样的平面C ，也就是说，过点P 有无穷多个连续变化的n 方向。不同面上的应力是不同的。这样，就产生了如何描绘一点处的应力状态的问题。为了研究点P 处的应力状态，在点P 处沿坐标轴x ，y ，z 方向取一个微小的平行六面体(图2.2)，其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的正负方向重合，其边长分别为x ?，Δy ，Δz 。假定应力在各面上均匀分布，于是各面上的应力便可用作用在各面中心点的一个应力矢量来表示，每个面上的应力矢量又可分解关一个正应力和两个切应力分量，如图2.2所示。以后，对正应力只用一个字母的下标标记，对切应力则用两个字母标记*其中第一个字母表示应力所在面的外法线方向；第二个字母表示应力分量的指向。正应力的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。切应力的正负早规定分为两种情况：当其所在面的外法线与坐标轴的正方向一致时，则以沿坐标轴正方向的切应力为正．反之为负；当所在面的外法线与坐标袖的负方向一致时，则以沿坐标轴负方向的切应力为正，反之为负。图2.2中的各应力分量均为正。应力及其分量的单位为Pa 。 图2.1 应力矢量

结构力学大作业(华科)

一、任务 1.求解多层多跨框架结构在竖向荷载作用下的弯矩以及水平荷载作用下的弯矩和 各层的侧移。 2.计算方法： （1）用近似法计算：水平荷载作用用反弯点法计算，竖向荷载作用采用分层法和二次力矩分配法计算。 （2）用电算（结构力学求解器）进行复算。 3. 就最大相对误差处，说明近似法产生误差的来源。 4. 将手算结果写成计算书形式。 二、结构形式及各种资料 1. 计算简图：如图1所示。 2. 基本计算参数 底层柱bXh(mm) 其它层bXh(mm) 边梁bXh(mm) 中间梁bXh(mm) 500X500 450X450 250X450 250X450 材料弹性模量： 72 3.210/ h E kN m =? 竖向荷载： 2 1 =23/ g kN m，2 2 =20/ g kN m 水平荷载： =32 p F kN 1，2 =18 P F kN 3. 荷载分组： （1）计算水平荷载（见图2）；（2）计算竖向恒载（见图3）； L1L2H1 H2 H2 H2 H2 F F F F F 图1 计算简图图2 水平荷载作用

g2 g1 g1 g1 g1 q2 q1 图3 竖向荷载作用 三、计算内容 ?水平荷载 1、反弯点法 （1）求柱的剪力 由所给数据可得各层梁柱的线刚度(单位：kN·m)如下表： i底柱i其它柱i左梁i右梁 34792363331270825417 第五层柱；F Q14 = F Q25 = F Q36 = 18/3kN = 6kN 第四层柱；F Q47 = F Q58 = F Q69 = 50/3kN 第三层柱；F Q710 = F Q811 = F Q912 = 82/3kN 第二层柱；F Q1013 = F Q1114 = F Q1215 = 114/3kN 第一层柱；F Q1316 = F Q1417 = F Q1518 = 146/3kN （2）求柱的弯矩 第五层柱；M 14 = M 41 = M 25 = M 52 = M 36 = M 63 = 6×3/2 = 9kN·m 第四层柱；M 47 = M 74 = M 58 = M 85 = M 69 = M 96 = 50/3×3/2 = 25kN·m 第三层柱；M 710 = M 107 = M 811 = M 118 = M 912 = M 129 = 82/3×3/2 = 41kN·m 第二层柱；M 1013 = M 1310 = M 1114 = M 1411 = M 1215 = M 1512 = 114/3×3/2 = 57kN·m 第一层柱；M 1316 = M 1417 = M 1518 = 146/3×4.8/3 = 77.87kN·m M 1613 = M 1714 = M 1815 = 146/3×2×4.8/3 = 155.74kN·m （3）求梁的弯矩 分别取结点1、2为隔离体 1 M12 ∑M1=0 M12=M14=9kN·m M14

塑性理论的基本假设

塑性理论的基本假设 在金属成形中应用塑性理论的目的是要探索金属成形的塑性变形机理。这样，调研可提供以下的分析和判断：（a）金属的流动性（速度、应变和应变率），（b）温度和热传导，（c）材料强度的局部变化或流动应力和（d）应力，成形中的负载、压力和能量。这样变形机理就可提供决断：金属如何流动，借助塑性成形可如何去获得所希望的几何形状以及用成形方法生产出的零件具有什么样的机械性能。 为了建立金属变形的可控制的数字模型（曲线图形），作出以下几个简化的但是合理的假设： 1）忽略弹性变形。然而当必要时，弹性复原（例如，弯曲回弹情况）和加工中的弹性弯曲（例如，成形加工精度非常接近公差）定要考虑； 2）作为一种连续体来考虑材料变形（如结晶，而晶间疏松和位错是不加考虑的）； 3）单向拉伸或压缩试验与多向变形条件下的流动应力相互有关； 4）各向异性和Bauschinger效应忽略不计； 5）体积保持恒定； 6）用简化法来表示摩擦，如用Coulomb's定律法或用恒剪切应力法。这将在后面进行讨论。 在压缩应力状态下的金属特性更加复杂。这可以从一金属圆柱体试样在两个模板之间被压缩时怎样发生变化的分析中可以看得出来。当工件达到金属的屈服应力的应力状态时，塑性变形就开始发生。当试样高度降低时，试样随着横截面的增加而向外扩展。这种塑性变形在克服工件和模板的两端之间的摩擦力中发生。该金属变形状态是受到其复杂应力体系所支配。 这应力体系可从单一的、单向的到三维的即三向发生变化。有一个由模板施加的应力和有两个由摩擦反力引起的应力。如果模板与工件间无摩擦，工件就在单向压应力下发生屈服，正像其受到拉伸载荷作用时的情形一样。而且压缩的屈服应力跟拉伸屈服应力极端一致。由于摩擦力的存在而改变了这一状况，故需要更高的应力才能引起屈服。为了找到拉伸屈服应力与三向应力状态下产生屈服时的应力值之间的数量关系，已经做了很多尝试。对于所有的金属在三向载荷作用下的各种情况下，包括各种塑性屈服试验情况中均未发现单一的（应力、应变）关系。已经存在的若干个建议使用的塑性屈服理论，其中每一种理论只能在一定的范围内有效。在考虑使用这些理论之前，研究三向应力体系并创立既利用数量关系又利用图解技术的解题方法，那是必要的。 对于三维应力状态，最方便而有效的方法就是利用莫尔圆，当研究塑性屈服的各种复杂情况时，你可以很容易地运算和进行处理。 The stress system has altered from single, uniaxial to three-dimensional or triaxial. There is one applied stress from the platens and two are induced by the friction reaction. If there was no friction between the platens and the workpiece, then yielding would occur under a uniaxial compressive stress exactly as in the case of tensile loading. The yield stress in compression would then coincide exactly with the yield stress in tension. The presence of friction, however, alters the situation and a higher stress is required to cause yielding. Many attempts have been made to find

华中科技大学研究生课程考核及成绩管理办法doc

校研【2009】34号 华中科技大学研究生课程考核及成绩 管理办法 为进一步规范研究生课程考核与成绩管理，提高培养质量，特制定本办法。 一、考核方式 1、课程考核方式分为考试和考查两种。考试一般通过笔试、课程论文、小型设计等形式对研究生课程学习给出评价，其成绩用百分制表示。考查一般是通过对研究生平时学习情况(包括实验、作业、课堂讨论、读书报告、小论文等)、专业实践、文献阅读等的考核，判断该课程的学习是否合格，可用百分制，也可用合格或不合格来表示。 2、学位课程采用考试方式；非学位课程可以采用考试方式，也可以采用考查方式；研究环节采用考查方式。 二、考核安排与要求 1、课程考核一般安排在课程教学结束后进行。公共课考试安排由研究生院培养处在研究生院网页上公布；其他课程考核安排由开课院（系、所）确定，但须提前一周将考核安排（含电子版）报研究生院培养处备案。

2、研究生公共课程考核必须按照研究生院安排的时间、地点进行，否则一律无效。 3、考核内容由课程组根据教学大纲的要求拟定，由院（系、所）主管负责人审定并签字认可。考核内容要求打印在《研究生考试试题》上。 4、考试试卷保密管理参照《华中科技大学课程考试试卷保密管理办法》（校教[2005]8号）执行。试卷应在《关于指定我校试卷印制单位的通知》（校办发[2005]8号）中指定的印制单位印刷。 5、课程考核一律使用“研究生课程考核答题纸”。考生在答题纸上必须清楚地注明学号、姓名和院（系、所）名称。对不完整填写答题纸的答卷，任课教师可以不予评分。 6、主、监考人员和考生必须严格执行和遵守《华中科技大学研究生考场规则》（附件1）。 7、研究生院必要时可要求某些课程考核采取考生考场签到制度。 三、成绩评定 1、阅卷教师必须认真负责地评阅考核试卷，严格按试题评分标准进行评分，不得漏评、漏记、错评、错记和送分、加分。 2、考核方式确定为考试的课程成绩由考试成绩和平时成绩组成。考试成绩和平时成绩所占比例为7:3左右。平时成绩必须有书面记录。 3、研究生公共课任课教师须在考试后二周内完成阅卷，并在HUB系统上提交电子成绩数据后，将“研究生课程成绩登记表”（以下简称成绩登记表，由HUB系统自动生成）报送研究生院培养处教学管理办公室；成绩报送完毕后一周内试卷交课程负责人所在院（系、所）保管。研究生非公共课任课教师须在一周内完成阅卷，并将成绩登记表、试卷报送课程负责人所在院（系、所）。 4、任课教师填写的成绩登记表属永久性保存件，由研究生院、各院（系、所）集中保管。成绩登记表必须注明考试日期并由任课教师签名，否则院（系、所）可以拒收。 5、研究生院在收到任课教师报送的公共课课程成绩登记表后3个工作日内完成成绩录入，并分院（系、所）下发成绩单。各院（系、所）收到任课教师提交的非公共课课程成绩登记表后1周内完成成绩录入。 四、试卷管理

华科工程力学考试试卷

一、如图所示结构，杆AC 、CD 、DE 铰链连接。已知AB=BC=1m ，DK=KE ，F =1732kN ，W =1000kN ，各杆重量略去不计，试求A 、E 两处的约束力。（12 分） 一、如图所示结构，杆AB 、CD 、AC 铰链连接，B 端插入地内，P =1000N ，作用于D 点，AE=BE=CE=DE=1m ，各杆重量略去不计， 求AC 杆内力？B 点的反力？（12分） D

二、 如图，阶梯钢杆的上下两端在T 1=5℃时被固定，杆的上下两段的面积分别为A 1=5cm 2， A 2=10cm 2，当温度升至T 2=25℃时，求各杆的温度应力。(线膨 胀系数C 0 610512/.-?=α，钢杆材料弹性模量E=200GPa ，不计杆自重，) （12 分）

二、如图，杆二端固定，横截面面积为A =10cm 2，在截面C 、D 处分别作用F 和2F 的力，F =100kN ，弹性模量E=200GPa 。不计杆自重，求各段应力。（12分） 解: 受力分析如图, 建立平衡方程， A B AC CD DB A A AD CD B BD A B A AC A CD B BD 23(2)0 (3)0.4 ()0.50.37 :116.7kN 6 183.3kN (4)AC : 116.7MPa()()CD : 6.7MPa() BD :183.3MPa(F F F F F F F F EA EA F EA F F F F A F F A F A δδδδδδσσσ+=+=++=?-?==-?======-====变形协调条件， 力与变形的物理关系， 联立求解得各段的应力为，段拉段拉段)压 2 F B F D 2B F A

弹塑性力学基本理论及应用__第八章_能量原理及其应用

第八章 能量原理及其应用 弹塑性力学问题实质上是边值问题，即求解满足一定边界条件的偏微分方程组。然而只有对一些特殊的结构在特定加载条件下才能找到精确解，而对于一般的力学问题，如空间问题，泛定方程为含有15个未知量的6个偏微分方程，在给定边界条件时．求解是极其困难的，而且往往足小对能的。因此，为了解决具体的工程结构力学问题，目前都广泛应用数值方法，如有限元法、无限元法、边界元法、无网格化法及样条元法等等。这些解法的依据都是能量原理。本章将讨论利用能量原理和极值原理求解弹塑性力学问题的近似解法。 本章共讨论五个能量原理。首先是虚位移原理，由虚位移原理推导出最小势能原理，其次介绍虚应力原理，和由虚应力原理推导出最小余能原理。另外，还简单介绍最大耗散能原理。本章还讲述了根据上述的能量原理建立的有关弹性力学问题的数值解法。 8.1 基本概念 1.1 物体变形的热力学过程 由第四章知，物体在外界因素影响下的变形过程，严格来说都是一个热力学过程。因此研究物体的状态，不仅要知道物体的变形状态，而且还要知道物体中每一点的温度。如果物体在变形过程中，各点的温度与其周围介质的温度保持平衡，则称这一过程为等温过程；若在变形过程中，物体的温度没有改变，即既没有热量损失也没有热量增加，则称这一过程为绝热过程。物体的瞬态高频振动，高速变形过程都可视为绝热过程。 令物体在变形过程中的动能为E ，应变能为U ，则在微小的t δ时间间隔内，物体从一种状态过渡到另一种状态时，根据热力学第一定律，总能量的变化为 Q W U E δδδδ+=+ (a) 其中，W δ为作用于物体上的体力和面力所完成的功；Q δ是物体由其周围介质所吸收(或向外发散)的热量，并以等量的功度量。假定弹性变形过程是绝热的，则对于静力平衡问题有 00==Q ，E δδ (b) 将式(b)代入式(a)，则有 W U δδ= (8.1-1)

华中科技大学2017联合培养研究生项目报名须知

华中科技大学2017联合培养研究生项目报名须知 一.申请资格 1.我校2016年入学的博士生（包括硕博连读生）； 2.已修课程成绩符合要求； 3.达到香港城市大学规定的最低英文水平要求：取得(i)托福考试(TOEFL)至少550分之成绩(即托福计算机考试至少213分或托福网考至少79分)，或(ii)雅思国际英语语言测试(IELTS)总级别至少6.5，或(iii)College English Test Band6(CET-6)至少490分，或(iv)通过华中大英语论文写作(学科编号:411.800)。 二.学科领域 两校已有博士学位授予权的学科领域。 三.学习地点与安排 联合博士培养项目的修读年限一般为四年。原则上学生第一学年在华中大修读并完成公共必修课和学科基础课程，第二至第四学年按以下学习模式，修读部分专业课及完成学位论文。 学年学习地点 第一学年华中大 于城大注册入读联培计划 第二学年城大（香港本部） 第三学年城大深圳研究院 第四学年华中大 四.申请程序 请符合申请资格的同学仔细阅读及以英文填写「招生申请表」,并将申请表及巳用信封封存的「推荐报告」(Referee’s Report)连同以下复印件于2017年2月27日前交至华中大导师。其后，华中大导师与城大导师联系及填妥相关附件内容中的表格和提供相关证明材料后，交至相关华中大各所属学院研究生管理部门进行审核，再送至华中大研究生院进行审批。华中大研究团队负责人将通过华中大研究生院审批的申请材料收集后，将所有材料提供给城大研究生院。城大研究生院将申请发至相关院系以供院系进行审批，如申请获城大相关院系推荐，城大研究生院会审核该招生申请表及资料。审核后，两校共同确定2017年录取学生名单。 q本科及硕士(如适用)学位证和成绩单(请提供正式认证的英文译本)和最近期之成绩单;

塑性力学原理+

1. 什么是塑性? 塑性是一种在某种给定载荷下,材料产生永久变形的材料特性,对大多的工程材料来说,当其应力低于比例极限时,应力一应变关系是线性的。另外,大多数材料在其应力低于屈服点时，表现为弹性行为，也就是说，当移走载荷时，其应变也完全消失。 由于屈服点和比例极限相差很小，因此在ANSYS程序中，假定它们相同。在应力一应变的曲线中，低于屈服点的叫作弹性部分，超过屈服点的叫作塑性部分，也叫作应变强化部分。塑性分析中考虑了塑性区域的材料特性。 路径相关性： 即然塑性是不可恢复的，那么这种问题的就与加载历史有关，这类非线性问题叫作与路径相关的或非保守的非线性。 路径相关性是指对一种给定的边界条件，可能有多个正确的解—内部的应力，应变分布—存在，为了得到真正正确的结果，我们必须按照系统真正经历的加载过程加载。 率相关性： 塑性应变的大小可能是加载速度快慢的函数，如果塑性应变的大小与时间有关，这种塑性叫作率无关性塑性，相反，与应变率有关的性叫作率相关的塑性。 大多的材料都有某种程度上的率相关性，但在大多数静力分析所经历的应变率范围，两者的应力——应变曲线差别不大，所以在一般的分析中，我们变为是与率无关的。 工程应力，应变与真实的应力、应变： 塑性材料的数据一般以拉伸的应力—应变曲线形式给出。材料数据可能是工程应力（ P/A ）与工程应 变（Δl/l 0），也可能是真实应力（P/A）与真实应变（ L n (l/l ) ）。 大应变的塑性分析一般采用真实的应力，应变数据而小应变分析一般采用工程的应力、应变数据。什么时候激活塑性： 当材料中的应力超过屈服点时，塑性被激活（也就是说，有塑性应变发生）。而屈服应力本身可能是下列某个参数的函数。 ? 温度 ? 应变率 ? 以前的应变历史 ? 侧限压力 ? 其它参数 2. 塑性原理方面的几个概念 任何塑性理论都包括如下几个主要方面： 屈服条件：它规定在不同组合的外加应力作用下，塑性形变从什么时候开始发生；

华中科技大学工程力学实验题

（2010年4月23-25南京基础力学实验研讨会交流专用） 题目1-6：含内压薄壁圆筒受弯、扭组合载荷时内力素的测定 如图所示薄壁圆筒用不锈钢1C r 18N i 9T i 制造，材料弹性模量202G P a E =，泊松比 0.28μ=，圆筒外径D =40mm ，内径d =36.40mm 。采用5个60N 砝码逐级加载。 1. 计算每个载荷增量下图中I-I 截面内力的理论值： 答案： 3 60100.31860600.2515600.2615.6I I II II T F l N m F F N M M F l N m M M F l N m =?=??=?====?=?=?==?=?=?理Q 理理理 2. 为了测量图中I-I 截面弯矩，可采用什么形式的测量电桥？用图形表示测量电桥，并推导出测量仪器应变读数与所求弯矩之间的关系。 答案：由m 和n 两点的应变片组成半桥测量，电桥图略。 () 3 4 162 1M du M z E M M W D εσπα= = = - () ()()3 4 3 4 9 6 1(N m )64 0.0410.91 20210 10 64 0.1994(με) M du M du M du ED M παεπεε--∴?= ??-??= ??=? 3. 为了测量图中I-I 截面扭矩，可采用什么形式的测量电桥？用图形表示测量电桥，并推 导出测量应变仪器读数与所求扭矩之间的关系。 答案：由e 、f 和g 、h 点组成全桥测量电路。对于e 、f 和g 、h 点，是纯剪切应 支架 放气栓 注油接头 ｋ ２７０ ２６０ ２５０ ２４０ ３００ Ｆ ｍ ｂｅ ｃｎ ｄ ｆａｈ ｇ（ａ） 水平线 水平线ｈ ｇ ａｍｂ ｅｃ ｎｄｆ ５ ４ｏ ４ｏ５ ⅠⅠ-Ⅱ-ⅡⅡⅡ ⅠⅠ图１-1 薄壁圆筒实验装置 （ｂ） ｇ ｈ ａｍ ｂｅｃ ｎｄ ｆ （ｃ） 图1 薄璧圆筒弯扭实验装置

塑性力学基本理论

弹性力学 对于均匀、各向同性材料，可以证明只有两个独立弹性常数，3各常数之间存在关系：2(1) E G μ= +。 广义胡克定律的体积式：体积应变：x y z θεεε=++；体积应力： x y z σσσΘ=++，则：12E ν θ-= Θ。 各向同性体的体积改变定律：3(12) m E K σθθν= =-.其中体积模量： 3(12) E K ν= - 弹性力学解的唯一性定理：弹性体在给定体力、面力和约束条件的情况下而 处于平衡时，体内各点的应力分量、应变分量的解是唯一的。 塑性力学 从物理上看，塑性变形过程属于不可逆过程，并且必然伴随机械能的耗散。研究塑性力学问题主要采用宏观的方法，即联系介质力学的方法，它不去探究材料塑性变形的内在机理，而是从材料的宏观塑性行为中抽象出力学模型，并建立相应的数学物理方程来予以描述，应力平衡方程和应变位移间的几何关系是与材料性质无关的，因此对弹性力学与塑性力学都一样，弹性力学与塑性力学的差别主要表现在应力与应变的物理关系的不同。屈服条件以及塑性的本构关系是塑性力学物理方程的具体内容，具有： （1）应力与应变关系（本构关系）呈非线性，其非线性性质与具体材料有关； （2）应力与应变之间没有一一对应的关系，它与加载历史有关； （3）变形体中存在弹性区和塑性区，分析问题时需要找出其分界限。在弹性区， 加载与卸载均服从广义胡克定律；在塑性区，加载过程要使用塑性阶段的应力应变关系，而卸载过程中，则使用广义胡克定律。 这些特点带来了研究、处理问题方法上的不同，塑性力学首先要解决的问题是在实验资料的基础上确立塑性本构关系，进而与平衡和几何关系一起去建立塑

工程力学专业本科培养计划-华中科技大学教务处

工程力学专业本科培养计划 Undergraduate Program for Specialty in Engineering Mechanics 一、培养目标 Ⅰ．Educational Objectives 面向未来，面向世界，培养适应社会需要具有比较扎实的数理和力学基础，有良好文化素质并掌握计算机应用基本理论、技术和方法的宽口径、创新能力强的高水平“复合型”人才。本专业注重对学生的基础力学理论、力学建模、分析、计算与实验的全面训练及与力学相关的工程系统软件的应用、研究与开发能力的培养。毕业生不但能从事与力学有关的科研、技术开发、工程设计、工程管理和教学工作，而且也能适应现代信息社会的需要，从事计算机应用、软件开发、信息处理和管理等方面的科技工作。 The program produces versatile students with sound knowledge of mathematics, physics, and mechanics and with principles and skills of computer application. Aiming at preparing students for high quality education, the program is aimed at establishing the fundamental knowledge and application skills of mechanical modeling, analysis, computation and experiment, and the abilities to the application, research and development of the engineering system softwares. 二、基本规格要求 Ⅱ．Skills Profile 毕业生应获得以下几方面的知识和能力： 1. 系统、扎实地掌握本专业的基础知识，主要为数学与力学基础知识、计算机应用基础知识、基本的测试理论与测试技术基础；熟练掌握一门外语，具有较强的听说读写的综合运用能力，以及查阅中外文科技文献的能力； 2. 具有熟练地运用计算机对工程问题进行分析计算的能力，有较强的使用软件和开发软件的能力； 3. 具有必要的工程基础知识与工程基本训练，具有制订实验方案、进行实验、分析和解释数

塑性力学

塑性力学研究报告 一、 研究内容 1.1经典塑性力学基本理论 经典塑性理论研究在二十世纪50年代已经成熟，主妥结果已总结在H 川的名著“塑性数学理论”L ’J 和PragCr&HodgC 的名著“理想塑性的固体理论”中。经典塑性理论的三条基本假设：(1)传统塑性势假设；(2)关联流动法则假设,假设屈服面与塑性势面相同；(3)不考虑应力主轴旋转假设。 1.2塑性力学的研究热点 最近几十年，岩土塑性力学的兴起促进了塑性力学的发展,近30年国际上出现了非关联流动法则与多重屈服面模型,在一定程度上修正了经典塑性力学理论上的不足,提高了计算的准确性。广义塑性力学正是由于经典塑性力学不适应岩土类摩擦材料的变形机制而产生。广义塑性力学成为了近几十年来塑性力学的研究热点。 1.2.1广义塑性力学基本理论 广义塑性理论包括：1、不记主轴旋转的广义塑性位势理论；2、主轴旋转的广义塑性位势理论3、广义塑性力学的屈服面理论；4、广义塑性力学中的硬化定律5、广义塑性力学中的应力应变关系。 1.2.1.1不记主轴旋转的广义塑性位势理论 保留传统塑性位势理论的第(2)假设，即消除(1)、(3)条假设，那么式可以写成: 31p k ij k k ij Q d d ελσ=?=∑? （1.2.1.1.1） 当不考虑应力主轴旋转时，杨光华在不借助任何假设条件下引用张量定律导出了式(1.2.1.1)。应力和应变都是二阶张量，按张量定律必有: 31p p k ij k k ij Q d d εεσ=?=∑? （1.2.1.1.2） 式中k σ与k ε分别为三个主应力和主应变。

根据梯度的定义有： 31p k i k k i Q d d ελσ=?=∑? （1.2.1.1.3） 式中k Q 是三个任意的线性无关的势函数，将（1.2.1.3）代入式（1.2.1.2）即 可得式（1.2.1.1）。 可以认为式（1.2.1.1）就是未考虑主应力旋转情况下的广义塑性位势理论或称为广义塑性流动法则。表明在一般情况下，塑性应变增量方向由三个塑性应变增量分量方向(即应力分量方向)来确定，而三个分量既与塑性势面有关，也与屈服面有关，因而与应力增量有关。 1.2.1.2主轴旋转的广义塑性位势理论 由土工试验可知,在主应力和主应变空间内,旋转应力增量r d σ引起6个应变方向的塑性应变,需引用6个塑性势函数。可以任意选择势函数,但必须保持势函数的线性无关。一般可把6个应力分量写成6个势函数, 6个应力分量的方向就是6个势面的方向。应力主轴旋转的广义塑性位势理论： 3 611p p p k kr ij ijc ijr k kr k k ij ij Q Q d d d d d εεελλσσ==??=+=+??∑∑ （1.2.1.2.1） 式中p ijc d ε为共轴应力增量c d σ引起的塑性应变增量; p ijr d ε为旋转应力增量 r d σ引起的塑性应变增量; kr d λ为与应力主轴旋转相关的6个塑性系数,可采用试验数据拟合的方法得到,但这方面的研究目前还不成熟。 1.2.1.3广义塑性力学的屈服面理论 塑性力学中，塑性势面主要是用来确定塑性应变增量的方向。在传统塑性力学中，塑性应变增量方向唯一地由一个塑性势面确定;在广义塑性力学中，它用来确定三个塑性应变增量的方向，而总塑性应变增量的方向，除与三个塑性势面有关外，还与三个屈服面有关。塑性势面与屈服面有如下关系: (l)塑性势面只要满足是三个线性无关的函数，可以任取;而屈服面则不可任取，它必须与塑性势面相对应，并有明确的物理意义。例如取1σ为势面，则对应的屈服面必为塑性主应变1p ε的等值面，此时应力空间中的1σ轴与应变空间中

华中科技大学流体力学电子档第1章 (打印A4)

工程流体力学 讲稿 华中科技大学 土木工程与力学学院力学系 陈应华 E-mail 第一章绪论

§流体与流体力学 1.流体的定义： 定义：凡不能象固体一样保持其一定形状，并容易流动的物质称为流体。 流体包括液体和气体。 液体的特点：①.液体有一定的容积。②.在容器中的液体可形成一定的自由表面。③.液体不容易压缩。 ④.没有一定的形状，容易流动。 气体的特点：①.气体没有一定的容积。②.在容器中的气体不存在自由表面。③.气体极易压缩。④.没有一定的形状，容易流动。 液体与气体的共同特点：没有一定的形状，容易流动。 容易流动：流体在任何微小的剪力或拉力的作用下，它们都会发生连续变形（即流动）。 2.流体力学的发展简史： 古典流体力学+ 实验水力学→（现代）流体力学 （现代）流体力学： 理论流体力学 工程流体力学（水力学） 空气动力学 计算流体力学 环境流体力学 多相流流体力学等等 3.流体力学的研究方法： 流体力学是研究流体平衡和机械运动的力学规律及其工程应用的一门力学学科。 流体力学的研究方法主要有：理论分析、实验研究和数值计算等。 §连续介质模型 流体质点：微观上充分大，宏观上充分小的流体分子团。 比如1cm3的标态水（1atm，20?C水温）中约含有×1022个水分子。10-12cm3的标态水中约含有×1010个水分子。

连续介质模型：认为流体是由无任何空隙的流体质点所组成的连续体。 流体的密度、温度等物理量连续分布。 连续介质模型是欧拉在1753年提出的假说。有了这个模型，我们就可以采用连续函数这一强有力的数学工具来分析流体的流动规律。 连续介质模型的适用范围：常温常压下的气体和液体。 § 流体的密度及粘性 一.流体的密度： 1.密度的定义： 流体具有维持它原有运动状态的特性，这种特性称为惯性。 表征惯性的物理量是质量。质量愈大，则惯性愈大。 流体的密度(ρ)： V M ρV V ??=?→?'lim ΔV ′可理解为：微观上足够大，宏观上足够小的流体体积。 如果ΔV 太小，其内包含的分子数不够多，则ρ时而大时而小，ΔV 的极限值应为ΔV ′。 均质流体的密度（）：均质流体的密度是流体单位体积的质量。 V M ρ= ./3m kg 的单位：ρ 流体的比容( v )：密度的倒数称为比容。 ρ1=v ./3 kg m v 的单位： 均质流体的比容：单位质量的流体所占有的体积。 2.密度与压强和温度的关系： 流体的温度T ，压强p 的变化都会引起流体密度的变化。 ),(T p f =ρ即：

弹塑性力学基本内容

弹塑性力学基本内容 本课程是以物体的应力、应变理论以及在工程中的应用主要对象的一门基础性、实践性很强的应用学科。 教学目标为在强化物体的应力、应变理论基础的同时，关注物体的弹性力学模型的建立、分析和应用，并兼顾塑性理论的建立。在深度和广度上力求体现学科专业发展的前沿，有利于研究生掌握弹性理论专门知识，了解塑性理论的思想和方法，并着重在基础理论和实践应用两方面进行科研能力的培养。其基本要求为：使学生掌握弹性理论的建立、分析、应用，初步掌握塑性力学理论，使其具有从事弹性力学分析的知识和初步能力。 （1）弹塑性力学的研究对象和内容、弹塑性力学的分析方法和体系、弹塑性力学的基本假定 应力矢量、应力张量、Cauchy公式、平衡微分方程、力边界条件、应力分量的坐标变换、主应力、应力张量不变量、最大切应力、Mohr应力圆、偏应力张量及其不变量、八面体上的应力和等效应力、主应力空间与π平面 （2）位移分量和应变分量、两者的关系、物体内无限邻近两点位置的变化、转动分量、转轴时应变分量的变换、应变张量、主应变应变张量不变量、应变协调方程、应力和应变的关系、应力率和应变增量 （3）弹性力学的基本方程及其边值问题、位移解法（以位移表示的平衡微分方程）、应力解法（以应力表示的应变协调方程）、解的唯一性定理、局部性原理、逆解法和半逆解法、几个简单问题的求解 （4）平面应变问题、平面应力问题、应力解法（把平面问题归结为双调和方程的边值问题）、用多项式解平面问题、悬臂梁一端受集中力作用、简支梁受均匀分布荷载作用（5）平面问题的极坐标方程、轴对称应力问题和对应的位移、圆筒受均匀压力作用、曲梁的纯弯曲、具有小圆孔的平板的均匀拉伸 （6）薄板弯曲的基本概念及基本假设、弹性曲面的基本公式、薄板横截面上的内力、边界条件、圆形薄板弯曲问题 （7）塑性力学的基本概念、材料在简单拉压时的实验结果、应力-应变关系的简化模型、轴向拉伸时的塑性失稳、塑性本构关系的主要内容和研究方法 （8）应变张量和应力张量、屈服条件、几个常用的屈服条件、屈服条件的实验验证、加载条件 （9）塑性应变增量、加卸载判别准则、Drucker公设和Ilyushin公设、加载面外凸性和正交流动法则、塑性势理论、简单弹塑性问题

华中科技大学工程力学考研大纲

2010年《工程力学》考研大纲 《工程力学》考研内容共分两部分组成。 第一部分为所有考生必答题（共50分）《材料力学》《结构力学》各占25% 第二部分为选做题《材料力学》（100分）为岩土方向考生必答题 《结构力学》（100分）为结构、桥梁方向考生必答题 适用对象为：报考土木工程（一级学科）各专业（二级学科）的硕士研究生。 一、《材料力学》的考试内容及基本要求 材料力学的任务、变形固体的基本假设、截面法和内力、应力、变形、应变。 轴力与轴力图，直杆横截面及斜截面的应力，圣维南原理，应力集中的概念。 材料拉伸及压缩时的力学性能，应力-应变曲线。 拉压杆强度条件，安全因数及许用应力的确定。 拉压杆变形，胡克定律，弹性模量，泊松比。 拉压超静定问题，含温度及装配应力。 扭矩及扭矩图，切应力互等定理，剪切胡克定律，圆轴扭转的应力与变形、扭转强度及刚度条件。 静矩与形心，截面二次矩，平行移轴公式。 平面弯曲的内力，剪力、弯矩方程，剪力、弯矩图，利用微分关系画梁的剪力、弯矩图。

弯曲正应力，弯曲切应力，梁正应力、切应力强度条件。 挠曲线及其近似微分方程，积分法、叠加法求梁的位移，梁的刚度条件，简单超静定梁。 应力状态的概念，平面应力状态下的应力分析，三向应力状态的简介，三向应力状态下应变能、畸变能的概念，主应力和主方向，广义胡克定律。 二、《结构力学》的考试内容及基本要求 1）几何构造分析 会对各种体系进行几何构造分析。 2）静定结构的受力分析 掌握多跨静定梁、刚架、桁架、组合结构、三铰拱的内力计算方法，会画内力图，重点是弯矩图。 3）虚功原理与结构位移计算 掌握各种静定和超静定结构在荷载、支座位移、温度改变下的位移 计算，重点是图乘法计算位移。 4）静定结构的影响线 会用静力法和机动法制作多跨静定梁（在直接荷载和间接荷载作用 下）、桁架、结合结构的影响线。会用影响线确定移动荷载的最不利 位置及最大内力。 5）力法 会用力法计算超静定的梁、刚架、桁架、组合结构。对对称结构会 进行简化计算。 6）位移法