一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出:数学课程应面向全体学生;促进学生获得数学素养的培养和提高;逐步形成数学观念和数学意识;倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念,通过对已学知识的回忆,引导学生主动探究。强调学习的主体性,使学生实现知识的重构,培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心,以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程,符合学生的认知规律,使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程,从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法,本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式,并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时,本节课属于第一课时,课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学,除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外,更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系,体会数形结合,分类讨论,等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式,并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能:通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法; 过程与方法:自主探究与讨论交流过程中,培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力; 情感态度价值观:培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 (创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价) 【课前准备】 教具:“几何画板”及PPT课件. 粉笔:用于板书示范.
如何解一元二次不等式,例如:x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路 解:对于高中“解一元二次不等式”这一块, 通常有以下两种解决办法: ①运用“分类讨论”解题思想; ②运用“数形结合”解题思想。 以下分别详细探讨。 例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。 解法①:原不等式可化为: (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 两部分的乘积大于等于零, 等价于以下两个不等式组: (1)x -- 4 ≥ 0 或(2)x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得:x ≥ 4(因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2,此为“同大取大”) 解不等式组(2)得:x ≤ -- 2(因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4,此为“同小取小”) ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为:x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 其解集为:( -- ∞,-- 2 ] ∪[ 4,+ ∞)。 解法②:原不等式可化为: [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为:( -- ∞,-- 2 ] ∪[ 4,+ ∞)。 解法③:如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方,
那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解, 如本题,用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4,x2 = -- 2,则原不等式可化为:(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。 体会:以上三种解法,都是死板板地去解; 至于“分类讨论”法,有时虽麻烦,但清晰明了。 下面看“数形结合”法。 解法④:在平面直角坐标系内,函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2,0) 和(4,0), 显然,当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时, 图像在x 轴的上方; 当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时,图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时,x2 -- 2x -- 8 ≥ 0, 即:不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为:x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 顺便说一下,当-- 2 ≤ x ≤ 4 时,图像在x 轴的下方,即:x2 -- 2x -- 8 ≤ 0,∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为:-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为:[ -- 2,4 ]。 领悟:对于ax2 + bx + c >0 型的二次不等式,其解为“大于大根或小于小根”; 对于ax2 + bx + c <0 型的二次不等式,其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 >0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得:(x + 1)2 + 2 >0。 无论x 取任何实数,(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。 用“数形结合”考虑, ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△<0, ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即:无论自变量x取任意实数时,图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 >0的解集为x ∈R。
《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一:解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 (1)2 50x x -<; (2)2 440x x -+>; (3)2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数,数形结合解决,或利用符号法则解答. 解析: (1)方法一: 因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为:10x =,25x = 函数25y x x =-的简图为: 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二:2 50(5)0x x x x --<050x x >???- 或0 50x x ?->? 解得05x x >?? 或 0 5 x x ?>?,即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. (2)方法一: 因为0?=, 方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为: 所以,原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二:2244(2)0x x x -+=-≥(当2x =时,2 (2)0x -=) 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ (3)方法一: 原不等式整理得2 450x x -+<.
因为0?<,方程2 450x x -+=无实数解, 函数245y x x =-+的简图为: 所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二:∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华: 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决,培养并提高数形结合的分析能力; 2. 当0?≤时,用配方法,结合符号法则解答比较简洁(如第2、3小题);当0?>且是一个完全平方数时,利用因式分解和符号法则比较快捷,(如第1小题). 3. 当二次项的系数小于0时,一般都转化为大于0后,再解答. 举一反三: 【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->;(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤; (4) 2 230x x -+->. 【答案】 (1)方法一: 因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为:11 2 x =-,22x = 函数2 232y x x =--的简图为: 因而不等式2 2320x x -->的解集是:1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二:∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->(, ∴ 原不等式的解集是:1 {|2}2 x x x <->或. (2)整理,原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =,
一元二次不等式的解法 基础知识 1.一元二次不等式的概念 一般地,形如ax 2+bx +c >0的不等式称为一元二次不等式,其中a ,b ,c 是常数,而且a ≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等. 2.一元二次不等式的解法 (1)因式分解法 如果x 1
故其解集为{x |-13≤x <1 4 }.故选B . 3.①x 2+x +1<0,②-x 2-4x +5≤0,③x +y 2+1>0,④mx 2-5x +1>0,⑤-x 3+5x ≥0,⑥(a 2+1)x 2+bx +c >0(m ,n ∈R ).其中关于x 的不等式是一元二次不等式的是__①②⑥__.(请把正确的序号都填上) 解析:①②是;③不是;④不一定是,因为当m =0时,它是一元一次不等式;⑤不是,因为未知数的最高次数是3;⑥是,尽管x 2的系数含有字母,但a 2+1≠0,所以⑥与④不同,故答案为①②⑥. 4.不等式组0≤x 2-2x -3<5的解集为__(-2,-1]∪[3,4)__. 解析:由x 2-2x -3≥0得x ≤-1或x ≥3; 由x 2-2x -3<5得-2 一元二次不等式的解法(一) 学习目标: 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型; 2.掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解决一些实际问题。 3.培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力 知识点一:一元二次不等式的定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的不等式,称为一元二次不等式。比如: . 任意的一元二次不等式,总可以化为一般形式:)0(02>>++a c bx ax 或 )0(02><++a c bx ax . 知识点二:一般的一元二次不等式的解法 ( (1)先看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数; (2)写出相应的方程)0(02 >=++a c bx ax ,计算判别式?; ①0>?时,求出两根21x x 、,且21x x <(注意灵活运用因式分解和配方法); ②0=?时,求根a b x x 221-==; ③0--x x ; (3)0652 >--x x (4)0442 >+-x x ; (5)0542 >-+-x x ; (6)23262x x x -++<- 举一反三: 【变式1】解下列不等式 (1)02322 >--x x ; (2)02232 >+--x x (3)01442 ≤+-x x ; (4)0322 >-+-x x . (5)()()() 221332x x x +->+ 【变式2】解不等式:(1)6662<--≤-x x (2)18342 <-≤x x 类型二:已知一元二次不等式的解集求待定系数 例2 不等式02 <-+n mx x 的解集为)5,4(∈x ,求关于x 的不等式012 >-+mx nx 的解集 举一反三: 【变式1】不等式0122 >++bx ax 的解集为{} 23<<-x x ,则a =_______, b =________ 【变式2】已知关于x 的不等式02<++b ax x 的解集为)2,1(,求关于x 的不等式0 12 >++ax bx 的解集. 类型三:二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题 例3 已知关于x 的不等式03)1(4)54(2 2 >+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围。 举一反三: 【变式1】 若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为空集,求m 的取值范围. 【变式2】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解为一切实数,求m 的取值范围. 【变式3】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为非空集,求m 的取值范围. 一对一个性化辅导教案 一元二次不等式及其解法 【要点梳理】 要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.比如: 250x x -<.一元二次不等式的一般形式:20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <,则不等式20ax bx c ++>的解集为 {}2 1 x x x x x ><或,不等式2 0ax bx c ++<的解集为{}21x x x x << 要点诠释:讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤,设ac b 42-=?,它的解按照 0>?,0=?,0的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或 20ax bx c ++<(0)a >的解集. 二次函数 c bx ax y ++=2(0>a )的图象 20(0)ax bx c a ++=>的根 有两相异实 根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集 )0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 要点诠释: (1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值,是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标; (2)表中不等式的二次系数均为正,如果不等式的二次项系数为负,应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式,然后讨论解决; (3)解集分0,0,0?>?=?<三种情况,得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集. 要点三、解一元二次不等式的步骤 (1)先看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数; (2)写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >,计算判别式?: ①0?>时,求出两根12x x 、,且12x x <②0?=时,求根a b x x 221- ==; 一元二次不等式解法一、知识梳理 1.“三个二次”的关系 2.常用结论 (x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法 口诀:大于取两边,小于取中间. 二、例题讲解 题型一 一元二次不等式的求解 命题点1 不含参的不等式 例1 求不等式-2x 2+x +3<0的解集. 解 化-2x 2+x +3<0为2x 2-x -3>0, 解方程2x 2-x -3=0得x 1=-1,x 2=3 2 , ∴不等式2x 2-x -3>0的解集为(-∞,-1)∪(3 2,+∞), 即原不等式的解集为(-∞,-1)∪(3 2,+∞). 命题点2 含参不等式 例2 解关于x 的不等式:x 2-(a +1)x +a <0. 解 由x 2-(a +1)x +a =0得(x -a )(x -1)=0, ∴x 1=a ,x 2=1, ①当a >1时,x 2-(a +1)x +a <0的解集为{x |1一元二次不等式的解法
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