一元二次不等式
一元二次不等式
1、当a>0 时
（1）判别式△(b²-4ac)>0时，有两个不相等的解。
（2）判别式△(b²-4ac)=0时，因为a>0，二次函数图象抛物线的开口向上，抛物线与x轴有一个交点，则x₁=x₂，所以不等式ax²+bx+c>0的解集是x≠x1的全体实数，而不等式ax²+bx+c<0的解集是空集。（有一个解即x≠a）。
（3）判别式△(b²-4ac)<0时，抛物线在x轴的上方与x轴没有交点。所以不等式ax²+bx+c>0的解集是全体实数，而不等式ax²+bx+c<0的解是空集。（无解）2、当a<0 时
（1）判别式△(b²-4ac)>0时，有两个不相等的解。
（2）判别式△(b²-4ac)=0时，因为a<0，二次函数图象抛物线的开口向下，抛物线与x轴有一个交点，则x1=x2，所以不等式ax²+bx+c<0的解集是x≠x1的全体实数，而不等式ax²+bx+c>0的解集是空集。（有一个解即x≠a）
（3）判别式△(b²-4ac)<0时，抛物线在x轴的下方与x轴没有交点。所以不等式ax²+bx+c<0的解集是全体实数，而不等式ax²+bx+c>0的解是空集。（无解）
一元二次不等式的解法
知识点一：一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：. 任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式 ： 或 . 知识点二：一般的一元二次不等式的解法 设一元二次方程的两根为且，， 则相应的不等式的解集的各种情况如下表： 注意： （ 1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解 集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用 不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式 与的解集。 知识点三：解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2 ）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 知识点四：用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的过程 规律方法指导 1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法； 3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不 等式的解集与其系数之间的关系； 5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数二次函数 （）的图象
经典例题透析 类型一：解一元二次不等式 1．解下列一元二次不等式 （1）；（2）；（3） 思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当 且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三： 【变式1】解下列不等式 (1) ； (2) (3) ； (4) . 【变式2】解不等式： 类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数 2．不等 式的解集 为，求关于的不等 式的解集。
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法（1） <基础知识> <基本训练> 1、不等式（x+2）(1+x)>0的解集是 。 2、若关于X 的不等式x-a x+1 >0的解集为（-∞，-1）∪（4，+∞），则实数a = . 3、已知不等式ax 2+2x+c>0的解集为－13
4、函数f(x)=3ax+1－2a在（-1，1）上存在X0，使f(X0)=0，则a的取值范围是 5、解下列不等式： (1) 4x2+4x+1>0 (2) x2-3x+5>0 (3) (x+3)(x+2)(x-1)2(x-4)<0 (4) 2x2－5x-1 x2-3x+2 >1 一元二次不等式及其解法 <典型例题讲练> 例1．当a为何值时，不等式（a2-1）x2-(a-1)x-1<0的解是全体实数。练习：已知常数a∈R,解关于x的不等式ax2-2x+a<0. <课后作业> 1、解不等式：(1) –x2+2x-2 3 >0 (2) 9x2-6x+1≤0 (3) (2x2-3x+1)(3x2-7x+2)>0 (4)3x-5 2x-3 ≤2 2、已知不等式（m2+4m-5）x2-4(m-1)x+3>0对一切实数X恒成立，求实数m的取值范围。 基本不等式（1） <基础知识> 1、几个重要的不等式：
一元二次不等式(含答案)
一元二次不等式 1.一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式. 当a ＞0时，解集为 ；当a ＜0时，解集为 . 2.一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式. (2)使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________. (3)一元二次不等式的解： 3.(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f （x ）g （x ）的形式. (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： f （x ） g （x ）＞0 ? f (x )g (x )＞0； f （x ） g （x ） ＜0 ? f (x )g (x )＜0； f （x ）g （x ）≥0 ? ?????f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0； f （x ） g （x ）≤0 ? ? ????f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0. 已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A.[ －2，－1] B.[－1，2) C.[－1，1] D.[1，2) 解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1].故选A . 设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( ) A.{x |x ∈R } B.{x |x ≠1，x ∈R } C.{x |x ≥1} D.{x |x ≤1} 解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ，由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ， 解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2－2x ＋1>0，x 的取值范围是x ≠1.故选B. 已知－12<1 x <2，则x 的取值范围是( ) A.－2
一元二次不等式概念
一元二次不等式概念 数学关系式 一元二次不等式，是指含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是 ax²+bx+c>0 、ax²+bx+c≠0、ax²+bx+c<0（a不等于0）。 中文名 一元二次不等式 外文名 One-Variable Quadratic inequality 一般形式 ax²+bx+c>0 或 ax²+bx+c 类型 不等式 未知数 一个未知数且最高次数为2 归属学科 数学 形如 （或 ）（其中， ）这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为关于 的一元二次不等式。 一元二次不等式解法一 当
时，一元二次方程 有两个不等的实根，那么 可分解为如 的形式。 当 时，一元二次方程 有两个相同的实根，那么 可分解为如 的形式。 当 时，一元二次方程 无实根。 这样，一元二次不等式的求解就可以归结为两组一元二次不等式的求解。一元二次不等式的解集是这两个一元二次不等式的解集的交集。 举例： 试解一元二次不等式 解： ，故方程 有两个实数根，可求得为： ，故原不等式可化为： （这里也可利用十字相乘法进行因式分解） 1） 得 且 （不成立） 2） 得
且 。 得最终不等式的解为： 一元二次不等式解法二 如上面例题中，采用配方法求解如下： 故原不等式 可化为： 于是有： 一元二次不等式解法三 通过看图象可知，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案。 求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图象法进行解题，使得问题简化。 一元二次不等式解法四 数轴穿根：用穿根法解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，依次穿过这些零点，大于零的不等式的解对应这曲线在 轴上方部分的实数 的值的集合，小于零的则相反。这种方法叫做序轴穿根法，又叫“穿根法”。口诀是“从右到左，从上到下，奇穿偶不穿。”
一元二次不等式公式解法
一元二次不等式公式解法 一元二次不等式是指类似于ax+bx+c>0的不等式，其中a、b、c 为实数且a≠0。解一元二次不等式的方法可以分为以下两种公式解法： 1.配方法 当a>0时，我们可以通过配方法将一元二次不等式转化为 (x+m)+n>0的形式。具体步骤如下： ①将一元二次不等式转化为ax+bx+c≥0的形式。 ②将a提出来，得到a(x+bx/a+c/a)≥0。 ③将b/a的一半平方再减去c/a，得到(b/2a)-c/a=m，其中m为实数。 ④将式子转化为a[(x+b/2a)-(b/2a)+c/a]≥0。 ⑤将式子化简，得到(x+b/2a)+(4ac-b)/4a>0。 ⑥将4ac-b表示为n，得到(x+b/2a)+n/4a>0。 ⑦由于a>0，所以n>0，而完全平方数加上正数大于0，所以 (x+b/2a)+n/4a>0，即(x+m)+n>0。 2.因式分解法 当a<0时，我们可以通过因式分解法将一元二次不等式转化为(ax+b)(x+c)<0或(ax+b)(x+c)>0的形式。具体步骤如下： ①将一元二次不等式转化为ax+bx+c≤0或ax+bx+c≥0的形式。 ②将a提出来，得到a(x+bx/a+c/a)≤0或a(x+bx/a+c/a)≥0。 ③将x+bx/a+c/a表示为(x+d)(x+e)的形式，其中d、e为实数。
④当a<0时，(x+d)(x+e)>0；当a>0时，(x+d)(x+e)<0。 ⑤当a<0时，解(x+d)(x+e)>0的方法为：找出实数d、e的大小关系，将实数轴分为三段，判断每一段上的符号，最后得到不等式的解集；当a>0时，解(x+d)(x+e)<0的方法为：找出实数d、e的大小关系，将实数轴分为三段，判断每一段上的符号，最后得到不等式的解集。 以上就是一元二次不等式的两种公式解法。需要注意的是，在解一元二次不等式时，我们需要根据a的正负性和不等式的形式来选择不同的解法。同时，我们也需要掌握因式分解和符号判断的技巧，才能正确地解决这类问题。
一元二次不等式的解法步骤
一元二次不等式的解法步骤 一元二次不等式解法有公式法、配方法、图像法、数轴穿根。数轴穿根步骤：把二次项系数变成正的；画数轴，在数轴上从小到大依次标出所有根；从右上角开始，一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过。 一元二次不等式怎么解 数轴穿根 用穿根法解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，依次穿过这些零点，大于零的不等式的解对应这曲线在x轴上方部分的实数x的值的集合，小于零的则相反。这种方法叫做序轴穿根法，又叫“穿根法”。口诀是“从右到左，从上到下，奇穿偶不穿。” 注：该方法适用于所有的不等式。 步骤： 1）把二次项系数变成正的； 2）画数轴，在数轴上从小到大依次标出所有根； 3）从右上角开始，一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过(即遇到含x的项是奇次幂就穿过，偶次幂就跨过)； 4）注意看看题中不等号有没有等号，没有的话还要注意舍去使不等式为0的根。 图像法 一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。 通过看图象可知，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案。 求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图象法进行解题，使得问题简化。 一元二次方程求根公式
当Δ=b^2-4ac≥0时,x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a 当Δ=b^2-4ac＜0时,x={-b±[(4ac-b^2)^(1/2)]i}/2a 只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。它的标准形式为:ax²+bx+c=0（a≠0） 公式法可以解任何一元二次方程。 因式分解法，也就是十字相乘法，必须要把所有的项移到等号左边，并且等号左边能够分解因式，使等号右边化为0。 配方法比较简单：首先将二次项系数a化为1，然后把常数项移到等号的右边，最后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方，左边配成完全平方式，再开方就得解了。 感谢您的阅读，祝您生活愉快。
50道一元二次不等式
50道一元二次不等式 一元二次不等式是高中数学中一个重要的主题，它可以帮助学生们深入理解一元二次方程的性质，浅析它的解的性质，以及如何求解一元二次方程。本文将介绍50道一元二次不等式，来帮助学习者在解决高中数学中一元二次不等式题目中，掌握正确的方法，熟悉数学基本概念，充分理解一元二次方程的概念。 首先，来看一元二次不等式的定义。一元二次不等式是指用一元二次函数的方程来表示的不等式，即形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的不等式，其中a≠0。这种不等式虽然和一元二次方程类似，但它们有不同的解法，因此需要学习者根据不等式本身的特点，运用相应的方法来解决问题。下面就一一给大家介绍50道一元二次不等式。 1. 2x2-3x-4>0 2. 3x2+4x-5≤0 3. 4x2-2x+1<0 4. 5x2-7x-3≥0 5. 6x2+8x+2>0 6. 7x2-5x-6≤0 7. 8x2+9x-1<0 8. 9x2-4x+3≥0 9. 10x2-2x+4>0 10. 11x2+5x-2≤0 11. 12x2-3x+1<0
13. 14x2+6x+3>0 14. 15x2-2x-4≤0 15. 16x2+4x-2<0 16. 17x2-3x+3≥0 17. 18x2+8x-1>0 18. 19x2+2x-4≤0 19. 20x2-5x+2<0 20. 21x2+7x-3≥0 21. 22x2-9x+4>0 22. 23x2-4x-1≤0 23. 24x2+5x+2<0 24. 25x2-6x-3≥0 25. 26x2-7x+1>0 26. 27x2+2x-5≤0 27. 28x2+3x+2<0 28. 29x2-8x-3≥0 29. 30x2+4x-1>0 30. 31x2-2x+4≤0 31. 32x2+6x-2<0 32. 33x2-5x+3≥0 33. 34x2-4x-4>0
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法 基础知识 1．一元二次不等式的解法步骤 (1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0). 在不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)中，如果二次项系数a <0，可根据不等式的性质，将其转化为正数. (2)求出相应的一元二次方程的根． (3)利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表 二、常用结论 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a >0且Δ<0； (2)不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a <0且Δ<0； (3)若a 可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a ＝0的情形． 2．简单分式不等式 (1)f (x )g (x )≥0⇔⎩ ⎪⎨⎪⎧ f (x ) g (x )≥0，g (x )≠0；(2)f (x ) g (x )>0⇔f (x )g (x )>0. 考点一 一元二次不等式的解法 考法(一) 不含参数的一元二次不等式 [典例] 解下列不等式：(1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2)0＜x 2－x －2≤4； [解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0，解得－2≤x ≤4 3， 所以原不等式的解集为}3 42|{≤≤-x x .
(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. 考法(二) 含参数的一元二次不等式 [典例] 解不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． [解] 原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以a )1 (a x -(x －1)＜0. 所以当a ＞1，即1a <1时，解为1 a ＜x ＜1； 当a ＝1时，解集为∅； 当0＜a ＜1，即1a >1时，解为1＜x ＜1 a . 综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为}11|{a x x <<； 当a ＝1时，不等式的解集为∅； 当a ＞1时，不等式的解集为}11 | {< 一元二次不等式的基本解法 一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0（或<、≥、≤）的不等式，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。解一元二次不等式的基本方法是通过求解二次方程的根和分析二次函数的图像来确定不等式的解集。 下面将分别介绍一元二次不等式的基本解法。 1. 求解二次方程的根 我们可以将一元二次不等式转化为对应的二次方程。例如，对于不等式x^2 - 2x - 3 > 0，我们可以得到对应的二次方程x^2 - 2x - 3 = 0。 然后，我们可以使用因式分解、配方法或求根公式来求解二次方程的根。根据二次方程的根的性质，根的取值将会对应不等式的解集中的某一部分。 2. 分析二次函数的图像 通过分析二次函数的图像，我们可以确定二次函数的取值范围，从而确定不等式的解集。 我们可以计算二次函数的顶点坐标，即x = -b/2a，y = f(-b/2a)。顶点坐标将告诉我们二次函数的最值和对称轴。 然后，我们可以根据二次函数的开口方向和顶点的位置，判断二次函数在不同区间上的取值情况。根据不等式的符号，我们可以确定不等式的解集。 3. 综合分析确定解集 我们需要综合分析上述求解二次方程的根和分析二次函数的图像的结果，确定不等式的解集。 根据二次方程的根和二次函数的图像，我们可以将数轴分为若干个区间。然后，我们可以根据不等式的符号和二次函数在每个区间上的取值情况，确定不等式的解集。 例如，对于不等式x^2 - 2x - 3 > 0，通过求解对应的二次方程和分析二次函数的图像，我们可以得到二次方程的根为x = -1和x = 3，二次函数的顶点坐标为(-1, 4)。根据二次函数的图像，我们可以得知函数在区间(-∞, -1)和(3, +∞)上大于0，因此不等式的解集为(-∞, -1)和(3, +∞)。 总结起来，一元二次不等式的基本解法包括求解二次方程的根和分析二次函数的图像。通过综合分析二者的结果，我们可以确定不等式的解集。在解题过程中，我们需要注意不等式符号的改变和二次函数在不同区间上的取值情况，以避免求解错误。 一元二次不等式的解法 一元二次不等式是数学中常见的一种不等式类型，涉及到一个未知 数的平方，通常可以表示为ax^2 + bx + c < 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。解决一元二次不等式的关键在于找到其解集，即满足 不等式的x的取值范围。本文将介绍两种常用的解法：因式分解法和 判别式法。 一、因式分解法 因式分解法是解决一元二次不等式的常用方法之一。其主要思路是 将不等式左侧转化为一个或多个二次因子的乘积，并通过每个因子的 正负确定不等式的取值范围。 例如，对于不等式x^2 - 5x + 6 \geq 0，可以通过因式分解将其转化 为(x - 2)(x - 3) \geq 0。根据因子的正负确定不等式的解集。由于(x - 2)(x - 3)为两个因子的乘积，因此只有在这两个因子同时为非负或同时 为非正的情况下，不等式才成立。 首先考虑(x - 2) \geq 0，解得x \geq 2；然后考虑(x - 3) \geq 0，解得 x \geq 3。因此，不等式的解集为x \geq 3。 二、判别式法 判别式法是解决一元二次不等式的另一种常用方法。其基本思想是 通过求解一元二次不等式对应二次方程的判别式来确定不等式的解集。 对于一元二次不等式ax^2 + bx + c < 0，首先计算其对应的二次方程的判别式，记作\Delta = b^2 - 4ac。 若\Delta > 0，则二次方程有两个不相等的实数解，此时不等式的解 集为x < \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} 或 \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} < x。 若\Delta = 0，则二次方程有两个相等的实数解，此时不等式的解集 为x = \frac{-b}{2a}。 若\Delta < 0，则二次方程无实数解，此时不等式无解。 举个例子，考虑不等式x^2 - x - 6 > 0。计算其对应的二次方程的判 别式：\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25。 由于\Delta > 0，因此不等式的解集为x < \frac{1 - \sqrt{25}}{2} 或 \frac{1 + \sqrt{25}}{2} < x，即x < -2 或 x > 3。 总结 通过因式分解法和判别式法，我们可以解决一元二次不等式的求解 问题。因式分解法通过将不等式转化为二次因子的乘积，确定不等式 的解集；判别式法则通过计算二次方程的判别式，确定不等式的解集。 需要注意的是，在解决一元二次不等式问题时，我们需要考虑不等 式的形式、变量系数和符号等因素，以找到适合的解题方法。此外， 为了准确地求解不等式，我们还需要掌握二次方程求根公式、因式分 解技巧和判别式计算规则等知识。 一元二次不等式及其解法学习目标核心素养 (重点). “三个二次”之间的关系解决简单问题(难点). 通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养. 1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？ 提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集． 思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？ 提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立． 4．三个“二次”的关系 设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y ＞0或y ＜0的步骤 求方程y ＝0的解 有两个不相等的实 数根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两个相等的实 数根x 1＝x 2＝－ b 2a 没有 实数根 画函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象 得等的集不式解 y ＞0 {x |x ＜x 1_或x ＞x 2} ⎩⎨⎧ x ⎪ ⎪⎪⎭⎬ ⎫x ≠－b 2a R y ＜0 {x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ∅ 思考3：若一元二次不等式ax 2＋x －1>0的解集为R ，则实数a 应满足什么条件？ 提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax 2＋x －1>0的解集为R ，则⎩⎨⎧ a >0，1＋4a <0， 解得a ∈∅，所以不存在a 使不等式ax 2＋x －1>0的解集为R . 1．不等式3＋5x －2x 2≤0的解集为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪ ⎫x ⎪⎪⎪ x ＞3或x ＜－12 B.⎩ ⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1 2≤x ≤3 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪ ⎫x ⎪ ⎪⎪ x ≥3或x ≤－1 2 D ．R C [3＋5x －2x 2 ≤0⇒2x 2 －5x －3≥0⇒(x －3)(2x ＋1)≥0⇒x ≥3或x ≤－1 2.] 2．不等式3x 2－2x ＋1＞0的解集为( ) A.⎩ ⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪ ⎫x ⎪⎪⎪ －1＜x ＜13 B.⎩ ⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪ ⎫x ⎪⎪⎪ 1 3＜x ＜1 C ．∅ D ．R D [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x 2－2x ＋1＞0 二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解 一、本节知识点 （1）一元二次不等式的概念. （2）三个二次的关系. （3）一元二次不等式的解法. 知识点拓展: （4）分式不等式的解法. （5）高次不等式的解法. 二、本节题型 （1）解不含参数的一元二次不等式. （2）解含参数的一元二次不等式. （3）三个二次之间的关系. （4）简单高次不等式、分式不等式的解法. （5）不等式恒成立问题. （6）一元二次不等式的应用. 三、知识点讲解. 知识点 一元二次不等式的概念 我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式. 元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集. 注意 一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 知识点 三个二次的关系 一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系. 一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是: （1）当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解; ①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点; ②当0=∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数 ()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点（即抛物线的顶点）. （2）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数 ()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点. 具体关系见下页表（1）所示. 一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是: （1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数 ()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变 量的取值范围; （2）一元二次不等式02<++c bx ax （≤0）的解集就是二次函数 ()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方（包括x 轴）的部分所对应的自变 量的取值范围. 由表可知 一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤是: （1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=∆的值,并判断∆的符号; （3）当∆≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图; （5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集. 注意 一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系. 2021年新高考数学总复习第七章《不等式》 一元二次不等式及其解法 一元二次不等式的解集 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝ 0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2 (x1 (1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ ) (2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ ) (3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × ) (5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集． ( √ ) 题组二 教材改编 2．已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( ) A ．{x |－2 一元二次不等式的解法 一元二次不等式是指包含一个未知数的二次函数不等式，其解的范 围通常是实数集合中的某个区间。解决一元二次不等式问题需要运用 一些基本的数学原理和方法。本文将介绍几种常见的一元二次不等式 的解法。 1. 图形法解一元二次不等式 图形法是解决一元二次不等式的一种直观方法。我们可以通过绘制 一元二次函数的图像来观察其解的范围。具体步骤如下： 1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边 为0； 2）绘制该二次函数的图像，并标出函数图像上的关键点，如顶点、交点等； 3）根据函数图像的特征，确定不等式的解的范围。 2. 因式分解法解一元二次不等式 因式分解法是解决一元二次不等式的常用方法之一。通过将不等式 转化为因式的形式，可以更方便地确定解的范围。具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边 为0； 2）将二次函数因式分解为一元一次函数的乘积，得到因式表达式； 3）根据因式表达式的性质，确定不等式的解的范围。 3. 完全平方式解一元二次不等式 完全平方式也是解决一元二次不等式的一种常用方法。通过完全平 方式，可以将不等式转化为平方形式，从而更容易确定解的范围。具 体步骤如下： 1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边 为0； 2）将一元二次函数利用完全平方式转化为平方（二次）表达式； 3）根据平方表达式的性质，确定不等式的解的范围。 4. 配方法解一元二次不等式 配方法是解决一元二次不等式的另一种有效方法。通过进行配方法，可以将一元二次不等式转化为二次函数的平方差形式，从而简化求解 过程。具体步骤如下： 1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边 为0； 2）运用配方法，将二次函数转化为平方差的形式； 3）根据平方差的性质，确定不等式的解的范围。 综上所述，一元二次不等式的解法包括图形法、因式分解法、完全 平方式和配方法等多种方法。在具体解题过程中，可以根据实际情况 一 元 二 次 不 等 式 知 解一元二次不等式的步骤： ① 将二次项系数化为“ +”： A=i 「十」一一 -I. >0 (或<0)( a>0) ② 计算判别式匸，分析不等式的解的情况： 若直> 0*则疋或號 > 升; i . A>0 时，求根耳 1V 也,芦A 5 Wfej 解："■丨；I (1)当「•[!•：•；一― . t ■- ■■■ - ”一「有两个不相等的实根。 所以不等式二「二]三I 一的解集是： (2)当芒L-|二一」「，上｛丄」二•上：.■:-有两个相等的实根， 疋+ ku -k兰I〕的解集 所以不等式 (3)当- -H . L (_-：< - ^=：■■: L 无实根 所以不等式:::-■■: - ■■- ■- ■■解集为°。 2x a+ 2kx 十k ’ 5 <1 例3.若不等式一““匚对于x取任何实数均成立，求k的取值范围。 2x2+ 2kx + k , 2x^ + Zkx + k < 「 —T------ < 1 —r ------ 1 < 0 解：■/' = W 1 - (T 4X2+6X+3恒正)， •••原不等式对X取任何实数均成立，等价于不等式2X2—2 (k- 3) X+3- k>0对X取任何实数均成立。 •••匚=[-2 (k-3) ]2- 8 (3 - k) <0= k2- 4k+3<0= 1一元二次不等式的基本解法
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