一元二次不等式及其解法
3.2.1 一元二次不等式及其解法
1.一元二次不等式的概念
我们把只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式．
破疑点：(1)在一元二次不等式的表达式中，一定有条件a≠0，即二次项的系数不为零．
(2)对于ax2＋bx＋c>0(或<0)的形式，如果不指明是二次不等式，那么它也可能是一次不等式，应特别注意分类讨论．
练习：判断下列不等式中哪些是一元二次不等式．
①x2>0；②－x2－x≤5；③x3＋5x－6>0；④mx2－5y<0(m为常数)；⑤ax2＋bx＋c>0.
[解析]①②是．③不是，因为x3的最高次数是3，不符合定义．④不是．当m＝0时，它是一元一次不等式，当m≠0，它含有两个未知数x，y.⑤不一定是．当a＝0时，它不符合一元二次不等式的定义；当a≠0时，是．
2．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．
破疑点：(1)解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式．
(2)一元二次不等式解集的形式是在a>0的条件下给出的，若a<0，应将不等式两边同乘以－1转化为二次项系数为正的形式，再求解．
练习：画出函数y＝x2－2x－3的图象，观察图象．回答问题：
(1)x∈________时，y＝0，方程x2－2x－3＝0的根为________．
(2)x∈________时，y>0，∴不等式x2－2x－3>0的解集为________；
(3)x∈________时，y<0，∴不等式x2－2x－3<0的解集为________．
[答案](1){－1,3}x1＝－1，x2＝3(2){x|x<－1或x>3}{x|x<－1或x>3} (3){x|－1 [解析]方程x2－2x－3＝0的两根分别是x1＝－1，x2＝3，函数y＝x2－2x －3的图象如图所示． 由图象可知，当x∈{－1,3}时，y＝0，方程x2－2x－3＝0的根为x1＝－1，x2＝3. 当x∈{x|x<－1或x>3}时，y>0， ∴不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}． 当x∈{x|－1 一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式： (1)ax2＋bx＋c＞0(a＞0)； (2)ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． 上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程ax2＋bx＋c＝0的根确定．设△＝b2－4ac，则： ①△＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1、x2，设x1＜x2，则不等式(1)的解集为{x|x＜x1或x＞x2}，不等式(2)的解集为{x|x1＜x＜x2}； ②△＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的根，即x1＝x2＝－b 2a，此时 不等式(1)的解集为{x∈R|x≠－b 2a}，不等式(2)的解集为∅； ③△＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式(1)的解集为R；不等式(2)的解集为∅. 对于二次项系数是负数(即a＜0)的不等式，可以先依据不等式的性质把二次项系数化成正数，再参照上述两种形式求解． 也可以直接参照a＞0的情形画出图象，对比图象上的正负值区间写出解集．练习：解不等式6x－2－3x2>0. [解析]原不等式可化为3x2－6x＋2<0， ∵Δ＝36－4×3×2＝12>0， ∴方程3x2－6x＋2＝0的两实根分别为x1＝1－ 3 3，x2＝1＋ 3 3， ∴原不等式的解集为{x|1－ 3 3 3 3}． 考点一：简单的一元二次不等式的解法例1、解下列不等式： (1)2x2－3x－2>0； (2)x2－3x＋5>0； (3)－6x2－x＋2≥0； (4)－4x2≥1－4x； (5)2x2－4x＋7<0. [解析](1)∵Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0， ∴方程2x2－3x－2＝0有两个不同实根，分别是－1 2，2， ∴原不等式的解集为{x|x>2，或x<－1 2}． (2)∵Δ＝(－3)2－4×5＝9－20<0，∴x2－3x＋5>0的解集为R. (3)原不等式可化为6x2＋x－2≤0，∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0， ∴方程6x2＋x－2＝0有两个不同实根，分别是－2 3， 1 2， ∴原不等式的解集为{x|－2 3≤x≤ 1 2}． (4)原不等式可化为4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0. ∴原不等式的解集是{x|x＝1 2}． (5)∵Δ＝(－4)2－4×2×7＝－40<0，∴不等式2x2－4x＋7<0的解集为∅.跟踪练习：不等式x2－4x＋5＜0的解集为________． [答案]∅ [解析]∵Δ＝16－20＝－4<0， ∴方程x2－4x＋5＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅. 考点二：一元二次不等式的实际应用 例2、某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？ [解析]如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系．∵AB＝400，∠BAx＝30°，∴台风中心B的坐标为(2003，－200)，x h后台风中心B到达点P(2003，40x－200)处． 由已知，A市受台风影响时，有|AP|≤350， 即(2003)2＋(40x－200)2≤3502， 整理得16x2－160x＋375≤0， 解这个不等式得，3.75≤x≤6.25， A市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5. 故在3.75h后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5h. 跟踪练习：汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速40km/h以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场测得甲车的刹车略超过12m，乙车的刹车略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲 ＝0.1x＋0.01x2，s 乙 ＝0.05x＋0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？ [解析]要分清谁是应付主要责任者，就需分析行车速度，要弄清速度问题，就要利用刹车距离函数与实测数据，构建数学模型，由题意列出不等式甲：0.1x＋0.01x2＞12， 乙：0.05x＋0.005x2＞10， ∵x＞0，∴解得x 甲＞30 km/h，x 乙 ＞40 km/h，经比较知乙车超过限速，应 付主要责任. 考点三：“三个二次”关系的应用 例3、若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x|－1 3≤x≤2}，求不等式cx 2＋bx ＋a<0的解集． [解析]解法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|－1 3≤x≤2}，知a<0， 又(－1 3)×2＝ c a<0，则c>0. 又－1 3，2为方程ax 2＋bx＋c＝0的两个根， ∴－b a＝ 5 3. ∴ b a＝－ 5 3. 又c a＝－ 2 3，∴b＝－ 5 3a，c＝－ 2 3a. ∴不等式cx2＋bx＋a<0化为(－2 3a)x 2＋(－ 5 3a)x＋a<0， 即2ax2＋5ax－3a>0. 又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0⇔(2x－1)(x＋3)<0. ∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集为{x|－3 跟踪练习：已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－1 2和2. (1)求a、b的值； (2)解不等式ax2＋bx－1>0. [解析](1)∵方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－1 2和2， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ －12＋2＝－b a ， －12×2＝2 a .解得a ＝－2， b ＝3. (2)由(1)知，ax 2＋bx －1>0化为－2x 2＋3x －1>0，即2x 2－3x ＋1<0，解得1 2 2 例 4 设f (x )、g (x )都是R 上的奇函数，关于x 的不等式f (x )>0的解集为{x |4 A ．{x |2 B ．{x |4 C ．{x |－10 D ．{x |－5 [辨析] f (x )g (x )>0⇔⎩⎨⎧ f (x )>0g (x )>0或⎩⎨⎧ f (x )<0 g (x )<0.误选B ，是忽视了f (x )<0且g (x )<0 的情况． [正解] 选D.∵f (x )、g (x )都是R 上的奇函数， ∴f (x )·g (x )为偶函数， f (x )>0且 g (x )>0的解集为{x |4 3.2.2 含参数一元二次不等式的解法 1.含参数的一元二次不等式的解法 解答含参数的不等式时，一般需对参数进行讨论，常见的有以下几种情况： (1)二次项系数含参数时，根据二次不等式化标准形式需要化二次项系数为正，所以要对参数符号进行讨论． (2)解“Δ”的过程中，若“Δ”表达式含有参数且参数的取值影响“Δ”符号，这时根据“Δ”符号确定的需要，要对参数进行讨论． (3)方程的两根表达式中如果有参数，必须对参数讨论才能确定根的大小， 这时要对参数进行讨论． 总之，参数讨论有三个方面：①二次项系数；②“Δ”；③根．但未必在这三个地方都进行讨论，是否讨论要根据需要而定． 练习：解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2＜0. [解析] 原不等式化为(7x ＋a )(8x －a )＜0，方程(7x ＋a )(8x －a )＝0的两根为x 1＝－a 7，x 2＝a 8， ∴a ＞0时，解集为{x |－a 7＜x ＜a 8}； a ＝0时，解集为∅； a ＜0时，解集为{x |a 8＜x ＜－a 7}． 2．分式不等式的解法 (1)分式不等式：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等式称为分式不等式． (2)等价转化法解分式不等式：解分式不等式的基本方法是将其转化为与之同解的整式 不等式(组)．具体情况见下表： 练习：解下列不等式： (1)4－x 2x ＋3≤0； (2)x ＋12－x ≥3. [解析] (1)4－x 2x ＋3≤0⇔x －42x ＋3 ≥0 ⇔⎩⎨⎧ (x －4)(2x ＋3)≥02x ＋3≠0⇔{x |x ≥4或x <－3 2}． ∴原不等式的解集为{x |x <－3 2或x ≥4}． (2)x ＋12－x ≥3⇔x ＋12－x －3≥0 ⇔4x －52－x ≥0 ⇔ 4x －5 x －2 ≤0， ⇔⎩⎨⎧ (4x －5)(x －2)≤0x －2≠0， ⇔{x |5 4≤x <2}． ∴原不等式的解集为{x |5 4≤x <2}． 3．简单的高次不等式的解法 (1)高次不等式 不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式． (2)穿根法解高次不等式的步骤 ①将f (x )最高次项系数化为正数； ②将f (x )分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积； ③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)； ④观察曲线显现出的f (x )的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 练习：解不等式：(x ＋2)(x ＋1)(x －1)(x －2)≤0. [解析] 设y ＝(x ＋2)(x ＋1)(x －1)(x －2)， 则y ＝0的根分别是－2，－1,1,2， 将其分别标在数轴上，并画出如图所示的示意图： 所以原不等式的解集是{x |－2≤x ≤－1，或1≤x ≤2}． [点评] (1)大于0的不等式的解，对应着曲线在x 轴上方部分的实数x 的取值集合；反之，对应着x 轴下方部分的实数x 的取值集合．注意端点处值是否取到． (2)穿根法可形象地称为“穿根引线法”，这样的“线”可看成是函数的图象草图，只不过不画y 轴而已． 考点一：含参数的一元二次不等式的解法 例1、 解关于x 的不等式：x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＜0. [解析] 解法一：∵方程x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0的解为x 1＝m ，x 2＝m ＋1，且知m ＜m ＋1. ∴二次函数y ＝x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m 的图象开口向上，且与x 轴有两个交点． ∴不等式的解集为{x |m ＜x ＜m ＋1}． 解法二：注意到m 2＋m ＝m (m ＋1)，及m ＋(m ＋1)＝2m ＋1， 可先因式分解，化为(x －m )(x －m －1)＜0， ∵m ＜m ＋1，∴m ＜x ＜m ＋1. ∴不等式的解集为{x |m 跟踪练习：当a >0时，解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. [解析] 不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0可化为(ax －1)(x －1)<0， ∵a >0，∴不等式(ax －1)(x －1)<0，可化为(x －1 a )(x －1)<0， 当a ＝1时，不等式无解； 当0 a ； 当a >1时，1 a 综上可知，当0 a }；当a ＝1时，原不等式的解集为空集；当a >1时，原不等式的解集为{x |1 a 考点二：分式不等式的解法 例2、 (1)不等式x －1 x ≥2的解集为( ) A ．[－1,0) B ．[－1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．(－∞，－1]∪(0，＋∞) (2)不等式2x －1 3－4x ＞1的解集为________． [答案] (1)A (2){x |23 4} [解析] (1)x －1x －2≥0∴－x －1 x ≥0，∴⎩⎨⎧ x (x ＋1)≤0x ≠0 ，∴－1≤x ＜0. (2)原不等式化为：6x －44x －3 ＜0， ∴(6x －4)(4x －3)＜0，∴23＜x ＜34， ∴原不等式的解集为{x |23＜x ＜34}． 跟踪练习：不等式3x －12－x ≥1的解集是( ) A ．{x |34≤x ≤2} B ．{x |x ≤34或x ＞2} C ．{x |34≤x ＜2} D ．{x |x ＜2} [答案] C [解析] 不等式3x －12－x ≥1，化为：4x －32－x ≥0，∴34≤x ＜2. 考点三：简单高次不等式解法 例3、 不等式 x (x ＋2)x －3＜0的解集为( ) A ．{x |x ＜－2，或0＜x ＜3} B ．{x |－2＜x ＜2，或x ＞3} C ．{x |x ＜－2，或x ＞0} D ．{x |x ＜0，或x ＜3} [答案] A [解析] 原不等式等价于x (x ＋2)(x －3)＜0. 结合数轴穿根法(如图)可知： x ＜－2或0＜x ＜3. 跟踪练习：解不等式：x (x －1)2(x ＋1)3(x －2)>0. [解析] 原不等式可化为⎩ ⎨⎧ x (x ＋1)(x －2)>0x －1≠0 ⇔⎩⎨⎧ －1 ∴原不等式的解集为{x |－1 考点四：不等式恒成立的问题 例4、 关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m [解析] 原不等式等价于mx 2＋mx ＋m －1<0对x ∈R 恒成立， 当m ＝0时，0·x 2＋0·x －1<0对x ∈R 恒成立． 当m ≠0时，由题意，得 ⎩⎨⎧ m <0Δ＝m 2－4m (m －1)<0⇔⎩⎨⎧ m <03m 2－4m >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m <0m <0，或m >43⇔m <0. 综上，m 的取值范围为m ≤0. 跟踪练习：已知不等式ax 2＋(a －1)x ＋a －1<0对于所有的实数x 都成立，求a 的取值范围． [解析] 若a ＝0，则原不等式为－x －1<0， 即x >－1，不合题意．故a ≠0. 令f (x )＝ax 2＋(a －1)x ＋a －1， ∵原不等式对任意x ∈R 都成立． ∴二次函数f (x )的图象在x 轴的下方． ∴a <0且Δ＝(a －1)2－4a (a －1)<0. 即⎩⎨⎧ a <0(a －1)(3a ＋1)>0 ，∴a <－13. 故a 的取值范围为(－∞，－13)． 例5、 若函数y ＝kx 2－6kx ＋(k ＋8)的定义域为R ，则k 的取值范围是________． [错解] 0 由题意知kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0恒成立， ∴⎩ ⎨⎧ k >0Δ＝36k 2－4k (k ＋8)≤0，∴0 [正解] 0≤k ≤1 由题意kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0恒成立．当k ＝0时满足，当k ≠0时⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0 △＝36k 2－4k (k ＋8)≤0 ，∴0＜k ≤1，综上得0≤k ≤1. 知识点一：一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：. 任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式 ： 或 . 知识点二：一般的一元二次不等式的解法 设一元二次方程的两根为且，， 则相应的不等式的解集的各种情况如下表： 注意： （ 1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解 集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用 不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式 与的解集。 知识点三：解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2 ）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 知识点四：用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的过程 规律方法指导 1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法； 3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不 等式的解集与其系数之间的关系； 5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数二次函数 （）的图象 经典例题透析 类型一：解一元二次不等式 1．解下列一元二次不等式 （1）；（2）；（3） 思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当 且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三： 【变式1】解下列不等式 (1) ； (2) (3) ； (4) . 【变式2】解不等式： 类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数 2．不等 式的解集 为，求关于的不等 式的解集。 一元二次不等式及其解法 一元二次不等式的解集 概念方法微思考 1.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集与其对应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像有什么关系？ 提示 ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集就是其对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像在x 轴上方的部分所对应的x 的取值范围. 2.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件是什么？ 提示 显然a ≠0.ax 2＋bx ＋c >0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪ ⎧ a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0恒成立的条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧ a <0， Δ<0. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ ) (2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ ) (3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × ) (5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集.( √ ) 题组二 教材改编 2.已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( ) A.{x |－2 一元二次不等式及其解法（1） <基础知识> <基本训练> 1、不等式（x+2）(1+x)>0的解集是 。 2、若关于X 的不等式x-a x+1 >0的解集为（-∞，-1）∪（4，+∞），则实数a = . 3、已知不等式ax 2+2x+c>0的解集为－13 4、函数f(x)=3ax+1－2a在（-1，1）上存在X0，使f(X0)=0，则a的取值范围是 5、解下列不等式： (1) 4x2+4x+1>0 (2) x2-3x+5>0 (3) (x+3)(x+2)(x-1)2(x-4)<0 (4) 2x2－5x-1 x2-3x+2 >1 一元二次不等式及其解法 <典型例题讲练> 例1．当a为何值时，不等式（a2-1）x2-(a-1)x-1<0的解是全体实数。练习：已知常数a∈R,解关于x的不等式ax2-2x+a<0. <课后作业> 1、解不等式：(1) –x2+2x-2 3 >0 (2) 9x2-6x+1≤0 (3) (2x2-3x+1)(3x2-7x+2)>0 (4)3x-5 2x-3 ≤2 2、已知不等式（m2+4m-5）x2-4(m-1)x+3>0对一切实数X恒成立，求实数m的取值范围。 基本不等式（1） <基础知识> 1、几个重要的不等式： 一元二次不等式及其解法 1．一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2 的分式不等式的分母不为零． (2)分式不等式的四种形式及解题思路 ①f（x） g（x） >0?f(x)g(x)>0；② f（x） g（x） <0?f(x)g(x)<0； ③f（x） g（x） ≥0?f(x)g(x)≥0且g(x)≠0；④ f（x） g（x） ≤0?f(x)g(x)≤0且g(x)≠0. 指点迷津 1．一元二次不等式概念的理解 (1)可以这样理解：形如ax2＋bx＋c>(≥，<，≤)0(a≠0)的不等式，叫做一元二次不等式，其中a，b，c为常数． (2)“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”即可． (3)“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制． 2．从两个角度看三个“二次”之间的内在联系 (1)从函数的角度看(以a>0的二次函数为例) 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的值满足y>0时的自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标． (2)从方程的角度看 设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为 {x |x 一元二次不等式的解法 一元二次不等式是指包含一个未知数的二次函数不等式，其解的范 围通常是实数集合中的某个区间。解决一元二次不等式问题需要运用 一些基本的数学原理和方法。本文将介绍几种常见的一元二次不等式 的解法。 1. 图形法解一元二次不等式 图形法是解决一元二次不等式的一种直观方法。我们可以通过绘制 一元二次函数的图像来观察其解的范围。具体步骤如下： 1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边 为0； 2）绘制该二次函数的图像，并标出函数图像上的关键点，如顶点、交点等； 3）根据函数图像的特征，确定不等式的解的范围。 2. 因式分解法解一元二次不等式 因式分解法是解决一元二次不等式的常用方法之一。通过将不等式 转化为因式的形式，可以更方便地确定解的范围。具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边 为0； 2）将二次函数因式分解为一元一次函数的乘积，得到因式表达式； 3）根据因式表达式的性质，确定不等式的解的范围。 3. 完全平方式解一元二次不等式 完全平方式也是解决一元二次不等式的一种常用方法。通过完全平 方式，可以将不等式转化为平方形式，从而更容易确定解的范围。具 体步骤如下： 1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边 为0； 2）将一元二次函数利用完全平方式转化为平方（二次）表达式； 3）根据平方表达式的性质，确定不等式的解的范围。 4. 配方法解一元二次不等式 配方法是解决一元二次不等式的另一种有效方法。通过进行配方法，可以将一元二次不等式转化为二次函数的平方差形式，从而简化求解 过程。具体步骤如下： 1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边 为0； 2）运用配方法，将二次函数转化为平方差的形式； 3）根据平方差的性质，确定不等式的解的范围。 综上所述，一元二次不等式的解法包括图形法、因式分解法、完全 平方式和配方法等多种方法。在具体解题过程中，可以根据实际情况 一元二次不等式6种解法大全 一元二次不等式是指形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c≥0的二次不等式，其中a、b、c为实数，a≠0。这种不等式的解法有很多种，下面 我将介绍其中的六种解法。 解法一：使用因式分解法。对于形如(ax+b)(cx+d)>0或 (ax+b)(cx+d)≥0的一元二次不等式，可以尝试将其因式分解为两个一次因式相乘的形式，然后根据不等式的性质讨论各个因式的取值范围，从而求得不等式的解。 解法二：使用它的图像解法。将一元二次不等式对应的二次函数 的图像画出来，然后根据图像的特点来确定使得函数大于0（或大于等于0）的x的取值范围，即为不等式的解。 解法三：使用开平方法。对于形如x²+a≥0或x²+a>0的一元二次 不等式，可以通过开平方的方法来求解。首先将不等式移到一边，得 到一个完全平方的形式，然后对不等式两边同时开平方，得到关于x 的两个二次方程，根据二次方程的性质来求解。 解法四：使用代数求解法。对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或 ax²+bx+c≥0，可以将其转化为一个关于x的二次方程ax²+bx+c=0的 解的范围问题。求得这个二次方程的解，然后根据这些解的范围来确 定不等式的解。 解法五：使用数轴法。将一元二次不等式对应的二次函数的图像 画在数轴上，然后根据函数的凸性来确定函数取正值的x的取值范围，即为不等式的解。 解法六：使用区间法。将一元二次不等式移项，化成形如 ax²+bx+c<0或ax²+bx+c≤0的不等式，然后求出二次函数的零点，并 根据二次函数的凸性来确定函数小于0（或小于等于0）的x的取值范围，即为不等式的解。 以上是关于一元二次不等式的六种解法，每种解法都有其独特的 思路和方法。在实际的解题过程中，可以根据具体的题目情况选择合 适的解法来求解，以提高解题效率和准确性。同时，还可以根据题目 要求和自己的解题习惯来选择合适的解法，灵活运用多种方法，从不 同的角度来解决问题，提高解题的能力和技巧。 一元二次不等式及其解法 一、知识回顾 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、， ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表 0>∆ 0=∆ 0<∆ 二次函数 c bx ax y ++=2 （0>a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2 >=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集 )0(0 2>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩ ⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ∅ ∅ 二、例题讲解 ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0； 例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0. 2．分式不等式的解法 例4 解不等式：07 3 <+-x x . 例5 解不等式：03 22 32 2≤--+-x x x x . 例6． 解关于x 的不等式：(x-x 2+12)(x+a)<0. 三、练习 【1】设关于x 的不等式x >ax+2 3 的解集为{x 4 一元二次不等式及其解法 知识点一：一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：. 任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或 . 知识点二：一般的一元二次不等式的解法 一元二次不等式 或 的解集可以联系二次函数的图象，图象在 轴上方部分对应的横坐标值的集合为不等式 的解集，图象在 轴下方部分对应的横坐标 值的集合为不等式的解集. 设一元二次方程的两根为 且 ， ，则相应的不等式 的解集的各种情况如下表： （1）一元二次方程的两根 是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛 物线 与 轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二 次项系数为正的形式，然后讨论解决； 二次函数 （ ）的图象 有两相异实根 有两相等实根 （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的 解集。 知识点三：解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 知识点四：用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的过程 类型一：解一元二次不等式 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁；当且是一个完全平方数时，利用因式 分解和符号法则比较快捷. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 例题1．解下列一元二次不等式 （1）；（2）；（3） 举一反三： 【变式1】解下列不等式 (1) (2) 【变式2】解不等式： 类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数 二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。 例题2．不等式的解集为，求关于的不等式的解集。 【变式1】已知的解为,试求、,并解不等式. 一元二次不等式全部解法 一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b、c是已知实数且a ≠ 0。 要求解一元二次不等式，我们需要找到其解集，即使不等式成立的x的取值范围。下面将介绍几种解一元二次不等式的方法。 方法一：图像法 通过绘制二次函数的图像，我们可以直观地观察到不等式的解集。以ax^2 + bx + c > 0为例，我们可以绘制出函数y = ax^2 + bx + c的图像，然后观察函数图像在x轴上的位置。如果函数图像位于x轴上方，则不等式成立的x的取值范围为图像所在的区间；如果函数图像位于x轴下方，则不等式不成立的x的取值范围为图像所在的区间。 方法二：因式分解法 对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以先通过因式分解将其转化为(ax + m)(ax + n) > 0的形式，其中m、n是已知实数。然后根据乘积大于零的性质，我们可以得到两个因子同时大于零或同时小于零时不等式成立。因此，我们需要解以下两个不等式：ax + m > 0和ax + n > 0，得到的解集再取交集，即为原不等式的解集。 方法三：配方法 对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以通过配方法将其转化为完全平方的形式。具体步骤如下： 1. 将不等式移项，得到ax^2 + bx + c = 0的形式。 2. 根据二次方程的求根公式，求得方程的两个根x1和x2。 3. 根据二次函数的性质，我们可以得到该二次函数在x1和x2之间变号。即对于ax^2 + bx + c > 0来说，当x在x1和x2之间时，不等式成立。 方法四：求解判别式 对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以先求解对应的二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式Δ=b^2-4ac。根据判别式的值，我们可以得到不等式的解集： 1. 当Δ>0时，二次方程有两个不相等的实根x1和x2，此时不等式成立的x的取值范围为x 一元二次不等式及其解法 基础知识 1．一元二次不等式的解法步骤 (1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0). 在不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)中，如果二次项系数a <0，可根据不等式的性质，将其转化为正数. (2)求出相应的一元二次方程的根． (3)利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表 二、常用结论 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a >0且Δ<0； (2)不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a <0且Δ<0； (3)若a 可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a ＝0的情形． 2．简单分式不等式 (1)f (x )g (x )≥0⇔⎩ ⎪⎨⎪⎧ f (x ) g (x )≥0，g (x )≠0；(2)f (x ) g (x )>0⇔f (x )g (x )>0. 考点一 一元二次不等式的解法 考法(一) 不含参数的一元二次不等式 [典例] 解下列不等式：(1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2)0＜x 2－x －2≤4； [解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0，解得－2≤x ≤4 3， 所以原不等式的解集为}3 42|{≤≤-x x . (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. 考法(二) 含参数的一元二次不等式 [典例] 解不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． [解] 原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以a )1 (a x -(x －1)＜0. 所以当a ＞1，即1a <1时，解为1 a ＜x ＜1； 当a ＝1时，解集为∅； 当0＜a ＜1，即1a >1时，解为1＜x ＜1 a . 综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为}11|{a x x <<； 当a ＝1时，不等式的解集为∅； 当a ＞1时，不等式的解集为}11 | {< 一元二次不等式方程的解法 含有一个未知数且未知数的最高次数为2次的的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a不等于0),其中ax2+bx+c实数域上的二次三项式。 一元二次不等式的解法 1)当V("V"表示判别是，下同)=b2-4ac>=0时，二次三项式，ax2+bx+c有两个实根，那么ax2+bx+c总可分解为a(x-x1)(x-x2)的形式。 这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的并集。 一元二次方程求根公式 当Δ=b2-4ac≥0时,x=[-b±(b2-4ac)1/2)]/2a 当Δ=b2-4ac<0时,x={-b±[(4ac-b2)1/2]i}/2a 只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。它的标准形式为:ax²+bx+c=0(a≠0) 公式法可以解任何一元二次方程。 因式分解法，也就是十字相乘法，必须要把所有的项移到等号左边，并且等号左边能够分解因式，使等号右边化为0。 配方法比较简单：首先将二次项系数a化为1，然后把常数项移到等号的右边，最后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方，左边配成完全平方式，再开方就得解了。 一元二次不等式的解法有哪几种? 1、公式法可以解所有的一元二次方程，公式法不能解没有实数根的方程(也就是b²-4ac<0的方程)。求根公式： x=-b±√(b2-4ac)/2a。 2、配方法比较简单：首先将方程二次项系数a化为1，然后把常数项移到等号的右边，最后后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方。 3、数轴穿根：用穿根法解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，依次穿过这些零点，大于零的不等式的解对应这曲 一元二次不等式及其解法 第一篇：一元二次不等式及其解法 1.a.b.c.解一元二次不等式化为标准型。判断△的符号。若△＜0，则不等式是在R上恒成立或恒不成立。 若△＞0，则求出两根，在数轴上标出，每个根上画一条竖线，再从右到左相间标正负号，不等式大于0则取标正的范围，小于0则取标负的范围。 2．解简单一元高次不等式 a．化为标准型。 b．将不等式分解成若干个因式的积。 c．求出各个根，在数轴上标出，每个根上画一条竖线，再从右到左相间标正负号，不等式大于0则取标正的范围，小于0则取标负的范围。 3.解分式不等式的解 a．化为标准型。 b．可将分式化为整式，将整式分解成若干个因式的积。 c．求出各个根，在数轴上标出，每个根上画一条竖线，再从右到左相间标正负号，不等式大于0则取标正的范围，小于0则取标负的范围。（如果不等式是非严格不等式，则要注意分式分母不等于0。） 4.解含参数的一元二次不等式 a．对二次项系数a的讨论。 若二次项系数a中含有参数，则须对a的符号进行分类讨论。分为a＞0，a=0，a＜0。 b．对判别式△的讨论 若判别式△中含有参数，则须对△的符号进行分类讨论。分为△＞0，△=0，△＜0。 c．对根大小的讨论 若不等式对应的方程的根x1、x2中含有参数，则须对x1、x2的大小进行分类讨论。分为x1＞x2，x1=x2，x1＜x2。 5.一元二次方程的根的分布问题 a．将方程化为标准型。（a的符号） b．画图观察，若有区间端点对应的函数值小于0，则只须讨论区间端点的函数值。 若没有区间端点对应的函数值小于0，则须讨论区间端点的函数值、△、轴。 6.一元二次不等式的应用 ⑴在R上恒成立问题（恒不成立问题相反，在某区间恒成立可转化为实根分布问题） a．对二次项系数a的符号进行讨论，分为a=0与a≠0。 b．a=0时，把a=0带入，检验不等式是否成立，判断a=0是否属于不等式解集。 a≠0时，则转化为二次函数图像全在x轴上方或下方。 若f(x)＞0，则要求a＞0，△＜0。 若f(x)＜0，则要求a＜0，△＜0。 ⑵特殊题型：已知一不等式的解集（含有字母），求另一不等式的解集（与原不等式系数大小相同，位置不同）。a.写出原不等式对应的方程，由韦达定理得出解集字母与方程系数间的关系。 b.写出变换后不等式对应的方程，由由韦达定理得出解集字母与方程系数间的关系。 c.将a中得到的关系变化后带入b的关系中，得到变换后方程的两根。 d.判断两根的大小，变换后不等式二次项的系数，从而写出所求解集。 第二篇：一元二次不等式及其解法教学设计 《一元二次不等式及其解法（第1课时）》教学设计 Eric 一内容分析 本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合知识的巩固和运用具有重要的作用， 高中数学必修5一元二次不等式及其解法知识点总结 一．一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式（了解） 二．一元二次不等式的解法 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： 判别式24b ac ∆=- 0∆> 0∆= 0∆< 二次函数2 y ax bx c =++ ()0a >的图象 一元二次方程20ax bx c ++= ()0a >的根 有两个相异实数根 1,22b x a -±∆= ()12x x < 有两个相等实数根122b x x a ==- 没有实数根 一元二次 不等式的 解集 20ax bx c ++> ()0a > {}12x x x x x <>或 2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭ R 20ax bx c ++< ()0a > {}12x x x x << ∅ ∅ 注：（１）当二次项系数不是正数时，把它化成正数；解集可简记为小于０在两根之间，大 于０在两根之外 （２）题目中不等式带等号，解集中带等号，题目中不带等号，解集中也不带 （３）解题时要充分利用二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系 （４）恒成立问题：2 y ax bx c =++ 若ａ＞０，0∆<，则ｙ＞０恒成立 若ａ＜０，0∆<，则ｙ＜０恒成立 （５）若ｍ＜≤（）()f x 恒成立，只需ｍ＜≤（）()min f x 若ｍ＞()≥()f x 恒成立，只需ｍ＞()max ()f x ≥ 三．跟踪训练 １．若不等式220ax bx ++>的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x 则a b -值是( ) .A 10- .B 14- .C 10 .D 14 ２．集合M={x |0x 2}，N={x |x 2-2x-3<0}，则M N 为（ ） A 、{x |0x 2} B 、{x |0 一元二次不等式及其解法 基本知识点： 一.解不等式的有关理论 （1） 若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式； （2） 一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称 为不等式的同解变形； （3） 解不等式时应进行同解变形； （4） 解不等式的结果，原则上要用集合表示。 二.一元二次不等式的解集 0>∆ 0=∆ 0<∆ 二次函数 c bx ax y ++=2 （0>a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集 )0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩ ⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {} 21 x x x x << ∅ ∅ 三.解一元二次不等式的基本步骤： （1） 整理系数，使最高次项的系数为正数； （2） 尝试用“十字相乘法”分解因式； （3） 计算ac b 42-=∆ （4） 结合二次函数的图象特征写出解集。 四.分式不等式的解法： 分子分母因式分解，转化为相异一次因式的积和商的形式，再利用数轴标根法求解； 问题1. 设0>a ，解关于x 的不等式 11 log 2<-x ax 问题2. 已知函数3222)(a b x a ax x f -++= 当0)(),,6()2,(,0)(),6,2(<+∞--∞∈>-∈x f x x f x 当，求)(x f 的解析式； 考点题型： 题型1.解一元二次不等式 例： 不等式2x x >的解集是 题型2.已知一元二次不等式的解集求系数. 例：已知关于x 的不等式220ax x c ++>的解集为11(,)32 -,求220cx x a -+->的解集 1. 不等式2 (2)a x -+2(a －2)x -4＜0,对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围 2．不等式2 2214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立，则实数a 的取值范围 一元二次不等式及其解法 【知识要点】 1．“三个二次”的关系 判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2 (x 1一元二次不等式的解法
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