2021年初升高数学衔接教材(完整)

第一讲数与式

欧阳光明（2021.03.07）

1、绝对值

（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

（3）两个数的差的绝对值的几何意义：b

a-表示在数轴上，数a和数b之间的距离．

2、绝对值不等式的解法

（1）含有绝对值的不等式

①()(0)

<>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是

f x a a

-<<。

()

a f x a

②()(0)

>>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是

f x a a

或。

><-

f x a f x a

()()

③22

>?>。

()()()()

f x

g x f x g x

（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：

①找到使多个绝对值等于零的点．

②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．

③将分段求得解集，再求它们的并集．

例1. 求不等式354

x-<的解集

例2.求不等式215

x+>的解集

例3.求不等式32

->+的解集

x x

例4.求不等式|x＋2|＋|x－1|＞3的解集．

例5.解不等式|x－1|＋|2－x|＞3－x．

例6.已知关于x的不等式|x－5|＋|x－3|＜a有解，求a的取值范围．练习

解下列含有绝对值的不等式：

（1）13

-+-＞4+x

x x

（2）|x+1|<|x－2|

（3）|x－1|+|2x+1|<4

（4）327

x-<

(5)578

x+>

3、因式分解

乘法公式

（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ （4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-

（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法 例1 分解因式：

（1）x2－3x ＋2； （2）2672x x ++ （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-． 2．提取公因式法

例2.分解因式：

（1）()()b a b a -+-552（2）32933x x x +++ 3．公式法

例3.分解因式：（1）164+-a （2）()()2223y x y x --+ 4．分组分解法

例4.（1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+- 5．关于x 的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．

若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --. 例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式： （1）221x x +-； （2）2244x xy y +-． 练习

（1）256x x -- （2）()21x a x a -++ （3）21118x x -+ （4）24129m m -+ （5）2576x x +- （6）22126x xy y +-

（7）()()3211262

+---p q q p （8）22365ab b a a +- （9）()2

2244+--x x （10）

1224+-x x （11）by ax b a y x 222222++-+-

（12）91264422++-+-b a b ab a (13)x2－2x －1

（14） 31a +； （15）424139x x -+；

（16）2

2

222b c ab ac bc ++++；

（17）2235294x xy y x y +-++-

第二讲 一元二次方程与二次函数的关系

1、一元二次方程

(1)根的判别式

对于一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0），有:

（1）

当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝

2b a

-；

（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－2b

a

； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． (2)根与系数的关系（韦达定理）

如果ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝b

a

-，x1·x2＝c a

．这一关系也被称为韦达定理． 2、二次函数2y ax bx c =++的性质

1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b

x a

=-

，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

，。 当2b

x a <-

时，y 随x 的增大而减小；当2b x a

>-时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a =-时，y 有最小值

244ac b a -。

2. 当0

a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b

x a

=-，顶点坐标为

2424b ac b a

a ??-- ???，。当2b

x a <-

时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b

x a

=-时，y 有最大值244ac b a -.

3、二次函数与一元二次方程：

二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）： 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.

图象与x 轴的交点个数：

① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠

的两根。这两点间的距离

21AB x x =-=

.

② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点.

1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有

0y >；

2'当0a <时，

图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <。 例1.若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x1－x2|的值； （2）求

22

1211

x x +的值；（3）x13＋x23．

例2.函数22y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（） Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．1个或2个

例3.关于x 的方程25mx mx m ++=有两个相等的实数根，则相应二次函数25y mx mx m =++-与x 轴必然相交于点，此时m =．

例 4 .抛物线2(21)6y x m x m =---与x 轴交于两点1(0)x ，

和2(0)x ，，若121249x x x x =++，要使抛物线经过原点，应将它向右平移个单位．

例5.关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则

m 的范围是（）

Ａ．116m <-Ｂ．1

16

m -≥且0m ≠Ｃ．116m =-Ｄ．116m >-且0m ≠ 练习

1.一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求： （1）| x1－x2|和

12

2

x x +；（2）x13＋x23．

2.如图所示，函数

2(2)(5)y k x k =-+-的图像与x 轴只有一个交点，则交点的横坐标0x =．

3. 已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于C 点，与x 轴交于1(0)A x ，

，212(0)()

B x x x <，两点，顶点M 的纵坐标为4-，若1x ，2x 是方程

222(1)70x m x m --+-=的两根，且22

12

10x x +=． （1）求A ，B 两点坐标；

（2）求抛物线表达式及点C 坐标；

4. 若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，

则当x 取12x x +时，函数值为（ ）

Ａ．a c + Ｂ．a c - Ｃ．c - Ｄ．c

5、已知二次函数212

y x bx c =-++，关于x 的一元二次方程

21

02

x bx c -++=的两个实根是1-和5-，则这个二次函数的解析式为 第三讲一元二次不等式的解法

1、定义：形如

ax2+bx+c ＞0（a ＞0）（或ax2+bx+c ＜0（a ＞0））

的不等式

做关于x 的一元二次不等式。

2、一元二次不等式的一般形式：

ax2+bx+c ＞0（a ＞0）或ax2+bx+c ＜0（a ＞0）

3、一元二次不等式的解集：

4、解一元二次不等式的一般步骤：

（或ax2+bx+c （1）将原不等式化成一般形式ax2+bx+c＞0（a＞0）

＜0（a＞0））；

（2）计算Δ=b2-4ac；

（3）如果Δ≥0，求方程ax2+bx+c=0（a＞0）的根；若Δ＜0，方程ax2+bx+c=0（a＞0）没有实数根；

（4）根据上表，确定已经化成一般形式的不等式的解集，即为原不等式的解集。

例1.解下列不等式：

（1）4x2-4x＞15；（2）-x2-2x+3＞0；（3）4x2-4x+1＜0

例2.自变量x在什么范围取值时，函数y=-3x2+12x-12的值等于0？大于0？小于0？

例3.若关于x的方程x2-（m+1）x-m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。

练习

1.解下列不等式：

（1）4x2-4x＜15；（2）-x2-2x+3＜0；（3）4x2-4x+1＞0（3）4x2-20x＜25；（4）-3x2+5x-4＞0；（5）x（1-x）＞x（2x-3）+10

2.m是什么实数时，关于x的方程mx2-（1-m）x+m=0没有实数根？

3.已知函数y=1

2x2－3x－3

4

，求使函数值大于0的x的取值范围。含参数的一元二次不等式的解法

含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答.

1.二次项系数含参数a（按a的符号分类）

例1.解关于x的不等式：2(2)10.

ax a x

+++>

例2.解关于x的不等式：2560(0)

ax ax a a

-+>≠

2.按判别式?的符号分类

例3.解关于x的不等式：240.

x ax

++>

例4.解关于x的不等式：22

(1)410.()

m x x m

+-+≥为任意实数

3.按方程20

ax bx c

++=的根12,x x的大小分类。

例5.解关于x 的不等式：21()10(0)x a x a a

-++<≠ 例6.解关于x 的不等式：22560(0)x ax a a -+>≠ 练习

1.解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x

2.解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax

3.解关于x 的不等式：.012<-+ax ax

4.解关于x 的不等式：033)1(22>++-ax x a

第四讲 一元高次不等式及分式不等式的解法

1.一元高次不等式的解法

1.可解的一元高次不等式的标准形式 （1）左边是关于x 的一次因式的积； （2）右边是0；

（3）各因式最高次项系数为正。 2.一元高次不等式的解法 穿根法：

（1）将高次不等式变形为标准形式； （2）求根12,,,n x x x ，画数轴，标出根；

（3）从数轴右上角开始穿根，穿根时的原则是“由右往左穿，由上往下穿，奇穿偶不穿”。

(4)写出所求的解集。

例1.0

-x

-

x

-

x

)(

)3

)(

2

1

(<

例2.2

--+≥

x x x x

(1)(2)(1)0

例3.(1)(2)(3)0

x x x

-+->

例4.2

-+--≥

(2)(3)(21)0

x x x x

例5.2

---+≥

x x x x

(1)(2)(45)0

例6.32

--+≤

2210

x x x

练习

1.2

+--+≥

x x x x

(1)(3)(68)0

2.22

+-+-≤

x x x x

(328)(12)0

3.22

----≥

x x x x

(23)(67)0

4.22

--++≤

x x x x

(45)(1)0

5.23

-+-+≥

x x x x

(2)(3)(6)(8)0

6.43

+-->

x x x

220

7.32

+-->

x x x

330

2.分式不等式的解法 例1.（1）

()()3

03202

x x x x ->-->-与解集是否相同，为什么？ （2）

()()3

03202

x x x x -≥--≥-与解集是否相同，为什么？ 通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）： （1）

()

()

()()00f x f x g x g x >??> （2）

()()()()()

000f x g x f x g x g x ?≥??≥??≠?? 解题方法：穿根法。

解题步骤：（1）首项系数化为“正”（2）移项通分，不等号右侧化为“0”（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式（4）数轴标根。 例

2.解不等式：22

32

0712x x x x -+≤-+- 例

3.解不等式：22

911

721x x x x -+≥-+ 例

4.解不等式：22

56

0(0)32

x x x x +-≥≤-+ 例5.解不等式：2121

332x x x x ++>

-- 例6.解不等式：

2

2331

x

x x ->++

练习

解不等式： 1.3

02x x -≥- 2.

21

13

x x ->+ 3.22

32

023x x x x -+≤-- 4.

221

02

x x x --<- 5.()()()

3

22

1603x x x x -++≤+ 6.

()

2

309x x x -≤-

7.101x x

<-<

3.无理不等式的解法 1、无理不等式的类型：

()0()0()()f x g x f x g x ?≥???

>?≥???>?

②

??

?≥

?

??>≥≥?>0)(0)()]([)(0)(0

)()()(2x f x g x g x f x f x g x g x f 或型

③

??

?

??<>≥?<2)]([)(0

)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型 例1.解不等式0343>---x x 例2.解不等式x x x 34232->-+- 例3.解不等式24622+<+-x x x

第五讲 集合的含义与表示

1. 集合的含义

2. 集合元素的三个特性

3. 元素与集合的关系

4. 常用的数集及其记法

5. 集合的表示方法

6. 集合的分类、空集

例1.判断下列对象能否构成一个集合

（1）身材高大的人

（2）所有的一元二次方程

（3）直角坐标平面上纵坐标相等的点

（4）细长的矩形的全体

（5的近似值的全体

（6）所有的数学难题

例2.已知集合{}{}2,,2,,,,,A a a b a b B a ac ac A B =++==若求实数c 的值。 例3.已知集合S 中三个元素,,a b c ABC ABC ??是的三边长，那么一定不是 三角形。

例4.用适当的方法表示下列集合。

（1）2

90x -=的解集；

（2）不等式213x ->的解集：

（3）方程组{

2

4

x y x y +=-=的解集；

（4）正偶数集；

例 5.已知集合{}220,,A x x x a a R x R A a =++=∈∈若中至多有一个元素，求的取值范围。

例6.下列关系中，正确的有 练习

1.

已知集合{}{}1,2,3,4,5,(,),,A B x y x A y A x y A ==∈∈-∈,则B 中所含元

素的个数为（ ） A.3 B.6 C.8 D.10

2.

已知集合{}{}0,1,2,-,A B x y x A y A ==∈∈则集合中元素的个数是（ ）

A.1

B.3

C.5

D.9

3. 已知{}{}1,2,3,2,4,A B A B ==定义、间的运算{}A B x x A x B

*=∈?且,则集合

A B *等于（ ）

A.

{}1,2,3 B.{}2,4 C.{}1,3 D.{}2

4.

若集合{}210A x R ax ax =∈++=中只有一个元素，则a=( )

A.4

B.2

C.0

D.0或4

5.

设集合{}{}1,2,3,1,3,9,,A B x A x B x ==∈?=且则（ ）

A.1

B.2

C.3

D.9

6.

定义集合运算：{}(,,).A B z z xy x y x A y B ==?+∈∈设

{}{}0,1,2,3,A B ==

则集合A B 的所有元素之和为（ ） A.0 B.6 C.12 D.18

7.

下列各组对象中不能构成集合的是（ ）

A.

某中学高一（2）班的全体男生 B.某中学全校学生家长的全

体

B.

李明的所有家人 D.王明的所有好朋友 8.

已知a,b 是非零实数，代数式

a b ab a b ab

++的值组成的集合是M ，

则下列判断正确的是（ ）

9.

已知{}{}1,2,0,1,,A B x x y y A =--==∈，则B=

10. 集合{}

22,25,12,3,A a a a A a =-+-∈且则=

11. 设集合{}

21,,5A x x k k Z a ==+∈=，则有（ ）

12. 下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ） 13. 已知集合{}2

320

A x ax x =-+=，若A 中至多有一个元素，则a 的取

值范围是

14. 集合{}1,,0,

,,b a b a b a b a ??

+=-????

则= 15. 已知集合{}

2

10,.A x x ax a R =++=∈

（1）若A 中只有一个元素，求a 的值； （2）若

A 中有两个元素，求a 的取值范围.

第六讲 集合间的基本关系

1.子集的概念

2.集合相等的定义

3.真子集的定义

4.子集的性质

5.确定集合子集与真子集个数

例1.判断集合A 是否为集合B 的子集。

例 2.写出集合{}{},,,,a b a b c 的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。

例3.判断下列写法是否正确。

（1）A ?? (2)A ?

?≠ (3)A A ? (4)A A ?

≠

例4.已知{}{}2230,10,,A x x x B x ax B A =--==-=?若求a 的值。 例5.已知集合{}{}2320,0,1,2,M x x x N =-+==则M 与N 的关系正确的是（ ）

例6.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-。

（1）若B A ?,求实数m 的取值范围；

（2）若,x Z ∈求

A 的非空真子集的个数。

练习

1. 已知集合{}{}

2320,,05,,A x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈则满足条件

A C

B ??的集合

C 的个数（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

2.

集合{}1,0,1-共有个子集。

3.

已知集合{{},1,,,A B m B A ==?则m=。

4.

已知集合{}1,0,1,A =-则下列关系式中正确的是（ ）

5.

设{}{}13,,,A x x B x x a A B ?

=-<≤=>≠若则a 的取值范围是（ ） 6.

设{},,(,),(,)

1,y x y R A x y y x B x y x ?

?∈====????

则A,B 的关系是

7.

已知集合{}{}22,3,44,=3.,A m B m B A =--?集合，若则实数m= 8.

集合{}26,,A x x y x N y N ==-+∈∈的真子集的个数为（ ）

A.9

B.8

C.7

D.6

9.

已知集合{}2,0,1A =,集合{},B x x a x Z =<∈且,则满足A B ?的实数a

可以取的一个值是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3

10. 已知集合{}{}

1,2,20,A B x ax B A ==-=?若,则

a 的值不可能是（ ）

A.0

B.1

C.2

D.3

11. 若集合{}

{}

2

60,10,,A x x x B x mx B A ?

=+-==+=≠求

m 的值。

12. 已知{}{}

12,13,,A x k x k B x x A B =+≤≤=≤≤?求实数

k 的取值范围。

13. 已知集合{}{}

27,121,,A x x B x m x m B A =-≤≤=+<<-?若求实数

m 的

取值范围。

第七讲 集合的基本运算

1.

并集的定义及性质

初中升高中数学衔接教材

第一节 乘法公式、因式分解 重点：和（差）的立方公式，立方和（差）公式及应用，十字相乘法，分组分解法，试根法 难点：公式的灵活运用，因式分解 教学过程： 一、 乘法公式 引入：回顾初中常用的乘法公式：平方差公式，完全平方公式，（从项的角度变化）那三数和的平方公式呢？ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ （从指数的角度变化）看看和与差的立方公式是什么？如?)(3=+b a ， 能用学过的公式推导吗？（平方―――立方） 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++==++=+ · ··················① 那?)(3=-b a 呢，同理可推。那能否不重复推导，直接从①式看出结果？将3)(b a +中的b 换成－b 即可。（R b ∈ ）▲这种代换的思想很常用，但要清楚什么时候才可以代换 3223333)(b ab b a a b a -+-=-············符号的记忆，和――差 从代换的角度看 问：能推导立方和、立方差公式吗？即（ ）（ ）＝33b a ± 由①可知，))(()33()(2222333b ab a b a ab b a b a b a +-+==+-+=+ ······② 立方差呢？②中的b 代换成－b 得出：))((2233b ab a b a b a ++-=- ▲符号的记忆，系数的区别 例1：化简)1)(1)(1)(1(22+++--+x x x x x x 法1：平方差――立方差

法2：立方和――立方差 （2）已知,012=-+x x 求证：x x x 68)1()1(33-=--+ ▲注意观察结构特征，及整体的把握 二、因式分解：将一个多项式化成几个整式的积的形式，与乘法运算是互逆变形。初中学过的方法有：提取公因式法，公式法（平方差、完全平方、立方和、立方差等） （1）十字相乘法 试分解因式：)2)(1(232++=++x x x x 要将二次三项式x 2 + px + q 因式分解，就需要找到两个数a 、b ，使它们的积等于常数项q ，和等于一次项系数p , 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即 x 2 + px + q = x 2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b). 用十字交叉线表示: 1 a 1 b a + b （交叉相乘后相加） 若二次项的系数不为1呢？)0(2≠++a c bx ax ，如：3722+-x x 如何处理二次项的系数？类似分解：1 －3 2 －1 -6 + -1 = -7 )12)(3(3722--=+-x x x x 整理：对于二次三项式ax 2+bx+c （a ≠0），如果二次项系数a 可以分解成两个因

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初高中数学衔接教材 1。乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=-; （2)完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； (２）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++; （4)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++; （5)两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-. 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例１ 计算:22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++． 解法一：原式=2222 (1)(1)x x x ??-+-?? ＝242(1)(1)x x x -++ =61x -． 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- ＝61x -． 例2 已知4a b c ++=,4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值。 解: 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习 １.填空: （1）221111 ()9423 a b b a -=+( ); （２）(4m + 22 )164(m m =++ )； (3 ） 2222 (2)4(a b c a b c +-=+++ ). 2.选择题： (1)若2 1 2 x mx k + +是一个完全平方式,则k 等于 （ ) （A)2 m （B ）214m (C ）213m （D ）2116m （２）不论a ,b 为何实数，22 248a b a b +--+的值 ( ) (Ａ）总是正数 （B)总是负数 (Ｃ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数 ２.因式分解 因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法。 １.十字相乘法 例1 分解因式: (1）ｘ２－3x ＋2； (２)x 2＋4x －12； (3）22()x a b xy aby -++; （4）1xy x y -+-．

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第一讲 数与式 1、 绝对值 （1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >?? ==??-,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。 ②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。 ③2 2 ()()()()f x g x f x g x >?>。 （2）利用零点分段法解含多绝对值不等式： ①找到使多个绝对值等于零的点． ②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1. 求不等式354x -<的解集 例2.求不等式215x +>的解集 例3.求不等式32x x ->+的解集 例4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集． 例5.解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ． 例6.已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习 解下列含有绝对值的不等式： （1）13x x -+-＞4+x （2）|x +1|<|x －2|

（3）|x －1|+|2x +1|<4 （4）327x -< (5)578x +> 3、因式分解 乘法公式 （1）平方差公式 22 ()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222 ()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式 2233 ()()a b a ab b a b +-+=+ （4）立方差公式 2233 ()()a b a ab b a b -++=- （5）三数和平方公式 2222 ()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223 ()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223 ()33a b a a b ab b -=-+- 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法 例1 分解因式： （1）x 2 －3x ＋2； （2）2 672x x ++ （3）22 ()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-． 2．提取公因式法 例2.分解因式： （1）()()b a b a -+-552 （2）32 933x x x +++ 3．公式法 例3.分解因式： （1）164 +-a （2）()()2 2 23y x y x --+ 4．分组分解法 例4.（1）x y xy x 332 -+- （2）2 2 2456x xy y x y +--+-

初升高衔接教材

中学初高中数学衔接教材 目 录 引 入 乘法公式 第一讲 因式分解 1. 1 提取公因式 1. 2. 公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差） 1. 3分组分解法 1. 4十字相乘法（重、难点） 1. 5关于x 的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解． 第二讲 函数与方程 一元二次方程 根的判别式 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质 二次函数的三种表示方式 二次函数的简单应用 第三讲 三角形的“四心” 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．

解法一：原式=2222(1)(1)x x x ??-+-?? =242(1)(1)x x x -++ =61x -． 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -． 例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习 1．填空： （1） 221111()9423 a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )； (3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题： （1）若2 12 x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213 m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数 （C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数 第一讲 因式分解 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法， 另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法 例1 分解因式： （1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-． 解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是 x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有

初升高暑假数学衔接教材含答案

初升高暑假数学衔接教材 第一部分，如何做好高、初中数学的衔接 ● 第一讲如何学好高中数学● 初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。 一高中数学与初中数学特点的变化 1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显着的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发

高中数学初升高衔接教材 专题12 一元二次不等式的解法(解析版)

专题12 一元二次不等式的解法 一、知识点精讲 【引例】二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下： 由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知 图2.3－1 当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x2－x＝6＝0； 当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x2－x－6＞0； 当－2＜x＜3时，y＜0，即x2－x－6＜0． 这就是说，如果抛物线y= x2－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么一元二次方程 x2－x－6＝0的解就是x1＝－2，x2＝3；同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到 一元二次不等式x2－x－6＞0的解是x＜－2，或x＞3； 一元二次不等式x2－x－6＜0的解是－2＜x＜3． 上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集． 那么，怎样解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)呢？ 我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． 为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有

两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解． （1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知 不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x＜x1，或x＞x2； 不等式ax2＋bx＋c＜0的解为x1＜x＜x2． （2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个 相等的实数根x1＝x2＝－b 2a，由图2.3－2②可知 不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x≠－b 2a； 不等式ax2＋bx＋c＜0无解． （3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，由图2.3－2③可知 不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数； 不等式ax2＋bx＋c＜0无解． 今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式． 二、典例精析 【典例1】解下列不等式： （1）x2＋2x－3≤0；（2）x－x2＋6＜0； （3）4x2＋4x＋1≥0；（4）x2－6x＋9≤0；

初升高数学衔接教材(完整)

第一讲数与式 1、绝对值 （1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 a,a0, | a | 0,a0, a, a0. （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数 a 和数b之间的距离． 2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式 ① f (x) a(a 0) ,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。 ② f (x) a(a 0) ,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或 f ( x) a 。 ③ f (x) g ( x) f 2 ( x)g 2 (x) 。 （2）利用零点分段法解含多绝对值不等式： ①找到使多个绝对值等于零的点． ②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例 1.求不等式3x 5 4 的解集 例 2. 求不等式2x 1 5的解集 例 3. 求不等式x 3 x 2 的解集 例 4. 求不等式 | x＋ 2| ＋ | x－ 1| ＞ 3 的解集．

例 5. 解不等式 | x－ 1| ＋ |2 －x| ＞ 3－x． 例 6. 已知关于x 的不等式| x－5|＋| x－3|＜ a 有解，求 a 的取值范围． 练习 解下列含有绝对值的不等式： （1）x 1 x 3 ＞4+x （2） | x+1|<| x－2| （3） | x－ 1|+|2 x+1|<4 （4）3x 2 7 (5)5x 7 8 3、因式分解 乘法公式 （ 1）平方差公式( a b)( a b)a2b2 （ 2）完全平方公式( a b) 2a22ab b2 （ 3）立方和公式( a b)(a2ab b2 )a3b3 （ 4）立方差公式( a b)(a2ab b2 )a3b3 （ 5）三数和平方公式( a b c)2a2b2c22(ab bc ac) 33223

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初升高中衔接教程 数学 典型试题举一反三 理解记忆成功衔接

前言 现有初高中数学教材存在以下“脱节”： 1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用； 2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用； 3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等； 4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧； 5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法； 6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节； 7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领； 8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一； 9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习； 10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。 另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。 新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。 欢迎广大读者提出宝贵意见，我们将不胜感激！

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初升高暑假数学衔接教材 第一部分，如何做好高、初中数学的衔接 ● 第一讲如何学好高中数学● 初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。 一高中数学与初中数学特点的变化 1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。 3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高一《代数》第一章就有基本概念52个，数学符号28个；《立体几何》第一章有基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本概念就达89个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。 二不良的学习状态 1 学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学教师将各种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升入高中后，教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后，还象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。 2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。 3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆；课后又不能及时巩固、总结、

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初高中数学衔接教材 编者的话 现有初高中数学教材存在以下“脱节”： 1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用； 2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用； 3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等； 4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧； 5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法； 6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节； 7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领； 8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一； 9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习； 10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。 另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。 新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。 欢迎广大读者提出宝贵意见，我们将不胜感激！

初升高数学衔接教材

初升高数学衔接讲义 前言 【数学科是什么？】 数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。 【初中数学与高中数学学习方法上有什么变化？】初中：学 习? 模仿； 高中：学习? 模仿? 自主探究。 ⑴知识量的差异。 初中数学知识少、浅、难度容易、知识面窄。高中数学知识广泛，将对初中的数学知识推广和引伸，也是对初中数学知识的完善。 量的剧增，要求有较高的自学能力。初中有时间进行反复多次的练习，而高中，课程都在加深，一天的时间又不会加长，集中学习的时间相对比初中少，需要学生自主学习。 ⑵模彷与创新的区别。初中学生多是模彷做题，模彷老师思维推理较多，而高中，随着知识的难度加大 和知识面的广泛，学生不能全部模彷，需要整合创新。 ⑶学生自学能力的差异。 高中的知识面广，知识要全部要教师训练完高考中的习题类型是不可能的，只有通过较少的、较典型的一两道例题讲解去融会贯通这一类型习题，如果不自学、不靠大量的阅读理解，将会使学生失去一类型习题的解法。另外，科学在不断的发展，考试在不断的改革，高考也随着全面的改革不断的深入，数学题型的开发在不断的多样化，近年来提出了应用型题、探索型题和开放型题，只有靠学生的自学去深刻理解和创新才能适应现代科学的发展。 ⑷思维习惯上的差异。思维习惯上的差异。初中知识范围小，层次低，知识面窄，思维受局限，高中知 识的多元化和广泛性，要求学生全面、细致、深刻、严密的分析和解决问题。如从二维空间到三维空间的思想转化， 个别学生难理解。 ⑸定量与变量的差异。初中数学中，题目、已知和结论用常数给出的较多，一般地，答案是常数和定量。 学生在分析问题 时，大多是按定量来分析问题，这样的思维和问题的解决过程，只能片面地、局限地解决问题，在 高中数学学习中我们将会大量地、广泛地应用代数的可变性去探索问题的普遍性和特殊性。另外，在高中学习中我们还会通过对变量的分析，探索出分析、解决问题的思路和解题所用的数学思想（函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论、化归思想）

初升高数学衔接教材(完整)之欧阳家百创编

第一讲数与式 欧阳家百（2021.03.07） 1、绝对值 （1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a-表示在数轴上，数a和数b之间的距离． 2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式 ①()(0) <>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f x a a -<<。 () a f x a ②()(0) >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f x a a 或。 ><- f x a f x a ()() ③22 >?>。 ()()()() f x g x f x g x （2）利用零点分段法解含多绝对值不等式： ①找到使多个绝对值等于零的点．

②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1. 求不等式354 x-<的解集 例2.求不等式215 x+>的解集 例3.求不等式32 ->+的解集 x x 例4.求不等式|x＋2|＋|x－1|＞3的解集． 例5.解不等式|x－1|＋|2－x|＞3－x． 例6.已知关于x的不等式|x－5|＋|x－3|＜a有解，求a的取值范围．练习 解下列含有绝对值的不等式： （1）13 -+-＞4+x x x （2）|x+1|<|x－2| （3）|x－1|+|2x+1|<4 （4）327 x-< (5)578 x+> 3、因式分解

乘法公式 （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ （4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=- （5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+- 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法 例1 分解因式： （1）x2－3x ＋2； （2）2672x x ++ （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-． 2．提取公因式法 例2.分解因式： （1）()()b a b a -+-552（2）32933x x x +++ 3．公式法

2021年初升高数学衔接教材(完整)

第一讲数与式 欧阳光明（2021.03.07） 1、绝对值 （1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a-表示在数轴上，数a和数b之间的距离． 2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式 ①()(0) <>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f x a a -<<。 () a f x a ②()(0) >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f x a a 或。 ><- f x a f x a ()() ③22 >?>。 ()()()() f x g x f x g x （2）利用零点分段法解含多绝对值不等式： ①找到使多个绝对值等于零的点．

②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1. 求不等式354 x-<的解集 例2.求不等式215 x+>的解集 例3.求不等式32 ->+的解集 x x 例4.求不等式|x＋2|＋|x－1|＞3的解集． 例5.解不等式|x－1|＋|2－x|＞3－x． 例6.已知关于x的不等式|x－5|＋|x－3|＜a有解，求a的取值范围．练习 解下列含有绝对值的不等式： （1）13 -+-＞4+x x x （2）|x+1|<|x－2| （3）|x－1|+|2x+1|<4 （4）327 x-< (5)578 x+> 3、因式分解

乘法公式 （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ （4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=- （5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+- 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法 例1 分解因式： （1）x2－3x ＋2； （2）2672x x ++ （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-． 2．提取公因式法 例2.分解因式： （1）()()b a b a -+-552（2）32933x x x +++ 3．公式法

初升高语文衔接教材：识记汉字(原卷版)

第二讲识记汉字 【知识衔接】 ————初高中课程解读———— 初中课程高中课程 （1）准确识记现代汉语普通话中3500个常用字的读音、字形。 （2）正确、规范、整洁地书写汉字。 （1）识记现代汉语普通话常用字的字音。 （2）识记并正确书写现代常用规范汉字。 ————初中知识回顾———— 考点解读 近年来中考对字音、字形的考查主要是易读错的多音字、多义字、形近字、形声字和同音字。 字音的主要考点有：①形声字的读音，主要是因受声旁影响错读；②形近字的读音，主要是与其形近 字错读；③多音字的读音，一些字的字义不同，读音也不同，但人们往往不加区别地错读成一个音；④形 异音同字的读音，一些字的形体不同，但是读音相同，常常将它们放在一起考查，且混上一个或多个读音 不同的加以辨析；⑤方言读音对普通话读音的影响等。[来源学科网Z|X|X|K] 字形的主要考点有：①能运用多种检字方法使用字典、词典；②判断汉字书写的正误；③纠正生活中 经常出现的错别字；④从词语、句子或语段中发现并改正错别字；⑤从广告词中找出因创意而用错的字并 分析原因。 方法总结 一、辨析字音的方法 1．避免因习惯而错读。 如：“符（fú）合”的“符”常被错读为“fǔ” ，“档（dàng）案”的“档”常被错读为“dǎng”，“粗犷（guǎng）”的“犷”常被错读为“kuàng”。 怎样避免这种错读呢？ （1）换词识别。像“符号”只有“fú”这个音，就能确定“符合”也读“fú”。 （2）谐音记忆。像“装载”这个词，读的时候在头脑中想象为“装在（zài）”。[来源学科网] （3）根据声旁来确定。如“粗犷”的“犷”其声旁“广”的读音与“犷”的读音相同。 2．避免因多音而错读。 如：“处（chǔ）理”而非“处（chù）理”，“强（qiǎng）迫”而非“强（qiáng）迫”。

初高中数学衔接读本

初高中数学衔接读本 前言 各位新同学，欢迎来到应城一中，你们将在这里度过紧张而愉快的三年。数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”： 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8．几何部分很多概念（如重心、垂心、外心、内心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理、角平分线定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。有鉴于此，特编写该读本，供教学之用，希望认真学习。 目录 1.1 数与式的运算

初升高暑假衔接数学讲义

初高中数学衔接 现有初高中数学教材存在以下“脱节”： 1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用； 2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用； 3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等； 4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧； 5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法； 6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节； 7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领； 8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一； 另外，像配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。

目录 第一章数与式 (1) 1.1 乘法公式 (1) 1.2 二次根式 (2) 第二章函数、不等式、方程 (6) 2.1 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） (6) 2.2 一元二次不等式的解法 (13) 2.4 二次函数最值问题 (15) 2.5 一次分式型函数图像 (21) 第三章集合与函数 (26) 第1讲§1.1.1 集合的含义 (26) 第2讲§1.1.2 集合的表示 (30) 第3讲§1.1.3 集合间的基本关系 (35) 第4讲§1.1.4 集合间的基本运算：并集、交集 (39) 第5讲§1.1.5 集合间的基本运算：补集及综合应用 (42) 第1讲§1.2.1 函数的概念 (46) 第2讲§1.2.2 复合函数及函数值域 (51) 第3讲§1.2.3 函数的表示及映射 (54) 第4讲§1.2.4 函数的单调性 (59) 第5讲§1.2.5 最值与单调性应用 (64) 第6讲§1.2.6 函数的奇偶性 (67)