初升高中衔接教程
数学
典型试题举一反三
理解记忆成功衔接
前言
现有初高中数学教材存在以下“脱节”:
1、绝对值型方程和不等式,初中没有讲,高中没有专门的内容却在使用;
2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲,而高中还在使用;
3、因式分解中,初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解,对系数不为1的涉及不多,而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求;高中教材中许多化简求值都要用到它,如解方程、不等式等;
4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧;
5初中教材对二次函数的要求较低,学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容;配方、作简图、求值域(取值范围)、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法;
6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系,根与系数的关系(韦达定理)初中不作要求,此类题目仅限于简单的常规运算,和难度不大的应用题,而在高中数学中,它们的相互转化屡屡频繁,且教材没有专门讲授,因此也脱节;
7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍,而在高中讲授函数时,则作为必备的基本知识要领;
8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解,高中则作为重点,并无专题内容在教材中出现,是高考必须考的综合题型之一;
9、几何中很多概念(如三角形的五心:重心、内心、外心、垂心、旁心)和定理(平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理)初中早就已经删除,大都没有去学习;
10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。
另外,象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化,甚至老师根本没有去延伸发掘,不利于高中数学的学习。
新的课程改革,难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足,加以补充和完善。
欢迎广大读者提出宝贵意见,我们将不胜感激!
目录
第一章数与式
1.1 数与式的运算
1.1.1 绝对值
1.1.2 乘法公式
1.1.3 二次根式
1.1.4 分式
1.2 分解因式
第二章二次方程与二次不等式
2.1 一元二次方程
2.1.1 根的判别式
2.1.2 根与系数的关系
2.2 二次函数
2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
2.2.2 二次函数的三种表达方式
2.2.3 二次函数的应用
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组的解法
第三章相似形、三角形、圆
3.1 相似形
3.1.1 平行线分线段成比例定理
3.1.2 相似三角形形的性质与判定
3.2 三角形
3.2.1 三角形的五心
3.2.2 解三角形:钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用
3.3 圆
3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系:圆幂定理
3.3.2 点的轨迹
3.3.3 四点共圆的性质与判定
3.3.4 直线和圆的方程(选学)
1.1 数与式的运算
1.1.1.绝对值
绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即
,0,||0,0,,0.a a a a a a >??
==??-
绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义:b a -表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离. 例1 解不等式:13x x -+->4.
解法一:由01=-x ,得1=x ;由30x -=,得3x =; ①若1
②若12x ≤<,不等式可变为(1)(3)4x x --->, 即1>4,
∴不存在满足条件的x ;
③若3x ≥,不等式可变为(1)(3)4x x -+->, 即24x ->4, 解得x >4. 又x ≥3, ∴x >4.
综上所述,原不等式的解为 x <0,或x >4.
解法二:如图1.1-1,1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |,即|P A |=|x -1|;|x -3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |,即|PB |=|x -3|.
所以,不等式13x x -+->4的几何意义即为 |P A |+|PB |>4. 由|AB |=2,可知
点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧.
x <0,或x >4.
练 习 1.填空:
(1)若5=x ,则x =_________;若4-=x ,则x =_________.
(2)如果5=+b a ,且1-=a ,则b =________;若21=-c ,则c =________. 2.选择题:
下列叙述正确的是 ( )
(A )若a b =,则a b = (B )若a b >,则a b > (C )若a b <,则a b < (D )若a b =,则a b =± 3.化简:|x -5|-|2x -13|(x >5).
A B C P |x -1|
|x -3|
图1.1-1
1.1.
2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
(1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=-; (2)完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+. 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
(1)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+; (2)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-;
(3)三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++; (4)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++; (5)两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-. 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例1 计算:22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++.
解法一:原式=2222
(1)(1)x x x ??-+-??
=242(1)(1)x x x -++ =61x -.
解法二:原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++
=33(1)(1)x x +- =61x -.
例2 已知4a b c ++=,4ab bc ac ++=,求222a b c ++的值. 解: 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=.
练 习 1.填空:
(1)221111
()9423
a b b a -=+( )
; (2)(4m + 22
)164(m m =++ );
(3 ) 2222
(2)4(a b c a b c +-=+++ ).
2.选择题:
(1)若2
1
2
x mx k +
+是一个完全平方式,则k 等于 ( ) (A )2
m (B )214m (C )213m (D )2116m
(2)不论a ,b 为何实数,22
248a b a b +--+的值 ( )
(A )总是正数 (B )总是负数
(C )可以是零 (D )可以是正数也可以是负数
1.1.3.二次根式
一般地,形如0)a ≥的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方
的式子称为无理式. 例如 32a b ,等是无理式,而212
x +
+,
22x y +
1.分母(子)有理化
把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,
等等. 一般地,,与,b 与
b 互为有理化因式.
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运
0,0)a b =≥≥;而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.
2.二次根式
a ==,0,
,0.
a a a a ≥??
-
例1 将下列式子化为最简二次根式:
(1 (20)a ≥; (30)x <.
解: (1=
(20)a ==≥;
(3220)x x x ==-<.
例2 (3-.
解法一: (3-
=
3
93-
=1)
6
=1
2
+.
解法二: (3
=12.
例3 试比较下列各组数的大小:
(1 (2
.
解: (1)∵
===
,
=
==
,
又>
∴.
(2)∵
=
== 又 4>22,
∴
例4 化简:20042005+?.
解:20042005?-
=20042004??=2004
??+?-?-??
=20041?
例 5 化简:(1; (21)x <<.
解:(1)原式===2=2=.
(2)原式=1x x
=-,
∵01x <<,∴11x x >>,所以,原式=1
x x
-.
例 6 已知
x y ==
22353x xy y -+的值 .
解: ∵2210
x y +==+=,
1
xy =
=, ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=?-=.
练 习 1.填空:
(1
=__ ___;
(2(x =-x 的取值范围是_ _ ___;
(3)=__ ___;
(4)若
x ==______ __. 2.选择题:
=
( ) (A )2x ≠ (B )0x > (C )2x > (D )02x <<
3.若b =,求a b +的值.
4.比较大小:2-4(填“>”,或“<”).
1.1.4.分式
1.分式的意义
形如
A B 的式子,若B 中含有字母,且0B ≠,则称A B 为分式.当M ≠0时,分式A
B
具有下列性质:
A A M
B B M ?=?; A A M
B B M
÷=
÷. 上述性质被称为分式的基本性质.
2.繁分式 像a
b c d
+,2m n p
m n p +++这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.
例1 若54(2)2x A B
x x x x +=+++,求常数,A B 的值.
解: ∵(2)()254
2(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++,
∴5,
24,A B A +=??=?
解得 2,3A B ==.
例2 (1)试证:111
(1)1n n n n =-++(其中n 是正整数);
(2)计算:111
1223910
+++
???L ; (3)证明:对任意大于1的正整数n , 有
11112334(1)2
n n +++?+L . (1)证明:∵11(1)1
1(1)(1)n n n n n n n n +--==+++,
∴111
(1)1
n n n n =-++(其中n 是正整数)成立.
(2)解:由(1)可知
1111223910+++
???L 11111(1)()()223910=-+-++-L 1110=- =9
10
. (3)证明:∵1112334(1)n n +++??+L =111111()()()23341n n -+-++-+L =1121
n -+, 又n ≥2,且n 是正整数,∴1
n +1 一定为正数,
∴111
2334(1)n n +++??+L <12 . 例3 设c
e a
=,且e >1,2c 2-5ac +2a 2=0,求e 的值.
解:在2c 2-5ac +2a 2=0两边同除以a 2,得 2e 2-5e +2=0, ∴(2e -1)(e -2)=0,
∴e =1
2 <1,舍去;或e =2. ∴e =2.
练 习
1.填空题:对任意的正整数n ,1(2)n n =+ (11
2
n n -+);
2.选择题: 若
223x y x y -=+,则x
y
= ( )
(A )1 (B )54 (C )45 (D )65
3.正数,x y 满足22
2x y xy -=,求x y x y
-+的值.
4.计算1111
(12233499100)
++++
????.
习题1.1
A 组
1.解不等式:
(1) 13x ->; (2) 327x x ++-< ; (3) 116x x -++>.
2.已知1x y +=,求33
3x y xy ++的值. 3.填空:
(1)1819
(2(2+=________;
(22=,则a 的取值范围是________; (3
=________.
B 组
1.填空:
(1)12a =,1
3
b =,则22
2
3352a ab a ab b -=+-____ ____; (2)若22
20x xy y +-=,则2222
3x xy y x y
++=+__ __;
2.已知:11
,23x y =
=的值. C 组
1.选择题:
(1=
( )
(A )a b < (B )a b > (C )0a b << (D )0b a <<
(2)计算 ( )
(A (B (C ) (D )2.解方程2
2112()3()10x x x x +-+-=.
3.计算:1111
132435911
++++
????L . 4.试证:对任意的正整数n ,有111123234(1)(2)n n n +++????++L <1
4
.
1.2因式分解
因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应
了解求根法及待定系数法.
1.十字相乘法 例1 分解因式:
(1)x 2-3x +2; (2)x 2+4x -12; (3)22()x a b xy aby -++; (4)1xy x y -+-. 解:(1)如图1.1-1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积,再将常数项2分解成-1与-2的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x ,就是x 2-3x +2中的一次项,所以,有
x 2-3x +2=(x -1)(x -2).
说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1.1-1中的两个x 用1来表示(如图1.1-2所示).
(2)由图1.1-3,得
x 2+4x -12=(x -2)(x +6). (3)由图1.1-4,得
22()x a b xy aby -++=()()x ay x by -- (4)1xy x y -+-=xy +(x -y )-1
=(x -1) (y+1) (如图1.1-5所示).
课堂练习
一、填空题:
1、把下列各式分解因式:
(1)=-+652x x __________________________________________________。 (2)=+-652x x __________________________________________________。 (3)=++652x x __________________________________________________。 (4)=--652
x x __________________________________________________。
(5)()=++-a x a x 12
__________________________________________________。 (6)=+-18112
x x __________________________________________________。 (7)=++2762
x x __________________________________________________。 (8)=+-91242
m m __________________________________________________。 (9)=-+2
675x x __________________________________________________。 (10)=-+2
2
612y xy x __________________________________________________。 2、()() 3 42
++=+-x x x x
3、若()()422
-+=++x x b ax x 则 =a , =b 。 二、选择题:(每小题四个答案中只有一个是正确的)
1、在多项式(1)672++x x (2)342++x x (3)862++x x (4)1072
++x x (5)44152
++x x 中,有相同因式的是( ) A 、只有(1)(2) B 、只有(3)(4) C 、只有(3)(5) D 、(1)和(2);(3)和(4);(3)和(5)
2、分解因式2
2338b ab a -+得( )
A 、()(
)3 11-+a a B 、()()b a b a 3 11-+ C 、()()b a b a 3 11-- D 、()()b a b a 3 11+- 3、()()2082
-+++b a b a 分解因式得( )
A 、()(
)2 10-+++b a b a B 、()()4 5-+++b a b a C 、()(
)10 2-+++b a b a D 、()()5 4-+++b a b a 4、若多项式a x x +-32
可分解为()()b x x --5,则a 、b 的值是( )
A 、10=a ,2=b
B 、10=a ,2-=b
C 、10-=a ,2-=b
D 、10-=a ,2=b
5、若()(
)b x a x mx x ++=-+ 102
其中a 、b 为整数,则m 的值为( ) A 、3或9 B 、3± C 、9± D 、3±或9±
-1 -2 x x 图1.1-1 -1 -2 1 1 图1.1-2 -2 6 1 1 图1.1-3 -ay -by x x 图1.1-4 -1 1
x y 图1.1-5
三、把下列各式分解因式
1、()()3211262
+---p q q p 2、2
2365ab b a a +-
3、6422--y y
4、822
4--b b
2.提取公因式法
例2 分解因式:
(1) ()()b a b a -+-552 (2)32933x x x +++ 解: (1).()()b a b a -+-552=)1)(5(--a b a
(2)32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++ =2(3)(3)x x ++. 或
32933x x x +++=32(331)8x x x ++++=3(1)8x ++=33(1)2x ++
=22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+?+ =2(3)(3)x x ++ 课堂练习:
一、填空题:
1、多项式xyz xy y x 4262
2+-中各项的公因式是_______________。 2、()()()?-=-+-y x x y n y x m __________________。 3、()()()?-=-+-2
2
2
y x x y n y x m ____________________。
4、()()()?--=-++--z y x x z y n z y x m _____________________。
5、()()?--=++---z y x z y x z y x m ______________________。
6、5
23623913x b a x ab --分解因式得_____________________。 7.计算99992
+= 二、判断题:(正确的打上“√”,错误的打上“×” )
1、()b a ab ab b a -=-2422
2
………………………………………………………… ( )
2、()b a m m bm am +=++…………………………………………………………… ( )
3、(
)
52315632
2
3
-+-=-+-x x x x x x …………………………………………… ( ) 4、()111+=+--x x x
x n n n
……………………………………………………………… ( )
3:公式法
例3 分解因式: (1)164+-a (2)()()2
2
23y x y x --+ 解:(1)164+-a =)2)(2)(4()4)(4()(4222222a a a a a a -++=-+=-
(2) ()()2
2
23y x y x --+=)32)(4()23)(23(y x y x y x y x y x y x ++=+-+-++
课堂练习
一、222b ab a +-,22b a -,3
3b a -的公因式是______________________________。
二、判断题:(正确的打上“√”,错误的打上“×” )
1、()??
? ??-??? ??+=-??? ??=-1.032 1.0321.03201.0942
2
2x x x x ………………………… ( )
2、()()()(
)b a b a b a b a 43 4343892
2
2
2-+=-=- ………………………………… ( ) 3、()(
)b a b a b a 45 4516252
-+=-………………………………………………… ( ) 4、(
)()()y x y x y
x y x -+-=--=-- 2
22
2………………………………………… ( )
5、()()(
)c b a c b a c b a +-++=+- 2
2
……………………………………………… ( ) 五、把下列各式分解
1、()()2
2
9n m n m ++-- 2、3
1
32
-
x
3、()
2
2244+--x x 4、122
4
+-x x
4.分组分解法
例4 (1)x y xy x 332-+- (2)222456x xy y x y +--+-.
(2)222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+- =22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-.
或
222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----
=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-.
课堂练习:用分组分解法分解多项式(1)by ax b a y x 222222++-+-
(2)9126442
2
++-+-b a b ab a
5.关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解.
若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ,则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.
例5 把下列关于x 的二次多项式分解因式:
(1)221x x +-; (2)2244x xy y +-.
解: (1)令221x x +-=0,则解得11x =-21x =-,
∴221x x +-=(1(1x x ????----????
=(11x x +++.
(2)令2244x xy y +-=0,则解得1(2x y =-+,1(2x y =--,
∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y +++.
练 习 1.选择题:
多项式2
2
215x xy y --的一个因式为 ( ) (A )25x y - (B )3x y - (C )3x y + (D )5x y -
2.分解因式:
(1)x 2+6x +8; (2)8a 3-b 3;
(3)x 2-2x -1; (4)4(1)(2)x y y y x -++-.
习题1.2
1.分解因式:
(1) 31a +; (2)42
4139x x -+;
(3)22
222b c ab ac bc ++++; (4)2
2
35294x xy y x y +-++-. 2.在实数范围内因式分解:
(1)253x x -+ ; (2)2
3x --;
(3)2234x xy y +-; (4)222
(2)7(2)12x x x x ---+. 3.ABC ?三边a ,b ,c 满足2
2
2
a b c ab bc ca ++=++,试判定ABC ?的形状. 4.分解因式:x 2+x -(a 2-a ).
5. (尝试题)已知abc=1,a+b+c=2,a2+b2+c2=,求
1-c ab 1++1-a bc 1++1
-b ca 1
+的值.
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
{情境设置:可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法,
如求方程的根(1)0322
=-+x x (2) 0122
=++x x (3) 0322
=++x x }
我们知道,对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),用配方法可以将其变形为
2224()24b b ac
x a a
-+=. ① 因为a ≠0,所以,4a 2>0.于是
(1)当b 2-4ac >0时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根
x 1,2=2b a
-±;
(2)当b 2-4ac =0时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根 x 1=x 2=-
2b a
; (3)当b 2-4ac <0时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边2
()2b x a
+
一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根.
由此可知,一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的情况可以由b 2-4ac 来判定,我们把b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示.
综上所述,对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),有
(1) 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根x 1,2
(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根x 1=x 2=-2b
a
;
(3)当Δ<0时,方程没有实数根.
例1 判定下列关于x 的方程的根的情况(其中a 为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根. (1)x 2-3x +3=0; (2)x 2-ax -1=0; (3) x 2-ax +(a -1)=0; (4)x 2-2x +a =0. 解:(1)∵Δ=32-4×1×3=-3<0,∴方程没有实数根. (2)该方程的根的判别式Δ=a 2-4×1×(-1)=a 2+4>0,所以方程一定有两个不等的实数根
(3)由于该方程的根的判别式为
Δ=a 2-4×1×(a -1)=a 2-4a +4=(a -2)2,
所以, ①当a =2时,Δ=0,所以方程有两个相等的实数根 x 1=x 2=1; ②当a ≠2时,Δ>0, 所以方程有两个不相等的实数根 x 1=1,x 2=a -1.
(3)由于该方程的根的判别式为
Δ=22-4×1×a =4-4a =4(1-a ), 所以
①当Δ>0,即4(1-a ) >0,即a <1时,方程有两个不相等的实数根
11x = 21x =
②当Δ=0,即a =1时,方程有两个相等的实数根 x 1=x 2=1; ③当Δ<0,即a >1时,方程没有实数根.
说明:在第3,4小题中,方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化,于是,在解题过程中,需要对a 的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.
2.1.2 根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个实数根
12b x a -+=,22b x a
-=,
则有
122222b b b b
x x a a a a
-+--+=
+==-;
22122
2(4)444b b ac ac c
x x a a a
--====. 所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
如果ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根分别是x 1,x 2,那么x 1+x 2=b a -
,x 1·x 2=c
a
.这一关系也被称为韦达定理.
特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x 2+px +q =0,若x 1,x 2是其两根,由韦达定理可知
x 1+x 2=-p ,x 1·x 2=q ,
即 p =-(x 1+x 2),q =x 1·x 2, 所以,方程x 2+px +q =0可化为 x 2-(x 1+x 2)x +x 1·x 2=0,由于x 1,x 2是一元二次方程x 2+px +q =0的两根,所以,x 1,x 2也是一元二次方程x 2-(x 1+x 2)x +x 1·x 2=0.因此有 以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是
x 2-(x 1+x 2)x +x 1·x 2=0. 例2 已知方程2
560x kx +-=的一个根是2,求它的另一个根及k 的值.
分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出k 的值,再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项,于是可以利用两根之积求出方程的另一个根,再由两根之和求出k 的值.
解法一:∵2是方程的一个根,∴5×22+k ×2-6=0,∴k =-7.
所以,方程就为5x 2-7x -6=0,解得x 1=2,x 2=-35
. 所以,方程的另一个根为-
3
5
,k 的值为-7. 解法二:设方程的另一个根为x 1,则 2x 1=-
65,∴x 1=-35
. 由 (-
35)+2=-5
k
,得 k =-7. 所以,方程的另一个根为-3
5
,k 的值为-7.
例3 已知关于x 的方程x 2+2(m -2)x +m 2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m 的值.
分析: 本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程,从而解得m 的值.但在解题中需要特别注意的是,由于所给的方程有两个实数根,因此,其根的判别式应大于零.
解:设x 1,x 2是方程的两根,由韦达定理,得 x 1+x 2=-2(m -2),x 1·x 2=m 2+4. ∵x 12+x 22-x 1·x 2=21, ∴(x 1+x 2)2-3 x 1·x 2=21,
即 [-2(m -2)]2-3(m 2+4)=21, 化简,得 m 2-16m -17=0, 解得 m =-1,或m =17.
当m =-1时,方程为x 2+6x +5=0,Δ>0,满足题意; 当m =17时,方程为x 2+30x +293=0,Δ=302-4×1×293<0,不合题意,舍去. 综上,m =17. 说明:(1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围,然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值,取满足条件的m 的值即可.
(1)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零.因为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.
例4 已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数.
分析:我们可以设出这两个数分别为x ,y ,利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解.
解法一:设这两个数分别是x ,y , 则 x +y =4, ①
xy =-12. ② 由①,得 y =4-x , 代入②,得
x (4-x )=-12,
即 x 2-4x -12=0, ∴x 1=-2,x 2=6.
∴11
2,6,x y =-??=? 或226,2.x y =??=-?
因此,这两个数是-2和6.
解法二:由韦达定理可知,这两个数是方程x 2-4x -12=0的两个根. 解这个方程,得x 1=-2,x 2=6. 所以,这两个数是-2和6. 说明:从上面的两种解法我们不难发现,解法二(直接利用韦达定理来解题)要比解法一简捷. 例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2+5x -3=0的两根. (1)求| x 1-x 2|的值; (2)求
2212
11
x x +的值;(3)x 13+x 23.
解:∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2+5x -3=0的两根,
∴1252x x +=-
,123
2
x x =-.
(1)∵| x 1-x 2|2=x 12+ x 22-2 x 1x 2=(x 1+x 2)2-4 x 1x 2=2
53()4()2
2--?-=
25
4
+6=494,
∴| x 1-x 2|=
7
2
. (2)2222121212222
2
2
21212125325
()2()3
()211
3722439()9()24
x x x x x x x x x x x x --?-+++-+=====?-.
(3)x 13+x 23=(x 1+x 2)( x 12-x 1x 2+x 22)=(x 1+x 2)[ ( x 1+x 2) 2-3x 1x 2]
=(-
52)×[(-52)2-3×(32-)]=-215
8
. 说明:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求这一个量的问题,
为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律:
设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),则
1x =
,2x =,
∴| x 1-x 2|
=
==
. 于是有下面的结论:
若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),则| x 1-x 2|
=
||
a (其中Δ=
b 2-4a
c ). 今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论. 例6 若关于x 的一元二次方程x 2-x +a -4=0的一根大于零、另一根小于零,求实数a 的取值范围. 解:设x 1,x 2是方程的两根,则
x 1x 2=a -4<0, ① 且Δ=(-1)2-4(a -4)>0. ② 由①得 a <4,
由②得 a <17
4
.∴a 的取值范围是a <4.
练 习 1.选择题:
(1
)方程2
2
30x k -+=的根的情况是 ( ) (A )有一个实数根 (B )有两个不相等的实数根
(C )有两个相等的实数根 (D )没有实数根
(2)若关于x 的方程mx 2+ (2m +1)x +m =0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是
( ) (A )m <
14 (B )m >-1
4 (C )m <14,且m ≠0 (D )m >-1
4
,且m ≠0
2.填空:
(1)若方程x 2-3x -1=0的两根分别是x 1和x 2,则
12
11
x x += . (2)方程mx 2+x -2m =0(m ≠0)的根的情况是 . (3)以-3和1为根的一元二次方程是 .
3
|1|0b -=,当k 取何值时,方程kx 2+ax +b =0有两个不相等的实数根? 4.已知方程x 2-3x -1=0的两根为x 1和x 2,求(x 1-3)( x 2-3)的值.
习题2.1 A 组
1.选择题:
(1)已知关于x 的方程x 2+kx -2=0的一个根是1,则它的另一个根是( ) (A )-3 (B )3 (C )-2 (D )2 (2)下列四个说法:
①方程x 2+2x -7=0的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程x 2-2x +7=0的两根之和为-2,两根之积为7;
③方程3 x 2-7=0的两根之和为0,两根之积为73
-
; ④方程3 x 2+2x =0的两根之和为-2,两根之积为0.
其中正确说法的个数是 ( ) (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个
(3)关于x 的一元二次方程ax 2-5x +a 2+a =0的一个根是0,则a 的值是( )
(A )0 (B )1 (C )-1 (D )0,或-1
2.填空:
(1)方程kx 2+4x -1=0的两根之和为-2,则k = .
(2)方程2x 2-x -4=0的两根为α,β,则α2+β2= .
(3)已知关于x 的方程x 2-ax -3a =0的一个根是-2,则它的另一个根是 . (4)方程2x 2+2x -1=0的两根为x 1和x 2,则| x 1-x 2|= .
3.试判定当m 取何值时,关于x 的一元二次方程m 2x 2-(2m +1) x +1=0有两个不相等的实数根?有两个
相等的实数根?没有实数根?
4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程x 2-7x -1=0各根的相反数.
B 组
1.选择题:
若关于x 的方程x 2+(k 2-1) x +k +1=0的两根互为相反数,则k 的值为 ( )
(A )1,或-1 (B )1 (C )-1 (D )0 2.填空:
(1)若m ,n 是方程x 2+2005x -1=0的两个实数根,则m 2n +mn 2-mn 的值等于 .
(2)如果a ,b 是方程x 2+x -1=0的两个实数根,那么代数式a 3+a 2b +ab 2+b 3的值是 . 3.已知关于x 的方程x 2-kx -2=0.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两根为x 1和x 2,如果2(x 1+x 2)>x 1x 2,求实数k 的取值范围. 4.一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根为x 1和x 2.求: (1)| x 1-x 2|和
12
2
x x +;(2)x 13+x 23. 5.关于x 的方程x 2+4x +m =0的两根为x 1,x 2满足| x 1-x 2|=2,求实数m 的值.
C 组
1.选择题:
(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2-8x +7=0的两根,则这个直角三角形的斜边
长等于 ( )
(A
(B )3 (C )6 (D )9 (2)若x 1,x 2是方程2x 2-4x +1=0的两个根,则
12
21
x x x x +的值为 ( ) (A )6 (B )4 (C )3 (D )3
2
(3)如果关于x 的方程x 2-2(1-m )x +m 2=0有两实数根α,β,则α+β的取值范围为
( )
(A )α+β≥
12 (B )α+β≤1
2
(C )α+β≥1 (D )α+β≤1 (4)已知a ,b ,c 是ΔABC 的三边长,那么方程cx 2+(a +b )x +4
c
=0的根的情况是( )
(A )没有实数根 (B )有两个不相等的实数根
(C )有两个相等的实数根 (D )有两个异号实数根
2.填空:若方程x 2-8x +m =0的两根为x 1,x 2,且3x 1+2x 2=18,则m = . 3. 已知x 1,x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2-4kx +k +1=0的两个实数根.
(1)是否存在实数k ,使(2x 1-x 2)( x 1-2 x 2)=-
3
2
成立?若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由; (2)求使1221
x x
x x +-2的值为整数的实数k 的整数值;(3)若k =-2,12x x λ=,试求λ的值.
4.已知关于x 的方程2
2
(2)04
m x m x ---=. (1)求证:无论m 取什么实数时,这个方程总有两个相异实数根;
(2)若这个方程的两个实数根x 1,x 2满足|x 2|=|x 1|+2,求m 的值及相应的x 1,x 2. 5.若关于x 的方程x 2+x +a =0的一个大于1、零一根小于1,求实数a 的取值范围.
2.2 二次函数
2.2.1 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和性质
情境设置:可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象,如作图 (1)2
x y = (2) 2
x y -= (3) 322
-+=x x y
问题1 函数y =ax 2与y =x 2的图象之间存在怎样的关系? 为了研究这一问题,我们可以先画出y =2x 2,y =
12
x 2
,y =-2x 2的图象,通过这些函数图象与函数y =x 2的图象之间的关系,推导出函数y =ax 2与y =x 2的图象之间所存在的关系.
先画出函数y =x 2,y =2x 2的图象.
再描点、连线,就分别得到了函数y =x 2,y =2x 2的图象(如图2-1所示),从图2-1我们可以得到
这两个函数图象之间的关系:函数y =2x 2的图象可以由函数y =x 2
的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到.
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y =
12
x 2
,y =-2x 2的图象,并研究这两个函数图象与函数y =x 2的图象之间的关系.
通过上面的研究,我们可以得到以下结论:
二次函数y =ax 2(a ≠0)的图象可以由y =x 2
的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到.在二次函数y =ax 2(a ≠0)中,二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小.
问题2 函数y =a (x +h )2+k 与y =ax 2的图象之间存在怎样的关系?
同样地,我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关
系.同学们可以作出函数y =2(x +1)2+1与y =2x 2的图象(如图2-2所示),从函数的同学我们不难发现,只要把函数y =2x 2的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单位,就可以得到函数y =2(x +1)2+1的图象.这两个函数图象之间具有“形状相同,位置不同”的特点. 类似地,还可以通过画函数y =-3x 2,y =-3(x -1)2
+1的图象,研究它们图象之间的相互关系.
通过上面的研究,我们可以得到以下结论: 二次函数y =a (x +h )2+k (a ≠0)中,a 决定了二次函数图象的开口大小及方向;h 决定了二次函数图象的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”;k 决定了二次函数图象的上下平移,而且“k 正上移,k 负下移”.
由上面的结论,我们可以得到研究二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象的方
法:
由于y =ax 2
+bx +c =a (x 2
+b x a )+c =a (x 2
+b x a
+224b a )+c -24b a
224()24b b ac a x a a
-=++, 所以,y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y =ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的,于
是,二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)具有下列性质:
(1)当a >0时,函数y =ax 2
+bx +c 图象开口向上;顶点坐标为2
4(,)24b ac b a a
--,对称轴为直线x =-2b a ;当x <2b a -时,y 随着x 的增大而减小;当x >2b a -时,y 随着x 的增大而增大;当x =2b a
-
时,函数取最小值y =2
44ac b a
-.
(2)当a <0时,函数y =ax 2+bx +c 图象开口向下;顶点坐标为2
4(,)24b ac b a a
--,对称轴为直线x =-2b a ;当x <2b a -时,y 随着x 的增大而增大;当x >2b
a
-时,y 随着x 的增大而减小;当x
=2b
a
-时,函数取最大值y =244ac b a -.
上述二次函数的性质可以分别通过图2.2-3和图2.2-4直观地表示出来.因此,在今后解决二次
函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.
例1 求二次函数y =-3x 2-6x +1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值),并指出当x
取何值时,y 随x 的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象.
解:∵y =-3x 2-6x +1=-3(x +1)2+4,
∴函数图象的开口向下; 对称轴是直线x =-1; 顶点坐标为(-1,4);
当x =-1时,函数y 取最大值y =4;
当x <-1时,y 随着x 的增大而增大;当x >-1时,y 随着x 的增大而减小;
采用描点法画图,选顶点A (-1,4)),与x 轴交于点B 和C (,与y 轴的交点为D (0,1),过这五点画出图象(如图2-5所示).
说明:从这个例题可以看出,根据配方后得到的性质画函数的图象,可以直接选出关键点,减少了选点的盲目性,使画图更简便、图象更精确.
图2.2-1 图2.2-3 2 图2.2-4 图2.2-5
函数y =ax 2
+bx +c 图象作图要领:
(1) 确定开口方向:由二次项系数a 决定
(2) 确定对称轴:对称轴方程为a
b x 2-
= (3) 确定图象与x 轴的交点情况,①若△>0则与x 轴有两个交点,可由方程x 2
+bx +c=0求
出②①若△=0则与x 轴有一个交点,可由方程x 2
+bx +c=0求出③①若△<0则与x 轴有无交点。
(4) 确定图象与y 轴的交点情况,令x=0得出y=c ,所以交点坐标为(0,c ) (5) 由以上各要素出草图。 练习:作出以下二次函数的草图
(1)62
--=x x y (2)122
++=x x y (3) 12
+-=x y
例2 某种产品的成本是120元/件,试销阶段每件产品的售价x (元)与产品的日销售量y (件)之
若日销售量y 是销售价x 的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售价应定为多少元?此时每天的销售利润是多少?
分析:由于每天的利润=日销售量y ×(销售价x -120),日销售量y 又是销售价x 的一次函数,所以,欲求每天所获得的利润最大值,首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系,然后,再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值.
解:由于y 是x 的一次函数,于是,设y =kx +(B ) 将x =130,y =70;x =150,y =50代入方程,有
70130,
50150,
k b k b =+??
=+? 解得 k =-1,b =200.∴ y =-x +200. 设每天的利润为z (元),则
z =(-x +200)(x -120)=-x 2+320x -24000=-(x -160)2+1600, ∴当x =160时,z 取最大值1600.
答:当售价为160元/件时,每天的利润最大,为1600元.
例3 把二次函数y =x 2+bx +c 的图像向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到函数y =x 2的图像,求b ,c 的值.
解法一:y =x 2+bx +c =(x +2
b
)224b c +-,把它的图像向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到
22
(4)224b b y x c =+++-+的图像,也就是函数y =x 2的图像,所以,
2
40,220,4b
b c ?--=????-+=?? 解得b =-8,c =14. 解法二:把二次函数y =x 2+bx +c 的图像向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到函数y =x 2的图像,等价于把二次函数y =x 2的图像向下平移2个单位,再向右平移4个单位,得到函数y =x 2+bx +c 的图像. 由于把二次函数y =x 2的图像向下平移2个单位,再向右平移4个单位,得到函数y =(x -4)2+2的图像,即为y =x 2-8x +14的图像,∴函数y =x 2-8x +14与函数y =x 2+bx +c 表示同一个函数,∴b =-8,c =14.
说明:本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题,所以,同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律.
这两种解法反映了两种不同的思维方法:解法一,是直接利用条件进行正向的思维来解决的,其运算量相对较大;而解法二,则是利用逆向思维,将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解,具有计算量小的优点.今后,我们在解题时,可以根据题目的具体情况,选择恰当的方法来解决问题.
例4 已知函数y =x 2,-2≤x ≤a ,其中a ≥-2,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和
初高中数学教材衔接的必要性与措施 近几年,随着我国教育体制改革步代加大,素质教育理念不断深入人心,课改新教材在我省大多数中小学已经实施。黄石市初中是率先使用课改新教材的县市之一,经过两届学生实验,结果表明:使用课改新教材的学生学习的自主性,思维的广阔性,师生的互动性明显增强,但思维的严谨性,推理的逻辑性显得有些不足。加上我市高中教材未与课改新教材接轨,教学内容上有明显“脱节”。学生从初中进入高中出现明显“不适应”现象。因此解决初高中数学教材衔接问题势在必行。 一、初高中数学知识“脱节”点 1. 绝对值型方程和不等式,初中没有讲,高中没有专门的内容却在使用 2.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 3.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 4.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 5.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 6.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容,高中教材却未安排专门的讲授。 7.图像的对称、平移变换,初中只作简单介绍,而在高中讲授函数后,对其图像的上、下;左、右平移,两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 8.含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求,只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 9.几何部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理,射影定理,相交弦定理等)初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 10. 圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习,高中则在使用。 另外,像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。 二、“脱节”知识点掌握情况调查 高一新生入学不久,在已进行“乘法公式”与“因式分解”讲授后,我们对学生初高中“脱节”知识点作了全面调查,统计情况如下:
第一节 乘法公式、因式分解 重点:和(差)的立方公式,立方和(差)公式及应用,十字相乘法,分组分解法,试根法 难点:公式的灵活运用,因式分解 教学过程: 一、 乘法公式 引入:回顾初中常用的乘法公式:平方差公式,完全平方公式,(从项的角度变化)那三数和的平方公式呢?ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ (从指数的角度变化)看看和与差的立方公式是什么?如?)(3=+b a , 能用学过的公式推导吗?(平方―――立方) 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++==++=+ · ··················① 那?)(3=-b a 呢,同理可推。那能否不重复推导,直接从①式看出结果?将3)(b a +中的b 换成-b 即可。(R b ∈ )▲这种代换的思想很常用,但要清楚什么时候才可以代换 3223333)(b ab b a a b a -+-=-············符号的记忆,和――差 从代换的角度看 问:能推导立方和、立方差公式吗?即( )( )=33b a ± 由①可知,))(()33()(2222333b ab a b a ab b a b a b a +-+==+-+=+ ······② 立方差呢?②中的b 代换成-b 得出:))((2233b ab a b a b a ++-=- ▲符号的记忆,系数的区别 例1:化简)1)(1)(1)(1(22+++--+x x x x x x 法1:平方差――立方差
法2:立方和――立方差 (2)已知,012=-+x x 求证:x x x 68)1()1(33-=--+ ▲注意观察结构特征,及整体的把握 二、因式分解:将一个多项式化成几个整式的积的形式,与乘法运算是互逆变形。初中学过的方法有:提取公因式法,公式法(平方差、完全平方、立方和、立方差等) (1)十字相乘法 试分解因式:)2)(1(232++=++x x x x 要将二次三项式x 2 + px + q 因式分解,就需要找到两个数a 、b ,使它们的积等于常数项q ,和等于一次项系数p , 满足这两个条件便可以进行如下因式分解,即 x 2 + px + q = x 2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b). 用十字交叉线表示: 1 a 1 b a + b (交叉相乘后相加) 若二次项的系数不为1呢?)0(2≠++a c bx ax ,如:3722+-x x 如何处理二次项的系数?类似分解:1 -3 2 -1 -6 + -1 = -7 )12)(3(3722--=+-x x x x 整理:对于二次三项式ax 2+bx+c (a ≠0),如果二次项系数a 可以分解成两个因
初高中数学衔接研究报告
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: ?
初高中数学衔接教学的实验与研究研究报告 平舆县第一高级中学“初高中数学衔接教学的实验与研究”课题组 执笔人:韩雨濛 摘要: 国家教委在八十年代对初中数学教学要求和内容的调整,较大地降低了有关知识的要求,造成了初、高中数学教学的较为严重的脱节。从高一数学老师的现状看:各校大部分是教学不足5年的青年教师,有学历,有热情,但对高一数学教材不熟悉,对初中数学教材知之更少,他们急需要有一个学习、了解初高中数学数学教材的衔接与初高中教学的差异,以便于更好的组织教学,使学生更快适应高中、 一、问题的提出 1.学生升入高中学习之后,无论选择理科或者文科的学习,数学课程都是必须继续学习的课程之一。初高中数学教学内容上有很强的延续性,初中数学是高中数学学习的基础,高中数学是建立在初中数学基础上的延续与发展,在教学内容上、思想方法上,均密切相关。因此,从教学内容、数学思想方法上,理顺初高中数学之间的关系,进而在高中刚开始阶段强化初高中衔接点的教学,为学生进一步深造打下基础,是高中数学教学必须研究的重要课题。 2.初高中数学教学衔接研究,主要从初高中数学教学内容、基本的数学思想方法、新课程标准对数学教学的要求,试图找出初高中数学教学衔接的相关关
键点,从而为高中数学教学提出有用的建议,让高一学生尽快适应高中数学,从而进行有效的学习。 3.近年来初高中数学教学衔接作为“初高中教学衔接”这一宏观课题,在很多地方被人们提及,一些教育科研部门也作过尝试,试图寻找其间的规律与共性,但大多是从教学内容上进行简单地分类研究,也没有作为专项课题进行研究。因为这一课题将直接影响学生高中数学学习的效果,因此有进行全面研究的重要价值。 二、选题目的与意义 1.找出初高中数学教学衔接的相关关键点,从而为高中数学教学提出有用的建议,为学生适应高中数学学习进行有效地定位。 2.从教学内容、数学思想方法上,理顺初高中数学之间的关系,进而在高中初期阶段强化初高中衔接点的教学,为学生进一步深造打下基础。 3.为学生有效适应高中阶段的数学学习打好基础,提高教师对新课程理念以及学科课程目标的全面、深刻地理解; 三、课题研究目标 1、通过研究,促使教师从研究的视角来审视初高中数学衔接问题,在课堂教学中更多地关注学生的这一学习主体。反思自身的教学思想和教学行为。寻找初高中数学教材的知识衔接,结合旧知识,寻找新知识的结合点和突破点,充分发挥数学本身所具有的激发、推动学生学习的动力。
目录第一章数与式 1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.4 分式 1.2 分解因式 第二章二次方程与二次不等式 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系 2.2 二次函数 2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表达方式 2.2.3 二次函数的应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组的解法 第三章相似形、三角形、圆 3.1 相似形
3.1.1 平行线分线段成比例定理 3.1.2 相似三角形形的性质与判定 3.2 三角形 3.2.1 三角形的五心 3.2.2 解三角形:钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用 3.3 圆 3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系:圆幂定理 3.3.2 点的轨迹 3.3.3 四点共圆的性质与判定 3.3.4 直线和圆的方程(选学)
1.1 数与式的运算 1.1.1.绝对值 绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >?? ==??- 绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义:b a -表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离. 例1 解不等式:13x x -+->4. 解法一:由01=-x ,得1=x ;由30x -=,得3x =; ①若1
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 1 绝对值: ⑴在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ⑵正数的绝对值是他本身,负数的绝对值是他的相反数,0的绝对值是0,即(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??- ⑶两个负数比较大小,绝对值大的反而小 ⑷两个绝对值不等式:| |(0)x a a a x a <>?-<<;||(0)x a a x a >>?<-或x a > 2 乘法公式: ⑴平方差公式:22()()a b a b a b -=+- ⑵立方差公式:3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶立方和公式:3322()()a b a b a ab b +=+-+ ⑷完全平方公式:222()2a b a ab b ±=±+, 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ ⑸完全立方公式:33223() 33a b a a b ab b ±=±+± 3 分解因式: ⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法:①提公因式法,②运用公式法,③分组分解法,④十字相乘法。 4 一元一次方程: ⑴在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤:去分母,移项,合并同类项,未知数系数化为1。 ⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时,方程有唯一解b x a =; ②当0a =,0b ≠时,方程无解 ③当0a =,0b =时,方程有无数解;此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组: (1)两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 (2)适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。 (3)二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解。 (4)解二元一次方程组的方法:①代入消元法,②加减消元法。
初升高暑假数学衔接教材 第一部分,如何做好高、初中数学的衔接 ● 第一讲如何学好高中数学● 初中生经过中考的奋力拼搏,刚跨入高中,都有十足的信心、旺盛的求知欲,都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间,他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学,而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩,有些章节如听天书。在做习题、课外练习时,又是磕磕碰碰、跌跌撞撞,常常感到茫然一片,不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”,数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测,从而产生畏惧感,动摇了学好数学的信心,甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的,但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训,搞好自己的数学学习。 一高中数学与初中数学特点的变化 1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映,集合、映射等概念难以理解,觉得离生活很远,似乎很“玄”。确实,初、高中的数学语言有着显着的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段,很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式,如解分式方程分几步;因式分解先看什么,再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题,也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此,初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化,数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然,能力的发
初高中数学衔接教材 1。乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=-; (2)完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+. 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: (1)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+; (2)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-; (3)三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++; (4)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++; (5)两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-. 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例1 计算:22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++. 解法一:原式=2222 (1)(1)x x x ??-+-?? =242(1)(1)x x x -++ =61x -. 解法二:原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -. 例2 已知4a b c ++=,4ab bc ac ++=,求222a b c ++的值。 解: 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=. 练 习 1.填空: (1)221111 ()9423 a b b a -=+( ); (2)(4m + 22 )164(m m =++ ); (3 ) 2222 (2)4(a b c a b c +-=+++ ). 2.选择题: (1)若2 1 2 x mx k + +是一个完全平方式,则k 等于 ( ) (A)2 m (B )214m (C )213m (D )2116m (2)不论a ,b 为何实数,22 248a b a b +--+的值 ( ) (A)总是正数 (B)总是负数 (C)可以是零 (D )可以是正数也可以是负数 2.因式分解 因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法。 1.十字相乘法 例1 分解因式: (1)x2-3x +2; (2)x 2+4x -12; (3)22()x a b xy aby -++; (4)1xy x y -+-.
初高中数学衔接教材 现有初高中数学知识存在以下“脱节” 1.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容,高中教材却未安排专门的讲授。 6.图像的对称、平移变换,初中只作简单介绍,而在高中讲授函数后,对其图像的上、下;左、右平移,两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 7.含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求,只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理,射影定理,相交弦定理等)初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 另外,像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。 目录 1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值
1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.4分式 1.2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系(韦达定理) 2.2 二次函数 2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法 3.1 相似形 3.1.1.平行线分线段成比例定理 3.1.2相似形 3.2 三角形 3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2 几种特殊的三角形 3.3圆 3.3.1 直线与圆,圆与圆的位置关系 3.3.2 点的轨迹 1.1 数与式的运算 1.1.1.绝对值 绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的 1
初高中数学衔接教材 典型试题举一反三 理解记忆成功衔接 第一部分如何做好初高中衔接 1-3页 第二部分现有初高中数学知识存在的“脱节” 4页 第三部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点5-9页 第四部分分章节讲解 10-66页 第五部分衔接知识点的专题强化训练 67-100页 第一部分,如何做好高、初中数学的衔接 ●第一讲如何学好高中数学● 初中生经过中考的奋力拼搏,刚跨入高中,都有十足的信心、旺盛的求知欲,都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间,他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学,而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩,有些章节如听天书。在做习题、课外练习时,又是磕磕碰碰、跌跌撞撞,常常感到茫然一片,不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”,数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测,从而产生畏惧感,动摇了学好数学的信心,甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的,但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训,搞好自己的数学学习。 一高中数学与初中数学特点的变化
1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映,集合、映射等概念难以理解,觉得离生活很远,似乎很“玄”。确实,初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段,很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式,如解分式方程分几步;因式分解先看什么,再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题,也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此,初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化,数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然,能力的发展是渐进的,不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应,故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡,最后还需初步形成辩证型思维。 3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如:高一《代数》第一章就有基本概念52个,数学符号28个;《立体几何》第一章有基本概念37个,基本公理、定理和推论21个;两者合在一起仅基本概念就达89个之多,并集中在高一第一学期学习,形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时,辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧,因而教学进度一般较快,从而增加了教与学的难度。这样,不可避免地造成学生不适应高中数学学习,而影响成绩的提高。这就要求:第一,要做好课后的复习工作,记牢大量的知识。第二,要理解掌握好新旧知识的内在联系,使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三,因知识教学多以零星积累的方式进行的,当知识信息量过大时,其记忆效果不会很好,因此要学会对知识结构进行梳理,形成板块结构,实行“整体集装”。如表格化,使知识结构一目了然;类化,由一例到一类,由一类到多类,由多类到统一;使几类问题同构于同一知识方法。第四,要多做总结、归类,建立主体的知识结构网络。 二不良的学习状态 1 学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一,为提高分数,初中数学教师将各种题型都一一罗列,学生依赖于教师为其提供套用的“模子”;第二,家长望子成龙心切,回家后辅导也是常事。升入高中后,教师的教学方法变了,套用的“模子”没有了,家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后,还象初中那样,有很强的依赖心理,跟随老师惯性运转,没有掌握学习的主动权。表现在不定计划,坐等上课,课前没有预习,对老师要上课的内容不了解,上课忙于记笔记,没听到“门道”。 2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习,只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中,有的还是重点中学里的重点班,因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功,只要等到高三临考时再发奋一、二个月,也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习,临近高考了,发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。 3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉,剖析概念的内涵,分析重点难点,突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课,对要点没听到或听不全,笔记记了一大本,问题也有一大堆;课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系,只是赶做作业,乱套题型,对概念、法则、公式、定理一知半解,机械模仿,死记硬背。还有些同学晚上加班加点,白天无精打采,或是上课根本不听,自己另搞一套,结果是事倍功半,收效甚微。 4 不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学,常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练,经常是知道怎么做就算了,而不去认真演算书写,但对难题很感兴趣,以显示自己的“水平”,好高骛远,
初高中衔接教材编排 第一部分相交线 1角的定义:具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点, 这两条射线叫做角的两条边。表示方法符号:∠ 两条相交线出现四个角 2余角和补角:两角之和为90°则两角互为余角,两角之和为180°则两角互为补角。 等角的余角相等,等角的补角相等 如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,且这两个角有公共顶点,那么这两个角是对顶角如图1,两条直线相交,构成两对对顶角。∠1与∠3为一对对顶角,∠2与∠4为一对对顶角。 图1 注意: 1.对顶角一定相等,但是相等的角不一定是对顶角。 2.对顶角必须有共同顶点。 3.对顶角是成对出现的。 在证明过程中使用对顶角的性质时,以图1为例, ∴∠1=∠3,∠2=∠4(对顶角相等)。 同位角:两条直线被第三条直线所截,在截线的同旁,被截两直线的同一方,我们把这种位置关系的角称为同位角. 互为同位角的有:∠1与∠5,∠2与∠6,∠4与∠8,∠3与∠7; 内错角:两条直线被第三条直线所截,两个角分别在截线的两侧,且夹在两条被截直线之间,具有这样位置关系的 一对角叫做内错角.互为内错角的有:∠3与∠5,∠2与∠8 同旁内角:两条直线被第三条直线所截,在两条直线之间,并在第三条直线同旁的两个角称为同旁内角. 互为同旁内角的有:∠3与∠8,∠2与∠5 例题【基础题】请找出图中的同位角,内错角,同旁内角 例题、【基础题】如图,O是直线AB一点,∠BOD=∠COE=90o, 则(1)如果∠1=30o,那么∠2=,∠3= 。 (2)和∠1互为余角的有。 和∠1相等的角有。 例题【基础】32o的余角为,137o的补角是。 第二部分平行线 1.定义在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线. 2.特征在同一平面内【必须满足,这是一个难点】不相交 说明强调在一个平面内,是因为高中的时候会出现一条线和一个面,那么这个时候存在着线和这个面内的有些直线不平行的问题,这个有点难理解。 3.表示方法我们通常用‘//’表示平行比如直线AB//CD 4.在同一平面内两条直线的关系有两种,平行和相交 相交的情况包括垂直.两条直线的夹角为90度,就称这两条直线垂直 垂线的性质经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线最短。 点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线的长度。 5.平行线的画法 工具:直尺,三角板 4 32 1 O E D C B A A B
初高中数学衔接教材 1.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=-; (2)完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+. 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: (1)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+; (2)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-; (3)三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++; (4)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++; (5)两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-. 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例1 计算:22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++. 解法一:原式=2222 (1)(1)x x x ??-+-?? =242(1)(1)x x x -++ =61x -. 解法二:原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -. 例2 已知4a b c ++=,4ab bc ac ++=,求222a b c ++的值. 解: 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=. 练 习 1.填空: (1)221111 ()9423 a b b a -=+( ) ; (2)(4m + 22 )164(m m =++ ); (3 ) 2222 (2)4(a b c a b c +-=+++ ). 2.选择题: (1)若2 1 2 x mx k + +是一个完全平方式,则k 等于 ( ) (A )2 m (B )214m (C )213m (D )2116m (2)不论a ,b 为何实数,22 248a b a b +--+的值 ( ) (A )总是正数 (B )总是负数 (C )可以是零 (D )可以是正数也可以是负数 2.因式分解 因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法 例1 分解因式: (1)x 2-3x +2; (2)x 2+4x -12; (3)22()x a b xy aby -++; (4)1xy x y -+-.
初升高中衔接教程 数学 典型试题举一反三 理解记忆成功衔接
前言 现有初高中数学教材存在以下“脱节”: 1、绝对值型方程和不等式,初中没有讲,高中没有专门的内容却在使用; 2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲,而高中还在使用; 3、因式分解中,初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解,对系数不为1的涉及不多,而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求;高中教材中许多化简求值都要用到它,如解方程、不等式等; 4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧; 5初中教材对二次函数的要求较低,学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容;配方、作简图、求值域(取值范围)、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法; 6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系,根与系数的关系(韦达定理)初中不作要求,此类题目仅限于简单的常规运算,和难度不大的应用题,而在高中数学中,它们的相互转化屡屡频繁,且教材没有专门讲授,因此也脱节; 7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍,而在高中讲授函数时,则作为必备的基本知识要领; 8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解,高中则作为重点,并无专题内容在教材中出现,是高考必须考的综合题型之一; 9、几何中很多概念(如三角形的五心:重心、内心、外心、垂心、旁心)和定理(平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理)初中早就已经删除,大都没有去学习; 10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。 另外,象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化,甚至老师根本没有去延伸发掘,不利于高中数学的学习。 新的课程改革,难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足,加以补充和完善。 欢迎广大读者提出宝贵意见,我们将不胜感激!
“初高中数学衔接教材研究”结题报告 国本中学高中数学课题组 一、课题背景。 由于义务教育的需要,初中数学教材进行了大量削减或弱化,其中一部分是高中数学进一步学习的重要基础和必不可少的知识方法。作为新课程的高中数学教材,在初高中衔接方面局部比原来的教材要好些,但仍然不尽人意。 我们会经常听到学生或家长提到的一个问题:初中时数学学得很好,每次考试不下90分,到了高中怎么学习数学这么吃力呢?甚至经常徘徊在及格线附近,相当部分学生进入数学学习的“困难期”,数学成绩出现严重的滑坡现象,动摇了学好数学的信心,甚至失去了学习数学的兴趣。这种现象应该说也是正常的,但是作为一名高中数学教师要了解学生数学能力的实际水平,衔接好初高中数学知识方法,并引导学生改变数学学习方法,尤其是高一的新生,教师应帮助他们完善学习方法,掌握学习数学的技能,以适应高中的大容量、快节奏的学习。因此做到初高中数学的有效衔接尤为重要。针对此类问题,我们认为要了解高中数学和初中数学有何不同从教材内容和要求到学习知识的能力需求分析:初中数学以常量数学教学为主,内容比较平面化,直观,针对某些知识还经常反复训练,机械模仿等。由于新课标强调的是学习的螺旋式上升,教材对知识章节的编排不够连贯,结构比较松散,教材坡度较缓,直观性强,对每一个概念配置了足够的例题和习题。同时初中对抽象思维要求较低,况且初中升学门槛降低,学生的数学基础和能力下降较多,诸如:运算能力差,不会化简代数式,不会解方程组,不会准确画二次函数图像等等,这些对高中教学无疑增加了难度。相对初中数学,高中数学的知识内容丰富,思维要求高,题目难度大,抽象概括性强,灵活性综合性强。教材中概念的符号多,定义严格,论证要求高,抽象思维增多,注重数学思想方法的积累和应用。不仅要求学生运算能力,还要有逻辑推理能力,能运用一定的数学思想方法解决问题。比如:高一数学教材上期数学1,数学4涉及集合函数,三角,向量,内容多,符号多,概念多公式多,特别是函数的性质部分,这一连串的内容有许多难点,有些学生直到高中毕业也还是惧怕函数内容,还有不等式中,对二次项系数的分类讨论问题,很多学生容易忽略,缺乏分类讨论的意识。又如:高中解绝对值不等式方法:绝对值的定义,分类讨论,还有绝
目录 第一章数与式 1.1数与式的运算 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4绝对值乘法公式二次根式分式 1.2分解因式第二章二次方程与二次不等式 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 2.1.2根与系数的关系 2.2 二次函数 2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质 2.2.2二次函数的三种表达方式 2.2.3二次函数的应用 2.3方程与不等式 2.3.1二元二次方程组的解法 第三章相似形、三角形、圆 3.1相似形 3.1.1平行线分线段成比例定理 3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形 3.2.1三角形的五心 3.2.2解三角形:钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆 3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系:圆幕定理 3.3.2点的轨迹 3.3.3四点共圆的性质与判定 3.3.4直线和圆的方程(选学)
1.1数与式的运算 1.1.1 .绝对值 绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即 a, a 0, |a| 0, a 0, a, a 0. 绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义:|a b表示在数轴上,数a和数b之间的距离. 例1解不等式:|x 1 x 3 >4. 解法一:由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0,得x 3 ; ①若x 1,不等式可变为(x 1) (x 3) 4 , 即2x 4 >4,解得X V0, 又x v 1 , 二x v 0; ②若1 x 2,不等式可变为(x 1) (x 3) 4 , 即1> 4, 二不存在满足条件的x; ③若x 3,不等式可变为(x 1) (x 3) 4 , 即2x 4 >4,解得x>4. 又x>3 二x>4. 综上所述,原不等式的解为 x V0, 或x>4. 解法二:如图1. 1- 1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A 之间的距离|RA|,即|RA| = |x- 1|; |x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的 距离|PB|,即|PB|= |x- 3|. 所以,不等式x 1 x 3 >4的几何意义即为 |RA| + |PB|> 4. 由|AB|= 2,可知 点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧. x V0,或x>4.P 丄 C L A 丄 B L D L---- x0134x V |x - 3| |x- 1| 图1. 1-1
初中升高中数学知识点衔接——分式运算 ————初中知识———— (一)分式的运算规律 1、加减法 同分母分式加减法: 2、异分母分式加减法: 3、乘法: 4、除法: 5、乘方: (二)分式的基本性质 ————高中知识———— 比例的性质
分式求解的基本技巧 1、分组通分 2、拆项添项后通分 3、取倒数或利用倒数关系 4、换元化简 5、局部代入 6、整体代入 7、引入参数 8、运用比例性质 提分秘籍 1.细心地发掘概念和公式 很多同学对概念和公式不够重视,这类问题反映在三个方面:
一是,对概念的理解只是停留在文字表面,对概念的特殊情况重视不够。例如,在代数式的概念(用字母或数字表示的式子是代数式)中,很多同学忽略了“单个字母或数字也是代数式”。 二是,对概念和公式一味的死记硬背,缺乏与实际题目的联系。这样就不能很好地将学到的知识点与解题联系起来。 三是,一部分同学不重视对数学公式的记忆。记忆是理解的基础。如果你不能将公式烂熟于心,又怎能够在题目中熟练应用呢? 我们的建议是:更细心一点(观察特例),更深入一点(了解它在题目中的常见考点),更熟练一点(无论它以什么面目出现,我们都能够应用自如)。 2.总结相似类型的题目 这个工作,不仅仅是老师的事,我们的同学要学会自己做。 当你会总结题目,对所做的题目会分类,知道自己能够解决哪些题型,掌握了哪些常见的解题方法,还有哪些类型题不会做时,你才真正的掌握了这门学科的窍门,才能真正的做到“任它千变万化,我自岿然不动”。 这个问题如果解决不好,在进入初二、初三以后,同学们会发现,有一部分同学天天做题,可成绩不升反降。 其原因就是,他们天天都在做重复的工作,很多相似的题目反复做,需要解决的问题却不能专心攻克。久而久之,不会的题目还是不会,会做的题目也因为缺乏对数学的整体把握,弄得一团糟。 我们的建议是:“总结归纳”是将题目越做越少的最好办法。 3.收集自己的典型错误和不会的题目 同学们最难面对的,就是自己的错误和困难。但这恰恰又是最需要解决的问题。同学们做题目,有两个重要的目的:
初高中数学教材衔接的必要性与措施 仙桃中学高一数学组整理黄茂斌 近几年,随着我国教育体制改革步代加大,素质教育理念不断深入人心,课改新教材在我省大多数中小学已经实施。仙桃市初中是率先使用课改新教材的县市之一,经过两届学生实验,结果表明:使用课改新教材的学生学习的自主性,思维的广阔性,师生的互动性明显增强,但思维的严谨性,推理的逻辑性显得有些不足。加上我市高中教材未与课改新教材接轨,教学内容上有明显“脱节”。学生从初中进入高中出现明显“不适应”现象。因此解决初高中数学教材衔接问题势在必行。 一、初高中数学知识“脱节”点 1.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容,高中教材却未安排专门的讲授。 6.图像的对称、平移变换,初中只作简单介绍,而在高中讲授函数后,对其图像的上、下;左、右平移,两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 7.含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求,只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理,射影定理,相交弦定理等)初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 另外,像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。 二、“脱节”知识点掌握情况调查 高一新生入学不久,在已进行“乘法公式”与“因式分解”讲授后,我们对学生初高中“脱节”知识点作了全面调查,统计情况如下:
2018年浙江省初高中数学衔接教材 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=-; (2)完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+. 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: (1)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+; (2)立方差公式 2 2 3 3 ()()a b a ab b a b -++=-; (3)三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++; (4)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++; (5)两数差立方公式 3 3 2 2 3 ()33a b a a b ab b -=-+-. 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 第一讲 因式分解 因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法 例1 分解因式: (1)x 2-3x +2; (2)x 2+4x -12; (3)2 2 ()x a b xy aby -++; (4)1xy x y -+-. 解:(1)如图1.1-1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积,再将常数项2分解成-1与-2的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x ,就是x 2-3x +2中的一次项,所以,有 x 2-3x +2=(x -1)(x -2). -1 -2 x x 图1.1-1 -1 -2 1 1 图1.1-2 -2 6 1 1 图1.1-3 -ay -by x x 图1.1-4
高中数学与初中数学怎么衔接数学的学习不像文科要死记硬背,学好高中数学最主要的是要掌握好课本上的基本公式,熟练运用,才能解考试过程中的各种题型。 一、初中数学与高中数学的差异 1、知识差异初高中数学有很多衔接知识点,如四种命题、函数概念等。因此,在讲授新知识时,教师要引导学生联系旧知识,复习和区别旧知识,特别注重对那些易错易混的知识加以分析、比较,从而达到温故而知新的效果。例如,在学习一元二次不等式解法时,教师应引导学生回顾在初中已学过的一元二次方程和二次函数的有关知识,为学习一元二次不等式的解法做好必要的铺垫,如:根的判别式,求根公式,根与系数的关系(即韦达定理),二次函数的图像等等。 初中数学知识少、浅、难度容易、知识面窄。高中数学知识广泛,将对初中的数学知识推广和引伸,也是对初中数学知识的完善。如:初中学习的角的概念只是0度180度范围内的,但实际当中也有720度和负300度等角,为此,高中将把角的概念推广到任意角,可表示包括正、负在内的所有大小角。又如:高中要学习《立体几何》,将在三维空间中求一些几何实体的体积和表面积;还将学习排列组合知识,以便解决排队方法种数等问题。如:①三个人排成一行,有几种排队方法,( =6种);②四人进行乒乓球双打比赛,有几种
比赛场次?(答:=3种)高中将学习统计这些排列的数学方法。初中一个负数开平方无意义,但在高中规定了=-1,就使-1的平方根为i。即可把数的概念进行推广,使数的概念扩大到复数范围等。这些知识同学们在以后的学习中将逐渐学习到。 2、学习方法的差异(1)初中课堂教学量小、知识简单,通过教师课堂教慢的速度,争取让全面同学理解知识点和解题方法,课后老师布置作业,然后通过大量的课堂内、外练习、课外指导达到对知识的反反复复理解,直到学生掌握。而高中数学的学习随着课程开设多(有九们课学生同时学习),每天至少上六节课,自习时间三节课,这样各科学习时间将大大减少,而教师布置课外题量相对初中减少,这样集中数学学习的时间相对比初中少,数学教师将像初中那样监督每个学生的作业和课外练习,就能达到像初中那样把知识让每个学生掌握后再进行新课。(2)模仿与创新的区别初中学生模仿做题,他们模仿老师思维推理较多,而高中学生有模仿做题和推理思维,但随着知识的难度大和知识面广泛,学生不能全部模仿,即就是学生全部模仿训练做题,也不能开拓学生自我思维能力,学生的数学成绩也只能是一般程度。现在高考数学考察,旨在考察学生能力,避免学生高分低能,避免定势思维,提倡创新思维和培养学生的创造能力培养。初中学生大量地模仿使学生带来了不利的思维定势,