法向量求法及应用方法

经典习题平面法向量求法及应用

经典习题平面法向量求法及应用

平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。 平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量 (,,1) n x y =r [或 (,1,) n x z =v ，或 (1,,) n y z =r ]，在平面α内任找两个不共线的向量 ,a b r r 。由 n α ⊥r ，得 n a ?=r r 且 n b ?=r r ，由此得到 关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n r 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。0=+++D Cz By Ax ) 0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ; 若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(3 2 1 c P b P a P ,如图所 示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ →?b a 为一长 度等于θsin ||||→ → b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规 定为→ → ?b a 的方向,→ → → → ?-=?a b b a 。:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ →2 1y y b a ,2 1z z 2 1x x - ,21 z z 2 1 x x ??? ?21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。） C 1A 1 D 1 z B E

高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法

高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 平面的法向量 仁定义：如果a _ ：，那么向量a 叫做平面二的法向量。平面.：＞ 的法向量共有两大类(从方向上分) ，无 数条。 2、平面法向量的求法 斗 ■ 4 方法一(内积法)：在给定的空间直角坐标系中， 设平面「的法向量n =(x,y,1)［或n =(x,1,z)，或n =(1yZ ］， 在平面:内任找两个不共线的向量 a,b 。由n _ ：?，得n a = 0且n b = 0，由此得到关于 x, y 的方程组，解此 i 方程组即可得到n 。 方法二：任何一个 x, y, z 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是 Ax By Cz ^0 (代B,C 不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量 n -(A, B,C)；若平面与3个坐 标轴的交点为R(a,0,0), P 2(0,b,0), P 3(0,0, c),如图所示，则平面方程为?上 ］--1,称此方程为平面的截距 a b c 式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法)：设 ，.为空间中两个不平行的非零向量，其外积 a b 为一长度等于|a||b|sinr , ( 9为 ..,.两者交角，且Ou :::二)，而与..，.皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 .. 例 1、 已知，al(2,1,0),b'(-1,2,1), T T —f —f 试求(1): a^b ； (2)： b 汉a. T T T T Key: (1) a b =(1,-2,5)；⑵ b a =(-1,2,5) 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 7 T T T 的方向转为 匸的方向时，大拇指所指的方向规定为a b 的方向 ^( x i ,y i ,z i ),^(x 2, r 「 T T 丫2二2),则:a b = Z 2 X 1乙 X 2 Z 2 X 1 X 2 y 1 y 2 (注：1、二阶行列式 =ad —cb ； d 2、适合右手定 则。 x, y, z 的一次方程。

对法向量的透彻理解与灵活运用

对法向量的透彻理解与灵活运用 一、法向量概念理解 如果表示非零向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作α⊥n ，此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量． 特别提醒：（1）法向量一定是非零向量，平面的法向量是不唯一的； （2）一个平面的所有法向量一定是平行向量； （3）向量n 是平面α的一个法向量，向量m 与平面平行或在平面内，则n m 0=； （4）因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以，已知平面内一点和平面的法向量，则这个平面是唯一确定的． 二、法向量求解步骤 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解．一般步骤： （1）设出平面的法向量为(,,)x y z =n ； （2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111(,,)a b c =a ，222(,,)a b c =b ； （3）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组0 =?? =?n a n b ； （4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量（通常取其中一个未知数为1或1-）． 三、用法向量可以解决的问题 1．直线与平面成角 直线l 与平面α所成的角为θ，是直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）的余角，故有sin cos θβ== |||| l n l n ． 注意：求出直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）并不是直线与平面所成角，应取其余角． 2．平面与平面成角 设1n ，2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12就是所求二面角的平面角或其补角的大小．且有12cos = 12 12| n n |n ||n ． 注意：通过平面的法向量求二面角时，若二面角的两个面的法向量1n 、2n 方向相反时，则二面角的大小等于22<>n ,n ，若两个面的法向量1n 、2n 方向相同时，则二面角大小为22π-<>n ,n ． 3．求点面距离 点面距离的具体求解步骤是： （1）求出该平面的一个法向量；（2）求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；（3）求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．其中设e 是直线l 上的一个单位方向向量，线段AB 在l 上的投影是''A B ，则有|''|||A B AB =e ，是求点到线，点到面的距离

高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法

高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或( 1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。 0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3个坐 标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长度等于θsin ||||→ → b a ，（θ 为 ,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→→?b a 的方向,→ →→→?-=?a b b a 。 :),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,2 1z z 21x x - ,21z z 21x x ???? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。 ） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 求平面AEF 的一个法向量n 。 )2,2,1(:=?=→ →→AE AF n key 法向量

快速求平面的法向量

快速求平面的法向量 用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法，简直就是秒杀。 结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量 n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量. 如果用二阶行列式表示，则 n ＝( 1122y z y z ，－1 122x z x z ，1 1 22 x y x y ) ，这更便于记忆和计算. 结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证 n 一定满足 m a m b ??=?? ?=???111222 0x x y y z z x x y y z z ++=??++=?； 而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0. 怎样用该结论求平面的法向量呢举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量 解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则00 n a n b ??=???=???2304560x y z x y z ++=?? ++=? 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1). 注意： ① 一定按上述格式书写，否则易被扣分. ② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”. 草稿纸上演算过程时，a 、b 的横坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6) 交叉相乘的差就是求y 时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6) 交叉相乘的差的时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6) 交叉相乘的差就是∴n ＝(－3，

高一数学 带你走进法向量(法向量的理解与运用)

带你走进法向量 一、法向量概念理解 如果表示非零向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作α⊥n ，此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量． 特别提醒：（1）法向量一定是非零向量，平面的法向量是不唯一的； （2）一个平面的所有法向量一定是平行向量； （3）向量n 是平面α的一个法向量，向量m 与平面平行或在平面内，则g n m 0=； （4）因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以，已知平面内一点和平面的法向量，则这个平面是唯一确定的． 二、法向量求解步骤 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解．一般步骤： （1）设出平面的法向量为(,,)x y z =n ； （2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111(,,)a b c =a ，222(,,)a b c =b ； （3）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组00=??=? g g n a n b ； （4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量（通常取其中一个未知数为1或1-）． 三、用法向量可以解决的问题 1．直线与平面成角 直线l 与平面α所成的角为θ，是直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）的余角，故有sin cos θβ==|||| g l n l n ． 注意：求出直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）并不是直线与平面所成角，应取其余角． 2．平面与平面成角 设1n ，2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12就是所求二面角的平面角或其补角的大小．且有12cos =1212| g n n |n ||n ． 注意：通过平面的法向量求二面角时，若二面角的两个面的法向量1n 、2n 方向相反时，则二面角的大小等于22<>n ,n ，若两个面的法向量1n 、2n 方向相同时，则二面角大小为22π-<>n ,n ．

法向量的应用

法向量的应用 概念：与平面垂直的向量就称为平面的法向量。 主要应用：证线面平行，证面面平行，证线面垂直，证面面垂直， 求线面角，二面角，求点到平面的距离，异面直线的距离等等。 一．证线面平行 方法：证直线上的一条方向向量与平面的一条法向量 垂直。 例题：如图（2），已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面 互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上， 且BM= 31BD ，AN=3 1 AE ， 求证：M N ∥平面CDE 证明：以A 为原点建立如图所示的空间直角 坐标系A-xyz,且设AB=3a,AD=3b,AF=3c,B （3a,0,0）,D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c) 所以 =（-3a,3b,0）,=(0,-3b,-3c) BM 31==(-a,b,0), 31 ==(0,-b,-c) 所以 ), 0,2(c a -=++=, 又平面CDE 的一个法向量是AD =（0，3b ，0）, 由AD NM ?=（2a,0,-c ）（0，3b ，0）=0,所以AD NM ⊥ 又MN 不在平面CDE 内，所以M N ∥平面CDE 二．证面面平行 方法：证两个平面的法向量平行。 例题：如图，正方体1111C B A O OABC -中， 11,,,F E F E 是中点， 求证：平面1EFB ∥平面11F OE 证明：设),,(),,,(22221111z y x n z y x n ==分别是 平面1EFB ，平面11F OE 的一条法向量，设正方体的棱长是2 则E （2，1，0），F （1，2，0），1B （2，2，2），1E （1，0，2） 1F （0，1，2），所以 )2,0,1(1=OE ，)2,1 ,0(1=OF y x

法向量求法及应用方法

平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或 (,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得 0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长 度等于θsin ||||→ →b a ，（θ为 ,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→→?b a 的方向,→ →→→?-=?a b b a 。 :),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x ??? ? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，

经典习题平面法向量求法及应用

平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或 (1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于 ,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。 0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3 个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长度等于 θs in ||||→ → b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采 取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→ →?b a 的方向,→ → → → ?-=?a b b a 。:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x ??? ? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。 ） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 求平面AEF 的一个法向量n 。 二、 平面法向量的应用 1、 求空间角 (1)、求线面角：如图2-1，设→ n 是平面α的法向 量， )2,2,1(:=?=→ →→AE AF n key 法向量

用好法向量-巧解高考题

用好法向量-巧解高考题

用好法向量，巧解高考题 为了和国际数学接轨，全日制普通高级中学教科书中增加了向量的内容，随着课程改革的进行，向量的应用将会更加广泛，这在2004年高考数学试题中得到了充分的体现。向量在研究空间几何问题中为学生提供了新的视角，但在教学中，我们的应用还不够，特别是法向量的应用，教科书中只给了一个概 念：如果非零向量，那么叫做平面的法向量，实质上，法向量的灵活应用，将使得原本很繁琐的推理，变得思路清晰且规范。本文将介绍法向量在空间几何证明、计算中的应用。 （一）直线的方向向量和平面的法向量分别为，则直线和平面所成的角等于向量所成的锐角（若所成的角为钝角，则为其补角） 的余角，即。 (2003全国（理）18题) 如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形,，侧棱，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心， （Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点到平面的距离。 （Ⅰ）解：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 设，则，，，

，，， ∴ ,， ∴，， 由得，， ∴，，，设平面的法向量为，则，，由，得， ，令得，， ∴平面的一个法向量为， ∴ 与的夹角的余弦值是， ∴ 与平面所成角为。 当直线与平面平行时，直线与平面所成的角为，此时直线的方向向量与平面的法向量垂直，我们可利用这一特征来证明直线与平面平行。 （二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直，那么这条直线和这个平面平行。 （2004年高考湖南（理）19题）如图，在底面是菱形的四棱锥中， ,，，点在上，且 ， （I）证明：； （II）求以为棱，与为面的二面角的大小； （Ⅲ）在棱上是否存在一点，使？证明你的结论。

平面法向量的求法及其应用

叶超（四川省华蓥中学） 原创作品，严禁转载！ 第1/3页 平面法向量的 求法及其应用 四川省华蓥中学 叶超 本专题是我编写的一套书中的一篇，更多精彩，请参见我编写的那套书。 1、平面法向量的求法： 先来看看比较笨的方法。 (1)利用待定系数（参数）法，根据“平面的法向量?与平面内不共线的两向量均垂直的非零向量”及“两向量垂直?两向量的内积 为0”确定待定参数。 例：已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ，∠DAB ＝ 90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝2 1AB ＝1，M 是PB 的中点。求面AMC 的一个法向量。 析：建系：以A 为原点，如图建立空间直角坐标系，则： 标点：A （0，0，0），C （1，1，0），P （0，0，1） B （0，2，0），M （0，1，1/2） 列向量：AC ＝（1，1，0）， AM ＝（0，1，1/2） 待定参数法：设面AMC 的法向量为n ＝（x ，y ，z ） 于是n ＝（x ，－x ，2x ）＝x （1，－1，2） 其中，x 决定长度（和方向），可取n ＝（1，－1，2），它是图中的1n 还是2n 呢？ 可用观察法确定：n ＝（1，－1，2）是以原点为起点、（1，－1，2）为终 点的向量，是图中的1n 。 说明：这种方法虽能求解，但是： ①要根据“两向量垂直?两向量的内积为0”列方程组并求解，计算量较大； ②利用观察法确定法向量的具体方向也不太方便。 综上，在高考的宝贵时间里，时间和精力都是很重要的，如果有一种方法可以很简便地求出平面的法向量，不仅可以节约时间，还可以节省精力，甚至提高准确度，那该多好啊！还真的有这种方法！ 这种方法不是我总结的，但如何用它来简便地求法向量却是我在半年前总结的，请看—— A B P M C D y ＝－x z ＝2x ?02 1=+=?z y AM n 0=+=?y x AC n

高考数学-整理法向量的快速求法

法向量的快速求法 在数学考试过程中，大部分同学往往因为时间不够而没法做完一份完整的试卷，有些同学也因为时间不够，计算速度加快而出现计算错误等原因导致失分，所以能够简便而快速的算出结果是很多同学梦寐以求的。用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法。 新教材对平面几何的要求，重点在于求平面的法向量，常见的待定系数法解方程组，运算量大，学困生容易算错，最简单快捷的方法是行列式法。 结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量. 如果用二阶行列式表示，则 n ＝( 1122y z y z ，－1 122x z x z ，1 12 2 x y x y ) ，这更便 于记忆和计算. 结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证 n 一定满足 m a m b ??=?? ?=???11122200x x y y z z x x y y z z ++=??++=?； 而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0. 怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量 解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则0 n a n b ??=???=???2304560x y z x y z ++=?? ++=? 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1). 注意： ① 一定按上述格式书写，否则易被扣分. ② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照 右边“草稿纸上演算过程”. a ＝(1，2， b ＝(4，5，时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5，y ＝－(1×时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5， ∴n ＝(－3，6

《平面的法向量与平面的向量表示》知识讲解

数学人教B 选修2-1第三章3.2.2 平面的法向量与平 面的向量表示 1．理解直线的方向向量与平面的法向量． 2．会用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系． 3．会利用向量运算证明两直线垂直，或求两直线所成的角． 4．理解并会应用三垂线定理及其逆定理． 1．用向量表示直线或点在直线上的位置 (1)直线的方向向量． 给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量AP ＝t a ，这时点P 的位置被t 的值完全________，当t 在实数集R 中取遍所有值时，点P 的轨迹是通过点A 且________向量a 的一条________，向量a 称为该直线的________． 一条直线有无数个方向向量． (2)空间直线的向量参数方程． 点A 为直线l 上的一个定点，a 为直线l 的一个方向向量，点P 为直线l 上任一点，t 为一个任意实数，以A 为起点作向量AP ＝t a .① 对空间任一个确定的点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在唯一的实数t ，满足等式OP ＝OA ＋t a .② 如果在l 上取AB ＝a ，则②式可化为OP ＝OA ＋t AB ＝OA ＋t (OB －OA )，即OP ＝(1－t )OA ＋t OB .③ 以上三种形式都叫做空间直线的向量参数方程． (3)线段AB 的中点M 的向量表达式 设O 是空间任一点，M 是线段AB 的中点，则OM ＝__________. 【做一做1】若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3) D ．(3,2,1) 空间三点P ，A ，B 满足OP ＝m OA ＋n OB ，且m ＋n ＝1，则P ，A ，B 三点共线． 2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行 (1)直线与直线平行 设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2或l 1与l 2重合?__________. (2)直线与平面平行 已知两个不共线向量v 1，v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则l ∥α或l 在α内?存在两个实数x ，y ，使__________． (3)平面与平面平行 已知两个不共线的向量v 1，v 2与平面α共面，则α∥β或α与β重合?__________. 【做一做2】l 1的方向向量v 1＝(1,2,3)，l 2的方向向量v 2＝(λ，4,6)，若l 1∥l 2，则λ＝__________. 3．用向量运算证明两直线垂直，或求两直线所成的角 (1)设两条直线所成的角为θ(锐角)，则直线方向向量间的夹角与θ__________； (2)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，直线l 1与l 2的夹角为θ，则

平面法向量的求法(师)

平面法向量的求法（教师用） 教学目的：掌握快速计算法向量的方法，为空间角的求解、距离的计算服务； 教学重点：熟练应用速算方法求出法向量 教学难点：平面内不共线两向量的坐标中不含0，求此面的法向量 教学过程： 【引言】近几年高考立体几何解答题的设计，注意了求解方法既可用传统的几何方法解决，又可用向量方法处理，在求异面直线所成角、直线与平面的所成角、二面角的大小以及点到平面的距离时，向量方法都有标准的公式，这些公式对学生的空间想象能力要求相对不高，因此，逐渐重视空间向量方法的应用，但是，在完成解答的过程中，正确求出法向量的坐标是关键，今天我们来探究一下法向量的速算。 1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。 2、法向量坐标的求法 （1）方程法 例1：（2010浙江理数）如图， 在矩形ABCD 中，点,E F 分别在线段,AB AD 上，243 AE EB AF FD ====.沿直线EF 将 AEF ?翻折成EF A '?，使平面'A EF BEF ⊥平面. （Ⅰ）求二面角'A FD C --的余弦值； 【评析】利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数、两个方程，要设定一个变量的值才能求解。

（2）含0速算法 如果空间直角坐标系中的点在坐标轴上，那么就有两个坐标为0，点在坐标平面上，就会有一个坐标为0，同理，如果向量与坐标轴平行，则向量就有两个坐标为0，向量与坐标平面平行，向量就有一个坐标为0，有的学生在实践中发现，两个向量的六个坐标中，只要出现0，就可以快速求得法向量，有点“十字相乘法”快速分解二次三项式的味道，而且正确率高，在考试中作用明显。 例2、（08陕西卷理科第19题）三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠= ，1A A ⊥平面ABC ，1A A = AB =，2AC =，111AC =． （Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小． 【评析】这是两个0分别出现在两个向量的坐标的情况，对齐坐标写，第一步可以看成数字调换、变号，第二步属简单数字计算，熟练后一目了然。 由于考题中出现“双0”的的情形比较多，这一方法受到学生的广泛欢迎。 【探究】已知的一个法向量为则面ABC c C b B a A ),,0,0(),0,,0(),0,0,(

平面的法向量

高二数学学案 姓名 班级 高二数学 平面的法向量与平面的向量表示 学习目标： 1、掌握平面的法向量；会求平面法向量 2、利用平面的法向量判定线面、面面的位置关系； 学习重点：法向量的应用 学习过程 （一）、预习检测 1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为(-2,-4,k),若 ，则k= ；若 则 k= 。 2、已知 ，且 的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为(1,1/2,2),且 ，则m= . 4.设 分别是平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系. (二)、复习： 1、 直线l 的向量方程： 2、与a ，b 共面（a ，b 不共线） （三）、引入新课 1、平面的法向量及求法 如果表示向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n ⊥α,这时向量n 叫做平面α的法向量. n 在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 如图,设a =( x 1,y 1,z 1)、b =(x 2,y 2,z 2)是平面α内的两个不共 线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n ⊥a 且n ⊥b ,则n ⊥α.换句话说,若n ·a = 0且n ·b = 0,则 n ⊥α.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标. 第一步(设):设出平面法向量的坐标为n =(x,y,z). ,α//αβαβ⊥//l αl l αl α⊥(1)(2,2,5),(6,4,4)(2)(1,2,2),(2,4,4)(3)(2,3,5),(3,1,4) u v u v u v =-=-=-=--=-=--

高中数学各考点解题技巧带你走进法向量(法向量的理解与运用)

带你走进法向量 江苏省东海高级中学 一、法向量概念理解 如果表示非零向量的有向线段所在的直线垂直于平面，那么称向量垂直于平面，记作，此时，我们把向量叫做平面的法向量． 特别提醒：（1）法向量一定是非零向量，平面的法向量是不唯一的； （2）一个平面的所有法向量一定是平行向量； （3）向量是平面的一个法向量，向量与平面平行或在平面内，则； （4）因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以，已知平面内一点和平面的法向量，则这个平面是唯一确定的． 二、法向量求解步骤 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解．一般步骤： （1）设出平面的法向量为； （2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （3）根据法向量的定义建立关于、、的方程组； （4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量（通常取其中一个未知数为或）． 三、用法向量可以解决的问题 1．直线与平面成角 直线与平面所成的角为，是直线的方向向量与平面的法向量的夹角（锐角）的余角，故有．注意：求出直线的方向向量与平面的法向量的夹角（锐角）并不是直线与平面所成角，应取其余角． 2．平面与平面成角 设，分别是二面角的面的法向量，则就是所求二面角的平面角或其补角的大小．且有． 注意：通过平面的法向量求二面角时，若二面角的两个面的法向量、方向相反时，则二面角的大小等于，若两个面的法向量、方向相同时，则二面角大小为． 3．求点面距离 点面距离的具体求解步骤是： （1）求出该平面的一个法向量；（2）求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；（3）求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．其中设是直线上的一个单位方向向量，线段在上的投影是，则有，是求点到线，点到面的距离问题重要公式． 四、法向量的具体应用 例1如图，四边形是直角梯形，∥，，又，，直线与直线 所成的角为． （1）求证：平面平面； （2）求二面角余弦值的大小． 解：（1）∵ ∴， 又∵ ∴平面平面． （2）在平面内，过作，建立空间直角坐标系 由题意有，设，