匪夷所思的数学实验
——布丰投针问题
把一根质量均匀的小棒向一个画了一些平行线的平面上随意地扔几千下,就能得到连一台计算能力比较强的计算机也要算上好长时间的有六个准确数字的
圆周率π的近似值,你相信吗?肯定有很多人不相信。事实上,确实有这样的数学实验。
1777年的一天,法国的博物学家C·布丰伯爵的家里宾客满堂,他们是应主人的邀请来观看一次奇特的试验的。
年已古稀的布丰拿出一张纸来,纸上预先画好了一条条等距离的平行线。他又拿出一大把准备好的小针,这些小针都是平行线间距离的一半。布丰先生宣布:“请诸位把这些小针一根一根地往纸上扔吧!不过,请大家务必把针与纸上的线相交的次数告诉我。”
客人们遵照主人的意愿,加入了试验的行列。一把小针扔完了,把它们捡起来再扔,布丰则把小针与平行线相交的次数记了下来。实验进行了将近一个小时才结束。布丰先生高声宣布:“先生们,我这里记录了诸位刚才的投针结果,共投针2212次,其中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数704的比值为3. 142。”停了一下,布丰先生继续说:“先生们,这就是圆周率π的近似值!”
布丰1777年出版了一本名叫《或然性的算术试验》,在这本书,他介绍了著名的“投针实验”:
在一个水平面上画上一些平行线,使它们相邻两条直线之间的距离都为a,然后,把一个长为l(l 。 这就是著名的布丰公式。如果小针的长度等于a,那么当n相当大时有。 这样,只需实际去进行大量次数的这样的实验,并计算有利的次数,就可以通过上面的公式求出π的近似值。扔的次数越多,由此能求出越为精确的π的值。这就是利用概率求π值的方法。 后来有不少人按照布丰设计的方法来计算π值。1901年,意大利数学家拉兹瑞尼宣称进行了多次投针试验,每次投针数为3408次,平均相交数为2169. 6次,代入布丰公式,求得π≈3.1415929——准确到小数后六位。但是,由于这一结果远远佳于其他的实验者所得出的结果,因此,不管拉兹瑞尼是否实际上投过针,他的实验还是受到了美国犹他州奥格登国立韦伯大学的L·巴杰的质疑。但多数人鉴于拉兹瑞尼一生勤勉谨慎,认为他确实是“碰上了好运气”。事实究竟如何,现已无从查考。 值得一提的是,利用布丰公式,我们还可以设计出求、、等数的近似值的投针试验来!爱动脑筋的读者朋友,难道你不想试一试吗? 【附录】 一、【布丰公式的证明】 找一根铁丝弯成一个圆圈,使其直径恰好等于平行线间的距离a。可以想象得到,对于这样的圆圈来说,不管怎么扔下,都将和平行线有两个交点。因此,如果圆圈扔下的次数为n,那么相交的交点数必为2n。 现在把圆圈拉直,变成一条长为πa的铁丝。显然,这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂得多,可能有4个交点,3个交点,2个交点,1个交点,甚至于没有交点。 由于圆圈和直线的长度同为πa,根据机会均等的原理,当它们投掷次数较多,且相等时,两者与平行线组交点的总数可望也是一样的。这就是说,当长为πa的铁丝扔下n次时,与平行线相交的交点总数应大致为2n。 现在讨论铁丝长为l的情形。当投掷次数n增大的时候,这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与长度l成正比,因而有:m=kl,式中k是比例系数。 为了求出k来,只需注意到,对于l=πa的特殊情形,有m=2n。于是求得。代入前式就有 m≈。 从而π≈。 这,就是著名的布丰公式。 二、【数学符号的创用】 “+”、“-”、“×”、“÷”等是现今我们很熟悉的数学符号,可是在古代,无论是埃及、希腊,还是我国都没有系统的数学符号。数学命题和各种定义、定理、法则都靠语言和文字来表述,所以古代数学和现代数学相比,这种叙述显然十分冗长和繁琐。 现在人们通用的一些数学符号,大多数是在十四~十七世纪之间逐渐被人们所选定运用的。 在十五世纪,人们最先使用的加和减的符号分别是p和m,这时德国商人用“+”和“-”的记号,表示重量的增加和差缺,很快的,这“+”、“-”便为数学家所用。数学史上记载,“+”号的创造者是德国数学家魏德曼,他在一条横线上加一竖,表示增加。“-”号也是魏德曼创造的,他从加号中减去竖,表示减少,他在1489年于莱比锡出版的《简算和速算》一书中采用了这种记法。实际上魏德曼是借用了德国商人的记法。“×”号的创造者是英国数学家奥特雷德,他在1631年出版的《数学之钥》中,第一次用“×”号作为乘号,意思是表示增加的另一种方法。1698年,德国数学家莱布尼兹在一封信中提出用圆点“·”表示乘,以避免“×”和字母“x”相混淆,以后,用“·”表示乘号逐渐流行,至今,两种用法依然共存。“÷”号的创造者是瑞士人雷恩,1659年在他出版的一本代数书中最早用它作除法记号,所以“÷”号称为雷恩记号。1 684年,莱布尼兹在一篇论文中第一次使用冒号“:”作为除号,后来也逐渐通用,目前,英美用“÷”与欧洲大陆用“:”并存。 头一个用“±”表示加减意义的是法国人吉拉尔于1626年,但应用时在“+”和“-”之间加了一个“ou”,单独用“±”表示现代意义的第一个人是英国的奥特雷德,用于1631年出版的《数学之钥》。 一开始,表示相等的符号各不相同,在十六世纪,韦达先是用一个词,而后又用符号“~”表示相等。笛卡尔则倾向于用符号“∝”表示相等。“=”的创造者是十六世纪英国数学家莱克德,他认为世界上再也没有比两条平行而又相等的直线相同的了,所以用它来表示相等。 不等符号“>”和“<”是英国哈里奥特首创的。 幂“a2、a3、…”是由法国数学家笛卡尔在1637年创造的。平方根号“” 由德国数学家鲁道夫1525年创造并使用。各种类型的括号大约都是在十六~十七世纪初起用的。 数学的符号、记号是经过长期发展而形成的,大都不是某一个人突然发明的。历史上曾经出现过五花八门的符号,最后才被大家选定一些作为公认的符号。 以上数学符号大都在十九世纪60年代才传入我国。人们很难想象,没有“+”、“0”这些符号,及其它人们认定的记号,我们怎么去从事数学问题的研究。同样的,实现这种几个世纪的演化而能为人们所普遍接受,也是极为艰难的! 布丰投针 作者:张碧桦日期:2004-03-19 09:14 · 同学们听说过“布丰投针”实验吗?没错,18世纪后期,法国数学家布丰在研究概率论的过程中,发现圆周率的近似值竟与某种实验相关,这种实验就是“布丰投针“实验。 · [问题一]先画一组等距平行线,假设平行线之间的距离是A厘米,准备N根长度为A/2厘米的小棒,随意向平行线扔去,统计出小棒与平行线之间有什么联系呢? · 首先,我找来了10根小棒,量得棒长约为7.4厘米,根据题意,我在纸面上画了一组等距平行线,之间的距离为2A=14.8厘米。接着将纸置于较远的地面,把小棒随意扔出。刚开始,小棒较多的落在纸面上,由于激烈地震动,几根小棒滑落出来,我走近纸面,清点出共有3根小棒与平行线相交。10与3?这有什么关系?我不禁云里雾里。于是,又进行了几次相同的实验,分别用11根、8根等比较,发现了小棒根数与相交根数比值总在3左右!是的,发现了吗?随着小棒根数的不断增加,比值越来越接近于3.1415926……想起来了吗?这正是圆周率! · 这个数学小实验让我发现了数学是一门严谨的学问,它的奥秘需要我们去探索,直至发现新的知识点。因此数学和生活是密切相关的! · [问题二]如果小棒长度不是A/2厘米,而是A厘米,那最后的结果会不会是2个圆周率? · 我是这样想的,A不变小棒距离扩大2倍,值也应该扩大2倍啊!但是理论出自实践,我还是决定自己亲自动手试试!为了便捷我将A=14.8厘米,缩为7.4厘米再次试了试!结果果然在我的意料之中!看来,每做一道题目,不仅要学会做原题,还要会变通,会挖掘新的知识!于是,我整理出实验过程,制成了表格。(如下) 布丰投针实验实验过程实验结果我的结论准备N根长度为A/2厘米的小棒,一组距离为A厘米的等距平行线。小棒的根数和与平行线相交的根数比值在3.1415926……左右!数学需要不断去探索和挖掘新的知识! 布丰投针实验“续集” 实验过程实验结果我的结论准备N根长度为A的平行线!一组等距平行线之间的距离为A,投掷小棒的根数与相交的根数,比值为2*3.1415926…… 学数学,不仅要学好原题,还要敢于发现新知识! · 我喜爱数学,喜爱严谨而有趣味的数学! 18世纪,法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”,记载于布丰1777年出版的著作中:“在平面上画有一组间距为d的平行线,将一根长度为l(l p=2l/(∏d) ∏为圆周率(找不到符号了) 利用这个公式可以用概率的方法得到圆周率的近似值。下面是一些资料 实验者年代投掷次数相交次数圆周率估计值 沃尔夫1850 5000 2531 3.1596 史密斯1855 3204 1219 3.1554 德摩根1680 600 383 3.137 福克斯1884 1030 489 3.1595 拉泽里尼1901 3408 1808 3.1415929 赖纳1925 2520 859 3.1795 布丰投针实验是第一个用几何形式表达概率问题的例子,他首次使用随机实验处理确定性数学问题,为概率论的发展起到一定的推动作用。 像投针实验一样,用通过概率实验所求的概率来估计我们感兴趣的一个量,这样的方法称为蒙特卡罗方法(Monte Carlo method)。蒙特卡罗方法是在第二次世界大战期间随着计算机的诞生而兴起和发展起来的。这种方法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生态学、社会学以及经济行为等领域中得到广泛利用。 系统建模与仿真题目:Buffon实验的仿真 院系: 电子工程学院 专业:信息对抗技术 班级:021231 姓名:余颖智 学号:02123021 指导老师:刘洋 完成时间:2015年4月 西安电子科技大学 基于MATLAB的投针实验仿真 摘要 在求证圆周率的过程中经过割圆术后,出现的投针试验以求出圆周率,目前利用MATLAB数学建模的仿真实验,运用到计算机中,简化其随机实验的操作量大,运算慢等特点。不同针距相同实验量运算后得出不同的π,其针距与线间距离相等,所得值接近于π。 目录 摘要 (2) 二、实验内容 (4) 三、建模流程图 (5) 四、程序主要代码 (6) 五、运行结果 (6) 六、结论 (7) 一、实验原理 1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法,即著名的布丰投针问题。该投针实验主要有如下三个步骤:(一)取一张白纸,在上面画许多条间距为a的平行线;(二)取一根长度为l(l 三、建模流程图 四、程序主要代码 str(handles.edit1,'string'); %取得变量,定义变量,变量初始化 n = str2double(str); str = get(handles.edit2,'string'); l = str2double(str); str = get(handles.edit3,'string'); a = str2double(str); counter = 0; %变量初始化 phi = 0; frequency = 0; Pi = 0; x = unifrnd(0,a/2,1,n);%产生n个(0,a/2)之间均匀分布的随机数,这里a/2是投针的中点到最近的平行线的距离 phi = unifrnd(0,pi,1,n);% 产生n个(0,pi)之间均匀分布的随机数,这里pi是投针与最近平行线的角度 for i=1:n if x(i) 系统建模与仿真 基于MATLAB的布丰实验模拟 姓名:石星宇 学号: 02123010 指导教师:刘洋 2015年4月9日 目录 基于MATLAB的布丰实验模拟 .................................................................... - 1 - 一、实验原理......................................................................................... - 1 - 二、编程模拟......................................................................................... - 1 - 1、程序流程图............................................................................... - 1 - 2、程序代码................................................................................... - 2 - 三、实验结果......................................................................................... - 2 - 基于MATLAB 的布丰实验模拟 一、实验原理 找一根铁丝弯成一个圆圈,使其直径恰恰等于平行线间的距离a 。可以想象得到,对于这样的圆圈来说,不管怎么扔下,都将和平行线有两个交点。因此,如果圆圈扔下的次数为n 次,那么相交的交点总数必为n 2。现在设想把圆圈拉直,变成一条长为a π的铁丝。显然,这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些,可能有4个交点,3个交点,2个交点,1个交点,甚至于都不相交。由于圆圈和直线的长度同为a π,根据机会均等的原理(即等概率事件),当它们投掷次数较多,且相等时,两者与平行线组交点的总数期望也是一样的。这就是说,当长为a π的铁丝扔下n 次时,与平行线相交的交点总数应大致为n 2。现在转而讨论铁丝长为l 的情形。当投掷次数n 增大的时候,这种铁丝跟平行线相交的交点总数k 应当与长度l 成正比,因而有:l k λ=,式中λ是比例系数。为了求出λ来,只需注意到,对于a l π=的特殊情形,有n k 2=。于是求得a n πλ2=。代入前式就有:a m πln 2≈从而ak nl 2≈π。 二、编程模拟 1、程序流程图 参数初始化 产生位置随机数; 产生角度随机数 判断相交 1+=k k 1+=n n 是 否 判断结束 蒲丰氏投针问题的模拟过程,随机数发生器也是自编的,以供大家参考和提出建议。谢谢。(seed1和seed2最好选择3和5,为了使投针次数达到1000000,CVF进行如下设置Project->settings->link-> output,将stack allocations reserve:设为1000000000) program getpi implicit none real,parameter::a=5,L=4,pi=3.14159 integer::n1,i,counter=0 real,allocatable::R1(:),R2(:) real::theta,x,pi1 write(*,*) 'input the size of the array:' read(*,*) n1 allocate(R1(n1)) allocate(R2(n1)) call random(n1,R1,R2) do i=1,n1 x=a*(2*R1(i)-1) theta=pi*R2(i) if(abs(x) 公元1777年的一天,法国科学家D·布丰(D·buffon,1707~1788)的家里宾客满堂,原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的. 试验开始,但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来,纸上预先画好了一条条等距离的平行线.接着他又抓出一大把原先准备好的小针,这些小针的长度都是平行线间距离的一半.然后布丰先生宣布:“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧!不过,请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我.” 客人们不知布丰先生要干什么,只好客随主意,一个个加入了试验的行列.一把小针扔完了,把它捡起来又扔.而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着,如此这般地忙碌了将近一个钟头.最后,布丰先生高声宣布:“先生们,我这里记录了诸位刚才的投针结果,共投针2212次,其中与平行线相交的有704次.总数2212与相交数704的比值为3.142.”说到这里,布丰先生故意停了停,并对大家报以神秘的一笑,接着有意提高声调说:“先生们,这就是圆周率π的近似值!” 众宾哗然,一时议论纷纷,个个感到莫名其妙;“圆周率π?这可是与圆半点也不沾边的呀!” 布丰先生似乎猜透了大家的心思,得意洋洋地解释道:“诸位,这里用的是概率的原理,如果大家有耐心的话,再增加投针的次数,还能得到π的更精确的近似值.不过,要想弄清其间的道理,只好请大家去看敝人的新作了.”随着布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书. π在这种纷纭杂乱的场合出现,实在是出乎人们的意料,然而它却是千真万确的事实.由于投针试验的问题,是布丰先生最先提出的,所以数学史上就称它为布丰问题.布丰得出的一般结果是:如果纸上两平行线间相距为d,小针长为l,投针的次数为n,所投的 针当中与平行线相交的次数是m,那么当n相当大时有:π≈2ln dm .在上面故事中,针长l 等于平行线距离d的一半,可以代入上面公式简化.我想,喜欢思考的读者一定想知道布丰先生投针试验的原理,下面就是一个简单而巧妙的证明. 找一根铁丝弯成一个圆圈,使其直径恰恰等于平行线间的距离d.可以想象得到,对于这样的圆圈来说,不管怎么扔下,都将和平行线有两个交点.因此,如果圆圈扔下的次数为n次,那么相交的交点总数必为2n. 现在设想把圆圈拉直,变成一条长为πd的铁丝.显然,这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些,可能有4个交点,3个交点,2个交点,1个交点,甚至于都不相交. 由于圆圈和直线的长度同为πd,根据机会均等的原理,当它们投掷次数较多且相等时,两者与平行线组交点的总数可望是一样的.这就是说,当长为πd的铁丝扔下n次时,与平 概率论与数理统计实验 蒲丰投针与蒙特卡罗法 班级应数12级01班 学号2012444086 姓名张旭东 蒲丰投针与蒙特卡罗法 张旭东2012444086 (重庆科技学院数学与应用数学,重庆沙坪坝) 【摘要】通过设计一个投针实验使这个事件的概率和未知量π有关,然后通过重复实验,以频率估计概率,即可求得未知参数π的近似解。这种方法称为随机模拟法,也称为蒙特卡罗法。一般来说,实验次数越多所得的近似值就越接近真值。可以利用MATLAB来大量重复地模拟所设计的随机实验。 【关键词】随机模拟;投针实验;重复实验 1 引言 蒲丰投针问题是由法国科学家蒲丰(Buffon)在1777年提出的,它是概率中非常有代表性的问题,它是第一个用几何形式表达概率问题的例子,其结论具有很强的理论与实际意义。蒲丰针问题的解决不仅较典型的反应了集合概率的特征及处理方法,而且还可以由此领略到从“概率土壤”上开出的一朵瑰丽的鲜花——蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法。 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法,也称计算机模拟方法,是一种基于“随机数”的计算方法,大数定律为近年来发展迅速的随机计算机和随机模拟方法提供了理论基础。 MATLAB是一个适合多学科,具有多种工作平台的功能强大的大型软件。MATLAB已经成为线性代数、自动控制理论、数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等高级课程的进本教学工具,Matlab随机数发生器的种类丰富且用法简便。 本文介绍了利用随机模拟方法和大数定律的相关理论解决蒲丰投针问题计算π的近似值。 2 有关数学实验的有关基础 定理(贝努力大数定律) 设n μ是n 重贝努力实验中事件A 出现的次数,P 是事件A 每次实验中出现的概率,即P(A)=p,则对任意的 ε>0,有 3 实验 蒲丰投针问题 在平面上画有等距离的一些平行线,平行线间的距离为a(a>0),向平面上随机投一长为l(l 蒲丰投针问题 1.蒲丰简介 蒲丰有的时候翻译成布丰,是18世纪法国著名 的博物学家。他喜欢研究数学和生物学。主要的贡献 有:(1)翻译了牛顿的《流数法》,流数法按现在的 说法就叫微积分。(2)写了一本巨著,这部巨著的名 字叫《自然史》,因为他特别喜欢研究生物。这个自 然史一共有44卷,其中他生前写了36卷,后来他学 生又完成了。这本书对后来的世界有很大的影响,尤 其影响到一个人叫达尔文,所以蒲丰这个人其实是很 厉害的。 2.蒲丰投针 1777年,在蒲丰晚年的时候,他有一次举行了一 个家庭宴会。邀请了一大堆他的朋友来帮他做实验。 做什么实验呢,就“投针”。那朋友来了之后发现,就 是桌子上有很多根间距相等的平行线。然后蒲丰就说 了,给你们同样大的针,你把这些针随机扔到这个桌子上。然后宾客就随便扔吗,有可能这样,有可能 这样……,随便扔是吧,这都有可能,什么情况都 有可能。有的针就没有跟平行线相交,比如这个, 这个,这个,就没有相交,也有相交的,比如这个, 这个,这个,这是相交的,对吧,然后他就数,他 说这个针一共投了多少个呢?一共投了n =2212个。 其中与这个平行线相交的针有多少 个,数了一下有m =704个。然后他说, 我现在可以计算圆周率了,别人都不 信,他说你看我圆周率怎么算,我只 要把这两个数相除就行了。我用n 除 以m ,这个数除完了大概是3.142,这个就是圆周率了。别人说好神奇,这怎么回事儿,蒲丰说我给你解释解释这个原理是什么?其实这个原理并不复杂,我们来看一下它的原理是什么。 3. 蒲丰投针原理 (1)首先,它这个平行线是严格平行的,那平行线之间的距离是固定的,是a 。然后我随意地把一根针投上去,也许相交,也许不相交,这不一定。比如说这个针投上去了,投上去了之后,针的总长是b ,针有一个中点叫M ,对吧,这个M 到它比较近的平行线之间的距离我们设为x ,大家注意,这个是针的中点到比较近的平行线的距离是x ,所以我们应该知道x 的范围。x 的最小值就是这个终点正好落在平行线上,那最小值是0,对吧。最大值就 是针的中点正好在两条平行线中间,那最大值是a 2 ,不会再大了。因为我这个x 的定义是针的终点到比较近的平行线的距离,对吧!所以x ∈[0,a 2 ]。 (2)其次就是我想知道这个针与这个平行线的夹角是多少?令夹角为α,α的范围是什么呢,如果你完全跟这个平行线平行的话,那么这个夹角是00,对吧。如果你往上竖过来,基于MATLAB的布丰投针实验仿真
布丰投针实验模拟
蒲丰氏投针问题的模拟过程
苏科版-数学-九年级上册-知识拓展 布丰的投针试验
蒲丰投针实验模拟
蒲丰投针问题
Buffon投针实验的理论证明