天体质量的计算方法(万有引力理论的成就)

万有引力理论的成就之天体的计算方法

一、计算天体的质量基本思路

1．地球质量的计算

利用地球表面的物体，若不考虑地球自转，质量为m 的物体的重力等于地球对物体的

万有引力，即mg ＝GMm R 2，则M ＝gR 2G ，由于g 、R 已经测出，因此可计算出地球的质量．

2．太阳质量的计算

利用某一行星：由于行星绕太阳的运动，可看做匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引

力充当向心力，即G Mm r 2＝m ω2r ，而ω＝2πT ，则可以通过测出行星绕太阳运转的周期和轨

道半径，得到太阳质量M ＝4π2r 3

GT 2.

3．其他行星质量的计算

利用绕行星运转的卫星，若测出该卫星绕行星运转的周期和轨道半径同样可得出行星的质量．

二、计算天体的质量具体方法

1．“称量”地球的质量

如果不考虑地球自转的影响，地球上的物体所受重力等于地球对它的万有引力．

由万有引力定律mg ＝GMm R 2

得M ＝gR 2G ，其中g 为地球表面的重力加速度，R 为地球半径，G 为万有引力常量． 从而得到地球质量M ＝5.96×1024 kg .

通过上面的过程我们可以计算地球的质量，通过其它的方法，或者说已知另外的一些条件能否测出地球质量．

2．天体质量计算的几种方法

(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，半径为r ，根据万有引力等于向心力，即GM 地·m 月r 2＝m 月r ⎝⎛⎭⎫2πT 2，可求得地球质量M 地＝4π2r 3GT 2.

(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r 和月球运动的线速度v ，由于地球对月球

的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得

G M 地·m 月r 2＝m 月v 2r .

解得地球的质量为M 地＝rv 2/G.

(3)若已知月球运行的线速度v 和运行周期T ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得

G M 地·m 月r 2＝m 月·v ·2πT .

G M 地·m 月r 2＝m 月v 2r .

以上两式消去r ，解得

M 地＝v 3T/(2πG)．

(4)若已知地球的半径R 和地球表面的重力加速度g ，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得

mg ＝G M 地·m R 2，

解得地球质量为M 地＝R 2g G .

由以上论述可知，在万有引力定律这一章中，求天体质量的方法主要有两种：一种方法

是根据天体表面的重力加速度来求天体质量，即g ＝G M R 2，则M ＝gR 2G ，另一种方法是根据天体的圆周运动，即根据天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，列出方程：

G Mm r 2＝m 4π2T 2r ＝m v 2r ＝m ω2r 来求得质量M ＝4π2r 3GT 2＝v 2r G ＝ω2r 3G

用第二种方法只能求出圆心处天体质量(即中心天体)．

3．天体密度的计算

(1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度．

由mg ＝GMm R 2和M ＝ρ·43πR 3，

得ρ＝3g 4πGR .

其中g 为天体表面重力加速度，R 为天体半径．

(2)利用天体的卫星来求天体的密度．

设卫星绕天体运动的轨道半径为r ，周期为T ，天体半径为R ，则可列出方程：

G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，M ＝ρ·43πR 3，

得ρ＝M

43πR 3＝4π2r 3/GT 243πR 3＝3πr 3

GT 2R 3.

当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度为：

ρ＝3πGT 2.

名师点拨：在已知重力加速度求天体质量或密度时，通常可以利用重力等于万有引力，重力就是环绕天体运动的向心力以及圆周运动的规律求解．

名师点拨：在行星表面的物体的重力等于行星对它的万有引力，在行星附近飞行的飞船，由万有引力提供其做圆周运动的向心力．

【学霸笔记】物理必修二6.4万有引力理论的成就

第四节 万有引力理论的成就 一、天体质量的求解 1、思路一：“地上公式”法（亦称为自力更生法） 已知中心天体的半径R 和中心天体的重力加速度g ：；，G g R M mg R GMm 22== 2、思路二：“天上公式”法（亦称为借助外援法） ①已知中心天体匀速圆周运动的周期T 、轨道半径r 、 ；，）、、（23 222244:GT r M r T m r GMm R r T ππ== ②已知中心天体匀速圆周运动的线速度v 、轨道半径r 、 ；，）、、（G r v M r v m r GMm R r v 222:== ③中心天体匀速圆周运动的线速度v 、公转周期T 、 ；，，）、、（G T v M T v r v m r GMm R T v ππ22:322=== 3、说明： ①环绕天体的质量只能给出不能求出。 ②要想求某天体的质量只能将其作为中心天体来研究。 ③求中心天体质量的几种情景。 A 已知环绕天体的轨道半径、线速度、周期（线速度、频率）中的任意两个。 B 已知中心天体的重力加速度和半径。 二、天体密度的求解 1、思路一：“地上公式”法 已知中心天体的半径R 和中心天体的重力加速度g ： GR g R V G g R M mg R GMm R g πρπ4334:322====，；，）、（ 2、思路二：“天上公式”法 ①已知中心天体匀速圆周运动的周期T 、轨道半径r 、天体半径为R 3 23 323222233444:R GT r R V GT r M r T m r GMm R r T πρπππ====，；，）、、（ 特别注意：吐过卫星绕天体表面运行时，天体密度ρ＝3πGT 2 ，即只要测出卫星环绕天体表面运动周期T ，就可算中心天体的密度。 ②已知中心天体匀速圆周运动的线速度v 、轨道半径r 、天体半径为R 3 232224334:GR r v R V G r v M r v m r GMm R r v πρπ====，；，）、、（ ③中心天体匀速圆周运动的线速度v 、公转周期T 、天体半径为R 3 23322833422:GR T v R V G T v M T v r v m r GMm R T v πρπππ=====，；，，）、、（

万有引力理论的成就(最新教案)

万有引力理论的成就

一、“称量”地球的质量 上一节我们学习了万有引力定律：，这一节我们就来学习怎样利用它来算出下面地球的质量。 思考讨论：计算地球的质量时，我们应选择哪个物体作为研究对象？运用哪些物理规律？需要忽略的次要因素是什么？ 出示图片：地球 如图以地球表面物体为研究对象，物体m 在纬度为θ的位置，万有引力指向地心，它可分解为两个分力：m 随地球自转围绕地轴运动的向心力Fn 和重力G 。 实际上随地球自转的物体向心力远小于重力，在忽略自转的影响下万有引力大小近似等于重力大小。 2 2 1r m m G =F

1、计算地球质量 不考虑地球自转的影响，地面上质量为m 的物体所受的重力mg 等于地球对物体的引力，即： m 地是地球的质量；R 是地球的半径，也就是物体到地心的距离。由此解出： 已知重力加速度g=9．8m/s 2，地球半径R=6．4×106m ，引力常量G=6．67×10-11N·m 2/kg 2，试估算地球的质量。 解： 答：地球的质量约为6×1024kg 地面的重力加速度g 和地球半径R 在卡文迪什之前就已知道，一旦测得引力常量G ，就可以算出地球的质量m 地。因此，卡文迪什把他自己的实验说成是“称量地球的重量”。 出示图片：卡文迪什 二、计算天体的质量 应用万有引力可算出地球的质量，能否算出太阳的质量呢？ 1、基本思路 （1）简化模型：将行星绕太阳的运动看成是匀 2R mm G =mg 地 G R g = m 2 地kg 10×6=kg 10×67.610×4.6×8.9=G R g =m 2411 -2 62）（地

高一物理必修二第六章 4 万有引力理论的成就---学生版

4 万有引力理论的成就--学生版 [学习目标] 1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.2.了解“称量地球质量”“计算太阳质量”的基本思路，会用万有引力定律计算天体的质量.3.理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法. 一、计算天体的质量 1.地球的质量 (1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的万有引力. (2)关系式：mg ＝G Mm R 2. (3)结果：M ＝gR 2 G ，只要知道g 、R 、G 的值，就可计算出地球的质量. 2.太阳的质量 (1)思路：质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力. (2)关系式：GMm r 2＝m 4π2 T 2r . (3)结论：M ＝4π2r 3 GT 2，只要知道引力常量G 、行星绕太阳运动的周期T 和轨道半径r 就可以计 算出太阳的质量. (4)推广：若已知引力常量G 、卫星绕行星运动的周期T 和卫星与行星之间的距离r ，可计算出行星的质量M . 二、发现未知天体 1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星. 2.其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体.

判断下列说法的正误. (1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力.( ) (2)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的轨道半径，则可以求出太阳的质量.( ) (3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量.( ) (4)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性.( ) 一、天体质量和密度的计算 1.卡文迪许在实验室测出了引力常量G 的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”. (1)他“称量”的依据是什么？ (2)若已知地球表面重力加速度g ，地球半径R ，引力常量G ，求地球的质量和密度. 2.如果知道地球绕太阳的公转周期T 和它与太阳的距离r ，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？ 天体质量和密度的计算方法 重力加速度法 环绕法 情景 已知天体(如地球)的半径R 和天体(如地球) 表面的重力加速度g 行星或卫星绕中心 天体做匀速圆周运动 思路 物体在表面的重力近似等于天体(如地球)与 物体间的万有引力：mg ＝G Mm R 2 行星或卫星受到的万有 引力充当向心力：G Mm r 2＝

6.4万有引力的理论成就导学案(人教版)

§6.4万有引力理论的成就 【学习目标】 1、了解万有引力定律在天文学上的重要应用。 2、会用万有引力定律计算天体质量，了解“称量地球质量”“计算太阳质量”的基本思路。 3、认识万有引力定律的科学成就，体会科学思想方法。 [课前部分] 阅读教材，完成以下预习提示的问题。 1．回顾万有引力定律的内容和公式。 2．卡文迪许为什么能把自己的实验说成是“称量地球的重量”？3．如何称量太阳的质量？ 4．应用万有引力定律除可估算天体质量外，还可以在天文学上有何应用？ [课堂部分] 活动1：实验室称量地球的质量 【方法引导】求天体质量的方法一：是根据重力加速度求天体质量,即引力=重力mg=GMm/R2 1．不考虑地球自转的影响，试推导出地球质量的表达式，说明卡文迪许为什么能把自己的实验说成是“称量地球的重量”？ 2．用此方法如何求地球的密度？（球体体积V= ） 3．黄金代换公式 活动2、计算中心天体的质量 （阅读教材“天体质量的计算”部分的内容，同时考虑下列问题） 【方法引导】求天体质量的方法二：是根据天体的圆周运动,即其向心力由万有引力提供, 1、应用万有引力定律求解中心天体质量的基本思路是什么? 2、根据环绕天体的运动情况求解其向心加速度有几种求法?

3、应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力求出的天体质量有几种表达式?各是什么?各有什么特点? 4、应用此方法能否求出环绕天体的质量?为什么？ 5．如何求中心天体的密度？（球体体积V= ） 活动3、发现未知天体 (请同学们阅读课文“发现未知天体”部分的内容，考虑以下问题) 1、应用万有引力定律除可估算天体质量外，还可以在天文学上有何应用？ 2、应用万有引力定律发现了哪些行星？ 3、怎样应用万有引力定律来发现未知天体的?发表你的看法。（交流讨论） 【小结填空】 1、天体质量和密度 （1）（忽略天体自转的影响）由万有引力近似等于重力： 若已知天体的半径为R和该天体表面的重力加速度g，则有 =mg， 解得该天体的质量M= ；密度ρ= 。 (2)由万有引力提供向心力： ①若已知行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动的轨道半径为r和运行的线速度为V， 根据= ，解得中心天体的质量M= ；密度 ρ= 若行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动的轨道为近地轨道，即r≈ , 则密度ρ= 。 ②若已知行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动的轨道半径为r和运行的

高中物理必修2学案word版含答案2

第4节 万有引力理论的成就 学习目标 核心提炼 1.了解万有引力定律在天文学上的应用。 2个应用——测天体质量、发现未知天体 1个基本思路——万有引力提供向心力 2个重要关系—— ⎣⎢⎢⎡G Mm R 2＝mg G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2 r ＝m 4π2T 2r 2.会用万有引力定律计算天体的质量和密度。 3.掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法。 一、天体质量的计算 阅读教材第41～42页“科学真是迷人”及“计算天体的质量”部分，知道利用g 、R 和G 计算地球质量的方法，知道利用T 、r 和G 计算太阳质量的方法。 1．地球质量的计算 (1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力。 (2)关系式：mg ＝G Mm R 2。 (3)结果：M ＝gR 2 G ，只要知道g 、R 、G 的值，就可计算出地球的质量。 2．太阳质量的计算 (1)思路：质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力提供向心力。 (2)关系式：G Mm r 2＝m 4π2T 2r 。 (3)结论：M ＝4π2r 3 GT 2，只要知道行星绕太阳运动的周期T 和半径r 就可以计算出太阳的质量。 (4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期T 和卫星与行星之间的距离r ，可计算行星的质量M ，公式是M ＝4π2r 3GT 2。 思维拓展 如图1所示是卡文迪许测量引力常量的示意图。卡文迪许在实验室里测量几个铅球之间的作用力，测出了引力常量G 的值，从而“称量”出了地球的质量。

图1 (1)卡文迪许测出G后，他是怎样“称量”地球的质量的呢？ (2)已知地面附近的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，试估算地球的质量。 答案(1)在地球表面，物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，即mg＝G mM R2，解 得地球的质量M＝gR2 G，只要测出G、g、R来，便可“称量”地球的质量。 (2)M＝gR2 G＝ 9.8×（6.4×106）2 6.67×10－11 kg≈6.0×1024 kg。 二、发现未知天体 阅读教材第42～43页“发现未知天体”部分，知道发现未知天体的几个史实及所用到的理论依据。 1．海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。 2．其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。 思考判断 1．天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。(×) 2．海王星的发现确立了万有引力定律的地位。(√) 3．牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。(×) 预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中 问题1

万有引力理论的成就教案

7.3万有引力理论的成就 一．教学背景分析 本章前两节介绍了开普勒三大定律及万有引力定律，偏重理论，而这一节是前面两节特别是第二节的具体运用，偏重实践。 学生通过前两节的学习，已经初步掌握了有关天体运动的几大常用定律，对于定律的适用性也进行了不少的尝试，积累了一定的应用经验。 二．设计思路 从阿基米德的经典名言“给我一个支点，我能撬起整个地球”入手，探究我们能否用常规的办法来称量地球的质量？如果不能我们该如何称量地球的质量？从而引出在忽略地球自转的情况下，我们可以利用地球表面的物体所受到的重力等于其所受到的引力来推出地球质量的表达式，并将这个方法进一步推广到其他星球，即知道了某个星球表面的重力加速度和半径就可以推算出某个星球的质量。 接着提出疑问这个方法能否测量太阳的质量？我们能否知道太阳表面的重 力加速度？从而引出第二种称量天体质量的方法，即利用环绕天体做圆周运动时所需要的向心力有万有引力来提供。 在介绍完称量天体质量的方法后，紧接着再根据质量、体积、密度之间的关系推出天体密度的表达式。 最后简单介绍一下万有引力定律的其他应用。 三．教学目标 1.知识与技能 （1）掌握“称量”地球的质量、计算太阳的质量的基本思路，会用万有引力定律计算天体的质量，进而计算天体的密度。 （2）了解万有引力定律在天文学上有重要应用。 2.过程与方法 （1）通过计算地球的质量，让学生初步掌握在分析某些问题时可忽略次要因素的方法。 3.情感态度价值观 （1）通过介绍用万有引力定律发现未知天体的过程，使学生懂得理论来源于实

践，反过来又可以指导实践。 四．教学重难点 1.重点 （1）用万有引力计算天体的质量，进而计算天体密度。 2.难点 （1）根据已有条件求中心天体的质量。 五．教学课时 1课时 六．教学过程 1.导入新课 师:阿基米德曾经说过：“给我一个支点，我能撬起整个地球。”现在如果给你一个足够长的杠杆或足够大的天平你能称量地球的质量吗？那对于地球，我们该如何“称量”它的质量呢？ 2.新课讲授 师：我们可以利用万有引力定律来“称量”地球的质量。 师：通过上节课的学习我们知道，位于赤道上的物体其所需要的向心力是最大的，但和其所受到的重力相比较，向心力的大小是可以忽略不计的。所以在忽略地球自转的情况下，我们认为地球上的物体其所受到的重力等于地球对物体的引力。师：设地球质量为M、地球半径为R、地球表面重力加速度为g，地球上物体的质量为m，你能列出相应的方程吗？并由此推出地球质量的表达式吗？ 生： mg=G Mm R2 M=gR2 G 师：地面的重力加速度g和地球半径R在卡文迪什之前就已经知道，一旦测得引力常量G，就可以算出地球的质量。因此，卡文迪什把扭秤实验说成是“称量地球的重量”。 师：其实这个方法我们可以进一步推广，如果我们知道了某星球表面的重力加速度和星球半径，我们就可以算出该星球的质量。这种方法叫重力加速度法。师：某个星球的半径我们可以通过天文观测得到，那么该星球表面的重力加速度

万有引力理论的成就知识点

万有引力理论的成就知识点 万有引力理论是由英国物理学家牛顿于17世纪提出的，被誉为物理学史上的伟大成就之一、它描述了地球上任何两个物体之间的引力相互作用，并说明了这种引力如何影响天体的运动，以及宇宙中天体的分布和演化。在这篇文章中，我将详细介绍万有引力理论的成就，并提供一些相关的知识点以加深理解。 一、牛顿的贡献： 1.引力定律：牛顿提出了引力定律，即任何两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。这个定律可以用数学公式表示为F=G*(m1*m2)/r^2，其中F是引力，m1和m2分别是两个物体的质量，r是它们之间的距离，G是引力常数。 2.万有引力理论：牛顿根据引力定律推导出了万有引力理论，即地球上的万有引力与天体运动之间的关系。根据这个理论，地球上的物体受到地心引力的作用，而天空中的天体则遵循太阳引力的作用。牛顿还利用这个理论成功地阐述了行星和卫星的运动规律。 3.数学工具：为了解释和计算天体的运动，牛顿引入了微积分和微分方程等数学工具。他使用几何方法研究了天体运动的几何性质，并利用微积分的方法推导出了它们的运动方程。 二、通过万有引力理论测量地球质量与引力常数： 1.测量地球质量：牛顿利用万有引力理论提出了一种新的方法来测量地球的质量。他假设地球是一个规则的球体，并利用引力定律计算了重力加速度。然后，他利用观测到的物体在地球表面上自由下落的加速度，通

过公式g=G*(M/r^2)计算地球的质量M，其中g是重力加速度，r是物体 与地心的距离。 2.测量引力常数：利用万有引力理论，牛顿还尝试测量引力常数G的 数值。他设想用一个摆锤的实验来测量G，但由于当时实验条件的限制， 他没有能够得到准确的数值。然而，他的方法为后来的科学家提供了一个 重要的思路，进一步研究和测量引力常数。 三、应用万有引力理论解释天体运动： 1.行星运动：万有引力理论成功地解释了行星的运动。根据牛顿的理论，行星绕太阳运动的轨道是椭圆形状，并且根据行星的质量和距离可以 计算出它们的运动速度和周期。这一理论通过计算与观测相符，并为天文 学家提供了预测和研究行星运动的工具。 2.月球运动：万有引力理论也解释了月球绕地球的运动。它描述了月 球在地球引力作用下的椭圆轨道，以及月球的运动速度和周期。这一理论 为地质学家提供了工具，用于解释月球潮汐和地震等地球现象。 3.天体引力的逃逸速度：万有引力理论还可以用于计算天体逃逸速度，即克服引力的最小速度。根据牛顿的理论，如果物体的速度大于逃逸速度，它将能够离开天体的引力束缚，进入宇宙空间。这个概念在航天探索中起 着重要作用，用于计算火箭的离地速度和太空飞船的轨道。 综上所述，万有引力理论在物理学和天文学领域有着重要的成就。它 提供了解释和计算天体运动的数学模型，帮助人们理解了宇宙的运动规律，并为测量地球质量和天体引力常数提供了方法。这个理论不仅在牛顿时代 具有重大影响，而且在现代科学中仍然被广泛应用和研究。

万有引力理论的成就-精品学案

万有引力理论的成就 【学习目标】 1．了解万有引力定律在天文学上的重要应用。 2．会用万有引力定律计算天体质量。 3．理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路和方法。 【学习重难点】 1．是利用万有引力等于重力来计算天体的质量。 2．重点亦是难点，即要让学生知道行星绕太阳的运动的向心力是由万有引力提供的。并 能够利用万有引力定律和圆周运动的规律来计算太阳的质量，再由此迁移发散到各中天体质量 的计算。 【学习过程】 一、自主学习 1．怎样在实验室“称量”地球的质量？ 2．怎样根据地球绕太阳运动的周期和轨道半径计算太阳的质量？ 3．万有引力定律在发现未知天体上有哪些成就？ 二、计算天体的质量 1．在实验室“称量”地球的质量： [说一说]：卡文迪许为什么把自己测定引力常量G的实验说成是“称量地球的重量”？ [试一试]：“称量”地球质量的原理公式是，需知的条件一共有三个分别 是、、，地球质量的表达式为M= ，其数值为M= Kg。 [想一想]：能不能用此方法“称量”月球的质量？ 2．计算太阳的质量： [试一试]：计算太阳质量的原理公式是，需知的条件

有 、 、 ，太阳质量的表达式为M= ，其数值为M= Kg 。 [思考与讨论]： ①行星绕太阳运动时轨道半径的三次方与公转周期的平方的比值k 跟什么因素有关？ ②在什么情况下用此方法计算天体的质量？计算出的是运行天体的质量还是中心天体的质量？ ③能不能用此方法计算地球的质量？ [想一想]：如果把天体看作质量分布均匀的球体，怎样计算天体的密度？ 三、计算天体的重力加速度 [说一说]：计算天体的重力加速度的原理公式是 ，重力加速度的表达式g= 。 四、发现未知天体 [说一说]：根据万有引力定律，人们发现了太阳的行星 、 ，还计算了一颗著名彗星,彗星的轨道并正确预言了它的回归。 五、合作学习 〖例1〗地球绕太阳公转的轨道半径是R 1，周期是T 1，月球绕地球运转的轨道半径是R 2，周期是T 2，则太阳质量与地球质量之比是（ ） A ． 22322131T R T R B ．21322231T R T R C ．21222221T R T R D ．32 223 121T R T R 〖例2〗假设火星和地球都是球体，火星的质量M1与地球质量M²之比2 1 M M = p ；火星的半 径R 1与地球的半径R 2之比2 1 R R = q ，那么火星表面的引力加速度g 1与地球表面的重力加速度g 2 之比为（ ） A ． 2 q p B ．p q ² C ．q p D ．pq 【达标检测】

天体质量的计算方法(万有引力理论的成就)

万有引力理论的成就之天体的计算方法 一、计算天体的质量基本思路 1．地球质量的计算 利用地球表面的物体，若不考虑地球自转，质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有引力,即mg＝错误!，则M＝错误!，由于g、R已经测出，因此可计算出地球的质量． 2．太阳质量的计算 利用某一行星：由于行星绕太阳的运动，可看做匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G错误!＝mω2r，而ω＝错误!，则可以通过测出行星绕太阳运转的周期和轨道半径，得到太阳质量M＝错误!。 3．其他行星质量的计算 利用绕行星运转的卫星，若测出该卫星绕行星运转的周期和轨道半径同样可得出行星的质量． 二、计算天体的质量具体方法 1．“称量”地球的质量 如果不考虑地球自转的影响，地球上的物体所受重力等于地球对它的万有引力． 由万有引力定律mg＝错误! 得M＝错误!,其中g为地球表面的重力加速度，R为地球半径，G为万有引力常量．从而得到地球质量M＝5.96×1024kg。 通过上面的过程我们可以计算地球的质量,通过其它的方法,或者说已知另外的一些条件能否测出地球质量． 2．天体质量计算的几种方法 （1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T,半径为r，根据万有引力等于向心力，即错误!＝m月r错误!2，可求得地球质量M地＝错误!. (2）若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运动的线速度v，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得 G错误!＝m月错误!。 解得地球的质量为M地＝rv2/G. （3）若已知月球运行的线速度v和运行周期T,由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律,得 G错误!＝m月·v·错误!. G错误!＝m月错误!. 以上两式消去r，解得 M地＝v3T/（2πG)． (4）若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得 mg＝G错误!， 解得地球质量为M地＝错误!. 由以上论述可知,在万有引力定律这一章中,求天体质量的方法主要有两种:一种方法是根据天体表面的重力加速度来求天体质量，即g＝G错误!,则M＝错误!，另一种方法是根据天体的圆周运动，即根据天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供,列出方程：G错误!＝m错误!r＝m错误!＝mω2r来求得质量M＝错误!＝错误!＝错误! 用第二种方法只能求出圆心处天体质量（即中心天体）． 3．天体密度的计算 （1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度．

万有引力理论的成就

教学设计

地面的重力加速度g 和地球半径R 在卡文迪许之前就已知道,一旦测得引力常量G ,就可以算出地球的质量M ;卡文迪许把他自己的实验说成是“称量地球的重量”,是不无道理的; 在实验室里测量几个铅球之间的作用力,就可以称量地球,这不能不说是一个科学奇迹;难怪一位外行人、着名文学家马克·吐温满怀激情地说：“科学真是迷人;根据零星的事实,增添一点猜想,竟能赢得那么多收获” 二、计算天体的质量 1．中心天体质量计算的公式 应用万有引力定律还可以计算太阳等中心天体的质量;思考这个问题的出发点是：行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的,由此可以列出方程,从中解出中心天体的质量; 设M 是太阳的质量,m 是某个行星的质量,r 是行星与太 阳之间的距离,ω是行星公转的角速度; 根据万有引力提供行星绕太阳运动的向心力, 有： F ＝222 2 2 4Mm v G ma m r m mr mv r r T πωω 行星的质量m 在方程两侧被消去,所以只能求出中心天体的质量;将万有引力和右侧向心加速度的不同表达式联立,得到中心天体质量的计算公式为 测出行星的公转周期T 和它与太阳的距离r 等,就可 以算出太阳的质量; 根据已知条件的不同,应选择不同的计算公式来计算中心天体的质量;对同一个中心天体,M 是一个定值;所以 即在开普勒第三定律中,k 是由中心天体质量M 决定的常量; 同样的道理,如果已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离,也可以算出行星的质量;目前,观测人造卫星的运动,是测量地球质量的重要方法之一; 课堂练习地球质量的计算 已知月球到地球的球心距离为r ＝4×108m,月亮绕地球运行的周期为30天,求地球的质量; 解：月球绕地球运行的向心力,由月地间的万有引力提供,即有： F ＝2 2 2()Mm G mr r T π r M m F v

7.3 万有引力理论的成就 (人教版新教材)高中物理必修二第七章【知识点+练习】

第七章 万有引力与宇宙航行 3 万有引力理论的成就 知识点一 计算中心天体的质量和密度 1．天体质量的计算． (1)对于有卫星的天体，可认为卫星绕中心天体做匀速圆周运动，中心天体对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力． 若已知卫星绕中心天体做圆周运动的周期T 和半径r ，则由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，解得中心天体的质量为M ＝4π2r 3GT 2 ． 如果测出周期T 和半径r ，就可以算出中心天体的质量． (2)对于没有卫星的天体(或虽有卫星，但不知道卫星运行的相关物理量)，可忽略天体自转的影响，根据万有引力等于重力的关系列式，计算天体质量． 若已知天体的半径R 和该天体表面的重力加速度g ，则有mg ＝G Mm R 2. 解得天体的质量为M ＝gR 2G ． 2．天体密度的计算． 如果中心天体为球体，则密度ρ＝M V ＝4π2r 3 GT 243 πR 3＝3πr 3GT 2R 3，式中R 为中心天体的半径，r 为中心天体与行星(卫星)间的距离． 特例：当做匀速圆周运动的天体在中心天体表面运行时，r ＝R ，则ρ＝3πGT 2． 知识点二 发现未知天体 1．海王星的发现过程． 18世纪，人们观测发现，1781年发现的太阳系的第七颗行星——天王星的运动轨道与根据万有引力定律计算出来的轨道总有一些偏差． 英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗行星的轨道． 1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”．后来，这颗行星命名为海王星． 2．哈雷彗星的“按时回归”． 1705年，英国天文学家哈雷根据万有引力定律计算了一颗著名彗星的轨道并正确预言了它的回归，这就是哈雷彗星． 拓展 双星系统 1．双星模型的运动特点：两颗子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的周期T 是相等的，角速度ω也是相等的，又根据v ＝ωr ，可得它们的线速度与轨道半径成正比． 2．双星模型的动力学特点：两颗子星间的万有引力提供它们做圆周运动的向心力，若两子星的质量分别为M 1和M 2，轨道半径分别为r 1、r 2，相距L ，角速度为ω，由万有引力定律和牛顿第二定律得： 对M 1：G M 1M 2L 2＝M 1ω2r 1. 对M 2：G M 1M 2L 2＝M 2ω2r 2. L ＝r 1＋r 2， 可得r 1＝M 2M 1＋M 2L ，r 2＝M 1M 1＋M 2 L ，即固定点离质量大的星球较近．

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第3节 万有引力理论的成就 学习目标 核心素养形成脉络 1.了解万有引力定律在天文学上的应用。 2．会用万有引力定律计算天体的质量和密度。 3．掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法。 一、“称量”地球的质量 1．思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力。 2．关系式：mg ＝G mm 地 R 2 。 3．结果：m 地＝gR 2 G ，只要知道g 、R 、G 的值，就可计算出地球的质量。 二、计算天体的质量 1．太阳质量的计算 (1)依据：设m 太是太阳的质量，r 是行星与太阳之间的距离，质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G mm 太 r 2 ＝4π2mr T 2 。 (2)结论：m 太＝4π2r 3 GT 2 ，只要知道行星绕太阳运动的周期T 和它与太阳的距离r 就可以计算出太阳的质量。 2．行星质量的计算：同理，若已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算行星的质量。 三、发现未知天体 预言哈雷彗星回归

1．“笔尖下发现的行星”是指海王星。 2．海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。 1．判断下列说法是否正确。 (1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力。 ( ) (2)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量。( ) (3)牛顿被称作第一个称出地球质量的人。( ) (4)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量。( ) (5)海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。( ) 提示：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2．(2020·淮南一中高一月考)地球公转的轨道半径为R 1，周期为T 1，月球绕地球运转的轨道半径为R 2，周期为T 2，则太阳质量与地球质量之比为( ) A ．R 31 T 2 1 R 32 T 22 B ．R 31 T 22 R 32 T 21 C ．R 21 T 22 R 22 T 21 D ．R 21 T 31 R 22 T 32 解析：选B 。地球绕太阳公转和月球绕地球公转，都是万有引力提供向心力G Mm r 2 ＝m 4π2T 2 r ，可得中心天体质量M ＝4π2r 3GT 2 ；地球公转的轨道半径为R 1，周期为T 1，月球绕地球运转的轨道半径为R 2，周期为T 2，则太阳质量与地球质量之 比为R 31 T 22 R 32 T 21 ，故B 正确。 探究一 天体质量和密度的计算 1．天体质量的计算 (1)“自力更生法”：若已知天体(如地球)的半径R 和表面的重力加速度g ，根据物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg ＝G m 地m R 2 ，解得天体质量为m

(山东省)高中物理选修1-1讲义：万有引力理论的成就

1 •若不考虑地球自转的影响，地面上物体所受重力等 、计算天体的质量 称量地球的质量计算太阳的质量方法重力加速度法环绕法 理论依据忽略地球自转影响，重力等 于万有引力 万有引力提供向心力 Mm mg= G"R2-Mm 4 n = mr^Z 结果M gR2 G4齐3 M= GT2 说明(1) R为地球半径 (2) g为地球表面的重力加 速度 (1) r为行星绕太阳做匀速圆周运动的半径 (2) T为行星绕太阳做匀速圆周运动的周期 万有引力理论的成就 于地球 对物体 mg = GMm ，可得地球质 2 量，该公式同样适用于其他天体。 G 2 •根据万有引力提供行星做圆周运动的向心力，只要测得某 行星绕太阳运行的轨道半径r和周期T,就 42 3 可得太阳的质量为M = 。 GT 3 •英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶 预言了海王星的存在，1846年9月23日晚, 德国的伽勒发现了被预言的海王星。 4 • 1705年英国天文学家哈雷正确预言了哈雷彗星的 回、、、归。 课前口王学习•基植才能楼高

发现未知天体 应用万有引力定律可以计算天体的质量，还可以发现未知天体，海王星的发现和哈雷 彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。 1. 海王星的发现 英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利 用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。 1846年9月23日，德国的伽勒在勒维 耶预言的位置附近发现了这颗行星 一一海王星。 2. 其他天体的发现 近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阅神星等几个较大的天体。 1. 自主思考一一判一判 (1)地球表面的物体，重力就是物体所受的万有引力。 (X ) ⑵绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力。 (V ) (3) 利用地球绕太阳转动，可求地球的质量。 (X ) (4) 海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。 (V ) (5) 科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析。 (V ) 2. 合作探究一一议一议 (1)天体实际做什么运动？在处理问题时我们可以认为天体做什么运动？ 提示：天体实际做椭圆轨道运动，而在处理相关问题时我们可以认为天体做匀速圆周 运动。 量。做圆周运动的月球的质量 m 在等式中已消掉，所以根据月球的周期 T 、公转半径r ,无 法计算月球的质量。 (2)若已知月球绕地球转动的周期 月球的质量呢？ T 和半径r ，由此可以求出地球的质量吗？能否求出 提示：能求出地球的质量。利用 G 晋=m 2n 2r 求出的质量 4 n 2r 3 M =-GT 7 为中心天体的质