高中数学知识点总结(第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布 分类加法计数原理与分步乘法计数原理)

第十一章计数原理与概率、随机变量及其分布

第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理

两个计数原理

(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事.

(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.

(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事.

(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.

二、常用结论

1.完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有m n种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.

2.完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法.

考点一分类加法计数原理

1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________.

解析：按十位数字分类，十位可为1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个两位数.

答案：36

2.如图，从A 到O 有________种不同的走法(不重复过一点).

解析：分3类：第一类，直接由A 到O ，有1种走法；

第二类，中间过一个点，有A →B →O 和A →C →O 2种不同的走法；

第三类，中间过两个点，有A →B →C →O 和A →C →B →O 2种不同的走法.

由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法.

答案：5

3.若椭圆x 2m ＋y 2n

＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________.

解析：当m ＝1时，n ＝2,3,4,5,6,7，共6个；

当m ＝2时，n ＝3,4,5,6,7，共5个；

当m ＝3时，n ＝4,5,6,7，共4个；

当m ＝4时，n ＝5,6,7，共3个；

当m ＝5时，n ＝6,7，共2个.

故共有6＋5＋4＋3＋2＝20个满足条件的椭圆.

答案：20

4.如果一个三位正整数如“a 1a 2a 3”满足a 1＜a 2且a 2＞a 3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为________.

解析：若a 2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个.若a 2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个).若a 2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a 2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个).所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).

答案：240

考点二 分步乘法计数原理

[典例精析]

(1)已知集合M ＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P (a ，b )(a ，b ∈M )表示平面上的点，则P 可表示坐标平面上第二象限的点的个数为( )

A.6

B.12

C.24

D.36

(2)有6名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法.

[解析] (1)确定第二象限的点，可分两步完成：

第一步确定a，由于a＜0，所以有3种方法；

第二步确定b，由于b＞0，所以有2种方法.

由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.

(2)每项限报一个，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种).

[答案](1)A(2)120

[解题技法]

利用分步乘法计数原理解决问题的策略

(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.

(2)分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成.

[题组训练]

1.如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点

A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通.现发现电路不通，

那么焊接点脱落的可能情况共有________种.

解析：因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63种可能情况.

答案：63

2.从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答).

解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18(个)二次函数.若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6(个)偶函数.

答案：186

考点三两个计数原理的综合应用

[典例精析]

(1)如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()

A.24

B.48

C.72

D.96

(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()

A.48

B.18

C.24

D.36

(3)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()

A.60

B.48

C.36

D.24

[解析](1)分两种情况：

①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，有4×3×2＝24种涂法.

②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48种涂法.

故共有24＋48＝72种涂色方法.

(2)第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个).

(3)长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.

[答案](1)C(2)D(3)B

[解题技法]

1.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路

(1)弄清完成一件事是做什么.

(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类.

(3)弄清分步、分类的标准是什么.

(4)利用两个计数原理求解.

2.涂色、种植问题的解题关注点和关键

(1)关注点：首先分清元素的数目，其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素.

(2)关键：是对每个区域逐一进行，选择下手点，分步处理.

[题组训练]

1.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形

涂色不同，则不同的涂法有________种.

解析：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有

4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种).

答案：72

2.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共

边的三角形有________个(用数字作答).

解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三

角形共有8×4＝32(个).第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原

理知，共有32＋8＝40(个).

答案：40

[课时跟踪检测]

A级

1.集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()

A.9

B.14

C.15

D.21

解析：选B当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7.当x≠2时，∵P⊆Q，∴x＝y.∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法.因此满足条件的点共有7＋7＝14(个).

2.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为()

A.504

B.210

C.336

D.120

解析：选A分三步，先插第一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法.故共有7×8×9＝504种不同的插法.

3.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()

A.40

B.16

C.13

D.10

解析：选C分两类情况讨论：

第1类，直线a 分别与直线b 上的8个点可以确定8个不同的平面；

第2类，直线b 分别与直线a 上的5个点可以确定5个不同的平面.

根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面.

4.从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )

A.32个

B.34个

C.36个

D.38个

解析：选A 将和等于11的放在一组：1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个，有C 12＝2(种).共有2×2×2×2×2＝32(个)子集.

5.从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )

A.3

B.4

C.6

D.8

解析：选D 当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8；当公比为3时，等比数列可

为1,3,9；当公比为32时，等比数列可为4,6,9.同理，公比为12，13，23

时，也有4个.故共有8个等比数列.

6.将1,2,3，…，9这9个数字填在如图所示的空格中，要求每一行

从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，

填写空格的方法为( )

A.6种

B.12种

C.18种

D.24种

解析：选A 根据数字的大小关系可知，1,2,9的位置是固定的，如图所示，则剩余5,6,7,8这4个数字，而8只能放在A 或B 处，若8放在B 处，则可以从5,6,7这3个数字中选一个放在C 处，剩余两个位置

固定，此时共有3种方法，同理，若8放在A 处，也有3种方法，所以

共有6种方法.

7.(2019·郴州模拟)用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要

求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )

A.4 320种

B.2 880种

C.1 440种

D.720种

解析：选A 分步进行：1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法.根据分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×3×3×4＝4 320(种)不同的涂色方法.

3 4 1

2 D 3

4 A C B 9

8.(2019·惠州调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()

A.18个

B.15个

C.12个

D.9个

解析：选B由题意知，这个四位数的百位数，十位数，个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共有3＋6＋3＋3＝15(个).

9.在某一运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种.

解析：分两步安排这8名运动员.

第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排.故安排方式有4×3×2＝24(种).

第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种).

故安排这8人的方式共有24×120＝2 880(种).

答案：2 880

10.有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有________种(用数字作答).

解析：由于丙、丁两位操作人员的技术问题，要完成“从4个操作人员中选3人去操作这三种型号的电脑”这件事，则甲、乙两人至少要选派一人，可分四类：

第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作的电脑的型号，有2×2＝4种方法；

第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，有2种方法；

第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，只有1种方法；

第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法.

根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法.

答案：8

B级

1.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有()

A.24种

B.4种

C.43种

D.34种

解析：选C第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第

3封信投到信箱中也有4种投法.只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种投法.

2.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()

A.144个

B.120个

C.96个

D.72个

解析：选B由题意可知，符合条件的五位数的万位数字是4或5.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2×4×3×2＝48个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有3×4×3×2＝72个偶数.故符合条件的偶数共有48＋72＝120(个).

3.如图是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，

现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，

相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有()

A.24种

B.72种

C.84种

D.120种

解析：选C如图，设四个直角三角形顺次为A，B，C，D，按A―→B―→

C―→D顺序涂色，

下面分两种情况：

(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色)：有4×3×2×2＝48种不同的涂法.

(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色)：有4×3×1×3＝36种不同的涂法.

故共有48＋36＝84种不同的涂色方法.

4.(2018·湖南十二校联考)若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是________.

解析：第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2种组合方式；

第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；

第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5种组合方式；

第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3种组合方式.

根据分步乘法计数原理，值为1 942的“简单的”有序对的个数是2×10×5×3＝300.

答案：300

－3，－2，－1，0，1，2，若a，b，c∈M，则：

5.已知集合M＝{}

(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；

(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数.

解：(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2

＋bx＋c可以表示5×6×6＝180个不同的二次函数.

(2)y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b，c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72个图象开口向上的二次函数.

10-1 计数原理、概率、随机变量及其分布

一、填空题 1．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，甲工厂必须有班级要去，去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有种. 解析：三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有43－33＝37(种)． 答案：37 2．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有 种. A．20种B．30种 C．40种D．60种 解析：分三类：甲在周一，共有A24种排法； 甲在周二，共有A23种排法； 甲在周三，共有A22种排法； ∴A24＋A23＋A22＝20. 答案：20 3．5名运动员争夺三个项目的冠军(不能并列)，所有可能的结果共有种. 解析：第n个项目的冠军可由5名运动员中的任一人取得，共5种方法(n＝1,2,3)，根据分步计数原理，所有可能的结果共有5×5×5＝53(种)． 答案：53 4．如图所示的几何体是由一个正三棱锥P－ABC与正三棱柱 ABC－A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的 表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不 同的染色方案共有种. 解析：先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三 个侧面，共有C13×C12×C11C12＝3×2×1×2＝12种不同的涂法． 答案：12 5．某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从

31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花 元. 解析：从01至10中选3个连续的号共有8种选法； 从11至20中选2个连接的号共有9种选法； 从21至30中选1个号有10种选法；从31至36中选一个号有6种选法，由分步计数原理共有8×9×10×6＝4 320(注)，至少需花4 320×2＝8 640(元)． 答案：8 640 6．椭圆x 2m ＋y 2 n ＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}， n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________． 解析：∵焦点在y 轴上，∴0＜m ＜n ，依次考虑m 取1,2,3,4,5时，相应符合条件的n 值有6,5,4,3,2种，由分类计数原理知，这样的椭圆的个数为6＋5＋4＋3＋2＝20(个)． 答案：20 7．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个 正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________． 解析：正方体的一条棱对应着2个“正交线面对”，12条棱共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12上“正交线面对”，共有36个． 答案：36 8．72的正约数(包括1和72)共有________个． 解析：72＝23×32. ∴2m ·3n (0≤m ≤3,0≤n ≤2，m 、n ∈N )都是72的正约数． m 的取法有4种，n 的取法有3种，由分步计数原理知共有：3×4＝12(个)． 答案：12 9．将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字， 右图是一种填法，则不同的填写方法共有____． 解析：由于3×3方格中，每行、每列均没有重复数字，因此可 从中间斜对角线填起．如图中的△，当△全为1时，有2种(即 第一行第2列为2或3，当第二列填2时，第三列中能填3，

高中数学知识点总结(第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布 分类加法计数原理与分步乘法计数原理)

第十一章计数原理与概率、随机变量及其分布 第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理 两个计数原理 (1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事. (2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的. (1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事. (2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏. 二、常用结论 1.完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有m n种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法. 2.完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法. 考点一分类加法计数原理 1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________. 解析：按十位数字分类，十位可为1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个两位数.

答案：36 2.如图，从A 到O 有________种不同的走法(不重复过一点). 解析：分3类：第一类，直接由A 到O ，有1种走法； 第二类，中间过一个点，有A →B →O 和A →C →O 2种不同的走法； 第三类，中间过两个点，有A →B →C →O 和A →C →B →O 2种不同的走法. 由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法. 答案：5 3.若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________. 解析：当m ＝1时，n ＝2,3,4,5,6,7，共6个； 当m ＝2时，n ＝3,4,5,6,7，共5个； 当m ＝3时，n ＝4,5,6,7，共4个； 当m ＝4时，n ＝5,6,7，共3个； 当m ＝5时，n ＝6,7，共2个. 故共有6＋5＋4＋3＋2＝20个满足条件的椭圆. 答案：20 4.如果一个三位正整数如“a 1a 2a 3”满足a 1＜a 2且a 2＞a 3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为________. 解析：若a 2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个.若a 2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个).若a 2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a 2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个).所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个). 答案：240 考点二 分步乘法计数原理 [典例精析] (1)已知集合M ＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P (a ，b )(a ，b ∈M )表示平面上的点，则P 可表示坐标平面上第二象限的点的个数为( ) A.6 B.12 C.24 D.36 (2)有6名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法. [解析] (1)确定第二象限的点，可分两步完成：

高中数学第十一章知识点复习总结(精华版)——概率

高中数学第十一章-概率 考试内容： 随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验． 考试要求： （1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． （2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。 （3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率． （4）会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生κ次的概率． §11. 概率 知识要点 1. 概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是n 1 ，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率n m P(A)= . 3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21+++=+++ . ②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．． 叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为 其中一个必发生. 注意：i.对立事件的概率和等于1：1)A P(A )A P(P(A)=+=+. ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件. ③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A ：“抽到老K”；B ：“抽到红牌”则 A 应与B 互为独立事件[看上去A 与B 有关系很有可能不是独立事件，但26 1P(B)P(A),2 152 26P(B),13 152 4P(A)=⋅====.又事件AB 表示“既抽到老 K 对抽到红牌”即“抽到红桃老K 或方块老K”有26 152 2B)P(A ==⋅，因此有)B P(A P(B)P(A)⋅=⋅. 推广：若事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ⋅=⋅. 注意：i. 一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与A B ,与B ，A 与B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的. 互斥 对立

高中数学必修三 计数,概率,统计与分布列知识梳理 含答案

计数，概率，统计与分布列知识梳理 10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1．分类加法计数原理 完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有m n种方法．那么，完成这件事共有_____________种方法．(也称加法原理) 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有m n种方法．那么，完成这件事共有__________________种方法．(也称乘法原理) 3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． [方法与技巧] 1．分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事． 2．分类标准要明确，做到不重复不遗漏． 3．混合问题一般是先分类再分步． 4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律． [失误与防范] 1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行． 2．分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步． 3．确定题目中是否有特殊条件限制． 10.2排列与组合 1．排列与组合的概念

2020版高考理科数学_经典版_第十一章 计数原理_概率_随机变量及分布 第9讲

第9讲离散型随机变量的均值、方差和正态分 布 基础知识整合 1．离散型随机变量的均值与方差 (1)若离散型随机变量X的分布列为 ①均值 称E(X)＝□01x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或□02数学期望，它反映了离散型随机变量取值的□03平均水平． ②方差 称D(X)＝□04∑i＝1n[x i－E(X)]2p i为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的□05平均偏离程度，其□06算术平方根D(X)为随机变量X的标准 差． (2)均值与方差的性质 ①E(aX＋b)＝□07aE(X)＋b. ②D(aX＋b)＝□08a2D(X)．(a，b为常数) ③两点分布与二项分布的均值、方差

2．正态分布 (1)正态曲线的性质 ①曲线位于x轴□13上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线□14x＝μ对称； ③曲线在□15x＝μ处达到峰值1σ2π； ④曲线与x轴之间的面积为□161； ⑤当σ一定时，曲线随着□17μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ□18越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ□19越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示． (2)正态分布的三个常用数据 ①P(μ－σ

②P(μ－2σ1)＝0.5，P(X>2)＝0.3，则P(X<0)＝() A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 答案 B 解析随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于x＝a对称，且P(X>a)＝0.5.由P(X>1)＝0.5，可知a＝1，所以P(X<0)＝P(X>2)＝0.3.故选B. 3．(2019·广西名校联考)设整数m是从不等式x2－2x－8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m2，则ξ的数学期望E(ξ)＝() A．1 B．5 C．2 D.16 7 答案 B 解析由x2－2x－8≤0得－2≤x≤4，∴S＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，∵ξ＝m2，∴

2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第十一章 计数原理、随机变量及分布列第1课时分类加法分步乘法

《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第十一章 计数原理、随机变量及分布列第1课时 分 类加法计数原理与分步乘法 1. (选修23P 8练习3改编)某班级有男生5人，女生4人，从中任选一人去领奖，有________种不同的选法． 答案：9 解析：不同选法种数共有N ＝5＋4＝9种． 2. (选修23P 8例4改编)书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从中任取数学书与语文书各一本，有________种不同的取法． 答案：30 解析：共有5×6＝30种不同取法． 3. (选修23P 8练习5改编)5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有________种． 答案：32 解析：每位同学有2种不同的报名方法，故5位同学有25 ＝32种不同的报名方法． 4. (选修23P 9习题3改编)从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通．则从甲地到丙地共有________种不同的走法． 答案：14 解析：共有2×3＋4×2＝14种不同的走法． 5. 如图，一环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为________． 答案：84

解析：分两类：A、C种同种花有4×3×3＝36种不同的种法； A、C种不同种花有4×3×2×2＝48种不同的种法．故共有36＋48＝84种不同的种法． 1. 分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法． 2. 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法． 3. 分类和分步区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步．分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理，分步后要将种数相乘． [备课札记] 题型1 分类计数原理 例1满足A∪B＝{1，2}的集合A、B共有多少组？ 解：集合A、B均是{1，2}的子集：?，{1}，{2}，{1，2}，但不是随便两个子集搭配都行，本题尤如含A、B两元素的不定方程，其全部解分为四类： ①当A＝?时，只有B＝{1，2}，得1组解； ②当A＝{1}时，B＝{2}或B＝{1，2}，得2组解； ③当A＝{2}时，B＝{1}或B＝{1，2}，得2组解； ④当A＝{1，2}时，B＝?或{1}或{2}或{1，2}，得4组解． 根据分类计数原理，共有1＋2＋2＋4＝9组解． 变式训练 如下图，共有多少个不同的三角形？ 解：所有不同的三角形可分为三类： 第一类：其中有两条边是原五边形的边，这样的三角形共有5个； 第二类：其中有且只有一条边是原五边形的边，这样的三角形共有5×4＝20个；

高中数学知识点总结(第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第六节 离散型随机变量及其分布列)

第六节 离散型随机变量及其分布列 一、基础知识 1．随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示 (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下： X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 此表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列.有时也用等式P X ＝x i ＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列. (2)分布列的性质 ①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；② i ＝1n p i ＝1. 3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布列 X 0 1 P 1－p p 若随机变量X 的分布列具有左表的形式，则称X 服从两点分布❸，并称p ＝P X ＝1 为成功概率. (2)超几何分布列 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n － k N －M C n N ， k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *. X 0 1 … m P C 0M C n － N －M C n N C 1M C n － 1 N －M C n N … C m M C n － m N －M C n N . 若X 是随机变量，则Y ＝aX ＋b (a ，b 为常数)也是随机变量． 表中第一行表示随机变量的取值；第二行对应变量的概率． 两点分布的试验结果只有两个可能性，其概率之和为1.

计数原理概率随机变量及其分布总结

计数原理概率随机变量及其分布总结 计数原理是一种概率理论中的基本原理，用于计算一个事件集合中具有某些性质的元素的数量。在概率论中，计数原理用于确定样本空间中每个事件的概率，从而计算总体的概率。计数原理包括排列、组合和多重集合。排列是指从一个集合中选取若干元素，按照一定的顺序进行排列的方法数，可以表示为n!/(n-k)!。组合是指从一个集合中选取若干元素，不考虑它们的排列顺序的方法数，可以表示为n!/[(n-k)!k!]。多重集合是指一个集合中每个元素出现的次数不限，选取若干元素的组合总数。 概率随机变量是指随机试验中，对于每一个结果赋予一个数字的函数。它可以是离散型随机变量或连续型随机变量。离散型随机变量是指随机变量只能取到有限个或可数个值的情况，如掷骰子的点数；连续型随机变量是指随机变量可以取到无限个值的情况，如身高、体重等。 概率分布是指随机变量取不同值时，对应的概率值的分布情况。常见的离散型概率分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续型概率分布有正态分布、指数分布、卡方分布等。 伯努利分布是指只有两种结果的随机试验，成功的概率为p，失败的概率为1-p。其概率分布函数为f(x) = p^x(1-p)^(1-x)，其期望为E(x) = p，方差为Var(x) = p(1-p)。

二项分布是指进行n次相互独立的伯努利试验，每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p，成功的次数为X，则X的概率分布函数为f(x) = C(n,x)p^x(1-p)^(n-x)，其期望为E(x) = np，方差为Var(x) = np(1-p)。 泊松分布是指某个时间段内某个事件发生的次数，假设每个事件发生的概率相等，但是发生次数是不确定的，符合泊松分布。其概率分布函数为f(x) = e^(-λ)λ^x/x!，其中λ为事件发生的平均次数，其期望为E(x) = λ，方差为Var(x) = λ。 正态分布是指连续型随机变量最常用的分布，其概率密度函数为f(x) = 1/(σ√(2π))e^-((x-μ)^2/2σ^2)，其中μ为期望，σ为标准差，其期望和方差分别为E(x) = μ，Var(x) = σ^2。 指数分布是指连续型随机变量的一个分布，其概率密度函数为f(x) = λe^(-λx)，其中λ为正数，期望为E(x) = 1/λ，方差为Var(x) = 1/λ^2。 卡方分布是指若干个标准正态分布随机变量的平方和构成的分布，其概率密度函数为f(x) = 1/(2^(k/2)Γ(k/2))x^(k/2-1)e^(-x/2)，其中k为自由度，Γ为伽马函数，期望为E(x) = k，方差为Var(x) = 2k。

高中数学知识点总结：随机变量及其分布

高中数学知识点总结：随机变量及其分布 随机变量及其分布 1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。 2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． 3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,..... ,x i ,......,x n X 取每一个值 x i (i=1,2,......）的概率P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列 4、分布列性质① p i ≥0, i =1，2， … ； ② p 1 + p 2 +…+p n = 1． 5、二点分布：如果随机变量X 的分布列为： 其中0= A P A P A B P A B P 9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 10、n 次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验 11、二项分布： 设在n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数，A 发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，事件A 不发生的概率为q=1-p ，那么在n 次独立重复试验中 )(k P =ξk n k k n q p C -=（其中 k=0,1, ……,n ，q=1-p ） 于是可得随机变量ξ的概率分布如下： 这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p) ，其中n ，p 为参数 12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

计数原理概率知识点总结1

计数原理、概率、离散型随机变量 一、解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。 (1)n m m m N +++=……分类加法计数原理：21（为各类办法中的方法数）m i n m m m N ……·分步乘法计数原理：21=（为各步骤中的方法数）m i （2）排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，所有排列的个数记为 m n A 。 ()()()()()A n n n n m n n m m n n m =---+= -≤121……! ! 规定：0!1= （3）组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同元素中取出个元素的一个组合，所有组合个数记为m C n m . ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+=-11……!!!! 规定：C n 01= （）组合数性质：4 二、解排列与组合问题的规律是： 相邻问题 ；相间隔问题 ；定位和特殊元素问题 ；多元问题分类法；至多至少问题 ；数量不大时可以逐一排出结果。 三、二项式定理 ()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n +=++++++---011222…… 二项展开式的通项公式：，……T C a b r n r n r n r r +-==101() C n r 为二项式系数（区别于该项的系数） 性质：() （）对称性：，，，……，1012C C r n n r n n r ==- （）系数和：…2C C C n n n n n 012+++= C C C C C C n n n n n n n 13502412 +++=+++=-…… （3）最值：n 为偶数时，n ＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

【高中数学】高中数学知识点：分类加法计数原理

【高中数学】高中数学知识点：分类加法计数原理分类原理： 为了完成一件事，有n种方法，在第一种方法中，有m种 1 有两种不同的方法。在第二种方法中，M 2 有两种不同的方法，。。。在第n种方法中，有m n 有两种不同的方法 不同的方法。 注意：每种类型的方法都可以独立完成此任务。它是相互独立的。一次，每次都会得到最终结果。只有一种方法可以完成这项任务。 分类原理题型比较杂乱，几种常见的现象有： ① 要打开或关闭的开关数量； ②数图形个数：根据图形是由几个单一图形组合而成进行分类求情况数； ③ 游戏分数：根据赢或输的次数分类。 分类的原则: 在分类和计数时，我们应该首先根据问题的特点确定适当的分类标准，然后使用该分类标准进行分类。在分类时，我们应该注意两个基本原则：第一，任何完成这件事的方法都必须分为相应的类别；第二，不同类的任何方法都必须是不同的方法。只要满足这两个基本原则，就可以保证计数不重复、不泄漏 特别提醒: ① 明确标题中“完成一件事”的含义，可以使用什么方法来完成它，以及如何完成它 ②完成这件事的n种方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．

③ 建立适当的分类标准，对这一问题进行准确分类，要求第一种方法必须属于某一类型的方案，不同类型方案的任何两种方法都是不同的方法，即分类不能重复，也不能省略 ④分类加法计数原理的集合表述形式：做一件事，完成它的办法用集合s表示，s被分成n类办法，分别用集合 有两种不同的方法，即set 个元素，那么完成这件事共有的方法，即集合s中的无素的个数为 相关的 高中数学 知识点：分步乘法的计数原理 分步原理： 完成一件事需要n个步骤。第一步是m 1 第二步有两种不同的方法 2 有两种不同的方式，。。。做n步有M步 n 两种不同的方法，然后有n=m来完成这件事 1 m 2 …我 n 不同的方法。 注：一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。各步是关联的。

高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布课时规范练50分类加法计数原理与分步乘法计数原

课时规范练50 基础巩固组 1.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面上的点,则P可表示坐标平面上第二象 限的点的个数为() 答案:A 解析:确定第二象限的点,可分两步完成: 第一步确定a,由于a<0,所以有3种方法; 第二步确定b,由于b>0,所以有2种方法. 由分步乘法计数原理,得到第二象限的点的个数是3×2=6. 2.如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通.今发现A,B之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况的种数为() 答案:C 解析:按焊接点脱落的个数分成4类. 脱落1个,有1,4,共2种情况;脱落2个,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种情况; 脱落3个,有(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),共4种情况;脱落4个,有(1,2,3,4),共1种情况.由分类加法计数原理,焊接点脱落的不同情况的种数为2+6+4+1=13.故选C. 3.(2022·山东济南二模)由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50 000的偶数共有() 个个 个个 答案:C 解析:先排个位,然后排万位,再排其他位置,所以由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有2×3×=36个. 4.(2022·广东惠州一模)现有3名学生报名参加校园文化活动的3个项目,每人须报1项且只报1项,则恰有2名学生报同一项目的报名方法有() 种种种种 答案:B 解析:第一步,先从3名学生中选2名选报同一项目作为一个整体;第二步:从3个项目中选择2个 项目排列即可,故不同的报名方法种数为=18.

高中数学基本计数原理知识点+练习

基本计数原理 高考要求 例题精讲 块一：加法原理 （一）知识内容 分类计数原理：做一件事，完成它有“类办法，在第一类办法中有“种不同的方法，在第二 类办法中有蚀种方法，……，在第“类办法中有心种不同的方法.那么完成这件事共有N =叫+m2+…+ ®种不同的方法.乂称加法原理・ （二）典例分析 【例1】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调査团, 问选取代表的方法有儿种. 【例2】若zb是正整数，+ ，则以（e b）为坐标的点共有多少个 【例3】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（） A. 324 B. 328 C. 360 D・ 648 【例4】用数字1,2, 3, 4, 5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（） A. 8 B・ 24 C・ 48 D・ 120 【例5】用0,1, 2, 3, 4, 5这6个数字，可以组成个大T- 3000 ,小T 5421的数字不重复的四位数.

‘4辛_板块••：乘法原理_____ （- 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成“个子步骤，做第一个步骤有“种不同的方法， 做第二个步骤有心种不同方法，……，做第“个步骤有"，种不同的方法.那么完成这件事共 有N = x m2 x…x叫种不同的方法.又称乘法原理. （二）典例分析 【例6】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有____ 种不同的走法. 【例7】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有______ . 1 【例8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每夭最多只安排一所学校, 要求甲学校连续参观两夭，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有种. 【例9】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调査团，问选取代表的方法有几种. 【例10】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果 【例门】六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种 【例12】用1, 2, 3, 4, 5, 6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同, 且1和2相邻，这样的六位数的个数是 ______________ （用数字作答）. 【例13】从集合｛1,2,3,…，11｝中任选两个元素作为椭圆方程4 + 4 = 1中的加和则能组成落在nr ?r 矩形区域B = ｛（x, y）II A I<11,且I y l<9｝内的椭圆个数为 ________ 。 【例14】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为值域为｛-1,-9｝的“同族函数”共有（） A. 7 个 B. 8 个 C. 9 个 D. 10 个 【例15】r 【例16】某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、白位上的数字之积作为十位和个位上

高三理科数学一轮复习讲义：第十一章计数原理概率随机变量及其分布11.8条件概率n次独立重复试验与二项分布

§11.8 条件概率、n 次独立重复试验与二项分布 考纲展示► 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念． 2．理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题． 考点1 条件概率 条件概率 (1)定义 设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P AB P A 为在事件A 发生条件下，事件B 发 生的条件概率． (2)性质 ①0≤P (B |A )≤1； ②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 条件概率的性质． (1)有界性：0≤P (B |A )≤1.( ) (2)可加性：如果B 和C 为互斥事件，则P ((B ∪C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A )．( ) [典题1] (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18 B.14 C.25 D.12 (2)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )

A.1127 B.1124 C.827 D.924 [点石成金] 条件概率的两种求解方法 (1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝ P AB P A 求P (B |A )． (2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件 AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n AB n A . 考点2 事件的相互独立性 (1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝________，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：若事件A 与B 相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 也都相互独立，P (B |A )＝________，P (A |B )＝________. [典题2] 为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22千米的地铁票价如下表： 的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6千米且不超过12千米的概率分别为12，13 . (1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率； (2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．

高考一轮复习计数原理(教师用)

第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 第一节 计数原理 答案：○112n m m m ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+○212n m m m ⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯○3完成一件事情○4分类 ○ 5相互独立○6分步○7相互依存 二、基础题自测 1.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法 种数为 （B ） A.6 B.5 C.3 D.2 【提示】“完成这件事”即选出一人作主持人，可分选女主持人和男主持人两类 进行，分别有3种选法和2种选法，所以共有3+2=5种不同的选法.故选B 2．将3封信投入4个信箱，最多的投法有( C ) A ．A 43种 B ． C 43种 C ．43种 D ．34种 【提示】 投3封信分三步，每步均有4种方法，由分步乘法计数原理知共有： 4×4×4＝43.故选C.

3.右图是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件.在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（B） A.15 B.16 C.17 D.18 【提示】只需A处给D处10件，B处给C处5件，C处给D处1件，共16件次.故选B 4．60的正约数有(C) A．6个B．9个C．12个D．24个 【提示】60＝22×3×5,60的正约数都具有2t1×3t2×5t3的形式，其中t1∈{0,1,2}， t2∈{0,1}，t3∈{0,1}．确定60的一个正约数就是确定一组(t1，t2，t3)，分三步，由分步乘法计数原理知有3×2×2＝12个．故选C 5．三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如635,729,868等，所有的三位凹数的个数是___285_____． 【提示】按十位上的数字分九类，有： 12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＋82＋92＝285个. 课堂导与练 一、重点、难点 内容剖析 分类加法计数原理1．分类加法计数原理的理解 2．分类加法计数原理实际应用 分步乘法计数原理1．分步乘法计数原理的理解 2．分步乘法计数原理实际应用 两个计数原理的综合应用1．几何中的涂色问题 2．立体几何中的计数问题 二、典型例题 题型一分类加法计数原理 例1．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？ 解：一个两位数由十位数字和个位数字构成，考虑一个满足条件的两位数，可先确定个位数字后再考虑十位数字有几种可能.一个两位数的个位数字可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.把这样的两位数分成10类. （1）当个位数字为0时，十位数字可以是1，2，3，4，5，6，7，8，9，有9个满足条件的两位数； （2）当个位数字为1时，十位数字可以是2，3，4，5，6，7，8，9，有8个满足条件的两位数； （3）当个位数字为2时，十位数字可以是3，4，5，6，7，8，9，有7个满足条件的两位数；以此类推，当个位数字分别是3，4，5，6，7，8，9时，满足条件的两位数分别有6，5，4，3，2，1，0个.由分类加法计数原理，满足条件的

高考数学(理)创新大一轮北师大通用讲义：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第7节 Word含解析

第7节离散型随机变量及其分布列 最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用. 知识梳理 1.离散型随机变量的分布列 (1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量. (2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量. (3)设离散型随机变量X取值为a1，a2，…，X取a i的概率为p i(i＝1，2，…)，记作P(X＝a i)＝p i(i＝1，2，…)或列表： 称为离散型随机变量X (4)性质： ①p i>0，i＝1，2，…； ②p1＋p2＋…＋p i＋…＋p n＝1. 2.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为 ，其中p＝P(X＝1) (2)超几何分布：一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N) 件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝ (其中k为非负整数).

如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布. [常用结论与微点提醒] 1.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率. 2.要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误. 3.超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要会根据问题特征去判断随机变量是否服从超几何分布，然后利用相关公式进行计算. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.() (2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义.() (3)如果随机变量X的分布列由下表给出， 则它服从两点分布.() (4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布.() 解析对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(2)，因为离散型随机变量的所有结果都可用数值表示，其中每一个数值都有明确的实际的意义，故(2)不正确；对于(3)，X的取值不是0和1，故不是两点分布，(3)不正确；对于(4)，因为超几何分布是不放回抽样，所以试验中取到黑球的次数X不服从超几何分布，(4)不正确. 答案(1)×(2)×(3)×(4)× 2.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是() A.至少取到1个白球 B.至多取到1个白球