浙江省温州地区2016年初中数学竞赛选拔试卷概要

G F

E'

C'

E A D

B C

浙江省温州地区2016年初中数学竞赛选拔试卷

（检测范围：初中数学竞赛大纲要求所有内容）

一、单项选择题（本大题分4小题，每题5分，共20分）

1、设二次函数y 1=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0,x 1≠x 2)的图象与一次函数y 2=dx +e (d ≠0)的图象交于点(x 1,0)，若函数y =y 2+y 1的图象与x 轴仅有一个交点，则( ). A ．a (x 1-x 2)=d B ．a (x 2-x 1)=d C ．a (x 1-x 2)2=d D ．a (x 1+x 2)2=d

2、如图，ΔABC 、ΔEFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当ΔEFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是( ). A ．32- B ．13+ C ．2 D ．13-

3、一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m ，然后原地逆时针旋转α(0°<α<180°)，被称为一次操作．若5次操作后，发现赛车回到出发点，则α为( ). A ．72° B ．108° C ．144° D ．以上选项均不正确

4、方程()y x y xy x +=++322的整数解有( ).

A 、3组

B 、4组

C 、5组

D 、6组 二、填空题（本大题分16小题，每题5分，共80分）

5、如图，在矩形ABCD 中，AB =64，AD =10，连接BD ，DBC ∠的角平分线BE 交DC 于点E ，现把BCE ?绕点B 逆时针旋转，记旋转后的BCE ?为''E BC ?，当射线'BE 和射线'BC 都与线段AD 相交时，设交点分别为F ，G ，若BFD ?为等腰三角形，则线段DG 长为 .

6、如图，在平面直角坐标系中，点M 是第一象限内一点，过M 的直线分别交x 轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，且M 是AB 的中点.以OM 为直径的⊙P 分别交x 轴，y 轴于C 、D 两点，交直线AB 于点E (位于点M 右下方)，

连结DE 交OM 于点K .设x OBA =∠tan (0

OK

=，则y 关于x 的函数解析式为 .

7、如图，梯形ABCD 的面积为34cm 2，AE=BF ，CE 与DF 相交于O ，OCD ?的面积为11cm 2，则阴影部分的面积为______cm 2．

8、如图，四边形ABCD 为正方形，⊙O 过正方形的顶点

第5题 第2题 第6题 第7题

A 和对角线的交点P ，分别交A

B 、AD 于点F 、E ．若⊙O 的半径为2

3，AB =2+1，则

ED

AE

的值为 ． 9、已知一个正三角形的三个顶点在一个正方形的边上移动.如果这个内接三角形的最大面积是3.则该正方形的边长为 . 10、在四边形ABCD 中，边AB=x ，BC=CD =4，DA =5，

它的对角线AC=y ，其中x ，y 都是整数，∠BAC =∠DAC ，那么x = ．

11、如果满足 ||x 2-6x -16|-10| = a 的实数x 恰有6个，那么实数a 的值等于 ．

12到三百多千米以外的乙站，已知每列货车的平均速度都相等，且记为v

千米/小时．两列货车实在运行中的间隔不小于2

25v ??

???

千米，这这批救灾

物资全部运到目的地最快需要6小时，那么每隔 分钟从甲站向乙站发一趟货车才能使这批货物在6小时内运到.

13、已知0≤a-b ≤1，1≤a+b ≤4，那么当a -2b 达到最大值时，8a +2015b 的值等

于 .

14、在边长为l 的正方形ABCD 中，点M 、N 、O 、P 分别在

边AB 、BC 、CD 、DA 上．如果AM=BM ，DP =3AP ，则MN+NO+OP 的最小值是 .

15、如图，在四边形纸片ABCD 中，AB=BC ，AD=CD ，

∠A =∠C =90°，∠B =150°，将纸片先沿直线BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD =______________. 16、从1,2,…,2008中选出总和为1009000的1004个数，并且这1004个数

中的任意两数之和都不等于2009．则这1004个数的平方和为 ． 17、已知直角三角形ABC 中，斜边AB 长为2，∠ACB =90°，三角形内一个

动点到三个顶点的距离之和的最小值为7，则这个直角三角形的两个锐角大小分别为 ， ． 18、若实数x 、y 满足：=+-13x x y y -+23，则若设p=x+y ，则p max = ，p min = ． 19、已知平面上有4个圆叠在一起形成

10个区域，其中在外区域的三个圆每个圆有5个区域，在内区域的圆有7个区域．现将数字0,1,…,9分别放入10个区域，且使每个圆都有相同的数字和，则数字和S 的取值范围为 ．

第8题 第10题

第15题 第19题

x 1

x 2 x 3

x 4 x 5 x 6

x 7

x 8 x 9

x 10

20、已知∠BAC =90°，四边形ADEF 是正方形且边长为1，则CA

BC AB 1

11+

+ 的最大值为 ，简述理由(可列式)：

.

三、分析解答题（本大题分5小题，分值依次为8分、10分、8分、14分、

10分，共50分）

21、(8分)牛顿和莱布尼茨于17世纪分别独立地创立了积分学.其中有一个

重要的概念：定积分.我们规定把函数()x f 中区间[]b a ，(包括a ,b )与x

轴围成的面积记作：()?b

a x x f d .

(1).试证：()()x x f k x x kf b

a

b

a

d d ??

=；

(2)．对于任意实数c b a ，，其中(a ＜c ＜b ),是否都有：

()()()???

+=b

c

c

a

b

a

x x f x x f x x f d d d .如没有请举出反例；如有，请证明之.

22、(10分)在正方形ABCD 的AB 、AD 边各取点K 、N ，使得AK ·AN =2BK ·DN ，

线段CK 、CN 交对角线BD 于点L 、M ，试证：∠BLK =∠DNC =∠BAM .

C

23、(8分)设AB ，CD 为圆O 的两直径，过B 作PB 垂直AB ，并与CD 延长

线相交于点P ，过P 作直线PE ，与圆分别交于E ，F 两点，连AE ，AF 分别与CD 交于G ，H 两点(如图)，求证：OG=OH .

24、(14分)如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ，

以AQ 为边作Rt ABQ ?，使∠BAQ =90°，AQ ：AB =3：4，作ABQ ?的外接圆O ．点C 在点P 右侧，PC =4，过点C 作直线m ⊥l ，过点O 作OD

⊥m 于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使DF =

2

3

CD ，

以DE ，

DF 为邻边作矩形DEGF ．设AQ =3x ． (1)用关于x 的代数式表示BQ ，DF ．

(2)当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长． (3)在点P 的整个运动过程中，①当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形？

②作直线BG 交⊙O 于点N ，若BN 的弦心距为1，求AP 的长．

第23题

第24题

25、(10分)有A、B、C三个村庄，各村分别有适龄儿童a、b、c人.今要建

立一所小学，使各村学生到校总里程最短.试问：若三村人数不一定相等时学校应建在哪里？

初 中 数 学 竞 赛 选 拔 试 卷

参 考 答 案

一、单项选择题()

二、填空题(本大题分5、1798

6、2

12x

y -= 7、12 8、222或 9、332+ 10、4或5 11、10 12、12 13、8 14、 485

15、 432+或32+

16、1351373940 17、30°,60° 18、2

21

3921539++或 19、21≤S ≤25 20、221+；理由：求式=1+BC

1

，又EFC BDE ??∽?BD ·CF =1，

BC 2≥2+2BD ·CF +CF BD ?4=8∴计算可得为2

2

1+

三、分析解答题(本大题分5小题，分值依次为8分、10分、14分、10分，

共50分)

21、(8分)【解】(暂无解答，征求答案) 22、(10分)【解】

连结KN 、KM ，将NDC ?绕点C 顺时针旋转90°得EBC ?.

AB=AD ?AK+BK=AN+DN ?(AK-AN )2

=(DN-BK )2

?AK 2+AN 2-2AK ·AN =DN 2+BK 2-2ND ·BK (两边同加2AK ·AN )

?AK 2+AN 2=(DN +BK )2(由AK ·

AN =2BK ·DN 可知),结合图可知NK 2=KE 2 ∴EKC NKC ??∽(SSS )∴∠DNC =∠KEC =∠KNC ，且∠KCN =45° ∴B 、C 、M 、K 四点共圆(∠KBN =45°) ∴KM ⊥CN ，∴A 、K 、M 、N 四点共圆 ∴∠KAM =∠KNM =∠DNC ，又∠MDN =45°=∠KCN ∴N 、L 、C 、D 四点共圆，∴∠DNC =∠DLC =∠KLB ∴∠DNC =∠KAM =∠KLB (即∠BLK =∠DNC =∠BAM )

23、(8分)【解】

24、(14分)【解】

23、第23题解

25、(10分)

【解】(I)当三村人数相等时，分以下两种情形(如图)：(1)ABC

?中最大角大于120°，不妨令∠A≥120°，则学校应建在A村；(2)ABC

?中最大角小于120°，则学校应建在X点(此点到三边的张角相等，亦称ABC

?的费马点) (II)当三村人数不一定相等时，则学校所在地X，可通过物理学的模拟方法求出：在平面上，用三点A、B、C模拟三村，用重物a、b、c模拟相应各村人数，并用细线通过滑轮连接于X点.当出现平衡时，平衡点X就是学校该建的地方.由静力学势能原理可知：AX·a+BX·b+CX·c达最小值，即各村分别有适龄儿童到校总里程最短.当a=b=c时，AX、BX、CX三方向拉力

A

B

C

(1

)

C (2)

相等且平衡.由对称关系，立得：∠AXB=∠BXC=∠CXA=90°.