2016年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)
说明:
1. 评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分
标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分
档次给分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分一个档次,不要增加其他中间档次.
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分
1.设实数a 满足||1193a a a a <-<,则a 的取值范围是
2.设复数w z ,满足3||=z ,i w z w z 47))((+=-+,其中i 是虚数单位,w z ,分别表示w z ,的共轭复数,则)2)(2(w z w z -+的模为
3.正实数w v u ,,均不等于1,若5log log =+w vw v u ,3log log =+v u w v ,则u w log 的值为
4.袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币,袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从
两个袋子中各取出两张纸币,则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为
5.设P 为一圆锥的顶点,A ,B ,C 是其底面圆周上的三点,满足ABC ∠=90°,M 为AP 的中点.若AB =1,AC =2,2=AP ,则二面角M —BC —A 的大小为
6.设函数10
cos 10sin )(4
4kx kx x f +=,其中k 是一个正整数.若对任意实数a ,均有}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<,则k 的最小值为
7.双曲线C 的方程为,左、右焦点分别为1F 、2F ,过点2F 作直线及双曲线C 的右半支交于点P ,Q ,使得PQ F 1∠=90°,则PQ F 1?的内切圆半径是
8.设4321,,,a a a a 是1,2,…,100中的4个互不相同的数,满足
2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++=++++
则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为
二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9.(本题满分16分)在ABC ?中,已知?=?+?32.求C sin 的最大值.
10.(本题满分20分)已知)(x f 是R 上的奇函数,1)1(=f ,且对任意0 求+++)98 1()31()991()21()1001( )1(f f f f f f …的值. 11.(本题满分20分)如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,F 是x 轴正半轴上的一个动点.以F 为焦点,O 为顶点作抛物线C .设P 是第一象限内C 上的一点,Q 是x 轴负半轴上一点,使得PQ 为C 的切线,且|PQ |=2.圆21,C C 均及直线OP 相切于点P ,且均及轴相切.求点F 的坐标,使圆1C 及2C 的面积之和取到最小值. 2016年全国高中数学联合竞赛加试 一、(本题满分40分)设实数,,21a a …2016,a 满足,2,1(11921=>+i a a i i …)2015,。求))((232221a a a a --… ))((212016220162015a a a a --的最大值。 二、(本题满分40分)如图所示,在ABC ?中,X ,Y 是直线BC 上两点(X ,B ,C ,Y 顺次排列),使得AB CY AC BX ?=?。 设ACX ?,ABY ?的外心分别为1O ,2O ,直线21O O 及AB ,AC 分别交于点U ,V 。 证明:AUV ?是等腰三角形。 三、(本题满分50分)给定空间中10个点,其中任意四点不在一个平面上,将某些点之间用线段相连,若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形,试确定所连线段数目的最大值。 四、(本题满分50分)设p 及2+p 均是素数,3>p 。数列}{n a 的定义为21=a ,,,3,2=n ,…。这里??x 表示不小于实数x 的最小整数。 2016年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷) 参考答案及评分标准 说明: 3. 评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分 标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 4. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分 档次给分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分一个档次,不要增加其他中间档次. 一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分 1.设实数a 满足||1193 a a a a <-<,则a 的取值范围是 答案: 解:由||a a <可得0->a a a a a 即111912