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2016年全国高中数学联合竞赛试题与解答(A卷)

2016年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)

说明:

1. 评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分

标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.

2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分

档次给分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分一个档次,不要增加其他中间档次.

一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分

1.设实数a 满足||1193a a a a <-<,则a 的取值范围是

2.设复数w z ,满足3||=z ,i w z w z 47))((+=-+,其中i 是虚数单位,w z ,分别表示w z ,的共轭复数,则)2)(2(w z w z -+的模为

3.正实数w v u ,,均不等于1,若5log log =+w vw v u ,3log log =+v u w v ,则u w log 的值为

4.袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币,袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从

两个袋子中各取出两张纸币,则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为

5.设P 为一圆锥的顶点,A ,B ,C 是其底面圆周上的三点,满足ABC ∠=90°,M 为AP 的中点.若AB =1,AC =2,2=AP ,则二面角M —BC —A 的大小为

6.设函数10

cos 10sin )(4

4kx kx x f +=,其中k 是一个正整数.若对任意实数a ,均有}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<,则k 的最小值为

7.双曲线C 的方程为,左、右焦点分别为1F 、2F ,过点2F 作直线及双曲线C 的右半支交于点P ,Q ,使得PQ F 1∠=90°,则PQ F 1?的内切圆半径是

8.设4321,,,a a a a 是1,2,…,100中的4个互不相同的数,满足

2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++=++++

则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为

二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

9.(本题满分16分)在ABC ?中,已知?=?+?32.求C sin 的最大值.

10.(本题满分20分)已知)(x f 是R 上的奇函数,1)1(=f ,且对任意0

求+++)98

1()31()991()21()1001(

)1(f f f f f f …的值.

11.(本题满分20分)如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,F 是x 轴正半轴上的一个动点.以F 为焦点,O 为顶点作抛物线C .设P 是第一象限内C 上的一点,Q 是x 轴负半轴上一点,使得PQ 为C 的切线,且|PQ |=2.圆21,C C 均及直线OP 相切于点P ,且均及轴相切.求点F 的坐标,使圆1C 及2C 的面积之和取到最小值.

2016年全国高中数学联合竞赛加试

一、(本题满分40分)设实数,,21a a …2016,a 满足,2,1(11921=>+i a a i i …)2015,。求))((232221a a a a --…

))((212016220162015a a a a --的最大值。

二、(本题满分40分)如图所示,在ABC ?中,X ,Y 是直线BC 上两点(X ,B ,C ,Y 顺次排列),使得AB CY AC BX ?=?。

设ACX ?,ABY ?的外心分别为1O ,2O ,直线21O O 及AB ,AC 分别交于点U ,V 。

证明:AUV ?是等腰三角形。

三、(本题满分50分)给定空间中10个点,其中任意四点不在一个平面上,将某些点之间用线段相连,若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形,试确定所连线段数目的最大值。

四、(本题满分50分)设p 及2+p 均是素数,3>p 。数列}{n a 的定义为21=a ,,,3,2=n ,…。这里??x 表示不小于实数x 的最小整数。

2016年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)

参考答案及评分标准

说明:

3. 评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分

标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.

4. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分

档次给分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分一个档次,不要增加其他中间档次.

一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分

1.设实数a 满足||1193

a a a a <-<,则a 的取值范围是

答案:

解:由||a a <可得0->a

a a a a 即111912

<-<-a ,所以.又0

2.设复数w z ,满足3||=z ,i w z w z 47))((+=-+,其中i 是虚数单位,w z ,分别表示w z ,的共轭复数,则)2)(2(w z w z -+的模为 答案:65

解:由运算性质,)(||||))((4722zw zw w z w z w z i ---=-+=+,因为2||z 及2||w 为实数,0)Re(=-zw zw ,故7||||22=-w z ,i zw zw 4-=-,又3||=z ,所以2||2=w ,从而

i i zw zw w z w z w z 81889)(2||4||)2)(2(22+=+-=---=-+ 因此,)2)(2(w z w z -+的模为65.

3.正实数w v u ,,均不等于1,若5log log =+w vw v u ,3log log =+v u w v ,则u w log 的值为 答案:5

4 解:令a v u =log ,b w v =log ,则

,,ab a w v v vw v u u u +=?+=log log log log

条件化为5=++b ab a ,,由此可得,因此

5

4log log log ==?=u v u v w w . 4.袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币,袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从

两个袋子中各取出两张纸币,则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 答案:35

9

解:一种取法符合要求,等价于从A 中取走的两张纸币的总面值a 小于从B 中取走的两张纸币的总面值b ,

从而1055=+≤a b ,

即从B 中取走的两张纸币不能都是1元纸币,相应有182327=-C C 种取法.因此,所求的概率为3592110541832725=?=??C C . 5.设P 为一圆锥的顶点,A ,B ,C 是其底面圆周上的三点,满足ABC ∠=90°,M 为AP 的中点.若AB =1,AC =2,2=AP ,则二面角M —BC —A 的大小为

答案:

解:由ABC ∠=90°知,AC 为底面圆的直径.设底面中心为O ,则⊥

PO 平面ABC ,易知,进而122=-=AO AP PO .

设H 为M 在底面上的射影,则H 为AO 的中点.在底面中作BC

HK ⊥于点K ,则由三垂线定理知BC MK ⊥,从而MKH ∠为二面角M —

BC —A 的平面角.

因,结合HK 及AB 平行知,,即,这样32tan ==

∠HK MH MKH .故二面角M —BC —A 的大小为.

6.设函数10

cos 10sin )(4

4kx kx x f +=,其中k 是一个正整数.若对任意实数a ,均有}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<,则k 的最小值为

答案:16

解:由条件知,10

cos 10sin 2)10cos 10(sin )(2

2222

kx kx kx kx x f -+= 4352cos 415sin 12+=-=kx kx 其中当且仅当时,)(x f 取到最大值.根据条件知,任意一个长为1的开区间)1,(+a a 至少包含一个最大值点,从而,即π5>k .

反之,当π5>k 时,任意一个开区间均包含)(x f 的一个完整周期,此时}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<成立.综上可知,正整数的最小值为161]5[=+π.

7.双曲线C 的方程为,左、右焦点分别为1F 、2F ,过点2F 作直线及双曲线C 的右半支交于点P ,Q ,使得PQ F 1∠=90°,则PQ F 1?的内切圆半径是

答案:17-

解:由双曲线的性质知,

431221=+?=F F ,22121=-=-QF QF PF PF .

因PQ F 1∠=90°,故2

212221F F PF PF =+,因此 72242)()(222221222121=-?=--+=+PF PF PF PF PF PF 从而直角PQ F 1?的内切圆半径是

17)(2

1)(21)(21212111-=--+=-+=QF QF PF PF Q F PQ P F r 8.设4321,,,a a a a 是1,2,…,100中的4个互不相同的数,满足

2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++=++++

则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为

答案:40

解:由柯西不等式知,2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++≥++++,等号成立的充分必要条件

是,即4321,,,a a a a 成等比数列.于是问题等价于计算满足{1,2,3,},,,{4321?a a a a …,100}的等比数列4321,,,a a a a 的个数.设等比数列的公比1≠q ,且q 为有理数.记,其中n m ,为互素的正整数,且n m ≠. 先考虑m n >的情况.

此时,注意到33,n m 互素,故为正整数. 相应地,4321,,,a a a a 分别等于l n l mn nl m l m 3

223,,,,它们均为正整数.这表明,对任意给定的,满足条件并以q 为公比的等比数列4321,,,a a a a 的个数,即为满足不等式1003≤l n 的正整数l 的个数,即.

由于10053>,故仅需考虑这些情况,相应的等比数列的个数为 20113312]64

100[]64100[]27100[]27100[]8100[=++++=++++. 当m n <时,由对称性可知,亦有20个满足条件的等比数列4321,,,a a a a .

综上可知,共有40个满足条件的有序数组),,,(4321a a a a .

二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

9.(本题满分16分)在ABC ?中,已知?=?+?32.求C sin 的最大值. 解:由数量积的定义及余弦定理知,2

cos 2

22a c b A cb AC AB -+==?. 同理得,2222b c a -+=?,2

2

22c b a -+=?.故已知条件化为

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