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二次函数的图像及一元二次方程与二次函数的关系

第十五讲二次函数的图像与性质

二次函数2y ax bx c =++图象的画法 1、二次函数的表示方法：

1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，

c bx ax y ++=2

=a b ac a b x a a c a b a b x a b

x a a c x a b x a 44)2()2()2()(222222

+=?????

?+-++=++ 由此可见函数c bx ax y ++=2的图像与函数2

ax y =的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。 2、二次函数c bx ax y ++=2

的图像特征

（1）二次函数 c bx ax y ++=2( a ≠0)的图象是一条抛物线； 3、二次函数2y ax bx c =++的性质

1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

，．

当2b

x a

<-时，y 随x 的增大而减小；当2b

x a

时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a

=-时，y 有最小值244ac b a -．

2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

，．

当2b

x a

<-时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a

时，y 随x 的增大而减小；当2b

x a

=-时，y 有最大值244ac b a -．

3. 常数项c

⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；

⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．

例1 已知函数y= x 2 -2x -3 ,

（1）把它写成k m x a y ++=2

)(的形式；

并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的

（2）写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；（3）求出图象与坐标轴的交点坐标；（4）画出函数图象的草图；

( 5 ) 设图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于P 点，求△APB 的面积；

（6）根据图象草图，说出 x 取哪些值时， ① y=0; ② y<0; ③ y>0.

例2、求抛物线2

3212-+-=x x y 的对称轴和顶点坐标。

变式：

2、

例3、已知关于x 的二次函数的图像的顶点坐标为（-1，2），且图像过点（1，-3）。（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求这个二次函数的图像与坐标轴的交点坐标。

变式：

二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：

① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，

，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离

2214b ac

AB x x a

-=-. ② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点；

③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点.

1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，

b ，

c 的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的

内在联系：

二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．例1、抛物线y=x 2-8x+c 的顶点在x 轴上，则c 等于( )

A.－16

B.－4 例2、已知抛物线2

234

y x kx k =+-（k 为常数，且k ＞0）

．证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；

练习1、已知关于x 的二次函数y=2x 2

－（3m+1）x ＋m （m>1）. 证明使y=0的x 的值有两个；

例3、已知关于x 的二次函数y ＝x 2－（2m －1）x ＋m 2＋3m ＋ 4.

探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数.

例4、已知：关于x 的函数772

--=x kx y 的图象与x 轴总有交点，k 的取值范围是（）

A 、k ＞47

B 、k ≥47且k ≠0

C 、k ≥47-

D 、k ＞4

-且k ≠0

练习1、关于x 的一元二次方程02

=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2

的顶

点在（）。

A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

例5、抛物线2

y x bx c =-++的部分图象如图所示，则方程02

=++-c bx x 的两根

为 .

练习：二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题：

（1）写出方程ax 2＋bx ＋c =0的两个根；（2）写出不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集；

（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范值；

（4）若方程ax 2＋bx ＋c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取什范围。

例7：抛物线m x y x

++=

-22

与X 轴的一个交点是A(3，0）

，另一个交点是B ，且与y 轴交于点C ，

（1）求m 的值；

（2）求点B 的坐标；

1 3

2 2

练习：

课后练习：

初三数学一元二次方程与二次函数测试题

初三数学第二次月考班级姓名学号一．选择题(每小题3分，共24分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( ) A. B. C. D. 2. 函数y=x 2-2x+3的图象的顶点坐标是( ) A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3.抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（） 4．关于的一元二次方程有实数根，则( ) (A)＜0 (B)＞0 (C)≥0 (D)≤0 1. A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2 =x 5.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( ) A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6.把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是532+-=x x y ，则有（） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 7. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则点在第___ 象限( ) A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 8. 若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax 2+bx 的图象只可能是( )

二.填空题（每小题4分，共32分） 2. 9.若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则y=________. 10. 若抛物线y=x 2-2x-3与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_________. 11. 抛物线y=x 2+bx+c ，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________. 12.已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，那么一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况是______________________. 13..若关于的方程的根是整数，则k 的值可以是______.(只要求写出一个) 14.已知抛物线c x ax y ++=2与x 轴交点的横坐标为1-，则c a +=_________. 15.已知二次函数的图象开口向上，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________. 16.如图，抛物线的对称轴是1=x ，与x 轴交于A 、B 两点，若B 点坐标是)0,3(，则A 点的坐标是________________. O x y A B 1 1 三．解答题 1．用适当的方法解方程：（1）（2x-1）2-7=3（x+1）；（2）（2x+1）（x-4）=5；

用二次函数的图像解一元二次方程

用二次函数的图像解一元二次方程一、教材分析：《用二次函数的图像解一元二次方程》选自义务教育课程标准试验教科书《数学》（冀教版）九年级下册第三十章第五节，这节课是在学生学习了二次函数的概念、图像、性质及其相关应用的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系，教材通过具体的二次函数的图像与x 轴交点个数的不同创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况。这样，学生结合图像就能直观地对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会；从而得出用二次函数的图像求一元二次方程的方法。这也突出了课标的要求：注重数形结合。本节教学时间安排1课时二、教学目标：知识技能： 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根． 3．能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根。数学思考： 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神． 2．经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图像法求方程近似根的体验． 3．通过观察二次函数图像与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。解决问题：

1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。 2．通过利用二次函数的图像估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图像与x 轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。情感态度： 1．从学生感兴趣的问题入手，让学生亲自体会学习数学的价值，从而提高学生学习数学的好奇心和求知欲。 2．通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。三、教学重点、难点：教学重点： 1．体会方程与函数之间的联系。 2．能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根。教学难点： 1．探索方程与函数之间关系的过程。 2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。四、教学方法：启发引导合作交流五：教学媒体：计算机、实物投影。六、教学过程设计：检查预习引出课题→创设情境探究新知→例题学习巩固提高→练习反馈巩固新知→感悟本课，分享收获→分层作业，共同提高七、教学过程： [活动1] 检查预习引出课题 1．解方程：（1）x2－2x－3=0; (2) x2－6x+9=0; (3) x2－2x+3=0. 2. 回顾一次函数与一元一次方程的关系，利用函数的图像求方程3x-4=0的解

一元二次方程、二次函数知识点总结

一元二次方程重要知识点 1. 一元二次方程的定义及一般形式：)0(2≠++=a c bx ax y （1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。（2）一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。 2. 一元二次方程的解法（1）配方法：将方程整理成(x+p)2 =q ，方程的根是x=-p ±q 注：x 2系数是1和不是1时配方注意事项；x 2系数是负数时配方注意事项。（2）公式法：242b b ac x a -±-=（240b ac -≥）（3）因式分解：十字相乘法：0)(2=+++pq x q p x 0))((=++?q x p x 3.一元二次方程根的判别（2 4b ac ?=-）（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根（2）△＝0，方程有一个实数根或者两个相等的实数根（3）△＜0，方程没有实数根，方程无解 4.韦达定理（根与系数关系）一元二次方程ax 2+bx+c ＝0，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系： 1x +2x ＝b a -； 1x .2x ＝c a 5.一元二次方程的应用 ①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元； ③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式 ④“解”就是求出说列方程的解； ⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程二次函数重要知识点 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。注意：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零． 2. 平移规律：