高中数学数列构造法讲解

高中数学数列构造法讲解

先来说一下，我们现在做题所讲解的这种数列其实是一种构造法，叫做直接构造法。

1.如果有n个自然数，这些自然数满足，则称该数列为n次数列。

2.如果从(1， 1)，…，(n-1， 1)起，每一项都是自然数的数列，则称这样的数列为直接产生式，或简称直接式。如果数列有无穷多项，就称这样的数列为直接产生式的数列。(注：无穷多项的数列是指该

数列存在无穷多个项，而不是有无穷多个项。) 3.用直接构造法构造出的数列，叫做原数列。如果数列有两个项相同，则称为直接式。

4.(1)如果将上述数列分割成若干段小于15的短数列时，并且把各部分添加到原始数列当中去，那么得到另外一组更新、但仍属于原数列的数列;否则，便归入了重复计算之内。也即完全按照间隔符号

移动位置进行改变。(2)如果把整体(原数列)依某个标准划分成许多

类似项目，再以此作为基础逐步求增减，由高至低排序，找出各比较层级对应关系及首尾衔接处，使余额达到要求值即可。 (3)假设

A=1+3+7+11+13+...+99， B=0+4+5+6+7+...+100， C=5+10+20+25 (100)

则上述定义的三条件需加试检验。

5.(4)根据前面的叙述，发现直接产生式具有交替性与平稳性质。由①和②知直接式不会因偶然事故突然消失，只会缓慢地降格甚至消失；而根据③和④，又反映了它既没有快速上升趋势也没有急剧骤停点。根据⑤，还表明⑥的形态很难确切预见。

6.其中任意两项的和可能不同。例如设X， Y为数列{1， 2， 3}

的第i项， x+y>1，同理，{-1， -2， -3}未必>- 1。(5)通过适当的运算，可逆向推导出公共项=公差+邻项商=-1。(6)结合⑦可知，其他项均可取正负符号代换，唯独累积量绝对不允许互换。(7)记忆特殊规律: a,b,c≥3， d,e≥5;(f)证:a<-b≤b;(g)证;a>b≤c; (h)证:c

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高中数学数列构造法讲解

高中数学数列构造法讲解 先来说一下，我们现在做题所讲解的这种数列其实是一种构造法，叫做直接构造法。 1.如果有n个自然数，这些自然数满足，则称该数列为n次数列。 2.如果从(1， 1)，…，(n-1， 1)起，每一项都是自然数的数列，则称这样的数列为直接产生式，或简称直接式。如果数列有无穷多项，就称这样的数列为直接产生式的数列。(注：无穷多项的数列是指该 数列存在无穷多个项，而不是有无穷多个项。) 3.用直接构造法构造出的数列，叫做原数列。如果数列有两个项相同，则称为直接式。 4.(1)如果将上述数列分割成若干段小于15的短数列时，并且把各部分添加到原始数列当中去，那么得到另外一组更新、但仍属于原数列的数列;否则，便归入了重复计算之内。也即完全按照间隔符号 移动位置进行改变。(2)如果把整体(原数列)依某个标准划分成许多 类似项目，再以此作为基础逐步求增减，由高至低排序，找出各比较层级对应关系及首尾衔接处，使余额达到要求值即可。 (3)假设 A=1+3+7+11+13+...+99， B=0+4+5+6+7+...+100， C=5+10+20+25 (100) 则上述定义的三条件需加试检验。 5.(4)根据前面的叙述，发现直接产生式具有交替性与平稳性质。由①和②知直接式不会因偶然事故突然消失，只会缓慢地降格甚至消失；而根据③和④，又反映了它既没有快速上升趋势也没有急剧骤停点。根据⑤，还表明⑥的形态很难确切预见。 6.其中任意两项的和可能不同。例如设X， Y为数列{1， 2， 3}

的第i项， x+y>1，同理，{-1， -2， -3}未必>- 1。(5)通过适当的运算，可逆向推导出公共项=公差+邻项商=-1。(6)结合⑦可知，其他项均可取正负符号代换，唯独累积量绝对不允许互换。(7)记忆特殊规律: a,b,c≥3， d,e≥5;(f)证:a<-b≤b;(g)证;a>b≤c; (h)证:c

数列构造方法(一)

数列构造方法(一) 数列构造 什么是数列构造？ 数列构造是数学中一种通过不同的规律和方法构造序列的技巧和方法。数学中的序列指的是按照规律排列起来的一系列数。使用数列构造可以帮助我们更好地理解和掌握数学知识，例如数列求和、递归函数、函数极限等。 常见的数列构造方法 等差数列和等比数列 等差数列是每一项与前一项之差相等的数列，公差是相邻两项之差的值。例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。 等比数列是每一项与前一项之比相等的数列，公比是相邻两项之比的值。例如，1，2，4，8，16就是一个公比为2的等比数列。 可以通过规律找到等差数列和等比数列的通项公式，从而计算它们的和。 斐波那契数列 斐波那契数列是指一个数列，其第一项和第二项均为1，从第三项开始，每一项是前两项之和。例如，1，1，2，3，5就是斐波那契数列。

斐波那契数列在自然界中广泛存在，例如植物的叶子排列、贝壳 的形状等。斐波那契数列还与黄金分割比例密切相关，常被应用于设计、艺术等领域。 筛法构造素数序列 素数是仅能被1和本身整除的自然数，如2、3、5、7、11等。筛法构造素数序列的方法是，从2开始，依次筛去2的倍数、3的倍数、 5的倍数……依次类推，筛完后剩下未被标记的数即为素数。 例如，下面是构造1-100的素数序列的过程： 1.假设全部数都为素数。 2.2是素数，筛去2的倍数：4、6、8、10……100。 3.3是素数，筛去3的倍数：9、15、21……99。 4.5是素数，筛去5的倍数：25、35……95。 5.7是素数，筛去7的倍数：49、63……91。 6.最终剩下的未被标记的数即为素数：2、3、5、7、11、13、17、 19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、 79、83、89、97。 素勾股数构造法 素勾股数是指勾股数中所有元素都为素数的三元组。例如，(3，5，7)就是一个素勾股数。

构造数列的方法总结

构造数列的方法总结 构造数列是数列理论中的一种重要方法，它常常用于解决各种数学问题和实际应用中的数值计算。构造数列的方法有很多种，下面将对其中一些常见的方法进行总结。 一、等差数列的构造方法： 等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都是相等的数列。常用的构造等差数列的方法有以下几种： 1、已知首项和公差，可以直接通过逐项求得。 2、已知首项和末项，可以通过末项减去首项得到差值，然后 通过差值除以项数得到公差。 3、已知首项和项数，可以通过项数减一得到差值，然后通过 差值除以项数得到公差。 4、已知末项和项数，可以通过项数减一得到差值，然后通过 差值除以项数得到公差。 二、等比数列的构造方法： 等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都是相等的数列。常用的构造等比数列的方法有以下几种： 1、已知首项和公比，可以直接通过逐项求得。 2、已知首项和末项，可以通过末项除以首项得到比值，然后 通过开方得到公比。 3、已知首项和项数，可以通过公比的次方得到末项。 4、已知末项和项数，可以通过公比的次方得到首项。 三、斐波那契数列的构造方法： 斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。常用

的构造斐波那契数列的方法有以下几种： 1、已知前两项，可以通过求和得到第三项，然后通过逐项求得。 2、已知第一项和项数，可以通过递推公式求得后续项。 3、已知末项，可以通过递推公式求得前一项，然后通过逐项逆推。 四、调和数列的构造方法： 调和数列是指数列中每一项都是前一项的倒数加一的数列。常用的构造调和数列的方法有以下几种： 1、已知首项和项数，可以通过逐项调和得到后续项。 2、已知末项和项数，可以通过项数减一得到首项，然后通过逐项调和得到前一项。 3、已知任意两项，可以通过前一项的倒数减一得到差值，然后通过差值除以项数得到后续项。 五、等差等比混合数列的构造方法： 等差等比混合数列是指数列中前n项为等差数列，后m项为等比数列的数列。构造等差等比混合数列的方法较为复杂，但可以通过以下几种常用的方法进行： 1、已知首项、公差、公比和项数，可以通过逐项求得。 2、已知首项、公差、公比和末项，可以通过末项减去首项得到差值，然后通过差值除以项数得到公差，再通过公比的次方得到前n项，最后通过逐项求得后m项。 3、已知首项、公差、公比和项数，可以通过项数减一得到差值，然后通过差值除以项数得到公差，再通过末项除以首项得到比值，最后通过比值开方得到公比，最后通过逐项求得。

专题十五构造法求数列(解析版)

专题十五构造法求数列(解析版)专题十五构造法求数列（解析版） 数列是数学中常见的概念，它是由一系列数字按照一定规律排列而成。在解析数列的过程中，构造法是一种常用的方法，可以通过逐步构造出数列的规律，从而求解出数列的通项公式。本文将介绍专题十五中构造法解析数列的具体步骤和应用。 一、构造法的基本概念 构造法是一种通过逐步构造数列的规律来解析数列的方法，它可以帮助我们找到数列的通项公式或递推关系。构造法的基本思路是从已知的数列出发，利用数列的特点逐步推导出新增项的规律，最终得到数列的通项公式。 二、构造法的具体步骤 在使用构造法解析数列时，一般可以通过以下步骤进行求解： 1.观察数列的规律 首先，我们需要观察题目中给出的已知数列，从中寻找出数列的规律。注意观察数列的项数、数值的变化方式、数列中可能存在的特殊性质等。通过观察，我们可以初步猜测数列的通项公式或递推关系。 2.构造新增项 在观察数列规律的基础上，我们可以通过构造新增项来进一步验证数列的通项公式。构造新增项的方法可以多种多样，比如可以逐项相

加、相减、相乘、相除等。通过计算新增项的数值，可以判断我们的 猜测是否正确。 3.推导出通项公式 如果我们的猜测正确，那么通过构造新增项可以找到数列的递推关 系或通项公式。在推导过程中，可以利用数列的特殊性质、数学运算 规律等，来进一步简化通项公式的表达形式。推导出通项公式后，可 以通过验证数列的前几项来进一步证明其正确性。 4.应用通项公式 一旦得到数列的通项公式，我们可以利用该公式来求解数列的任意项。通过代入特定的项数，就可以计算出数列中对应的数值。此外， 通过通项公式，我们还可以计算数列的和、平均值等相关性质。 三、构造法的应用示例 为了更好地理解构造法的应用，下面以一个具体的示例进行讲解。 例：已知数列的前四项分别是1、4、9、16，求该数列的通项公式。 解：首先，观察已知的前四项，我们可以发现它们都是某个数的平方，即1=1²，4=2²，9=3²，16=4²。因此，我们可以初步猜测该数列的 通项公式为n²， 接下来，我们可以通过构造新增项来验证该猜测。根据数列的特点，我们知道下一个新增项的数值应该是原有数列的项数加1的平方。即 第五项应该是5²=25。

高中数学数列构造法

高中数学数列构造法 高中数学中，数列是一种类似表格的形式，用来表示某个变量随着另一个变量的变化而变化。它可以用来表示一组数据，也可以用来表示一般公式的变化，其中每一项都具有规律性。构造一个数列，是一个过程，只有掌握了构造数列的方法和步骤，才能够推导出某个数列的相关关系。 一、列举法 列举法是构造数列最简单的方法，就是一个一个列出多个项，形成一个数列。在列举的过程中，我们可以使用等差数列、等比数列、定比数列等方法来构造，比如： 例1：数列{1，3，5，7，9，11，13，15} 这是一个等差数列，每一项都比上一项多2，因此这个数列的前两项是1和3，等差是2。 例2：数列{1，2，4，8，16，32，64，128} 这是一个等比数列，每一项都是上一项的2倍，因此这个数列的前两项是1和2，公比是2。 二、公式法 公式法是构造数列最常见的方法，也是最有效的方法，它可以很快速地找出数列中的每一项，只要找出数列的模式，就可以利用公式求出任意项的值。比如： 例1：数列：2，4，6，8，10，…… 这是一个等差数列，每一项都比上一项多2，因此这个数列的前

两项是2和4，等差是2，可以用等差数列的公式表示，即 a_n=a_1+(n-1)d，其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，d表示数列的公差，因此数列可以表示为a_n=2+(n-1)×2。 例2：数列：3，9，27，81，243，…… 这是一个等比数列，每一项都是上一项的3倍，因此这个数列的前两项是3和9，公比是3，可以用等比数列的公式表示，即a_n=a_1r^（n-1），其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，r表示数列的公比，因此数列可以表示为a_n=3×3^（n-1）。 三、递推法 递推法是指根据已知结果，推算出未知结果的方法，根据给定的前两项，推算出后续项的值。递推可以分为等差数列和等比数列，等差数列为每一项加上相同的数值，而等比数列则为每一项乘以相同的数值。比如： 例1：数列：5，7，9，11，…… 这是一个等差数列，每一项都比上一项多2，因此这个数列的前两项是5和7，等差是2，可以递推求出后续的每一项，即从第三项开始，第n项可以根据第n-1项来推出，即a_n=a_n-1+2。 例2：数列：2，4，8，16，32，…… 这是一个等比数列，每一项都是上一项的2倍，因此这个数列的前两项是2和4，公比是2，可以递推求出后续的每一项，即从第三项开始，第n项可以根据第n-1项来推出，即a_n=a_n-1×2。

构造法求数列通项公式典型例题解析

构造法求数列通项公式典型例题解析 高中数学中研究数列是一个重要的课题，而数列通项公式是其中非常基础的知识，学习数列通项公式的求取非常重要，掌握构造法在求取数列通项公式方面可以发挥很大的帮助。本文以构造法求数列通项公式典型例题解析为标题，通过分析构造法求取数列通项公式的步骤，以及典型例题的解析，来加深大家对数列的理解，从而增强大家的数学能力。 # 二、构造法概述 数列是重要的数学概念，在生活中经常使用。在分析数列时，我们首先要掌握数列通项公式。求取数列通项公式有定义法、构造法等常见的几种方法。而今本文主要采用构造法来求取数列通项公式。构造法，即将数列的某一项的值表达式，以及数列的前面几项的值，运用代数规律进行推理，最后得出数列的通项公式。 # 三、构造法求数列通项公式的步骤 构造法求取数列的通项公式，是从数列的前几项推出数列的通项公式，一般分三步： 1、确定数列的第一项； 2、确定数列的规律； 3、推出数列的通项公式。 在确定数列的第一项时，要先看数列的首项，当首项不确定时，可以将首项记作一个未知数，或者是一个常数；在确定数列的规律时，注意观察数列的特征，并运用其定义、性质、规律，从而推出数列的

通项公式。 #、构造法求数列通项公式典型例题分析 下面以三道典型例题来分析构造法求数列通项公式： ### 1、例题一：求数列的通项公式 数列`x1, x2, x3, x4`满足：`x1=1`，`x2=4`，`x3=9`，`x4=16`,求数列`xn`的通项公式。 解：此这个数列中，有N项，即N=4，数列的第一项x1=1，从第一项开始，仔细观察x2,x3,x4等项，可以发现它们的差是每次加3，从而判定数列的规律为：`xn=3n-2`。通过构造法容易推出数列的通项公式为`xn=3n-2`。 ### 2、例题二：求数列的通项公式 数列“a1, a2, a3, a4”满足：`a1=3`，`a2=7`，`a3=18`，`a4=37`，求数列“an”的通项公式。 解：这个数列中，有N项，即N=4，数列的第一项a1=3，从第一项开始，仔细观察a2,a3,a4等项，可以发现它们的差分别是4、11、19，它们的公差逐渐增加，从而判定数列的规律为：`an=3+(n-1)×7+2(n-1)(n-2)`。通过构造法容易推出数列的通项公式为`an=3+(n-1)×7+2(n-1)(n-2)`。 ### 3、例题三：求数列的通项公式 数列“b1, b2, b3, b4”满足：`b1=4`，`b2=11`，`b3=22`，`b4=35`，求数列“bn”的通项公式。 解：此这个数列中，有N项，即N=4，数列的第一项b1=4，从第

高中数学构造法求解题技巧

高中数学构造法求解题技巧 高中数学构造法是一种解题思路和技巧，它通过构造适当的数学结构，使得问题的求解变得更加简单明了。构造方法在高中数学中应用广泛，可以用于解决各类题型，包括代数题、几何题、概率题等等。 一、构造法的基本思想 构造法是一种通过建立合适的数学结构，简化问题的解决方法和步骤的思想。通过构造一些符合题意的数学对象，我们可以发现一些规律，从而提供问题的解答方式。 二、构造法的常见技巧 1.构造等差数列或等比数列 在解决一些代数问题时，我们可以尝试构造一个等差数列或者等比数列。通过构造这样的数列，我们可以找到其中的规律，从而解决问题。 2.构造图形 在解决几何问题时，我们可以尝试构造一个与原图形相似或者关联的图形。通过构造这样的图形，我们可以将复杂的几何问题简化为一些基本的几何性质，从而解决问题。 3.构造排列组合

在解决一些概率问题和组合问题时，我们可以尝试构造排列组合。通过构造排列组合，我们可以得到一些计算公式或者规律，从而解决问题。 4.构造方程组 在解决一些代数问题时，我们可以尝试构造一个方程组。通过构造这样的方程组，我们可以得到一些方程之间的关系，从而解决问题。 5.构造递推公式 在解决一些数列问题时，我们可以尝试构造一个递推公式。通过构造递推公式，我们可以找到数列中的规律，从而解决问题。 三、构造法的实例分析 1.构造等差数列 例题：有一些连续的整数，它们的和是45，这些整数中最小的是多少？ 解析：我们可以假设这些连续的整数的首项是x，公差是1，那么这些整数的和可以表示为：x+(x+1)+(x+2)+...+(x+n)=45。通过求和公式，我们可以得到(x+45)/(n+1)=45，进一步化简得到x=15-n。我们可以发现，当n=30时，x=15-n=0，此时连续整数中的最小值为0。 2.构造图形

高中数学数列构造法讲解

高中数学数列构造法讲解 数列是在自然界和实际生活中普遍存在的一种简单事物。它的发现，是古希腊数学家丢番图在《算术》中完成的。公元前三世纪以后，随着经济和科学的发展，人们开始对数进行分类，数学上就出现了整数和小数。而当数被分成有限个部分时，数列就产生了。 一、构造法是学习数列极为有效的方法，其思路如下： (1)对称三角形法：将原数列前面两项(x， y)按照“ x+y=1”的对称关系联接起来，组成一个对称三角形，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半”的性质可以把这个对称三角形分解成两个全等的直角三角形。 1、已知，求。分析：可先求出a1，再由直角三角形的性质得到a2；又由a2=b1，得到b2=c1。 2、已知，求。分析：由数列求和公式，再结合公比的知识可以求出a2。 3、已知，求。分析：(1)由题意可知数列中各项相差1，故a1-1=c1， a2-1=b2， a3-1=c2， a4-1=c3；(2)把对称三角形的底边y=1，则a2-y=c2；(3)因为c(3)等于1，所以a3-1=c2；(4)最后再将a1-1=c2代入数列中得到： a1=c1。二、构造法要注意几点问题： 3、已知，求。分析：(1)根据奇数项的二次函数的性质，得到f(a) = -4，再根据两个正整数的和与积的运算法则可得a＝5；(2)因为b＝-2，则-b+b＝1，得b＝4；(3)因为e＝2，故a=2；(4)根据f(a)＝e， f(a)＝a-1， f(a)＝1，得a＝1。

4、已知，求。分析：根据(1)(2)，设其为a1，得到a1＝1；再根据对称三角形的性质，可得到a2＝b1， b2＝c1，即可得出a3＝c2，a4＝c3；最后代入数列求得即可得到a5＝a3。三、注意问题：在运用对称三角形法构造数列时，要注意两点：(1)应将原数列前面两项按“ x+y=1”的对称关系用线连接起来；(2)当数列中出现等差数列或等比数列时，往往通过两个等比数列之间的转化来构造数列，但注意转化过程中的“等量关系”不能改变。四、典型例题精讲1、已知，求。分析：利用对称三角形的性质，用直角三角形分解法即可得出a2。 2、已知，求。分析：同理利用对称三角形的性质即可得出。 3、已知，求。分析：先求出对称三角形的两直角边为1，得到b1， b2，再代入即可求得a3。

构造数列的方法总结

构造数列的方法总结 数列是数学中最基本的概念之一，它由一系列按照特定规律排列 的数所组成。构造数列的方法多种多样，下面将就几种常见的方法进 行总结和探讨。 递推法：递推法是最常见的构造数列的方法之一。递推法的基本 思想是通过确定数列前几项之间的递推关系，从而不断地推导出后面 的项。例如斐波那契数列，它的递推关系是每一项都等于前两项之和，即F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0)=0，F(1)=1。通过这个递推关系，我们可以得到斐波那契数列的任意一项。 求通项公式：求解数列的通项公式是构造数列的一种高级方法。 通项公式可以直接给出数列的任意一项，而无需计算前面的项。要求 数列的通项公式，通常需要从数列中发现一定的规律，并运用代数方 法进行推导。例如等差数列的通项公式是An = A1 + (n - 1)d，其中 An表示第n项，A1表示首项，d表示公差。 特殊构造法：特殊构造法是一种灵活的数列构造方法，根据数列 所要满足的特定条件，通过选择合适的数值和操作来构造出所需的数列。例如杨辉三角，它是一种特殊的数列构造法，根据每个数等于它 上方两个数之和的规律，可以逐行构造出杨辉三角的每一个数。 生成函数法：生成函数法是一种数理统计中常用的数列构造方法，它将数列看作是一个形式为函数的无穷级数。通过对数列的生成函数 进行求解，可以得到数列的各个项。例如，斐波那契数列的生成函数 是F(x) = 1/(1-x-x^2)，通过对这个生成函数进行展开，就可以得到 斐波那契数列的每一项。

从几何问题中构造数列：数列构造方法还可以与几何问题相结合，通过几何问题的特点来构造数列。例如，规则的图形阵列，通过对图 形阵列的规律进行观察，可以确定数列的递推关系，从而构造数列。 通过以上几种方法，我们可以构造出各种各样的数列。数列不仅 仅是数学理论中的一个概念，它还广泛应用于实际生活和科学研究中。在实际生活中，数列可以用来描述人口增长、货币贬值等现象；在科 学研究中，数列可以用来描述物质的分布、自然界的规律等。 总之，构造数列的方法多种多样，可以通过递推法、求通项公式、特殊构造法、生成函数法以及与几何问题相结合等方法来构造数列。 通过构造数列，我们可以更好地理解数学的规律，解决实际问题，以 及在科学研究中发现新的知识。

(完整版)高中数学构造法求数列通

构造法求数列通项例题分析 型如a n+1=pa n +f(n) (p 为常数且p ≠0， p ≠1)的数列 (1)f(n)= q (q 为常数) 一般地，递推关系式a n+1=pa n +q (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)等价与 )1(11p q a p p q a n n --=-- +，则{p q a n --1}为等比数列，从而可求n a ． 例1、已知数列{}n a 满足11 2a =，132 n n a a --=（2n ≥），求通项n a ． 解：由132n n a a --= ，得111(1)2n n a a --=--，又11 2 10a -=≠， 所以数列{1}n a -是首项为12，公比为1 2 -的等比数列， ∴1 111 1(1)() 1()2 2 n n n a a -=---=+-． 练习：已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a ，求通项n a ． 答案：12-=n n a ． (2) f(n)为等比数列，如f(n)= q n (q 为常数) ，两边同除以q n ，得111+=++n n n n q a p q a q ， 令n n n a b q = ，则可转化为b n+1=pb n +q 的形式求解． 例1、已知数列{a n }中，a 1=65，1 111()32 n n n a a ++=+，求通项n a ． 解：由条件，得2 n+1a n+1=3 2(2 n a n )+1，令 b n =2 n a n ， 则b n+1=32b n +1，b n+1-3=3 2 （b n -3） 易得 b n =3)32(341+--n ，即2 n a n =3)3 2 (341+--n ， ∴ a n =n n 2332+- ． 练习、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求通项n a ． 答案：3 1()222 n n a n =-． (3) f(n)为等差数列，如1n n a Aa Bn C +=++型递推式，可构造等比数列．（选学，注重记忆方法）

高三总复习---数列构造法题型方法整理总结归纳

构造法，所有本身不是等差或等比数列的数列，通过一定构造之后，变成新的等差或等比数列的方法。题型有四 种常见的：①对于类型的，构造成形式，然后再展开求，得到一个以为首项，为公比的新的等比数列；②对于类型的，构造成 形式，再展开求,然后得到一个以为首项，为公比 的新的等比数列；③对于类型的，左右两边同除以，构造成 形式，得到一个以 为首项，为首项的新的等差数列；④对于类型的，先左右两边同除以以后，构造成 形式后，再二次构造成，解出，得到一个以 为首项， 为公比的新的等比数列。这里还有一些注意事项：①这里等都是常数，但是注意不能为1，为1的时候就会变为等差数列或者累加法；②待定系数并求出之后，为了避免出错，尽量把以什么为首项，什么为公差或公比写出来；③为了能快速分辨出题型和方法，大家尽量把类型和构造的方法都记住。④构造法不止于以上四种，除此之外，还有一些不常见的构造法，碰到的话要大胆猜测，仔细验证。另外还有一个技巧大家要牢记，就是很多构造的方法其实隐藏在问题里面,因此，问题即提示。 1、已知数列满足 求数列的通项公式。 2、已知数列中，，则此数列的一个通项公式是_________。 3、设有数列，，若以为系数的二次方程都有根，且满足 。 （1）求证：数列是等比数列。 （2）求数列的通项以及前项和。 4、已知数列满足，() (1)求证：数列是等比数列； (2)求的通项公式及前项的和 5、已知数列中，，求。 6 b ka a n n +=+1)(1x a k x a n n +=++x x a +1k m bn ka a n n ++=+1)()1(1y xn a k y n x a n n ++=++++y x ,y x a ++1k n n n k ka a +=+11 +n k k k a k a n n n n 1 1 1+=++1 1k a k 1n n n b ka a +=+11 +n b b b a b k b a n n n n 111+⋅=++)(11x b a b k x b a n n n n +⋅=+++x x b a +1 1 b k m b k ,,k k {}n a * 111,21().n n a a a n N +==+∈{}n a {}n a 32,111+==-n n a a a {}n a 15 6 a = 123,,,,n a a a a 2110n n a x a x --+=,αβ331ααββ-+=1{}2 n a -{}n a n a n n S {}n a 114,21n n a a a +==++ ∈N n {}1+n a {}n a n n S {}n a 32,111+==+n n a a a n a

构造法求数列通项公式

精心整理 构造法求数列通项公式 求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。 一、构造等差数列求数列通项公式 运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。 例1 在数列{}n a 中，1a =12 解析：由a n+1=33+n n a a 得，a n+1a n 设b n =n a 1 ，则b n+1-b n =31数列｛b n ｝是首相b 1=2，公差根据等差数列的通项公式得b n =∴数列通项公式为a n =53 +n 评析：n a 1 的例2n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n = 1 222-n n S S (n ≥2)，求S n 与a n 。 解析：当a n =1 222-n n S S 得，S n -S n-1= 1 2 22-n n S S ，变形整理得S n -S n-1=S n S n-1两边除以S n S n-1得，n S 1-1 1-n S =2， ∴｛n S 1｝是首相为1，公差为2的等差数列 ∴ n S 1 =1+2（n-1）=2n-1,∴S n =121-n (n ≥2),n=1也适合，∴S n =121 -n (n ≥1) 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=121-n -321 -n =- 3 842 2 +-n n ，n=1不满足此式， ∴a n = { 2 11 3 8422≥=+--n n n n 评析：本例将所给条件变形成A n f n f =-+)()1(，先求出)(n f 的通项公式，再求出原数列的通项公式，

高中数学核心方法：构造法

高中数学核心方法：构造法 高中数学核心方法：构造法 一、引言 在高中数学的学习过程中，我们经常会遇到一些看似难以解决的问题。然而，借助构造法这一核心方法，我们可以将问题转化为易于解决的新问题，从而突破难点，找到解决问题的方法。本文将详细介绍构造法的基本概念、使用场景以及实际应用案例，帮助大家更好地理解和掌握这一重要方法。 二、构造法的基本概念 构造法是指在解题过程中，通过构造适当的辅助元素，将原问题转化为容易解决的新问题，从而达成解题目的的一种方法。这种方法的精髓在于“构造”，即根据题意，通过观察、分析，构造出适合题意的 数学元素或模型，进而借助这些元素或模型解决问题。 三、构造法在高中数学中的应用场景 高中数学中，构造法应用广泛。在函数、几何、数列、不等式等领域，我们都可能遇到需要使用构造法解决的问题。具体来说，如在函数问题中，我们常常需要构造辅助函数来解决单调性、零点等问题；在几何问题中，我们可能会需要构造辅助线、面等来解决问题；在数列问

题中，我们可能会需要构造新的数列来研究其性质。 四、案例分析：构造法在几何问题中的应用 例如，在解决三角形内接矩形的面积最值问题时，我们可以运用构造法。通过在三角形内构造一个矩形，使得该矩形的面积最大。具体做法是，以三角形的底边为矩形的底边，以三角形的高为矩形的高，这样便能得到面积最大的矩形。 五、总结 构造法是高中数学中的一种重要方法，它不仅可以帮助我们解决具体的问题，更能够培养我们的观察、分析和创新能力。在学习数学的过程中，我们应该不断探索、实践，灵活运用构造法，以解决更多的问题。我们还应该在学习其他学科的过程中，积极运用构造法，提高自己的综合素质。 总之，掌握构造法不仅能帮助我们在解决数学问题时更加得心应手，同时也能提升我们的思维能力和创新精神。因此，我们应该在学习高中数学的过程中，注重理解和运用构造法，以更好地应对各种复杂问题。 高中数学核心素养 高中数学核心素养：探索、发现与塑造未来

高三总复习---数列构造法题型方法整理总结归纳

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构造法，所有本身不是等差或等比数列的数列，通过一定构造之后，变成新的等差或等比数列的 方法。题型有四种常见的：①对于b ka a n n +=+1类型的，构造成)(1x a k x a n n +=++形式，然后再展开求x ，得到一个以x a +1为首项，k 为公比的新的等比数列；②对于 m bn ka a n n ++=+1类型的，构造成)()1(1y xn a k y n x a n n ++=++++形式，再展开求y x ,,然 后得到一个以y x a ++1为首项，k 为公比的新的等比数列；③对于n n n k ka a +=+1类型的，左右两边同除以1+n k ，构造成 k k a k a n n n n 111+=++形式，得到一个以1 1k a 为首项，k 1 为首项的新的等差数列；④对于n n n b ka a +=+1类型的，先左右两边同除以1+n b 以后，构造成 b b a b k b a n n n n 111+⋅=++形式后，再二次构造成)(11x b a b k x b a n n n n +⋅=+++，解出x ，得到一个以x b a +1 1 为首项， b k 为公比的新的等比数列。这里还有一些注意事项：①这里m b k ,,等都是常数，但是注意k 不能为1，k 为1的时候就会变为等差数列或者累加法；②待定系数并求出之后，为了避免出错，尽量把以什么为首项，什么为公差或公比写出来；③为了能快速分辨出题型和方法，大家尽量把类型和构造的方法都记住。④构造法不止于以上四种，除此之外，还有一些不常见的构造法，碰到的话要大胆猜测，仔细验证。另外还有一个技巧大家要牢记，就是很多构造的方法其实隐藏在问题里面,因此，问题即提示。 1、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ 求数列{}n a 的通项公式。 2、已知数列{}n a 中，32,111+==-n n a a a ，则此数列的一个通项公式是_________。 3、设有数列{}n a ，15 6 a =，若以123,,,,n a a a a 为系数的二次方程2110n n a x a x --+=都有根,αβ，且 满足331ααββ-+=。 （1）求证：数列1 {}2 n a -是等比数列。 （2）求数列{}n a 的通项n a 以及前n 项和n S 。 4、已知数列{}n a 满足114,21n n a a a +==+，(+∈N n ) (1)求证：数列{}1+n a 是等比数列； (2)求{}n a 的通项公式及前n 项的和n S 5、已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求n a 。 6

大招11数列通项构造法

大招11数列通项构造法 大招总结 结论1:1n n a pa q +=+(其中 ,p q 均为常数,且()10pq p -≠,转化为:()1n n a t p a t ++=+,其中 t = 1 q p -,构造等比数列即可. 结论2:数列的递推关系为1n n a Aa Bn C +=++型,可化()()11n n a p n q A a pn q ++++=++的形式来求通项. 结论3.形如1n n n a pa q +=+(其中,p q 均为常数,且()())110pq p q --≠,先在原递推公式两边 同时除以1 n q +(也可以同时除以1 n p +)得 111n n n n a a p q q q q ++=⋅+,引人辅助数列{}n b (其中n n n a b q =),得11 n n p b b q q += +再用待定系数法解决。 结论4.形如11n n n a a ka b --=+形式,用倒数法将其变形为11111 n n n n ka b b k a a a ---+==+的形式,再利用结论1,求通项公式.形如11n n n n a a ma a ++-=形式,等式两边同除以1111 , n n n n a a m a a ++-=,构造新数列. 结论 5.形如()10,0r n n n a pa p a +=>>,这种类型一般是等式两边取对数后转化为 1n n a pa q +=+,再利用待定系数法求解. 结论 6.形如21n n n a pa qa ++=+(其中 ,p q 均为常数),把原递推公式转化为 ()211n n n n a sa t a sa +++-=-待定系数法,其中,s t 满足, . s t p st q +=⎧⎨ =-⎩ 结论7.若数列n a 满足()1n n a a f n ++=称为和数列,满足()1n n a a f n +=称为积数列和数列通项 公式 ()1n n a a f n An B ++==+时,则()11n n a a A n B -+=-+,两式相减得:11n n a a A +--=,故n a 是 隔项的等差数列,隔项公差d A =1 211?21?2n n a A n a n a A n ⎧+⎛⎫+- ⎪⎪⎪⎝⎭ =⎨⎛⎫⎪+- ⎪⎪⎝⎭⎩ 为奇数为偶数 积数列通项公式()1n n n a a f n q +==时,则1 1n n n a a q --=,两式相除 得: 11 n n a q a +-=,故n a 是隔项的等比数列,隔项公比为q ,1121122 n n n a q n a a q n +⎛⎫ - ⎪⎝⎭ ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ⎧⋅⎪=⎨ ⎪⋅⎩为奇数为偶数如果以上几