泰勒公式的深刻理解
泰勒公式的深刻理解
1 学生对泰勒公式的疑惑及其根源分析
泰勒公式这一节的教学目标是要求学生理解泰勒公式,并了解它的一些应用。然而,在完成教学任务后仍有相当多的学生心存疑惑,不能不说这是教学上的一个失败。平时和学生聊起数学的学习,谈到泰勒公式, 很多学生都说不理解;讲课中要用到泰勒公式时,学生也会叫喳喳的,表现出畏难的情绪。和同事们谈起这事,上过这门课的教师都有同感。学生在什么地方卡住了呢？在与学生沟通中发现学生通常会这样来描述他们的疑惑:不知道它是什么意思,不知道它有什么用。是什么原因导致了学生的不理解？通过进一步与学生沟通和不断地思考,我们做出如下分析:
(1)教科书中泰勒公式的表达方式与学生的思维方式不一致。
我们采用的教材是同济大学应用数学系编写的《高等数学》,教材中的泰勒公式以定理的形式给出:
泰勒中值定理如果函数f (x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则对任一
,(1) 其中
(2)
这里x 为x与x0之间的某个值x。
公式(1)称为n阶泰勒公式。
刚从中学步入大学,大部分学生还没有完全适应大学的思维方式。公式(1)的右端由两部分构成:x-x0的多项式和余项R n(x),复杂的多项式加上一个需要附加说明的余项和学生心中公式(在中学中认识的公式)的表达方式不一致,由于学生的抽象思维没有达到一定的程度,他们还无法接受这么一个有着附加说明(而且说明也很抽象)的公式,用学生的话说就是不知道它讲的是什么。
(2)泰勒公式证明过程的抽象性加深了学生的疑惑。
泰勒公式是通过重复应用柯西中值定理来证明的,过程比较抽象, 由于学生没有理解泰勒公式的表达式,也就是说没有完全弄清楚定理的条件和结论,在这种学生还没有做好准备的情况下,公式证明过程的抽象性只能加深学生的疑惑。
(3)例题的讲解没有给学生的理解带来预期的帮助。
由于没有分重视学生思维方式上的差异,教师通常认为给出泰勒公式后,针对一些常见的函数写出相应的泰勒公式,再简单地提一提近似
94 中国科教创新导刊 China Education Innovation Herald 计算就可以达到目标了。的确,学生也能模仿例题完成作业,但是学生仍表示不知道这个公式有什么用。也就是说学生并没有理解例题的作用,没有将例题和泰勒公式的理解联系在一起,认为例题也就是套着公式(1)写出相应的式子罢了。在没有理解泰勒公式的前提下,写出常见函数的泰勒公式对学生来说只是一种机械行为,没有任何意义。
2 教学设计
通常的教学过程都是以泰勒公式的证明、常见函数的泰勒公式为重点和难点,基于以上的分析,我们在教学设计时改换思路,教学中对以下三方面进行了尝试,取得了较好的教学效果:
(1)把重点放在问题的提出和泰勒公式的引入上。通常情况下教师在这里花的时间并不多,在大部分学生还理不清头绪的时候老师就已经给出抽象的泰勒中值定理了。根据学生的具体情况,我们认为这部分内容对于我们的学生理解泰勒公式有很大的帮助,讲好了有事半功倍的作用,因此我们把重点放在这里。
(2)尝试用另外一种形式来描述泰勒公式,以促进学生的理解。
(3)改变例题的讲解方式。将第一个例题的重点由写出泰勒公式改为近似计算,以加强学生对泰勒公式的理解并了解它的一些应用。
具体设计思路如下:
(1)问题的提出。
微分的近似计算公式的缺点:在实际应用中有可能不满足精度要求。问题:如何才能提高精度？
(2)提出猜想。
微分的近似计算公式实质上就是用一次多项式P1(x)=a0+a1(x-x0) 来拟合函数,那么能否用n次多项式P n(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+a n(xx0)n来拟合函数呢？
(3)拟合系数的选取。
问题:如果要用多项式来拟合函数:,系数a i(i=1,?n)该如何选取？
从微
分的近似
计算公式出发,研究一次多项式P1(x)的系数与函数f (x)的关系: 1 函数f (x)之间的关系: 。
将上述关系作为拟合条件进行推广:如果要用多项式来拟合函数, 即有,那么可以猜想拟合多项式P n(x)与函数f (x)之间应该有下列关系:
, 由
此可得到拟合系数与函数的之间的关系:于是可选取多项式
,有
,由此推出拟合多项式P(x)与
(3)
来拟合函数 f (x )。 (4)误差的估计。
问题:如何判断拟合的好坏？ 如果令
R n (x )=f (x )-P n (x ), (4) 则拟合好坏可由绝对误差
给出。
问题:如何估计R n (x )?
(下转 96 页)
5S 通过的位移。
图 4
分析与解答:这是一个已知物体的受力情况求运动情况的问题。首先要确定问题的研究对象,分析它的受力情况。木块受到四个力的作用:水平方向的拉力F 和滑动摩擦力f 、竖直方向的重力G 和水平面对木块的支持力N 如图5所示。
图 5
其次分析木块的加速度情况。依题意,木块加速度与合外力方向相同,木块做匀加速直线运动。选取水平向右方向为x 轴正方向,竖直向上的方向为y 轴的正方向。
应用牛顿运动定律列出方程求解。 沿y 轴方向平衡, N -G =0
N =G =mg =5× 10N =50N 沿x 方向产生加速度 F -f =ma
f =h m
g =0.2× 5× 10N =10N
运用运动学公式求出滑块在5S 内的位移为:
(3)已知物体的运动情况,求受力情况
如图6所示,质量为m 的物块在与水平方向成q =37° 角的斜向上拉
力F 的作用下沿水平面以
的加速度运动,物块与水平面间的动摩因
数为0.2,求拉力的大小。(sin37° =0.6,cos37° =0.8)
图 6 分析与解答:这是一个已知物体的
受力情况,求运动情况的问题。首先要确定问题的研究对象,分析物块的受力情况。物块受到四个力的作用:重力G,方向竖直向下;地面的支持力N,方向垂直向上;拉力F,方向与水平方向成37° ;滑动摩擦力f ,方向水平向左,如图7所示。
图 7
其次分析物块的加速度情况。物体运动的加速度题目中已告之。 选取直角坐标系,将力F 分解成F cos q 和F sin q 应用牛顿运动定律求解。
沿y 方向受力平衡, N +F sin q -mg =0 N =mg +F sin q
∴ f =m N =m (mg +F sin q )
沿x 方向合力产生加速度F sin q -f =ma 即F sin q -m (mg +F sin q )=ma
5 在其它学科中的应用
本人在从事高职机电专业工程力学的教学中,发现牛顿第二定律在该教材第16章构件动力学基础;第18章动静法中都有重要的应用。例如: 第18章动静法中,惯性力的概念是这样讲的:质点由于惯性必然给施力物体以反作用力,该反作用力即为质点的惯性力。质点惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积(其表达式与牛顿第二定律相同),方向与加速度的方向相反。作用于质点上的主动力、约束反力及惯性力,在形式上构成一平衡力系。此即为达朗伯原理。
可见,牛顿第二定律在经典力学中占有十分重要的地位和作用。学好它,对于后续课程的学习将起到很好的帮助作用。
理 论 前 沿
参考文献
[1] 林理忠,李跃红.物理(上)[M].北京:中央广播电视大学出版社,2002. [2] 物理编写组.物理第一册[M].苏州:苏州大学出版社,2001. [3] 姚琴芬.物理练习册[C].江苏:江苏广播电视大学出版社,2002. [4] 人民教育出版社职业教育中心编.物理[M].北京:人民教育出版社,
2002.
[5] 白鸿辉.工程力学[M].江苏:江苏科学技术出版社,2005.
(上接 94 页)
(5)引入泰勒公式并证明(改变泰勒公式的表达方式)。
泰勒中值定理:设函数f (x )在包含x 0的某个开区间(a ,b )内有直到
(证明略)
(6)举例说明泰勒公式的应用(改变例1的重点)。
教材中的例1:写出函数f (x )=e x 的带有拉格朗日型余项的n 阶麦克
劳林公式。
例1 利用f (x )=e x 的n 阶麦克劳林公式求e 的近似值,使之误差不超
过 10-6。
参考文献
[1] 郭鑫,林卓.浅议泰勒公式应用[J].黑龙江科技信息,2008(2):130.
[2] 赵占锋,周志权,乔晓林.基于泰勒中值定理的QDDFS 超高压缩比算法[J].电子学报,2008,36(1):152～154.
[3]
孟赵玲,李秀淳.有关泰勒公式教学方法的探讨[J].北京印刷学
院学报 ,2002,10(2):54～ 55.
[4] 庄毅杰.泰勒定理教学初探[J].漳州职业大学学报,2004(1):91～
93. (x 为x 与x 之间的某个值x ) (5)
公式(5)称为n 阶泰勒公式,特别地x 0=0时称为麦克劳林公式。
96 中国科教创新导刊 China Education Innovation Herald
n +1 阶的导数 , 令
, R n ( x )= f ( x )- P
n ( x ) , 则对任意的
,
存在 x 与 x 0 之间的某个值 x , 使得
根据泰勒中值定理可得
泰勒公式的若干问题研究
泰勒公式的若干问题研究
毕业论文 题目泰勒公式的若干问题研究学院数学科学学院 专业信息与计算科学 班级计算0901 学生吕晗 学号20090921073 指导教师徐美荣
- 22 - 二〇一三年 五 月二十五日 摘 要 本文探讨了泰勒公式的若干问题。首先给出了几种不同形式的泰勒公式并 给出了相应的证明。其次我们讨论了泰勒公式的应用问题，主要分析了泰勒公式在计算行列式，判断级数敛散性，判断函数凹凸性等方面的应用，并辅以具体的例子进行说明，另外我们研究了泰勒公式中间点的渐近性问题，主要分区间长度趋于零和区间长度趋于无穷大两种情况进行了讨论，当区间长度趋于零与无穷时中间点ξ分 别满足的条件0 1 lim m m ξ→-= 与1 (1)lim []!(1)x a n x a n β ξββ→+∞-Γ-+=-Γ-。最后讨论了泰勒公式与泰勒级数之间的关系以及泰勒公式与泰勒级数在计算方面的应用。 关键词：泰勒公式；敛散性；行列式；渐近性
ABSTRACT In this paper，we discuss some problems of Taylor formula。Firstly, we discuss the Taylor formula of different types and the corresponding proof。Secondly, we discuss the application of Taylor formula。We mainly analysis of the Taylor formula in the calculation of determinant，judging the convergence of series，determining the application of convex function combined with concrete example to explain。In addition we study the asymptotic properties of intermediate point of Taylor formula and the main partition length tends to zero and the interval length tending to infinity are discussed in two situations when the length of interval tends to zero and infinity of intermediate point condition 0 1 lim m m ξ → - = and 1 (1) lim[] !(1) x a n x a n β ξβ β →+∞ -Γ-+ = -Γ-。 Finally, we discusses the relationship between the Taylor formula and Taylor series and the Taylor formula and Taylor Series in computational applications。 Key words：Taylor formula; convergence;determinant; asymptotic behavior - 22 -
常用泰勒公式
简介 在数学上, 一个定义在开区间(a-r, a+r)上的无穷可微的实变函数或复变函数f的泰勒级数是如下的幂级数 这里，n!表示n的阶乘而f(n)(a) 表示函数f在点a处的n阶导数。如果泰勒级数对于区间(a-r, a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为解析的。当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。为了检查级数是否收敛于f(x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的余项。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。 如果a = 0, 那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。 泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。第三，泰勒级数可以用来近似计算函数的值。 对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数f(x) = exp(?1/x2) 当x≠ 0 且f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x = 0 处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时 exp(?1/z2) 并不趋于零。 一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，f(x) = exp(?1/x2) 就可以被展开为一个洛朗级数。 Parker-Sockacki theorem是最近发现的一种用泰勒级数来求解微分方程的定理。这个定理是对Picard iterati on一个推广。 [编辑]
泰勒公式的证明及应用(1)
一．摘要 (3) 前言 (3) 二、泰勒公式极其极其证明........................ (3) （一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式 (3) （二）带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (4) （三）带有柯西型余项的泰勒公式 (5) （四）积分型泰勒公式 (6) （五）二元函数的泰勒公式 (7) 三、泰勒公式的若干应用 (8) （一）利用泰勒公式求极限 (8) （二）利用泰勒公式求高阶导数 (9) （三）利用泰勒公式判断敛散性 (10) （四）利用泰勒公式证明中值定理 (12) （五）利用泰勒公式证明不等式 (13) （六）利用泰勒公式求近似和值误差估计 (15) （七）利用泰勒公式研究函数的极值 (16) 四、我对泰勒公式的认识 (16) 参考文献 (17) 英文翻译 (17)
Taylor 公式的证明及应用 【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用。在现代数学中Taylor 公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法 【关键词】泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 极限 级数 1、常见Taylor 公式定义及其证明 我们通常所见的Taylor 公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的Taylor 公式和高阶函数的Taylor 公式。 定义：设函数存在n 阶导数，由这些导数构成n 次多项式，称为函数在该点处的泰勒多项式各项系数称为泰勒系数。 1.1首先是带皮亚诺型余项的Taylor 公式： 若函数f 在点0x 存在且有n 阶导数，则有0()()(())n n f x T x x x =+ο-即 "' 200000() ()()()()()2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+? ()00() ()! n n f x x x n +-0(())n x x +ο-. (2) 其中()n T x 是由这些导数构造的一个n 次多项式， "()' 2 0000000()()()()()()()()2!! n n n f x f x T x f x f x x x x x x x n =+-+-+?+- （3） 称为函数f 在点0x 处的Taylor 多项式，()n T x 的各项系数 ()0() !k f x k (1,2,,)k n =?称为Taylor 系数。从上易知()f x 与其Taylor 多项式()n T x 在点0x 有相同的函数值和相同
泰勒公式及其在解题中的应用
本科生毕业设计（论文） （ 2014届） 设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用 作者周立泉 分院理工分院用数学1001班 指导教师（职称）徐华（讲师） 专业班级数学与应用数学） 论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日 杭州师范大学钱江学院教学部制
泰勒公式及其在解题中应用 数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华 摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用． 关键词：泰勒公式;数学分析;导数 Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative.
些常用函数及其泰勒展开式的图像
图 1 )exp(x y =及其 Taylor 展开式 其中， 。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y
图 2 )sin(x y =及其 Taylor 展开式 其中， 。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y
图 3 )cos(x y =及其 Taylor 展开式 其中， 。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y
泰勒公式的几种证明法及其应用 -毕业论文
泰勒公式的几种证明法及其应用 -毕业论文 【标题】泰勒公式的几种证明法及其应用 【作者】张廷兵 【关键词】泰勒公式构造函数法数学归纳法柯西中值定理应用【指导老师】陈波涛 【专业】数学与应用数学 【正文】 1引言 泰勒公式在分析和研究数学问题方面有着重要的应用。但是它的证明大多数是重复运用柯西中值定理来推导，这给初学者从理解到接受有一定的困难。为了给不同层次的学习者理解和接受泰勒公式提供方便。本文研究不同的证明方法，给学习者提供了选择的余地。归根结底，使学习者更好运用泰勒公式，为此就对泰勒公式的应用及技巧的总结。 2 带佩亚诺型余项泰勒公式的证明方法 在初等函数中，最简单的函数就是多项式，对于数值计算和理论分析都很方便。如果将一类复杂的函数用多项式来近似表示出来，其误差又能满足一定的要求。那么，我们就可以表示出此函数。若函数是n次多项式 令 .于是 对任意一个函数，只要函数在a点存在n阶导数，我们就可以写出一个相应的多项式 称为函数在a点的n次泰勒多项式，那么n次泰勒多项式与函数在在点a 的邻域上有什么联系呢,下面的定理回答了这个问题( 定理1[1] 若函数在a点存在n阶导数 ,则 其中 ,则上式就为在a点的泰勒公式, 为泰勒公式的余项.
2.1方法一 证明:将上式改为 ，有 分子是函数 ,分母是函数 .应用n-1次柯西中值定理[2] 其中 其中 其中 (至此已应用了n-1次柯西定理) 当根据右导数定义,有 同法可证: 于是 , 表示余项是佩亚诺型. 证毕. 2.2方法二 证明在的一个邻域内有一阶导数，则存在且在处连续,即有则由极限与无穷小量的关系有: ( 是无穷小量), 又 则 (2—1) 从(2—1)式推出: 比较无穷小量与 = = (因为二阶可导) 又由极限与无穷小量的关系有: 将上边代入(2—1)式: 设 .则在处有阶导数,且设当时仍有: + (2—2) 从(2—2)中推出 比较与 :
本科毕业设计论文--泰勒公式
目录 一、泰勒公式简介 0 （一）泰勒公式的基本形式 0 （二）泰勒公式余项类型 (1) （三）泰勒公式的定理 (4) 二、泰勒公式的证明 (5) （一）泰勒公式证明初探 (5) （二）证明泰勒公式 (5) 三、泰勒公式的应用 (6) （一）利用泰勒公式求极限 (7) （二）利用泰勒公式判断函数的极值 (8) （三）利用泰勒公式判定广义积分敛散性 (9) （四）利用泰勒公式证明中值定理 (10) （五）利用泰勒公式求行列式的值 (12) （六）泰勒公式在关于界的估计的应用 (13) 谢辞................................................ 错误！未定义书签。 参考文献 (16) 摘要 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式 函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数，而对泰勒公式的应用方法并未深入讨论，在教学过程中学生常因学用脱离而难以理解。 本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。本文主要从不同的方面对泰勒公式进行综合论述：利用泰勒公式求极限，求无穷远处极限，证明中值公式，中值点的极限，证明不等式，导数的中值，关于界的估计，方程中的应用，用泰勒公式巧解行列式。对于泰勒公式如何更广泛的应用于高等代数中这一问题，还在进一步的研究中。 关键字：泰勒公式极限函数不等式函数方程
ABSTRACT Taylor formula is a very important concept in advanced mathematics. It divides complicated functions into polynomial functions. It have became a powerful leverage when we analysis and research other mathematics problem because of its simplicity. However, normal advanced mathematic textbooks only introduce how to use Taylor formula to expand the functions and never get into the applications of Taylor formula, The students are always hard to use it because we teach it detached from use in teaching process . This paper discusses some of Taylor's formula for the basic content, and focused on mathematical analysis in some applications. Taylor's formula is the mathematical analysis of the important knowledge, the use of certain topics in Taylor formula to reach the purpose of solving problems quickly. In this paper, different aspects from the Taylor formula for a comprehensive discussion: the use of Taylor's formula for the limit, for infinite distance limit, the proof of the value of the formula in the limit point to prove that inequality in the value of derivatives, it is estimated that the estimates on the sector, equations, using Taylor formula determinant clever solution.Taylor formula for how the wider use of Advanced Algebra with the problem, still further study. Key Words：Taylor formula limit function inequality function equation
泰勒公式及应用论文
泰勒公式及应用论文 Prepared on 22 November 2020
毕业论文 题目：泰勒公式及应用学生姓名：陆连荣 学生学号： 05 系别：数学与计算科学系专业：数学与应用数学届别： 2012届 指导教师：向伟
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 前言： (1) 1泰勒公式 (2) 带有拉格朗日余项的泰勒公式 (2) 带有佩亚诺余项的泰勒公式 (2) 带有积分型余项的泰勒公式 (2) 带有柯西型余项的泰勒公式 (3) 2 泰勒公式的应用 (3) 利用泰勒公式求极限 (3) 利用泰勒公式证明不等式及中值问题 (5) 利用泰勒公式讨论积分及级数的敛散性 (8) 利用泰勒公式求函数的高阶导数 (11) 研究泰勒公式在近似计算中的应用 (12) 结语 (12) 致谢 (13) 参考文献 (13)
泰勒公式及应用 学生：陆连荣 指导教师：向伟 淮南师范学院数学与计算科学系 摘要；泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，而且在求极限、证明不等式、讨论级数及积分的敛散性、求函数的高阶导数、证明中值公式、求解导数问题及在近似计算等中都有极其重要的作用.在本文中上述所列的几个作用都有论述，但着重论述泰勒公式在求极限、级数及积分的敛散性判断、证明不等式及中值公式与求解导数问题中的作用。 关键词：泰勒公式；应用；级数；敛散性 Taylor formula and its application Student: Lu Liangrong Instructor : Xiang Wei Department of Mathematics and Computational Science: Huainan Normal University Abstract：Taylor formula in mathematical analysis is a very important content, not only in theory occupies an important position, and in the limit, to prove inequality, discuss the convergence and divergence of ser- ies and integral of function, high order derivative, mean value formula for solving the problem of proof, derivative and approximate calculation are an extremely important role. In this paper the above listed several roles are discussed, but focuses on Taylor's formula in calculating the limit, the series and the in- tegral of the divergence and judge, the proof of inequality and median formula and solving the problem of derivative function. Key words: Taylor formula; Application; Series; Convergence and divergence
一些常用函数及其泰勒(Taylor)展开式的图像
其中， 。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y
其中， 。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y
其中， 。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y
其中， 。 4 32)(; 3 2)(; 2 )(; )();1ln(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-====+= -1 -0.50 0.51 1.52 -3-2 -1 1 2 3 Figure 4 y=ln(x) and its Taylor expansion equation X Y
泰勒公式及其应用论文)
泰勒公式及其应用论文)
泰勒公式及其应用 摘 要 文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位. 关键词 泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项; 不等式; 根的唯一存在性; 极值; 近似计算. 一．引言 近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式 ()20000000()()()()()()()(),1!2!! n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++- 称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即 ()200000000()()()()()()()()(()).2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+- 称为泰勒公式. 我们都知道，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函
常用的泰勒公式
常用的泰勒公式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞ 泰勒公式及其应用 [摘 要] 文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问题， 即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值. [关键词] 泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式. １ 引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识 定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有 '''200000()() ()()()()1!2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+ ()000() ()(())! n n n f x x x o x x n +-+- （1） 这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式. 当0x =0时,（1）式变成)(! )0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n n n x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式 为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式. 定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则 ''()' 2 0000000()()()()()()()...()()2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ , （2）这里 ()n R x 为拉格朗日余项(1)10() ()()(1)! n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒 公式. 当0x =0时,（2）式变成''()' 2(0)(0)()(0)(0)...()2!! n n n f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式. 常见函数的展开式： 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ . )()! 12()1(!5!3sin 221 253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)! n n n x x x x x o x n =-+-++-+ . )(1 )1(32)1ln(11 32++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(111 2n n x o x x x x +++++=- +-+ +=+2 ! 2)1(1)1(x m m mx x m . 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得 泰勒公式及其应用 臧树霞 摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和 估计误差等方面的不可或缺的工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具, 它的用途很广泛.本文详细介绍泰勒公式及其应用在数学领域几个应用作论述。文章除了对泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、行列式的计算、求高阶导数在某点的数值、根的唯一存在性的证明、判断函数的极值外，特别的，泰勒公式还对函数凹凸性及拐点判断的应用做详细的介绍。 关键词：泰勒公式；佩亚诺余项；拉格朗日余项 Taylor’s Formula and its Application Zhang shu-xia Abstract：Taylor’s formula is the mathematical analysis of the important part, it has become a research function theory method and estimated error limit of the indispensable tools such as a concentrated expression of the calculus, “approximation” of the essence, which is the value of the Calculus theorem is also of high order derivative function of an important tool for state, its use is very wide. This paper introduces the Taylor formula and its applications in mathematics for discussion on several applications. Article in addition to the common Taylor formula for approximate calculation, limit, inequality, the determinant calculation, high derivatives at come point the only numerical, root the existence of proof, judging function outside the extremum, special, Taylor formula also for function convexity and application of inflexion point judge detail. Keyword:Taylor formula, Peano remainder, Lagrange remainder 泰勒公式 泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。 泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容历史发展 泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。 18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒( Brook T aylor)，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里——牛顿差值公式发展而来，它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。1772年，拉格朗日强调了泰勒公式的重要性，称其为微分学基本定理，但是泰勒定理的证明中并没有考虑级数的收敛性，这个工作直到19世纪20年代，才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都 可以展开成幂级数，因此，人们称泰勒为有限差分理论的奠基者。 泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。 目录 引言 (2) 1．泰勒公式 (3) 1.1 泰勒多项式 (3) 1.2 两种类型的泰勒公式 (4) 2．泰勒公式的应用 (6) 2.1 利用泰勒公式求极限 (6) 2.2 利用泰勒公式证明不等式 (11) 2.3 利用泰勒公式进行近似计算和误差估计 (15) 结束语 (17) 参考文献 (17) 致谢 (18) 泰勒公式及其应用 理学院数学082 陈培贤指导教师：卢晓忠 摘要：泰勒公式是数学分析中重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。运用泰勒公式可以有效地解决某些问题，在微积分的各个方面都有重要的应用。本文将介绍泰勒公式及其在求极限、不等式的证明、近似计算三方面的应用，从而能够对泰勒公式有更深入的了解，认识到泰勒公式的重要性。 关键词：泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项;应用 引言 不论是进行近似计算还是理论分析，我们总希望用一些简单的函数来近似表示比较复杂的函数。多项式是比较简单的一种函数，它只包含加、乘两种运算，最适于使用计算机计算。因此，我们常用多项式来近似表示函数。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的，泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式。 泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式。它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。它建立了函数的增量，自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用。这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。 用泰勒公式可以很好的解决某些问题，如求极限、不等式证明、近似计算、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性等方面。比如在求某一初等函数的定积分时，由于此函数的原函数无法用初等函数表示，考虑到一般初等函数都可以近似地用泰勒公式表示，故可运用泰勒公式进行近似计算，并能满足一定的精确度。因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，用泰勒公式这一有力的工具能解决更多的数学实际问题。 在高等数学教材中，一般只讲泰勒公式及几个常用函数的麦克劳林公式，对其在解题中的应用介绍很少。但泰勒公式在解决一些问题中确实有十分重要的作用，因此在泰勒公式 泰勒公式论文 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数，而对泰勒公式的应用方法并未深入讨论，在教学过程中学生常因学用脱离而难以理解。 本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。本文主要从不同的方面对泰勒公式进行综合论述：利用泰勒公式求极限，求无穷远处极限，证明中值公式，中值点的极限，证明不等式，导数的中值，关于界的估计，方程中的应用，用泰勒公式巧解行列式。对于泰勒公式如何更广泛的应用于高等代数中这一问题，还在进一步的研究中。 一、Taylor 公式简介 随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。 众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。 二、Taylor 公式的证明 （一）Taylor 公式证明初探 两种余项的泰勒公式所表达的根本思想都是怎样用多项式来逼近函数，带有佩亚诺余项的泰勒公式是反映了极限性质的渐进等式，所以这个公式在求极限时很有用，对余项可以提供充分小的估计值。带有拉格朗日余项的泰勒公式有确切的表达式，当然也有像中值这样不确定的因素，但是并不妨碍定理的使用，为近似计算的误差估计提供了理论依据。 （二）证明Taylor 公式 定理1：（带有佩亚诺型余项的泰勒公式）若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数， 则有 ))(()()(0n n x x o x T x f -+=， 即))(()(!)()(!2)())(()()(000)(200"00' 0n n n x x o x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-++-+-+= 。 证明：设 题 目：带佩亚诺型余项的泰勒公式的应用 院（系）专业： 数学系（数学与应用数学） 学生姓名: 段 国 珍 学 号： 2003701146 导师（职称）： 杨慧章 (助教) 日 期： 2007年6月 毕业生毕业论文（设计） 摘要 带佩亚诺型余项的泰勒公式，尽管佩亚诺型余项只是给出了其误差的定性描述，无法进行定量的计算，但它在求极限、估计无穷小量的阶、判定敛散性、计算函数的极值和拐点及求高阶导数中起着重要作用。本文将介绍其应用技巧。 关键词：泰勒公式；佩亚诺型余项；应用技巧 Abstract The Taylor formula with Peano remainder term only give the qualitative description other than quantitative description about the Peano remainder term.However,it is very important in the calculation of the limits and limit value of functions, the estimation of the order about the infinitesimal of higher order,the judgement of the convergence of functions ,and so on.In this paper,we will mainly introduce its application skills. Key words : Taylor formula；Peano remainder term；Skills泰勒公式及其应用
关于泰勒公式的论文
常见泰勒公式展开式
泰勒公式的应用论文
泰勒公式论文
带佩亚诺型余项的泰勒公式的应用毕业论文