泰勒公式及其在解题中的应用
本科生毕业设计（论文）
（ 2014届）
设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用
作者周立泉
分院理工分院用数学1001班
指导教师（职称）徐华（讲师）
专业班级数学与应用数学）
论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日
杭州师范大学钱江学院教学部制
泰勒公式及其在解题中应用
数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华
摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用．
关键词：泰勒公式;数学分析;导数
Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua
Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications.
Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative.
目录
1引言 (1)
2泰勒公式 (1)
3泰勒公式在解题中的应用 (2)
3.1利用泰勒公式求近似值 (2)
3.2利用泰勒公式求极限 (4)
3.3泰勒公式在判断级数和广义积分敛散性的应用 (7)
3.3.1判断级数的敛散性 (7)
3.3.2判断广义积分的敛散性 (9)
3.4利用泰勒公式证明等式与不等式 (10)
4结论及展望 (10)
参考文献 (11)
致谢 (12)
泰勒公式及其在解题中应用
数学与应用数学1001班周立泉 指导教师徐华
1引言
泰勒公式在数值微积分中起着非常重要的作用，泰勒公式“化繁为简”的功能在数学研究方面也发挥了极大的作用．关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如证明不等式、求极限、判断函数凹凸性和敛散性、判别函数的极值、判断函数凹凸性及拐点、求渐近线、界的估计和近似值的计算等等．事实上，由于许多函数都能用泰勒公式来表示，并且研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题又要借助于泰勒公式．因此泰勒公式在数学实际应用中也是一种非常重要的应用工具，我们必须掌握它，以便更好更方便的研究一些复杂的函数、解决更多实际的数学问题．
虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还有很多方面学者很少提及，因此在泰勒公式及其在解题中的应用方面我们有研究的必要，并且有着相当大的空间．
2泰勒公式
泰勒公式按不同的余项可以分为两类,一类是定性的,一类是定量的,它们的本质相同，但性质 各异．定性的余项为佩亚诺余项))((0n
x x o -，仅表示余项是n
x x )(0-，即当)(0x x →时高阶的无
穷小．定量的余项是拉格朗日型余项10)1()()!
1()
(++-+n n x x n f ξ（ξ也可以写成)(00x x x -+θ10<<θ）
， 定量的余项一般用于对逼近误差进行具体的计算或者估计．
定理1(泰勒定理)：设)(x f 在0x 处有n 阶导数，则存在0x 的一个领域，对于领域中的任一点x ，成立
)()(!
)()(!2)())(()()(00)(200''00'
0x r x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-+-+= （1）
其中余项)(x r n 满足)1(0)1()()!
1()
()(++-+=
n n n x x n f x r ξ，ξ在x 与0x 之间． 上述公式（1）称为)(x f 在0x x =处的带拉格朗日型余项的泰勒公式．余项
10)1()()!
1()
()(++-+=
n n n x x n f x r ξ（ξ在x 与0x 之间）
称为拉格朗日余项．
若不需要余项的精确表达式时，余项)(x r n 也可也成))(()(0n
n x x o x r -=．此时，上述公式（1）则称为)(x f 在0x x =处的带有佩亚诺余项的泰勒公式．
它的前1+n 项组成的多项式：
''()'
2
0000000()()()()()()()()2!!
n n n f x f x p x f x f x x x x x x x n =+-+-++-
称为)(x f 的在0x x =处的n 次泰勒多项式．当00=x 时，上式记为
n
n x n f x f x f x f f x f !
)0(!3)0(!2)0()0()0()()(3'''2'''
+++++=
该式称为麦克劳林公式，是泰勒公式的特殊形式
带拉格朗日余项的泰勒公式对函数)(x f 的展开要求比较高，形式也相对复杂，但因为（2）对
)(0x U x ∈?均能成立（当x 不同时，ξ的取值可能不同），因此这反映出函数)(x f 在邻域)(0x U 内
的全局性．
带佩亚诺余项的泰勒公式对函数()x f 的展开要求较低，它只要求()x f 在点0x 处n 阶可导，展开形式也较为简单．（1）式说明当0x x →时用右端的泰勒多项式)(x p n 代替)(x f 所产生的误差是
n x x )(0-的高阶无穷小，这反映了函数)(x f 在0x x →时的性态，或者说反映了)(x f 在点0x 处的
局部性态．
3泰勒公式在解题中的应用
泰勒公式也被称为泰勒中值定理，是高等数学课程中的一个重要内容，不仅在理论分析方面有重要作用，其应用也非常广泛．但在高等数学课程中没有深入广泛地展开讨论，本文通过几个例子也仅仅说明其中的几个方面的应用，还有很多其他方面的应用，以及二元函数的泰勒公式及其应用等许多内容可以展开进一步的讨论，从而对泰勒公式有一个全面的认识与了解．
3.1利用泰勒公式求近似值
由于泰勒公式是利用增量法原理进行推导而来，因而在很多近似问题中也有广泛应用．在现今
社会，由于计算机和通讯技术的发展，利用计算机进行近似计算已经成为科学研究和工程计算中的一个重要环节．泰勒公式是一个多项式拟合问题，而多项式是一个简单函数，它的研究对我们来说是轻松而又方便的．但必须注意的是泰勒公式是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，x 不能远离0x ，否则效果会比较差．
利用泰勒公式可以对函数近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为
n
n x n f x f x f f x f !
)0(!2)0()0()0()()(2'''
++++≈
例1 求e 的近似值
分析 因为e 介于2和3之间，是个无限不循环的数，所以直接得到确定的值比较困难，在这里我们可以利用泰勒公式导出的近似计算式进行近似得到e 的值．
解 首先令()x
e x
f =，则
x n e x f x f x f ====)()()('''
把0=x 带入，得
1)0()0()0()('====n f f f
于是得到x e 的近似式
!
!212n x x x e n
x
++++≈
上式中令1=x ，有
!
1!31!2111n e ++++
+≈ 由此可以求出e 的近似值．
例2 求
dx e x ?
-1
2
的近似值，精确到510-
分析 因为
dx e x ?
-1
2
中的被积函数是不可积的（即不能用初等函数表达）
，我们可以考虑利用泰勒公式和逐项积分的方法求
dx e x ?
-1
2
的近似值．
解 在x e 的展开式中用2
x -代替x 得
+-+++-=-!
)1(!21242
2
n x x x e
n n x 逐项积分，得
() +-+-+-=??
???-dx n x dx x dx x dx dx e
n
n x 1021
41
2
10
1
!1!
212
++?-+-?+-
=121
!1)1(51!21311n n n +-+-+-+-=75600
1
93601132912161421101311
上述式子右端是一个收敛的交错级数，由其余项n R 的估计式知
000015.075600
1
7<≤
R
所以
746836.09360
1
13201216142110131110
2
≈+-+-+-≈?
-dx e
x
我们不妨再看一例，
例3 计算积分
dx x x
?1
0sin 的近似值 分析 因为x
x
sin 不是初等函数，所以不能直接用牛顿——莱布尼兹公式求值，我们考虑利用泰
勒公式求其近似值．
解 由泰勒公式可得
75
3
!
7)
27sin(!5!3sin x x x x x x π
θ?+++-= 所以
64
2
!
7)
27sin(!5!31sin x x x x x x π
θ?-++-= 因此
dx x x x x dx x x ???+++-=1064
2
10)!
7)27sin(!5!31(sin π
θ
10
75
37!7)27sin(5!53!3?????
???????++?+?-=x x x x x πθ 7
!7)
27s i n (5!513!311??++?+?-=π
θx 由此得到
9461.05
!513!311sin 1
0≈?+?-≈?dx x x 3.2利用泰勒公式求极限
对于一般待定型的极限问题，我们采用洛必达法则来求．但是对于一些求导比较繁琐，或是要多次使用洛必达法则的情况，运用泰勒公式往往比洛必达法则更为有效．对于函数多项式或有理分式的极限问题的计算是十分简单的, 因此, 对于一些较复杂的函数可以考虑根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或者有理分式的极限问题, 因此满足下列情况时可以考虑用泰勒公式来求极限:
（1） 运用洛比达法则时, 次数较多, 且求导及化简过程较繁锁．
（2） 分子或分母中有无穷小的差, 且此差不易转化为等价无穷小的替代形式．
（3 ）所遇到的函数展开为泰勒公式不难．当确定要运用泰勒公式求极限时, 关键是要确定展开的阶数．如果分母( 或分子) 是n 阶, 就将分子( 或分母) 展开为n 阶麦克劳林公式．若分子, 分母都需要展开, 可分别展开到其同阶无穷小的阶数,即合并后的首个非零项的幂次的次数．
例4 求4
2
02
cos lim
x e
x x x -
→-
分析 这是一个
待定型的极限问题，如果用洛必达法则，则分子分母都需求导4次．但若用泰勒公式计算就简单得多了．
解 4
2
02cos lim
x e x x x -→-
44224420)()2(!21)2(1)(!4!21lim x
x o x x x o x x x ??????+-+-+-??????++-=→ 4
44
0)
(121lim x x o x x +-
=→ 12
1-=
例5 求??
???
?+-∞→)1ln(lim 2
x
x x x x 的极限
分析 当∞→x 时，此函数是∞-∞型未定式，虽然可以通过变换把它转换成
型，再用洛必达法则求解，但计算量较大，现在我们先用泰勒公式将)11ln(x
+展开，再求其极限．
解 ))1(()1(211)11ln(22x
o x x x +-=+ 故
?????
?
+-∞→)1ln(lim 2x x x x x ??
???
?+--=∞
→))1(211(lim 222
x o x x
x x x 2
1
=
在高等数学的学习中利用等价无穷小替换来求解极限问题一直是我们学习的难点，即使在学习了教材后仍然对等价无穷小替换求解极限的运用不够灵活甚至比较吃力，常常犯错． 究其原因主要有两个: 一是平时不够努力，对于常见的等价无穷小没有准确记忆并且对于此类问题缺少练习; 二是对于等价无穷小替换的实质还没有透彻的理解，表现在对一些等价无穷小替换的法则只知其然而不知其所以然． 如做练习时有这样的题目:
例6 x
x
x x 3sin lim
0-→
分析 由于0→x ，根据无穷小量替换得到，x x →sin ，则
03lim 3sin lim 00=-=-→→x
x x x x x x x
从解答过程中我们可以看到，我们在解这道题时不管条件是否满足而生搬硬套地使用了等价无穷小的替换法则，反映出我们对于无穷小的替换原则并未达到本质的理解，解决问题也缺乏灵活性．下面我们利用泰勒公式来重新理解无穷小替换的法则和原理（假设所有极限问题涉及的自变量过程变化都趋向于零）．
性质一：)(~ααββαo +=?
首先来理解)(~ααββαo +=?，在最初的学习过程中我们容易产生两个误区: 其一，在学习时容易被左边形式迷惑，潜意识里往往误认为α，β都是单独不相关的一项；其二，对于右边的式子中()αo 我们会觉得比较抽象难以理解．根据这些容易产生的理解上的偏差，我们可以结合泰勒公式来形象直观地理解．以正弦函数的泰勒公式为例:
+-+-
=7
53!
71!51!31sin x x x x x 如果β取x sin -，那么α可以取x ，也可以取3!31x x -，甚至5
3!
51!31x x x +-也行，相应的)(αo 分
别为：
,!71!51!31753 +-+-
x x x ,!71!5175 +-x x +-7!
71
x ， 这样我们可以知道)(αo 并不是抽象的符号，它代表的是具体的表达式，而且该表达式可以很复杂，比如可以由多个式子组成; 另一方面，由于这些式子中的每一项都是幂函数，我们能非常直观地看出它们分别是)(),(),(6
4
2
x o x o x o ，那是
)!
51
!31(),!31(),(5332x x x o x x o x o +--
接着讨论)(~ααββαo +=?，本质上它是等价无穷小的又一个性质——和差取大原则：
αβααβ-±?=)(o ，取,!
71!51!31,7
53 +-+-==x x x x βα则),(αβo =x x x x x sin !
71!51!317
53=+-+-
=+ βα，
可理解成：正弦函数由α与β两部分组成，其中α是函数的主部项，它对函数的大小和变换趋势起主要作用，β是函数的次要项或者剩余项，由()αβo =可知，β实质上是相对于主部项α的小扰动项，对整个函数的数值及变化趋势起次要的作用．具体到求极限的问题中就是极限问题的结果取决于分子分母中多项式的最低次项．
性质二（和差代替规则）：若'
'
~,~ββαα，并且βα,不等价，则'
'
~βαβα--，并且
'
'
'lim lim γβαγβα-=-
故对于例4，由于 +-
=3!31sin x x x ，从而,61sin 3 +=-x x x 此时,6
1~sin 3
+-x x x 所
以0361lim 3sin lim 300==-→→x x
x
x x x x 对于表面上差异较小的问题但运用等价无穷小替换法则大相径庭，而这样的问题往往能够用泰勒公式统一解决． 说明在求极限问题的解题思路中泰勒公式比等价无穷小替换法则更普遍、更一般，在解决问题时往往倾向接受和使用那些放之四海而皆准的思路和方法，因此利用泰勒公式来理解等价无穷小替换的实质也就更容易被大家理解和掌握．
3.3泰勒公式在判断级数和广义积分敛散性的应用 3.3.1判断级数的敛散性
在级数敛散性的理论中，要判定一个正项级数
∑∞
=1
n n
a
是否收敛，我们通常找一个较简单的级数
∑
∑∞
=∞
==111
n p
n n n
b )0(>p ，再用比较判定法来判定．在实际应用中较困难的问题是如何选取恰当的∑∞
=1
1
n p n )0(>p 中的p 值，例如 （1）当2=p ，此时
∑∞
=1
21n n 收敛，但+∞=∞→2
1lim n a n
n ． （2）当1=p ，此时
∑∞
=11n n
发散，但01lim =∞→n
a n n ． 这里我们无法判定
∑∞
=1
n n a 的敛散性，为了有效地选取∑
∞
=1
1
n p n 中的p 值，可以应用泰勒公式研究通项0→n a )(+∞→n 的阶，据此选择恰当的p 值使l n a p
n
n =+∞
→1lim
，并且保证+∞< ∑∞ =1 n n a 的敛散性．下面我们来举例说明： 例7 判定级数 ∑+∞ =- -+1 11)2(n n n a a ()0>a 的敛散性． 解 因)1 (ln 121ln 12 22ln n o a n a x e a x x x ++ +==， 故 )1(ln 1!21ln 112221n o a n a n a n +++ = )1(ln 1!21ln 112 221n o a n a n a n ++-=- 因此)1 (ln 1)2(22211n o a n a a a n n n += -+=- 从而有a n a n n 22 ln 1 1lim =∞ →，0→n a 是关于)1(n 的2阶． ，即 ∑+∞ =--+1 11)2(n n n a a 与∑ +∞ =1 21 n n 同收敛 评注：当级数的通项表达式是由不同类型的函数式构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式，以便于利用判敛准则． 例8 讨论级数 ∑∞ =+-1 )1ln 1( n n n n 的敛散性 分析 直接根据通项去判断该项级数是正项级数还是非正项级数是比较困难的，因而也就无法恰当地选择判敛方法．在上式中我们注意到，)1 1ln(1ln n n n +=+这个式子中，若将其泰勒展开为n 1的 幂的形式，开二次方后恰与 n 1 相呼应，会使判敛更容易进行． 解 )1 1ln(1ln n n n +=+ +-+-=43241 31211n n n n n 1 < ∴n n n 1 1ln <+ ∴01ln 1>+-= n n n u n 故该级数是正项级数． 又 )1 (312111ln 332n o n n n n n ++-=+ 2322332211)211(4111n n n n n n n -=-=+-> ∴232321 )211(11ln 1n n n n n n n u n =--<+-= ∑∞ =1 2 321 n n 收敛，由正项级数比较判别法知原级数收敛． 例9判断级数 ∑∞ =-1 )1(n n n 的敛散性 分析 对于级数∑∞ =-1 )1(n n n ，运用比较法，柯西判别法，魏尔斯特拉斯判别法难以直接判断其敛 散性．因此我们可以考虑先把n n 进行泰勒展开，再运用上述方法进行判别． 解 由泰勒公式有)ln 1 (ln 1122ln 1n n o n n e n n n n ++== 所以)ln 1(ln 1122n n o n n n n +=-，而∑∑∞ =∞ =≥1 11ln 1n n n n n 发散，又)(0ln 12 3 2 2∞→→n n n n 所以n n n 2 12ln 1∑∞ =收敛，故∑∞ =-1 )1(n n n 发散． 3.3.2判断广义积分的敛散性 在定积分中，我们总是假定积分区间是有限的，而被积函数（如果可积的话）一定是有界的．但在理论上或实际应用中都有需要去掉这两个限制，把定积分的概念广为 （i ）无限区间上的积分； （ii ）无界函数的积分； 在判定广义积分 dx x f a ? +∞ )(的敛散性时，通常选取广义积分)0(1 >? +∞ p dx x a p 进行比较，在此通常研究无穷小量)()(+∞→x x f 的阶来有效地选择dx x f a ? +∞ )(中的p 值，从而判定敛散性． （注意到：如果 dx x f a ? +∞ )(收敛，则dx x f a ? +∞ )(收敛． ） 例10 判断广义积分 dx x x x x ?-1 0sin sin 的敛散性 分析 我们可以知道dx x x x x ?-10sin sin 是属于无界函数广义积分，在)1,0(上运用定积分的知识很判断 出该积分是否收敛，那么我们可以考虑是否可以运用泰勒公式将x sin 展开，然后再进行计算． 解 ()0sin sin <-= x x x x x f ，(]1,0∈x ，即被积函数在积分区间上不变号． )(61)(611)(!31)(!31sin sin 433224343x o x x o x x x o x x x x o x x x x x x x +? ?????+-=? ? ????+--????? ?+-=- [])(16)(611)(6 ) (61 132232x o x x o x x o x x o x +??????+-=++-= )(6 x o x += 故有1)6 sin sin (lim 0=-→x x x x x x ， 又由于广义积分dx x ?106发散，因此用比式判别法知原广义积分收敛． 例11 研究广义积分 dx x x x ? +∞ --++4 )233(的敛散性 分析 我们可以初步判断 dx x x x ? +∞ --++4 )233(属于无限区间上的积分，在区间) ,4(+∞不易运用定积分的知识进行判断该积分是否收敛．那么同样我们可以考虑运用泰勒公式将其展开再进 行讨论． 解 我们已经学过()α x +1的泰勒展开式为),(! 2) 1(1)1(22x o x x x n +-+ +=+ααα则 x x x x f 233)(--++= 2)3 1()31(21 21 --++=x x x )2)1 (1891231()1()1891231(2222-+?-?-++?-?+= x o x x x o x x x )1 (1492323x o x +?- = 因此491)(lim 23=+∞ →x x f x ，即0)(→x f 是)(1 +∞→x x 的23阶，而?+∞4231dx x 收敛，故dx x f ?+∞4)(收敛，从而 dx x x x ? +∞ --++4 )233(收敛． 3.4利用泰勒公式证明等式与不等式 关于在不等式的证明方面，我们已经知道有很多种方法，比如利用函数的凸性来证明不等式，利用拉格朗日中值定理来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法，同样泰勒公式也是不等式证明的一个重要方法． 如果函数)(x f 存在二阶及二阶以上的导数并且有界，那么利用泰勒公式去证明这些不等式，一般的证明思路为： (1)写出比最高阶导数低一阶的函数的泰勒展开式； (2)恰当地选择等式两边的x 与0x ； 4结论及展望 泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，也是研究数学各个领域的不可或缺的工具．本文章是在大量查阅有关泰勒公式的资料的基础上作出的初步整理，这篇文章主要对泰勒公式在近似值计算、 求极限、判断级数和广义积分的敛散性以及证明等式与不等式等方面做了简单系统的介绍和分析，从而体现了泰勒公式在微分学应用中的重要的地位，通过以上几个方面的探讨，充分利用其解题技巧在解题时可以起到事半功倍的效果． 值得一提的是，虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还有很多方面很少被提及，需要不断地探索．本文通过几个例子也仅仅说明其中的几方面的应用，还有很多其他方面的应用，以及二元函数的泰勒公式及其应用等很多内容可以展开进一步的总结讨论，从而对泰勒公式有一个全面的认识与了解．而泰勒公式在数学实际应用中又是一种非常重要的应用工具，只有掌握了这些知识，并且在此基础上加强训练、不断地进行总结，才能熟练的应用它，灵活的从不同角度找出解题的途径，探索新的解题方法，以便更好更方便的研究一些复杂的函数，解决更多实际的数学问题． 参考文献 [1]胡格吉乐吐.对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用[J].内蒙古科技与经济，2009(24):73． [2]刘鹏.浅谈泰勒公式及其应用.科技信息[J],2011(09):521-522. [3]齐成辉.泰勒公式的应用.陕西师范大学学报，2003,31(09):24-25. [4]费德霖.泰勒公式的应用及技巧.皖西学院学报，2001,17(04):84-86. [5]潘劲松.泰勒公式的证明及应用.廊坊师范学院学报,2010,10(02):16-21. [6]董斌斌.泰勒公式及其在解题中的应用.科技信息,2010,(31):243. [7]冯平、石永廷.泰勒公式在求解高等数学问题中的应用.新疆职业大学学报,2003,11(04):64-66. [8]陈妙琴.泰勒公式在证明不等式中的应用.宁德师专学报(自然科学报),2007,19(02):155-156. [9]刘萍、王文锦.谈泰勒公式在微分有关证明题中的应用.科技信息,2009(11):235. [10]https://www.sodocs.net/doc/217883028.html,/faculty/kaliakin/appendix_Taylor.pdf [11]https://www.sodocs.net/doc/217883028.html,/~robbin/221dir/taylor.pdf [12]https://www.sodocs.net/doc/217883028.html,/wiki/Taylor_series [13]https://www.sodocs.net/doc/217883028.html,/wiki/Taylor's_theore 致谢 四年的大学生活即将在这个季节画上一个句号，而于我的人生只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始．时光匆匆如流水，转眼便是大学毕业时节，离校的日期已日趋临近，毕业论文的完成也随之进入尾声．在本文即将完成之时，谨此向我的导师徐华讲师致以衷心的感谢和崇高的敬意．本文的顺利完成离不开徐华老师的悉心指导，老师以她敏锐的洞察力，渊博的知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风给我留下了深刻的印象，使我获益匪浅．我还要真诚地感谢我的室友张天闻同学，他不仅在学术上给我指引，而且在生活中也给予我帮助，从他身上我学到了很多．我还要感谢我的母校杭州师范大学钱江学院，这里严谨的学风，优美的校园环境使我的大学四年过得很充实也很愉快．最后我要感谢我的父母，当自己怀着忐忑的心情完成这篇论文的时候，自己也从当年一个刚走进大城市的懵懂少年变成了一个成熟的青年．十几年的求学之路，虽然只是一个本科毕业，但也实属不易．首先，从小学到大学的生活费及学费就不是个小数目，这当然要感谢我的爸爸妈妈，他们都是农民，没有他们的勤勤恳恳和细心安排，没有他们的支持和鼓励，我是无论如何也完成不了我的大学生活．书到用时方恨少，在这篇论文的写作过程中，我深感自己的水平还非常的欠缺．生命不息，学习不止，人生就是一个不断学习和完善的过程，敢问路在何方？路在脚下！ 摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具。它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。本文通过对泰勒公式的证明方法进行介绍，归纳整理其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，从而进一步加深对泰勒公式的认识。 关键词：泰勒公式，佩亚诺余项，拉格朗日余项，验证，应用 绪论 随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到 n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式 () 2 0000000()()() ()()()()(),1! 2! ! n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+ -+ -++ - 称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有 0()()(()),n n f x T x x x ο=+- 即() 2 00000000()() ()()()()()()(()).2! ! n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+ -++ -+- 称为泰勒公式. 众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。 一．摘要 (3) 前言 (3) 二、泰勒公式极其极其证明........................ (3) （一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式 (3) （二）带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (4) （三）带有柯西型余项的泰勒公式 (5) （四）积分型泰勒公式 (6) （五）二元函数的泰勒公式 (7) 三、泰勒公式的若干应用 (8) （一）利用泰勒公式求极限 (8) （二）利用泰勒公式求高阶导数 (9) （三）利用泰勒公式判断敛散性 (10) （四）利用泰勒公式证明中值定理 (12) （五）利用泰勒公式证明不等式 (13) （六）利用泰勒公式求近似和值误差估计 (15) （七）利用泰勒公式研究函数的极值 (16) 四、我对泰勒公式的认识 (16) 参考文献 (17) 英文翻译 (17) Taylor 公式的证明及应用 【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用。在现代数学中Taylor 公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法 【关键词】泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 极限 级数 1、常见Taylor 公式定义及其证明 我们通常所见的Taylor 公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的Taylor 公式和高阶函数的Taylor 公式。 定义：设函数存在n 阶导数，由这些导数构成n 次多项式，称为函数在该点处的泰勒多项式各项系数称为泰勒系数。 1.1首先是带皮亚诺型余项的Taylor 公式： 若函数f 在点0x 存在且有n 阶导数，则有0()()(())n n f x T x x x =+ο-即 "' 200000() ()()()()()2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+? ()00() ()! n n f x x x n +-0(())n x x +ο-. (2) 其中()n T x 是由这些导数构造的一个n 次多项式， "()' 2 0000000()()()()()()()()2!! n n n f x f x T x f x f x x x x x x x n =+-+-+?+- （3） 称为函数f 在点0x 处的Taylor 多项式，()n T x 的各项系数 ()0() !k f x k (1,2,,)k n =?称为Taylor 系数。从上易知()f x 与其Taylor 多项式()n T x 在点0x 有相同的函数值和相同 泰勒公式的证明及其应用 数学与应用数学专业胡心愿 [摘要]泰勒公式的相关理论是函数逼近论的基础。本文主要探索的是泰勒公式的一些证明方法，并对不同的证明方法进行相应的比较分析，在此基础上讨论泰勒公式在证明不等式、求函数极限、求近似值、求行列式的值、讨论了函数的凹凸性，判别拐点，判断级数敛散性等方面的应用.本文还针对多元函数的泰勒公式的推导和应用做了简单的论述. [关键词]泰勒公式；不等式；应用； Proof of Taylor's Formula and Its Application Mathematics and Appliced Mathematics Major HU Xin-yuan Abstract: The theory about Taylor's Formula is the basic content of Approximation Theory . What this paper explores is some methods that proof the Taylor's Formula, and the paper analyse and compare them. On that basis, the paper discuss the application of Taylor's Formula in some respects，such as Inequality proof, functional limit, approximate value, determinant value, convexity-concavity of function, the decision of inflection point, divergence of the series.The paper explore the derivation of Taylor's Formula of the function of many variables and its application. Key words:Taylor's Formula;inequality;application 泰勒公式及其应用 摘要 文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。 关键词：泰勒公式，最优化理论，应用 一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式 若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()! 1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()! 1()(++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数，该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程 我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ； 设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 ! 2)(02x f a ''=n n a n x p !)(0)(=，所以有!)(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明 我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）： 设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0)(000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得： 泰勒公式及其应用 数学学院数学与应用数学专业 2009级杨立 指导教师吴春 摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。 关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数 Abstract:Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems. This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem. Keywords:Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative 引言 泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项 《泰勒公式及其应用》的开题报告 《泰勒公式的验证及其应用》的 关键词：泰勒公式的验证数学开题报告范文中国开题报告 1．本课题的目的及研究意义 目的：泰勒公式集中体现了微积分、逼近法的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。泰勒公式是非常重要的数学工具，现对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 研究意义：在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数以一种“逼近”的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的。 2．本课题的研究现状 数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要选取点将原式进行泰勒展开，如何选取使得泰勒展开后，计算的结果在误差允许的范围内，并且使计算尽量简单、明了。泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上有重要的地位，而且在近似计算、极限计算、函数性质的研究方面也有重要的应用。对于泰勒公式在高等代数中的应用，还在研究中。 3．本课题的研究内容 对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极 限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 本课题将从以下几个方面展开研究： 一、介绍泰勒公式及其证明方法 二、利用泰勒公式求极限、证明不等式、判断级数的敛散性、证明根的唯一存在性、判断函数的极值、求初等函数的幂级数展开式、进行近似计算、求高阶导数在某些点的数值、求行列式的值。 三、结论。 4．本课题的实行方案、进度及预期效果 实行方案： 1.对泰勒公式的证明方法进行归纳； 2.灵活运用公式来解决极限、级数敛散性等问题； 3.研究实际数学问题中有关泰勒公式应用题目，寻求解决问题的途径。 实行进度： 研究时间为第8 学期，研究周期为9周。 1．前期准备阶段： 收集有关信息进行分析、归类，筛选有价值的信息，确定研究主题；制定课题计划，学习理论。 2．研究阶段：2010年12月— 2011 年4 月 3．第一阶段：初期（2010年12月1日- 2011年3月15 日） 第二阶段：中期（2011年3月16 日- 2011年4月15日）第三阶段：结题（2011年4月16日- 2011年4月30日） 题目泰勒公式的证明及推广应用 一、选题背景和意义 在初等函数中，多项式是最简单的函数。因为多项式函数的运算只有加、减、 乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。 通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中的重要内容，在各个 领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面。 除此以外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解。 二、国内外研究现状、发展动态 本人以1999—2010十一年为时间范围，以“泰勒公式”、“泰勒公式的应用”为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到30余篇文章，发现国内外对泰勒公式的其研究进展主要分配在以下领域： 一、带不同型余项泰勒公式的证明； 二、泰勒公式的应用举例。 三、研究内容及可行性分析 在高等数学中，泰勒公式占有重要的地位，并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好泰勒公式是学习高等数学的关键一环。本论文将主要研究泰勒公式的证明及其在其他方面的应用。 本文将通过对泰勒公式的探讨，给出了泰勒公式在其它方面的应用，,显现出泰勒公式的应用之广泛。希望其研究结果在求极限等问题时可以提供一些方法的参考，也同时能给相关学科研究人员在解决比较复杂的不定式极限问题时能有一定的思路指导。 接下来我将分两方面的应用来阐述本次论文的主要内容。 一、带不同型余项泰勒公式的证明： 本次证明将涉及到三种不同余项的泰勒公式的证明，即： 1.带皮亚诺余项的泰勒公式； 2.带拉格朗日余项的泰勒公式； 3.带积分型余项的泰勒公式； 二、泰勒公式的应用： 本次论文将涉及到泰勒公式在以下七个方面的应用： 1、泰勒公式在极限计算中的应用； 在函数极限运算中,不定式极限的计算始终为我们所注意,因为这是比较困难的一类问题。计算不定式极限我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小结合使用。但对于有些未定式极限问题若采用泰勒公式求解,会更简单明了。我将在论文中就例题进行探讨。 2、泰勒公式在判定级数及广义积分敛散性中的应用； 目录 摘要 (1) 英文摘要 (2) 第一章绪论 (3) 第二章泰勒公式 (5) 1.1泰勒公式的意义 (5) 1.2泰勒公式余项的类型 (5) 1.3泰勒公式 (6) 第三章泰勒公式的实际应用 (7) 2.1利用泰勒公式求极限 (7) 2.2利用泰勒公式进行近似计算 (8) 2.3在不等式证明中的应用 (9) 2.4泰勒公式在外推上的应用 (10) 2.5求曲线的渐近线方程 (11) 2.6泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用 (13) 2.7在广义积分敛散性中的应用 (14) 2.8泰勒公式在关于界的估计 (15) 2.9泰勒公式展开的唯一性问题 (15) 结束语 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18) 第一章 绪论 近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式 ()20000000()()()()()()()(),1!2!! n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++- 称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即 ()200000000()()()()()()()()(()).2!! n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+- 称为泰勒公式. 众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证 附件 7 论文（设计）管理表一 昌吉学院本科毕业论文（设计）开题报告 论文（设计）题目 浅谈泰勒公式及其应用 系（院） 数学系 专业班级 数学与应用数学 B1002 学科 理学 学生 姓名 马尚红 指导教师 姓名 马园媛 学号 1025809043 职称 讲师 一、选题的根据 （ 1、内容包括：选题的来源及意义，国内外研究状况，本选题的研究目标、内容创新点及主 要参考文献等。 2、撰写要求： 宋体、小四号 。） 1. 选题的来源及意义 泰勒公式是数学分析中非常重要的内容， 是一个用函数在某点的信息描述其附近 取值的公式。如果函数足够光滑的话， 在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下， 泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中值。 泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。 泰勒公式的初 衷是用多项 式来近似表示函数在某点周围的情况。比如说，指数函数 e x 在x 0的 附近可以用以 2 3 n 下多项式来近似地表示： e x 1 x x x x 称为指数函数在 0处的 n 阶泰勒 2! 3! n! 展开公式。这个公式只对 0附近的 x 有用， x 离 0越远，这个公式就越不准确。实际 函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。对于一般的函数，泰勒公式的系数的选 择依赖于函数在一点的各阶导数值，这个想法的原由可以由微分的定义开始。微分是 函数在一点附近的最佳线性近似： f a h f a f ' a h o h ，其中 o h 是比 h 高 阶 的无穷小。 也就是说 f a h f a f ' a h,或 f x f a f ' a x a .注意到 f x 和 f ' a x a 在a 处的零阶导数和 一阶导数都相同。对足够光滑的函数，如果一个 多 项式在 a 处的前 n 次导数值都与函数在 a 处的前 n 次导数值重合，那么这个多项 式应 该能很好地近似描述函数在 a 附近的情况。对于多元函数，也有类似的泰勒公式。设 a,r 是欧几里得空间 RN 中的开球， f 是定义在 a,r 的闭包上的实值函数，并在 每一点都存在所有的 n 1次偏导数。这时的泰勒公式为：对所有， f x 1 f a x a x x a ，其中的 是多重指标 0 ! x n 1 泰勒公式也是大学数学中的一个重要知识， 由此本文将总结几种泰勒公式的证明 及其应用。其泰勒公式在近似计算，求极限，判断函数凸凹性等方面的应用，除此之 外，它还可应用于行列式，证明不等式，判断无穷级数、无穷积分的收敛性，求函数 导数的中值估计、求曲面的渐进线方程，高阶求导等等。 2. 国内外研究状况 其中的余项也满足不等式：对所有 n 1的 满足 x 本科生毕业设计（论文） （ 2014届） 设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用 作者周立泉 分院理工分院用数学1001班 指导教师（职称）徐华（讲师） 专业班级数学与应用数学） 论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日 杭州师范大学钱江学院教学部制 泰勒公式及其在解题中应用 数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华 摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用． 关键词：泰勒公式;数学分析;导数 Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative. Tayloy 公式的唯一性证明 作者：卢晓峰 1. 引理：设0 lim ()0x x g x →=，()g x 在0x 的某邻域内可导，且()g x ' 在0x 处连续。若0()(())n g x x x ο=-，则10()(())n g x x x ο-'=-。 证明： 00001 11 00 000 ()()()()() () lim lim lim lim lim ()()()()()n n n n n x x x x x x x x x x g x g x g x x x g x g x g x x x x x x x x x x x ---→→→→→-''-===------又 0()(())n g x x x ο=-，0 0lim ()()0x x g x g x →== ∴0 0() lim 0()n x x g x x x →=-；0 00 ()lim 0()n x x g x x x →=- ∴0 1 0()lim 0() n x x g x x x -→'=-，即1 0()(())n g x x x ο-'=-。 2. 唯一性证明： ()f x 在0x 处存在n 阶导，设0()()(())n n f x P x x x ο=+-<1>。（其中() n P x 为n 次多项式） 设<1>式中0(())()n x x g x ο-=。易证：()g x 满足引理的条件。 ∴10()(())n g x x x ο-'=-，20()(())n g x x x ο-''=-， ，(1)0()()n g x x x ο-=-。 ∴ ()()() n f x P x g x '''=+， ()()() n f x P x g x ''''''=+， ， (1)(1)(1)()()()n n n n f x P x g x ---=+<2> 对<2>中的所有等式，均取0x x →的极限，则有： 00()()n f x P x ''=，00()()n f x P x ''''=， ，(1)(1)00()()n n n f x P x --= 又 泰勒公式及其应用 摘要 文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。 关键词：泰勒公式，最优化理论，应用 一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式 若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1() (++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数， 该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程 我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ； 设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''= n n a n x p !)(0) (=，所以有! )(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(2 00000-++-''+ -'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明 我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）： 设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0) (000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得： 泰勒公式 定理（peano 余项型，洛必达法则法证明） 若()0()n f x 存在, 则0()x x ?∈ ， 0()(,)n f x T x x =+()0()n x x - . ()200000000()()(,)()()()()()2!! n n n f x f x T x x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++- . 0(,)n T x x 叫做f 在0x 的n 次泰勒多项式，也叫f 在0x 的n 次密切（ “切线”）. 证法 洛必达法则法的分析. 按照洛必达法则往证0()()lim 0()n n x a f x T x x x →-=-即可. 记()()()n n R x f x T x =-，0()()n n Q x x x =-， 注意到 (1)()000()()()0n n n n n R x R x R x -==== ， (1)00()()0n n n Q x Q x -=== ，()0()!n n Q x n = ()0()n f x 存在，意味着(1)()n f x -在0()U x 内还可导.允许()0lim ()0n x a n R x Q x →?? ???反复使用洛必达法则1n -次. 证明 连续1n -次使用洛必达法则，得 (1)(1)()()00lim lim ()0()0n n n n x a x a n n R x R x Q x Q x --→→????= ? ?????不断添入0，使结论成为两个函数值之差的比. (1)(1)()0000()()()()lim (1)2() n n n x a f x f x f x x x n n x x --→---=-- (1)(1)()000()()1lim ()0!n n n x a f x f x f x n x x --→??-=-= ?-?? . 注1 即使函数能表成()00()(,)()n n f x P x x x x =+- ，0(,)n P x x 不一定是泰勒多项式. 如1()(),n f x x D x n N ++=∈，由100()()lim lim 0n n n x x f x x D x x x +→→==，故()()(0)n f x x x =→ . 虽然能写成()2()0000n n f x x x x x =+++++ ，但是，根据海因定理，1()()n f x x D x += ，n N +∈仅在0点仅1阶可导(0)0f '=（0的邻域内()f x '无定义）. 故2()0000n n p x x x x =++++ 并不是()f x 在0处的泰勒多项式. 注2 若f 能表成()00()(,)()n n f x P x x x x =+- ，则多项式0(,)n P x x 是唯一的 （不论可导性）. 因为 若 () 00()(,)()n n f x P x x x x =+- ()20102000()()()()n n n a a x x a x x a x x x x =+-+-++-+- （1） 则由（1） 00lim ()x x f x a →=， 反代入（1）式又得 0010 ()lim x x f x a a x x →-=-， 反代入（1）式又得 0010220()[()]lim ()x x f x a a x x a x x →-+-=- 泰勒公式及其应用 佟梅 (渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国) 摘要：数学是一门很重要的学科，许多的数学家研究出了各种定理、公式，并且都证实了它们的正确性，应用这些定理公式解决了许多疑难问题，泰勒公式就是其一。泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它在解决分析中的问题时应用广泛、灵活，也是解决各种数学问题的一个强有力的工具之一，本文对泰勒公式进行了简单的介绍，重点介绍了它的各种应用，作了一个较系统和规律性的分析综述。首先，介绍了泰勒定理及其几种表示形式的泰勒公式，在后面的应用中会应用到。其次，就是本文的重点——泰勒公式的应用，介绍了九个方面，主要包括：研究级数和广义积分的敛散性、利用泰勒公式求极限、近似计算和误差估计、确定和比较无穷小的阶、证明不等式等等，通过许多的例题分析，体现出了泰勒公式在解决数学问题时的重要性和简洁性。 关键词：泰勒公式，极限，误差估计，敛散性，不等式。 Taylor’s formula and its application Tong Mei (Department of Mathematics Bohai University，Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract:Mathematics is a very important discipline. Many mathematicians studied all kinds of theorem and formula, proved their correctness, and applied them to solve a number of difficult problems. Taylor formula is one of them.Taylor’s formula is a important formula in mathematical analysis. It can be used widely and conveniently to solve the problems in analysis. In addition, it is one of powerful tools to solve all kinds of mathematics problems. This article provides a simple introdu ction to Taylor’s formula, emphasizes its various applications, and makes a systematic and inerratic analysis summary. Firstly, this article introduces the Taylor theorem and some Taylor’s formula of different _expression forms, which will be applied later. Next, it is the emphasis of this article -- the application of Taylor’s formula. Here nine aspects are introduced: studying the convergence and divergence of series and the improper integral, using the Taylor’s formnla to calculate limit, the approximate calculation and error estimate, determining and comparing the order of infinitesimals, the application in theorem proof, proving inequality, and so on. Through many example analysis, the importance and conciseness of Taylor’s formula in solving mathematic s questions are well illustrated. Key Words: Taylor’s formula; limit; error estimate ;convergent or divergent; inequality. 第2章 预备知识 前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的． 给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有： )()()()(000x x x f x f x x f ?+?'+=?+ο 这样当1< 泰勒公式的几种证明法及其应用 -毕业论文 【标题】泰勒公式的几种证明法及其应用 【作者】张廷兵 【关键词】泰勒公式构造函数法数学归纳法柯西中值定理应用【指导老师】陈波涛 【专业】数学与应用数学 【正文】 1引言 泰勒公式在分析和研究数学问题方面有着重要的应用。但是它的证明大多数是重复运用柯西中值定理来推导，这给初学者从理解到接受有一定的困难。为了给不同层次的学习者理解和接受泰勒公式提供方便。本文研究不同的证明方法，给学习者提供了选择的余地。归根结底，使学习者更好运用泰勒公式，为此就对泰勒公式的应用及技巧的总结。 2 带佩亚诺型余项泰勒公式的证明方法 在初等函数中，最简单的函数就是多项式，对于数值计算和理论分析都很方便。如果将一类复杂的函数用多项式来近似表示出来，其误差又能满足一定的要求。那么，我们就可以表示出此函数。若函数是n次多项式 令 .于是 对任意一个函数，只要函数在a点存在n阶导数，我们就可以写出一个相应的多项式 称为函数在a点的n次泰勒多项式，那么n次泰勒多项式与函数在在点a 的邻域上有什么联系呢,下面的定理回答了这个问题( 定理1[1] 若函数在a点存在n阶导数 ,则 其中 ,则上式就为在a点的泰勒公式, 为泰勒公式的余项. 2.1方法一 证明:将上式改为 ，有 分子是函数 ,分母是函数 .应用n-1次柯西中值定理[2] 其中 其中 其中 (至此已应用了n-1次柯西定理) 当根据右导数定义,有 同法可证: 于是 , 表示余项是佩亚诺型. 证毕. 2.2方法二 证明在的一个邻域内有一阶导数，则存在且在处连续,即有则由极限与无穷小量的关系有: ( 是无穷小量), 又 则 (2—1) 从(2—1)式推出: 比较无穷小量与 = = (因为二阶可导) 又由极限与无穷小量的关系有: 将上边代入(2—1)式: 设 .则在处有阶导数,且设当时仍有: + (2—2) 从(2—2)中推出 比较与 : 泰勒公式及其应用 [摘 要] 文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问题， 即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值. [关键词] 泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式. １ 引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识 定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有 '''200000()() ()()()()1!2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+ ()000() ()(())! n n n f x x x o x x n +-+- （1） 这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式. 当0x =0时,（1）式变成)(! )0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n n n x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式 为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式. 定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则 ''()' 2 0000000()()()()()()()...()()2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ , （2）这里 ()n R x 为拉格朗日余项(1)10() ()()(1)! n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒 公式. 当0x =0时,（2）式变成''()' 2(0)(0)()(0)(0)...()2!! n n n f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式. 常见函数的展开式： 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ . )()! 12()1(!5!3sin 221 253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)! n n n x x x x x o x n =-+-++-+ . )(1 )1(32)1ln(11 32++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(111 2n n x o x x x x +++++=- +-+ +=+2 ! 2)1(1)1(x m m mx x m . 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得泰勒公式的证明及应用
泰勒公式的证明及应用(1)
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