平行四边形的判定(第三课时)

18.1.2平行四边形的判定（第三课时）

1.理解三角形中位线的概念,掌握三角形的中位线定理.

2.能较熟练地应用三角形中位线的性质进行有关的证明和计算.

在灵活运用三角形中位线定理进行有关证明和计算的过程中,经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证的能力.

结合实际问题,进一步理解三角形中位线的概念及性质,培养创造性思维.

【重点】掌握三角形中位线的性质.

【难点】三角形中位线性质的证明.

【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.

【学生准备】复习平行四边形的性质与判定方法,三角形纸板.

导入一:

为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选一点A,再分别找出线段AB,AC的中点D,E,若测出DE的长,就能求出池塘的宽BC,你知道为什么吗?今天这堂课我们就来探究其中的学问.

[设计意图]从生活实例引入,激发学生对问题探究的兴趣,拉近了数学与生活的距离,使学生产生学习的主观意愿.

导入二:

将任意一个三角形形状的蛋糕平均分给四个小朋友,要求每人分得的形状和大小必须完全相同,该如何切割?

学生思考,并尝试画出剪切线.

同学们,通过今天的学习,你会找到一种新的切割方法.今天将要学习的内容是三角形中重要的线段——中位线及其性质.

[设计意图]通过操作实验导入新课,激发了学生学习本课的好奇心,为学习中位线及其性质做好铺垫.

1.三角形的中位线的定义

如图,D,E分别是AB,AC的中点,连接DE,像DE这样,连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

教师讲解:三角形中位线的定义的两层含义:

①∵D,E分别为AB,AC的中点,∴DE为△ABC的中位线.

②∵DE为△ABC的中位线,∴D,E分别为AB,AC的中点.

提问:三角形有几条中位线?你能画出来吗?

学生尝试画图,教师巡视指正,引导学生观察总结:三角形有三条中位线.

教师画出三角形的一条中线和一条中位线,追问:说出三角形的中位线与中线有何相同点和不同点.

学生独立思考并回答,教师归纳总结:

相同之处:都是和边的中点有关的线段.

不同之处:三角形中位线的两个端点都是边的中点;三角形中线只有一个端点是边的中点,另一端点是三角形的顶点.

[设计意图]这两个概念容易混淆,通过画图比较,巩固学生对中位线概念的理解,培养学生严谨细致的学习习惯.

(1)找出三边的中点.

(2)连接六点中的任意两点(边除外).

(3)找找哪些线是你已经学过的,哪些是未曾学过的?

学生根据老师要求画出图形,如图所示,并说出已经学过的线段有AF,BE,CD,未曾学过的线段有DE,DF,EF.提问:没有学过的线段有什么特点呢?

学生发现:线段DE,DF,EF的端点都是三角形的边的中点.

教师明确:连接三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线.如图,DE,EF,DF是三角形ABC的3条中位线.跟踪训练:

①如果D,E分别为AB,AC的中点,那么DE为△ABC的;

②如果DE为△ABC的中位线,那么D,E分别为AB,AC的.

答案:①中位线②中点

师生总结:一个三角形有三条中位线.三角形的中位线和三角形的中线不一样,三角形的中位线是连接两边中点的线段,而三角形的中线是连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段.

[设计意图]在本环节,经过动手操作,学生会发现有3条是已经学过的中线,有3条是没有学过的.最终给出三角形中位线的定义,也引出了本节课的课题:三角形的中位线.这样做,既让学生得出三角形中位线的概念,又让学生在无形中区分了三角形的中线和三角形中位线.为了使学生加深对三角形中位线的概念的理解,为后面的探究打下基础,设立了以上两道简单的练习题,让学生学会从图中找出信息.

2.三角形的中位线的性质

思路一

提问:观察图形,猜想DE与BC有何位置关系,有何数量关系.

学生活动:(1)剪一个三角形,记为△ABC.

(2)分别取AB,AC的中点D,E,并连接DE.

(3)沿DE将△ABC剪成两部分,并将△ADE绕点E旋转180°到△CFE的位置,得四边形DBCF(如图).

思考:四边形DBCF是什么特殊的四边形?为什么?

教师根据情况进行提示:要判定一个四边形是平行四边形,需具备什么条件?

结合题目中的条件,你选用哪一种判定方法?为什么?

学生发现:由操作(3)知△ADE≌△CFE,从而可知CF∥DB,CF=AD=DB,∴四边形BCFD是平行四边形.

教师进一步引导,得出:DE∥BC,DE=BC.

师生归纳总结:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.

[设计意图]通过对问题的逐层分析,把解决问题方案的范围逐渐缩小,最终确定一个合理的方案.能培养学生严密推理的能力和良好的思维习惯.

思路二

探索:如图,三角形的中位线DE与BC有什么样的关系?为什么?

思考:(1)你能直观感知它们之间的关系吗?用三角板验证;(2)你能用说理的方法来验证它们之间的这种关系吗?

学生在教师的指导下完成猜想,并证明.

已知:如图,点D,E分别为△ABC边AB,AC的中点.

求证:DE∥BC且DE=BC.

〔解析〕所证明的结论既有位置关系,又有数量关系,联想已学过的知识,可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中,利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立,从而使问题得到解决,这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形.

分小组讨论后,全班交流证明过程.

第一小组代表:如图,延长DE到F,使EF=DE,连接CF,由题意易得△ADE≌△CFE,从而可得AD∥FC,且AD=FC,因此有BD∥FC,BD=FC,所以四边形BCFD是平行四边形.所以DF∥BC,DF=BC,由作图知DE=DF,所以DE∥BC且

DE=BC.(也可以过点C作CF∥AB,交DE的延长线于F点,证明方法与上面大体相同)

第二小组代表:如图,延长DE到F,使EF=DE,连接CF,CD和AF,因为AE=EC,所以四边形ADCF是平行四边形.所以AD∥FC,且AD=FC.因为AD=BD,所以BD∥FC,且BD=FC.所以四边形BCFD是平行四边形.所以DF∥BC,且DF=BC,因为DE=DF,所以DE∥BC且DE=BC.

第三小组代表:如图,过E点作AB的平行线交BC于N,交过A点与BC平行的直线于M,由题意及作图易知△AEM≌△CEN,可得ME=EN,AM=CN,因为AM∥BC,AB∥MN,所以四边形AMNB是平行四边形,所以AB=MN,AM=BN.又因为BD=AB,EN=MN,所以BD=EN,所以四边形BDEN是平行四边形,则DE=BN,DE∥BC,所以DE=BN=AM=CN,即DE=BC.

第四小组代表:如图,过A,B,C三点分别作DE的垂线,分别交直线DE于点P,M,N.因为AP,BM,CN都垂直于DE,所以AP∥BM∥CN.可证明△APE≌△CNE,则AP=CN,PE=EN,△ADP≌△BDM,则AP=BM,MD=DP,所以BM=CN,DE=MN,所以四边形BMNC是平行四边形,所以DE∥BC,DE=MN=BC.

教师明确:我们证明了以上结论的正确性,上述结论称为三角形中位线定理.

请同学们用不同的表达方式(文字语言,符号语言)表述这一定理.

师生归纳:三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.

∵D,E分别是AB,AC的中点,

∴DE∥BC,DE=BC.

[设计意图]先由直观的方法感知DE与BC在位置与数量上的关系,再用说理的方式来证明这一关系,此举既满足了学生探求新知的欲望,获得成功的体验,又刺激学生进行更深入的探求.

[知识拓展](1)三角形的中位线所构成的三角形的周长是原三角形周长的一半.(2)三角形三条中位线可以把三角形分成三个平行四边形,分成的四个三角形全等.(3)三角形三条中位线所构成的三角形的面积等于原三角形面积的四分之一.

3.例题讲解

(补充)如图,△ABC的中位线DE=5 cm,把△ABC沿DE折叠,使点A落在边BC上的点F处,若A,F两点间的距离是8 cm,求△ABC的面积.

学生独立寻找三角形的底边和高后,再进行交流.连接AF,由折叠可知AF⊥DE,再由中位线的性质,得到

BC=2DE,DE∥BC,则AF是△ABC的BC边上的高,进而求得△ABC的面积.

解:连接AF,如图所示.

∵DE是△ABC的中位线,

∴BC=2DE=10 cm,

DE∥BC.

由折叠可知AF⊥DE,

∴AF⊥BC,

∴AF是△ABC的边BC上的高.

∵AF=8 cm,

∴S△ABC=BC·AF=×10×8=40(cm2).

[归纳拓展]本题还可以这样解:△ABC的面积是四边形ADFE面积的2倍,而四边形ADFE的对角线互相垂直,因此它的面积等于对角线乘积的一半,所以△ABC的面积等于AF·DE.

(补充)如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证四边形EFGH是平行四边形.〔解析〕因为已知点E,F,G,H分别是线段的中点,所以可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH 的边之间的关系.由于四边形的一条对角线可以把四边形分成两个三角形,所以考虑添加辅助线,连接AC或BD,构造含有三角形中位线的基本图形后,此题便可得证.

证明:连接AC,如图所示.

在△DAC中,∵AH=HD,CG=GD,

∴HG∥AC,HG=AC(三角形中位线性质).

同理可得EF∥AC,EF=AC.

∴HG∥EF,且HG=EF.

∴四边形EFGH是平行四边形.

[归纳总结]顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形.

师生共同归纳本节课所学知识:

三角形的中位线的定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

两层含义:如图,①∵D,E分别为AB,AC的中点,∴DE为△ABC的中位线;②∵DE为△ABC的中位线,∴D,E分别为AB,AC的中点.

三角形中位线的性质:

三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.

特点:在一个题设下,有两个结论.一个表示位置关系,另一个表示数量关系.

结论:有两个,一个表明中位线与第三边的位置关系,另一个表明中位线与第三边的数量关系.

三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.∵D,E分别是AB,AC的中点,∴DE∥BC,DE=BC.

作用:在已知两边中点的条件下,证明线段的平行关系及线段的倍分关系.

1.如图,A,B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连接AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M,N,如果测得MN=20 m,那么A,B两点间的距离是m,理由是.

解析:因为M,N分别是AC和BC的中点,所以MN=AB,所以AB=2MN=40 m.理由是:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.

答案: 40三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半

2.Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,BC=6,点D,E,F分别是△ABC三边的中点,则△DEF的周长是,面积是.

解析:△DEF的三条边分别是Rt△ABC的三条中位线,所以△DEF的三条边长分别是Rt△ABC的三边长的一半,所以△DEF的周长是Rt△ABC的周长的一半,△ABC的周长是24,则△DEF的周长是12.三角形的三条中位

线在三角形中可以构成三个平行四边形和四个全等的三角形,所以△DEF的面积是Rt△ABC的面积的四分之一,△ABC的面积=AC·BC=×8×6=24,因此△DEF的面积为6.

答案:12 6

3.如图,△ABC中,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点.

(1)若EF=5 cm,则AB=cm;若BC=9 cm,则DE=cm.

(2)中线AF与中位线DE有什么特殊的关系?证明你的猜想.

解:(1)∵D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,∴DE=BC,EF=AB,且EF∥AB,∴AB=2EF=10 cm,DE=BC=4.5 cm.(2)AF与DE互相平分.证明如下:连接DF,如图所示,∵D为AB的中点,∴AD=BD=AB,由(1)知EF=AB,EF∥AB,∴AD=EF,∴四边形ADFE是平行四边形.∴AF与DE互相平分.

4.如图,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证四边形EFGH是平行四边形.

证明:连接AC,如图所示,∵G,H分别是CD,AD的中点,∴GH=AC,且GH∥AC,∵E,F分别是AB,BC的中点,∴EF=AC,且EF∥AC,∴EF=GH,EF∥GH,∴四边形EFGH是平行四边形.

第3课时

1.三角形的中位线的定义

2.三角形的中位线的性质

3.例题讲解

例1例2

一、教材作业

【必做题】

教材第49页练习第1,3题;教材第50页习题18.1第5题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图所示,?ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是CD中点,连接OE,若OE=3 cm,则AD的长为()

A.3 cm

B.6 cm

C.9 cm

D.12 cm

2.(2015·山西中考)如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,BC的中点.若△DBE的周长是6,则△ABC的周长是()

A.8

B.10

C.12

D.14

3.△ABC中,点D,E,F分别是△ABC三边的中点,如果△DEF的周长是12 cm,那么△ABC的周长是 cm.

4.已知△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,F为BC上一点,EF=BC,∠EFC=35°,则∠EDF=.

5.如图所示,EF是△ABC的中位线,BD平分∠ABC交EF于D,若DE=2,则EB=.

6.三角形一条中位线所截成的新三角形与原三角形周长之和等于60 cm,则原三角形周长为cm. 【能力提升】

7.如图所示,在四边形ABCD中,AD=BC,P是对角线BD的中点,M是DC的中点,N是AB的中点.求证∠PMN=∠PNM.

8.如图,△ABC中,AD是∠BAC的平分线,CE⊥AD于E,M为BC的中点,AB=14 cm,AC=10 cm,求ME的长.

【拓展探究】

9.如图,已知BE,CF分别为△ABC中∠ABC,∠ACB的平分线,AM⊥BE于M,AN⊥CF于N,判断:①MN与BC的位置关系;②MN与AB,AC,BC的数量关系,并说明理由.

【答案与解析】

1.B(解析:在?ABCD中,AD=BC,OB=OD,E是CD的中点,所以OE是△BCD的中位线,所以OE=BC,所以BC=2OE=6 cm,所以AD=6 cm.故选B.)

2.C(解析:∵点D,E分别是边AB,BC的中点,∴DE是三角形ABC的中位线,AB=2BD,BC=2BE,∴DE∥AC且

DE=AC,∴AB+BC+AC=2(BD+BE+DE),即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍,∵△DBE的周长是6,∴△ABC的周长是6×2=12.故选C.)

3.24(解析:根据三角形中位线定理,△DEF的三边分别为△ABC的三条中位线,其长分别等于△ABC三边长的一半,所以△DEF的周长为△ABC的周长的一半,所以△ABC的周长是24 cm.)

4.72.5°(解析:根据三角形的中位线定理可知DE∥BC,DE=BC,所以∠EFC=∠DEF=35°,因为EF=BC,所以DE=EF,所以∠EDF=∠DFE=(180°-∠DEF)=72.5°.)

5.2(解析:因为EF是△ABC的中位线,所以EF∥BC,所以∠CBD=∠EDB,又因为BD平分∠ABC,所以∠CBD=∠EBD,所以∠EDB=∠EBD,所以BE=DE=2.)

6.40(解析:根据三角形中位线定理,可知中位线长等于第三条边长的一半,所以三角形一条中位线所截成的新三角形的周长等于原三角形周长的一半,又因为三角形一条中位线所截成的新三角形与原三角形周长之和等于60 cm,所以原三角形周长为40 cm.)

7.证明:∵P是对角线BD的中点,M是DC的中点,∴PM=BC.∵P是对角线BD的中点,N是AB的中

点,∴PN=AD=BC.∴PM=PN,∴∠PMN=∠PNM.

8.解:延长CE交AB于点F,如图所示,∵AD是∠BAC的平分线,∴∠FAE=∠CAE,∵CE⊥AD于E,∴∠AEF=∠AEC,又AE=AE,∴△AEF≌△AEC(ASA).∴EF=CE,AF=AC,∵M为BC的中点,∴EM=BF=(AB-AF)=(AB-AC)=(14-10)=2(cm).

9.解:MN∥BC,且MN=(AB-BC+AC).理由如下:分别延长AN,AM,分别交BC于R,Q,如图所示.∵BE是∠ABC的平分线,∴∠ABE=∠CBE,∵AM⊥BE,∴∠AMB=∠BMQ,又BM=BM,∴△ABM≌△QBM(ASA).∴AM=QM,AB=BQ,同理可证

AN=RN,AC=CR,∴MN∥BC,且MN=RQ,∵RQ=BQ-BR=BQ-(BC-CR)=BQ-BC+CR=AB-BC+AC,∴MN=(AB-BC+AC).

本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应的教学目标.把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的.整节课以“创设情境—合作探究—猜想验证—结论总结—实践应用”为主线,使学生亲身体验中位线的探索和验证过程,努力做到由传统的数学课堂向合作探究式课堂转变.

在教学过程中,高估了学生证明中位线定理的能力,主要困难在于一些学生不能对图形进行正确添加辅助线,特别是用多种方法证明中位线定理时,处理有些仓促,有部分学生跟不上节奏.

在例题选配上,还需要进一步突破应用中位线定理时如何添加辅助线这一难点.适当增加学生探究的时间,通过独立思考,合作探究,引导学生分析证明思路,正确完成证明过程.

练习(教材第49页)

1.解:能画三个.若连接DE,EF,FD,则DE,EF,FD分别是△ABC的中位线,所以DE∥AC,EF∥AB,FD∥CB,所以可得到?ADEF,?BEFD,?DECF.

2.解:AB CD.理由如下:∵l1∥l2,即AD∥BC,又AD=BC,∴AD BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AB CD.

3.提示:分别取AC,CB边的中点E,F,连接EF,测EF的长,根据三角形中位线定理得A,B的距离是E,F距离的2倍.习题18.1(教材第49页)

1.解:因为AB=6,AB的长是?ABCD周长的,所以?ABCD的周长是6÷=3

2.因为AB=CD,AD=BC,所以2(AB+BC)=32,所以BC=10.

2.提示:根据平行四边形的对角相等,得∠2=∠1=72°15'.

3.解:因为四边形ABCD是平行四边形,所以CD=AB=11,OA=OC=AC,OB=OD=BD.又因为AC+BD=36,所以2OC+2OD=36,即OC+OD=18,所以△OCD的周长为OC+OD+CD=18+11=29.

4.证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,即AF∥EC.又因为AF=CE,所以四边形AECF是平行四边形.

5.证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以OA=OC,OB=OD.又因为E,F,G,H分别为OA,OB,OC,OD的中点,所以OE=OA,OF=OB,OG=OC,OH=OD,所以OE=OG,OF=OH,所以四边形EFGH是平行四边形.

6.证明:因为四边形AEFD是平行四边形,所以AD EF.又因为四边形EBCF也是平行四边形,所以EF BC,所以AD BC,所以四边形ABCD是平行四边形.

7.解:S△ABC=S△DBC.因为△ABC与△DBC同底等高,所以它们的面积相等.与△ABC面积相等的三角形有无数个.只要是以BC为底,第三个顶点在直线l1上或底边长与线段BC相等且在l2(l1)上,第三个顶点在l1(l2)上,得到的三角形的面积就等于△ABC的面积.

8.解:如图所示,分别过C,B作x轴的垂线段CD,BE,则∠CDO=∠BEA=90°.∵四边形OABC是平行四边

形,∴OC AB,∴∠COD=∠BAE,即在△CDO和△BEA中, ∴△CDO≌△BEA,∴BE=CD=c,

AE=OD=b,∴OE=OA+AE=a+b,∴B(a+b,c).

9.证明:(1)如图所示,过点C作CE∥DA,交AB于点E,则∠A=∠CEB.∵四边形ABCD是梯形,∴DC∥AB,∴四边形AECD是平行四边形,∴AD=EC.又∵∠A=∠B,∴∠CEB=∠B,∴EC=BC,∴AD=BC.(2)如图所示,过点C作CE∥DA,交AB于点E,则∠A=∠CEB.∵四边形ABCD是梯形,∴DC∥AB,∴四边形AECD是平行四边形,∴AD=EC.又∵AD=BC,∴EC=BC,∴∠CEB=∠B,而∠A=∠CEB,∴∠A=∠B.

10.解:因为四边形ABCD是平行四边形,∠ABC=70°,所以AD∥BC,∠ABC=∠ADC=70°,所以ED∥BF.又因为BE ∥DF,所以四边形EBFD是平行四边形,所以∠EBF=∠EDF.又因为BE平分∠ABC,∠ABC=70°,所以∠EBF=∠ABC=×70°=35°,所以∠EDF=35°,所以∠1=∠ADC-∠EDF=70°-35°=35°.

11.解:∠ABC=∠B',AB'=AC'.理由如下:∵A'B'∥BA,B'C'∥CB,C'A'∥AC,∴四边形C'BCA,四边形BCB'A,四边形A'CAB都是平行四边形,∴∠ABC=∠B',AB'=BC=AC'.

12.解:在Rt△ADO中,∠ADO=90°,AD=12,DO=5,所以AO2=AD2+OD2=122+52=169,所以AO=13.又因为AC=26,所以OC=AC-AO=26-13=13,所以AO=OC.因为DO=BO,所以四边形ABCD是平行四边形,所以BC=DA=12.因为S△AD·DB=×12×10=60,所以S?ABCD=2S△ADB=2×60=120.

ADB=

13.解:有六个平行四边形.理由略.

14.解:设木条与AD,BC分别相交于点E,F,则OE=OF.证明如下:∵在?ABCD中,AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA.∵∠AOE=∠COF,OA=OC,∴△AOE≌△COF,∴OE=OF.(当木条与AB,CD相交时,结果与证明方法相同)(答案不唯一)

15.解:S?AEPH=S?CFPG,S?ABGH=S?CFEB,S?AEFD=S?CDHG.理由如下:易知四边形HPFD,四边形EBGP,四边形AEPH和四边形PGCF均为平行四边形.在?ABCD中,S△ABD=S△CDB,在?HPFD中,S△HDP=S△FPD.在?EBGP中,S△EPB=S△GBP,∴有S△ABD-S△HDP-S△EPB=S△CDB-S

-S△GBP,即S?AEPH=S?PGCF,∴S?AEPH+S?HPFD=S?PGCF+S?HPFD,S?AEPH+S?EBGP=S?PGCF+S?EBGP,即S?AEFD=S?HGCD,S?ABGH=S?EBCF.

△FPD

如图,在四边形ABCD中,AD=BC,E,F分别是DC,AB边的中点,FE的延长线分别与AD,BC的延长线交于点H,G.

求证∠AHF=∠BGF.

证明:连接AC,并取AC的中点M,连接EM,FM,如图所示.

∵E是CD的中点,M是AC的中点,

∴EM=AD,EM∥AD.

∴∠MEF=∠AHF.

∵F是AB的中点,M是AC的中点,

∴FM=BC,FM∥BC.

∴∠MFE=∠BGF.

∵AD=BC,

∴EM=MF,∴三角形MEF为等腰三角形,即∠MEF=∠MFE.∴∠AHF=∠BGF.

判定平行四边形的五种方法

判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明. 一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别 例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上, 且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形. 分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD. 解：连接BD交AC于点O. 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF, 所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO. 所以四边形DEBF是平行四边形. 二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别 例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由. 分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别. 解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1, 所以四边形ABCF是平行四边形. 同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形. 因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形. 三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别 例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形. 分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件. 解：因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB. 因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE, 所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE， 所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形 . 图1 图2 A B C D E F 图3

平行四边形的判定2教学设计

18.1.2 平行四边形的判定（2） 课时安排：2课时 一．教学内容与分析 1、教学内容 三角形中位线的概念及三角形中位线定理；领会其实际应用。 2、内容分析 本节课要学的内容是三角形中位线的概念及三角形中位线定理，本课时所要探究的三角形中位线定理是学生以前从未接触过的内容。因此，在教学中通过创设有趣的情境问题，激发学生的学习兴趣，注重新旧知识的联系，强调直观与抽象的结合，鼓励学生大胆猜想，大胆探索新颖独特的证明方法和思路，让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。通过本节课的学习，应使学生理解三角形中位线定理不仅指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，而且为证明线段之间的位置关系和数量关系（倍分关系）提供了新的思路，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。 二．教学目标与分析 1、教学目标 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质；能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算． 2、教学目标分析 本节要学的内容是三角形中位线的概念、及三角形中位线定理和它的应用。三角形中位线定理是三角形的一个重要的性质定理。它是平行四边形的判定定理和性质定理的一个直接应用。让学生在学习三角形中位线定理的推导中理解它与平行四边形的内在联系。本节课的重点是理解并应用三角形中位线定理。难点是理解三角形中位线定理的推导，感悟几何的思维方法。解决重点的方法是应用平行四边形的知识推出三角形中位线定理的证明，以“加倍法”来构建平行四边形。三．问题诊断分析 在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是三角形中位线定理的推导产生这一问题的原因是不能把握住平行四边形的判定定理和性质定理这一对互逆定理的应用。要解决这一问题，就要对平行四边形的性质和判定定理的综合运用进行区别，其中关键是平行四边形的概念、性质和判定定理的应用巩固。强调三角形的中位线与中线的区别：中位线：中点与中点的连线；中线：顶点与对边中点的连线． 四．教学支持条件分析 五．教学过程 复习引入： 1、平行四边形的定义是什么？它有什么作用？ 2、平行四边形还有哪些性质？ 角：（c）两组对角相等．（性质3）（等价命题：两组邻角互补）

平行四边形的判定典型例题

《平行四边形的判定》典型例题 例1如图，△DAB、△EBC、△FAC都是等边三角形，试说明四边形AFED 是平行四边形． 例2如图，E、F分别是ABCD边AD和BC上的点，并且AE=CF，AF和BE 相交于G，CE和DF相交于H、EF与GH是否互相平分，请说明理由． 例3如图，在平行四边形ABCD中，A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4分别是AB和DC的五等分点，C1、C2和D1、D2分别是AD和BC的三等分点，若四边形C1A4D2B1的面积为1，求S平行四边形ABCD. 例4已知：如图，E，F分别为ABCD的边CD，AB上一点，AE∥CF，BE，CF分别交CF，AE于H，G. 求证：EG=FH.

例5如图，已知：四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足，且AE=CF，∠BAC=DCA. 求证：四边形ABCD是平行四边形.

参考答案 例1分析要证四边形AFED是平行四边形，应观察：两组对边是否相等、两组对角是否相等，或一组对边是否平行且相等、对角线是否相互平分．但在本题中没有对角线，也没有明显的对角之间的关系，因此可以先考虑去证明四边形AFED的对边是否相等． 事实上，AD=AB=BD，EF是否能等于这三条边中的一条呢可以看到 ，∴EF=AB=BD．同理DE=AC=AF，因此，所要证的四边形AFED是平行四边形． 证明，∴， 且，∴，∴ 又，同理．∴AFED是平行四边形． 例2分析若EF、GH互相平分，那么四边形EGFH应是平行四边形．观察已知条件，可以证明四边形EGFH是平行四边形． 证明是平行四边形，∴ 又，∴，且 ∴四边形AECF是平行四边形，∴，∴ 又四边形EDFB是平行四边形，∴，∴ 在四边形GEHF中，， ∴四边形GEHF是平行四边形，∴EF和GH互相平分． 说明：本题中多次使用了平行四边形的性质：对边平行且相等以及平行四边形的判断方法：对边平行且相等的四边形是平行四边形．通过解题应熟悉平行四边形的性质及判别． 例3 分析平行四边形ABCD被和分别成15个相等的小平行四边形。 而是4个小平行四边形面积的一半，是2个小平行四边形面积的一半。

平行四边形的判定(2)教案

18.1.2（二） 平行四边形的判定 一、教学目的： 1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题． 3．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力． 二、重点、难点 1．重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法． 2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用． 三、例题的意图分析 本节课的两个例题都是补充的题目，目的是让学生能掌握平行四边形的第三种判定方法和会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．学生程度好一些的学校，可以适当地自己再补充一些题目，使同学们会应用这些方法进行几何的推理证明，通过学习，培养学生分析问题、寻找最佳解题途径的能力． 四、课堂引入 1．平行四边形的性质； 2．平行四边形的判定方法； 3．【探究】 取两根等长的木条AB 、CD ，将它们平行放置，再 用两根木条BC 、AD 加固，得到的四边形ABCD 是平行四边形 吗？ 结论：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 五、例习题分析 例1（补充）已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中 点，求证：BE=DF ． 分析：证明BE=DF ，可以证明两个三角形全等，也可以证明 四边形BEDF 是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单． 证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥CB ，AD=CD ． ∵ E 、F 分别是AD 、BC 的中点， ∴ DE ∥BF ，且DE= AD ，BF=BC ． ∴ DE=BF ． ∴ 四边形BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）． ∴ BE=DF ． 此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路． 例2（补充）已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AC 上两点， 且BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：四边形BEDF 是平行四边形． 212 1

平行四边形的判定(1)

平行四边形的判定 教学目标：1、经历平行四边形的判别条件的探索过程，在活动中发展学生的合情推理意识和主动探究的习惯，使学生逐步掌握说理的基本方法； 2、探索并掌握平行四边形的判别条件； 3、在探究过程中，培养学生的动手实践水平、转化水平、反思水平、 归纳水平，积累数学活动经验，增强学生的创新意识。 教学重点：1、平行四边形的三种判别条件； 2、平行四边形的判别条件的初步应用。 教学难点：平行四边形的判别条件的初步应用 教学过程： 新课讲解： 一、动手操作 小明的爸爸在制作平行四边形框架时采用了下面两种方法 （1）他把两根木条AC、BD的中点O重叠并固定后得到了 理由：∵AO＝CO,BO＝DO,∠AOB＝∠COD ∴⊿AOB≌⊿COD ∴∠ABO＝∠CDO ∴AB∥CD 同理可得BC∥AD ∴四边形ABCD是平行四边形 判别方法一：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 （2）他把两根等长的木条AB、C D平行摆放并固定后得到了四边 形ABCD，它是平行四边形，请你说明理由。

理由：连接AC ∵AB ∥CD ∴∠BAC ＝∠ACD 又∵AB ＝CD,AC ＝CA ∴⊿ABCC ≌⊿CDA ∴∠ACB ＝∠CAD ∴AD ∥BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 判别方法二：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 二、应用 例1、 如图，AC ∥ED,点B 在AC 上且AB ＝ED ＝BC ，找出图中的平行四边形 解：四边形ABDE 、BCDE 都是平行四边形 理由：∵AB ＝DE, AB ∥ED ∴ 四边形ABDE 是平行四边形 ∵BC ＝DE, BC ∥ED ∴ 四边形BCDE 是平行四边形 三、随堂练习： 书上 104页，第1题 四、小结：本节课主要学习了什么内容？你有何收获？ 五、作业：书上 104页，习题4.3，知识技能1，2，数学理解3 平行四边形的判定 教学目标：1、经历平行四边形的判别条件的探索过程，在活动中发展学生的合情 推理意识和主动探究的习惯，使学生逐步掌握说理的基本方法； 2、探索并掌握平行四边形的判别条件； C B D C

《平行四边形的判定3》教案

《平行四边形的判定3》教案 一、教学目的 1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质． 2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算． 3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力． 4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法． 二、重点、难点 1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质． 2．难点：三角形中位线性质的证明(辅助线的添加方法)． 三、例题的意图分析 例1是是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先证明后引出概念与性质的方法，它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降低难度，因此教师们在教学中要把握好度． 建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩固三角形中位线的性质，然后再讲例2． 例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到，可根据学生情况适当的选讲例2．教学中，要把辅助线的添加方法讲清楚，可以借助与多媒体或教具．四、课堂引入 1．平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？ 2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？ (答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．) 3．创设情境 实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的 三角形，你是如何切割的？(答案如图) 图中有几个平行四边形？你是如何判断的？ 五、例习题分析

平行四边形的判定

[文件] sxc2jja0010.doc [科目] 数学 [年级] 初二 [章节] [关键词] 平行四边形/判定 [标题] 平行四边形的判定 [内容] 教学目标 1．掌握平行四边形的判定定理及应用． 2．会综合运用平行四边形的判定定理和性质定理来解决问题． 3．会根据条件来画出平行四边形． 4．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 教学重点和难点 重点是平行四边形的判定定理及应用； 难点是平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 教学过程设计 一、用类比、逆向思维的方式探索平行四边形的判定方法 1．复习平行四边形的主要性质， 角：（c）两组对角相等．（性质3）（等价命题：两组邻角互补） 对角线：（d）对角线互相平分．（性质4） 2．逆向思维：怎样判定一个四边形是平行四边形？ （1）学生容易由定义得出：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（判定方法一）．也就是说，定义既是平行四边形的一个性质，又是它的一个判定方法．（2）观察判定方法一与性质1的关系，寻找逆命题的特征： ①由两个独立条件和一个结论组成； ②两个独立条件属于同类条件（即都分别属于：（a）对边的位置关系，（b）对边的数量关系，（c）对角的数量关系或（d）对角线关系的条件，简称为同类条件）； ③逆命题正确． （3）类比联想，猜想其他性质的逆命题也能判定平行四边形，构造逆命题如下： ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形（猜想1）； ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形（猜想2）； ③对角线互相平分的四边形是平行四边形（猜想3）． （4）证明猜想，得到平行四边形的判定定理1，2，3． 教师引导学生根据平行四边形的定义以及平行线的性质、三角形全等的知识对以上猜想进行证明． 注意利用新证定理简化后来读定理的证明过程及选择简捷方法． 3．进一步探求用两个独立的非同类条件判定平行四边形的方法．（这部分内容的设计意图和处理方法详见设计说明部分） （1）教师解释“两个独立的非同类条件”的含义，指从平行四边形四方面的性质（a），

初中数学判定平行四边形的五种常用方法

判定平行四边形的五种常用方法 名师点金：判定平行四边形的方法通常有五种，即定义和四种判定定理，选择判定方法时，一定要结合题目的条件，选择恰当的方法，从而简化解题过程． 利用两组对边分别平行判定平行四边形 1．如图，在?ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连接AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点．求证：四边形FMEN为平行四边形． (第1题) 利用两组对边分别相等判定平行四边形 2．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形． 求证：四边形ADEF是平行四边形． (第2题) 利用一组对边平行且相等判定平行四边形 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，连接CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF＝CE.求证：四边形ACEF是平行四边形． (第3题)

利用两组对角分别相等判定平行四边形 4．如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由． (第4题) 利用对角线互相平分判定平行四边形 5．【中考·哈尔滨】如图①，?ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH. (1)求证：四边形EGFH是平行四边形； (2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)． (第5题)

答案 1． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，DE ＝BF ，∴DE 平行且等于BF . ∴四边形BFDE 为平行四边形． ∴BE ∥DF .同理，AF ∥CE . ∴四边形FMEN 为平行四边形． 2．证明：∵△ABD ，△BCE ，△ACF 都是等边三角形， ∴BA ＝BD ＝AD ，BC ＝BE ，AF ＝AC ，∠DBA ＝∠EBC ＝60°. ∴∠EBC －∠EBA ＝∠DBA －∠EBA ， 即∠ABC ＝∠DBE . ∴△ABC ≌△DBE .∴AF ＝AC ＝DE . 同理，可证△ABC ≌△FEC ， ∴AD ＝AB ＝EF . ∴四边形ADEF 是平行四边形． 3．证明：过A 作AM ⊥DF 于M . ∵∠ACB ＝90°，ED ⊥BC ， ∴DF ∥AC .∴AM ＝DC . 在Rt △AMF 和Rt △CDE 中， ? ????AM ＝CD ，AF ＝CE ， ∴Rt △AMF ≌Rt △CDE . ∴∠F ＝∠CED .∴AF ∥CE . 又∵AF ＝CE ， ∴四边形ACEF 是平行四边形． 4．解：四边形BFDE 是平行四边形．理由：在?ABCD 中，∠ABC ＝∠CDA ，∠A ＝∠C . ∵BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ， ∴∠ABE ＝∠CBE ＝12∠ABC ，∠CDF ＝∠ADF ＝12 ∠ADC .∴∠ABE ＝∠CBE ＝∠CDF ＝∠ADF .∵∠DFB ＝∠C ＋∠CDF ，∠BED ＝∠ABE ＋∠A ，∴∠DFB ＝∠BED .∴四边形BFDE 是平行四边形． 5．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO . ∵O 是AC 的中点，∴OA ＝OC . 在△OAE 与△OCF 中， ?????∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ， ∴△OAE ≌△OCF ，∴OE ＝OF . 同理OG ＝OH ， ∴四边形EGFH 是平行四边形． (2)解：与四边形AGHD 面积相等的平行四边形有?GBCH ，?ABFE ，?EFCD ，?EGFH .

平行四边形的3个判定定理

平行四边形的判定 教学目标 知识与技能： 1、运用类比的方法，通过学生的合作探究，得出平行四边形的判定方法。 2、理解平行四边形的判定方法，并学会简单运用。 过程与方法： 1、通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等教学活动，进一步培养学生的动手能力、合情推理能力；使学生学会将平行四边形的问题转化为三角形的问题，渗透化归意识。 2、在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过对平行四边形判定方法的探究，提高学生解决问题的能力。 情感、态度与价值观： 通过对平行四边形判定方法的探究和运用，使学生感受数学思考过程中的合理性、数学证明的严谨性，认识事物的相互联系、相互转化，学会用辩证的观点分析事物。 教学重难点 重点:平行四边形判定方法的探究、运用以及平行四边形的性质和判定的结合运用。 难点:对平行四边形判定方法的证明以及平行四边形的性质和判定的综合运用。 教学过程 一、复习、引入新课 复习：问题（多媒体展示问题） 1、平行四边形的定义是什么？它有什么作用？ 2、平行四边形的性质有哪些？（从三个方面：边、角、对角线，两个角度：文字语言、符号语言回答）

引入新课 我们知道了平行四边形的性质，那么，有哪些方法可以判断一个四 边形是平行四边形呢？ 二、新课 活动一： 1、教师明确平行四边形的第一种判定方法——根据定义。 平行四边形判定定理 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、学生结合图形，用符号语言表述这一定理。 解：∵AB∥CD，AD∥BC（已知） ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四 边形。） 活动二： 1、探究1：如图，将两长两短的四条线段首尾顺次连接，拼成一个 四边形，使等长的线段成为对边，转动这个四边形，使它形状改变。在图形变化过程中，它一直是一个什么四边形？（如图） 2、猜想：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 教师用几何画板演示，学生观察，进一步猜想。 3、尝试证明：这里采用先由教师提示，然后学生独立思考，学生口 述证明过程。

平行四边形的判定教学设计 (1)

《平行四边形的判定》教学设计 柴沟堡二中 张彦春 教学目标： 知识与技能：1、运用类比的方法，通过学生的合作探究，得出平行四边形的判定方法。 2、理解平行四边形形的判定方法，并学会简单运用。 过程与方法：1、通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等教学活动，进一步培 养学生的动手能力、合情推理能力；使学生学会将平行四边形的问题转化为三角形的问题， 渗透化归意识。 2、在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生 的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过对平行四边形判定方法的探究，提高学生解决 问题的能力。 情感、态度与价值观： 通过对平行四边形判定方法的探究和运用，使学生感受数学思考过程中的合理 性、数学证明的严谨性，认识事物的相互联系、相互转化，学会用辩证的观点分析事物。 重点难点 重点 平行四边形判定方法的探究、运用以及平行四边形的性质和判定的结合运用。 难点 对平行四边形判定方法的证明以及平行四边形的性质和判定的综合运用。 学情分析： 经过近两年的初中学习，学生推理意识与能力有所加强。在知识储备上，学生已经学习了平 行四边形的性质，对命题与逆命题、定理与逆定理已经有了初步认识。 教学过程： 一、复习、引入新课 复习： 问题（多媒体展示问题） 1、平行四边形的定义是什么？它有什么作用？ 2、平行四边形的性质有哪些？（从三个方面：边、角、对角线，两个角度：文字语言、符 号语言回答） 引入新课 我们知道了平行四边形的性质，那么，有哪些方法可以判断一个四边形是平行四边形呢？ 二、新课 活动一： 1、教师明确平行四边形的第一种判定方法——根据定义。 平行四边形判定定理 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、学生结合图形，用符号语言表述这一定理。 符号语言： ∵AB ∥CD ，AD ∥BC （已知） ∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形 是平行四边形。） 活动二： 1、探究1：如图，将两长两短的四条线段首尾顺次连接，拼成一个四边形，使等长的线段 成为对边，转动这个四边形，使它形状改变。在图形变化过程中，它一直是一个什么四边形？ （如图） A B C D A B C D

《平行四边形的判定》第3课时 教学设计【人教版八年级数学下册】

第十八章平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定（第3 课时） 本课是在学习完平行四边形的性质和判定后，运用这些知识探索和证明三角形中位线定理．在前面研究平行四边形中，采用了化四边形问题为三角形问题的思想；本节课，则是化三角形问题为平行四边形问题．这说明，知识之间是相互联系的． 1．理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理的内容； 2．经历探索、猜想、证明三角形的中位线定理的过程，进一步发展推理论证的能力．探索并证明三角形中位线定理. 课件. 一、提出问题，做出猜想 我们在研究平行四边形时，经常采用把平行四边形转化为三角形的问题，能否用平行四边形研究三角形呢？ 如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC 的中点，连接DE. 像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． ◆教材分析 ◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆课前准备 ◆ ◆教学过程

问题：看一看，量一量，猜一猜：DE与BC之间有什么位置关系和数量关系？ BC. 猜想：DE∥BC,DE=1 2 师生活动：鼓励学生通过自己的方式找出中位线与三角形第三边的位置关系与数量关系. 二、证明猜想，得出结论 如图，D、E分别是△ABC的边AB，AC的中点.求证：DE∥BC,DE=1 BC. 2 分析：本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条 BC转化为证明延长后的线段与BC相等.线段长的一半.将DE延长一倍后，可以将证明DE=1 2 此时，能否通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明？ 证明：如图，延长DE到F，使EF=DE，连接FC，DC，AF. ∵AE=EC，DE=EF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∴CF∥AD，CF=AD. ∵AD=BD， ∴CF∥BD，CF=BD， ∴四边形BDFC为平行四边形， ∴DF∥BC，DF=BC. 你能用一句话概括你的猜想和证明吗？ 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 师生活动：鼓励学生尝试添加辅助线解决问题，经历探索、猜想、证明的过程.

18.1.2平行四边形的判定教案

18.1.2 平行四边形的判定 肇庆第一中学授课教师：彭洁锋 教材：人教版义务教育课程标准实验教科书八年级下册 一、教学目标： （1）经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路。 （2）掌握平行四边形的四个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进地推理论证。 二、教学重点：平行四边形判定方法的探究、运用以及平行四边形的性质和判定的综合运用。 教学难点：对平行四边形判定方法的证明以及平行四边形的性质和判定的综合运用。 三、教学方法与手段 1、运用类比的方法，通过学生的合作探究，得出平行四边形的三个判定方法。 2、通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等教学活动，进一步培养学生的动手能力和推理能力。 3、在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。 4、部分平行四边形的问题可转化为三角形的问题，渗透化归思想。 四、教学过程 活动一：情境引入

在实验室有一块平行四边形的玻璃被打破了一角，如何画出原来平行四边 形的大小？你们有什么方法。 活动二：课前导入 1．平行四边形的定义是什么？它有什么作用？ 2．平行四边形还有哪些性质？ 3．上一章，我们学过逆命题，原命题正确，逆命题一定正确吗？ 4．在以前的学习经历中，我们学过勾股定理和它的逆定理，还有什么内容是跟互逆命题有关的？ 5．下列四边形中你如何判断它是否平行四边形？ 活动三：经验类比，提出猜想 用多媒体软件《几何画板》展示平行四边形的一些性质。 1.大家观察平行四边形的对角的数据变化，有什么样的猜想？ 2.大家观察平行四边形的对边的数据变化，有什么样的猜想？ 3.大家观察平行四边形的对角线的数据变化，有什么样的猜想？ （上述猜想过程要通过量度学案上这三个四边形，证实猜想的可能性）4.指出三个逆命题的几何语言。 活动四：理性思考，证明定理 1.你们能够证明上述猜想吗？

平行四边形判定方法.

平行四边形的判定 【知识要点】 同学们都知道，平行四边形具有对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分等性质， 并且我们得到了平行四边形的五种判定方法： ①定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形; ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ④对角线互相平分的四边形是平行四边形. ⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 【能力解读】 1. 掌握平行四边形的判定方法，会利用平行四边形的性质和判定进行有关线段的证明和角 的计算。 2. 将平行四边形转化成三角形来研究，深入理解平行四边形的性质和判定。 3. 平行四边形的性质和判定是中考命题的热点，特别是平行四边形的判定多与其他知识点 结合命题，以平行四边形为基架而精心设计的的中考题更是璀璨夺目，精彩四射。 【平行四边形判定方法的选择】 判定平行四边形的五种方法各有妙用，我们应仔细观察题目所给出的条件，仔细选择合 适于题目的判定方法进行解答。在解题时，如何有针对性的选择使用这些方法呢？这里列表 例1（条件开放题）如图1，四边形ABCD 中，BC AD =， 要使四边形ABCD 为平行四边形，还需补充的一个条件是 ． 课标剖析：熟练地掌握平行四边形的判定方法是解题的关键。 解：答案不唯一，如：(1)AB CD =(2)AD BC ∥(3) ?=∠+∠180B A ,(4) ?=∠+∠180D C . 例2．（结论开放题）如图2，在□ABCD 中，两条对角线相交于点O ，点E 、F 、G 、H 分别 是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，以图中的任意四点（即点A 、B 、C 、D 、 E 、 F 、 G 、 H 、O 中的任意四点）为顶点画两种不同的平行四边形． 课标剖析：：根据平行四边形的判定方法④解答. 【解】第一种：可画为□EFGH 第二种：可画为□DEBG （或画为□AHCF ） 分析：□ABCD 可得OA=OC ，OB=OD ，又因为点E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD D 2 D C 图1

人教版初二数学下册平行四边形判定(3)中位线定理

平行四边形判定（3）—三角形中位线 一、学生知识状况分析本节课是在学生学习了全等三角形、平行四边形的性质与判定的基础上学习三角形中位线的概念和性质。三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四种重要线段。三角形中位线定理为证明直线的平行和线段的倍分关系提供了新的方法和依据，也是后续研究梯形中位线的基础。三角形中位线定理所显示的特点既有线段的位置关系又有线段的数量关系，因此对实际问题可进行定性和定量的描述，在生活中有着广泛的应用。 二、教学任务分析本节课以“问题情境——建立模型——巩固训练——拓展延伸” 的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。 利用制作的多媒体课件，让学生通过课件进行探究活动，使他们直观、具体、形象地感知知识，进而达到化解难点、突破重点的目的。 教学目标 1、认知目标 （1）知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。 （2）理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。 （3）通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力． 2、能力目标 引导学生通过观察、实验、联想来发现三角形中位线的性质，培养学生观察问题、分析问题和 解决问题的能力。 3、德育目标 对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育。 4、情感目标 利用制作的Powerpoint 课件，创设问题情景，激发学生的热情和兴趣，激活学生思维。 教学重难点 重点】：三角形中位线定理 【难点】：难点是证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的录活应用.

平行四边形的判定2教案

18.1.2平行四边形的判定2 一、学习目标： （一）知识与能力： 1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来解决问题． （二）过程与方法： 经历探索、猜想、证明的过程，体会归纳、转化的数学思想 （三）情感目标： 培养学生合情推理能力和严谨的逻辑表达能力. 二、学习重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法． 三、学习难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用． 四、学习过程： （一）、自主预习（10分钟） 1、平行四边形的判定方法有那些？ 2、取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？ 1. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 已知：如图，在中，AB=CD AB∥CD,求证： . 证明：连接AC ∵ AB∥CD ∴∠BAC ＝∠DCA 在△ABC 和△DCA中 AB ＝CD ∠BAC ＝∠DCA AC ＝ CA ∴△ABC ≌△CDA（SAS） ∴AD ＝ CB 又∵ AB ＝CD ∴四边形ABCD是平行四边形 D

2.几何语言表述：∵AB=CD,AB ∥CD ∴四边形ABCD 是平行四边形. (二)、合作解疑（15分钟） 1、已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：BE=DF 2、已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AC 上两点，且BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：四边形BEDF 是平行四边形． (三)综合应用拓展（5分钟） 如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，已知AE ＝CF ，M 、N 是DE 和FB 的中点，求证：四边形ENFM 是平行四边形． 四、限时检测（10分钟） 1.如图，△ABC 是等边三角形，P 是其内任意一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，DE ∥AC ，若△ABC 周长为8，则PD +PE +PF = 。 2.四边形ABCD 是平行四边形，BE 平分∠ABC 交AD 于E ， DF 平分∠ADC 交BC 于点F ，求证：四边形BFDE 是平行四边形。 3.已知□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，AF 与EB 交于G ，CE 与DF 交于H ，求证：四边形EGFH 为平行四边形。 4.如图，在四边形ABCD 中，AB =6，BC =8，∠A =120°，∠B =60°，∠BCD =150°，求AD 的长。 （五）课 后 作 业 A B C D

平行四边形的判定教学设计(1)

平行四边形的判定教学设计（1） 学情分析 认知基础：本节课是学习了三角形的相关知识、平行四边形的定义、性质的基础上进行学习的，在教学内容上起着承上启下的作用。它既是对前面所学的全等三角形和平行四边形性质的一个回顾和延伸，又是以后学习特殊平行四边形的基础，同时它还进一步培养学生简单的推理能力和图形迁移能力；从思想方法上讲，通过平行四边形和三角形之间的相互转化，渗透了化归思想。 学生在初一学习平行线、三角形全等证明及本学期学习勾股定理、平行四边形性质的过程中已经初步掌握的简单几何推理，也初步体会到解决四边形问题转化为三角形问题的转化思想。但对于几何逻辑尚处于起始阶段的八年级学生来讲，推理的认知与规范证明难度仍然较大。 活动经验基础：在学习平行四边形性质的过程中，学生的观察、测量、画图、模型操作、拼摆等的能力有了很大的提高，在活动中学生有了体验和经验，同时活动中培养了学生良好的情感态度。教材的地位和作用 “平行四边形的判定”是初中数学几何部分一节十分重要的内容。主要体现在知识技能和思想方法两个方面。 从知识技能上讲，它既是对前面所学的全等三角形和平行四边形性质的一个回顾和延伸，又是以后学习特殊平行四边形的基础，同时它还进一步培养学生简单的推理能力和图形迁移能力；从思想方法上讲，通过平行四边形和三角形之间的相互转化，渗透了化归思想。 数学思维品质。 教学目标 1、经历平行四边形判别条件的探索过程，在活动中发展学生的合情推理意识和主动探究的习惯，使学生。 2、学生能归纳平行四边形判定方法并且能运用它判定是否是平行四边形 3、培养学生动手、独立思考、归纳概括、创新的能力，激发学生探究创新的热情。 教学重点 平行四边形的判定涉及平行四边形的元素各个方面同时又与平行四边形的性质联系，判定一个四边形是否为平行四边形是利用平行四边形性质解决其它问题的基础。 教学难点 1、能寻求多种方法画平行四边形。 2、对已解决的问题加以归纳总结判定方法。 设计理念 现行教材中的定理教学，多数是沿用“定义——定理——证明——应用”这样的模式。按照这

《平行四边形的判定3》教案新部编本

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校

《平行四边形的判定3》教案 一、教学目的 1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质． 2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算． 3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力． 4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法． 二、重点、难点 1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质． 2．难点：三角形中位线性质的证明(辅助线的添加方法)． 三、例题的意图分析 例1是是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先证明后引出概念与性质的方法，它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降低难度，因此教师们在教学中要把握好度． 建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩固三角形中位线的性质，然后再讲例2． 例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到，可根据学生情况适当的选讲例2．教学中，要把辅助线的添加方法讲清楚，可以借助与多媒体或教具．四、课堂引入 1．平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？ 2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？ (答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．) 3．创设情境 实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的 三角形，你是如何切割的？(答案如图) 图中有几个平行四边形？你是如何判断的？ 五、例习题分析

《平行四边形的判定》典型例题知识讲解

《平行四边形的判定》典型例题

《平行四边形的判定》典型例题 例1如图，△DAB、△EBC、△FAC都是等边三角形，试说明四边形AFED是平行四边形． 例2如图，E、F分别是ABCD边AD和BC上的点，并且AE=CF，AF 和BE相交于G，CE和DF相交于H、EF与GH是否互相平分，请说明理由． 例3如图，在平行四边形ABCD中，A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4分别是AB和DC的五等分点，C1、C2和D1、D2分别是AD和BC的三等分点，若四边形C1A4D2B1的面积为1，求S平行四边形ABCD. 例4已知：如图，E，F分别为ABCD的边CD，AB上一点，AE∥CF，BE，CF分别交CF，AE于H，G. 求证：EG=FH.

例5如图，已知：四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足，且AE=CF，∠BAC=DCA. 求证：四边形ABCD是平行四边形.

参考答案 例1分析要证四边形AFED是平行四边形，应观察：两组对边是否相等、两组对角是否相等，或一组对边是否平行且相等、对角线是否相互平分．但在本题中没有对角线，也没有明显的对角之间的关系，因此可以先考虑去证明四边形AFED的对边是否相等． 事实上，AD=AB=BD，EF是否能等于这三条边中的一条呢？可以看到，∴EF=AB=BD．同理DE=AC=AF，因此，所要证的四边形AFED是平行四边形． 证明，∴， 且，∴，∴ 又，同理．∴AFED是平行四边形． 例2分析若EF、GH互相平分，那么四边形EGFH应是平行四边形．观察已知条件，可以证明四边形EGFH是平行四边形． 证明是平行四边形，∴ 又，∴，且 ∴四边形AECF是平行四边形，∴，∴ 又四边形EDFB是平行四边形，∴，∴ 在四边形GEHF中，， ∴四边形GEHF是平行四边形，∴EF和GH互相平分． 说明：本题中多次使用了平行四边形的性质：对边平行且相等以及平行四边形的判断方法：对边平行且相等的四边形是平行四边形．通过解题应熟悉平行四边形的性质及判别． 例3 分析平行四边形ABCD被和分别成15个相等的小平行四边形。 而是4个小平行四边形面积的一半，是2个小平行四边形面积的一半。

《平行四边形的判定(2)》参考教案

18.1.2 平行四边形的判定（2） 一、教学目标 1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题． 3．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力． 二、重点、难点 1．重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法． 2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用． 3．难点的突破方法： 本节课是平行四边形判定的第二节课，本节课在上节课的基础上，学习平行四边形的判定方法，使同学们会应用这些方法进行几何的推理证明，并且通过本节课的学习，继续培养学生的分析问题、寻找最佳解题途径的能力．本节课的知识点不难，但学生灵活运用判定定理去解决相关问题并不容易，在以后的教学中还应加强一题多解和寻找最佳解题方法的训练． （1）平行四边形的判定方法4不是性质的逆命题．它可以用平行四边形定义或平行四边形判定方法1或3来证明，可以看作是巩固前面两个判定方法的一个很好的练习题．教学中可引导学生用不同的方法进行证明，以活跃学生的思维．（2）注意强调：判定方法是“一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形”，而“一组对边平行另一组对边相等的四 边形不一定是平行四边形”．例如：如图，AD∥BC，AB＝ DC，但四边形ABCD不是平行四边形． （3）学过本节后，应使学生掌握平行四边形的四个(或五个)判定方法，这些判定的方法是： 从边看：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

平行四边形的判定(二)

19.1.2 平行四边形的判定（二） 一、 教学目标： 1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法． 2．会综合使用平行四边形的五种判定方法和性质来证明问题． 3．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提升分析问题的水平． 二、重点、难点 1．重点：平行四边形各种判定方法及其应用。 2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用． 复习： 1． 平行四边形的性质； 2． 平行四边形的判定方法； 命题1：（课本87p 练习2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 已知：如图, D B C A ∠=∠∠=∠, 求证：四边形ABCD 为平行四边形。 命题2 命题2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形ABCD ，AD//BC 且AD=BC 求证：四边形ABCD 是平行四边形。 证明： 于是，我们又得到平行四边形的两个判定定理： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 所以，平行四边形共有五个判定定理。 从边看：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． A B C D A B C D

例1 ：已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC 的中点，求证：BE=DF． 练习1：如图, A 、B、E在一直线上，AB=CD , CBE C∠ = ∠，试证明AD//BC。 例2： 练习2： C D A B E