算法设计与分析+习题参考答案
5..证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数m,n都成立.
Hint:
根据除法的定义不难证明:
●如果d整除u和v, 那么d一定能整除u±v;
●如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.
对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。
数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集，其中也包括了最大公约数。
故gcd(m,n)=gcd(n,r)
6.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会如何处理?该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次?
Hint:
对于任何形如0<=m 并且这种交换处理只发生一次. 7.a.对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最少要做几次除法?(1次) b. 对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最多要做几次除法?(5次) gcd(5,8) 习题1.2 1.(农夫过河) P—农夫W—狼G—山羊C—白菜 2.(过桥问题) 1,2,5,10---分别代表4个人, f—手电筒 4. 对于任意实系数a,b,c, 某个算法能求方程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt(x)是求平方根的函数) 算法Quadratic(a,b,c) //求方程ax^2+bx+c=0的实根的算法 //输入:实系数a,b,c //输出:实根或者无解信息 D←b*b-4*a*c If D>0 temp←2*a x1←(-b+sqrt(D))/temp x2←(-b-sqrt(D))/temp return x1,x2 else if D=0 return –b/(2*a) else return “no real roots” else //a=0 if b≠0 return –c/b else //a=b=0 if c=0 return “no real numbers” else return “no real roots” 5.描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法 a.用文字描述 b.用伪代码描述 解答： a.将十进制整数转换为二进制整数的算法 输入：一个正整数n 输出：正整数n相应的二进制数 第一步：用n除以2，余数赋给Ki(i=0,1,2...)，商赋给n 第二步：如果n=0，则到第三步，否则重复第一步 第三步：将Ki按照i从高到低的顺序输出 b.伪代码 算法DectoBin(n) //将十进制整数n转换为二进制整数的算法 //输入：正整数n //输出：该正整数相应的二进制数，该数存放于数组Bin[1...n]中 i=1 while n!=0 do { Bin[i]=n%2; n=(int)n/2; i++; } while i!=0 do{ print Bin[i]; i--; } 9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略) 对这个算法做尽可能多的改进. 算法MinDistance(A[0..n-1]) //输入:数组A[0..n-1] //输出:the smallest distance d between two of its elements 习题1.3 1.考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的 元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去. a.应用该算法对列表‖60,35,81,98,14,47‖排序 b.该算法稳定吗? c.该算法在位吗? 解: a. 该算法对列表‖60,35,81,98,14,47‖排序的过程如下所示: b.该算法不稳定.比如对列表‖2,2*‖排序 c.该算法不在位.额外空间for S and Count[] 4.(古老的七桥问题) 习题1.4 1.请分别描述一下应该如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度. a.删除数组的第i 个元素(1<=i<=n) b.删除有序数组的第i 个元素(依然有序) hints: a. Replace the i th element with the last element and decrease the array size of 1 b. Replace the ith element with a special symbol that cannot be a value of the array ’s element(e.g., 0 for an array of positive numbers ) to mark the i th position is empty. (―lazy deletion ‖) 第2章 习题2.1 7.对下列断言进行证明:(如果是错误的,请举例) a. 如果t(n )∈O(g(n),则g(n)∈Ω(t(n)) b.α>0时,Θ(αg(n))= Θ(g(n)) 解: a. 这个断言是正确的。它指出如果t(n)的增长率小于或等于g(n)的增长率，那么 g(n)的增长率大于或等于t(n)的增长率 由 t(n )≤c ·g(n) for all n ≥n0, where c>0 则：)()()1 (n g n t c ≤ for all n ≥n0 b. 这个断言是正确的。只需证明))(())(()),(())((n g n g n g n g ααΘ?ΘΘ?Θ。 设f(n)∈Θ(αg(n)),则有： )()(n g c n f α≤ for all n>=n0, c>0 )()(1n g c n f ≤ for all n>=n0, c1=c α>0 即：f(n)∈Θ(g(n)) 又设f(n)∈Θ(g(n)),则有：)()(n cg n f ≤ for all n>=n0,c>0 )()()(1n g c n g c n f ααα =≤ for all n>=n0,c1=c/α>0 即：f(n)∈Θ(αg(n)) 8．证明本节定理对于下列符号也成立： a.Ω符号 b.Θ符号 证明： a 。we need to proof that if t 1(n)∈Ω(g 1(n)) and t 2(n)∈Ω(g 2(n)), then t 1(n)+ t 2(n)∈Ω(max{g 1(n), g 2(n)})。 由 t 1(n)∈Ω(g 1(n))， t 1(n)≥c 1g 1(n) for all n>=n1, where c1>0 由 t 2(n)∈Ω(g 2(n))， T 2(n)≥c 2g 2(n) for all n>=n2, where c2>0 那么，取c>=min{c1,c2},当n>=max{n1,n2}时： t 1(n)+ t 2(n)≥c 1g 1(n)+ c 2g 2(n) ≥c g 1(n)+c g 2(n)≥c[g 1(n)+ g 2(n)] ≥cmax{ g 1(n), g 2(n)} 所以以命题成立。 b. t 1(n)+t 2(n) ∈Θ()))(2),(1max(n g n g 证明：由大?的定义知，必须确定常数c1、c2和n0，使得对于所有n>=n0，有： ))(2),(1max()(2)(1))(2),(1max((1n g n g n t n t n g n g c ≤+≤ 由t 1(n)∈Θ(g1(n))知，存在非负整数a1,a2和n1使： a1*g1(n)<=t 1(n)<=a2*g1(n)-----(1) 由t 2(n)∈Θ(g2(n))知，存在非负整数b1,b2和n2使： b1*g2(n)<=t 2(n)<=b2*g2(n)-----(2) (1)+(2): a1*g1(n)+ b1*g2(n)<=t1(n)+t2(n) <= a2*g1(n)+ b2*g2(n) 令c1=min(a1,b1),c2=max(a2,b2)，则 C1*(g1+g2)<= t 1(n)+t 2(n) <=c2(g1+g2)-----(3) 不失一般性假设max(g1(n),g2(n))=g1(n). 显然，g1(n)+g2(n)<2g1(n)，即g1+g2<2max(g1,g2) 又g2(n)>0，g1(n)+g2(n)>g1(n),即g1+g2>max(g1,g2)。 则（3）式转换为： C1*max(g1,g2) <= t 1(n)+t 2(n) <=c2*2max(g1,g2) 所以当c1＝min(a1,b1),c2＝2c2=2max(c1,c2)，n0＝max(n1,n2)时，当n>=n0时上述不等式成立。 证毕。 习题2.4 1. 解下列递推关系 （做a,b ） a. ?? ?=+-=0 )1(5)1()(x n x n x 当n>1时 解： b. 解： 2. 对于计算n!的递归算法F(n)，建立其递归调用次数的递推关系并求解。 解： 3. 考虑下列递归算法，该算法用来计算前n 个立方的和：S(n)=13+23+…+n3。 算法S(n) //输入：正整数n //输出：前n 个立方的和 if n=1 return 1 else return S(n-1)+n*n*n a. 建立该算法的基本操作次数的递推关系并求解 ?? ?=-=4 )1()1(3)(x n x n x 当n>1时 b. 如果将这个算法和直截了当的非递归算法比，你做何评价？ 解： a. 7. a. 请基于公式2n=2n-1+2n-1，设计一个递归算法。当n是任意非负整数的时候，该算法能够计算2n的值。 b. 建立该算法所做的加法运算次数的递推关系并求解 c. 为该算法构造一棵递归调用树，然后计算它所做的递归调用次数。 d. 对于该问题的求解来说，这是一个好的算法吗？ 解: a.算法power(n) //基于公式2n=2n-1+2n-1,计算2n //输入:非负整数n //输出: 2n的值 If n=0 return 1 Else return power(n-1)+ power(n-1) c. ∑=+-==n i n i n C 01122)( 8.考虑下面的算法 算法 Min1(A[0..n-1]) //输入:包含n 个实数的数组A[0..n-1] If n=1 return A[0] Else temp ←Min1(A[0..n-2]) If temp ≤A[n-1] return temp Else return A[n-1] a.该算法计算的是什么? b.建立该算法所做的基本操作次数的递推关系并求解 解: a.计算的给定数组的最小值 b.???+-=0 1 )1()(n C n C 9.考虑用于解决第8题问题的另一个算法,该算法递归地将数组分成两半.我们将它称为Min2(A[0..n-1]) 算法 Min(A[r..l]) If l=r return A[l] Else temp1←Min2(A[l..(l+r)/2]) Temp2←Min2(A[l..(l+r)/2]+1..r) If temp1≤temp2 return temp1 Else return temp2 a.建立该算法所做的的操作次数的递推关系并求解 b.算法Min1和Min2哪个更快?有其他更好的算法吗? 解: a. for all n>1 n=1 习题2.6 1.考虑下面的排序算法,其中插入了一个计数器来对关键比较次数进行计数. 算法SortAnalysis(A[0..n-1]) //input:包含n个可排序元素的一个数组A[0..n-1] //output:所做的关键比较的总次数 count←0 for i←1 to n-1 do v←A[i] j←i-1 while j>0 and A[j]>v do count←count+1 A[j+1]←A[j] j←j+1 A[j+1]←v return count 比较计数器是否插在了正确的位置?如果不对,请改正. 解:应改为: 算法SortAnalysis(A[0..n-1]) //input:包含n个可排序元素的一个数组A[0..n-1] //output:所做的关键比较的总次数 count←0 for i←1 to n-1 do v←A[i] j←i-1 while j>0 and A[j]>v do count←count+1 A[j+1]←A[j] j←j+1 if j>=0 count=count+1 A[j+1]←v return count 习题3.1 4. a.设计一个蛮力算法,对于给定的x 0,计算下面多项式的值: P(x)=a n x n +a n-1x n-1+…+a 1x+a 0 并确定该算法的最差效率类型. b.如果你设计的算法属于Θ(n 2),请你为该算法设计一个线性的算法. C.对于该问题来说,能不能设计一个比线性效率还要好的算法呢? 解: a. Algorithms BruteForcePolynomialEvaluation(P[0..n],x) //由高幂到低幂用蛮力法计算多项式p 在给定点x 的值 //输入:P[0..n]是多项式按低幂到高幂的常系数,以及定值x //输出: 多项式p 在给定点x 的值 p=0.0 for i=n to 0 do power=1 for j=1 to i do power=power*x p=p+P[i]*power return p 算法效率分析: 基本操作:两个数相乘,且M(n)仅依赖于多项式的阶n ∑∑∑===Θ∈+= ==n i n i i j n n n i n M 020 1 )(2 ) 1(1)( b. tha above algorithms is very inefficient, because we recompute powers of x again and again as if there were no relationship among them.In fact ,we can move from the lowest term to the highest and compute x i by using x i-1. Algorithms BetterBruteForcePolynomialEvaluation(P[0..n],x) //由高幂到低幂用蛮力法计算多项式p 在给定点x 的值 //输入:P[0..n]是多项式按低幂到高幂的常系数,以及定值x //输出: 多项式p 在给定点x 的值 P=P[0] power=1 for i←1 to n do power←power*x p←p+P[i]*power return p 基本操作乘法运算总次数M(n): )(22)(1n n n M n i Θ∈==∑= c.不行.因为计算任意一个多项式在任意点x 的值,都必须处理它的n+1 个系数.例如: (x=1,p(x)=a n +a n-1+..+a 1+a 0,至少要做n 次加法运算) 5.应用选择排序对序列example 按照字母顺序排序. 6.选择排序是稳定的吗?(不稳定) 7.用链表实现选择排序的话,能不能获得和数组版相同的Θ(n2)效率? Yes.Both operation—finding the smallest element and swapping it –can be done as efficiently with the linked list as with an array. 9.a.请证明,如果对列表比较一遍之后没有交换元素的位置,那么这个表已经排好序了,算法可以停止了. b.结合所做的改进,为冒泡排序写一段伪代码. c.请证明改进的算法最差效率也是平方级的. Hints: a.第i趟冒泡可以表示为: 如果没有发生交换位置,那么: b.Algorithms BetterBubblesort(A[0..n-1]) //用改进的冒泡算法对数组A[0..n-1]排序 //输入:数组A[0..n-1] //输出:升序排列的数组A[0..n-1] count←n-1 //进行比较的相邻元素对的数目 flag←true //交换标志 while flag do flag←false for i=0 to count-1 do if A[i+1] swap(A[i],A[i+1]) flag←true count←count-1 c最差情况是数组是严格递减的,那么此时改进的冒泡排序会蜕化为原来的冒泡排序. 10.冒泡排序是稳定的吗?(稳定) 习题3.2 1.对限位器版的顺序查找算法的比较次数: a.在最差情况下 b.在平均情况下.假设成功查找的概率是p(0<=p<=1) Hints: a.C worst(n)=n+1 b.在成功查找下,对于任意的I,第一次匹配发生在第i个位置的可能性是p/n,比较 次数是i.在查找不成功时,比较次数是n+1,可能性是1-p. 6.给出一个长度为n的文本和长度为m的模式构成的实例,它是蛮力字符串匹配算法的一个最差输入.并指出,对于这样的输入需要做多少次字符比较运算. Hints: 文本:由n个0组成的文本 模式:前m-1个是0,最后一个字符是1 比较次数: m(n-m+1) 7.为蛮力字符匹配算法写一个伪代码,对于给定的模式,它能够返回给定的文本中所有匹配子串的数量. Algorithms BFStringmatch(T[0..n-1],P[0..m-1]) //蛮力字符匹配 //输入:数组T[0..n-1]—长度为n的文本,数组P[0..m-1]—长度为m的模式 //输出:在文本中匹配成功的子串数量 count←0 for i←0 to n-m do j←0 while j j←j+1 if j=m count←count+1 return count 8.如果所要搜索的模式包含一些英语中较少见的字符,我们应该如何修改该蛮力算法来利用这个信息. Hint:每次都从这些少见字符开始比较,如果匹配, 则向左边和右边进行其它字符的比较. 习题4.1 1.a.为一个分治算法编写伪代码,该算法求一个n个元素数组中最大元素的位置. b.如果数组中的若干个元素都具有最大值,该算法的输出是怎样的呢? c.建立该算法的键值比较次数的递推关系式并求解. d.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较 解:a. Algorithms MaxIndex(A[l..r]){ Input:A portion of array A[0..n-1] between indices l and r(l≤r) Output: The index of the largest element in A[l..r] if l=r return l else temp1←MaxIndex(A[l..(l+r)/2]) tem p2←MaxIndex(A[(l+r)/2..r]) if A[temp1]≥A[temp2] return temp1 else return temp2 } b.返回数组中位于最左边的最大元素的序号. c.键值比较次数的递推关系式: C(n)=C( n/2 )+C( n/2 )+1 for n>1 C(1)=0 设n=2k，C(2k)=2C(2k-1)+1 =2[2 C(2k-2)+1]+1=22C(2k-2)+2+1 =2[22C(2k-3)+1]+2+1=23C(2k-3)+ 22+2+1 =... =2i C(2k-i)+ 2i-1+2 i-2 +...+2+1 =... =2k C(2k-k)+ 2k-1+2 k-2 +...+2+1=2k－1=n-1 可以证明C(n)=n-1对所有n>1的情况都成立（n是偶数或奇数） d.比较的次数相同，但蛮力算法不用递归调用。 2、a.为一个分治算法编写伪代码，该算法同时求出一个n元数组的最大元素和最小元素的值。 b.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较。 c.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较。 解答： a.同时求出最大值和最小值，只需要将原数组一分为二，再使用相同的方法找出这两个部分中的最大值和最小值，然后经过比较就可以得到整个问题的最大值和最小值。 算法MaxMin(A[l..r],Max,Min) //该算法利用分治技术得到数组A中的最大值和最小值 //输入：数值数组A[l..r] //输出：最大值Max和最小值Min if(r=l) Max←A[l]；Min←A[l]; //只有一个元素时 else if r－l=1 //有两个元素时 if A[l]≤A[r] Max←A[r]; Min←A[l] else Max←A[l]; Min←A[r] else //r－l>1 MaxMin(A[l,(l+r)/2],Max1,Min1); //递归解决前一部分 MaxMin(A[(l+r/)2..r],Max2,Min2); //递归解决后一部分 if Max1＜Max2 Max= Max2 //从两部分的两个最大值中选择大值 if Min2 } b.假设n=2k,比较次数的递推关系式: C(n)=2C(n/2)+2 for n>2 C(1)=0, C(2)=1 C(n)=C(2k)=2C(2k-1)+2 =2[2C(2k-2)+2]+2 =22C(2k-2)+22+2 =22[2C(2k-3)+2]+22+2 =23C(2k-3)+23+22+2 ... =2k-1C(2)+2k-1+2k-2+...+2 //C(2)=1 =2k-1+2k-1+2k-2+...+2 //后面部分为等比数列求和 =2k-1+2k-2 //2(k-1)=n/2,2k=n =n/2+n-2 =3n/2－2 b.蛮力法的算法如下： 算法simpleMaxMin(A[l..r]) //用蛮力法得到数组A的最大值和最小值 //输入：数值数组A[l..r] //输出：最大值Max和最小值Min Max=Min=A[l]; for i=l+1 to r do if A[i]>Max Max←A[i]; else if A[i] return Max,Min } 时间复杂度t(n)=2(n-1) 算法MaxMin的时间复杂度为3n/2-2，simpleMaxMin的时间复杂度为2n-2，都属于Θ(n)，但比较一下发现，MaxMin的速度要比simpleMaxMin的快一些。 6.应用合并排序对序列E,X,A,M,P,L,E按字母顺序排序. 1 2 3 8.a.对合并排序的最差键值比较次数的递推关系式求解.(for n=2k) b.建立合并排序的最优键值比较次数的递推关系式求解.(for n=2k) c.对于4.1节给出的合并排序算法,建立它的键值移动次数的递推关系式.考虑了该算法的键值移动次数之后,是否会影响它的效率类型呢? 解: a.递推关系式见4.1节. b.最好情况(列表升序或降序)下: C best(n)=2C best(n/2)+n/2 for n>1 (n=2k) C best(1)=0 c.键值比较次数M(n) M(n)=2M(n)+2n for n>1 M(1)=0 习题4.2 1.应用快速排序对序列E,X,A,M,P,L,E按字母顺序排序 4.请举一个n个元素数组的例子,使得我们有必须对它使用本节提到的”限位器”.限位 器的值应是多少年来?为什么一个限位器就能满足所有的输入呢? Hints: With the pivot being the leftmost element, the left-to-right scan will get out of bounds if and only if the pivot is larger than the other elements. Appending a sentinel(限位器) of value equal A[0](or larger than A[0]) after the array’s last element , the quicksort algorithms will stop the index of the left-to-right scan of A[0..n-1] from going beyond position n. 8.设计一个算法对n个实数组成的数组进行重新排列,使得其中所有的负元素都位于正元素之前.这个算法需要兼顾空间和时间效率. Algorithms netbeforepos(A[0..n-1]) //使所有负元素位于正元素之前 //输入:实数组A[0..n-1] //输出:所有负元素位于于正元素之前的实数组A[0..n-1] A[-1]←-1; A[n]←1 //限位器 i←0; j←n-1 While i While A[i]≤0 do i←i+1 while A[j]≥0 do j←j-1 swap A[i]and A[j] swap A[i]and A[j] //undo the last swap 当全是非负数或全是非正数时需要限位器. 习题4.3 1.(题略) 解: a.由公式4.4得:4次 b.二分查找判定树: 所以,14,31,42,74,85,98需要比较4次 c. 2.313 4164131431312213111131≈=??+??+??+??=yes avg C d. 9.314 5412414123141≈=??+??=no avg C 2. 当n=2k 时,用反向替换法求下面的递推方程: 当n>1时, C w (n)=C w (n/2)+1, C w (1)=1 (略) 4.如果对于一个100000个元素的数组成功查找的话,使用折半查找比顺序查找要快多少倍? 6． 如何将折半查找应用于范围查找?范围查找就是对于一个有序数组,找出位于给定值L 、U 之间（包含L 、U ）的所有元素，L<=U 。该算法的最差效率是多少？ Hints: Step1: 检查A[0]≤L ，A[n-1]≥U 是否成立，若不成立，则无解。否则进入step 2 Step2:在数组A 中用二分查找法查找值L ，如果查找成功，则返回数组下标m ，否则l 二分查找结束时的值. Step3: 在数组A 中用二分查找法查找值U ，如果查找成功，则返回数组下标m ，否则r 为二分查找结束时的值. 最后，结果就是在数组序号范围在low 和high （包含low,high ）之间的范围。（low 和high 是step2和step3的值。） 7． 为折半查找写递归的伪代码。 Algorithms BSR(A[o..n-1],K) //折半查找递归算法 //有序子数组A[l..r]和查找键值K //查找成功则输出其下标，否则输出-1 if l>r return -1 else m← (l+r)/2 if K=A[m] return m else if K< A[m] return BSR(A[l..m-1],K) else if K> A[m] return BSR(A[m+1,r],K) 8.设计一个只使用两路比较的折半查找算法，即只用≤和=, 或者只用≥和=. Algorithms TwoWaysBinarySearch(A[o..n-1],K) //二路比较的折半查找 //有序子数组A[l..r]和查找键值K //查找成功则输出其下标，否则输出-1 l←0, r←n-1 while l m← (l+r)/2 if K≤A[m] r←m else l←m+1 if K=A[l] return l else return -1 习题4.4 1.设计一个分治算法来计算二叉树的层数.(空树返回0,单顶点树返回1),并分析效率类型. Algorithms Level(Tree T) //递归计算二叉树的层数 //输入:二叉树T //输出:二叉树T的层数 If T=NULL return 0 Else return max{Level(T L),Level(T R)}+1 算法效率类型是Θ(n)(同4.4节算法height(T)) 2.选择一个二叉树的经典遍历算法(前\中\后序),写出它的递归伪代码,并求它的递归调用次数. Algorithms preorder(T) //先序遍历二叉树T //输入: 二叉树T //输出:先序遍历的结点序列表 If T≠NULL Visit T’s root Preorder(T L) Preorder(T R) 递归调用次数C(n)=扩展树中内部结点+外部结点=n+(n+1) =2n+1 7.设计一个算法计算有根有序树的高度. Algorithms height(T) //递归计算有根有序树的高度 //输入:一棵有根有序树的高度T //输出:T的高度 i=NumChildren(T) //根的孩子个数 if i=0 return 0 else return max{height(T1),height(T2),…,height(T i)}+1 8.下面的算法试图计算一棵二叉树中叶子的数量 Algorithms LeafCount(T) //递归计算二叉树中叶子的数量 //输入:一棵二叉树 //输出:T中叶子的数量 if T=NULL return 0 else return LeafCount(T L)+LeafCount(T R) 应为: if T=NULL return 0 //empty tree else if T L =NULL AND T R=NULL return 1 //single-node tree else return LeafCount(T L)+LeafCount(T R) //general case 习题4.6 1.a.为最近对问题的一维版本设计一个直接基于分治技术的算法,并确定它的效率类型 b.对于这个问题,它是一个好算法吗? 解: a.Algorithms ClosestNumber(A[l..r]) //分治计算最近对问题的一维版本 //输入:升序排列的实数子数组A[l..r] //输出:最近数对的距离 If r=l return ∞ Else if r－l=1 return A[r]－A[l] 《计算机算法设计与分析》习题及答案 一．选择题 1、二分搜索算法是利用（ A ）实现的算法。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 2、下列不是动态规划算法基本步骤的是（ A ）。 A、找出最优解的性质 B、构造最优解 C、算出最优解 D、定义最优解 3、最大效益优先是（A ）的一搜索方式。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 4. 回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（ A ）。 A、子集树 B、排列树 C、深度优先生成树 D、广度优先生成树 5．下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（B ）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 6、衡量一个算法好坏的标准是（ C ）。 A 运行速度快 B 占用空间少 C 时间复杂度低 D 代码短 7、以下不可以使用分治法求解的是（ D ）。 A 棋盘覆盖问题 B 选择问题 C 归并排序 D 0/1背包问题 8. 实现循环赛日程表利用的算法是（A ）。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 9．下面不是分支界限法搜索方式的是（D ）。 A、广度优先 B、最小耗费优先 C、最大效益优先 D、深度优先 10．下列算法中通常以深度优先方式系统搜索问题解的是（D ）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 11.备忘录方法是那种算法的变形。（ B ） A、分治法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 12．哈夫曼编码的贪心算法所需的计算时间为（B ）。 A、O（n2n） B、O（nlogn） C、O（2n） D、O（n） 13．分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是（B ）。 A、最小堆 B、最大堆 C、栈 D、数组 14．最长公共子序列算法利用的算法是（B）。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 15．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（A ）。 A、分治法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 16.下面是贪心算法的基本要素的是（C ）。 A、重叠子问题 B、构造最优解 C、贪心选择性质 D、定义最优解 17.回溯法的效率不依赖于下列哪些因素（ D ） A.满足显约束的值的个数 B. 计算约束函数的时间 C.计算限界函数的时间 D. 确定解空间的时间 18.下面哪种函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略（B ） A．递归函数 B.剪枝函数 C。随机数函数 D.搜索函数 19. （D）是贪心算法与动态规划算法的共同点。 A、重叠子问题 B、构造最优解 C、贪心选择性质 D、最优子结构性质 20. 矩阵连乘问题的算法可由（ B ）设计实现。 A、分支界限算法 B、动态规划算法 C、贪心算法 D、回溯算法 21. 分支限界法解旅行售货员问题时，活结点表的组织形式是（ A ）。 1. 贪心算法和动态规划算法有什么共同点和区别？它们都有那些优势和劣势？ 共通点：动态规划和贪心算法都是一种递推算法，均有局部最优解来推导全局最优解 区别：贪心算法中，作出的每步贪心决策都无法改变，每一步的最优解一定包含上一步的 最优解，而上一部之前的最优解则不作保留。 动态优化算法，全局最优解中一定包含某个局部最优解，但不一定包含前一个局部最优解，因此需要记录之前的所有最优解 动态规划算法利用子问题重叠性质，对每一个子问题只计算一次，将其解保存在一个表格中。不同的子问题个数随着输入问题的规模呈多项式增长，因此，动态规划算法通常只需要多项式时间，从而获得较高的解题效率。但它需要计算之前所有情况花费，更加耗费空间。 贪心算法所作的选择依赖于以往所作过的选择,但决不依赖于将来的选择,这使得算法在编 码和执行过程中都有一定的速度优势。贪心算法是只是找局部最优解，不一定是全局最优解。 2. 试比较回溯法与分枝限界算法，分别谈谈这两个算法比较适合的问题？ 二者都是在解空间树里搜索问题的可靠解或最优解，但是搜索的方式不同，回溯法采用深 度优先的方式，直到达到问题的一个可行解，或经判断沿此路径不会达到问题的可行解或最优解时，停止向前搜索，并沿原路返回到该路径上最后一个还可扩展的节点，然后，从该节点出发朝新的方向纵深搜索。分枝限界法采用的是宽度优先的方式，它将活节点存放在一个特殊的表中，其策略是，在扩展节点处，首先生成其所有的儿子节点，将那些导致不可行解或导致非最优解的儿子节点舍弃，其余儿子节点加入活节点表中，然后，从活节点中取出一个节点作为当前扩展节点，重复上述节点中扩展过程。可以看出，回溯法一般用于求问题的一个可行解，而分枝限界可以用于求出问题的所有可行解。 3. 何谓最优化原理？采用动态规划算法必须满足的条件是什么？动态规划算法是通过什 么问题的什么特性提高效率的？ 一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。最优子结构性质，子问题重叠性质是计算模型采用动态规划算法求解的两个基本要素。 动态规划算法利用子问题重叠性质，对每一个子问题只计算一次，将其解保存在一个表格中。不同的子问题个数随着输入问题的规模呈多项式增长，因此，动态规划算法通常只需要多项式时间，从而获得较高的解题效率 4. 什么是多项式时间算法？ 若存在一个常数C，使得对于所有n>=0，都有|f(n)| <= C*|g(n)|，则称函数f(n)是O(g(n))。时间复杂度是O(p(n))的算法称为多项式时间算法，这里p(n)是关于n的多项式。 时间复杂度为O(nlog(n))、O(n^3)的算法都是多项式时间算法，时间复杂度为O(n^log(n))、O(n!)、O(2^n)的算法是指数时间算法。 一个优化问题如果已经找到了多项式时间算法，则称该问题为多项式时间可解问题，并 将这类问题的集合记为P，因此多项式时间可解问题就称为P类问题。。 算法实现题3-7 数字三角形问题 问题描述： 给定一个由n行数字组成的数字三角形，如图所示。试设计一个算法，计算出从三角形的顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大。编程任务： 对于给定的由n行数字组成的数字三角形，编程计算从三角形的顶至底的路径经过的数字和的最大值。数据输入： 有文件input.txt提供输入数据。文件的第1行是数字三角形的行数n，1<=n<=100。接下来的n行是数字三角形各行的数字。所有数字在0-99之间。结果输出： 程序运行结束时，将计算结果输出到文件output.txt中。文件第1行中的数是计算出的最大值。 输入文件示例输出文件示 例 input.txt output.txt 5 30 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 源程序： #include "stdio.h" voidmain() { intn,triangle[100][100],i,j;//triangle数组用来存储金字塔数值,n表示行数 FILE *in,*out;//定义in，out两个文件指针变量 in=fopen("input.txt","r"); fscanf(in,"%d",&n);//将行数n读入到变量n中 for(i=0;i 算法设计与分析试卷(A 卷) 一、 选择题 （ 选择1-4个正确的答案, 每题2分，共20分） （1）计算机算法的正确描述是： B 、D A ．一个算法是求特定问题的运算序列。 B ．算法是一个有穷规则的集合，其中之规则规定了一个解决某一特定类型的问题的运算序列。 C ．算法是一个对任一有效输入能够停机的图灵机。 D ．一个算法，它是满足5 个特性的程序，这5个特性是：有限性、确定性、能 行性、有0个或多个输入且有1个或多个输出。 （2）影响程序执行时间的因素有哪些？ C 、D A ．算法设计的策略 B ．问题的规模 C ．编译程序产生的机器代码质量 D ．计算机执行指令的速度 （3）用数量级形式表示的算法执行时间称为算法的 A A ．时间复杂度 B ．空间复杂度 C ．处理器复杂度 D ．通信复杂度 （4）时间复杂性为多项式界的算法有： A ．快速排序算法 B ．n-后问题 C ．计算π值 D ．prim 算法 （5）对于并行算法与串行算法的关系，正确的理解是： A ．高效的串行算法不一定是能导出高效的并行算法 B ．高效的串行算法不一定隐含并行性 C ．串行算法经适当的改造有些可以变化成并行算法 D. 用串行方法设计和实现的并行算法未必有效 （6）衡量近似算法性能的重要标准有： A A ．算法复杂度 B ．问题复杂度 C ．解的最优近似度 D ．算法的策略 （7）分治法的适用条件是，所解决的问题一般具有这些特征： ABCD A ．该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； B ．该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题； C ．利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解 D ．该问题所分解出的各个子问题是相互独立的。 （8）具有最优子结构的算法有： A ．概率算法 B ．回溯法 C ．分支限界法 D ．动态规划法 （9）下列哪些问题是典型的NP 完全问题： A ．排序问题 B ．n-后问题 C ．m-着色问题 D ．旅行商问题 （10）适于递归实现的算法有： C A ．并行算法 B ．近似算法 C ．分治法 D ．回溯法 二、算法分析题（每小题5分，共10分） （11）用展开法求解递推关系： （12）分析当输入数据已经有序时快速排序算法的不足，提出算法的改进方案。 ???>+-==1 1)1(211)(n n T n n T 《算法设计与分析》习题 第一章算法引论 1、算法的定义 答：算法是指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程。 通俗讲，算法：就是解决问题的方法或过程。 2、算法的特征 答：1)算法有零个或多个输入；２)算法有一个或多个输出； 3)确定性；４)有穷性 3、算法的描述方法有几种 答：自然语言、图形、伪代码、计算机程序设计语言 4、衡量算法的优劣从哪几个方面 答：(1) 算法实现所耗费的时间（时间复杂度）； (2) 算法实现所所耗费的存储空间（空间复杂度）； (3) 算法应易于理解，易于编码，易于调试等等。 5、时间复杂度、空间复杂度定义 答：指的是算法在运行过程中所需要的资源（时间、空间）多少。 6、时间复杂度计算： {i=1； while（i<=n） i=i*2； } 答：语句①执行次数1次， 语句②③执行次数f(n), 2^f(n)<=n,则f(n) <=log2n; 算法执行时间： T(n)= 2log2n +1 时间复杂度：记为O(log2n) ； 7.递归算法的特点 答：①每个递归函数都必须有非递归定义的初值；否则，递归函数无法计算；（递归终止条件） ②递归中用较小自变量函数值来表达较大自变量函数值；（递归方程式） 8、算法设计中常用的算法设计策略 答：①蛮力法；②倒推法；③循环与递归；④分治法； ⑤动态规划法；⑥贪心法；⑦回溯法；⑧分治限界法 9、设计算法： 递归法：汉诺塔问题兔子序列（上楼梯问题） 整数划分问题 蛮力法：百鸡百钱问题 倒推法：穿越沙漠问题 答：算法如下： （1） 递归法 汉诺塔问题 void hanoi(int n, int a, int b, int c) {if (n > 0) { hanoi(n-1, a, c, b); move(a,b); hanoi(n-1, c, b, a); } } 兔子序列（fibonaci 数列 ） 递归实现： Int F(int n) { if(n<=2) return 1; else return F(n-1)+ F(n-2); } 上楼梯问题 Int F(int n) { if(n=1) return 1 if(n=2) return 2; else return F(n-1)+ F(n-2); } 整数划分问题 问题描述：将正整数n 表示成一系列正整数之和，n=n1+n1+n3+… 将最大加数不大于m 的划分个数，记作q(n,m)。正整数n 的划分数 p(n)=q(n,n)。 可以建立q(n,m)的如下递归关系： 递归算法： Int q( int n, int m){ if(n<1||m<1) return 0; If((n=1)||(m=1)) return 1; If (n 1、二分搜索算法是利用（ A ）实现的算法。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 2、下列不是动态规划算法基本步骤的是（ A ）。 A、找出最优解的性质 B、构造最优解 C、算出最优解 D、定义最优解 3、最大效益优先是（ A ）的一搜索方式。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 4、最长公共子序列算法利用的算法是（ B ）。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 5. 回溯法解TSP问题时的解空间树是（ A ）。 A、子集树 B、排列树 C、深度优先生成树 D、广度优先生成树6．下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（ B ）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 7、衡量一个算法好坏的标准是（C ）。 A 运行速度快 B 占用空间少 C 时间复杂度低 D 代码短 8、以下不可以使用分治法求解的是（D ）。 A 棋盘覆盖问题 B 选择问题 C 归并排序 D 0/1背包问题 9. 实现循环赛日程表利用的算法是（ A ）。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 10、实现最长公共子序列利用的算法是（ B ）。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法11．下面不是分支界限法搜索方式的是（ D ）。 A、广度优先 B、最小耗费优先 C、最大效益优先 D、深度优先 12．下列算法中通常以深度优先方式系统搜索问题解的是（ D ）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 13. 一个问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征是问题的（ B ）。 A、重叠子问题 B、最优子结构性质 C、贪心选择性质 D、定义最优解14．广度优先是（ A ）的一搜索方式。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 15．背包问题的贪心算法所需的计算时间为（ B ）。 1、硬币面值组合 描述 使用1角、2角、5角硬币组成n 角钱。 设1角、2角、5角的硬币各用了a、b、c个，列出所有可能的a, b, c组合。 输出顺序为：先按c的值从小到大，若c相同则按b的值从小到大。 输入 一个整数n（1 <= n <= 100)，代表需要组成的钱的角数。 输出 输出有若干行，每行的形式为： i a b c 第1列i代表当前行数（行数从001开始，固定3个字符宽度，宽度不足3的用0填充），后面3列a, b, c分别代表1角、2角、5角硬币的个数（每个数字固定12个字符宽度，宽度不足的在左边填充空格）。 源代码： #include E说：D应该是第1名。 比赛结束后发现，只有获第1名和第2名的选手猜对了，E不是第2名和第3名，没有出现名次并列的情况。 请编程判断5位选手各是第几名。 输入 无 输出 输出要求：按ABCDE的顺序输出5行，其中第1行是A的名次，第2行是B的名次，第3行是C的名次，第4行是D的名次，第5行是E的名次。 样例输入 样例输出 源代码： #include 精品文档习题胡明-版)-王红梅-算法设计与分析(第2答案 1 习题）—1783Leonhard Euler，17071.图论诞生于七桥问题。出生于瑞士的伟大数学家欧拉（提 出并解决了该问题。七桥问题是这样描述的：北区一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡（现东区在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸）城中全部岛区的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，南区是这条河以及河上的两个岛和七座桥的图1.7 1.7 七桥问题图草图。请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。 七桥问题属于一笔画问题。 输入：一个起点 输出：相同的点一次步行1，经过七座桥，且每次只经历过一次2，回到起点3，该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。另一类是只有二个奇点的图形。）用的不是除法而是减最初的欧几里德算法2．在欧几里德提出的欧几里德算法中（即法。请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法 1.r=m-n r=0 循环直到2.m=n 2.1 n=r 2.2 r=m-n 2.3 m 输出3 ．设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。要求分别给出伪代3++描述。C码和 采用分治法// //对数组先进行快速排序在依次比较相邻的差//精品文档． 精品文档 #include 填空 1．直接或间接地调用自身的算法称为 递归 。 2．算法的复杂性是 算法效率 的度量，是评价算法优劣的重要依据。 3．以广度优先或以最小耗费方式搜索问题解的算法称为 分支限界法 。 4．回溯法解题的显著特点是在搜索过程中动态产生问题的解空间。在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径。如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为h(n)，则回溯法所需的计算空间通常为 o(h(n)) 。 5．人们通常将问题的解决方案分为两大类：一类是可以通过执行若干个步骤就能得出问题 6．算法就是一组有穷的 规则 ，它们规定了解决某一特定类型问题的 一系列运算 。 7．在进行问题的计算复杂性分析之前，首先必须建立求解问题所用的计算模型。3个基本计算模型是 随机存取机、 随机存取存储程序机 、 图灵机 。 8．快速排序算法的性能取决于 划分的对称性 。 9．计算机的资源最重要的是 内存 和 运算 资源。因而，算法的复杂性有时间 和 空间 之分。 10．贪心算法总是做出在当前看来 最优 的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所做出的选择只是在某种意义上的 局部最优解 。 11．许多可以用贪心算法求解的问题一般具有2个重要的性质： 最优子结构的 性质和 贪心选择的 性质。 12．常见的两种分支限界法为 队列式 和 优先队列式 。 13．解决0/1背包问题可以使用动态规划、回溯法和分支限界法，其中需要排序的是 回溯法 ，不需要排序的是 动态规划和分支限界法 。 14．f ( n ) = 6 × 2n + n 2，f(n)的渐进性态f ( n ) = O ( 2^n )。 15．对于含有n 个元素的排列树问题，最好情况下计算时间复杂性为 ，最坏情况下计算时间复杂性为 n! 。 16．在忽略常数因子的情况下，O 、Ω和Θ三个符号中， Θ 提供了算法运行时间的一个上界。 17．回溯法的求解过程，即在问题的解空间树中，按 深度优先 策略从根结点出发搜索解空间树。 18．分支限界法的求解过程，即在问题的解空间树中，按 广度优先 策略从根结点出发搜索解空间树。 19．多项式10()m m A n a n a n a =+ ++的上界为 2^n 。 20．用分支限界法解布线问题时，对空间树搜索结束的标志是 活结点表为空 。 21．使用回溯法进行状态空间树裁剪分支时一般有两个标准：约束条件和目标函数的界，N 皇后问题和0/1背包问题正好是两种不同的类型，其中同时使用约束条件和目标函数的界进 1.一个算法就是一个有穷规则的集合，其中之规则规定了解决某一特殊类型问题的一系列运算，此外，算法还应具有以下五个重要特性:_________,________,________,__________,__________。 2.算法的复杂性有_____________和___________之分，衡量一个算法 好坏的标准是______________________。 3.某一问题可用动态规划算法求解的显著特征是 ____________________________________。 4.若序列X={B,C,A,D,B,C,D}，Y={A,C,B,A,B,D,C,D}，请给出序列X 和Y的一个最长公共子序列_____________________________。 5.用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间，问题的解空间至少应包含___________。 6.动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干____________，先求解___________，然后从这些____________的解得到原问题的解。 7.以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为_____________。 8.0-1背包问题的回溯算法所需的计算时间为_____________,用动态规划算法所需的计算时间为____________。 9.动态规划算法的两个基本要素是___________和___________。 10.二分搜索算法是利用_______________实现的算法。 二、综合题（50分） 1.写出设计动态规划算法的主要步骤。 2.流水作业调度问题的johnson算法的思想。 计算机算法设计与分析习 题及答案 Prepared on 24 November 2020 《计算机算法设计与分析》习题及答案 一．选择题 1、二分搜索算法是利用（ A ）实现的算法。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 2、下列不是动态规划算法基本步骤的是（ A ）。 A、找出最优解的性质 B、构造最优解 C、算出最优解 D、定义最优解 3、最大效益优先是（A ）的一搜索方式。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 4. 回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（ A ）。 A、子集树 B、排列树 C、深度优先生成树 D、广度优先生成树 5．下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（B ）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 6、衡量一个算法好坏的标准是（ C ）。 A 运行速度快 B 占用空间少 C 时间复杂度低 D 代码短 7、以下不可以使用分治法求解的是（ D ）。 A 棋盘覆盖问题 B 选择问题 C 归并排序 D 0/1背包问题 8. 实现循环赛日程表利用的算法是（A ）。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 9．下面不是分支界限法搜索方式的是（D ）。 A、广度优先 B、最小耗费优先 C、最大效益优先 D、深度优先 10．下列算法中通常以深度优先方式系统搜索问题解的是（D ）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 11.备忘录方法是那种算法的变形。（ B ） A、分治法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 12．哈夫曼编码的贪心算法所需的计算时间为（B ）。 A、O（n2n） B、O（nlogn） C、O（2n） D、O（n） 13．分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是（B ）。 A、最小堆 B、最大堆 C、栈 D、数组 14．最长公共子序列算法利用的算法是（B）。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 15．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（A ）。 A、分治法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 16.下面是贪心算法的基本要素的是（C ）。 A、重叠子问题 B、构造最优解 C、贪心选择性质 D、定义最优解 17.回溯法的效率不依赖于下列哪些因素（ D ） A.满足显约束的值的个数 B. 计算约束函数的时间 C.计算限界函数的时间 D. 确定解空间的时间 18.下面哪种函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略（B ） A．递归函数 B.剪枝函数 C。随机数函数 D.搜索函数 19. （D）是贪心算法与动态规划算法的共同点。 1、用计算机求解问题的步骤： 1、问题分析 2、数学模型建立 3、算法设计与选择 4、算法指标 5、算法分析 6、算法实现 7、程序调试 8、结果整理文档编制 2、算法定义：算法是指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程 3、算法的三要素 1、操作 2、控制结构 3、数据结构 算法具有以下5个属性： 有穷性：一个算法必须总是在执行有穷步之后结束，且每一步都在有穷时间内完成。 确定性：算法中每一条指令必须有确切的含义。不存在二义性。只有一个入口和一个出口 可行性：一个算法是可行的就是算法描述的操作是可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现的。 输入：一个算法有零个或多个输入，这些输入取自于某个特定对象的集合。 输出：一个算法有一个或多个输出，这些输出同输入有着某些特定关系的量。 算法设计的质量指标： 正确性：算法应满足具体问题的需求； 可读性：算法应该好读，以有利于读者对程序的理解； 健壮性：算法应具有容错处理，当输入为非法数据时，算法应对其作出反应，而不是产生莫名其妙的输出结果。 效率与存储量需求：效率指的是算法执行的时间；存储量需求指算法执行过程中所需要的最大存储空间。一般这两者与问题的规模有关。 经常采用的算法主要有迭代法、分而治之法、贪婪法、动态规划法、回溯法、分支限界法 迭代法 基本思想：迭代法也称“辗转法”，是一种不断用变量的旧值递推出新值的解决问题的方法。 解题步骤：1、确定迭代模型。根据问题描述，分析得出前一个（或几个）值与其下一个值的迭代关系数学模型。 2、建立迭代关系式。迭代关系式就是一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的表达式，存储新值的变量称为迭代变量 3、对迭代过程进行控制。确定在什么时候结束迭代过程，这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一 《算法设计与分析实用教程》参考解答 1-1 加减得1的数学游戏 西西很喜欢数字游戏，今天他看到两个数，就想能否通过简单的加减，使最终答案等于1。而他又比较厌烦计算，所以他还想知道最少经过多少次才能得到1。 例如，给出16,9：16-9+16-9+16-9-9-9+16-9-9=1，需要做10次加减法计算。 设计算法，输入两个不同的正整数，输出得到1的最少计算次数。（如果无法得到1，则输出-1）。 （1）若输入两个不同的正整数a,b均为偶数，显然不可能得到1。 设x*a与y*b之差为“1”或“-1”,则对于正整数a,b经n=x+y-1次加减可得到1。 为了求n的最小值，令n从1开始递增，x在1——n中取值，y=n+1-x： 检测d=x*a+y*b，若d=1或-1，则n=x+y-1为所求的最少次数。 （2）算法描述 // 两数若干次加减结果为1的数学游戏 #include 湖南科技学院二○ 年 学期期末考试 信息与计算科学专业 年级《算法设计与分析》 试题 考试类型：开卷 试卷类型：C 卷 考试时量：120 分钟 1. 用O 、Ω和θ表示函数f 与g 之间的关系______________________________。 ()()log log f n n n g n n == 2. 算法的时间复杂性为1, 1()8(3/7), 2 n f n f n n n =?=? +≥?，则算法的时间复杂性的阶 为__________________________。 3. 快速排序算法的性能取决于______________________________。 4. 算法是_______________________________________________________。 5. 在对问题的解空间树进行搜索的方法中，一个活结点最多有一次机会成为活结点的是_________________________。 6. 在算法的三种情况下的复杂性中，可操作性最好且最有实际价值的是_____情况下的时间复杂性。 7. 大Ω符号用来描述增长率的下限，这个下限的阶越___________，结果就越有价值。。 8. ____________________________是问题能用动态规划算法求解的前提。 9. 贪心选择性质是指________________________________________________________ ____________________________________________________________。 题 号 一 二 三 四 五 总分 统分人 得 分 阅卷人 第一章 1. 算法分析题 算法分析题1－1 求下列函数的渐进表达式 (1). 3n^2 + 10n < 3n^2 + 10n^2 = 13n^2 = O(n^2) (2). n^2 / 10 + 2^n 当n>5是，n^2 < 2 ^n 所以，当n >= 1时，n^2/10 < 2 ^n 故: n^2/10 + 2^n < 2 ^n + 2^n = 2*2^n = O(2^n) (3). 21 + 1/n < 21 + 1 = 22 = O(1) (4). log(n^3)=3log(n)=O(log(n)) (5). 10log(3^n) = (10log3)n = O(n) 算法分析题1-6 (1)因为：f(n)=log(n^2) = 2log(n); g(n) = log(n) + 5 所以：f(n)=Θ(log(n)+5) =Θ(g(n)) (2)因为：log(n) < √n; f(n) = 2log(n); g(n)= √n 所以：f(n) = O(g(n)) (3)因为：log(n) < n; f(n) = n; g(n) = log(n^2) = 2log(n) 所以；f(n) = Ω(g(n)) (4)因为：f(n) = nlogn +n; g(n) = logn 所以：f(n) =Ω(g(n)) (5)因为: f(n) = 10; g(n) = log(10) 所以:f(n) =Θ(g(n)) (6)因为: f(n)=log^2(n); g(n) = log(n) 所以: f(n) ==Ω(g(n)) (7)因为: f(n) = 2^n < 100*2^n; g(n)=100n^2; 2^n > n ^2 所以: f(n) = Ω(g(n)) (8)因为：f(n) = 2^n; g(n) = 3 ^n; 2 ^n < 3 ^n 所以: f(n) = O(g(n)) 习题1－9 证明：如果一个算法在平均情况下的计算时间复杂性为Θ(f(n)),该算法在最坏情况下所需的计算时间为Ω(f(n)). 分析与解答： 因此，Tmax(N) = Ω(Tavg(N)) = Ω(Θ(f(n)))=Ω(f(n)). 第二章 算法分析题 湖南科技学院二○ 年 学期期末考试 信息与计算科学专业 年级《算法设计与分析》 试题 考试类型：开卷 试卷类型： C 卷 考试时量： 120 分钟 题号 一 二 三 四 五 总分 统分人 得 分 阅卷人 一、填空题（每小题 3 分，共计 30 分） 1. 用 O 、Ω和θ表示函数 f 与 g 之间的关系 ______________________________ 。 f n n lo g n g n log n 1, n 1 2. 算法的时间复杂性为 f (n) n ，则算法的时间复杂性的阶 8 f (3n / 7) n, 2 为__________________________ 。 3. 快速排序算法的性能取决于 ______________________________ 。 4. 算法是 _______________________________________________________ 。 5. 在对问题的解空间树进行搜索的方法中，一个活结点最多有一次机会成为活结点的 是_________________________ 。 6. 在算法的三种情况下的复杂性中， 可操作性最好且最有实际价值的是 _____情况下的时间复杂性。 7. 大Ω符号用来描述增长率的下限，这个下限的阶越 ___________，结果就越有价值。 。 8. ____________________________ 是问题能用动态规划算法求解的前提。 9. 贪心选择性质是指 ________________________________________________________ ____________________________________________________________ 。 第一章作业 1.证明下列Ο、Ω和Θ的性质 1）f=Ο(g)当且仅当g=Ω(f) 证明：充分性。若f=Ο(g)，则必然存在常数c1>0和n0，使得?n≥n0，有f≤c1*g(n)。由于c1≠0，故g(n) ≥ 1/ c1 *f(n)，故g=Ω(f)。 必要性。同理，若g=Ω(f)，则必然存在c2>0和n0，使得?n≥n0，有g(n) ≥ c2 *f(n).由于c2≠0，故f(n) ≤ 1/ c2*f(n)，故f=Ο(g)。 2）若f=Θ(g)则g=Θ(f) 证明：若f=Θ(g)，则必然存在常数c1>0，c2>0和n0，使得?n≥n0，有c1*g(n) ≤f(n) ≤ c2*g(n)。由于c1≠0，c2≠0，f(n) ≥c1*g(n)可得g(n) ≤ 1/c1*f(n)，同时，f(n) ≤c2*g(n)，有g(n) ≥ 1/c2*f(n)，即1/c2*f(n) ≤g(n) ≤ 1/c1*f(n)，故g=Θ(f)。 3）Ο(f+g)= Ο(max(f,g))，对于Ω和Θ同样成立。 证明：设F(n)= Ο(f+g)，则存在c1>0，和n1，使得?n≥n1，有 F(n) ≤ c1 (f(n)+g(n)) = c1 f(n) + c1g(n) ≤ c1*max{f,g}+ c1*max{f,g} =2 c1*max{f,g} 所以，F(n)=Ο(max(f,g))，即Ο(f+g)= Ο(max(f,g)) 对于Ω和Θ同理证明可以成立。 4）log(n!)= Θ(nlogn) 证明： ?由于log(n!)=∑=n i i 1 log ≤∑=n i n 1 log =nlogn ，所以可得log(n!)= Ο(nlogn)。 ?由于对所有的偶数n 有， log(n!)= ∑=n i i 1 log ≥∑=n n i i 2 /log ≥∑=n n i n 2 /2/log ≥(n/2)log(n/2)=(nlogn)/2-n/2。 当n ≥4，(nlogn)/2-n/2≥(nlogn)/4，故可得?n ≥4，log(n!) ≥(nlogn)/4，即log(n!)= Ω(nlogn)。 综合以上两点可得log(n!)= Θ(nlogn) 2. 设计一个算法，求给定n 个元素的第二大元素，并给出算法在最坏情况下使用的比较次数。（复杂度至多为2n-3） 算法： V oid findsecond(ElemType A[]) { for (i=2; i<=n;i++) if (A[1] 算法设计与分析习题答案（第二版） 主编：吕国英 习题答案 习题答案 第三章： 1. #include for(j=i;j>=0;j--) { buf[j]+=2; } } for(k=0;k<=n-2;k++) { if(buf[k]>=10) { buf[k+1]+=buf[k]/10; buf[k]%=10; } } for(i=n-1;i>=0;i--) printf("%d",buf[i]); printf("\n"); return 0; } 2. #include int buf[6][6]; int i,j; printf("任意输入6个数字:"); for(i=0;i<6;i++) scanf("%d",&buf[0][i]); for(i=0;i<5;i++) { for(j=0;j<5;j++) { buf[i+1][j+1]=buf[i][j]; } buf[i+1][0]=buf[i][j]; } for(i=0;i<6;i++) { for(j=0;j<6;j++) printf("%d ",buf[i][j]); printf("\n"); } return 0; } （1）用计算机求解问题的步骤： 1、问题分析 2、数学模型建立 3、算法设计与选择 4、算法指标 5、算法分析 6、算法实现 7、程序调试 8、结果整理文档编制 （2）算法定义：算法是指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程 （3）算法的三要素 1、操作 2、控制结构 3、数据结构 算法具有以下5个属性： 有穷性：一个算法必须总是在执行有穷步之后结束，且每一步都在有穷时间内完成。 确定性：算法中每一条指令必须有确切的含义。不存在二义性。只有一个入口和一个出口 可行性：一个算法是可行的就是算法描述的操作是可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现的。 输入：一个算法有零个或多个输入，这些输入取自于某个特定对象的集合。 输出：一个算法有一个或多个输出，这些输出同输入有着某些特定关系的量。 算法设计的质量指标： 正确性：算法应满足具体问题的需求； 可读性：算法应该好读，以有利于读者对程序的理解； 健壮性：算法应具有容错处理，当输入为非法数据时，算法应对其作出反应，而不是产生莫名其妙的输出结果。 效率与存储量需求：效率指的是算法执行的时间；存储量需求指算法执行过程中所需要的最大存储空间。一般这两者与问题的规模有关。 经常采用的算法主要有迭代法、分而治之法、贪婪法、动态规划法、回溯法、分支限界法 迭代法也称“辗转法”，是一种不断用变量的旧值递推出新值的解决问题的方法。 利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 一、确定迭代模型。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。 二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。 三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一《计算机算法设计与分析》习题及答案
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