指数与指数幂的运算导学案
§2.1.1 指数与指数幂的运算（1）
1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性；
2. 了解根式的概念及表示方法；
3. 理解根式的运算性质.
4850
复习1：正方形面积公式为；正方体的体积公式为.
复习2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的，记作；
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的，记作.
二、新课导学
※学习探究
探究任务一：指数函数模型应用背景
探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.
实例1. 某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a万，则x年后人口数为多少万？
实例 2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次？你能超过8次吗？
计算：若报纸长50cm，宽34cm，厚0.01mm，进行对折x次后，求对折后的面积与厚度？
问题1：国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP（国内生产总值）年平均增长率达7.3℅，则x年后GDP为2000年的多少倍？
问题2：生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t年后体内碳14的含量P 与死亡时碳14关系为5730
1
()
2
t
P=. 探究该式意义？
小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.
探究任务二：根式的概念及运算
考察：2
(2)4
±=，那么2±就叫4的；
3
327
=，那么3就叫27的；
4
(3)81
±=，那么3±就叫做81的.
依此类推，若n x a
=,，那么x叫做a的.
新知：一般地，若n x a
=,那么x叫做a的n次方根(n th root )，其中1
n>,n*
∈
N.
例如：32
8
=2
=.
反思：
当n为奇数时,
n次方根情况如何？
33
-, 记：x=当n为偶数时，正数的n次方根情况？
例如：
81的4次方根就是，记：.
强调：负数没有偶次方根；
0的任何次方根都是00
=.
试试：4b a
=，则a的4次方根为；
3
b a
=，则a的3次方根为
.
新知根式（radical），这里n 叫做根指数（radical exponent），a叫做被开方数（radicand）
.
试试：计算2
.
反思：
从特殊到一般，
n
结论：n a
=.
当n a；当n是
(0)
||
(0)
a a
a
a a
≥
?
=?
-<
?
.
※典型例题
例1求下类各式的值：
（1）
；（2）
；
（3
；（4）
a b
<）.
变式：计算或化简下列各式.
（1
（2
.
推广
：a≥0）.
※动手试试
练1.
-
练2.
化简
三、总结提升
※学习小结
1. n次方根，根式的概念；
2. 根式运算性质.
※知识拓展
1. 整数指数幂满足不等性质：若0
a>，则0
n
a>.
2. 正整数指数幂满足不等性质：
①若1
a>，则1
n
a>；
01
n
a
<<. 其中n∈N*.
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. ）.
A. 3
B. －3
C. ±3
D. 81
2. 625的4次方根是（）.
A. 5
B. －5
C. ±5
D. 25
3.
化简2是（
）.
A. b-
B. b
C. b±
D.
1
b
4.
5.
计算：3
=
1. 计算：（1（2）
2. 计算34
a a-
?和3(8)
a+-，它们之间有什么关系？
你能得到什么结论？
3. 对比()n n n
ab a b
=与()
n
n
n
a a
b b
=，你能把后者归入
前者吗？
§2.1.1 指数与指数幂的运算（2）
1. 理解分数指数幂的概念；
2. 掌握根式与分数指数幂的互化；
3. 掌握有理数指数幂的运算.
5053
复习1：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的，其中1n >,n *∈N .
简记为：.
像
n
=
；
复习2：整数指数幂的运算性质. （1）m n a a =；（2）()m n a =；
（3）()n ab =.
二、新课导学 ※学习探究
探究任务：分数指数幂
引例
：a >0
102
5
a a ==
，
则类似可得
=；
23
a
= .
新知：规定分数指数幂如下 *(0,,,1)m n
a a m n N n =>∈>；
*1(0,,,1)m n
m n
a
a m n N n a
-
=
=
>∈>.
试试：
（1）将下列根式写成分数指数幂形式：
；
；
(0,)a m N *
>∈.
（2）求值：23
8； 25
5； 43
6-； 52
a -.
反思：
①0的正分数指数幂为；0的负分数指数幂为. ② 分数指数幂有什么运算性质？
小结：
规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
指数幂的运算性质： （0,0,,a b r s Q >>∈） r a ·r r s a a +=； ()r s rs a a =； ()r r s ab a a =．
※典型例题
例1 求值：23
27；43
16-； 3
3()5
-；2325()49-.
变式：化为根式.
例2 用分数指数幂的形式表示下列各式(0)b >：
（1）2b b ； （2）533b b ； （3
例3 计算（式中字母均正）： （1）2115113
3
6
6
2
2
(3)(8)(6)a b a b a b -÷-； （2）3116
84
()m n .
小结：例2，运算性质的运用；例3，单项式运算. 例4 计算：
（13
34a a (0)a >；
（2）312
10
3652
(2)()m n m n --÷-(,)m n N *∈；
（3
）÷
小结：在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.
反思：
①
结论：无理指数幂.（结合教材P 53利用逼近的思想理解无理指数幂意义）
②无理数指数幂(0,)a a αα>是无理数是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质如何？
※动手试试 练1. 把85
1
3
2
3
x -
-?
??化成分数指数幂.
练2. 计算：（144
33
27； （2
三、总结提升 ※学习小结
①分数指数幂的意义；②分数指数幂与根式的互化；③有理指数幂的运算性质.
※知识拓展
放射性元素衰变的数学模型为：0t m m e λ-=，其中t 表示经过的时间，0m 表示初始质量，衰减后的
.
※自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 若0a >，且,m n 为整数，则下列各式中正确的
是（ ）.
A. m m
n
n
a a a ÷= B. m n mn a a a ?=
C. ()n
m m n a a += D. 01n n a a -÷
=
2. 化简32
25的结果是（ ）.
A. 5
B. 15
C. 25
D. 125
3. 计算(12
2
-
-?????
?
的结果是（
）.
A
B ． D ．
4.化简2
3
27
-=.
5. 若102,104m
n
==，则32
10m n -= .
1. 化简下列各式：
（1）3
2
36()49； （2.
2. 1?- ?
.
§2.1.1 指数与指数幂的运算（练习）
1. 掌握n 次方根的求解；
2. 会用分数指数幂表示根式；
3. 掌握根式与分数指数幂的运算.
4853 复习1：什么叫做根式
? 运算性质？ 像
n
=
；
复习2：分数指数幂如何定义？运算性质？
①m n
a =；m n
a -
=.
其中*0,,,1a m n N n >∈> ②r s a a =；()r s a =； ()s ab =.
复习3：填空
.
①n (0)||...........(0)x x x ≥?
==?
.
② 求下列各式的值：
；
；
；
二、新课导学
※典型例题
例1已知11
22a a -
+=3，求下列各式的值：
（1）1a a -+； （2）22a a -+； （3）33
22
1122a a a a -
-
--． 补充：立方和差公式3322
()()a b a b a ab b ±=±+.
小结：① 平方法；② 乘法公式；
③
根式的基本性质=（a ≥0）等. 注意，a ≥0十分重要，
无此条件则公式不成立. 例
变式：已知1122
3a a --=，求： （1）112
2
a a -
+； （2）332
2
a a -
-.
例2从盛满1升纯酒精的容器中倒出1
3
升，然后用
水填满，再倒出13升，又用水填满，这样进行5次，
则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？
变式：n 次后？
小结：① 方法：摘要→审题；探究 → 结论； ② 解应用问题四步曲：审题→建模→解答→作答. ※动手试试
练1. 化简：1111
224
4()()x y x y -÷-.
练2. 已知x +x -1=3，求下列各式的值. （1）112
2
x x -+； （2）332
2
x x -+.
练3. 已知12(),0x f x x x π=?>，
的值.
三、总结提升 ※学习小结
1. 根式与分数指数幂的运算；
2. 乘法公式的运用.
※知识拓展
1. 立方和差公式：
3322()()a b a b a ab b +=+-+； 3322()()a b a b a ab b -=-++.
2. 完全立方公式：
33223()33a b a a b ab b +=+++； 33223()33a b a a b ab b -=-+-.
※自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1.
）.
A.
B. C. 3 D. 729
2.
35
4
a
a (a >0)的值是（ ）.
A. 1
B. a
C. 15
a D. 1710
a 3. 下列各式中成立的是（ ）.
A ．1
777
()n n m m =
B
．
C
34
()x y =+D ．
=4. 化简3
225()4
-=.
5. 化简211
5
113
3
66
2
2
1()(3)()3
a b a b a b -÷=.
1. 已知32x a b --=
+, .
2.
2n a =时, 实数a 和整数n 所应满足的条件.
§2.1.2 指数函数及其性质（1）
1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；
2. 理解指数函数的概念和意义；
3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性
质（单调性、特殊点）.
学习过程
一、课前准备
5457 复习1：零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的？ （1）0a =； （2）n a -=；
（3）m n
a =；m n
a -=.
其中*0,,,1a m n N n >∈>
复习2：有理指数幂的运算性质. （1）m n a a =；（2）()m n a =；
（3）()n ab =.
二、新课导学 ※学习探究
探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念 实例：
A ．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？
B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？
讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？
新知：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R .
反思：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？
试试：举出几个生活中有关指数模型的例子？
探究任务二：指数函数的图象和性质
引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？
回顾： 研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：
1
()2
x y =，2x y =
讨论：
（1）函数2x y =与1
()2x y =的图象有什么关系？如
何由2x y =的图象画出1
()2
x y =的图象？
（2）根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个
指数函数的性质. 变底数为3或1
3
后呢？
a >1 0 性 质 (1)定义域：R (2)值域：（0，+∞） (3)过点（0，1），即x =0时，y =1 (4)在 R 上是增函数 (4)在R 上是减函数 ※典型例题 例1函数()x f x a =（0,1a a >≠且）的图象过点(2,)π，求(0)f ,(1)f -,(1)f 的值. 小结：①确定指数函数重要要素是； ② 待定系数法. 例2比较下列各组中两个值的大小： （1）0.60.52,2； （2）2 1.50.9,0.9-- ； （3）0.5 2.12.1,0.5 ； （4）23 1-与. 小结：利用单调性比大小；或间接利用中间数. ※动手试试 练1. 已知下列不等式，试比较m 、n 的大小： （1）22 ()()33 m n >； （2） 1.1 1.1m n <. 练2. 比较大小： （1）0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===； （2）01, 2.50.4,-0.22-, 1.62.5. 三、总结提升 ※学习小结 ①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指数函数的图象与性质；③单调法. ※知识拓展 因为(01)x y a a a =>≠，且的定义域是R ， 所以()(01)f x y a a a =>≠，且的定义域与()f x 的定义域 相同. 而()(01)x y a a a ?=>≠，且的定义域，由()y t ?=的定义域确定. 学习评价 ※自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为（ ）. A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 任意值 2. 函数f (x )=21x a -+ (a >0,a ≠1)的图象恒过定点 （ ）. A. (0,1) B. (0,2) C. (2,1) D. (2,2) 3. 指数函数①()x f x m =，②()x g x n =满足不等式 01m n <<<，则它们的图象是（ ）. 4. 比较大小：23( 2.5)-45 ( 2.5)-. 5. 函数1 ()19 x y =-. 课后作业 1. 求函数y = 115 1 x x --的定义域. 2. 探究：在[m ，n ]上，()(01)x f x a a a =>≠且值域？ §2.1.2 指数函数及其性质（2） 学习目标 1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质； 2. 掌握指数型函数的定义域、值域，会判断其单调性； 3. 培养数学应用意识. 5760 复习1：指数函数的形式是， 复习2：在同一坐标系中，作出函数图象的草图： 2x y=, 1 () 2 x y=,5x y=, 1 () 5 x y=, 10x y=, 1 () 10 x y=. 思考：指数函数的图象具有怎样的分布规律？ 二、新课导学 ※典型例题 例1我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策． （1）按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？（2 ）从2000年起到2020年我国人口将达到多少？ 小结：学会读题摘要；掌握从特殊到一般的归纳法. 试试：20XX年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x年后的总产值为原来的多少倍？多少年后产值能达到120亿？小结：指数函数增长模型. 设原有量N，每次的增长率为p，则经过x次增长后的总量 y=. 我们把形如x y ka =(,0,1) k R a a ∈>≠ 且的函数称为指数型函数. 例2 求下列函数的定义域、值域： （1）21 x y=+; （2）y=; （3） 1 1 0.4x y- =. 变式：单调性如何？ 小结：单调法、基本函数法、图象法、观察法. 试试：求函数y= 论其单调性. ※动手试试 练1. 求指数函数21 2x y+ =的定义域和值域，并讨论其单调性. 练2. 已知下列不等式，比较,m n 的大小. （1）33m n <； （2）0.60.6m n >； （3）(1)m n a a a >> ；（4） (01)m n a a a <<<. 练3. 一片树林中现有木材30000m 3，如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材ym 3，写出x ，y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m 3. 三、总结提升 ※学习小结 1. 指数函数应用模型(,01)x y ka k R a a =∈>≠且； 2. 定义域与值域； 2. 单调性应用（比大小）. ※知识拓展 形如()(01)f x y a a a =>≠，且的函数值域的研究，先求得()f x 的值域，再根据t a 的单调性，列出简单的指数不等式，得出所求值域，注意不能忽视()0f x y a =>. 而形如()(01)x y a a a ?=>≠，且的函数值域的研究，易知0x a >，再结合函数()t ?进行研究. 在求值域的过程中，配合一些常用求值域的方法，例如观察法、单调性法、图象法等. 学习评价 ※自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 如果函数y =a x (a >0,a ≠1)的图象与函数y =b x (b >0,b ≠1)的图象关于y 轴对称，则有（ ）. A. a >b B. a C. ab =1 D. a 与b 无确定关系 2. 函数f (x )=3－ x －1的定义域、值域分别是（ ）. A. R ， R B. R ， (0,)+∞ C. R ，(1,)-+∞ D.以上都不对 3. 设a 、b 均为大于零且不等于1的常数，则下列说法错误的是（ ）. A. y =a x 的图象与y =a － x 的图象关于y 轴对称 B. 函数f (x )=a 1－ x (a >1)在R 上递减 C. 若a 2>a 21-，则a >1 D. 若2x >1，则1x > 4. 比较下列各组数的大小： 12 2()5-320.4-（）； 0.763（） 0.753-（）. 5. 在同一坐标系下，函数y =a x , y =b x , y =c x , y =d x 的图象如右图，则a 、b 、c 、d 、1之间从小到大的顺序是. 课后作业 1. 已知函数f (x )=a － 2 21 x +(a ∈R )，求证：对任何a R ∈， f (x )为增函数. 2. 求函数21 21 x x y -=+的定义域和值域，并讨论函数 的单调性、奇偶性. §2.2.1 对数与对数运算（1） 学习目标 1. 理解对数的概念； 2. 能够说明对数与指数的关系； 3. 掌握对数式与指数式的相互转化. 学习过程 一、课前准备 6264 复习1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭. （1）取4次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺？ 复习2：假设20XX 年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产 是20XX 年的2倍？ （只列式） 二、新课导学 ※学习探究 探究任务：对数的概念 问题：截止到1999年底，我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么多少年后人口数可达到18亿，20亿，30亿？ 讨论：（1）问题具有怎样的共性？ （2）已知底数和幂的值，求指数 怎样求呢？例如：由1.01x m =，求x . 新知：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）. 记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数 试试：将复习2及问题中的指数式化为对数式. 新知：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N e=2.71828…… 为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N 试试：分别说说lg5 、lg3.5、ln10、ln3的意义. 反思： （1）指数与对数间的关系？ 0,1a a >≠时，x a N =?. （2）负数与零是否有对数？为什么？ （3）log 1a =， log a a =. ※典型例题 例1下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. （1）35125= ；（2）71 2128 -=；（3）327a =； （4） 2 100.01-=； （5）12 log 325=-； （6）lg0.001=3-； （7）ln100=4.606. 变式：12 log 32?= lg0.001=？ 小结：注意对数符号的书写，与真数才能构成整体. 例2求下列各式中x 的值： （1）642 log 3 x =； （2）log 86x =-； （3）lg 4x =； （4）3ln e x =. 小结：应用指对互化求x . ※动手试试 练1. 求下列各式的值. （1）5log 25 ； （2）2 1 log 16 ； （3）lg 10000. 练2. 探究log ?n a a =log ?a N a = 三、总结提升 ※学习小结 ①对数概念；②lg N 与ln N ；③指对互化；④如何求对数值 ※知识拓展 对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier ，1550-1617年）男爵. 在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科. 可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间. 纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于 ※自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 若2log 3 x =，则x =（ ）. A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 2. log = （ ）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 3. 对数式2log (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是 （ ）. A ．(,5)-∞ B ．(2,5) C ．(2,)+∞ D ． (2,3)(3,5) 4. 计算：1 (3 +=. 5. 若log 1)1x =-，则x =________，若y =，则 y =___________. 1. 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式. （1）53243=； （2）51 232 -=； （3）430a = （4）1 () 1.032m =； （5）12log 164=-； （6）2log 1287=； （7）3log 27a =. 2. 计算： （1）9log 27； （2 ）3log 243； （3）； （3）(2log (2； （4）625. §§2.2.1 对数与对数运算（2 ） 1. 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程； 2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题 .. 6466 复习1： （1）对数定义：如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做，记作. （2）指数式与对数式的互化： x a N =?. 复习2：幂的运算性质. （1）m n a a =；（2）()m n a =； （3）()n ab =. 复习3：根据对数的定义及对数与指数的关系解答： （1）设log 2a m =，log 3a n =，求m n a +； （2）设log a M m =，log a N n =，试利用m 、n 表示log (a M ·)N ． 二、新课导学 ※学习探究 探究任务：对数运算性质及推导 问题：由p q p q a a a +=，如何探讨log a MN 和log a M 、log a N 之间的关系？ 问题：设log a M p =, log a N q =， 由对数的定义可得：M =p a ，N =a ∴MN =p a q a =p q a +， ∴log a MN =p +q ，即得log a MN =log a M +log a N 根据上面的证明，能否得出以下式子？ 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0，N > 0 ，则 （1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log log a a a M M N N =-； （3）log log ()n a a M n M n R =∈. 反思： 自然语言如何叙述三条性质？ 性质的证明思路？（运用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式） ※典型例题 例1用log a x , log a y , log a z 表示下列各式： （1）2log a xy z ； （2） log a . 例2计算： （1）5log 25； （2）0.4log 1； （3）852log (42)?； （4） 探究：根据对数的定义推导换底公式log log log c a c b b a =（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）． 试试：2000年人口数13亿，年平均增长率1℅， 多少年后可以达到18亿？ ※动手试试 练1. 设lg2a =,lg3b =，试用a 、b 表示5log 12. 变式：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg6、lg12. . 练2. 运用换底公式推导下列结论. （1）log log m n a a n b b m =；（2）1log log a b b a =. 练3. 计算：（1）7 lg142lg lg7lg183 -+-； （2）lg 243lg9. 三、总结提升 ※学习小结 ①对数运算性质及推导；②运用对数运算性质；③换底公式. ※知识拓展 ① 对数的换底公式log log log b a b N N a =； ② 对数的倒数公式1 log log a b b a = . ③ 对数恒等式：log log n n a a N N =， log log m n a a n N N = ，log log log 1a b c b c a =. ※自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列等式成立的是（ ） A ．222log (35)log 3log 5÷=- B ．222log (10)2log (10)-=- C ．222log (35)log 3log 5+= D ．3322log (5)log 5-=- 2. 如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么（ ）. A ．x =a +3b －c B ．35ab x c = C ．3 5ab x c = D ．x =a +b 3－c 3 3. 若()2lg 2lg lg y x x y -=+，那么（ ）. A ．y x = B ．2y x = C ．3y x = D ．4y x = 4. 计算：（1）99log 3log 27+=； （2）2121 log log 22+=. 5. 计算：15lg 23 =. 1. 计算： （1； （2）2lg 2lg 2lg5lg5+?+. 2. 设a 、b 、c 为正数，且346a b c ==，求证： 111 2c a b -= . §2.2.1 对数与对数运算（3） 1. 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题； 2. 加强数学应用意识的训练，提高解决应用问题的能力. 6669 复习1：对数的运算性质及换底公式. 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0，N > 0 ，则 （1）log ()a MN =； （2）log a M N =； （3）log n a M =. 换底公式log a b =. 复习2：已知 2log 3 = a ，3log 7 = b ，用 a ，b 表示42log 56. 复习3：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我国人口总数将超过14亿？ （用式子表示） 二、新课导学 ※典型例题 例1 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为：0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）. （1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（精确到0.1）； （2）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1） 小结：读题摘要→寻找数量关系→利用对数计算. 例2当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P 与生物死亡年数t 之间的关系．回答下列问题： （1）求生物死亡t 年后它机体内的碳14的含量P ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？ （2）已知一生物体内碳14的残留量为P ，试求该生物死亡的年数t ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？ （3）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？ 反思： ①P 和t 之间的对应关系是一一对应； ②P 关于t 的指数函数(x P =，则t 关于P 的 函数为. ※动手试试 练1. 计算： （1）0.21log 35-；（2 ）4912 log 3log 2log ?- 练2. 我国的GDP 年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP 在20XX 年的基础上翻两番？ 三、总结提升 ※学习小结 1. 应用建模思想（审题→设未知数→建立x 与y 之间的关系→求解→验证）； 2. 用数学结果解释现象. ※知识拓展 在给定区间内，若函数()f x 的图象向上凸出，则函数()f x 在该区间上为凸函数，结合图象易得到1212()() ()22 x x f x f x f ++≥ ； 在给定区间内，若函数()f x 的图象向下凹进，则函数()f x 在该区间上为凹函数，结合图象易得到1212()() () x x f x f x f ++≤ . ※自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 2 5()a -（a ≠0）化简得结果是（ ）. A ．－a B ．a 2 C ．｜a ｜D ．a 2. 若 log 7［log 3 （log 2x ）］＝0，则1 2 x =（ ）. A. 3 B. C. D. 3. 已知35a b m ==，且 11 2a b +=，则m 之值为 （ ）. A ．15 B C ． D ．225 4. 若3a ＝2，则log 38－2log 36用a 表示为. 5. 已知lg20.3010=，lg1.07180.0301 =，则 lg2.5=；110 2=． 1. 化简： （1）222 lg5lg8lg5lg20(lg2)3 +++； （2）()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5. 2. 若()()lg lg 2lg 2lg lg x y x y x y -++=++，求x y 的值． §2.2.2 对数函数及其性质（1） 1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3. 通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法. 7072 复习1：画出2x y =、1 ()2 x y =的图象，并以这两 个函数为例，说说指数函数的性质. 复习2：生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.（列式） 二、新课导学 ※学习探究 探究任务一：对数函数的概念 讨论：t 与P 的关系？ （对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系log t P =，生物死亡年数t 都有唯一的值与之对 应，从而t 是P 的函数） 新知：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数log a y x =叫做对数函数(logarithmic function)，自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）. 反思： 对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：22log y x =，5log (5)y x = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 (0a >，且1)a ≠． 探究任务二：对数函数的图象和性质 问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 试试：同一坐标系中画出下列对数函数的图象. 2log y x =；0.5log y x =. 反思： （ （2）图象具有怎样的分布规律？ ※典型例题 例1求下列函数的定义域： （1）2log a y x =；（2）log (3) a y x =-； 变式：求函数y =. 例2比较大小： （1）ln3.4,ln8.5； （2）0.30.3log 2.8,log 2.7； （3）log 5.1,log 5.9a a . 小结：利用单调性比大小；注意格式规范. ※动手试试 练1. 求下列函数的定义域. （1）0.2log (6)y x =--； （2）y =. 练2. 比较下列各题中两个数值的大小. （1）22log 3log 3.5和； （2）0.30.2log 4log 0.7和； （3）0.70.7log 1.6log 1.8和； （4）23log 3log 2和． 三、总结提升 ※学习小结 1. 对数函数的概念、图象和性质； 2. 求定义域； 3. 利用单调性比大小. ※知识拓展 对数函数凹凸性：函数()log ,(0,1)a f x x a a =>≠，12,x x 是任意两个正实数. 当1a >时，1212()()()22f x f x x x f ++≤； 当01a <<时，1212()()()22 f x f x x x f ++≥. 学习评价 ※自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 当a >1时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（ ）. 2. 函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ）. A. (2,)+∞ B. (,2)-∞ C. [)2,+∞ D. [)3,+∞ 3.不等式的41 log 2 x > 解集是（ ）. A. (2,)+∞ B. (0,2) B. 1(,)2+∞ D. 1 (0,)2 4. 比大小： （1）log 67log 76 ； （2）log 31.5log 2 0.8. 5. 函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是. 课后作业 1. 已知下列不等式，比较正数m 、n 的大小： （1）3log m ＜3log n ； （2）0.3log m ＞0.3log n ； （3）log a m ＞log a n (a ＞1) 2. 求下列函数的定义域： （1）2log (35)y x =-（2）0.5log 43y x =- §2.2.2 对数函数及其性质（2） 学习目标 1. 解对数函数在生产实际中的简单应用； 2. 进一步理解对数函数的图象和性质； 3. 学习反函数的概念,理解对数函数和指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质. 学习过程 一、课前准备 7273 复习1：对数函数log (0,1)y x a a =>≠且图象和性质. a >1 0 复习2：比较两个对数的大小. （1）10log 7与10log 12 ； （2）0.5log 0.7与0.5log 0.8. 复习3：求函数的定义域. （1）31 1log 2y x =-； （2）log (28)a y x =+. 二、新课导学 ※学习探究 探究任务：反函数 问题：如何由2x y =求出x ？ 反思：函数2log x y =由2x y =解出，是把指数函数2x y =中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习 惯上我们通常用x 表示自变量，y 表示函数，即写为2log y x =. 新知：当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ） 例如：指数函数2x y =与对数函数2log y x =互为反函数. 试试：在同一平面直角坐标系中，画出指数函数2x y =及其反函数2log y x =图象，发现什么性质？ 反思： （1）如果000(,)P x y 在函数2x y =的图象上，那么P 0关于直线y x =的对称点在函数2log y x =的图象 上吗？为什么？ （2）由上述过程可以得到结论：互为反函数的两个函数的图象关于对称. ※典型例题 例1求下列函数的反函数： （1） 3x y =； （2）log (1)a y x =-. 小结：求反函数的步骤（解x →习惯表示→定义域） 变式：点(2,3)在函数log (1)a y x =-的反函数图象上，求实数a 的值. 例2溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH 的计算公式lg[]pH H +=-，其中[]H +表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升. （1）分析溶液酸碱度与溶液中氢离子浓度之间的变化关系？ （2）纯净水7[]10H +-=摩尔/升，计算其酸碱度. 小结：抽象出对数函数模型，然后应用对数函数模型解决问题，这就是数学应用建模思想. ※动手试试 练1. 己知函数()x f x a k =-的图象过点（1，3）其 反函数的图象过点（2，0），求()f x 的表达式. 练2. 求下列函数的反函数. （1） y =(2)x (x ∈R )； （2）y =log a 2 x (a ＞0,a ≠1,x ＞0) 三、总结提升 ※学习小结 ① 函数模型应用思想；② 反函数概念. ※知识拓展 函数的概念重在对于某个范围（定义域）内的任意一个自变量x 的值，y 都有唯一的值和它对应. 对于一个单调函数，反之对应任意y 值，x 也都有惟一的值和它对应，从而单调函数才具有反函数. 反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域，即互为反函数的两个函数，定义 学习评价 ※自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 函数0.5log y x =的反函数是（ ）. A. 0.5log y x =- B. 2log y x = C. 2x y = D. 1 ()2 x y = 2. 函数2x y =的反函数的单调性是（ ）. A. 在R 上单调递增 B. 在R 上单调递减 C. 在(0,)+∞上单调递增 D. 在(0,)+∞上单调递减 3. 函数2 (0)y x x =<的反函数是（ ）. A. (0)y x x =±> B. (0)y x x => C. (0)y x x =-> D. y x =± 4. 函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为. 5. 右图是函数1log a y x =，2log a y x =3log a y x =， 4log a y x =的图象，则底数之 间的关系为. 课后作业 1. 现有某种细胞100个，其中有占总数 1 2 的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg30.477,lg20.301==）. 2. 探究：求(0)ax b y ac cx d +=≠+的反函数，并求出 两个函数的定义域与值域，通过对定义域与值域的比较，你能得出一些什么结论？ §2.2 对数函数（练习） 学习目标 1. 掌握对数函数的性质； 2. 能应用对数函数解决实际中的问题. 学习过程 一、课前准备 6276 复习1：对数函数log (0,1)y x a a =>≠且图象和性质. a >1 0 性 质 (1)定义域： (2)值域： (3)过定点： (4)单调性： 复习2：根据对数函数的图象和性质填空． §2.1.1 指数 一．教学目标： 1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念； （2）掌握分数指数幂和根式之间的互化； （3）掌握分数指数幂的运算性质； （4）培养学生观察分析、抽象等的能力. 2．过程与方法： 通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质. 3．情态与价值 （1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想； （2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； （3）让学生体验数学的简洁美和统一美. 二．重点、难点 1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解； （2）掌握并运用分数指数幂的运算性质； 2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解 三．学法与教具 1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法 2．教具：多媒体 四、教学设想： 第一课时 一、复习提问： 什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？ 归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a =，则x 叫做a 的平方根.同理，若3x a =，则x 叫做a 的立方根. 根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2±，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零. 二、新课讲解 类比平方根、立方根的概念，归纳出n 次方根的概念. n 次方根：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根（throot ），其中n ＞1，且n ∈Ｎ＊,当n 为偶数时，a 的n 叫做根式.n 为奇数时，a 的n 表示，其中n 称为根指数，a 为被开方数. 类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？ n a n a n a n ???±??为奇数, 的次方根有一个,为正数:为偶数, 的次方根有两个,为 指数与指数幂的运算 课题：指数与指数幂的运算 课型：新授课 教学方法：讲授法与探究法 教学媒体选择：多媒体教学 学习者分析： 1.需求分析：在研究指数函数前，学生应熟练掌握指数与指数幂的运算，通过本节内容将指数的取值范围扩充到实数，为学习指数函数打基础. 2.学情分析：在中学阶段已经接触过正数指数幂的运算，但是这对我们研究指数函数是远远不够的，通过本节课使学生对指数幂的运算和理解更加深入. 学习任务分析： 1.教材分析：本节的内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如推广思想，逼近思想，教材充分关注与实际问题的联系，体现了本节内容的重要性和数学的实际应用价值. 2.教学重点：根式的概念及n次方根的性质；分数指数幂的意义及运算性质；分数指数幂与根式的互化. 3.教学难点：n次方根的性质；分数指数幂的意义及分数指数幂的运算. 教学目标阐明： 1.知识与技能：理解根式的概念及性质，掌握分数指数幂的运算，能够熟练的进行分数指数幂与根式的互化. 2.过程与方法：通过探究和思考，培养学生推广和逼近的数学思想方法，提高学生的知识迁移能力和主动参与能力. 3.情感态度和价值观：在教学过程中，让学生自主探索来加深对n 次方根和分数指数幂的理解，而具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面. 教学流程图： 教学过程设计： 一．新课引入： （一）本章知识结构介绍 （二）问题引入 1.问题:当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内含量P 与死亡年数t 之间的关系： （1）当生物死亡了5730年后，它体内的碳14含量P 的值为 （2）当生物死亡了5730×2年后，它体内的碳14含量P 的值为 （3） 当生物死亡了6000年后，它体内的碳14含量P 的值为 （4）当生物死亡了10000年后，它体内的碳14含量P 的值为 122 12?? ???6000 5730 12?? ???100005730 12?? ? ?? 初中数学教学案例 ——幂的运算（一） 一、案例实施背景 本节初一下学期数学第八章第一课时的内容，所用教材为沪科版义务教育课程标准实验教科书七年级数学（下册）。 二、教学目标 1、知识与技能：理解同底数幂的推导法则，会用同底数幂的法则进行运算。 2、过程与方法：探究同底数幂的乘法法则，让学生体会从一般到特殊，以及从特殊 到一般的数学方法。 3、情感态度与价值观：引导学生主动发现问题，解决问题，在这一过程中提高学生 学习数学的兴趣。 三、教学教学重、难点 1、重点：正确理解同底数幂的乘法法则。 2、难点：会用同底数幂的乘法法则进行运算。 四、教学用具 多媒体平台及多媒体课件 五、教学过程 （一）创设情境，设疑激思 1、播放幻灯片，引出问题： 我国首台千万亿次超级计算机系统“天河一号”计算机每秒可进行2.57×1015 次运算，问它工作一个小时（3.6 ×103s）可进行多少次运算？ 2、提问温故：①什么叫乘方? ②乘方的结果叫做什么? 3、针对问题，学生思考后回答 2.57× 3.6×103×1015=9.252×？ 4、教师肯定学生的回答并提出新问题：？到底是多少，通过今天的学习——同 底数幂的乘法，相信大家能找到这个问题的答案。（板书课题：8.1，幂的乘法——同底数幂的乘法) （二）探究新知 1、试一试（根据乘法的意义） 定义：底数相等的两个或两个以上的幂相乘成为同底数幂的乘法。 22 × 23=(2 ×2 ) ×(2 ×2 ×2) (乘方的意义) = 2 ×2 ×2 ×2 × 2 (乘法结合律) =25 (乘方的意义) 前面的例题：1015×103=(10 ×· · · · · ×10) ×(10×10 ×10) 15个10 = 10 ×· · · · · ×10 18个10 =1018 思考：观察上面的两个式子，底数和指数有什么关系？ 2、怎么求a m· a n(当m、n都是正整数)： a m·a n =（aa…a）（aa…a）（乘方的意义） m个a m个a = aa…a（乘法结合律） (m+n)个a =a m+n（乘方的意义） 3、通过上面的例子，你能发现同底数幂相乘有什么规律吗？ 底数不变，指数相加 4、总结：同底数幂的乘法法则（幂的运算性质1）： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 即：a m· a n = a m+n (当m、n都是正整数) （三）、逐层推进，巩固新知 本节课学习的幂的运算法则1只使用于同底数幂相乘，不能乱用，用该法则需要判断两点： 教学设计 课题名称：指数与指数幂的运算 姓名：曾小林学科年级：必修一教材版本：人教A版 新授课 教学方法：讲授法与探究法 教学媒体选择：多媒体教学 学习者分析： 1.需求分析：在研究指数函数前，学生应熟练掌握指数与指数幂的运算，通过本节内容将指数的取值范围扩充到实数，为学习指数函数打基础 2.学情分析：在中学阶段已经接触过正数指数幂的运算，但是这对我们研究指数函数是远远不够的，通过本节课使学生对指数幂的运算和理解更加深入。 学习任务分析： 1.教材分析：本节的内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如推广思想，逼近思想，教材充分关注与实际问题的联系，体现了本节内容的重要性和数学的实际应用价值 2.教学重点：根式的概念及n次方根的性质；分数指数幂的意义及运算性质；分数指数幂与根式的互化。 3.教学难点：n次方根的性质；分数指数幂的意义及分数指数幂的运算。 教学目标阐明： 1.知识与技能：理解根式的概念及性质，掌握分数指数幂的运算，能够熟练的进行分数指数幂与根式的互化。 2.过程与方法：通过探究和思考，培养学生推广和逼近的数学思想方法，提高学生的知识迁移能力和主动参与能力。 3.情感态度和价值观：在教学过程中，让学生自主探索来加深对n次方根和分数指数幂的理解，而具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面。 教学流程图： 本章知识结构的介绍 新课引入 探究根式的概念 探究n次方根的性质 例1加深对n次方根的理解 分数指数幂的意义和规定 指数幂运算规律的推广 教学过程设计： 一．新课引入： （一）本章知识结构介绍 （二）问题引入 1.问题: 当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内含量P 与死亡年数t 之间的关系： 5730 21t P ? ? ? ??= （1）当生物死亡了5730年后，它体内的碳14含量P 的值为 2 1 （2）当生物死亡了5730×2年后，它体内的碳14含量P 的值为2 21?? ? ?? （3）当生物死亡了6000年后，它体内的碳14含量P 的值为5730 600021? ? ? ?? （4）当生物死亡了10000年后，它体内的碳14含量P 的值为5730 1000021?? ? ?? 三．学习过程： ? ?? ????? ?????????? ?幂函数对数函数及其性质对数也对数运算 对数函数指数函数及其性质指数与指数幂的运算指数函数基本初等函数 8.1 幂的运算（第5课时）-教案 滁州市第六中学柴树云周言祥 一、教学背景 （一）教材分析 在学习同底数幂的除法运算性质基础上，探究零指数幂和负指数幂的规定的意义。教材的关键是让学生把握几两种指数幂的定义，能进行指数运算，目的是对数学的后继学习，以及学习物理和化学的奠定基础。 （二）学情分析 学生已经熟练地掌握的了同底数幂除法的性质和正指数幂的科学记数法，为学习本节内容奠定了基础。 从心理认知规律上看，学生在学习了几种指数幂的运算性质后，学习本节内容，已具备学习本节内容的能力。 二、教学目标 1. 经历探索零指数幂和负指数幂的意义过程，进一步体会零指数幂和负指数幂的存在的条件，发展推理能力和有条理的表达能力。 2. 学会利用零指数幂和负指数幂的意义进行简单的计算。 3. 学会利用负指数幂表示绝对值小于1的数。 4. 学会用科学记数法表示数进行运算，提高运算的准确性。 三、重点、难点 重点：学会利用零指数幂和负指数幂的意义进行简单的计算，并会利用负指数幂表示绝对值较小的数。 难点：深刻理解零指数幂和负指数幂的意义。 四、教学方法分析及学习方法指导 教法指导： 回顾导入新课时，将正整数指数幂的运算性质的复习插在零指数幂概念形成和它的合理性验证等过程中，明确本节课的主题．将学生的注意力吸引到如何建 立零指数幂概念上来。零指数幂和负整数指数幂是通过规定来明确其意义的，在教学中，让学生了解做出这样规定的原因及其合理性。 学法指导： 教学中要分解成一个个小问题，让学生通过解决小问题来认识道理。 五、教学过程 （一）回顾导入 考察下列算式： 223355551010a a ÷÷÷； ； 设计意图：回顾同底数幂的除法性质，为本节课的学习奠定基础。 （二）探究新知 一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得 2222033330 55550555510101010(0)a a a a a ---÷==÷==÷==≠ 另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1。 由此启发，我们规定： .a a ===≠0005110110， ，（） 这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1。 我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式： 2537551010÷÷； ； 一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得 2525337374555510101010----÷==÷==； ； 另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为 223325 375233734455110101551010555510101010÷===÷===?+； ； 由此启发，可以得到： 3434115 10510 --==； 教学设计 8.1 幂的运算 （第3课时）积的乘方 一、教学背景 （一）教材分析 本节课的内容是乘法法则的延续，在以后的内容和实际生活中应用广泛.积的乘方是继同底数幂乘法、幂的乘方的又一种幂运算。从数的相应运算入手，类比过渡到“式”的运算，从中探索，归纳“式”的运算性质。使原有知识得到扩充，自然地引入到整式运算，为整式运算打下基础和提供依据。这节课无论从其内容还是从所处地位都十分重要的，是后继学习整式乘除与因式分解的桥梁. （二）学情分析 七年级下学期的学生思维正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维转变的阶段.已学习了有理数乘方运算的意义、同底数幂的乘法，这些都为本节课的学习打下了基础. 通过七上的学习，学生已经初步具备了发现问题，分析、合作、讨论、解决问题的能力.根据这节课的内容特点、学生认知规律，本课采取引导探索发现法来组织教学.让学生在探索中发现、形成、应用和拓展新知识，让学生在活动的过程中体验学习的快乐，培养学生之间相互合作、相互交流的能力，为今后的学习、生活、工作打下基础. 二、教学目标： 1 经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力. 2 了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题. 三、重点、难点： 重点：理解并正确运用积的乘方的． 难点：积的乘方的探究过程及应用方法． 四、教学方法分析及学习方法指导 教法指导 本节课以“学生为本”的思想为指导，主要采取引导探索发现法.让学生先独立思考，再与同伴交流，然后归纳其中的规律获取新知识. 学法指导 通过先个人学习,后各小组合作学习的方式,教师提出让学生困惑的问题,让学生深刻理解积的乘方的意义,避免幂的乘法三个运算性质的混淆;充分发挥学生的主观能动性,让学生通过合作学习,培养学生的综合能力. 五、教学过程： （一）知识回顾： 1 叙述同底数幂乘法法则并用字母表示. 2.1.1 指数与指数幂的运算（二） （一）教学目标 1．知识与技能 （1）理解分数指数幂的概念； （2）掌握分数指数幂和根式之间的互化； （3）掌握分数指数幂的运算性质； （4）培养学生观察分析、抽象等的能力 2．过程与方法 通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质 3．情感、态度与价值观 （1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想； （2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； （3）让学生体验数学的简洁美和统一美. （二）教学重点、难点 1．教学重点：（1）分数指数幂的理解； （2）掌握并运用分数指数幂的运算性质； 2．教学难点：分数指数幂概念的理解 （三）教学方法 发现教学法 1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特 殊情形归纳出一般规律. 2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发 现规律，并由特殊推广到一般的研究方法. （四）教学过程 教学 环节 教学内容师生互动设计意图 提出问题 回顾初中时的整数指数幂及运算性质 ,1(0) n a a a a a a a =?????=≠, 0无意义 老师提问，学生回答. 学习 新知前的 简单复 1(0) n n a a a -= ≠;()m n m n m n mn a a a a a +?==(),()n m mn n n n a a a b a b ==什么叫实数？ 有理数，无理数统称实数. 习，不仅 能唤起学生的记 忆，而且为学习新课作好了知识上的准备. 复习 引入 观察以下式子，并总结出规律：a ＞0① 105 10 252 55 ()a a a a === ② 884242 ()a a a a === ③ 12 12 34 3 44 4 ()a a a a === ④5 10510 252 5 ()a a a a ===小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）. 根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如： 23 2 3 (0)a a a ==> 1 2 (0) b b b ==>55 4 4 (0) c c c ==>即：*(0,,1) m n m n a a a n N n =>∈> 老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根 式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形 式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义 数学中引进一 个新的概 念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的 形成概念 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为： 学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导 让学生经历从“特殊一 幂的运算 【教学目标】 （一）认知目标： 1．了解同底数幂的乘法的性质 2．会利用同底数幂的乘法的性质进行计算 （二）能力目标： 通过幂的运算性质的形成和应用过程的教学，培养学生观察、归纳、猜想、论证的能力。提高学生的计算和口算的能力。 （三）教育目标： 1．使学生了解和体会“特殊----一般----特殊”的认知规律，体验和学习研究问题的方法。 2．培养学生的思维严谨性，做到步步有据，正确熟练，养成良好的学习习惯。 【教学重点】 1．了解同底数幂的乘法的性质的形成过程 2．会利用同底数幂的乘法的性质进行计算 【教学难点】 1．了解同底数幂的乘法的性质的形成过程 2．同底数幂乘法的运算性质与整式加法容易混淆 【教学方法】 观察法，讨论法，启发式教育法 【教学过程】 教学过程备注 一、复习与质疑： 上节课我们学习了整式的加减，下面提出以下几个问题请大家思考： （1）①a3+a3=？②a3+a5=？ （2）①进行运算的依据是什么？ ②不能继续进行运算的原因是什么？ 提出这几个问题的目的是以题的形式开始，结合问题，从而复习整式加减的内容，同类项的概念，合并同类项的步骤等内容，为 （3）a n表示什么意思？可写成什么形式？ 如果将上面的“+”符号变成“×” ①a3×a3=？①a3×a5=？ 又该怎样进行计算呢？ 在生活和其它领域中，我们有时也会遇到这样的问题： 有一种电子计算机，每秒钟可以做108次运算，那么103秒可以做多少次运算呢？ 根据题意得：108×103=？ 要丈量一块长方形地块的长是56米，宽是54米，求长方形地块的面积？ 根据题意得：56×54=？ 今天我们就来通过学习解决这类问题。 二、导入与创设情景 做一做： 计算：102×10=____ 103×105=____ 22×23=___ 观察试说出每个运算步骤的根据，并观察条件与结论中的指数与底数各具有怎样的特点和关系。（同学们展开讨论） 例如：102×10=10×10×10=103 2个10 1个10 通过同学们亲自操作我们会发现，算式的底数相同，其结果的底数仍然是这个底数，而结果的指数则是两个因数(幂)的指数之和。 这就是我们今天学习的同底数幂的乘法。 根据这一规律，请计算一下的算式： a2·a3=____ a3·a5=_____ a5·a6=_____ 例如：a2·a3=a·a·a·a·a =a5 2个a 3个a 本节课的学习作铺垫。学生进行回答，教师进行补充。 提出质疑，使学生感受到这部分知识是生活，生产所需要的，使学生的学习产生一种内部驱动力，有学习的兴趣和愿望，也是让学生在已有的知识经验的基础上，进一步从简便的方法进行求解和表示。 设计这一步骤目的是一方面让学生通过对具体和特殊情况的运算，发现规律，猜想一般的情况，另一方面通过观察算式的特点并结合结果，为强调同底数幂这一条件以及同底数幂的乘法性质作准备。有意识让学生参与到教学活动中来。 教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校 实数指数幂及其运算（Ⅰ）教学设计 首都师范大学附属中学 姚璐 课程名称：3.1.1实数指数幂及其运算（第一节） 教材分析： 1. 数系的扩充 众所周知，人类对于数的认识经历了漫长的过程，从Z 到Q ，从Q 到R ，从R 到C ，乃至扩充到四元数等等。虽然每一次数的范围的扩大往往伴随着质疑，但随着时间的发展，人们逐渐能够接受越来越多的数，而且寻找到了许多新的数背后所蕴含的实际意义。 数系扩充的动力主要包括两个方面： （1）生产生活的推动 就本节课所涉及内容而言，指数模型是一种重要的数学模型，能较好的刻画许多自然现象（如放射性元素的衰变），在模型中变量t 显然是连续的，因此要求我们将指数推广到实数范围内。 （2）数学本身的推动 许多数的出现都与方程有关（如负数，分数，复数等），根式也不例外。当我们将数系扩充后，我们任然希望新的数系能较好的继承原有数系的一些性质。 事实上，如果我们假定指数运算拓展到实数范围内后，仍然继承下述性质： （1）m n m n a a a +=?（0a >，,m n ∈R ） （2）当1a >时，若m n >，则m n a a >（0a >，,m n ∈R ） 当1a =时，若m n >，则m n a a =（0a >，,m n ∈R ） 当1a <时，若m n >，则m n a a <（0a >，,m n ∈R ） 则指数n a 的定义是唯一的 2. Cauchy 法 从Z 到Q 是非常重要的一步，这一步将一个疏集上定义的函数延拓到了一个稠密集上的函数，依靠的是,,<+?>Q 是,,<+?>Z 的分式环；从Q 到R 也是非常重要的一步，这一步将一个稠密集上的函数延拓到了一个连续集上的函数，依靠的是逼近的想法。 这种方法即为Cauchy 法. 事实上，如果附加上连续性条件，我们可以得到许多函数的“特征性质”如： （1）()f x 是正比例函数或零函数()()(),,f m n f m f n m n ?+=??∈R （2）()f x 是指数函数或零函数()()(),,f m n f m f n m n ?+=??∈R 初一幂的运算教案 星火教育一对一辅导教案学生姓名顾禧性别女年级初一学科数学授课教师林桑上课时间年月日第（）次课共（）次课课时： 课时教学课题幂的运算教学目标 1、熟练掌握幂的四个运算法则。 2、能灵活运算幂的运算法则进行相关计算。 3、注意法则的逆向运用。教学重点与难点 1、幂的四个运算法则 2、法则的逆向运用教学过程幂的运算知识点一：同底数幂的乘法①什么是幂、底数、指数？什么是同底数？例：1、 2、注意：底数可以是一个数或字母或单项式或多项式例：下列哪些是同底数幂 1、与 2、 3、 4、5、②运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。公式：例： 1、 2、 3、 4、 5、 6、例：已知，求得值。 【巩固】 已知，求x、③关于负数的奇次幂、偶次幂注意：负数的奇次幂为负，偶次幂为正。公式：例：⑴ ⑵ ⑶ ④底互为相反数的幂的乘法。 【例1】 ⑴ ⑵ 练习： 1、在中，括号中应填的代数式是 【巩固】 已知，求的值 2、已知，，求下列各式的值⑴；⑵；⑶ 【巩固】 已知，，，则的结果是 3、已知：，求：的值 【巩固】 已知，求：的值知识点二：幂的乘方与积的乘方I 幂的乘方①幂的乘方的概念：②运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。公式： 【例1】 XXXXX：计算：⑴；⑵；⑶；⑷ 【巩固】 计算的结果是 【例2】 若，，求的值为多少？ 【巩固】 若，，则幂的乘方的逆运用 【例1】 已知，，求的值 【巩固】 已知，，你能用含有、的代数式表示吗？ 运用幂的乘方的公式比较大小 【例2】 比较，，的大小 【巩固】 你能比较与的大小吗？II 积的乘方①形式：②运算法则：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘。公式：【例1】 计算：⑴ ⑵ 【巩固】 计算： 【巩固】 2.1.1 指数与指数幂的运算（2课时） 第一课时 根式 教案目标：1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念； 2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质； 3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。 教案重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质 教案难点：根式概念和分数指数幂概念的理解 教案方法：学导式 教案过程： （I ）复习回顾 引例：填空 （1）*)n n a a a a n N =?∈个（； a 0=1（a )0≠； n n a a 1 = -)N n ,0a (*∈≠ (2)m n m n a a a +?= (m,n ∈Z)； ()m n mn a a = (m,n ∈Z)； ()n n n ab a b =? (n ∈Z) （3）_____9=； -_____9=； ______0= （4）)0a _____()a (2≥=； ________a 2= （II ）讲授新课 1.引入： （1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m n a a ÷可看作m n a a -?,所以m n m n a a a -÷=可以归入性质m n m n a a a +?=；又因为n b a )(可看作 m n a a -?，所以n n n b a b a =)(可以归入性质()n n n ab a b =?(n ∈Z)）,这是为下面学习分 数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（*N n ∈）的概念。 （2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如： 22=4 ，（-2）2=4 ?2，-2叫4的平方根 23=8 ? 2叫8的立方根；（-2）3=-8?-2叫-8的立方根 25=32 ? 2叫32的5次方根 … 2n =a ?2叫a 的n 次方根 分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n =a ，则2叫a 的n 次方根。由此，可有： 2.n 次方根的定义：（板书） 一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根（n th root ）,其中1n >，且n N *∈。 问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？n a x =是否正确？ 分析过程： 例1．根据n 次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a 6的3次方根。（要求完整地叙述求解过程） 《幂的运算》教案 教学目标 1．熟记同底数幂的乘法的运算性质，了解法则的推导过程． mnmn aaa2a．＋．能熟练地进行同底数幂的乘法运算．会逆用公式＝ 3．使学生掌握幂的乘方的法则，并能够用式子表示； 4．通过自主探索，让学生明确幂的乘方法则是根据乘方的意义和同底数幂法则推导出来的，并能利用乘方的法则熟悉地进行幂的乘方运算； 5．使学生理解．掌握和运用积的乘方的法则； 6．使学生通过探索，明确积的乘方是通过乘方的意义和乘法的交换律以及同底数幂的运算法则推导而得的； 7．让学生通过类比，对三个幂的运算法则在应用时进行选择和区别； 8．了解同底数幂的除法法则，注意运算顺序． 教程方法：经历法则的探索过程，感受法则的来龙去脉，加深学生对知识的掌握． 情感态度：通过法则的习题教学，训练学生的归纳能力，感悟从未知转化成已知的思想． 教学重点 掌握并能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行乘法运算； 幂的乘方法则的应用； 积的乘方法则的理解和应用； 同底数幂的除法法则的应用． 教学难点 对法则推导过程的理解及逆用法则； 理解幂的乘方的意义； 积的乘方法则的推导过程的理解； 同底数幂的除法法则的应用． 教学过程 【一】 引入 1．填空． 122222aaa＝，( )( ) ··…·()××××＝m个2指出各部分名 称．)( 2．应用题计算． 51110千克煤所产生的热)(平方千米的土地上，一年内从太阳中吸收的能量相当于燃烧510平方千米的土地上，一年内从太阳中吸收的能量相当于燃烧多少千克煤？量．那么 51l03279×(米／秒，求卫星绕地球)卫星绕地球运行的速度为第一宇宙速度，达到×．30秒走过的路程？新课教学一．探索，概括53212，＝×( )．试一试，要求学生说出每一步变形的根据之后，再提问让学生直接说出6733＝( )×，由此可发现什么规律？ 35( )2221，( )×)＝×＝(( )34( )5525，( )＝×＝( )(×)34( )aa3a．＝×＝ ( )(( ))mn43ana34m2anam的结果分别换成字母为正整数和和．如果把)(×，你能写出．中指数吗？你写的是否正确？ mnmn＋manaa为正整数)即这就是同底数幂的乘法法则．·．＝ (二．举例及应用 11计算：．例 343353aaa11010a2a )×(·(())··三．拓展延伸(公式的逆用) mnmnmnmn＋＋aamanaaa为正整数．，可得(＝由) ．＝mmmn＋aa8a23＝＝例已知，则＝，( ) 提问：通过以上练习，你对同底数是如何理解的？在应用同底数幂的运算法则中，应注意什么？课堂小结 1．在运用同底数幂的乘法法则解题时，必须知道运算依据． 2．“同底数”可以是单项式，也可以是多项式． 3．不是同底数时，首先要化成同底数． 【二】． 一．知识回顾： 1．什么叫乘方？什么叫幂？ 2．口述幂的乘法法则. 二．计算观察： 试一试：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空 3233()2?2??(22)1 ())23222(33?3?)?3?(32 ())34333(3aaaaa(?)?a3 )( 问题：上述几题有什么共同的特点？ 通过对学生对这几题的分析，我们可以得到： 8.1幂的运算 教学目标: 1.认识幂的相关概念； 2.掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法、零次幂和负整数次幂的运算性质； 3.掌握归纳的方法，领会“特殊-一般-特殊”这一认识的基本规律； 4.会进行幂的运算，会用科学计数法表示数 重难点： 1.幂的运算 2.科学计数法 知识点一：同底数幂的乘法（重点；掌握） 知识拓展：（1）底数既可以是数或字母，也可以是多项式，但必须相同； （2）底数相同，并且是相乘，是法则的前提； （3）同底数幂的乘法可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘。 （4）一般地，n为偶数时，(x-y)n=(y-x)n，n为奇数时，(x-y)n=-(y-x)n 例1.计算下列各式。 （1）（-x）2·x5 (2) a·a6 （3）-b11·b13 (4)y·y2m·y2m+1 例2. 计算 （1））（）（2 1-21- 2 2 （2）103·104·105； （3） a 10·a ·2a ； （4）(a-b)m+3·(b-a)2·(a-b)m ·(b-a)5 知识点二：幂的乘方（重点；掌握） 知识拓展： （1）运算性质中的底数a 既可以是单项式，也可以是多项式； （2）运算性质成立的条件为底数是幂的形式，结论是底数不变，指数相乘，而不是相加； （3）幂的乘方的运算性质可以推广，即[(a m )n ]p =a mnp (m,n,p 都是正整数） （4）幂的乘方的运算也可以逆用，即a mn =(a n )m =(a n )m （m,n 都为正整数） 例1. 计算下列各式 （1）(a 3)6; （2）[(m-n)2]3; （3）(53)4; （4）(-x 3)2·(-x 2)3; 2.1.1（2）指数与指数幂的运算（教学设计） 内容：分数指数幂 一、教学目标 （一）知识目标 （1）理解根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算。 （2）理解掌握分数指数幂的意义并能进行基本的运算。 （二）能力目标 （1）学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力． （2）让学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想． （3）训练学生思维的灵活性 （三）德育目标 （1）激发学生自主学习的兴趣 （2）养成良好的学习习惯 教学重点： 次方根的概念及其取值规律。 教学难点：分数指数幂的意义及其运算根据的研究。 教学过程： 一、复习回顾，新课引入： 指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展。引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义。 ．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出 及 ，同时追问这里 的由来。 二、师生互动，新课讲解： 1.分数指数幂 看下面的例子： 当0>a 时， （1）2552510)(a a a ==，又5102=，所以510 510a a =； （2）3443412)(a a a ==，又4123=，所以412 412a a =． 从上面的例子，我们看到，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式． 那么，当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？ 根据n 次方根的定义，规定正数的正分数指数幂的意义是：n m n m a a =（0>a ，1*,,>∈n N n m ）． 0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂无意义. 由于分数有既约分数和非既约分数之分，因此当0 卓育1对1个性化教案 教导处签字： 日期：年月日 幂的运算 教学目标 1、了解同底幂的乘除法的运算性质，并能解决一些实际问题。 2、理解0次幂和负整数指数幂的意义。 3、会用科学记数法表示小于1的整数，并能在具体情境中感受小于1的整数的大小，进一步发展数感。 教学重难点 1、同底数乘除法的运算法则。 2、理解同底数幂的乘除法的意义。 知识讲解 知识点： 注意：零指数幂的意义“任何不等于0的数的0次幂都等于1”和负指数幂的意义“任何不等于0的数的负次幂等于它正次幂的倒数。 知识点1 同底数幂的意义及同底数幂的乘法法则（重点） 同底数幂是指底数相同的幂。如如32与52或32)(b a 与5 2)(b a 等 同底数幂的乘法法则：m n mn a a a ?=，即，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 【典型例题】 1．计算（－2）2007 +（－2） 2008 的结果是（ ） A ．2 2015 B ．22007 C ．－2 D ．－2 2008 2．当a<0，n 为正整数时，（－a ）5 ·（－a ） 2n 的值为（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．非负数 3．（一题多解题）计算：（a －b ）2m-1 ·（b －a ）2m ·（a －b ） 2m+1 ，其中m 为正整数． 知识点2 逆用同底数幂的法则 逆用法则为：n m n m a a a ?=+（m 、n 都是正整数） 【典型例题】 1．（一题多变题）（1）已知x m =3，x n =5，求x m+n ． （2）一变：已知x m =3，x n =5，求x 2m+n ； （3）二变：已知x m =3，x n =15，求x n ． 知识点3 幂的乘方的意义及运算法则（重点） 幂的乘方指几个相同的幂相乘。 幂的乘方的法则：()m n mn a a = (m 、n 是正整数) 即：幂的乘方，底数不变，指数相乘 【典型例题】 1．计算（-a 2 ）5+（-a 5） 2 的结果是（ ） A ．0 B ．2a 10 C ．-2a 10 D ．2a 7 2．下列各式成立的是（ ） 2.1.1 指数与指数幂的运算 整体设计 教学分析 我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂． 教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP的增长问题和碳14的衰减问题．前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值．后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫． 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值． 根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持． 三维目标 1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力． 2．掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理． 3．能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力． 4．通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质．展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美． 第十三章整式的乘除 一,教学目标 本章主要内容有五节: ?幂的运算 ?整式的乘法 ?乘法公式 ?整式的除法 ?因式分解 1.掌握正整数幂的运算性质，会用它们进行计算． 2.了解整式的乘法法则（其中的多项式相乘仅指一次式相乘），会进行简单的整式的乘法运算． 3.会推导乘法公式，了解公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算． 4.通过从幂运算到多项式的乘法，再到乘法公式的教学，初步理解“特殊→一般→特殊”的认识规律． 5.探索并了解单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并能进行简单的除法运算. 6.会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）． 二,知识结构图 三,教材特点 （第一节） 1.乘方的意义→同底数幂的乘法→幂的乘方，乘方的意义+乘法交换律→积的乘方→同底数幂的除法. 2.“做一做”有一定的梯度，是性质探索的过程，教学时可以适当发挥. （第二节） 1. 乘法的运算律+同底数幂的乘法→单项式乘法. 2. 借助几何背景理解乘法的意义 . 3. 培养学生的数感,估算能力和思维严密性． 4. 乘法分配律+单项式乘法→单项式乘以多项式． 5. 导图问题+乘法分配律→多项式乘法． （第三节） 1.两数和乘以它们的差、两数和的平方公式均来自整式的乘法,又应用于整式的乘法. 2.两数差的平方公式可以由“和”的情形来理解. （第四节） 1.我们要充分让学生去发表自己的意见。通过“试一试”的计算结果，归纳得出公式，然后再利用除法的意义来说明这个公式的道理。2,培养学生大胆猜想，善于观察、归纳的数学思维品质,培养学生的整体意识. 3,单项式除以单项式是同底数幂除法的直接延伸和应用，教材不是直接给出法则。 （第五节） 1.整式的乘法+“因数分解”→因式分解．整式的乘法可以用来检验因式分解的正确性(可以类比去括号与添括号)． 2.把握要求,不随意拔高． 3,在一定程度上体现了数学的应用价值． 12.1 幂的运算 教案 教学目标： 1.知识与技能目标：掌握同底数幂的除法的运算法则及其应用． 2.过程与方法目标：经历探索同底数幂的除法的运算法则的过程，会进行同底数幂的除法运算.理解同底数幂的除法的运算算理，发展有条理的思考及表达能力. 3.情感态度与价值观目标：经历探索同底数幂的除法运算法则的过程，获得成功的体验，积累丰富的数学经验.渗透数学公式的简洁美与和谐美. 教学重难点: 重点：准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算. 难点：根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则. 教学策略: 1.教法分析：运用多种教学方法，展现获取知识和方法的思维过程，既有老师的讲解，又有学生动手探索、师生共做、学生小组合作等. 2.学法分析：以学生为主体，老师为主导，基于本节课的特点，应着重采用“探究----合作----交流”的学习方法. 3.数学思想方法分析：本节课在教学中向学生渗透的数学思想主要有：转化思想 教具：多媒体 教学过程: （一）创设情境 1．叙述同底数幂的乘法运算法则． 2．问题：一种数码照片的文件大小是2K ，一个存储量为2M （1M=210K ）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？ 分析：移动器的存储量单位与文件大小的单位不一致，所以要先统一单位．移动存储器的容量为2×210=216K ．所以它能存储这种数码照片的数量为216÷2.216、2是同底数幂，同底数幂相除如何计算呢？ 这正是我们这节课要探究的问题.（引入课题）复习同底数 （二）引导探究 学生尝试，探索公式 计算： （1）________；（2）________；（3） ________（a ≠0） 【答案】（1）23；（2）104；（3）a 4 上述运算数有什么规律？学生以小组为单位，展开讨论 （三）交流评价 =÷2522＝371010÷=÷37a a 实数指数幂及其运算（Ⅰ）教学设计 首都师范大学附属中学 姚璐 课程名称： 教材分析： 1. 数系的扩充 众所周知，人类对于数的认识经历了漫长的过程，从Z 到Q ，从Q 到R ，从R 到C ，乃至扩充到四元数等等。虽然每一次数的范围的扩大往往伴随着质疑，但随着时间的发展，人们逐渐能够接受越来越多的数，而且寻找到了许多新的数背后所蕴含的实际意义。 数系扩充的动力主要包括两个方面： （1）生产生活的推动 就本节课所涉及内容而言，指数模型是一种重要的数学模型，能较好的刻画许多自然现象（如放射性元素的衰变），在模型中变量t 显然是连续的，因此要求我们将指数推广到实数范围内。 （2）数学本身的推动 许多数的出现都与方程有关（如负数，分数，复数等），根式也不例外。当我们将数系扩充后，我们任然希望新的数系能较好的继承原有数系的一些性质。 事实上，如果我们假定指数运算拓展到实数范围内后，仍然继承下述性质： （1）m n m n a a a +=?（0a >，,m n ∈R ） （2）当1a >时，若m n >，则m n a a >（0a >，,m n ∈R ） 当1a =时，若m n >，则m n a a =（0a >，,m n ∈R ） 当1a <时，若m n >，则m n a a <（0a >，,m n ∈R ） 则指数n a 的定义是唯一的 2. Cauchy 法 从Z 到Q 是非常重要的一步，这一步将一个疏集上定义的函数延拓到了一个稠密集上的函数，依靠的是,,<+?>Q 是,,<+?>Z 的分式环；从Q 到R 也是非常重要的一步，这一步将一个稠密集上的函数延拓到了一个连续集上的函数，依靠的是逼近的想法。 这种方法即为Cauchy 法. 事实上，如果附加上连续性条件，我们可以得到许多函数的“特征性质”如： （1）()f x 是正比例函数或零函数()()(),,f m n f m f n m n ?+=??∈R （2）()f x 是指数函数或零函数()()(),,f m n f m f n m n ?+=??∈R （3）()f x 是对数函数或零函数()()(),,0f m n f m f n m n ??=+?>指数与指数幂的运算(一)教案
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