(word完整版)小升初-数学-几何-五大模型专项复习训练(附详细答案)

小升初-几何五大模型

1

1、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=—AB,已知四边形

3

EDCA的面积是35,求三角形ABC的面积. （BED 111

【解】根据定理：= =，所以四边形ACDE的面积就是6-1=5份，这样三角形

ABC 2 3 6 35- 5X 6=42。

2、四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方（如图）如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是_____________ 米.

【解】小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，所以外边四个面积和是5-1=4 ,

所以每个三角形的面积是1,这个图形是“玄形”，所以长直角边和短直角边差就是

中间正方形的边长，所以求出短边长就是1。

3、如图在长方形ABCD中, △ ABE △ ADF四边形AECF的面积相等。△ AEF的面积是长方形

ABCD面积的___________（填几分之几）。

【解】连接AC,首先△ ABC和厶ADC的面积相等，又△ ABE和厶ADF的面积相等，则△ AEC 和厶AFC的面积也相等且等于ABCD的1/6，不难得厶AEC M^ ABE的面积之比为1/2，由于这两个三角形同高，则EC与BE之比为1/2，同理FC与DF之比也为1/2。从而△ ECF相当于ABCD面积的1/18，而四边形AECF相当于ABCD面积的1/3，从而答案为1/3-1/18=5/18 。

4、如图1, 一个长方形被切成 8块，其中三块的面积分别为 12, 23，32，则图中阴影部分 的面积为 _____

【解】设图示两个三角形的面积分别为 加上△ DEC 的面积也等于 23+a+32+12+b=a+b+ 阴影面积，可见阴影面积 =23+32+12=67。

5、右图中 AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形 ABDE 的面积是 ________ 平

方厘米.

1 1 1 【解】：四边形 AFDC 的面积=三角形AFD+三角形ADC=( X FD X AF ) + ( X AC X CD )=一

2

2

2

1 1 1 1 1 (FE+ED

X AF+—

(AB+BC X CD= (—X FE X AF+—X EDX AF )

+ (

— X ABX

CD+—

X BC

2

2

2 2

2 X CD )。

1 1 1 所以阴影面积=四边形AFDC 三角形AFE-三角形BCD=( X FE X AF+— X EDX AF ) + ( X 2

2 2

1 111111

ABX CD+— X BC X CD)——X FE X AF- X BC X CD — X ED X AF+— X ABX CD — X 8 X 7+ X 2 2 2 2 2 2 2

3X 12=28+18=46。

（01年同方杯）

a 和

b ，因为△ AED 面积等于 ABCD 的一半，则△ ABE

ABCD 的一半。而△ FDC 的面 积也等于 ABCD 的一半，即

F

C

B

练习题

1、（★★）如右图所示，已知三角形 ABC 面积为1，延长AB 至D,使BD=AB 延长BC 至E , 使CE=2BC 延长CA 至F ,使AF=3AC 求三角形 DEF 的面积。

解：作辅助线 FB,贝U S A BAF = 3X S A ABC= 1/2 X S A DAF 则有 S A ABC= 1/6 X S A DAF 作 辅助线 AE,贝U S A ACE= 2 X S A ABC = 1/4 X S A CEF ;贝U S A ABC= 1/8 X S A CEF ;作辅助线 CD, 则有：

S A CBD- S A ABC= 1/3 X S A CEF ；综上，三角形 DEF 由这四个三角形构成，那么由已求出的 比例关系可知，三角形 DEF 的面积为1+6+8+3= 18。

2、（★★）右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面

解：设定阴影部分面积为 X,则不难由长方形面积公式看出比例关系为： X/30=15/18 ,则X=25。

3、（★★★）如下图，已知 D 是BC 的中点，E 是CD 的中点，F 是AC 的中点，且 ADG

的

面积比EFG 的面积大6平方厘米。ABC 的面积是多少平方厘米

解：因为 S ADG S EFG 6,所以 S ADE S DEF 6。 根据已知条件： S ADE S AEC 2S ECF 2S DEF 。

所以三角形DEF 的面积为6。因此三角形ABC 的面积为48平方厘米。

4、（★★）长方形ABCD 的面积为36平方厘米，E 、F 、G 分别为边 AB 、BC 、CD 的中点,

积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少?

15 a

IS

b 3C

F

C

H为AD边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少?

【解答1】极限考虑，若H点动到D点，那么阴影面积为四边形BEFH ,

所以面积占总共的一半为18。

【解答2】过H作HI垂直BC这样四边形FCGH的面积就分成三角形FHI和梯形ICGH,所以空白部分的总面积为：

1

(CG+HI)X IC - 2+FI X HI - 2+AE X AH- 2= X( CGX IC+HI X IC+FI X HI+AE X AH) 2

(CG=AE)

1

= X [CG X (IC+AH)+HI X (IC+FI)] 2

(HI=CD)

1 1

=—X (CG X BC+C X FC)= 四边形ABCD的面积

2 2

=18.

5、(*★)如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴

影部分的面积。

解：我们要得到阴影部分，只要两个正方形的面积和扣除三个三角形的面积即可。那么正

方形面积和为：10 X 10+ 12X 12= 244。

三角形ABG面积为50;三角形ABD面积为1/2 X 22X 12= 132;三角形AFG面积为1/2 X 2

X 12 = 12。则阴影部分面积为244- 50 —132- 12= 50。_______________

6、正方形ABFD的面积为100平方厘米，直角三角形ABC的面积，比直角三角形(CDE 的面积大30平方厘米，求DE 的长是多少？

【解答】：公共部分的运用，三角形ABC面积-三角形CDE的面积=30,

两部分都加上公共部分(四边形BCDF,正方形ABFD三角形BFE=30,

所以三角形BFE的面积为70,所以FE的长为70 X 2十10=14，所以DE=4

F D E

六年级下册数学试题-小升初专题培优：五大模型(含答案)全国通用

模型一、鸟头模型： 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点如图(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():() ABC ADE S S AB AC AD AE =?? △△ (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD边长为6厘米， 1 3 AE AC =，1 3 CF BC =。三角形DEF的面积为_______平方厘米。 如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝2BC；延长CA至F，使AF＝3AC，求三角形DEF的面积。 例2 例1 小升初——五大模型

如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形ABCD的面积为5，则四边形EFGH的面积是____。 模型二、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)，如图所示。 ①S1∶S2＝S4∶S3或者S1×S3＝S2×S4 ②AO∶CO＝(S1＋S2)∶(S4＋S3) 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面我们可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系，另一方面，我们也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 如图平行四边形ABCD的对角线相交于O点，三角形CEF，OEF，ODF，BOE的面积依次是2、4、4、6。求三角形OCF的面积，三角形GCE的面积。 例4 例3

例5 如图边长为1的正方形ABCD中，BE＝2CE，F为DC的中点，求三角形AGE的面积。 模型三、梯形中的蝴蝶定理 ①S1：S3＝a2：b2 ②S1：S3：S2：S4＝a2：b2：ab：ab ③S的对应份数为(a＋b)2 梯形蝴蝶定理，给我们提供了解决梯形面积与上下底之间关系互相转换的渠道。构造模型，例6 长方形ABCD分别被CE、DF分成四块，其中三块的面积分别是2、5、8平方厘米，那么余下的OFBC的面积是多少？

小学奥数几何篇 五大模型——蝴蝶定理(附答案)

五大模型——蝴蝶模型 例1. 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，如果三角形ABD 1，且AO=2，DO=3，那么CO的长的面积等于三角形BCD的面积 3 度是DO的长度的倍

例2. 如图,平行四边形ABCD的对角线交与点O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6 求：（1）△OCF 的面积；（2）求△GCE的面积 例3.如图，边长为1的正方形ABCD中，BE=3EC，CF=FD，求三角形AEG的面积。

例4. 如图，边长为1的正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD 中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角形BDG的面积

例5. 如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知AOB于BOC的面积分别为25平方厘米于35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是平方厘米 例6.梯形ABCD的对角线AC与BD交与点O，已知梯形上底为2， 2，求三角形AOD与且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的 3 三角形BOC的面积之比。 例7. 如下图，一个长方形一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH 的面积。

例8. 右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米 例9. 如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知期中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米 例10. 如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？

蝴蝶模型习题 1、如图，长方形ABCD中，BE：EC=2：3，DF：FC=1:2，三角形DFC面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积. 2、梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2，问三角形AOD的面积是多少？ 3、如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4：5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为 4、如图，长方形ABCD中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的长是9，那么四边形OECD的面积是多少？ 5、如图，△ABC是等腰三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相较于K点，已知正方形DEFG的面积48，AK：KB=1:3，则△BKD的面积是多少？

小升初复习重难点一几何五大模型

几何五大模型 一、五大模型简介 （1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示， S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b； 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示， S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b； 4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示， S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]；反之，如果 S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]， 则可知直线AB平行于CD。 例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。

（2）鸟头（共角）定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。 如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点 则有：S[sub]△ABC[/sub]：S[sub]△ADE[/sub]=（AB×AC）：（AD×AE） 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！

如图连接BE，根据等积变化模型知，S[sub]△ADE[/sub]： S[sub]△ABE[/sub]=AD：AB、S[sub]△ABE[/sub]： S[sub]△CBE[/sub]=AE：CE，所以S[sub]△ABE[/sub]： S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]： （S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub]）=AE：AC ，因此S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]=（S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABE[/sub]）×（S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]）=（AD：AB）×（AE：AC）。 例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2， △ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。

小升初数学几何奥赛几何五大模型

小升初几何五大模型 一、五大模型简介 （1）等积变换 ①、等底等高的两个三角形面积相等 ②、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图1 ③、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图2 ④、在一组平行线之间的等积变形，如图3 图1 图2 图3 例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。 解： ； （2）鸟头（共角）定理模型 ①、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； ②、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。? 如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点 例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E 在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE 的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。 解：由题意知： ∴ （3）蝴蝶模型 1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①

② ③梯形S对应的分数为 例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD 交于点O，已知△AOB、△BOC的面积分别为25平方厘 米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。 解： ∴ 又 ∴ 2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ① ② 例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O， 如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且 AO=2，求OC 解： OC= （4）相似模型 ? 1、相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似； ? 2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ? 3、相似三角形性质： ? ?①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比； ? ?②相似三角形周长的比等于相似比； ? ?③相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有BC平行DE这样的一对平行线！

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小学奥数几何五大模型 一、五大模型简介 （1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S1：S2=a:b； 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S1：S2=a:b； 4、在一组平行线之间的等积变形，如图③AB//CD则S△ACD=S△BCD；反之， S△ACD=S△BCD，则直线AB//CD。 例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF 的面积。 （2）鸟头（共角）定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点 S△ABC:S△ADE=（AB×AC）:（AD×AE）我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！ 如图连接BE，根据等积变化模型知，S△ADE：S△ABE=AD：AB、S△ABE：S△CBE=AE：CE，所以S△ABE：S△ABC=S△ABE：（S△ABE+S△CBE）=AE：AC ，因此S△ADE：S△ABC=（S△ADE：S△ABE）×（S△ABE：S△ABC）=（AD：AB）×（AE：AC）。 例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。

（3）蝴蝶模型 1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) 例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC 的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。 、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： 例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD 交于点O，如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且AO=2、DO=3，求CO的长度是DO长度的几倍。 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 （4）相似模型 1、相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似； 2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。 3、相似三角形性质： ①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比； ②相似三角形周长的比等于相似比； ③相似三角形面积的比等于相似比的平方

小升初平面几何常考五大模型

一、等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等。 2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。 3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。 二、共角定理模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。 三、蝴蝶定理模型 （说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。）四、相似三角形模型 相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。 五、燕尾定理模型 正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方 形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为 由题知DC/GP=GC/PK，即DC/(DC-4)=(4+PK)/PK，令DC=a，PK=c，则a=4+c，则S△DEK=a^2+16+c*(4-c)/2+c^2-ac-a(4+a)/2=a^2/2+c^2/2-ac-2a+2c+16=(c+4)^2/2+c^2/2-c(c+4)-2(c+4)+2c+16=16。 1、图17是一个正方形地板砖示意图，在大正方形ABCD中AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=D D2，中间小正方形 EFGH的面积是16平方厘米，四块蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，那么大正方形ABCD的面积是多少平方厘米？

分析与解连AC和BD两条大正方形的对角线，它们相交于O，然后将三角形AOB放在D PC处（如图18和图19）。 已知小正方形EFGH的面积是16平方厘米，所以小正方形EFGH的边长是4厘米。 又知道四个蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，所以两个蓝色三角形的面积是72÷2=36平方厘米，即图19的正方形OCPD中的小正方形的面积是36平方厘米，那么这个正方形的边长就是6厘米。由此得出，正方形OCPD的边长是4+6=10厘米，当然正方形OCPD的面积就是102，即100平方厘米。而正方形OCPD的面积恰好是正方形ABCD的面积的一半，因此正方形ABCD的面积是200平方厘米。 答：正方形ABCD的面积是200平方厘米。 2、图21是一个圆形钟面，圆周被平均分成了12等份。已知圆形的半径是6厘米，那么图中阴影的面积是多少平方厘米？ 分析与解题中告诉我们：圆周被平均分成了12等份，因此连接OE，

六年级小升初数学总复习【图形与几何】专题训练(解析卷)

六年级小升初数学总复习【图形与几何】 专题训练(解析卷) 六年级小升初数学总复【图形与几何】专题训练【解析卷】 直线型面积】 1.在图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC 长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平 行四边形ABCD的面积。 解答：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边形ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50（厘米2）。 2.图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米，求CD的 长。 解答：连结CB。三角形DCB的面积为4×4÷2-2=6（厘米2），CD=6÷4×2=3（厘米）。

3.有红、黄、绿三块同样大小的正方形纸片，放在一个正方形盒的底部，它 们之间互相叠合。已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14。 绿色面积是10，求正方形盒子底部的面积。 解答：把黄色正方形纸片向左移动并靠紧盒子的左边。 由于三个正方形纸片面积相等，所以原题图可以转化成下页右上图。 此时露出的黄、绿两部分的面积相等，都等于（14+10）÷2=12. 因为绿：红=A∶黄，以是绿×黄=红×A，A=绿×XXX÷红 12×12÷20=7.2.正方形盒子底部的面积是红+黄+绿+A=20+12+12+7.2=51.2. 三角形的等积变换】： 4.如左下图是两个相同的直角三角形叠在一起组成的，求阴影部分的面积。 单位：分米） 谜底：32.5平方分米。

(小升初高频考点)图形与几何(专项训练)2022-2023学年六年级下册数学人教版(含答案)

（小升初高频考点）图形与几何（专项训练）2022-2023学年六年级下册数学人教版（含 答案） （小升初高频考点）图形与几何（专项训练） 2022-2023学年六年级下册数学人教版 一．选择题（共7小题） 1．（2022 保定）下列说法正确的是（） A．一条射线长50米 B．2022年2月有29天 C．3和4是互质数，它们也都是12的质因数。 D．圆柱的底面半径扩大2倍，高同时也扩大2倍，这个圆柱的体积就扩大8倍。 2．（2022 虎林市）一个角的两条边是两条（） A．直线B．射线C．线段D．以上都对 3．（2022 揭东区）钟面上，9：30分针与时针所夹的角是（）A．直角B．锐角C．钝角D．平角 4．（2022 杭州）下面立体图形的截面一定不是四边形的是（）A．B． C．D． 5．（2022 茌平区）下列说法正确的是（）

A．一个平行四边形拉成长方形后，它的周长、面积都不变 B．一个三角形最少有一个角是锐角 C．用同样长的铁丝围成的长方形、正方形、三角形、和圆，正方形的面积最大 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 6．（2022 邢台）如图，点A、B、C都在格点上，请在方格纸上找一点D（D在格点上），使四边形ABCD是梯形，这样的D点有（）个。 A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2022 万州区）有5根小棒，长度分别为3，3，4，6，6，用其中的3根做等腰三角形的边，可以搭出（）种不同的等腰三角形。A．5 B．4 C．3 D．2 二．填空题（共7小题） 8．（2022 嵩县）直线、射线、线段中，能量出长度的是。9．（2022 讷河市）在钟面上，6时的时候，分针与时针所夹的角的度数是，是一个角。 10．（2022 未央区）在一个三角形中，至少有个锐角，最多只能有一个角或角。 11．（2022 大余县）在同一平面内两条直线的位置关系有和。 12．（2022 山阳区）数学知识之间会有很多密切的关系。许多知识可以用如图来表示。

小升初几何常考五大模型（等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾）

小升初几何常考五大模型（等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕 尾） 下面给大家整理小升初数学几何常考五大模型（等积变换模型、鸟头定理、蝴蝶定理、相似模型、燕尾定理） （一）等积变换模型性质与应用简介 平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第一块——等积变换模型。 1.等积变换模型 （1）等底等高的两个三角形面积相等； （2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； (3)如右图夹在一组平行线之间的等积变形，S△ACD=S△BCD 反之，S△ACD=S△BCD，则可知直线AB∥直线CD 等积变换模型例题讲解与课后练习题 （一）例题讲解与分析 【例1】：如右图，在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE 的面积是1平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少？

【解答】连接BD,S△ABD和S△ AED同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD的面积是4，S△ABD和S△ABC同高面积比等于底边比，三角形ABC的面积是ABD的3倍，是12. 【总结】要找准那两个三角形的高相同。 【例2】：如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？ 【解答】S△ADO=5,S△DOC=4根据结论2，△ADO与△DOC同

高所以面积比等于底的比,即AO/OC=5:4同理S△AOB/S△BOC=AO/OC=5:4,因为S△AOB=15所以S△BOC=12。 【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题。事实上，这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座'桥梁'，请同学们体会一下。 （二）鸟头定理（共角定理）模型 平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，第二期我们讲解了解一下五大模型第二块——鸟头定理（共角定理）模型。 (2)鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边乘积之比 如图在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点（或D在BA的延长线上，E在AC上）则S△ABC:S△ADE=(AB×AC)=(AD×AE) （三）蝴蝶定理模型 导读：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第三块——蝴蝶定理模型。

小升初-数学-几何-奥赛几何五大模型

一、五大模型简介 （1）等积变换 ①、等底等高的两个三角形面积相等 ②、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图1 ③、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图2 ④、在一组平行线之间的等积变形，如图3 图1 图2 图3 例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。 解： ； （2）鸟头（共角）定理模型 ①、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； ②、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。 如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点 例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。

解：由题意知： ∴ （3）蝴蝶模型 1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ① ② ③梯形S对应的分数为 例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。 解： ∴ 又 ∴ 2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ① ② 例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且AO=2，求OC 解： OC=

（4）相似模型 1、相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似； 2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或 两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。 3、相似三角形性质： ①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比； ②相似三角形周长的比等于相似比； ③相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有BC平行DE这样的一对平行线！ ① ② 例、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=16、AD=10、BE=4，那么FC的长度是多少 解： （5）燕尾模型 ① ② ③ 例、如图，E、D分别在AC、BC上，且AE：EC=2:3，BD：DC=1:2，AD与BE交于

小升初奥数几何五大模型经典例题

小升初奥数几何五大模型经典例题【奥数】小升初几何五大模型经典例题 二、五大模型经典例题详解 （1）等积变换模型 例1、图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？ 例2、如图所示，Q、E、P、M分别为直角梯形ABCD两边AB、CD上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，已知AD=5、BC=7、AE=5、EB=3，求阴影部分三角形PQM的面积。（2）鸟头（共角）定理模型 例1、如图所示，平行四边形ABCD，BE=AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD，平行四边形ABCD的面积为2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。 例2、如图所示，△ABC的面积为1，BC=5BD、AC=4EC、DG=GS=SE、AF=FG，求△FGS的面积。 （3）蝴蝶模型 例1、如图，正六边形面积为1，那么阴影部分面积为多少？

例2、如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC的面积。 例3、如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD的中点，F为CE的中点，G为BF的中点，求三角形BDG的面积。 （4）相似模型 例2、如图，长方形ABCD，E为AD的中点，AF与BD、BE分别交于G和H，OE垂直于AD，交AD于E点，交AF 于O点，已知AH=5,HF=3,求AG的长。 （5）燕尾模型 例1、如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，求四边形BGHF的面积。 例2、如图，在△ABC中，BD=2DA、CE=2EB、AF=2FC，那么△ABC的面积是阴影△GHI面积的几倍？

(word完整版)小升初-数学-几何-五大模型专项复习训练(附详细答案)

小升初 - 几何五大模型 1、如图，在三角形 ABC 中，， D 为 BC 的中点， E 为 AB 上的一点，且 BE=1 AB, 已知四边形 EDCA 的面积是 35，求三角形 ABC 的面积 . 3 （ 【解】依据定理： BED = 1 1 = 1 ，所以四边形 ACDE 的面积就是 6-1=5 份，这样三角形 ABC 2 3 6 35÷ 5× 6=42。 2、四个完整同样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方 ( 如图 ) 假如小正方形面积是 1 平方米，大正方形面积是 5 平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是 ______ 米 . 【解】小正方形面积是 1 平方米，大正方形面积是 5 平方米，所之外边四个面积和是 5-1=4 ，所以 每个三角形的面积是 1，这个图形是“玄形” ，所以长直角边和短直角边差就是中间正方形的边长，所以求出短边长就是 1。 3、如图在长方形 ABCD 中，△ ABE 、△ ADF 、四边形 AECF 的面积相等。△ AEF 的面积是长 方形 ABCD 面积的 ______ ( 填几分之几 ) 。 。 【解】连结 AC ，第一△ ABC 和△ ADC 的面积相等，又△ ABE 和△ ADF 的面积相等，则△ AEC 和△ AFC 的面积也相等且等于 ABCD 的 1/6 ，不难得△ AEC 与△ ABE 的面积之比为 1/2 ，因为 这两个三角形同高，则 EC 与 BE 之比为 1/2 ，同理 FC 与 DF 之比也为 1/2 。进而△ ECF 相当 于 ABCD 面积的 1/18 ，而四边形 AECF 相当于 ABCD 面积的 1/3 ，进而答案为 1/3-1/18=5/18 。

人教版小升初数学复习专项《几何的五大模型之风筝模型和蝴蝶模型》能力达标卷

人教版小升初数学复习专项《几何的五大模型之风筝模型和蝴蝶模型》能力达标卷 一、基础题 1、如图，S△AOB＝24平方厘米，S△AOD＝18平方厘米，S△COD＝12平方厘米，则S△ 为多少平方厘米？ COB ＝7平方厘米，S△AOD＝6平方厘米，则S 2、如图，S四边形ABCD＝52平方厘米，S△AO B 为多少平方厘米？ △COB 3、如图，S四边形ABCD＝56平方厘米，S△AOB＝8平方厘米，S△AOD＝6平方厘米，则S 为多少平方厘米？ △COB 4、如图，S△ACB＝27平方厘米，S△ACD＝18平方厘米，DO＝15厘米，则BO多少厘米？

5、梯形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．AB垂直AC，并且已知AO＝4厘米，AB＝5厘米，那么三角形DOC的面积是多少平方厘米？ 二、提高题 1、如图，S△ACB＝24平方厘米，S△ACD＝16平方厘米，S△ABD＝25平方厘米，则S△ 为多少平方厘米？ COB 2、如图，S△ACB＝48平方厘米，S△ACD＝32平方厘米，S△ABD＝45平方厘米，则S△ 为多少平方厘米？ COB

3、梯形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB垂直AC，并且已知AO＝6厘米，BO＝10厘米，那么三角形DOC的面积是多少平方厘米？ 4、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么中间的四边形GQHS的面积是多少？ 5、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么中间的四边形GQHS的面积是多少？ 6、如图，四边形ABCD与四边形CPMN都是平行四边形，若三角形DFP与三角形AEF的面积分别是21和49，则三角形BEN的面积为多少？ 7、如图，四边形ABCD与四边形CPMN都是平行四边形，若三角形DFP与三角形AEF的面积分别是23和53，则三角形BEN的面积为多少？

小升初-数学-几何-五大几何模型

高之比．① 12:S S 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b = ② 22 1324::::::S S S S a b ab ab =； 知识框架 五大几何模型

③ S 的对应份数为()2 a b +． 四、相似模型 (一)金字塔模型(二)沙漏模型 ① AD AE DE AF AB AC BC AG === ； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：． 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： 【例 1】 米? 【巩固】 如图，四边形ABCD 和EFGH 都是平行四边形，四边形ABCD 的面积是16，:3:1BG GC =，则 四边形EFGH 的面积=________． 【例 2】 已知三角形ABC 的面积为a ，:2:1AF FC =，E 是BD 的中点，且EF ∥BC ，交CD 于G ，求 阴影部分的面积． 【巩固】 图中ABCD 是边长为12cm 的正方形，从G 到正方形顶点C 、D 连成一个三角形，已知这个 三角形在AB 上截得的EF 长度为4cm ，那么三角形GDC 的面积是多少？ 例题精讲

【例 3】 如图，O 是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影 部分的一块直角三角形的面积是多少？ 【巩固】 ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则图中阴影部 分的面积为平方厘米． 二、蝴蝶模型 【例 4】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，AB=8,AD=15四边形EFGO 的面 积为______． 【巩固】 如图5所示，矩形ABCD 的面积是24平方厘米，、三角形ADM 与三角形BCN 的面积之 【例 5】 【巩固】 27．那么 【例 6】 【巩固】 CD ，DA ()m n +的【例 7】 ，那么平 【巩固】 ，6B 分别 是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米． 【例 8】 已知四边形ABCD ，CHFG 为正方形，:1:8S S =乙甲，a 与b 是两个正方形的边长，求:?a b = 【巩固】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分， 请写出这9部分的面积各是多少? 【例 9】 如右图，面积为1的ABC △中，::1:2:1BD DE EC =，::1:2:1CF FG GA =，::1:2:1AH HI IB =， 求阴影部分面积． 【巩固】 如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，

小升初复习重难点一几何五大模型

一、五大模型简介 （1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示， S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b； 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b； 4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示， S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]；反之，如果 S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]， 则可知直线AB平行于CD。 例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。 （2）鸟头（共角）定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点 则有：S[sub]△ABC[/sub]：S[sub]△ADE[/sub]=（AB×AC）：（AD×AE） 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！ 如图连接BE，根据等积变化模型知，S[sub]△ADE[/sub]： S[sub]△ABE[/sub]=AD：AB、S[su b]△ABE[/sub]： S[sub]△CBE[/sub]=AE：CE，所以S[sub]△ABE[/sub]： S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]： （S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub]）=AE：AC ，因此S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]=（S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABE[/sub]）×（S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]）=（AD：AB）×（AE：AC）。 例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2， △ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。 （3）蝴蝶模型

人教版小升初数学复习专项《几何的五大模型之等积变换模型》能力达标卷

人教版小升初数学复习专项 《几何的五大模型之等积变换模型》能力达标卷 一、基础题 1、已知平行四边形的面积是32平方厘米，三角形DEC的面积是多少平方厘米？ 2、如图，△ABC被分成两个三角形，其中△ABD的面积是△ACD的3倍，若BC 长为84厘米，那么DC是多少厘米？ 3、如图，四边形面积为45平方厘米，被分成四个小三角形，面积分别标在图中．那么问号所在小三角形面积是多少平方厘米？ 4、如图，四边形面积为60平方厘米，被分成四个小三角形，面积分别标在图中．那么问号所在小三角形面积是多少平方厘米？

5、已知平行四边形的面积是33平方厘米，那么长方形的面积是多少平方厘米？ 二、提高题 1、如图所示，平行四边形ABCD的面积是90平方厘米，EF平行于AB，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 2、如图，三角形ABC的每边长都是96厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形．请求出CE和CF的长度之和． 3、如图，三角形ABC的每边长都是48厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形．请求出CE和CF的长度之和．

4、如图，正方形ABCD的面积是42，E是DC上任意一点，BE与AF垂直，已知AF长是6，求BE的长度是多少？ 5、如图，AD:DB=10:7，BE:EC=3:4，三角形ABC的面积是170平方厘米，则三角形CED的面积为多少平方厘米？ 6、如图，AE:EB=3:2，S △ACD =70平方厘米,S △ADB =30平方厘米，则S △CDE 为多少平方 厘米？ 7、 如图所示，在长方形ABCD中，三角形ADE的面积是18平方厘米，三角形BEF

专项复习之五大模型

小升初数学专项复习五大模型 1、如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ∆的面积是平方厘米． 2、在三角形ABC中，AF=FG=GB，AE=ED=DC，则阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？ 3、已知如图三角形ABC的边长都是96厘米，用折线把三角形分割成面积相等的四个三角形，那么CE和CF的长度和是多少厘米？ 4、图中ABCD是个直角梯形(∠DAB=∠ABC=90°)，以AD为一边向外作长方形ADEF 为6.36平方厘米。连接BE交AD于P，再连接PC。则图中阴影部分的面积是( ) 厘米。 5、如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE的面积是． D B A P A B D E F D

6、如图，在三角形ABC中，AD=1/3AB，BE=EF=FC，CG=1/3CA,求阴影部分面积占ABC面积 的几份之几？ 7、梯形ABCD中，AE与DC平行， 15 ABE S ∆ =,E为BC中点； BCF S ∆ = 8、已知三角形ABC面积是5，且BD=2DC，AE=ED，求阴影部分面积。 9、如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2AN BN =.求阴影部分的面积。 10、如图，在梯形ABCD中，:4:3 AD BE=，:2:3 BE EC=，且BOE ∆的面积比AOD ∆的面积小10平方厘米．梯形ABCD的面积是平方厘米． 11、在梯形ABCD中，上底长5厘米，下底长10厘米，20 = ∆BOC S平方厘米，则梯形ABCD 的面积是平方厘米。 F E D C B A A N B M D C O A B C D E

小升初专项训练-第16讲平面几何五种模型

第16讲小升初专项训练平面几何五种模型 一、知识要点 1、三角形的等积变形 1、两个三角形的底高相等，则它们面积相等。 2、①两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； ②两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 3、推广到平行四边形。 2、等分点结论( 共角模型、鸟头模型或鸟头定理) 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．3、蝴蝶定理 1、任意四边形中的比例关系S 1∶S 2 =S 4 ∶S 3 或 S 1 ×S 3 = S 2 ×S 4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2、梯形中的比例关系 3、长方形或正方形中的比例关系 4、相似三角形性质：金字塔模型和沙漏模型。 5、共边：燕尾模型（燕尾定理）和风筝模型 附：中间桥梁及“差不变”

二、典型问题 【典型问题－1：三角形的等积变形】 1、两个三角形的底高相等，则它们面积相等。 ①平行线间的三角形：底等则面积相等。反之，则两线为平行线。 ②两个相邻的长方形，对角线间的三角形。 ③正方形或长方形中的三角形——拉窗帘。 2、①两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；S1 : S2 = a : b ②两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；S1 : S2 = h1 : h2 3、推广到平行四边形。 ①三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ②等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形是特殊的平行四边形)； ③两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； ④两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比。 练习一： 1、如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米） 2、如图，ABCD是直角梯形，AD=5厘米，DC=3厘米，三角形DOC的面积是5平方厘米，则阴影部分的面积是_________平方厘米。