初中数学竞赛常用解题方法代数

初中数学竞赛常用解题方法（代数）

一、 配方法

例1练习：若2()4()()0x z x y y z ----=，试求x+z 与y 的关系。

二、 非负数法

例21()2

x y z =++. 三、 构造法

（1）构造多项式

例3、三个整数a 、b 、c 的和是6 的倍数.，那么它们的立方和被6除，得到的余数是( )

(A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 不确定的

（2）构造有理化因式

例4、 已知(2002x y =. 则22346658x xy y x y ----+=___ ___。

（3）构造对偶式

例5、 已知αβ、是方程210x x --= 的两根，则4

3αβ+的值是___ ___。 （4）构造递推式

例6、 实数a 、b 、x 、y 满足3ax by +=,227ax by +=,3316ax by +=,44

42ax by +=.求55ax by +的值___ ___。

（5）构造几何图形

例7、（构造对称图形）已知a 、b 是正数，且a + b = 2. 求u =___ ___。

练习：（构造矩形）若a ，b 形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于___________。 四、 合成法

例8、若12345,,,x x x x x 和满足方程组

123451234512345123451234520

212

224248

296

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=++++=++++=++++=++++= 确定4532x x +的值。

五、 比较法（差值比较法、比值比较法、恒等比较法）

例9、71427和19的积被7除，余数是几？

练习：设0a b c >>>，求证：222a b c b c c a a b a b c a b c +++>.

六、 因式分解法（提取公因式法、公式法、十字相乘法）

例10、设n 是整数，证明数323122M n n n =+

+为整数，且它是3的倍数。 练习：证明993991993991+能被1984整除。

七、 换元法（用新的变量代换原来的变量）

例11、解方程29(87)(43)(1)2x x x +++=

练习：解方程 11...111...1x x =.

八、 过度参数法（常用于列方程解应用题）

例12、一商人进货价便宜8%，售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的%x 增加到(10)%x +，x 等于多少?

九、 判别式法（24b ac ?=-判定一元二次方程20ax bx c ++=的根的性质）

例13、求使222433

x x A x x -+=-+为整数的一切实数x. 练习：已知,,x y z 是实数，且 222

212

x y z a

x y z a ++=++= 求证：2220,0,0333

x a y a z a ≤≤≤≤≤≤. 十、 韦达法（韦达定理：1212,b c x x x x a a +=-?=） 例14

：25y y +=

十一、 共轭根式法（设A 使含有根式的表达式，若存在另一个不恒等于零的表达