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初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略(一)

初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（一）

安徽省巢湖市教学研究室张永超

(本讲适合初中)

方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。

一、知识要点

1.形如方程的解的讨论：

⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解；

②当≠0时，方程无解；

⑵若≠0，方程的解为=。

2.关于一元二次方程(≠0)根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关知识。

⑴若，则它有一个实数根＝1；若，则它有一个实数根＝－1。

⑵运用数形结合思想将方程(≠0)根的讨论与二次函数

(≠0)的图象结合起来考虑是常用方法。

3.涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根(即原分式方程的增根)。

4.关于含绝对值的方程解的讨论，一般使用分类讨论的方法去掉绝对值符号，有时也应用到数形结合思想与绝对值的几何意义。

5.解决有关方程整数根的问题时，一般要应用到整数的知识，要理解整除、质数等相关概念。

二、例题选讲

1.方程整数根的讨论

例 1.已知，且方程的两个实数根都是整数，则其最大的根是。

解：设方程的两个实数根为、，则，所以。因为、都是整数，且97是质数，若设＜，则，，或，，因此最大的根是98。

评注：此题解答应用了一元二次方程根与系数的关系，分解质因数的知识等方法与技能。这种方法在有关一元二次方程整数根的讨论问题中经常用到，如：

类题.(2004年四川)已知，为整数，关于的方程有两个相同的实数根，则－等于( )

A.1；

B.2；

C.±1；

D.±2.

分析：依题意得⊿=，所以，由，为整数得

，或，或，或，所以－=±1。

例2.(2000年全国竞赛)已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有______个。

解：上述方程没有说明是一次方程还是二次方程，因此需要分类讨论。

①当时，，符合题意；

②当时，原方程是一元二次方程，易知是方程的一个整数根。设是方程的另一个整数根，由一元二次方程根与系数的关系得。因为是整数，所以±1，或±2，∴=－1，0，2，3。

结合①、②得，本题符合条件的整数有5个。

评注：本例首先对项的系数是否为零进行了分类讨论。对于时方程解的讨论方法具有一般性，即由是整数判断得±1，或±2。

延伸拓展：例2关于一元二次方程整数解的讨论方法应用到整除知识与分解变形技巧，是初中数学竞赛常考的内容，如：

(2004年信利杯)已知、是实数，关于、的方程组有整数解(，)，求、满足的关系式。

解：原方程组可化为，所以，显然方程中≠－1，因此。因为、是整数，所以，即=0，或－2。

当=0时，=0，此时、满足的关系式是=0(为任意实数)；

当=－2时，=8，此时、满足的关系式。

例3.(2004年全国联赛)已知方程的根都是整数，求整数的值。

解：原方程的解为。因为方程式的根都是整数，所以必须是完全平方式。

设(＞0)，则，所以。

∵，且＞，

∴，，，，

解得=10，0，－18，－8。

评注：涉及完全平方数的一元二次方程整数根讨论的问题，往往应用到分解质因数相关知识与技巧，这类题在近年初中数学竞赛题中较为常见，有的问题须多次使用根的判别式，多次变换讨论的对象，如：

类题.(2004年太原)已知为整数，若关于的二次方程有有理根，则的值是。

分析：由已知得为完全平方数。设(为正整数)，即①

将①看作是关于的二次方程，由题设知有整数根，故式①的判别式

应为完全平方数。令(正整数，且＞)，则，因此，解得，所以①可化为，解得=－2，或=0(舍去)。

例4.(2001年全国竞赛)如果，为质数，且，，那么

的值为( )

A.；

B.或2；

C.；

D.或2.

解：依题意，，都是关于的方程的根。

若≠，则，是方程两个不相等的实数根，所以。因为，为质数，所以=2、=11或=11、=2，因此=；

若=，则==2，或==11，所以=2。因此本题答案选B。

评注：本题解答应用了质数的概念与分类讨论思想。，都是关于的方程的根，可能有=与≠这一点容易忽视。两个质数的和是13，这两个数只能是2与11.

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初中数学竞赛常用解题方法（代数）一、配方法例1练习：若2 ()4()()0x z x y y z ----=，试求x+z 与y 的关系。二、非负数法例21 ()2 x y z =++. 三、构造法（1）构造多项式例3、三个整数a 、b 、c 的和是6 的倍数.，那么它们的立方和被6除，得到的余数是( ) (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 不确定的（2）构造有理化因式例4、已知(2002x y =. 则2 2 346658x xy y x y ----+=___ ___。（3）构造对偶式例5、已知αβ、是方程2 10x x --= 的两根，则4 3αβ+的值是___ ___。（4）构造递推式例6、实数a 、b 、x 、y 满足3ax by +=,2 2 7ax by +=,3 3 16ax by +=,4 4 42ax by +=.求5 5 ax by +的值___ ___。（5）构造几何图形例7、（构造对称图形）已知a 、b 是正数，且a + b = 2. 求u =___ ___。练习：（构造矩形）若a ，b 形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于___________。四、合成法例8、若12345,,,x x x x x 和满足方程组

123451234512345123451234520212 224248296 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=++++=++++=++++=++++= 确定4532x x +的值。五、比较法（差值比较法、比值比较法、恒等比较法）例9、71427和19的积被7除，余数是几？练习：设0a b c >>>，求证：222a b c b c c a a b a b c a b c +++>. 六、因式分解法（提取公因式法、公式法、十字相乘法） 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+ 例10、设n 是整数，证明数3 231 22 M n n n =++为整数，且它是3的倍数。练习：证明993 991993 991+能被1984整除。七、换元法（用新的变量代换原来的变量）例11、解方程2 9(87)(43)(1)2 x x x +++= 练习：解方程 11 (1) 11 (1x) x =. 八、过度参数法（常用于列方程解应用题）例12、一商人进货价便宜8%，售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的 %x 增加到(10)%x +，x 等于多少? 九、判别式法（24b ac ?=-判定一元二次方程20ax bx c ++=的根的性质）例13、求使2224 33 x x A x x -+=-+为整数的一切实数x. 练习：已知,,x y z 是实数，且 2 2 2 212 x y z a x y z a ++=++=

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