浅谈反证法在解题中的应用

浅谈反证法在解题中的应用

作者：童其林

来源：《中学数学杂志(高中版)》2015年第02期

反证法是一种间接证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.用反证法证明命题

一般有三个步骤：

（1）反设：作出与求证结论相反的假设；

（2）归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

（3）结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.

反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用.数学中的

一些重要结论，从最基本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的.

简单地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法；具体地讲，当所证命题的结论为否定形式、含有“至多”、“至少”等不确定词或“存在性”、“唯一性”问题通常用反证法证明.下面我们举例说明.

1证明否定性命题

即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功.

例1（2013年北京卷（文））直线y=kx+m（m≠0）与椭圆W：x24+y2=1相交于A，C两点，O是坐标原点.

（1）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长.

（2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明四边形OABC不可能为菱形.

解（1）|AC|=23.

（2）假设四边形OABC为菱形.

因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.

由x2+4y2=4，

y=kx+m，消y并整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0.

设A（x1，y1），C（x2，y2），

则x1+x22=-4km1+4k2，y1+y22=k·x1+x22+m=m1+4k2，所以AC的中点为M-4km1+4k2，m1+4k2.

因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为-14k.

因为k·-14k≠-1，所以AC与OB不垂直.

所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾.

所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.

点评假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的，利用反证法证明时，一定要回到结论上去.

例2求证：.抛物线上任意四点所组成的四边形不可能是平行四边形.

证明如图，设抛物线方程为y2=ax（a>0），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，

y3），D（x4，y4）是抛物线上不同的四点，则有kAB=ay2+y1，kBC=ay3+y2，

kCD=ay3+y4，kDA=ay1+y4.

假设ABCD是平行四边形，则kAB=kCD，kBC=kDA，从而得y1=y3，y2=y4，进而得

x1=x3，x2=x4，于是A、C重合，B、D重合，这与A，B，C，D是抛物线上不同的四点的假设相矛盾.

故ABCD不可能是平行四边形.

点评也可假设我们常设的抛物线方程y2=2px（p>0），或其它形式的抛物线方程.

2证明限定式命题

即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题.

例3若x、y都是正实数，且x+y>2，求证：1+xy

证明假设1+xy0且y>0，所以1+x≥2y，且1+y≥2x，两式相加得，2+x+y≥2x+2y，所以

x+y≤2.这与已知x+y>2相矛盾，因此1+xy

点评注意反证法的格式，正确推理论证，同时注意易错点.

3证明“正难则反”的命题

这类命题仅从已知条件出发，能推出什么所知甚少，往往感到无从入手，如果用反证法，添加新的假设（结论的反面），就可以得到较多的条件，从而使命题的证明简洁明了.

例4设函数f（x）的定义域是[0，1]，f（0）=f（1），且对任意的x1，x2∈[0，1]，

x1≠x2，均有f（x2）-f（x1）

分析若用直接法，需分类讨论，于是可考虑使用反证法.

证明（反证法）假设x1，x2∈[0，1]，x1≠x2，使得f（x2）-f（x1）≥1.不妨设x1>x2，则1≤f（x2）-f（x1）=|[f（x2）-f（0）]+[f（0）-f（x1）]|≤f（x2）-f（0）+f（0）-f（x1）

所以0

这与假设矛盾，故原命题成立.

点评当命题“结论反面”比“结论”更明确具体时，可采用反证法.本题结论的反面只有一种情况，故推翻此种情况就达到证明目的，本题运用了f（x2）-f（x1）=|[f（x2）-f（0）]+[f（0）-f（x1）]|≤f（x2）-f（0）+f（0）-f（x1）.

例5（2010年湖北卷（文））设函数f（x）=13x3-a2x2+bx+c，其中a>0，曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1.

（Ⅰ）确定b、c的值；

（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））及（x2，f（x2））处的切线都过点（0，2），证明：当x1≠x2时，f′（x1）≠f′（x2）；

（Ⅲ）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同切线，求a的取值范围.

解（Ⅰ）b=0，c=1.

（Ⅱ）f（x）=13x3-a2x2+bx+c，f′（x）=x2-ax.由于点（t，f（t））处的切线方程为y-f （t）=f′（t）（x-t），而点（0，2）在切线上，所以2-f（t）=f′（t）（-t），化简得23t3-

a2t2+1=0，即t满足的方程为23t3-a2t2+1=0.

下面用反证法证明.

假设f′（x1）=f′（x2），由于曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））及（x2，f（x2））处的切线都过点（0，2），则下列等式成立：

23x31-a2x21+1=0，

23x32-a2x22+1=0，

x21-ax1=x22-ax2.

由x21-ax1=x22-ax2，得x1+x2=a，化简方程组得x21+x1x2+x22=34a2①

又x21+x1x2+x22=（x1+x2）2-x1x2=a2-x1（a-x1）=（x1-a2）2+34a2≥34a2，

故由①可得x1=x2=a2，这与x1≠x2相矛盾，所以f′（x1）≠f′（x2）.

（Ⅲ）略.

4证明存在性命题

此类命题中，结论常常是开放的，需要考生自己探究并证明.注意“存在”就是“至少有一个”，其反面是“一个没有”.

例6（2011年陕西卷（理））设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=1x，g（x）=f（x）+f′（x）.

（1）求g（x）的单调区间和最小值；

（2）讨论g（x）与g（1x）的大小关系；

（3）是否存在x0>0，使得|g（x）-g（x0）|0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由.

分析（1）先求出原函数f（x），再求得g（x），然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调

性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论.

解（1）（0，1）是函数g（x）的减区间，（1，+∞）是函数g（x）的增区间，g（x）的最小值是g（1）=1.

（2）当0g（1x），当x>1时，g（x）

（3）满足条件的x0不存在.证明如下：

证法一：假设存在x0>0，使|g（x）-g（x0）|0成立，由（1）知f（x）=lnx，g（x）

=lnx+1x，即对任意x>0，有lnx

但对上述x0，取x1=eg（x0）时，有lnx1=g（x0），这与（*）左边不等式矛盾，

因此，不存在x0>0，使|g（x）-g（x0）|0成立.

证法二：假设存在x0>0，使|g（x）-g（x0）|0成立.

又知，g（x）的最小值为g（1）=1.

又g（x）=lnx+1x>lnx，而x>1时，lnx的值域为（0，+∞），

所以x≥1时，g（x）的值域为[1，+∞），

从而可取一个x1>1，使g（x1）≥g（x0）+1，

即g（x1）-g（x0）≥1，故|g（x1）-g（x0）|≥1>1x1，与假设矛盾.

所以不存在x0>0，使|g（x）-g（x0）|0成立.

点评归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从假设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.

例7对于直线l：y=kx+1，是否存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2-y2=1的交点A、B关于直线y=ax（a为常数）对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

解析不存在满足条件的k值.

证明（反证法）假设存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称，设A（x1，y1）、B （x2，y2）则

ka=-1，（1）

y1+y2=k（x1+k2）+2，（2）

y1+y22=ax1+x22，（3）

由y=kx+1，

y2=3x2-1（3-k2）x2-2kx-2=0（4）

由（2）、（3）

有a（x1+x2）=k（x1+x2）+2.（5）

由（4）知x1+x2=2k3-k2，代入（5）整理得：ak=-3与（1）矛盾.

故不存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称.

5证明唯一性命题

此类问题中结论的反面不是唯一的，至少有两个不同者，由此推出矛盾，来否定不唯一，从而肯定唯一.

例8试证明：在平面上所有通过点（2，0）的直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标x，y均为有理数的点）的直线有一条且只有一条.

解析先证存在性.因为直线y=0显然通过点（2，0），且直线y=0至少通过两个有理点，例如它通过（0，0）和（1，0）.这说明满足条件的直线有一条.

再证唯一性.假设除了直线y=0外还存在一条直线y=kx+b（k≠0或b≠0）通过点（2，0），且该直线通过有理点A（x1，y1）与B（x2，y2），其中x1、y1、x2、y2均为有理数.

因为直线y=kx+b通过点（2，0），所以b=-2k，于是y=k（x-2），且k≠0.又直线通过A （x1，y1）与B（x2，y2）两点，所以y1=k（x1-2）①，y=k（x-2）②

①-②，得y1-y2=k（x1-x2）③

因为A，B是两个不同的点，且k≠0，所以x1≠x2，y1≠y2，

由③，得k=y1-y2x1-x2，则k是不等于零的有理数.由①，得2=x1-y1k.

此式的左边是无理数，右边是有理数，出现了矛盾.

所以，平面上通过点（2，0）的直线中，至少通过两个有理点的直线只有一条.

综上所述，满足题设条件的直线有一条且只有一条.

点评唯一性命题的证明问题，可考虑用反证法.“惟一”就是“有且只有一个”，其反面是“至少有两个”.

例9已知函数f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R），有下列性质：“若x∈a，b，则存在

x0∈a，b使得f（b）-f（a）b-a=f′（x0）”成立.

（1）利用这个性质证明x0唯一；

（2）设A，B，C是函数f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）图像上三个不同的点，求证：

△ABC是钝角三角形.

证明（1）假设存在x0′，x0∈（a，b），且x0′≠x0，使得

f（b）-f（a）=（b-a）f′（x0），①

f（b）-f（a）=（b-a）f′（x0′）.②

①-②得，（b-a）f′（x0）=（b-a）f′（x′0）.

因为b>a，b-a≠0，所以f′（x0）=f′（x0′）.

因为f′（x）=ex1+ex-1=-11+ex，记g（x）=f′（x）=-11+ex，所以g′（x）=ex1+ex>0，f′（x）是[a，b]上的单调增函数，所以x0=x0′，这与x0≠x0′矛盾，即x0是唯一的.

（2）略.

牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一.”作为武器，在数学教材中，都有反证法的渗透，特别是在推理与证明的内容里也有较多反证法的例题和习题，所以高考中出些有关反证法的问题，是容易理解的，也是非常有必要的.

作者简介童其林，男，1963年10月生，中学高级教师，福建省特级教师，龙岩市杰出人民教师，曾有200余篇文章发表，主要从事教学管理研究与数学教学研究.

反证法在数学解题中的应用

反证法在数学解题中的应用 我们在解决数学问题时，一般是从正面入手，这就是所谓的正向思维，但往往也会遇到从正面入手困难，或出现一些逻辑上的困境的情形，这时就要从辩证思维的观点出发，运用逆向思维克服思维定势的消极面，从习惯思路的反方向去分析问题，运用反证法解决问题。 一、反证法的逻辑基础 证明命题“A B”时如果用这种方法：假设A∧B为真，在A且B的条件下，合乎逻辑地推出一个矛盾的结果(不论是与A矛盾还是与其他已知正确的结论矛盾或自相矛盾)，从而B成立(即A B成立)，这种方法就是反证法。 二、反证法的解题步骤 第一步审题，弄清命题的前提和结论； 第二步否定原命题，由假设条件及原命题构成推理的基础； 第三步由假设出发，根据公理、定义、定理、公式及命题的条件，正确逻辑推理，导出逻辑矛盾； 第四步肯定原命题的正确性。 三、什么情况下考虑应用反证法 1待证命题的结论是唯一存在性命题 例1设方程x=p sin x+a有实根(0＜p＜1，a是实数)，求证实根唯一。 证明：假设方程存在两个不同实根x1，x2，则有 x1=p sin x1+a，x2=p sin x2+a x1－x2=p sin x1－sin x2=2p cos x1+x22sin x1－x22 由于cos x1+x22│≤1，从而有│x1－x2│≤2p│sin x1－x22│又sin x1－x22≤x1－x22，故x1－x2≤p x1－x2，但x1≠x2，于是p≥1，与0＜p＜1矛盾。所以方程若有实根，则根唯一。 2采取直接证法，无适宜的定理作为根据，甚至无法证明。 例2已知A、B、C、D是空间的四点，ABGN CD是导向直线，求证AC和BD、AD和BC也都是异面直线。 分析：证AC和BD是异面直线，即证明AC和BD不在同一平面内，考虑反证法。 证明：假定AC和BD不是异面直线，那么AC和BD在同一平面内，因此A、B、C、D不是异面直线，这与已知条件矛盾。所以AC和BD是异面直线。 3待证命理的结论是以“至少存在”的形式出现的，“至少存在”的反面是“必定不存在”，所以只要证明“必定不存在”不成立即可。 例3设p1p2=2(q1+q2)求证方程x2+p1x+q1=ox2+p2x+q2=0中至少有一个方程有实根。 证明：假设两方程都无实根，则 p12－4q1＜0，p22－4q2＜0，两式相加，有p21+p22＜4(q1+q2)(1) 而p1p2=2(q1+q2)代入(1)得p21+p22＜2p1p2，这与p21+p22≥2p1p2矛盾。 故假设不成立，原命题正确。 4待正命题含有涉及各种“无限形式”的结论，由于中学没有直接证明“无限”的手段。而结论的反面却是“有限”，故常常借助于反证法。 例4证明实数lg3是无理数。 证明：假设lg3是有理数。则它可以表示成lg3=mn(m，n是互质的正整数，由对数的定义，得10=3″)。但10是偶数，而3″是奇数，矛盾。因此实数lg3是无理数。

浅谈反证法在解题中的应用

浅谈反证法在解题中的应用 作者：童其林 来源：《中学数学杂志(高中版)》2015年第02期 反证法是一种间接证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.用反证法证明命题 一般有三个步骤： （1）反设：作出与求证结论相反的假设； （2）归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； （3）结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立. 反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用.数学中的 一些重要结论，从最基本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的. 简单地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法；具体地讲，当所证命题的结论为否定形式、含有“至多”、“至少”等不确定词或“存在性”、“唯一性”问题通常用反证法证明.下面我们举例说明. 1证明否定性命题 即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功. 例1（2013年北京卷（文））直线y=kx+m（m≠0）与椭圆W：x24+y2=1相交于A，C两点，O是坐标原点. （1）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长. （2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明四边形OABC不可能为菱形. 解（1）|AC|=23. （2）假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.

由x2+4y2=4， y=kx+m，消y并整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0. 设A（x1，y1），C（x2，y2）， 则x1+x22=-4km1+4k2，y1+y22=k·x1+x22+m=m1+4k2，所以AC的中点为M-4km1+4k2，m1+4k2. 因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为-14k. 因为k·-14k≠-1，所以AC与OB不垂直. 所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾. 所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形. 点评假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的，利用反证法证明时，一定要回到结论上去. 例2求证：.抛物线上任意四点所组成的四边形不可能是平行四边形. 证明如图，设抛物线方程为y2=ax（a>0），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3， y3），D（x4，y4）是抛物线上不同的四点，则有kAB=ay2+y1，kBC=ay3+y2， kCD=ay3+y4，kDA=ay1+y4. 假设ABCD是平行四边形，则kAB=kCD，kBC=kDA，从而得y1=y3，y2=y4，进而得 x1=x3，x2=x4，于是A、C重合，B、D重合，这与A，B，C，D是抛物线上不同的四点的假设相矛盾. 故ABCD不可能是平行四边形. 点评也可假设我们常设的抛物线方程y2=2px（p>0），或其它形式的抛物线方程. 2证明限定式命题 即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题. 例3若x、y都是正实数，且x+y>2，求证：1+xy

浅谈“反证法”在高中数学的应用

浅谈“反证法”在高中数学的应用 反证法，又称归谬法，是一种通过否定或质疑对方的论点，从而证明自己观点正确性的方法。这种证明方法在高中数学中有着广泛的应用，下面我们就来谈谈反证法在高中数学中的应用。 反证法的原理是：如果一个命题的结论是错误的，那么这个命题的前提也必须是错误的。这个原理基于逻辑推理的矛盾性，即如果一个命题的前提和结论之间存在矛盾，那么这个命题就是错误的。 根据这个假设，推导出与原命题的结论相矛盾的结论； 说明这个矛盾的结论与原命题的结论是矛盾的，从而证明原命题的结论是正确的。 下面我们通过一个实例来说明反证法在高中数学中的应用： 例题：求证：在任意三角形ABC中，至少有一个内角小于或等于60度。 证明：假设在三角形ABC中，所有内角都大于60度，即每个内角都 大于60度。根据三角形内角和定理，三角形内角和为180度，因此 三角形ABC的内角和大于180度。但是，这与三角形内角和定理相矛

盾，因为三角形的内角和不可能大于180度。因此，我们的假设是错误的，至少有一个内角小于或等于60度。 通过这个例子，我们可以看到反证法的应用范围很广，可以用来证明各种类型的命题，包括数量关系、不等式、函数性质等等。 虽然反证法在高中数学中有着广泛的应用，但是并不是所有的命题都可以使用反证法来证明。一般来说，反证法适用于那些结论是“至多”、“至少”等形式的命题，因为这些命题的结论可以被否定。如果命题的结论是“等于”、“不等于”等形式，那么就不适合使用反证法。反证法是一种非常重要的数学证明方法，在高中数学中有着广泛的应用。通过掌握反证法的原理和步骤，我们可以更好地理解和掌握数学中的各种知识点，提高自己的数学素养。使用反证法也可以培养我们的逻辑思维能力，让我们更加严谨、准确地思考问题。因此，我们应该认真学习反证法，并将其应用到实际生活中去。 在中学数学的学习过程中，我们经常会遇到一些看似简单但实际上需要巧妙思维才能解决的问题。这时候，反证法就像是一把利剑，能帮助我们破解难题。那么，什么是反证法？它在中学数学中又有哪些应用呢？

浅谈反证法的原理及应用

摘要 反证法是一种重要的证明方法,它不仅对数学科学体系自身的完善有促进作用,而且对人的思维能力的培养和提高也有极其重要的作用.如果能恰当的使用反证法,就能达到化繁为简,化难为易,化不能为可能的目的.反证法的逻辑思维强,数学语言准确性高,对培养学生严谨的逻辑思维能力,阅读能力,树立正确的数学观具有重要的意义. 本论文主要研究的内容有反证法的由来;具体阐述了反证法的定义,即反证法的概念、分类和作用;反证法具有广泛应用的科学根据;并且着重介绍了反证法的应用,包括反证法在初等数学和高等数学的应用,并提出应用反证法应注意的问题;针对各种问题提出一些具体的教学建议,从而为改进反证法教学提供参考. 关键词:反证法,否定,矛盾,应用

Principle and application of the reduction to absurdity ABSTRACT:Reduction to absurdity is an important method, it not only to improve its own system of mathematical science have stimulative effect, but also has an extremely important role in cultivating and improving the people's thinking ability. If you use apagoge properly, can be simplified, the difficult easy, words can not be as likely to. The logical thinking of reduction to absurdity, the language of mathematics of high accuracy, to cultivate students' rigorouslogical thinking ability, reading ability, is of great significance to establish a correct conception of mathematics. The origin of the main content of the paper is the reduction to absurdity;expounds the definition of absurdity, and concept, apagoge classification; the reduction to absurdity has wide application of scientific basis; and introducesthe application of reduction to absurdity, including the application of reduction to absurdity in elementary mathematics and higher mathematics, and proposed should note that the application of reduction to absurdity problems;to solve these problems and puts forward some specific suggestions for teaching, so as to provide reference for the improvement of the teaching of reduction to absurdity. Keywords: reduction to absurdity, negation, contradiction, application

反证法在初中数学解题中的运用分析

反证法在初中数学解题中的运用分析 反证法是一种证明方法，运用反证法可以达到“证明之外还证明”的效果，也就是通过证明不成立的情况来证明规律的正确性。 在初中数学中，反证法可以有效地应用于解题，以下是几个例子： 1、证明根号2是无理数。 假设根号2是有理数，可以表示为p/q，其中p,q互质。则根号2=p/q，两边平方得到2=p*p/q*q，化简可得到p*p=2*q*q，由于2是质数，而p*p是偶数，就可以推出p也是偶数。那么p=2k，代入原式可得到2=q*k，则q也是偶数。这与p,q互质矛盾，因此假设不成立，根号2是无理数。 2、证明平方根小数是无限不循环小数。 假设平方根的小数部分有限、循环。设其小数部分为a.b(c)。则有 a.b(c)=x/10^t+y/(10^(t+1))+z/(10^(t+2))+…，即表示成有限的分数形式。那么可以将该分数转换为最简分数a’/b’，然后平方可得到 (a’)^2/(b’)^2=2+2y/(10^t)+(y/(10^t))^2+(2z/(10^(t+1))+(z/(10^(t+1)))^2+…… 3、证明勾股数不存在除1以外的公因数。 假设勾股数存在除1以外的公因数d，则可以表示a=dm，b=dn。那么 c^2=a^2+b^2=d^2(m^2+n^2)，即c也能被d整除，此时c/d也是一个整数，且满足c/d是勾股数a/d，b/d的最大公因数。这与a/d，b/d互质矛盾，因此假设不成立，勾股数不存在除1以外的公因数。 以上几个例子展示了反证法在初中数学解题中的应用，可以看到反证法是一种极为重要的证明方法。在解题过程中，可以运用一些技巧，如化简、分解因式、求幂、辗转相除等，帮助分析矛盾的来源，找到反证的破绽，从而得出正确的结论。

反证法在高考数列考题中的应用(全文)

反证法在高考数列考题中的应用 (全文) 在数学问题中，有相当数量的问题直接证明难以入手，因此，常采用间接法证明，其中，反证法是间接证明的一种基本方法.反证法的基本思想是：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾.具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”， 而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的.使用反证法时要注意：当遇到“否定性”、“惟一性”、“无限性”、“至多”、“至少”等类型命题时，常用反证法.注意反证法的基本思路及一般步骤：①反证法的理论依据；②什么样的命题可采用反证法；③反证法的“反设”；④反证法中的“归谬”.在反证法中探求的矛盾常见的有：（1）与已知条件矛盾；（2）与定理、公理矛盾；（3）与已知具有的或成立的性质矛盾. 例1（2013年高考陕西卷（理）17）设{an}是公比为q的等比数列. （1）推导{an}的前n项和公式； （2）设q≠1，证明数列{an+1}不是等比数列. 解题思路：（1）用首项和公比表示前n项和，利用错位相减法进行求解，对公比分类得到两个公式；（2）假设{an+1}是等比数列，取连续三项，利用等比中项构建方程，推出含公比的方程无解或公比为1. 解析：（1）分两种情况讨论. 所以当q≠1时，数列{an+1}不是等比数列.

点睛高考：本题考查等比数列前n项和公式推导所用的错位相减法以及用反证法研究问题，深度考查考生应用数列作工具进行逻辑推理的思维方法.回归教材，用好教材，从教材中选取例、习题或公式、定理的证明，这是高考命题的一个特点，希望引起考生的重视. 例2（2013年高考北京（理）20）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各 项an+1，an+2…的最小值记为Bn，dn=A（1）若{an}为2， 1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意 n∈N*，an+4=an），写出d1，d2，d3，d4的值； （2）设d是非负整数，证明：dn=-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列； （3）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项 只能是1或者2，且有无穷多项为1. 解题思路：本题主要考查无穷数列的有关知识，考查了考生对新定义类数列的理解与运用，对考生的逻辑思维能力要求较高. （2）证明充分性：

反证法在初中数学解题中的运用分析

反证法在初中数学解题中的运用分析 1. 引言 1.1 反证法在初中数学解题中的重要性 反证法是初中数学解题中一种重要的思维方法，其在数学推理和证明中扮演着至关重要的角色。通过反证法，我们可以通过假设所要证明的结论为假，从而推导出矛盾，进而证明原命题的正确性。这种方法在解决复杂问题或证明难题时常常能够起到意想不到的效果，为我们打开了解决问题的新思路。 在初中数学学习中，反证法的重要性不言而喻。通过反证法，我们可以更好地理解数学定理和公式，并且培养逻辑思维和分析问题的能力。它帮助我们发现问题的本质，找到解决问题的关键，提高数学学习的效率和深度。在解决数学问题时，有时直接证明一个命题比较困难，而通过反证法可以简化证明过程，使得解题更加简洁和清晰。 反证法在初中数学解题中的重要性不容忽视。它不仅能够提高我们的数学解题能力，还可以培养我们的逻辑思维方式，让我们在数学学习中收获更多的成就和乐趣。熟练掌握反证法对于初中生来说是十分重要的。 1.2 反证法的基本原理

反证法是逻辑推理中常用的一种方法，其基本原理是通过否定待 证命题的反命题来间接证明原命题的真实性。这种方法在数学证明中 被广泛运用，特别是在初中数学解题中具有重要意义。 反证法的基本原理可以用简单的逻辑推理来解释。假设我们要证 明一个命题P，而假设P是假的，即非P是真的。我们利用这个假设来推导出某些结论Q，但我们最终发现Q与已知事实或其他命题矛盾，从而得出结论非P也是假的，即P是真的。这一过程就是利用反证法间接证明原命题的过程。 反证法的基本原理可以帮助我们加深对待证命题的理解，发现存 在逻辑矛盾的地方，从而推导出命题的真实性。在数学解题中，反证 法可以帮助我们简化证明过程，节省时间和精力，提高解题效率。了 解和掌握反证法的基本原理对于初中生学习数学和解题是非常重要的。反证法不仅仅是一种证明方法，更是一种思维方式和逻辑推理的训练，可以帮助学生提升解决问题的能力和思考深度。 2. 正文 2.1 反证法在代数方程解题中的运用 在解代数方程中，反证法是一种常用且有效的解题方法。通过假 设所给方程的解不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明假设是错 误的，进而推出所给方程的解。下面我们通过一个具体例子来说明反 证法在代数方程解题中的运用。 假设我们要解如下代数方程：

反证法在初中数学解题中的应用探讨

反证法在初中数学解题中的应用探讨 反证法是一种常见的证明方法，它的核心思想是通过假设反面来得出正面结论。在 初中数学中，反证法也是常用的解题方法。在本文中，我们将探讨反证法在初中数学解题 中的应用。 一、什么是反证法 反证法是一种常见的证明方法。它的核心思想是：在证明某个命题时，我们先假设它 的反面成立，再通过逻辑推理得到矛盾结论，从而说明这个假设是错误的，因此原命题成立。 例如，在证明“对于任意整数n，如果n²是偶数，则n是偶数”时，可以采用反证法。我们假设n是奇数，即n=2m+1，其中m是整数。那么，n²就是(2m+1)²=4m²+4m+1，显然是奇数，而不是偶数。这与原假设矛盾，所以我们得到结论：对于任意整数n，如果n²是偶数，则n是偶数。 在初中数学中，反证法广泛应用于各个领域，例如代数、几何、概率等。下面我们将 以一些例子来说明。 在代数中，反证法通常用于证明一个方程没有实数根。例如，我们考虑如何证明方程 x² + 1 = 0 没有实数解。我们可以采用反证法，假设有一个实数x满足x²+1=0，那么x²=-1，这个方程没有实数解，因此假设成立的前提是错误的，所以原方程没有实数根。 2. 反证法在几何中的应用 在几何中，反证法通常用于证明某个结论是错的或者某条性质是不成立的。例如，在 平面几何中，我们想要证明“一个正方形的对角线互相垂直”。我们可以采用反证法，假 设正方形的对角线不互相垂直。在图中，我们可以找到一个三角形ABC,因此∠ABD + ∠AED + ∠BDE + ∠DEC = 360°。然而，由于正方形的每个内角是90°, 因此∠ABD + ∠BDE = 90°, ∠AED + ∠DEC = 90°。将它们代回原方程中，我们得到90° +90°+90°+90° = 360°, 说明原假设错了，证明了对角线互相垂直的结论。 在概率中，反证法通常用于排除某些不存在或不可能的情况。例如，我们想证明某事 件不可能发生，但直接证明困难，可以通过反证法来求得该事件是不可能的。例如，我们 考虑从一副标准扑克牌中随机抽出5张牌，如果想要证明抽到的5张牌中最多只有两张黑 桃皇后，我们可以采用反证法。我们假设抽到的5张牌有至少3张黑桃皇后，我们可以将 这3张黑桃皇后取出来，然后从其余的49张牌中再随机抽取2张牌。由于第4张牌和第5张牌都不是黑桃皇后，因此它们不能与前三张牌中的2张黑桃皇后重复，因此第4张牌和 第5张牌中不能同时出现红桃7，否则就会出现同花顺的情况。然而，从剩下的牌中取2

反证法及其应用(全文)

反证法及其应用(全文) 数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明.证明的基本方法有直接法和间接法，反证法是间接证明的一种基本方法. 认识反证法 王戎（晋朝人，竹林七贤之一）7岁时，与小伙伴外出游玩，看到路边的李数上结满了果子，小伙伴们纷纷去摘果子，只有王戎站在原地没动.路人不解，王戎回答道：“树在道边而多子，此比苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？ 他的推理过程可简单的表述为：如果李子不是苦的，它就不可能长在道路旁，且上面结了那么多李子.这种推理方法叫做反证法（归谬法）. 1.反证法的定义：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得到矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（reduction to absurdity）. 2.反证法的实质：先否定结论，后导出矛盾，从而说明结论的反面是错误的，故原命题成立. 3.反证法证明命题的一般步骤： ①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论成立.

注1.“推理论证”是指由假设结合所学知识进行分析、推理和论证； 注2.“导出矛盾”是指和已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等； 4.一个反证法的范例 证明：素数有无穷多个。 这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德(Euclid of Alexandria，生活在亚历山大城,约前330～约前275,是古希腊最享有盛名的数学家)在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法： 假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是2=a1 此时，令N=a1*a2*…*an,那么所有的ai(i=1,2,……,n)显然都不是N的因子，那么有两个可能：或者N有另外的素数真因子，或者N本身就是一个素数，但是显然有N＞ ai(i=1,2……n).无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！ 这个证明简短有力，充分体现了证明者的智慧和归谬法的特点！ 反证法的应用 类型一.用反证法证明否定性命题 例1 设a,b,c,d∈R,且ad-bc=1，求证： a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1 证明：假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1，由于ad-bc=1 所以a2+b2+c2+d2+ab+cd=ad-bc

反证法在数学中的应用

反证法在数学中的应用 〔关键词〕反证法；命题；结论；含义；特点；逻辑依据 在数学题目的求解过程中，直接证明一个命题感到困难，甚至无法证明时，可采用反证法.反证法是一种重要的数学证明方法，它在数学证明中有着不可替代的作用.学生在运用这一方法做题时，由于对该方法的实质理解不深刻，故而常常出错.这不仅严重影响了这一重要方法的有效使用，而且也妨碍了解题效率的提高. 下面，本文就反证法的实质、特点、逻辑根据及适宜反证法证明的几种题型予以说明. 一、反证法的含义及实质 所谓反证法，就是从反面证明命题的正确性.即欲证命题“若p则q”，则从反面推导“若p┑q”不能成立，从而证明“若p则q”成立.它从否定结论出发，经过正确、严格的推理，得到与已知（假设）或已成立的数学命题相矛盾的结果，从而检验产生矛盾的原因，推出原命题的结论是不容否定的正确结论.反证法的实质是通过矛盾的转化达到解决问题的目的. 二、反证法的步骤和特点 反证法是一种间接的证明方法，具体步骤如下（欲证命题为“若p则q”，逻辑表达式为p→q）： 第一步：否定原命题的结论q（即设┑q），得到p∧q； 第二步：在此条件下，通过正确的推理导出矛盾； 第三步：由此矛盾断定：命题p→q为真. 从反证法的证题方法可以看出，它的最大特点是：否定原命题的结论q，肯定原命题的条件p，据此导出矛盾.它属于矛盾证明的范畴. 三、反证法的逻辑根据 首先，反证法是通过证明原命题p→q的反命题┑（p→q），（p∧┑q）是对同一事物的两个相互对立或矛盾的判断.根据矛盾律，在同一思维过程中，对同一事物的两个相互矛盾或对立的判断中，至少有一个是真的（不能同假），因此，（p→q）与（p∧┑q）一定有一个是真的，一个是假的.而由反证法已经证明了p ∧┑q是假的（导出矛盾），所以原命题p→q一定是真的，即证明了原命题.

反证法在化学解题中的应用

反证法在化学解题中的应用 反证法属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛（Hadamard）对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。”具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、原理或者已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。 在化学解题中经常使用反证法，反证法的解题模式可以简要地概括为“否定→推理→否定”。实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 以下是一些实例，供读者参考。 一、原命题的规律为：较强酸制较弱酸 较强酸制较弱酸实质上是指满足能得到比反应物难电离的生成物这一复分解反应发生的充分条件，较强酸制弱酸只是方便理解的说法，是一条经验规律。事实上有一些反例，例如中强酸（属于弱酸）磷酸制取强酸HBr、HI等，是高沸点酸（难挥发酸）制易挥发酸，但在中学阶段，运用得当，还是可以用的。 例1：先将铜与浓硫酸反应产生的气体X持续通入图1装置中，一段时间后再将铜与浓硝酸反应产生的大量气体Y也持续通入该装置中，可观察到的现象包括（可选多项，下同）（） A．通入X气体后产生白色沉淀 B．通入X气体后溶液中无明显现象 C．通入Y气体后开始沉淀 D．通入Y气体后沉淀溶解 E．通入Y气体后溶液中无明显现象 由此可得到的结论是（） A．HNO3的酸性比H2SO4强 B．盐酸的酸性比H2SO3强 C．BaSO3能溶于盐酸 D．HNO3能氧化H2SO3（或SO2） E．BaSO4不溶于水也不溶于HNO3溶液 运用反证法，即使反应SO2+BaCl2+H2O BaSO3↓+2HCl成立，但违背了较强酸制较弱酸规律，反应应由右往左发生，所以观察到的现象为BC，得到的结论是BCDE。 类似的还有除杂问题，如CO2（HCl），学生最容易犯的错误是用饱和Na2CO3溶液，运用反证法，假设Na2CO3溶液与HCl反应除去了HCl，但反应Na2CO3+CO2+H2O2NaHCO3也会发生，所以不能用饱和Na2CO3溶液，而应该用饱和NaHCO3溶液。同理CO2（HAc）、CO2（SO2）都可用饱和NaHCO3溶液除杂，推广至SO2（HCl）、SO2（SO3），应该用的就是饱和NaHSO3溶液了。

假设法反证法在生物学解题中的应用

假设法反证法在生物学解题中的应用假设法与反证法在生物学解题中的应用 引言： 生物学作为自然科学的一支，研究着生物体的结构、功能和相互关系。解决生物学问题时，我们通常使用多种研究方法和技巧，包括假设法和反证法。本文将探讨假设法和反证法在生物学解题中的应用。 一、假设法在生物学中的应用 假设法是一种基于逻辑推理的科学方法，在生物学领域经常被应用于解决问题。假设法可以帮助科学家找到问题的解决方案，下面将介绍假设法在生物学中的几个典型应用。 1. 假设构建生物模型 在生物学研究中，科学家常常需要构建各种实验模型，以了解生物体的结构和功能。假设法帮助科学家在构建模型时制定合理的假设。例如，在研究细胞内的信号传导机制时，科学家可以假设某个分子X 在此过程中起到关键作用，并基于此假设进行实验验证。 2. 假设推测未知功能 在生物学研究中，很多生物体的功能尚未被完全揭示。科学家可以使用假设法推测未知功能，并进行实验证明。例如，对于某一未知蛋白质，科学家可以假设其具有某种特定功能，然后通过实验验证这一假设，以揭示蛋白质的真实功能。

3. 假设引导解释观察结果 在生物学观察与实验中，我们常常会获得一些初步结果，但其背后 的机制尚不明确。假设法可以帮助生物学家根据观察结果提出合理的 解释。例如，通过观察发现某个物种受到特定条件的影响而变异较大，科学家可以假设这是适应环境的结果，并进行进一步的实验证明。 二、反证法在生物学中的应用 反证法是一种逻辑推理方法，通过采用反向推论和排除法来证明或 反驳一个假设。在生物学研究中，反证法也有重要的应用价值。下面 将介绍反证法在生物学中的几个典型应用。 1. 反证排除假设 在生物学研究中，科学家常常需要优化实验设计和参数选择，以确 保实验结果的准确性和可靠性。此时，反证法可以帮助科学家排除无 效的假设。例如，在研究药物对生物体的副作用时，科学家可以通过 反证法来排除某一假设，如"该药物对生物体无副作用"，通过实验证明该假设是错误的。 2. 反证辨析观测结果 生物学中有些观测结果会呈现出多种情况，科学家需要通过逻辑推 理找到正确的结果。反证法可以帮助科学家辨析观测结果并找出真相。例如，在鉴定某个物种是否具有特定基因突变时，反证法可以通过对 没有突变的物种进行实验证明某一观测结果是准确的。 3. 反证反驳错误假设

新高考理念下的反证法在解题中的应用

新高考理念下的反证法在解题中的应用 陈镇伟 充分条件.“否认式的分析法〞，这种提法在有关资料书籍中也没有发现过，按字面理解“否认式的分析法〞还是一种分析法. 关键词：数学模型;抓住主要特征;矛盾律;培养创新能力 反证法是中学解题中常用的一种方法，这种思维方法在生活中说理与争论过程被应用，初次接触都比较让人难以接受，如果证“假设A那么B〞这个命题，你先假设B不对，那么……，你也许会嘀咕：人家正要你证B是对的，你却说B是不对的，岂非不战自败吗？其实，只要在证明过程中每一步到下一步完全符合逻辑，但每一步的结论却其实不能发生.这种证法就叫反证法，亦称归谬法，有关反证法论述很多，但我觉得还是有很多问题值得一谈： 1反证法的逻辑依据 证题方法的依据，可以通过追究这种证法具体步骤的理由而获得，分析通常所用反证法的根据，便可知反证法的依据是逻辑根本体中的矛盾律和排中律.用反证法证明命题“假设A那么有B〞的过程可写为：①假设无B，根据此题条件和已有的定义、公理、定理推出的一对矛盾的结果，即与矛盾律对立：②根据矛盾律，断言无B不能成立;③根据排中律，无B不成立，那么必有B成立，故本命题得证; 在许多有关反证法的资料中都有提到逆否命题，并似乎都有一种共识，认为反证法就是改证论题的逆否命题，它的依据是逆否命题的等价性，这种说法是否妥当呢？如果把逆否命题仅限于命题本身的条件和结论的否认，换位而得，那上述提法显然不正确，假设把的定义、公理、定理都算入本体的条件，那么一个命题的逆否命题为： 结论的否认：与此题条件对立或与定义成立或与公理对立或与定理对立时 用这种观点来看反证法的步骤1，那就是结论B的否认，矛盾体〔公理〕的否认. 方法由逆否命题为真，来证明原命题成立. 命题假设无B那么无A 求证命题假设有A那么有B 证明：假设无B，那么可以一直命题推出无A，这与求证命题的条件有A成立，为矛盾律所不容，故无B不能成立，有排中律必有B.这个证明过程显然和反证法的步骤完全一致，由此可见，反证法的结构本身就是由逆命题为真，证明原命题成立的过程，再根据互为逆否命题的性质，在确定认定反证法的同时，也就确定了逆否命题的等价性.反证法和逆否命题的等价性就相当于自己依据自己一样，是不成立的，不妥当的. 还有一种较为离谱的说法，认为反证法就是通过证明逆否命题的成立，从而得出原命题成立的一种方法，而在这之前证明了逆否命题的等价性，假设要问证明逆否命题等价采用的是什么证题方法，容易看出这是出现了循环论证的逻辑毛病. 2反证法的分析法特点

高考数学复习点拨 例谈反证法在解题中的应用

例谈反证法在解题中的应用 反证法是一种间接证法.它是数学学习中一种很重要的证题方法.反证法证题的步骤大致分为三步： （1）反设：作出与求证的结论相反的假设； （2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果； （3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立. 其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等. 一、证明“至多”或“至少”问题 例１已知函数对其定义域内的任意两个实数，当时，都有．求证：至多有一个实数使得． 证明：假设存在两个不等实数，使得． 不妨设，由条件可知，与()*式矛盾． 故至多有一个实数x使得()0 f x=． 二、证明“不可能”问题 例2给定实数，且，设函数，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴． 证明：假设函数图象上存在两点，使得直线平行于x轴． 设且．由， 得， 解得．与已知1 a≠矛盾．

故经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴. 例3双曲线的两支为，正三角形的三顶点位于此双曲线上．求证：不可能在双曲线的同一支上． 证明：假设正三角形的三顶点P Q R ，，位于双曲线同一支如上，其坐标分别为，不妨设，则一定有．于是 ． 因此，．这说明是钝角三角形，与PQR △为正三角形矛盾．故P Q R ，，不可能在双曲线的同一支上． 三、证明“存在性”或“唯一性”问题 例4已知函数的图象过点．问是否存在常数，使不等式对一切实数x都成立？若存在，求出 ，，的值；若不存在，说明理由． a b c 解：假设存在符合条件的a b c ，，． 的图象过(10) ，， ，即． 又对一切实数都成立， 令，则． ，，． ．